二次函数最值知识点总结_典型例题及习题

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。

当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： 1.当[]n m a

b ，∈-2时，)(x f 的最小值是)(4422x f a b a

c a b f ，-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 2.当[]n m a

b ，∉-2时 若m a

b <-2，由)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f 若a

b n 2-<，由)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0

二、例题分析归类：

（一）、正向型

1. 定轴定区间

例1. 函数242

-+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习. 已知x x 322≤，求函数1)(2++=x x x f 的最值。 2、定轴动区间

例2. 如果函数1)1()(2

+-=x x f 定义在区间[]1+t t ，上，求)(x f 的最值。 例3. 已知2()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．

3、动轴定区间

例4. 已知12≤x ，且02≥-a ，求函数3)(2++=ax x x f 的最值。

例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 动轴动区间

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型

例7. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

例8.已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。 例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值为3，求实数a 的值。 一．知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。 分析：将)(x f 配方，得顶点为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，、对称轴为a b x 2-= 当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值：

（1）当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是)(4422x f a b ac a b f ，-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 （2）当[]n m a

b ，∉-

2时 若m a

b <-2，由)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f 若a

b n 2-<，由)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 定轴定区间

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数242

-+-=x x y 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

练习. 已知x x 322≤，求函数1)(2++=x x x f 的最值。 2、定轴动区间

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数1)1()(2

+-=x x f 定义在区间[]1+t t ，上，求)(x f 的最值。 例3. 已知2()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当时⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910 3、动轴定区间

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次

函数在定区间上的最值”。

例4. 已知12≤x ，且02≥-a ，求函数3)(2++=ax x x f 的最值。

例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

4. 动轴动区间

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2

()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。 例8.已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。 例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的最大值为3，求实数a 的值。