双曲线的渐近线和离心率问题

双曲线的渐近线和离心率问题Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第30练双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题例 1 (1)(2015·重庆)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±ba x?xa±yb＝0?x2a2－y2b2＝0，所以可以把标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y＝bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1 (2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为______________________.题型二双曲线的离心率问题例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是________.①对任意的a，b，e1>e2；②当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2；③对任意的a，b，e1<e2；④当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.(2)已知O为坐标原点，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO→＋AF→)·OF→＝0，则双曲线的离心率e为________.点评在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y 的范围问题.变式训练2 (2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且F2F4＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题例 3 (2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E 若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，请说明理由.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3 (2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是__________.2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C2：y2sin2θ－x2sin2θtan2θ＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为______________.4.以椭圆x2169＋y2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x29－y216＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________.6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H 的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________.7.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________.8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________.9.已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M 在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.10.过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝14a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率是______.11.已知双曲线y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为25 5.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB→，求△AOB的面积.12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题 常考题型典例剖析 例1 (1)±1解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a,0)，易求B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则kA 2C ＝b 2a a －c，kA 1B ＝b 2a a ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2aa ＋c ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±ba＝±1.(2)解 ①设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1， 直线OB 的方程为y ＝－1ax ，直线BF 的方程为y ＝1a(x －c )，解得B (c 2，－c2a)．又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A (c ，c a )，k AB ＝c a －?－c 2a ?c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a)＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.②由①知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则MF 2NF 2＝?2x 0－3?2?3y 0?214＋?32x 0－3?2?3y 0?2＝?2x 0－3?29y 204＋94?x 0－2?2 ＝43·?2x 0－3?23y 20＋3?x 0－2?2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得MF 2NF 2＝43·?2x 0－3?2x 20－3＋3?x 0－2?2＝43·?2x 0－3?24x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为MF NF ＝23＝233.变式训练1 x ±2y ＝0解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4，即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0. 例2 (1)④ (2)2 解析 (1)由题意e 1＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ， 离心率e 2＝?a ＋m ?2＋?b ＋m ?2?a ＋m ?2＝ 1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m ?a －b ?a ?a ＋m ?，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m ?a －b ?a ?a ＋m ?>0，即b ＋m a ＋m >ba.又b ＋m a ＋m >0，ba>0， 所以由不等式的性质依次可得⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m ?a －b ?a ?a ＋m ?<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.(2)如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，c 2，又A 在直线y ＝bax 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.变式训练2 解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，mm 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x .由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝?m 2＋2?|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝?y 1＋y 2?2－4y 1y 2 ＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12·PQ ·2d ＝22·1＋m 22－m2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.例3 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c a＝ 5.(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则OC ＝a ，AB ＝4a .又因为△OAB 的面积为8， 所以12·OC ·AB ＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时， 双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意， 得k >2或k <－2，则C (－m k，0)． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m2＋k.由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k |＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎨⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m，同理，得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12·OC ·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎨⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ， 且E 的方程为x 24－y 216＝1.变式训练3 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax .由⎩⎨⎧y ＝b ax ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a)，由⎩⎨⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52. 常考题型精练解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 2．③解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ，∴C 1，C 2的离心率相等． －y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.4．x 2＋y 2－10x ＋9＝0解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.或2解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝1＋?b a?2＝233或2.解析 取双曲线的渐近线y ＝bax ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab (x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得?a 2＋c 2?24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝ca＝ 2.7．x 2－y 23＝1解析 由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2， 即双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2， 又e ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3， 故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.＋1解析 设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，则在Rt△MF 1F 2中，可得F 1F 2＝2c ，MF 1＝3c ，MF 2＝c ，由双曲线的定义有MF 1－MF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1.9．(2，＋∞)解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，设直线方程为y ＝b a (x －c )，与y ＝－ba x 联立求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，因为M 在圆外，所以满足MF 1→·MF 2→>0，可得－34c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc 2a 2>0，解得e ＝c a >2.解析 设双曲线的右焦点为F 1，连结PF 1. 由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点．又O 是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且OE ＝12PF 1，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴PF 2＋PF 21＝FF 21，PF 1＝a ，PF ＝2a ＋PF 1＝3a ， ∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴c a ＝102.11．解 (1)依题意得⎩⎨⎧ab＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin 2θ＝2mn ＝2. 12．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1. (2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)， ∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0.① 依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.。