补偿练2函数与导数(一)(2015)【二轮】

补偿练2 函数与导数(一)

(建议用时：40分钟)

1．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2＋x ；②f (x )＝tan x ；③f (x )＝x ＋sin x ；④f (x )

＝lg 1－x 1＋x

.其定义域为R ，且是奇函数的是________．(填序号) 解析 函数f (x )＝x 2＋x 不是奇函数；函数f (x )＝tan x 的定义域不是R ；函数f (x )＝lg

1－x 1＋x

的定义域是(－1,1)，因此应填③. 答案 ③ 2．式子2lg 2－lg 125的值为________．

解析 2lg 2－lg 125＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2. 答案 2

3．函数f (x )＝

12x －1＋ln(x －1)的定义域是________．

解析 由⎩⎨⎧ 2x ＞1，x －1＞0，得x ＞1，故函数的定义域是(1，＋∞)． 答案 (1，＋∞)

4．下列函数f (x )中：①f (x )＝1x －x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝2x .其中满足

“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0”的是________． 解析 “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0”等价于

在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x －x 符合．

答案 ①

5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

3x (x ≤0)，log 2x (x ＞0)，则f [f (12)]＝__________.

解析 f (12)＝log 212＝－1，∴ f [f (12)]＝3－1＝13.

答案 13

6．函数f(x)＝ln

1

|x|＋1

的值域是__________．

解析因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1，所以0＜

1

|x|＋1

≤1，所以ln

1

|x|＋1

≤0，

即f(x)＝ln

1

|x|＋1

的值域为(－∞，0]．

答案(－∞，0]

7．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．解析由f′(x)＝e x(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝

f′(0)＝1，故倾斜角为π

4.

答案π4

8．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是增函数”是“函数g(x)＝x a在R上是增函数”的________条件．

解析函数f(x)＝a x在R上是增函数，即a＞1；但当a＝2时，函数g(x)

＝x2在R上不是增函数．函数g(x)＝x a在R上是增函数时，可有a＝1

3，此时

函数f(x)＝a x在R上不是增函数．

答案既不充分也不必要

9．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝________.

解析当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，

∵f(x)是R上的奇函数，

∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，

∴f(x)＝x3－ln(1－x)．

答案x3－ln(1－x)

10．设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________．

解析由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．

答案f(a＋1)＞f(2)

11．函数f (x )＝x 2

－ax ＋1在区间(12，3)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析 因为f (x )＝x 2－ax ＋1在区间(12，3)上有零点，所以x 2－ax ＋1＝0在

(12，3)上有解．由x 2－ax ＋1＝0，得a ＝x ＋1x ，设g (x )＝x ＋1x ，则g ′(x )＝1－1x 2，令g ′(x )＞0，得g (x )在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，令g ′(x )

＝1－1x 2＜0，得g (x )在(－1,1)上单调递减，因为12＜x ＜3，所以g (x )在(12，1)

上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当12＜x ＜3时，

2≤g (x )＜103，所以a ∈[2，103)． 答案 ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫2，103 12．设函数f (x )＝x e x ，给出下列说法：

①x ＝1为f (x )的极大值点；②x ＝1为f (x )的极小值点；③x ＝－1为f (x )的极大值点；④x ＝－1为f (x )的极小值点．其说法正确的是________．(填序号)

解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，

当x ＞－1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增，

当x ＜－1时，f ′(x )＜0，函数f (x )递减，

所以当x ＝－1时，f (x )有极小值． 答案 ④

13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x

，x ≥2，x 2－3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等的实根，

则实数k 的取值范围是________．

解析 由函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x

，x ≥2，x 2－3，x ＜2的图象可知，要使关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等的实根，则需直线y ＝k 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，所以有0＜k ＜1，所以关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等的实根的实数k 的取值范围是(0,1)．