补偿练2函数与导数(一)(2015)【二轮】
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补偿练2 函数与导数(一)
(建议用时:40分钟)
1.给出下列四个函数:①f (x )=x 2+x ;②f (x )=tan x ;③f (x )=x +sin x ;④f (x )
=lg 1-x 1+x
.其定义域为R ,且是奇函数的是________.(填序号) 解析 函数f (x )=x 2+x 不是奇函数;函数f (x )=tan x 的定义域不是R ;函数f (x )=lg
1-x 1+x
的定义域是(-1,1),因此应填③. 答案 ③ 2.式子2lg 2-lg 125的值为________.
解析 2lg 2-lg 125=lg 4+lg 25=lg 100=2. 答案 2
3.函数f (x )=
12x -1+ln(x -1)的定义域是________.
解析 由⎩⎨⎧ 2x >1,x -1>0,得x >1,故函数的定义域是(1,+∞). 答案 (1,+∞)
4.下列函数f (x )中:①f (x )=1x -x ;②f (x )=x 3;③f (x )=ln x ;④f (x )=2x .其中满足
“∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是________. 解析 “∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0”等价于
在(0,+∞)上f (x )为减函数,易判断f (x )=1x -x 符合.
答案 ①
5.已知函数f (x )=⎩⎨⎧
3x (x ≤0),log 2x (x >0),则f [f (12)]=__________.
解析 f (12)=log 212=-1,∴ f [f (12)]=3-1=13.
答案 13
6.函数f(x)=ln
1
|x|+1
的值域是__________.
解析因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,所以0<
1
|x|+1
≤1,所以ln
1
|x|+1
≤0,
即f(x)=ln
1
|x|+1
的值域为(-∞,0].
答案(-∞,0]
7.函数f(x)=e x cos x的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为________.解析由f′(x)=e x(cos x-sin x),则在点(0,f(0))处的切线的斜率k=
f′(0)=1,故倾斜角为π
4.
答案π4
8.设a>0,且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是增函数”是“函数g(x)=x a在R上是增函数”的________条件.
解析函数f(x)=a x在R上是增函数,即a>1;但当a=2时,函数g(x)
=x2在R上不是增函数.函数g(x)=x a在R上是增函数时,可有a=1
3,此时
函数f(x)=a x在R上不是增函数.
答案既不充分也不必要
9.f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)=________.
解析当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],
∴f(x)=x3-ln(1-x).
答案x3-ln(1-x)
10.设函数f(x)=log a|x|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)与f(2)的大小关系是________.
解析由已知得0<a<1,所以1<a+1<2,根据函数f(x)为偶函数,可以判断f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(a+1)>f(2).
答案f(a+1)>f(2)
11.函数f (x )=x 2
-ax +1在区间(12,3)上有零点,则实数a 的取值范围是________. 解析 因为f (x )=x 2-ax +1在区间(12,3)上有零点,所以x 2-ax +1=0在
(12,3)上有解.由x 2-ax +1=0,得a =x +1x ,设g (x )=x +1x ,则g ′(x )=1-1x 2,令g ′(x )>0,得g (x )在(1,+∞),(-∞,-1)上单调递增,令g ′(x )
=1-1x 2<0,得g (x )在(-1,1)上单调递减,因为12<x <3,所以g (x )在(12,1)
上单调递减,在(1,3)上单调递增,所以当12<x <3时,
2≤g (x )<103,所以a ∈[2,103). 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2,103 12.设函数f (x )=x e x ,给出下列说法:
①x =1为f (x )的极大值点;②x =1为f (x )的极小值点;③x =-1为f (x )的极大值点;④x =-1为f (x )的极小值点.其说法正确的是________.(填序号)
解析 f ′(x )=e x +x e x =(1+x )e x ,
当x >-1时,f ′(x )>0,函数f (x )递增,
当x <-1时,f ′(x )<0,函数f (x )递减,
所以当x =-1时,f (x )有极小值. 答案 ④
13.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 2x
,x ≥2,x 2-3,x <2,若关于x 的方程f (x )=k 有三个不等的实根,
则实数k 的取值范围是________.
解析 由函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
2x
,x ≥2,x 2-3,x <2的图象可知,要使关于x 的方程f (x )=k 有三个不等的实根,则需直线y =k 与函数f (x )的图象有三个不同的交点,所以有0<k <1,所以关于x 的方程f (x )=k 有三个不等的实根的实数k 的取值范围是(0,1).