习题一 概率论的基本概念习题答案

2
(
)
3 1 1 1． 6 设 = S ( x | 0 ≤ x ≤ 2) , = A x < x ≤ 1 , B = x ≤ x < , 具体写出 4 2
下列事件： （ 1）
AB
（ 2） A B

（ 3）
2
AB
（ 4） AB

1 解 （ 1） 因为 A = x 0 ≤ x ≤ ,1 < x ≤ 2 ，所以 1 1 AB = x ≤ x ≤ ,1 < x < 2 4 3 2
n! 。 Nn
n （ 2 ） 有 利 样 本点 数 为 C N ⋅ n ! ， 所 以， 要 求 的概 率 为
P=
n CN ⋅ n! . Nn
1.13 任意取两个不大于 1 的正数，试求其和不大于 1，且其 积不大于 的概率。 解 这是几何概率问题。 0 < x ≤ 1,0 < y ≤ 1 ，故样本空间为
P ( A) = 0.3 ，所以 P ( A) =− 1 P ( A) =− 1 0.3 = 0.7 P ( B ) =− 1 P ( B ) =− 1 0.4 = 0.6
同理可得
P ( A B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) = 0.7 + 0.6 − 0.5 = 0.8
（ 2） A = B { x | 0 ≤ x ≤ 2}
1 （ 3） AB = x 0 ≤ x ≤ ,1 < x ≤ 2 2
（ 4） = AB
3 1 A = B A = B B = x ≤ x< 2 4
1． 7 设 A、 B、 C 是三个事件，并且
P = ( A) P = ( B) P = (C ) 1 1 , P = = ( AB ) P ( BC ) 0, P ( AC ) = , 求 8 4
合上，所以
C = ( A1 B1 ) ( A2 B2 ) ( As Bs )
C = A1 B1 A2 B2 As Bs
1． 5 化简 （ 1） ( A B ) ( A B ) 解
(
) (
)
(
)
( A B) ( A B = ) A (B B = ) A = Φ A
（ 2） P ( B1 B2 ) =
=
P ( A1 ) P ( B1 B2 | A1 ) + P ( A2 ) P ( B1 B2 | A2 )
1 10 9 1 18 17 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0.19423 2 50 49 2 30 29
所以
P (= B2 | B1 ) P ( B1 B2 ) 0.19423 = ≈ 0.4856 P ( B1 ) 0.4
-1-
. 注：当然，上面的表达式还有多种表达方式。
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1． 3 在数学系学生中任选一名，令 A 表示“选到男生” ，B 表 示“选到三年级学生” ， C 表示“选到运动员” 。 （ 1）叙述事件 ABC 的意义。 （ 2）在什么条件下 ABC = C 成立？ （ 3）何时 C ⊂ B 是正确的？ （ 4）什么时候 A = B 成立？ 解 （ 1）选到的学生是非运动员的三年级男生。 （ 2）被选到的运动员是三年级男生 。 （ 3）选到的运动员都是三年级学生。 （ 4）选到的学生都是三年级的女生。 1．4 如下图：设
= P ( Ak )
1 1 1 1 C9 C 8 C10 1 − k + 1C1 (10 − k )! = 10! 10
(1 ≤ k ≤ 10)
因此，每一个人摸到红球的概率都是
1 . 10
1． 16 有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一 等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一 箱，然后从该箱取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试 求： （ 1）第一次取到的零件是一等品的概率； （ 2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也 是一等品的概率。 解 设
= P( B | A B)
P ( B( A B )) = P( A B)
P ( BA BB ) P ( AB ) = P( A B) P( A B)
=
0.2 1 = 0.8 4
-7-
( 0.5 = P ( AB ) = P ( A − AB ) = P ( A) − P ( AB ) 0.7 − P ( AB ) =
Ai , Bi ( i = 1, 2, , s ) 表示它们所在的位置开关闭合，
事件 C={电路接通 }，试用 Ai , Bi ( i = 1, 2, , s ) 表示 C 与 C 。
解
因为 Ai , Bi ( i = 1, 2, , s ) 表示开关打开， Ai , Bi ( i = 1, 2, , s ) 表示开关
A 的面积＝ － （1－x -
1 2
∫
2 3 1 3
2 1 1 2 dx = − x − x 2 − ln x ） 9x 2 2 9 1
2 3
3
=
1 2 + ln 2 3 9 1 2 + ln 2 。 3 9
P ( B | A B ).
即所以的概率为
1． 14 已知 P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.4, P ( AB ) = 0.5, 求 解 因为
A、 B、 C
中至少有一个发生的概率。 解 P ( A B C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) + P ( ABC )
= 1 1 1 1 5 + + − −0−0−0 = 4 4 4 8 8
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1． 8 设 A、 B 是两个事件，且 = P ( A)
0 1 n n 100n ,故样本空间为 n
k = Ω = k 0,1, 2, ,100n . n
(2) 设任取一点的坐标为 ( x , y ) ,则样本空间为
= Ω
{( x , y ) | x
2
+ y 2 ≤ 1}
1.2 设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事 件。 （1）A 发生， B 与 C 不发生。 （2）A，B 都发生，而 C 不发生。 （3）A，B， C 中至少有一个发生 （4）A，B， C 都发生， （5）A，B， C 都不发生， （6）A，B，C 中不多于一个发生，即 A，B，C 中至少有两 个同时不发生 （7）A，B， C 中不多于二个发生。 （8）A，B， C 中至少有二个发生。
习题一
概率论的基本概念
1.1 写出下列随机试验的样本空间 (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数( 设以百分制整数得 分); (2) 在单位圆内任取一点,记录其坐标. 解 (1) 设该小班中共有 n 个人 , 每一个人的分数可取 0,1, 2, ,100, 因此 n 个人分数之和的可能取值为 0,1, 2, ,100n, 所以平均分数的 可能值可取 , , ,
0.6, = P ( B ) 0.7 ，问
（ 1） 在什么条件下 P ( AB ) 取到最大值，最大值为多少？ （ 2）在什么条件下 P ( AB ) 取到最小值，最小值为多少？ 解 （ 1）当 A ⊂ B 时，有 AB = A ，此时， P ( AB ) 为最大，其值为
P (= AB ) P = ( B ) 0.6 。
i = 1, 2, 3 ，分别对应甲、乙、丙三人， C = “飞机被击落”
因为
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P ( B1 ) = 0.4, P ( B2 ) = 0.5, P ( B3 ) = 0.7,
P ( A1 ) = P ( B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 )
= P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) + P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) + P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 )
2 9
= S (0,1] × (0,1] ，样本空间的面积为 1。有利样本点的集
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合为 = A ( x , y ) 0 < x + y ≤ 1, 且0 < x ≤ 为

2 ，所以要求的概率 9
P ( A) =
A的面积 ＝A的面积 （因为 S 的面积等于 1） S的面积
下面求 A 的面积：如图所示，即要求阴影部分的面积。
∴ P ( AB ) = 0.7 − 0.5 = 0.2)
1． 15 袋中有 10 个球，9 个是白球， 1 个是红球， 10 个人依 次从袋中各取一球， 每个人取一球后不再放回袋中， 问第一个人、 第二个人、 。 。 。 。 。 。 、最后一人取得红球的概率是多少？ 解 将袋中的 10 个球编上号，每一个球取到的可能性相同， 因此，总的样本点数为 10! ， 设 Ak 表示第 k 个人摸到红球的这一事 件 (1 ≤ k ≤ 10) ，则
P ( B1 | A2 ) =
18 30
， P ( B1 B2 | A= 1)
10 9 ⋅ 50 49
由全概率公式知
（1）第一次取到一等品的概率为
= P ( B1 ) P ( A1 ) P ( B1 | A1 ) + P ( A2 ) P ( B1 | A2 )
=
1 10 1 18 4 ⋅ + ⋅ = = 0.4 2 50 2 30 10
Ai =
“ 取 出 的 第 i 箱 ”，
i = 1, 2
；
B j = " 第j次从箱中取得的是一等品", j = 1, 2,
因为
P = ( A1 ) P = ( A2 )
1 2
， P ( B1 | A= = 1)
10 50
1 18 17 , P ( B1 B2 | A= ⋅ 2) 5 30 29
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-3-
（ 2） ABC ABC ABC ABC
解 ABC ABC ABC ABC
= ( ABC ABC ) ABC ABC =
=
( ( A A) BC ) ( ( A A) BC ) = ( BC ) ( BC ) (= ( B B)C ) C
（ 2）当 A B = 且有
Ω 时，即 P ( A B )= P (Ω )= 1 时， P ( AB ) 为最小，
P ( AB ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A B )
= 0.6 + 0.7 − 1= 0.3
1． 9 袋中有白球 5 只，黑球 6 只，依次取出三只，求顺序为黑 白黑的概率。
B 中含有的样本点数为 27 个。又
A⊂ B
⇒
P ( AB = ) P( A = )
18 1 = . 36 2 27 3 = 36 4
P( A B = = ) P(B )
P ( AB = ) P ( A − AB = ) P( A − A = ) P (Φ = ) 0
1．12 设有 n 个人， 每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的 任意一间去 ( n < N ) ，求下列事件的概率： （ 1）指定的 n 个房间中各有一个人住； （ 2）恰好有 n 个房间，其中各住一人。 解 总的样本点数为 N n 。 （ 1） 有利样本点数为 n ! ，所以，要求的概率为 P =
1．17 甲乙丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分 别为 0.4, 0.5, 0.7 飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2， 被两人 击中而被击落的概率为 0.6 ，若三人都击中，飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率。 解 设 ， Bi = “飞机被第 i 人击中” ， Ai = “飞机被 i 个人击中”
5 × 45 × 44 CC 2= 99 ≈ 0.253 = P = 3 50 × 49 × 48 392 C 50 3!
1 5 2 45
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1．11 投掷两颗骰子，令 A 为点数的和是奇数的事件，B 为至少 出现一个奇数点的事件，试求 AB, A B ， AB 的概率。 解 总的样本点数为 62 = 36 ， A 中含有的样本点数为 18 个，
1 1 1 解 这是一个古典概型，总的样本点数为 C11 C10 C9
有利样本点数为
1 1 1 C6 C5 C5
1 1 1 C6 C5 C5 6× 5× 5 5 所以要求的概率为 . P = = = 1 1 1 C11C10C 9 11 × 10 × 9 33
1． 10 从一批由 45 件正品， 5 件次品组成的产品中任取 3 件， 求其中恰好有 1 件次品的概率。 解 设所求的概率为 P，则