二维线性变换
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
第2讲 线性变换
第2讲线性变换第2讲线性变换第2讲线性变换第2谈线性变换内容：1.线性变换2.线性变换的矩阵则表示，特征值与特征向量3.线性变换的值域、核及维持不变子空间线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象，线性空间v中自身到自身的一种线性映射称为v的一个线性变换，线性变换研究线性空间中元素之间的最基本联系．介绍线性变换的基本概念并讨论它与矩阵之间的联系．§1线性变换1线性变换t是v到自身v的定义1.1设v是数域p上的线性空间，一个态射，即为对于v中的任一元素x均存有唯一的y∈v与之对应，则表示t为v 的一个转换或算子，记作t(x)=y,表示y为x在转换t下的象，x为y的原象．若态射t 还满足用户:t(kx+ly)=kt(x)+lt(y)，∀x,y∈v,k,l∈p,表示t为v的线性变换．1.1二维实向量空间r=⎨⎨⎨ξi∈r,i=1,2⎨，将其绕原点转动θ角的操作方式就是一个线性变换．证明：x=⎨⎨ξ1⎨⎨η1⎨⎨η1=ξ1cosθ-ξ2sinθy=t(x)=，,⎨⎨⎨η⎨⎨ξ2⎨⎨2⎨⎨η2=ξ1sinθ+ξ2cosθ⎨η1⎨⎨cosθ⎨η2⎨⎨sinθ-sinθ⎨⎨ξ1⎨∈r2。
可见该操作t⎨⎨⎨cosθ⎨⎨ξ2⎨证明其为线性变换．⎨x⎨⎨z⎨⎨kx⎨⎨lz⎨⎨kx+lz1⎨∀x=⎨1⎨,z=⎨1⎨∈r2,k,l∈r,kx+lz=⎨1⎨+⎨1⎨=⎨1⎨，xzkxlzkx+lz2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨⎨2⎨cosθ-sinθ⎨⎨kx1+lz1⎨t(kx+ly)=⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨kx2+lz2⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨x1⎨⎨cosθ-sinθ⎨⎨z1⎨，=k⎨+l⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨sinθcosθ⎨⎨x2⎨⎨sinθcosθ⎨⎨z2⎨=kt(x)+lt(z)所以,t是线性变换．2几种常用的线性变换把线性空间v的任一向量都变成其自身的转换称作单位转换或并集转换，记作te，即为：te(x)=x,把线性空间v中的任一向量都变为零向量的变换称为零变换，记为t0，即t0(x)=0,∀x∈v．如果t1,t2就是v的两个转换，∀x∈v，均存有t1(x)=t2(x)，则表示转换t1与t2成正比，记作t1=t2．4）满秩（线性）变换若（线性）转换t将所有的线性毫无关系元素组仍转换为线性毫无关系的元素组，则称作八十秩（线性）转换．5）变换的和t1+t2，∀x∈v，(t1+t2)(x)=t1(x)+t2(x)，则t=t1+t2．6）变换的数乘kt：∀x∈v，(kt)(x)=kt(x)．7）负变换：(-t)(x)=-t(x)．8）转换的乘积t1t2：∀x∈v，(t1t2)(x)=t1(t2(x))．9）连分数t-1：∀x∈v，若存有转换s使(st)(x)≡x，则表示s为t的连分数s=t-1．10）变换的多项式：tn=ttt，并规定t0=te;f(t)=∑ant→f(t)=∑ant→f(t)(x)=∑antn(x)．说明：变换的乘积不满足交换律；只有满秩变换才有逆变换，st=te．3线性变换的性质1）线性变换把零元素仍变成零元素2）正数元素的象为原来元素的象的负元素3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组．特别注意，线性毫无关系的元素组经过线性变换不一定就是线性并无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关．§2线性变换的矩阵表示、特征值与特征向量非常有限佩线性空间的任一元素（向量）都可以由基元素（向量）唯一线性则表示，元素（向量）可以用座标则表示出，通过座标把线性变换用矩阵则表示出，从而可以把比较抽象化的线性变换转变为具体内容的矩阵去处置．1线性变换的矩阵则表示设t是线性空间vn的一个线性变换，且{x1,x2,,xn}是vn的一个基，x=∑ξixi=[x1，则存在唯一的坐标表示⎨ξ1⎨⎨ξ⎨xn]⎨2⎨,有⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨t(x)=t(ξ1x1+ξ2x2++ξnxn)⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨2=[t(x1)t(x2)t(xn)]⎨⎨=t(x1x2xn)⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξ⎨n⎨⎨ξn⎨要确定线性变换t，只需确定基元素在该变换下的象就可以了．2.1设t(xi)=[x1x2xn]⎨2i⎨，⎨⎨⎨⎨⎨ani⎨⎨a11⎨axn]⎨21⎨⎨⎨an1a12a22an2a1n⎨a2n⎨⎨=[xxx]a，12n⎨t(x1,x2,,xn)=[x1对于任意元素x，在该基下，变换后t(x)的坐标表示为⎨η1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨η⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨t(x)=[x1x2xn]⎨2⎨，即t(x)=t(x1,x2,,xn)⎨2⎨=[x1,x2,,xn]a⎨2⎨,⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ηξ⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨⎨η1⎨可知：⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,即为：x⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨2⎨，t(x)⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,把a称作t⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨{x1,x2,,xn}下的矩阵表示．定理2.1设{x1,x2,,xn}就是vn的一个基为，t1、t2在该基下的矩阵分别为a、b．则存有（1）(t1+t2)[x1（2）(kt1)[x1（3）(t1t2)[x1（4）t-1[x1x2xn]=[x1x2xn](a+b)x2xn]=[x1x2xn](ka)x2xn]=[x1x2xn](ab)x2xn]=[x1x2xn]a-1推断2.1设f(t)=∑aiti为纯量t的m次多项式，t为线性空间vn的一个线性变换，且在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，则f(t)[x1x2xn]=[x1x2xn]f(a)，其中f(a)=∑aiai，推论2.2设线性变换t在vn的基{x1,x2,,xn}下的矩阵表示为a，元素x在该基下的坐标为(ξ1,ξ2,,ξn)，则t(x)在该基⎨η1⎨⎨η⎨下的坐标(η1,η2,,ηn)满足⎨2⎨=⎨⎨⎨⎨⎨ηn⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨．⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨定理2.2设t在vn的两个基为{x1,x2,,xn}及{y1,y2,,yn}的矩阵分别为a和b，且[y1则b=c-1ac.y2yn]=[x1x2xn]c，即a和b相近，记作a~b．线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，那么它们可以看成同一个线性变换在两组不同基下的矩阵．定理2.3n阶方阵a和b相近的充要条件就是a和b为同一线性变换在相同基下的矩阵则表示．2特征值与特征向量定义2.2设t是数域p上线性空间v中的线性变换．如果对于数域p中某一数λ,存在非零向量α，使得t(α)=λα则称λ为t的一个特征值，而α称为t的对应于特征值λ的一个特征向量．式(1)说明，在几何上，特征向量α的方位，经过线性变换后维持维持不变．特征向量不是被特征值惟一确认；但是，特征值却被特征向量惟一确认．设x1,x2,,xn是线性空间vn的基，线性变换t在该基下的矩阵表示是a=(aij)．令λ0是t的特征值，属于λ0的特征向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn,则由式(1)知t(x)及λ0x的坐标分别是⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ1⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨⎨ξ⎨a⎨2⎨,λ0⎨2⎨，有a⎨2⎨=λ0⎨2⎨，即⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨ξξξ⎨n⎨⎨n⎨⎨n⎨⎨ξn⎨(λ0e-a)⎨2⎨=0,（2）⎨⎨⎨⎨⎨ξn⎨由于x≠0，因此，ξ1,ξ2,,ξn不全系列为零，从而就存有det(λ0e-a)=-a21-an1-a12-an2-a1n-a2n定义2.3设a=(aij)是数域p上的n阶矩阵，λ是参数，称-a12-an2det(λe-a)=为矩阵的特征多项式．它是p上的一个n次多项式．ϕ(λ)的根(或零点)λ0，即ϕ(λ)=0，称作a的特征值(根)；而适当于方程组（2）的非零解向量(ξ1,ξ2,,ξn)t称为a的属于特征值λ0的特征向量．表明：如果λ0就是线性变换的特征值，那么λ0必定就是矩阵a的特征多项式ϕ(λ)=det(λe-a)的一个根；反之，如果λ0就是ϕ(λ)在数域p中的一个根，即为存有ϕ(λ0)=det(λ0e-a)=0,那么齐次线性方程组（2）就存有非零求解．于是非零向量x=ξ1x1+ξ2x2++ξnxn就满足用户式(1)，从而λ0就是t的特征值，所x就是t的属λ0的特征向量．以，欲求线性变换t的特征值和特征向量，只要求出t的矩阵a的特征值和特征向量就行了．换言之，t的特征值与a的特征值相一致，而t的特征向量在vn的基下的坐标(列向量)与a的特征向量相一致．因此，计算特征值和特征向量的步骤如下：第一步：挑定数域p上的线性空间vn的一个基为，写下线性变换t在该基下的矩阵a；第二步：算出a的特征多项式ϕ(λ)在数域p上的全部根，它们就是t的全部特征值；第三步：把求出的特征值逐个代入方程组(2)，求解出来矩阵a属每个特征值的全部线性毫无关系的特征向量．第四步：以a的属每个特征值的特征向量为vn中德博瓦桑县基下的座标，即为得t的适当特征向量．例2.1设线性变换t在v3的基x1,x2,x3下的矩阵是a=212⎨，谋t的特征值和特征向量．求解难求出a的特征多项式就是-2=(λ+1)(λ-5).ϕ(λ)=det(λe-a)=-2因此，t的特征值是λ1=一1(二重特征值)和λ2=5．特征方程(λ1e-a)x=0的一个基础解系为:(1,0,-1)t，(0,1,-1)t,t的属于λ1的t的属λ1的两个线性毫无关系的特征向量为y1=x1-x3，y2=x2-x3，全体特征向量为:k1y1+k2y2,(k1,k2∈p不同时为零)；特征方程(λ2e-a)x=0的一个基础卢播为(1,1,1)t，记y3=x1+x2+x3，则t的属于λ2的全体特征向量为：k3y3，(k3∈p不等于零)．定理2.4对于线性空间vn的线性变换t的任一特征值的属于λ0的全部特征向量，再添上零向量所构成的集={x(x)=λ0x,x∈vn}就是vn的一个线性子空间．事实上，设x,y∈vλ，则有t(x)=λ0x，t(y)=λ0y；于是：t(x+y)=t(x)+t(y)=λ0x+λ0y=λ0(x+y)，t(kx)=k(tx)=k(λ0x)=λ0(kx)，这就是说明x+y与kx均属于vλ．§3线性变换的值域、核及维持不变子空间1线性变换的值域和核定义3.1设数域p上的线性空间vn和vm，t是vn到vm的一个线性态射，t的全体像是共同组成的子集称作t的值域，用r(t)表示，也称为t的像是空间，记作tvn，即为r(t)=tvn=t(α)∈vn⊂vm；所有被t变为零元素（零向量）的元素（向量）形成的子集称作t的核，记作ker(t)或t-1(0)，有时也表示ker(t)为t的零空间，记作n(t)，即为n(t)=ker(t)=α(α)=0,α∈vn⊂vn．当t就是线性变换时，表示r(t)和n(t)分别为线性变换t的值域和核．可以证明，r(t)和n(t)分别是vm和vn的线性子空间．定义3.2称r(t)的维数dimr(t)为线性变换t的秩，记为r(t)；表示n(t)null(t)．的维数dimn(t)称为线性变换t的零度，记为⎨110⎨⎨3.1设t(x)=ax,a=110⎨，求t解令a={a1,a2,a3},x=(x1,x2,x3)t，其中a1=(1,1,0);a3=(0,0,1)r(t)={x1a1+x2a2+x3a3}=span(a1,a3)，ax=0的x=(1,-1,0)t=kα，故n(t)=span{α}.2线性变换的不变子空间定义3.3如果t就是线性空间v的线性变换，v1就是v的子空间，并且对于任一一个x∈v1，都存有t(x)∈v1，则表示v1就是t的维持不变子空间．定义3.4以cm表示全体m维复向量在复数域c上构成的线性空间，a为m⨯n复矩阵，其列(向量)为α1,α2,,αn．显然，αi∈cm，i=1,2,,n．子空间span(α1,α2,,αn)称为矩阵a的列空间(值域)，记作r(a)，即r(a)=s pan(α1,α2,,αn)．a=(α1,α2,,αn)y=(y1,y2,,yn)∈cnr(a)=ayy∈cn似乎，a的秩等同于a的值域的维数，即rank(a)=dimr(a)．定义3.5设a为m⨯n为丛藓科扭口藓矩阵，表示线性方程组ax=0在复数域上的求解空间为n(a)={xax=0}.的化零空间(核)，记作n(a)，即为显然，n(a)是cn的一个子空间，称n(a)的维数为a的零度，即null(a)=dimn(a).定理3.1（1）dimr(t)+dimn(t)=dimvn（2）dimr(a)=rank(a)（3）dimr(a)+dimn(a)=n，n为a的列数．基准3.2设a=⎨⎨⎨,求null(a)．1-13⎨⎨求解由ax=0Champsaurx=k(-5,1,2)t，故null(a)=1．定理3.2设a为m⨯n矩阵，则rank(a)+null(a)=n．证明因为齐次线性方程组ax=0的求解空间的维数(基础卢播涵盖的线性毫无关系向量的个数)为n-rank(a)，故上式设立．下面给出怎样利用不变子空间的概念将线性变换的矩阵简化为简单的准对角矩阵或对角矩阵．假设s={α1,α2,,αk}就是t的维持不变子空间w的一个基为，可以将s扩充为v的一个基s={α1,α2,,αk,αk+1,,αn}．t是v上的一个线性转换．对s中的每个基为向量αj,t(αj)∈w，可以则表示成t(α1)=a11α1++ak1αkt(αk)=a1kkα1++akkαkt(αk+1)=a1k+1α1++akk+1αk+ak+1k+1αk+1++ank+1αnt(αn)=a1nα1++aknαk+ak+1nαk+1++annαn⎨a11⎨⎨⎨ak1线性变换t在基s下的矩阵就是a=⎨⎨0⎨⎨⎨⎨0a可以分块译成a=0a12⎨⎨.a22⎨⎨akk+1ak+1k+1ank+1⎨，ak+1n⎨⎨⎨ann⎨⎨定理3.3如果v1⊕v2=v，并且v1，v2就是t的两个维持不变子空间，即t(v1)⊆v1，t(v2)⊆v2．则线性变换t的矩阵为依据对角形0⎨⎨.⎨a22⎨特别地，若所有vi都就是一维子空间时，则矩阵a精简为对角矩阵a=diag(a1,a2,,an)=⎨⎨⎨.⎨⎨an⎨⎨定理3.4设t是线性空间vn的线性变换,λ1,λ2,,λn是t的全部不同的特征值,则t在某一基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件是dimvλ1+dimvλ2++dimvλn=n.可知，线性变换t的矩阵简化为一个准对角矩阵(或对角矩阵)与线性空间vn可分解为若干个不变子空间的直和是相当的．。
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
仿射变换与透视变换
仿射变换与透视变换1. 仿射变换1) 用途旋转 (线性变换)，平移 (向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转2) 方法仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。
任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量(平移)的形式．公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3。
3) 举例a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为：[ cos(theta), -sin(theta), 0 ],[ sin(theta), cos(theta), 0 ]则x’= x * cos(theta) - sin(theta) * yy’= x * sin(theta) + cos(theta) * yb) 平移，2x3矩阵为[1,0,tx],[0,1,ty]则x’= x * 1 + y * 0 + tx = x + txy’= x * 0 + y * 1 + ty = y + ty4) 图形变换样式2. 透视变换（投影变换）1) 用途将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接．2) 方法透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维到三维再到另一个二维空间的映射。
相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换。
以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Ｚ轴的值，转换成二维中的点。
线性变换在二维空间和三维空间中的应用
线性变换在二维空间和三维空间中的应用1、二维图形的几何变换二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡edba可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡fc是对图形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。
1.1 平移变换1.2缩放变换1.3旋转变换在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转θ角的变换形式如下：θ取正值，顺时针旋转θ取负值。
逆时针旋转1.4对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。
例如：当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。
A. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。
B. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。
C. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。
D. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。
1.5错切变换A. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。
B. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。
1.6复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。
复合变换有如下的性质：A. 复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：B. 复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：C. 复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。
线性变换与二阶矩阵PPT课件
二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。
线性变换的矩阵表示与相似矩阵
线性变换的矩阵表示与相似矩阵线性代数是数学中一个重要的分支，研究向量空间和线性变换的性质以及相应的代数结构。
在线性代数中，线性变换是其中一个重要的概念，它可以用矩阵表示，并且与相似矩阵有着密切的关系。
一、线性变换的矩阵表示线性变换是指保持向量空间中的线性结构不变的变换。
在二维或三维向量空间中，线性变换可以用一个矩阵来表示。
以二维向量空间为例，设有向量v=(v₁, v₂)，线性变换v将其映射为向量v=(v₁, v₂)，则可以使用矩阵v来表示v的线性变换，即：[v₁] [v₁₁, v₁₂] [v₁][v₂] = [v₂₁, v₂₂] × [v₂]其中，矩阵v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]表示线性变换v的矩阵表示。
这种矩阵表示的好处在于可以简化线性变换的计算，尤其是在高维向量空间中。
二、相似矩阵的定义相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
设有两个v×v矩阵v和v，如果存在一个可逆矩阵v使得v=v⁻¹vv成立，则称矩阵v和v相似，矩阵v称为相似变换矩阵。
三、线性变换的矩阵表示与相似矩阵的联系线性变换的矩阵表示与相似矩阵有着密切的联系。
以二维向量空间为例，设有一个线性变换v的矩阵表示为v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，我们希望找到一个矩阵v使得v=v⁻¹vv中的矩阵v与v相似。
根据相似矩阵的定义，我们可以得到v=v⁻¹vv的形式。
对于二维向量空间来说，v为一个2×2的可逆矩阵，假设v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]，则v可表示为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]若要使得v=v⁻¹vv成立，只需令v⁻¹=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]即可。
则v的形式为：[v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂]通过矩阵相乘的运算可以得到：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] × [v₂₁, v₂₂]由此可以得到v=[v₁₁, v₁₂; v₂₁, v₂₂]与v=[v₁₁, v₁₂;v₂₁, v₂₂]相似的条件为：[v₁₁, v₁₂] [v₁₁, v₁₂][v₂₁, v₂₂] = [v₂₁, v₂₂]也就是说，要使得两个矩阵相似，只需保证其对应位置上的元素相等即可。
7线性变换的定义.
x cos sin x
y
sin
cos
y
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一 个线性变换
设 是几何空间中一固定非零向量， 把每个向量 变到 它在 上的 内射影的 变换也是一个线性变换，以 表示 它.用 公式表示就是
这是一个线性变换，称为由数 k 决定 的数乘变换，可用K表示.显然当k 时1， 便得恒等变换，当 k时 ，0 便得零
变换.
二、线性变换的简单性质 设A是的线性变换，则
A (0)=0, A ( )=-A ( ).
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换 句话说，如果 是1,2, ,r的线性组合：
k11 k22 krr
那么经过线性变换A之后，A ( )是A (1), A (2 ),…, A (r)同样的线性组合. A( )=A(1)+A(2)+…+ A (r )
线性变换把线性相关的向量组变成 线性相关的向量组.但线性变换把线 性无关的向量组可能变成线性相关 的向量组.例如零变换就是如此.
定义中等式所表示的性质，有时 也说成线性变换保持向量的加法 与数量乘法
平面上的向量构成实数域上的二维线性
空间.把平面围绕坐标原点按反时钟方向 旋转 角，就是一个线性变换，用ℐ 表示. 如果平面上一个向量 在直角坐标系下的
坐标是 (x, y) ，那么像ℐ ( )的坐标 (x, y)，源自()
(, ) (, )
这里( , ), ( , ) 表示内积.
线性空间V中的恒等变换或称单位变 换E，即
E () ( V ) 以及零变换ℴ，即
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
旋转矩阵和平移矩阵点变换
旋转矩阵和平移矩阵点变换旋转矩阵和平移矩阵是二维和三维空间中常用的线性变换矩阵。
它们可以用来描述图像在空间中的旋转、平移和缩放等等变换。
旋转矩阵通常用来描述图像绕某个固定点或者固定轴的旋转变换，而平移矩阵则用来描述图像在空间中的平移变换。
在计算机图形学中，我们通常将这些变换用矩阵的形式来表示，以便进行计算和处理。
首先让我们来看看二维空间中的旋转矩阵。
假设我们有一个二维坐标系，其中的一个点P(x,y)需要进行旋转变换，那么旋转后的点P'(x',y')可以通过以下的公式来计算：x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)其中θ表示旋转的角度。
上面的公式可以通过一个旋转矩阵来表示：R = |cos(θ) -sin(θ)||sin(θ) cos(θ)|我们可以将点P表示成一个列向量[Px,Py]，旋转矩阵R表示成一个2x2的矩阵，那么旋转后的点P'可以通过以下公式来计算：P' = R * P同样的，我们也可以用矩阵的形式来表示平移变换。
假设我们有一个二维坐标系，一个点P(x,y)需要进行平移变换，平移向量为T(tx,ty)，那么平移后的点P'(x',y')可以通过以下的公式来计算：x' = x + txy' = y + ty同样的，上面的公式也可以通过一个平移矩阵来表示：T = |1 0 tx||0 1 ty||0 0 1|我们可以将点P表示成一个列向量[Px,Py,1]，平移矩阵T表示成一个3x3的矩阵，那么平移后的点P'可以通过以下公式来计算：P' = T * P以上就是二维空间中的旋转矩阵和平移矩阵的基本概念和应用。
下面我们来看看三维空间中的旋转矩阵和平移矩阵。
三维空间中的旋转矩阵和平移矩阵与二维空间中的类似，不同的是它们需要用3x3的矩阵来表示。
数学中的线性代数理论解析
数学中的线性代数理论解析线性代数是众多高数分支中的一门重要的学科，研究的是线性空间和线性变换的相互关系。
线性代数广泛应用于工程、计算机科学、物理科学和社会科学等领域。
其中最具代表性的便是线性方程组求解和矩阵理论，而线性代数中的核心是线性变换和线性空间理论。
一、线性变换理论线性变换是指一种把一个向量空间变为另一个向量空间的变换。
换言之，线性变换是把一个向量变为另一个向量的一种变换方式。
在向量空间中，线性函数等价于线性变换，这意味着一维线性函数相当于一维线性变换，二维线性函数相当于二维线性变换。
举例来说，二维向量空间可以表示平面中所有向量的集合。
那么，一个二维空间上的线性变换就是将平面上的向量转换为平面上的另一个向量。
在线性变换理论中，矩阵的出现是必不可少的。
对于一个线性变换，它可以表示为一个矩阵。
通过矩阵的运算规则，我们可以快速地实现线性变换。
二、线性空间理论线性空间是指具有向量加法和标量乘法两种运算的向量集合。
向量空间通常表示为V。
在线性空间理论中，我们可以使用矢量作为一种有效的工具来描述向量的性质和变换。
向量可以用矩阵的形式表示，同样，标量也可以用一个单一的数字或矩阵来表示。
线性空间理论与线性变换理论的不同在于，线性变换理论研究的是向量空间之间的变换，而线性空间理论则研究的是向量本身的性质和特征。
在实际应用中，我们常常需要将一些向量投射到其他向量的方向上，以便更好地分析它们的性质。
从另一个角度来说，向量投影也有助于我们将结构复杂的向量集合转换为易于处理的向量组合。
三、总结线性代数理论是现代数学中应用广泛的一个重要分支。
它通过研究线性变换和线性空间的相互关系，为气象、电子、物理学、计算机科学等领域的研究提供了重要的支持。
尽管线性代数的核心仍是矩阵论和线性方程组求解，但对于理解线性变换和线性空间概念来说，掌握其基本理论非常重要。
通过对线性代数的深入学习，我们不仅可以更好地理解各种在实际应用中出现的数学问题，还能在视觉化以及高效实现等方面提高自己的技能水平。
线性变换的多项式
事实上， , V , m P,
K k( ) k k K K , K m km mk mK .
例1. V R2(实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用T 表示，即
线性相关，1,2 ,L ,r未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
√ 1．在 R3中， x1, x2 , x3 (2x1, x2, x2 x3 ).
2．在 P[ x]n中， f ( x) f 2( x).
(２)．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换
（3）交换律一般不成立，即一般地，
.
例1. 线性空间 R[x]中，线性变换
D f x f x
J
f
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
0
f
t
dt
DJ f x D
x
0
f t dt
f x,
即 DJ E.
而，
JD
f
x
J
f x
1、 线性变换的乘积 (1)．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ),
( )(k ) ( (k )) (k ( )) k ( ( )) k( )( )
: R3 R3,
a
( , ) , ( , )
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
二维图形变换原理及齐次坐标
⼆维图形变换原理及齐次坐标⼆维图形变换通过学习【向量分析】和【图形变换】，可以设计出⼀些⽅法来描述我们所遇见的各种⼏何对象，并学会如何把这些⼏何⽅法转换成数字。
⼀、向量从⼏何⾓度看，向量是具有长度和⽅向的实体，但是没有位置。
⽽点是只有位置，没有长度和⽅向。
在⼏何中把向量看成从⼀个点到另⼀个点的位移。
1、向量的基本知识（1）向量的表⽰从P点到Q点的位移⽤向量v=(3,-2)表⽰。
v是从点P到点Q的向量，两个点的差是⼀个向量：v=Q-P换个⾓度，可以说点Q是由点P平移向量v得到的，或者说v偏移P得到Q：Q=P+v（2）向量的基本运算向量的加(减)法可以采⽤“平⾏四边形法则”（3）向量线性组合m个向量v1,v2,...,v m的线性组合具有如下形式的向量：w=a1v1+a2v2+...+a n v n1>仿射组合线性组合的[系数的和等于1]，那么它就是仿射组合a1+a2+...+a m=12>向量的凸组合a1+a2+...+a m=1，[a i>=0（i=1,2,...,m）]2、向量的点积和叉积【点积得到⼀个标量，叉积产⽣⼀个新的向量。
】（1）向量的点积a=(a1,a2) b=(b1,b2)点积最重要的应⽤就是计算两个向量的夹⾓，或者两条直线的夹⾓：可知，两个⾮零向量夹⾓与点积的关系：（2）向量的叉积两个向量的叉积是另⼀个三维向量。
【叉积只对三维向量有意义】最常⽤的属性是【它与原来的两个向量都正交】【利⽤叉积求平⾯的法向量】垂直于平⾯的直线所表⽰的向量为该平⾯的法向量。
⼆、图形坐标系坐标系是建⽴图形与数之间对应联系的参考系1、坐标系的分类从维度上看，可分为⼀维、⼆维、三维坐标系。
从坐标轴之间的空间关系来看，可分为直⾓坐标系、极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系等。
在计算机图形学中，从物体（场景）的建模，到在不同显⽰设备上显⽰、处理图形时同样使⽤⼀系列的坐标系2、计算机图形学中坐标系的分类（1）世界坐标系描述对象的空间被称为世界坐标系，即场景中物体在实际世界中的坐标。
线性代数与二维空间变换的几何解释
线性代数与二维空间变换的几何解释线性代数是数学中的一个重要分支，它研究线性方程组、向量空间、线性变换以及向量的内积和外积等。
而二维空间变换是指将二维平面上的点在平面内进行旋转、平移、缩放或者剪切等操作。
线性代数与二维空间变换有着紧密的联系，线性代数提供了一种数学工具，可以用来对二维空间变换进行几何解释。
在二维空间中，我们可以用向量表示点，并用矩阵表示线性变换。
首先，让我们来看一下二维向量空间的基本概念。
在二维平面上，一个点可以用有序对 (x, y) 表示，其中 x 是点在 x 轴上的坐标，y 是点在 y 轴上的坐标。
我们可以将一个点表示为一个二维向量，即 v = [x, y]。
接下来，我们来介绍矩阵的概念。
在二维空间中，一个线性变换可以用一个2x2 的矩阵表示。
矩阵中的每一列代表了变换后的基向量。
对于一个向量 v = [x, y]，它经过矩阵 A 变换后的向量可以表示为 Av。
这个变换可以表示为 Av = [a, b]，其中 a 和 b 分别是向量 Av 在新的坐标系下的坐标。
在二维空间变换中，有几个常见的线性变换，它们分别是平移、旋转和缩放。
首先，我们来看平移变换。
平移变换是在平面内将所有的点都沿着一个方向移动相同的距离。
假设向量 v 表示一个点在平面上的位置，平移变换可以表示为 Av= [x + a, y + b]，其中 a 和 b 是平移的距离。
具体而言，如果我们要将一个点移动到另一个位置，可以用平移变换来完成。
接下来是旋转变换。
旋转变换是将平面内的点按照中心点进行旋转。
旋转变换可以表示为Av = [x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ]，其中θ 是旋转的角度。
通过旋转变换，我们可以将一个点绕着中心点旋转到不同的位置，改变它相对于中心点的方向。
最后是缩放变换。
缩放变换是将平面内的点按照一个比例因子在水平和垂直方向上进行拉伸或收缩。
缩放变换可以表示为 Av = [a * x, b * y]，其中 a 和 b 分别是水平和垂直方向上的比例因子。
向量的线性变换和矩阵表示
向量的线性变换和矩阵表示在数学中，向量是一种有向线段,可以表示为一个有限组数$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\\end{bmatrix}$。
向量的线性变换是指将一个向量变换为另一个向量的操作,变换后的向量可表示为原向量对应的新矩阵。
因此，我们需要学习并理解向量和矩阵的相关知识。
向量的表示方式向量的表示方法有两种，分别是行向量和列向量。
对于n维向量，行向量是一行n个数的有限数组，列向量是一个n行1列的有限数组。
下面分别为行向量和列向量的表示方法。
1. 行向量$\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \cdots \ x_n\\\end{bmatrix}$2. 列向量$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\\end{bmatrix}$向量的运算在学习向量的线性变换之前，我们需要先了解向量的基本运算。
1. 向量的加法两个同维数的向量相加，等于把它们分别对应位置相加。
$\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\x_n+y_n\\\end{bmatrix}$2. 向量的数乘一个向量和一个标量相乘，等于该向量中的每个分量都乘以该标量。
$k\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} kx_1\\ kx_2\\ \vdots\\ kx_n\\\end{bmatrix}$3. 向量的点积两个同维数的向量之间的点积是指每个分量相乘后再求和。
第二讲 二维坐标变换
2015/5/24
4
2.2 直接参数法
注意：计算上述方位角时需 判断象限，根据坐标差的正、 负值
2015/5/24 5
2.2 直接参数法
则其它点 的坐标 转换公式为：
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6
2.2 直接参数法
写成一般式为：
xi x1 cos sin X1 cos sin X i y y (1 m) sin cos Y (1 m) sin cos Y 1 i i 1
求解未知数的近似值 列误差方程式 （求B、L）
பைடு நூலகம்
求解未知数改正数
近似值加上 未知数改正数 否
改正数 小于给定的限值 是 求解得未知数结束
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12
2.3二维坐标变换的最小二乘解法
二维坐标转换的线性模型
X DX (1 m) (cos x sin y) Y DY (1 m) ( sin x cos y ) X DX (1 m) cos x (1 m)sin y Y DY (1 m) sin x (1 m) cos y
加到初值上形成新的初值重复上述步骤重新解算直到未知数的改正数趋近与零结束迭201552411dddddmdddddm23二维坐标变换的最小二乘解法程序框图201552412求解未知数的近似值列误差方程式求解未知数改正数近似值加上未知数改正数改正数小于给定的限值求解得未知数结束23二维坐标变换的最小二乘解法二维坐标转换的线性模型相似变换还可用附件限制条件平差方法计算201552413cossinsincos23二维坐标变换的最小二乘解法试算数据2015524141编写二维坐标转换函数已知转换参数
7线性变换的定义.
这里( , ),( , ) 表示内积.
线性空间V中的恒等变换或称单位变 换E，即 E ( ) ( V ) 以及零变换ℴ，即 ℴ ( ) 0 ( V ) 都是线性变换.
设V是数域P上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义的变换如下： k , V 这是一个线性变换，称为由数 k 决定 1 的数乘变换，可用K表示.显然当 k 时， 便得恒等变换，当 k 时，便得零 0 变换.
二、线性变换的简单性质
设A是的线性变换，则
A (0)=0, A ( )=-A ( ). 线性变换保持线性组合与线性关系式不变.换 句话说，如果 是1 , 2 , , r的线性组合：
krr 那么经过线性变换A之后，A ( )是A (1),
k11 k22
x cos y sin sin x cos y
来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一 个线性变换
设 是几何空间中一固定非零向量， 把每个向量 变到它在 上的内射影的 变换也是一个线性变换，以 表示它 .用 公式表示就是
一、线性变换的定义
Definition 1
线性空间的一个变换A称为线性 变换，如果对于中任意的元素和数域 中任意数，都有 A ( )=A ( )+A ( ); A ( k ) =k A( ). 一般用花体拉丁字母A，B，…表示 的线性变换，A ( )或A 代表元素 在变换A下的像. 定义中等式所表示的性质，有时 也说成线性变换保持向量的加法 与数量乘法
A ( 2 ),…, A ( r)同样的线性组合. A( )=A(1)+A( 2)+…+ A ( r )
线性代数的本质（EssenseofLinearAlgebra）——3Blue1Brown
线性代数的本质（EssenseofLinearAlgebra ）——3Blue1Brown⼀、向量是什么物理专业：向量是空间中的箭头，由长度和⽅向决定计算机专业：向量是有序的数字列表数学家：向量可以是任何东西，只要保证向量相加、数字与向量的相乘有意义即可（1）当在坐标系下以有序多元数组的形式表⽰向量时，不同位置上的数字代表在相应坐标轴上的投影长度（2）当把向量视作⼀种运动时，向量加法可以视为依次进⾏各个运动，即向量的⾸尾相连，反映到数值上，就是对应数值项的相加（3）从⼏何⾓度看，向量数乘就是向量的缩放，反映到数值上，就是各个数值项都乘以标量（4）线性代数的两种基本运算：向量加法和向量数乘⼆、线性组合、张成的空间、基（1）向量：基向量根据坐标值进⾏缩放并相加的结果 //⽤数字描述向量时，都依赖于当前采⽤的基（2）线性组合（数乘和加法）：两个数乘向量的和（⼆维） a →v +b →w //缩放再相加注：线性的⼀种解释——当固定其中⼀个标量a 时，让另⼀个标量b ⾃由变化时，组合向量的终点会形成⼀条直线（3）向量张成的空间：给定向量所有线性组合向量的集合（4）线性相关：存在某向量可以表⽰为其他向量的线性组合 →u =a →v +b →w ，即此向量落在其他向量张成的空间中，可以移除⽽不减⼩张成的空间（5）线性⽆关：所有向量都给张成的空间添加新的维度（6）基：向量空间的⼀组基是张成该空间的⼀个线性⽆关向量集三、矩阵与线性变换（1）变换与函数类似，接收输⼊，⽣成输出，变换隐含可以⽤运动的思想进⾏理解注：此处变换接收⼀个向量，并输出⼀个向量，可以视为将输⼊向量移动到输出向量（2）线性变换的特殊之处：变换保持⽹格线平⾏且等距分布所有直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲原点位置必须保持固定（3）线性变换只需要记录基向量ˆi =10 和 ˆj =01 变换后的位置 注：线性变换由它对空间基向量的作⽤完全决定（4）重要推论：因为线性变换⽹格线平⾏且等距分布，所以变换前后向量关于基向量的线性组合保持不变！假设原始向量为xy ,当基向量ˆi =10和 ˆj =01变为ˆi =1−2和 ˆj =30时，原始向量变为：x y→x1−2+y30=1x +3y −2x +0y=13−2x y可以看出，⼆维线性变换仅由四个数字完全确定，⽽这四个数字对应于基向量变换后的坐标因此，可以看出矩阵就是对线性变换的⼀种描述，其中不同列表⽰不同基向量变换后的结果；矩阵的乘法视为变换后基向量的线性组合 //矩阵向量乘法⽤于计算线性变换作⽤于给定向量的结果ab cdx y=xac +yb d=a x +b yc x +d y注：矩阵代表对空间的⼀种特定线性变换四、 矩阵乘法与线性变换复合（1）矩阵乘法的⼏何意义：两个线性变换相继作⽤的合成 //独⽴变换的“复合变换”[][][][][][][][][][][][][][][][][][]（2）追踪基向量的变化：ab cde fgh=ae +bg af +bh ce +dgcf +dh基向量ˆi =10→e g →a b c d e g =ae +bg ce +dg 基向量ˆj =01→f h →a b cdf h =af +bh cf +dh（3）矩阵乘法不符合交换律，但满⾜结合律附注1——三维空间中的线性变换：追踪三维基向量的变化 //三维⽅阵五、⾏列式：线性变换改变⾯积的⽐例 //三维为体积的缩放（1）含义（绝对值）给定区域⾯积增⼤或减⼩的⽐例 空间拉伸或挤压的程度单位正⽅形的⾯积变化⽐例（2）矩阵⾏列式为0：对应变换将空间压缩到更低的维度 //列线性相关（3）⾏列式的正负号：对空间定向orientation 的改变，定向发⽣改变则为负注：可根据基向量ˆi 和ˆj 进⾏考虑，ˆj 位于ˆi 左侧为正，ˆj 位于ˆi 右侧为负三维空间的定向：右⼿法则；如果变换后不符合右⼿法则，符合左⼿法则，则⾏列式为负（4）计算⾏列式：detab cd =ad −bc //⼆维⽅阵六、逆矩阵、列空间与零空间（1）求解常系数线性⽅程组 A →x =→v2x +5y +3z =−34x +0y +8z =01x +3y +0z =2→25340813xy z=−302⽅程A →x =→v 的⼏何含义：寻找向量→x ，使得其经过变换A 后得到向量→v （2）⾏列式det (A )≠0时 //唯⼀解有且仅有⼀个向量满⾜该变换→x =A −1→v此时存在逆变换A −1，满⾜A −1A =I （恒等变换）[][][][][][][][][][][][][]([])[][][]（3）⾏列式det(A)=0时有解的条件：向量→v位于变换后的低维空间内 //列空间（4）列空间：变换后的基向量（矩阵的列）所能张成的空间A→x //解决“何时存在解”⼀定包含零向量（5）秩rank：变换后的空间的维数 //列空间的维数满秩full rank：秩与列数相等；列空间的维数与输⼊空间的维数相等对于满秩矩阵⽽⾔，只有零向量在变换后仍落在原点处对于⾮满秩矩阵，存在多个向量变换后落在原点（6）矩阵的零空间（核kernel）：变换后落在原点的向量→x集合，即满⾜A→x=→0 //解决“解是什么样的”附注2——⾮⽅阵（1）m×n矩阵：将n维向量变换为m维向量 //m≠n时，基向量的维度发⽣变化（2）矩阵的列数表明基向量的个数（输⼊空间的维数），矩阵的⾏数表明变换后输出空间的维数七、点积与对偶性 //点积：⾼维输⼊，⼀维输出（1）→v⋅→w标准定义：同维向量对应坐标项相乘后，求和（2）→v⋅→w⼏何解释：→v在→w⽅向上的投影长度和→w长度的乘积 //同向为正，反向为负，垂直为0注：投影的对称性——点积的结果与顺序⽆关→v→w=→w→v（3）实现“⾼维输⼊，⼀维输出”的线性变换需要满⾜的直观条件：⼀系列等距分布于⼀条直线上的点，应⽤线性变换后，会保持这些点的等距分布特性；若⼲输出不是等距分布，则变换不是线性的注：⼀维⾏向量可以视为⾼维空间向⼀维空间的变换矩阵，每个元素可以看作基向量的变换结果，如21点积与变换的关联：向量与变换之间的关系（直⽴和放倒）投影矩阵projection matrix：⼆维向量到数的线性变换 //空间任意向量经过投影变换的结果为投影矩阵与向量相乘[] 如图所⽰，ˆi和ˆj在单位向量ˆu上的投影值，分别为u x和u y（投影变换矩阵的值）；则投影变换与点积的关系如下：注：任何时候看到⼀个输出空间为⼀维数轴的线性变换，空间中会存在唯⼀的向量v与之相关，所以应⽤变换和与向量v做点积是⼀样的（对偶性duality）向量⇔对应的线性变换 //向量是线性变换的物质载体多维空间到⼀维空间的线性变换⇔多维空间的某个特定向量 //应⽤线性变换和与这个向量点乘等价总结：点积是理解投影的有利⼏何⼯具，并便于检验两个向量的指向是否相同两个向量点乘：将其中⼀个向量转换为线性变换⼋、叉积1. 标准介绍（1）⼆维叉积（等价于⾏列式）：→v×→w = 构成的平⾏四边形的⾯积 * ⽅向（→v在→w右侧为正，否则为负） //乘积顺序有影响注：判断⽅向的⽅法，记住横轴单位向量ˆi与纵轴单位向量ˆj的叉积ˆi׈j为正 //基向量的顺序就是定向的基础⾯积的求法：将向量作为列构成矩阵（与将ˆi和ˆj分别移⾄→v和→w的线性变换相对应），矩阵⾏列式的绝对值即为⾯积 //作为⾏也可以，因为转置不改变⾏列式的值（2）三维叉积：通过两个三维向量⽣成⼀个新的三维向量→v×→w=→p⽣成的三维向量：长度为平⾏四边形的⾯积，⽅向垂直于平⾏四边形，且符合右⼿法则2. 以线性变换的眼光看叉积（1）线性变换和对偶向量（2）理解叉积的计算公式和⼏何含义之间的关系定义三维空间到数轴的函数：输⼊任意向量(x,y,z)计算与→v和→w确定的平⾏六⾯体的体积（考虑⽅向） 注：根据⾏列式的性质可以证明该函数是线性的寻找对偶向量→p：线性变换⇒矩阵乘法⇒向量点积 注：寻找向量→p，满⾜与向量(x,y,z)点乘时，所得结果为右侧3×3矩阵的⾏列式⇓ 注：计算公式⾓度向量→p点积的⼏何意义：六边体体积计算两种思考⽅式：1. 线性函数对于给定向量的作⽤为：将向量投影到垂直于→v和→w的直线上，然后将投影长度与→v和→w张成的平⾏四边形的⾯积相乘 //对⾏列式的解释2. 等价于：垂直于→v和→w且长度为平⾏四边形⾯积的向量与向量(x,y,z)进⾏点乘 //对对偶向量点乘的解释 注：⼏何意义⾓度九、基变换（1）不同基向量（坐标系）下的坐标表⽰注：当坐标均为−12时，基向量的不同会引起在同⼀坐标系进⾏表⽰时的坐标变化（2）基变换：矩阵代表基向量的变换（3）基变换图⽰基变换矩阵（描述基变量的变化）正变换[]逆变换（4）如何利⽤标准坐标系描述新基下的线性变换注：先将新基下的向量转化为标准坐标系表⽰——>在标准坐标系下进⾏变换——>将坐标重新变换回新基下的坐标注：表达式A−1MA暗⽰了⼀种数学上的转移作⽤，中间的矩阵M代表了⼀种标准坐标系下的常见变换，外侧的两个矩阵则代表着不同坐标系的视⾓转化（转移作⽤），相应的矩阵乘积结果仍然代表着同⼀个变换，但是从其他⼈（新坐标系）的⾓度来看的⼗、特征向量与特征值（1）特征向量：矩阵变换对它的作⽤仅仅是拉伸或者压缩，如同⼀个标量 //特征向量留在⾃⾝张成的空间⾥（留在直线上，不发⽣旋转）（2）特征值：衡量特征向量在变换中拉伸或者压缩⽐例的因⼦（3）对于三维旋转⽽⾔，旋转矩阵的特征向量代表了该旋转的旋转轴（不发⽣变化） //旋转矩阵的特征值为1（保持向量长度不变）（4）理解线性变换作⽤的两种⽅式将矩阵列视为变换后的基向量 //依赖于所选特定坐标系利⽤特征向量和特征值 //不依赖于坐标系（5）求解特征向量、特征值注：当且仅当矩阵A −λI 代表的变换将空间压缩到更低的维度时，才会存在⾮零向量→v ，使得和矩阵的乘积为零，也就是矩阵的⾏列式需要为零（6）⼆维线性变换不⼀定有特征向量：如逆时针旋转90度0−11使得每个向量都发⽣旋转（离开其张成的空间），此时求解⾏列式为零得不到实数解，表明没有特征向量注：与虚数i 相乘在复平⾯中表现为90度旋转（与i 是上述旋转变换的特征值有关联）；特征值出现复数的情况⼀般对应于变换中的某种旋转（7）剪切变换矩阵1011的所有特征向量都位于x 轴上，特征值为1注：可能出现只有⼀个特征值，但是特征向量不⽌在⼀条直线上，如2002的唯⼀特征值为2，但是平⾯内每个向量都是特征向量（8）特征基eigenbasis ：⼀组特征向量作为基向量构成的集合对⾓矩阵的所有基向量都是特征向量，矩阵的对⾓元为相应的特征值 //对⾓矩阵仅仅让基向量与某个特征值相乘当基向量不是特征向量时，可以通过基变换，将坐标系转换为由特征向量作为基向量（特征向量⾜够多，能够张成全空间）[][][] 注：同⼀个变换在新基（特征向量）10−11下表⽰为对⾓矩阵，且对⾓线元素为特征值⼗⼀、抽象向量空间 //类似向量的事物合集，如箭头、⼀组数、函数等（1）向量——>函数可加性成⽐例性注：可加性和成⽐例性的直观解释——⽹格线保持平⾏且等距分布线性变换（矩阵）和线性算⼦（求导）之间的对应关系向量空间必须满⾜的⼋条公理：[]（2）全体多项式空间的基函数basis functions为：b0(x)=1,b1(x)=x,b2(x)=x2,b3(x)=x3,⋯；对每个基函数求导，并将结果作为矩阵列，可得函数的求导变换矩阵d dx（3）普适的代价Processing math: 100%。
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二维线性空间陈祥科1、线性空间 (2)1.1、线性空间的代数定义 (2)1.2 线性空间的基和维度 (2)2、线性变换 (2)2.1、变换的定义 (2)2.2、线性变换的定义 (2)2.3线性变换的性质 (3)2.4、线性变换下的坐标变换 (3)2.5、线性变换的矩阵表示： (3)3、二维图形的几何变换 (4)3.1 平移变换 (4)3.2缩放变换 (5)3.3旋转变换 (5)3.4对称变换 (5)3.5错切变换 (5)3.6复合变换 (6)4、二维线性变换的应用实例 (7)1、线性空间1.1、 线性空间的代数定义一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。
1.2 线性空间的基和维度对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。
显然，二维空间的基有2个元素组成。
二维线性空间的的两组基分别为(0，1和(1,0)。
2、线性变换2.1、变换的定义变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式β=T(α)称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。
2.2、线性变换的定义R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足()()()()()a k kab a b a σσσσσ=+=+其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。
线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。
下面是线性变换的另一种表述方式：)()()(βσασβασl k l k +=+ Fl k R ∈∈∀,,,βα2.3线性变换的性质如果线性空间R上的一个线性变换σ，σ有如下性质σ(a)=a，称σ为线性恒等变换σ(a)=0，称σ为线性零变换σ的象集是R的一个子集，称为象空间，也就是说是R的一个线性子空间。
线性变换的基本性质σ(0)=0,σ(-a)=-σ(a)线性变换不改变线性组合和线性关系线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组由第一条性质可以看出，线性变换将零向量依然变成零向量，所以平移变换（即向量的位置发生变化）不是线性变换（这也是计算机图形为何要引入仿射变换的目的，仿射变换是线性变换的超集）。
性质2和下面这种描述是等价的：如果σ是线性空间R上的一个线性变换，那么σ满足：如果β是(α1,α2..αn)的线性组合，那么σ(β)依然是(σ(α1),σ(α2)..σ(αn))的线性组合。
性质3指出线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但线性变换不一定可以把线性无关的向量组变为线性无关的向量组，例如上面所说的线性零变换，即线性变换可能将一个向量变为零向量，而包含零向量的向量组必定线性相关。
2.4、线性变换下的坐标变换R是数域F上的线性空间，σ是R某一组基X下的线性变换，其矩阵为A，v是R中的任意向量，v在基X 下的坐标为(x1,x2..xn)T，v经过线性变换σ的坐标为(y1,y2..yn)T，那么有（y1,y2..yn)T=A(x1,x2..xn)T或用行向量表示为（y1,y2..yn)=(x1,x2..xn)A T也就是说，线性变换σ对于R中任意向量v的效果等同于σ的矩阵与v的乘积。
上面这个公式称为线性变换下的坐标变换公式，证明方法与基变换下的坐标变换公式类似。
线性变换下的坐标变换公式是向量空间中对向量进行线性变换变换的基本方法，基本的线性变换有旋转、缩放、镜像（也称反射）、切变等，对于旋转，由于线性变换不会发生平移，所以在二维空间中是绕原点旋转，在三维空间中是绕过原点的直线旋转，这些线性变换都是可逆的。
有一种特殊的线性变换-正交投影，投影是降维变换，例如三维到二维的投影，由于变换丢失了一维的信息，所以正交投影是不可逆的，即正交投影的线性变换矩阵的行列式为0。
2.5、线性变换的矩阵表示：线性变换矩阵的定义设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．基向量的象可由基线性表示：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋯++=⋯⋯⋯⋯+⋯++=+⋯++=nnn n n n nn n n a a a a a a a a a αααασαααασαααασ22112222112212211111)()()(我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn)) =(α1, α2, …, αn) A其中A 为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯=nn n n nn a a a a a a a a a A 212222111211M M M 矩阵A 称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．3、二维图形的几何变换正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡e d b a 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡fc 是对图形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。
3.1 平移变换3.2缩放变换3.3旋转变换θ角的变换形式如下：在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转θ取正值，顺时针旋转θ取负值。
逆时针旋转3.4对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。
例如：当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。
A. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。
B. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。
C. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。
D. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。
3.5错切变换A. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。
B. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。
3.6复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。
复合变换有如下的性质：A. 复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：B. 复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：C. 复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。
如果相对某个一般的参考点（xf，yf）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（xf，yf）点移回原来的位置。
切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。
D. 关于（xf，yf）点的缩放变换E. 绕（xf，yf）点的旋转变换4、二维线性变换的应用实例在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。
而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。
线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。
例：求,222dxdy eczbxy ax ⎰⎰∞∞-∞∞-++其中0,02<->ac b a分析：这与dxe x⎰∞∞-2似乎有关系，如何转化？因为()cbb a y xc bb a y xcy bxy ax,)(222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=++定正。
故P ∃正交，使,''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x P y x 即A ∃正交，使得,00211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλA c b b aA 且1det ,21222122=+=++-Py x cybxy ax λλ，原式=211λλ22121)'()'(2'22'1bac y d ex d eyx-==⎰⎰⎰∞∞-∞∞-πλλπλλλλ从以上的讨论看出：必须注意观察已知条件，才能合理进行线性变换，当积分区域，被积表达式具有某种线性的特征时（也即可表为变量的线性组合）往往可以考虑线性变换，而定正矩阵的应用可视为一种技巧。