§1-5 复变函数

——复变函数的几何意义 复变函数的几何意义 在几何上， 可以看作： 在几何上， w= f (z) 可以看作： z ∈ G ( z平面 ) w = f→ w ∈ G * ( w平面）的映射 (变换 ). 平面） (z) 定义集合 函数值集合
2. 映射的概念
的原象。 称 w为 z的象点 (映象 )，而 z称为 w的原象。
的定义集合为G,函数值集合为 函数值集合为G 定义 设 w =f (z) 的定义集合为 函数值集合为 *
(z) z ∈ G w = f→ w ∈ G * ( ) 一个 或几个 z ∈G ←z=ϕ w∈G* ( w) ∈
的反函数（逆映射） . 则称 z = ϕ ( w) 为 w = f ( z ) 的反函数（逆映射）
֠ 以下不再区分函数与映射（变换）。 以下不再区分函数与映射（变换）。
例1 研究w = z 所构成的映射 . 解
设 z = r (cos θ + i sin θ ) = re iθ ∴ z = re − iθ
—关于实轴对称的一个映射 关于实轴对称的一个映射
见图1-1~1-2 见图 y (z)
v
o
(w)
o
x 图1-1
u
y
(z)
v
o
(w)
o
x 图1-1
u
y、v
(z)、(w) 、
平面重合， 将z平面和 w平面重合， 可见： 可见： w = z 是关于实轴的 对称映射 .
o
x、 u 图1-2
研究 w = z 2 所构成的映射 . 例2
w = ( x + iy) = ( x − y ) + 2xyi = u + iv
y (z) w=f(z) v (w) G*
z
o
G x
w=f(z) w o u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换） 复变函数的几何意义是一个映射（变换） 复变函数的几何意义是一个映射
֠
在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y ， ， 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 之间的对应关系， 函数问题时，可借助于几何直观. 函数问题时，可借助于几 ↔ ( x , y ); w = u + iv ↔ ( u , v ) ∴ w = f ( z ) = f ( x + iy ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) = u + iv
故 u = u( x , y ) v = v ( x , y ) (相当于二个二元函数） 相当于二个二元函数）
∗
w = f (z) = u + iv ↔ u = u( x, y) v = v( x, y)
例如
w = z2
令 z = x + iy
w = u + iv
则
w = u + iv = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + 2 xyi
v = 2 xy
∴ w = z2 ↔ u = x2 − y2
2 2 2
y
(z)
α
v
w = z2
(w)
2α
o y
x (z)
o v
w = z2
u (w)
π
π
w = z2
o
6
x
x2 − y2 = 4
w=z
2
o
3
u
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w = z 为z=w2的反函数或逆映射
Qw = z = ze
i
θ + 2 kπ
2
为多值函数,2支 ( k = 0,1) ∴为多值函数 支.
显然有 w = f [ϕ ( w )] ∀w ∈ G * 当反函数单值时 , z = ϕ [ f ( z )] ∀z ∈ G (一般z ≠ ϕ [ f ( z )])
当函数 (映射 ) w = f ( z )和其反函数 ( 逆映射 ) 都是单值的， z = ϕ ( w )都是单值的，则称函数 (映射 ) w = f ( z ) 是一一的。 是一一对应的。 是一一的。也称集合 G 与集合 G 是一一对应的。
( z 是单值函数; ֠ 若z →一个w值，称f (z)是单值函数; z → 多个w值，称 (z)是多值函数 f
今后无特别声明， 今后无特别声明，所讨 论的函数均为单值函数 。
G — f (z )的定义集合，常常是平 面区域（定义域） 的定义集合， 面区域（定义域）
G * = { w w = f ( z ) z ∈ G } — 函数值集合
§5 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
1. 复变函数的定义
f ，对 ∀ z ∈ G
f
—与实变函数定义相类似 与实变函数定义相类似
的集合， 定义 设 G 是一个复数 z = x + iy 的集合， ∃ 法则 z → w = u + iv , 则称复变数 w 的函数（ 是复变数 z的函数（简称复变函数 ）记作 w = f ( z )。