2019年高中合格考试数学模拟题及答案(四)
湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷(四)数学试题 含解析
2019年湖南省普通高中学业水平考试仿真试卷（专家版四）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知0x >，数列4，x ，9是等比数列，则x =（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：24936x =⨯= 又0x >，解得：6x = 本题正确选项：B【点睛】本题考查等比中项的应用，属于基础题.2.在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A.25B.12C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型长度型直接求解即可.【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==- 本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.3.已知集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，{3,5}P =，则()MN P =（ ）A. {3}B. {2,3}C. {}2,3,5D. {1,2,3,4,5}【答案】C 【解析】【分析】求解出M N ⋂后，根据并集定义求得结果. 【详解】由题意得：{}2,3M N ⋂=，则(){}2,3,5M N P =本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.4.如图是一个算法流程图.若输入α的值为60︒，则输出y 的值为（ ）3 B. 13 D.22【答案】A 【解析】 【分析】运行程序框图，根据条件可知tan y α=，计算可得结果. 【详解】运行程序框图，输入：60α= 由45α>得：tan 603y ==3y =本题正确选项：A【点睛】本题考查程序框图中的条件结构计算输出值的问题，属于基础题.5.已知a ，b 为不同直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则//αβB. 若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则//αβC. 若直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α，则//αβD. 若平面//α平面γ，平面//β平面γ，则//αβ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】//a α且//a β，α和β平行或相交，A 错误；平面α内的无数条相互平行的直线均平行于平面β，α和β可能相交，B 错误；若//a b ，此时直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α，α和β可能相交，C 错误； 由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中的平行关系，涉及到线线关系、线面关系、面面关系.6.已知2tan 3α=，则tan(2)πα-=（ ） A. 23-B. 23C. 32-D.32【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得()tan 2tan παα-=-，代入求得结果. 【详解】由题意得：()2tan 2tan 3παα-=-=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用诱导公式求值，属于基础题.7.在四边形ABCD 中，若AB DC =，且0AB AD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形【答案】A【分析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形由0AB AD ⋅=可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形 本题正确选项：A【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 6B. 442+C. 642+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可还原几何体为三棱柱，则表面积为两个底面面积与三个侧面面积之和. 【详解】由三视图可知几何体为三棱柱∴几何体表面积1221222226422S =⨯⨯⨯+⨯+⨯=+本题正确选项：C【点睛】本题考查空间几何体的表面积的求解，关键是能够根据三视图判断出原几何体为三棱柱.9.已知函数22()log (2)log (6)f x x x =+⋅+，则(2)f =（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 32【答案】C【分析】将2x =代入函数解析式求得结果即可.【详解】由题意得：()222log 4log 8236f =⋅=⨯= 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到对数的运算，属于基础题.10.不等式()(2)0x y x y -+->表示的平面区域（用阴影表示）为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据()()20x y x y -+->得到不等式组，再确定0x y -=与20x y +-=交点位置即可判断出平面区域.【详解】由()()20x y x y -+->得：020x y x y ->⎧⎨+->⎩或020x y x y -<⎧⎨+-<⎩由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得交点坐标为：()1,1由此可得平面区域为：本题正确选项：B【点睛】本题考查一元二次不等式所表示的平面区域的求解问题，属于基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11.经过点(,3)P m -，(1,)Q m 的直线的斜率为3，则实数m =________. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用两点连线斜率公式构造方程即可解得结果. 【详解】由题意得：331m m-=+，解得：3m =- 本题正确结果：3-【点睛】本题考查两点连线斜率公式的应用，属于基础题.12.已知三点(0,0)O ，(2,2)A ，(5,6)B ，则OB OA -=________. 【答案】5 【解析】 【分析】由向量运算可知()3,4OB OA AB -==，根据模长的定义可求得结果. 【详解】由题意得：()3,4OB OA AB -==9165OB OA AB ∴-==+=本题正确结果：5【点睛】本题考查向量模长的运算，涉及到向量的坐标运算问题.13.当0x >时，函数2()2xf x x =-的所有零点之和为________. 【答案】6 【解析】 【分析】令22x x =解得0x >时方程的根，作和即为所求零点之和. 【详解】令22x x =，当0x >时，解得：2x =或4x =∴所求零点之和为：246+=本题正确结果：6【点睛】本题考查函数零点的求解问题，属于基础题.14.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知60B =︒，3b =，6c =则A =________. 【答案】75︒ 【解析】 【分析】由正弦定理求得sin C ；根据三角形大边对大角的原则可求得45C =；利用三角形内角和求得A .【详解】由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 6sin 602sin 2c B C b === 又c b <，则C B < 45C ∴=18075A B C ∴=--=本题正确结果：75【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到大边对大角的应用、三角形内角和的应用问题.15.已知样本1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为1，方差为2，则13x +，23x +，33x +，43x +，53x +的平均数和方差分别是________.【答案】4,2 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.【详解】由平均数的性质知：每个数加上同一个数，平均数也加上同一个数 134x ∴=+= 由方差的性质知：每个数加上同一个数，方差不变 22s ∴= 本题正确结果：4，2【点睛】本题考查平均数和方差的性质应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，11n n n n a b b nb ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =+；（2）1122n --. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式直接求得结果；（2）利用11n n n n a b b nb ++-=可整理得：112n n b b +=，从而可知{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列前n 项和公式求得结果.【详解】（1）数列{}n a 的通项公式为：()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）和11n n n n a b b nb ++-=得：12n n nb nb +=，即：112n n b b += ∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列 记{}n b 的前n 项和为n S ，则1111221212nn n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比数列前n 项和的求解，考查对于公式的掌握情况.17.某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表：使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值.（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数.【答案】（1）0.32；（2）1000件. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求得产品总件数和丙类产品中获得用户满意评价的产品件数，根据古典概型求得概率；（2）首先确定甲类产品中不能获得用户满意评价的件数占比，根据用样本估计总体的方法可求得结果.【详解】（1）由题意知，样本中公司的产品总件数为：10050200150500+++= 丙类产品中获得用户满意评价的产品件数为：2000.8160⨯=∴所求概率为：1600.32500p == （2）在样本100件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：()10010.910⨯-= 则不能获得用户满意评价的件数占比为：10110010= 该公司的甲类产品共销售了10000件∴这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：110000100010⨯=件 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、用样本估计总体的问题，属于基础题.18.已知a R ∈，对于函数3()31xf x a =-+. （1）判断函数()f x 的单调性，并简要说明；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值. 【答案】（1）()f x 在(,)-∞+∞上是减函数；（2）32. 【解析】 【分析】（1）根据()3xg x =单调递增可得()331xu x =+单调递减，又a R ∈，可知()f x 为减函数；（2）利用奇函数的定义()()0f x f x -+=构造方程可求得a .【详解】（1）函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，理由如下：()3x g x =在(),-∞+∞上单调递增，且310x +> ()331xu x ∴=+在(),-∞+∞上单调递减，又a R ∈，且为常数 故函数()331xf x a =-+在(),-∞+∞上是减函数 （2）若函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x -+=即：3303131x x a a --+-=++，化简得：333201331x x xa ⋅+-=++， 即：320a -=，解得：32a =∴存在32a =使得()f x 为奇函数 【点睛】本题考查函数单调性的判断、奇偶性的应用，属于基础题.19.已知函数()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）填写下表，用“五点法”画()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象.（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 【答案】（1）见解析；（2）π，3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】 分析】（1）根据特殊角三角函数值和“五点法”作图方法可补全表格并画出函数图象；（2）根据2T πω=求得最小正周期；将24x π-整体放入sin x 单调递增区间中，求得x 的范围即为所求的单调递增区间.【详解】（1）填表和作图如下.（2）函数()f x 的最小正周期为：22T ππ== 令222242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查三角函数中的“五点法”作图、正弦型函数的最小正周期和单调区间的求解问题.求解单调区间的关键是采用整体对应的方式.20.如图，已知圆O 的方程为222x y +=，M 是直线2x =-上的任意一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别是P ，Q ，线段PQ 的中点为N .（1）当点M 运动到x 轴上时，求出点P ，Q 的坐标；（2）当点M 在x 轴上方运动且60PMQ ∠=︒时，求直线PQ 的方程； （3）求证：2OM ON OP ⋅=，并求点N 的轨迹方程.【答案】（1）(1,1)-，(1,1)--；（2）10x y -+=；（3）证明见解析，220(0)x y x x ++=≠. 【解析】 【分析】（1）由题意可求得2OP =2OM =，根据OP MP ⊥，求得2MP OP ==，可知直线PQ 垂直平分线段OM ，得到,P Q 的横坐标，代入圆的方程可求得结果；（2）设M 的坐标为()()2,0m m ->，可求得222OM OP ==m ；根据OP OQ =，MP MQ =可知PQ OM ⊥，从而得到直线PQ 的斜率；再根据点()0,0O 到直线PQ 的距离为2，利用点到直线距离公式，结合斜率可写出直线PQ 方程；（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n -，由PQ OM ⊥和OP MP ⊥可得三角形相似关系，利用对应边成比例可证得22242n x y ++=；又//OM ON ，可得()20yn x x=-≠；两式整理即可得到所求轨迹方程.【详解】（1）当M 运动到x 轴上时：2OP =2OM =由OP MP ⊥得：2MP OP ==∴直线PQ 垂直平分线段OM ∴则点,P Q 的横坐标为1-又,P Q 在圆222x y +=上可知点P 的坐标为()1,1-，点Q 的坐标为()1,1-- （2）连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上 设M 的坐标为()()2,0m m ->60PMQ ∠= 30OMP ∴∠=，则：222OM OP ==2=2m =，即()2,2M -∴直线OM斜率为1-，又OP OQ =，MP MQ =PQ OM ∴⊥，则直线PQ 的斜率为1设直线PQ 的方程为：y x b =+，又30OMP ∠=60POM ∴∠=，122ON OP ==即点()0,0O 到直线PQ 的距离为2222=，解得：1b =或1b =-（舍去） ∴直线PQ 的方程为：10x y -+=（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n - 连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上由（2）知PQ OM ⊥，又OP MP ⊥，可知：PNO MPO ∆∆即OP ONOM OP=，即：2OM ON OP ⋅= 22242n x y ++=……① 又//OM ON ，则2nx y =-，即：()20yn x x=-≠……② 将②代入①，得22x y x +=0x <化简得点N 的轨迹方程为：()2200x y x x ++=≠【点睛】本题考查直线和圆的综合应用问题，涉及到直线与圆相切位置关系的应用、直线方程的求解问题、轨迹方程的求解问题，属于中档题.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(四)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 复数2＋i1＋i (i 为虚数单位)的模为________．2. 函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________ . 3. 某公司生产A ，B ，C 三种药品，产量分别为1 200箱，6 000箱，2 000箱．为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46箱进行检验，则A 药品应抽取________箱．4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的y 的值为________．5. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0， π6， π4， π3， π2， 2π3， 3π4， 5π6， π.现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为________．6. “α＝π4”是“cos 2α＝0”的________条件．7. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.则sin α的值为________.8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），kx －x 2（x <1）是R 上的单调增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为36，点E 为棱B 1B 上的点，且B 1E ＝2BE ，则三棱锥A 1AED 的体积为________．10. 若直线l ：2x ＋y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且a >0，b >0则ab 的最大值为________．11. 在等比数列{a n }中，a n ＞0且a 1a 3a 5a 7a 9＝32，则a 2＋a 8的最小值是________． 12. 已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]，则满足f (x 0)>f (π6)的x 0的取值范围是________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －2b |＝2|c －a |，则|c ＋2a |的最小值是________．14. 已知a ≠0，函数f (x )＝e x －a (x ＋1)的图象与x 轴相切．若x >1时，f (x )>mx 2，则实数m 的取值范围是__________________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：(1) EF ＝12BC ；(2) 平面EFD ⊥平面ABC .已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n . (1) 求函数f (x )在区间[－π4，π6]上的最大值；(2) 设g (x )＝12－f (x )，若sin(2θ－π6)＝13，0<θ<π4，求g (θ)的值．一个游戏盘由一个直径为2 m的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1 m，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.(1) 试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2) 求时间T最短时cos θ的值.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点(2, 2)．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△P AB的面积最小．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a2n＋1＝a n a n＋2＋p，则称数列{a n}是“容数列”．(1) 若数列{a n}的前n项和S n＝n2(n∈N*)，求证：{a n}是“容数列”；(2) 设{a n}是各项均不为0的“容数列”．①若p<0，求证：{a n}不是等差数列；②若p>0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，ax 3＋（b －4a ）x 2－（4b ＋14）x ＋1， 0≤x ≤4，a （log 4x －1）， x >4(a ，b 为常数，且a ≠0)．(1) 若b ＝0且f (8)＝1，求f (x )在x ＝0处的切线方程；(2) 设a ，b 互为相反数，且f (x )是R 上的单调函数，求a 的取值范围； (3) 若a ＝1，b ∈R .试讨论函数g (x )＝f (x )＋b 的零点的个数，并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)1.102 解析： 2＋i 1＋i ＝3－i 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪3－i 2＝94＋14＝102. 2. (－1，2) 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，x ＋1>0，解得－1<x<2.3. 6 解析：461 200＋6 000＋2 000×1 200＝6.4. 2 解析：由程序框图可知，第一次运行时，输入x ＝5，不满足x ≤0，故x ＝5－3＝2；第二次运行时，x ＝2不满足x ≤0，故x ＝2－3＝－1；第三次运行时，x ＝－1满足x ≤0，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，输出y ＝2.5. 49 解析：当余弦值为正数时，x ＝0，π6， π4， π3，概率为49. 6. 充分不必要 解析：由cos 2α＝0，得2α＝k π＋π2，α＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴ “α＝π4”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 7. 13 解析：∵ β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，∴ sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos (α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429， ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. 8. [2，3] 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1，k －1≤2，∴ 2≤k ≤3.9. 6 解析：V A 1AED ＝VEA 1AD ＝13S △A 1AD ·AB ＝16SA 1ADD 1·AB ＝16×36＝6.10.258 解析：|2a ＋b|5＝5，且a>0，b>0，从而2a ＋b ＝5，∴ 5＝2a ＋b ≥22ab ，∴ ab ≤258，当且仅当2a ＝b ，即a ＝54，b ＝52时等号成立，从而ab 的最大值为258. 11. 4 解析：∵ a 1a 3a 5a 7a 9＝32，a n >0，∴ a 5＝2，∴ a 2＋a 8≥2a 2a 8＝4.12. ⎣⎡⎭⎫－π2，－π6∪⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故考虑函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的情形，利用导数可得函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故在⎣⎡⎦⎤0，π2上f(x 0)>f ⎝⎛⎭⎫π6的x 0的取值范围是⎝⎛⎦⎤π6，π2，利用对称性质知，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上， x 0的取值范围是[－π2，－π6)∪⎝⎛⎦⎤π6，π2. 13. 20－10 解析：设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OP →＝c ＝(x ，y )，则由|c －2b |＝2|c －a |，得x 2＋(y －2)2＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝10.又|c ＋2a |＝（x ＋2）2＋y 2，∴ |c ＋2a |min ＝20－10.14. (－∞，e －2] 解析：f ′(x )＝e x－a ，依题意，设切点为(x 0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f ′（x 0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 0－a （x 0＋1）＝0，e x 0－a ＝0.又a ≠0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1，f (x )＝e x －x －1.由题意，得e x －x －1>mx 2，即e x －x －1x 2>m 在(1，＋∞) 上恒成立．设h (x )＝e x －x －1x 2，x >1，则h ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x 3，x >1.设s (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x >1, ∴ s ′(x )＝(x －1)e x ＋1，x >1，∴ s ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴ s (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵ s (1)＝3－e>0，∴ s (x )>0即h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵ h (1)＝e －2，∴ m ≤e －2，即实数m 的取值范围是(－∞，e －2]．15. 证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG ∥BD.又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC.(7分)(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE.又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC. 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF.又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD.又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC.(14分) 16. 解：(1) 由题意，得f(x)＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵ －π3≤2x ＋π6≤π2，∴ f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1＋32， ∴ f(x)max ＝1＋32.(7分)(2) 由(1)知g(x)＝12－f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∵ sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝13，0<θ<π4，∴ －π6<2θ－π6<π3，∴ cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝223，∴ g (θ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋π3＝26＋16.(14分)17. 解：(1) 过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝OG sin θ＝1sin θ，EF ＝1＋1sin θ，AE ︵＝θ，∴ T (θ)＝AE ︵5v ＋EF 6v ＝θ5v ＋16v sin θ＋16v ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4.(6分)(2) ∵ T(θ)＝θ5v ＋16v sin θ＋16v，∴T ′(θ)＝15v －cos θ6v sin 2θ＝6sin 2θ－5cos θ30v sin 2θ＝－（2cos θ＋3）（3cos θ－2）30v sin 2θ， 记cos θ0＝23，θ0∈[π4，3π4]，－＋故当cos θ＝23时，时间T 最短．(14分)18. 解：(1) 由题意得2c ＝26，且4a 2＋4b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2，故a 2＝12，b 2＝6， 所以椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(6分)(2) 设点P(x 0，y 0)，其中x 0∈(2，23]，且x 2012＋y 206＝1，又设A(0，m)，B(0，n)，不妨令m>n, 则直线PA 的方程为(y 0－m)x －x 0y ＋x 0m ＝0，则圆心(1，0)到直线PA 的距离为|y 0－m ＋x 0m|（y 0－m ）2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，(8分) 同理，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根，则(m －n)2＝（2y 0）2＋4x 0（x 0－2）（x 0－2）2，又△PAB 的面积为S ＝12(m －n)x 0，所以S 2＝y 20＋x 0（x 0－2）（x 0－2）2x 20＝（x 0－2）2＋82（x 0－2）2x 2，令t ＝x 0－2∈(0，23－2]，记f(t)＝（t 2＋8）（t ＋2）22t 2，则f′(t)＝t （t ＋2）（t 3－16）t 4＜0在(0，23－2]上恒成立，所以f(t)在(0, 23－2]上单调递减，故t ＝23－2，即x 0＝23时，f(t)最小，此时△PAB的面积最小，当x 0＝23时，y 0＝0，即P(23，0)．(16分) 19. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *，则{a n }是“容数列”⇔存在非零常数p ，使得(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ， 显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“容数列”．(4分) (2) ① 假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)·d ][a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p <0矛盾，故假设不成立，从而{a n }不是等差数列．(10分) ② 因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p (p >0)， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1(n ≥2)．因为{a n }的各项均不为0，所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ≥2)，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列．因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1a 2＝2，从而a n ＋1＋a n －1a n＝2(n ≥2)，即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，即证．(16分) 20. 解：(1) ∵ f(8)＝1，∴ a ＝2. 又b ＝0，∴ f(0)＝1， ∴ f ′(0)＝－14，∴ f(x)在x ＝0处的切线方程为x ＋4y －4＝0.(4分) (2) ∵ y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，且f(x)是R 上的单调函数， ∴ 在y ＝a (log 4x －1)中，应该有y ′＝ax ln 4≤0，故a <0.(5分) 在y ＝ax 3＋(b －4a )x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1中，其中a ＋b ＝0， y ′＝3ax 2－10ax ＋4a －14，导函数的对称轴为x ＝53，故Δ＝100a 2－12a ⎝⎛⎭⎫4a －14≤0，解得－352≤a <0， 即a 的取值范围是[－352，0)．(8分)(3) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，x 3＋（b －4）x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1，0≤x ≤4，log 4x －1，x >4，则f ′(x )＝3x 2＋2(b －4)x －⎝⎛⎭⎫4b ＋14(0≤x ≤4)，其判别式Δ＝4b 2＋16b ＋67>0， 记f ′(x )＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ＋－＋当b >0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x ＝1－b 无解， 又f (0)＋b ＝1＋b >0, f (4)＋b ＝b >0,f (2)＋b ＝8＋4(b －4)－2⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－152－3b <0， 方程在(0，4)上有两解，方程一共有两个解；(10分)当b <－1时，⎝⎛⎭⎫12x ＋b ＝0有一解x ＝log 0.5(－b )，log 4x －1＋b ＝0有一解x ＝41－b,又f (0)＋b ＝1＋b <0，f (4)＋b ＝b <0，f ⎝⎛⎭⎫12＋b ＝18＋14(b －4)－12⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－34b >0, 故方程在(0，4)上有两解，方程共有4个解；(12分) 当－1<b <0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x －1＋b ＝0有一解， 又f (0)＋b ＝1＋b >0，f (4)＋b ＝b <0,方程在(0，4)内只有一解，方程共两解；(14分)当b ＝0时，有x ＝4和x ＝12两解，当b ＝－1时，有x ＝0，x ＝5－102，x ＝16三个解，综上，当b >－1时，g (x )有2个零点；当b ＝－1时，g (x )有3个零点；当b <－1时，g (x )有4个零点．(16分)。
2019年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷4
2019年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(四)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(共15小题,每小题4分,共60分)1.已知集合M={1,2,3,4},集合N={1,3,5},则M∩N等于()A.{2}B.{2,3}C.{1,3}D.{1,2,3,4,5}2.函数f(x)=ln(x-3)的定义域为()A.{x|x>-3}B.{x|x>0}C.{x|x>3}D.{x|x≥3}3.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lg x<1D.∃x∈R,tan x=24.设i是虚数单位,若复数z=5(1+i)i,则z的共轭复数为()A.-5+5iB.-5-5iC.5-5iD.5+5i5.已知平面向量a=(0,-1),b=(2,2),|λa+b|=2,则λ的值为()A.1+B.-1C.2D.16.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=57.如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()(1)(2)(3)(4)A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台8.已知f(x)=x+-2(x>0),则f(x)有()A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-49.要完成下列两项调查:(1)某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查消费购买力的某项指标;(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况,应采取的抽样方法是()A.(1)用系统抽样法,(2)用简单随机抽样法B.(1)用分层抽样法,(2)用系统抽样法C.(1)用分层抽样法,(2)用简单随机抽样法D.(1)(2)都用分层抽样法10.在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,则a∶b∶c=()A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.2∶∶1D.1∶∶211.等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么{a n}的前7项和S7=()A.22B.24C.26D.2812.抛物线y=x2的焦点到准线的距离是()A. B. C.2 D.413.=()A.-B.-C.D.14.已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形,若将该几何体削成球,则球的最大表面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π15.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=-10,a n+1=a n+3(n∈N*),则S n取最小值时,n的值是()A.3B.4C.5D.6二、填空题(共4小题,每小题4分,共16分)16.若点(2,1)在y=a x(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,则a=.17.已知f(x)=x2+(m+1)x+(m+1)的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是(用区间表示).18.设f(x)=则f(f(-2))=.19.已知=1,且x>0,y>0,则x+y的最小值是.三、解答题(共2小题,每小题12分,共24分)20.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B-b=2a.(1)求角C的大小;(2)设角A的平分线交BC于D,且AD=,若b=,求△ABC的面积.21.已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(-1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.答案：1.C【解析】M∩N={1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},故选C.2.C3.B【解析】当x=1∈N*时,x-1=0,不满足(x-1)2>0,所以B为假命题.故选B.4.B【解析】由复数z=5(1+i)i=-5+5i,得z的共轭复数为-5-5i.故选B.5.C【解析】λa+b=(2,2-λ),那么4+(2-λ)2=4,解得,λ=2.故选C.6.B【解析】线段AB的中点为,k AB==-,∴垂直平分线的斜率k==2,∴线段AB的垂直平分线的方程是y-=2(x-2)⇒4x-2y-5=0.故选B.7.C【解析】(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱.(2)三视图复原的几何体是四棱锥.(3)三视图复原的几何体是圆锥.(4)三视图复原的几何体是圆台.所以(1)(2)(3)(4)的顺序为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.故选C.8.B【解析】由x>0,可得>0,即有f(x)=x+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x=,即x=1时,取得最小值0.9.C10.D【解析】在△ABC中,A∶B=1∶2,sin C=1,可得A=30°,B=60°,C=90°.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶1=1∶∶2.故选D.11.D【解析】∵等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,∴3a4=a3+a4+a5=12,解得a4=4,∴S7==7a4=28.故选D.12.C【解析】方程化为标准方程为x2=4y.所以2p=4,p=2.所以焦点到准线的距离为2.故选C.13.D【解析】=cos2-sin2=cos.故选D.14.C【解析】∵三视图均为边长为2的正方形,∴几何体是边长为2的正方体, 将该几何体削成球,则球的最大半径为1,表面积是4π×12=4π.故选C.15.B【解析】在数列{a n}中,由a n+1=a n+3,得a n+1-a n=3(n∈N*),∴数列{a n}是公差为3的等差数列.又a1=-10,∴数列{a n}是公差为3的递增等差数列.由a n=a1+(n-1)d=-10+3(n-1)=3n-13≥0,解得n≥.∵n∈N*,∴数列{a n}中从第五项开始为正值.∴当n=4时,S n取最小值.故选B.16.2【解析】∵点(2,1)在y=a x(a>0,且a≠1)关于y=x对称的图象上,∴点(1,2)在y=a x(a>0,且a≠1)的图象上,∴2=a1,解得a=2.17.(-1,3)【解析】依题意Δ=(m+1)2-4(m+1)=(m+1)(m-3)<0⇒-1<m<3,故m的取值范围用区间表示为(-1,3).18.-2【解析】∵x=-2<0,∴f(-2)=1>0,∴f(10-2)=lg 10-2=-2,即f(f(-2))=-2.19.25【解析】∵=1,且x>0,y>0,∴x+y=(x+y)=13+≥13+2=25,当且仅当即x=10且y=15时取等号.20.【解】(1)由已知及余弦定理得2c×=2a+b,整理得a2+b2-c2=-ab,∴cos C==-,又0<C<π,∴C=,即角C的大小为.(2)由(1)C=,依题意画出图形.在△ADC中,AC=b=,AD=,由正弦定理得sin∠CDA=,又△ADC中,C=,∴∠CDA=,故∠CAD=π-.∵AD是角∠CAB的平分线,∴∠CAB=,∴△ABC为等腰三角形,且BC=AC=.∴△ABC的面积S=BC·AC sin.21.【解】(1)方法1:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依题意得,解得a=2,b=4,r2=5.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.方法2:因为A(3,2)、B(1,6),所以线段AB中点D的坐标为(2,4),直线AB的斜率k AB==-2,因此直线AB的垂直平分线l'的方程是y-4=(x-2),即x-2y+6=0.圆心C的坐标是方程组的解.解此方程组,得即圆心C的坐标为(2,4).圆C的半径长r=|AC|=.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-4)2=5.(2)由于直线l经过点P(-1,3),当直线l的斜率不存在时,x=-1与圆C:(x-2)2+(y-4)2=5相离.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0.因为直线l与圆C相切,且圆C的圆心为(2,4),半径为,所以有.解得k=2或k=-.所以直线l的方程为y-3=2(x+1)或y-3=-(x+1), 即2x-y+5=0或x+2y-5=0.。
2019年6月福建省普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试题 含答案
机密★2019年6月17日 启用前2019年福建省普通高中学生学业基础会考数学试题考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差(n s x =+− 其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式()13V S S h '=+， 其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =， 其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343V R π=， 其中R 为球的半径第Ⅰ卷 （选择题45分） 一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个选项符合题意）1．若集合{0,1},{1,2}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{0,1,2}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}12．若角50α=−︒，则角α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．如图是一个底面边长为2的正三棱柱，当侧面水平放置时，它的俯视图．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）A ．8B ．4C ．3D ．25．一组数据3，4，5，6，7的中位数是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．函数2sin y x =的最小值是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．27．直径．．为2的球的表面积是（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π8．从a ，b ，c ，d 四个字母中，随机抽取一个字母，则抽到字母a 的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1 9．已知向量()()1,2,2,1a b ==−，则a b −=（ ）A ．()1,3−B ．()3,1−−C ．()1,3D ．()3,110．已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1−，则直线l 的方程是（ ）A ．1y x =−−B ．1y x =−+C ．1y x =−D ．1y x =+11．不等式220x x −>的解集是（ ）A ．{}|0x x <B ．{|2}x x >C ．{|02}x x <<D ．{|0,2}x x x <>或12．下列图象表示的函数中，在R 上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．不等式组0,0,20x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+−≤⎩表示的平面区域的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1214．某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示．由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）A ．2100元B ．2400元C ．2700元D ．3000元15．函数2lg ,0,()2,0x x f x x x x >⎧=⎨−≤⎩的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷 （非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）16．若幂函数()f x x α=的图象过点(，则这个函数的解析式()f x =____________．17．执行右边的程序框图，当输入m 的值为3时，则输出的m 值是___________．18．函数6()([3,5])2f x x x =∈−的最小值是___________． 19．已知向量(1,1),(,1)a b x ==，且a b ⊥，则x =___________．20．设ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1,6a c B π===，则b =________．三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分） 已知4sin ,5αα=是第一象限角． （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 22．（本小题满分8分）甲、乙两人玩投掷骰子游戏，规定每人每次投掷6枚骰子，将掷得的点数和．．．记为该次成绩．进行6轮投掷后，两人的成绩用茎叶图表示，如图．（Ⅰ）求乙成绩的平均数；（Ⅱ）规定成绩在27点以上（含27点）为高分，根据两人的成绩，估计掷得高分的概率．23．（本小题满分8分）一辆汽车在某段路程中的行驶速率v 与时间t 的关系如图所示．（Ⅰ）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（Ⅱ）根据图示，求该汽车在这段路的行驶路程km s 关于时间h t 的函数解析式．24．（本小题满分8分）如图，长方体1111ABCD ABC D −中，AB BC =，E 为1CC 的中点． （Ⅰ）求证：1AC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：1AC BD ⊥．25．（本小题满分10分）已知圆22:(2)16C x y +−=．（Ⅰ）写出圆C 的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）已知圆C 与x 轴相交于A 、B 两点，试问在圆C 上是否存在点P ，使ABP 的面积等于请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2019年福建省普通高中学生学业基础会考数学试题参考答案与评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容、比照评分标准酌情给分．2．对计算题，当考生的解答在某一步骤出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答所得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．解答題只给整数分，填空题不给中间分数．第Ⅰ卷 （选择题45分）一、选择题（本大题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分45分）1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 13．B 14．C15．B第Ⅱ卷 （非选择题55分）二、填空题（本大题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分15分）16．12x 17．4 18．2 19．1− 20．1三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的符号，两角和的正弦等基础知识；考查运算求解能力、化归与转化思想．满分6分．解：（Ⅰ）∵4sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，α为第一象限角， （1分）∴cos α= （2分）35==． （3分） （Ⅱ）sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（4分）3455=⨯+ （5分）=． （6分） 22．本小题主要考查茎叶图、特征数、概率等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识．满分8分．解：（Ⅰ）由茎叶图得815151923286x +++++= （2分） 18=． （3分）∴乙成绩的平均数为18． （4分）（Ⅱ）由茎叶图知，掷得的12个数据中得高分的有3个， （6分） ∴据此估计得高分的概率30.2512P ==． （8分） 23．本小题主要考查函数有关概念、分段函数等基础知识；考查读图能力、运算求解能力、数学建模能力，考查函数思想、化归与转化思想和运用意识．满分8分．解：（Ⅰ）阴影部分的面积为601801901701300⨯+⨯+⨯+⨯=． （2分） 阴影部分的面积表示该汽车在这4小时内行驶的路程为300km ． （4分）（Ⅱ）根据图形有：60,01,80(1)60,12,90(2)140,23,70(3)230,3 4.t t t t s t t t t ≤<⎧⎪−+≤<⎪=⎨−+≤<⎪⎪−+≤≤⎩ （注：按段给分）（8分） 或60,01,8020,12,9040,23,7020,3 4.t t t t s t t t t ≤<⎧⎪−≤<⎪=⎨−≤<⎪⎪+≤≤⎩ （8分）24．本小题主要考查空间直线、平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分8分．（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ．在长方体1111ABCD ABC D −中，AB BC =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AO OC =． （1分）∵1CE EC =，∴1OE AC ∥． （3分）又∵OE ⊂平面BDE ，1AC ⊄平面BDE ，∴1AC ∥平面BDE ． （4分）（Ⅱ）证明：在长方体1111ABCD ABC D −中，1CC ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ∴1CC BD ⊥． （5分）由（Ⅰ）知，ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．又1AC CC C ⋂=，∴BD ⊥平面1ACC ． （7分）∵1AC ⊂平面1ACC ，∴1AC BD ⊥． （8分）25．本小题考查圆的方程、点与圆的位置关系、一元二次方程、三角形的面积等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、方程思想．满分10分．解：（Ⅰ）圆心()0,2C ， （2分）半径4r =． （4分）（Ⅱ）对于方程22(2)16x y +−=，令0y =，解得x =±∴(A B −，∴||AB = （5分）假设圆C 上存在点()()000,26P x y y −≤≤，使得PAB 的面积等于即0011||22PAB S AB y y =⨯=⨯= 解得04y =，∴04y =（04y =−舍去）． （7分） 将04y =代入方程22(2)16x y +−=，解得0x =± （9分）∴圆C 上存在点12(P P −满足题意．（10分）。
2019年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷(附详解)
2019年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷一、单选题（本大题共20小题，共60.0分） 1. 设集合A ={1,3,5}，B ={2,3}，则A ∪B =( )A. {3}B. {1,5}C. {1,2,5}D. {1,2,3,5}2. 函数f(x)=cos(12x +π6)的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 函数f(x)=√x −1+ln(4−x)的定义域是( )A. [1,4)B. (1,4]C. (1,+∞)D. (4,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )A. y =−x 3B. y =1xC. y =|x|D. y =1x 25. 已知直线l 过点P(2,−1)，且与直线2x +y −1=0互相垂直，则直线l 的方程为( )A. x −2y =0B. x −2y −4=0C. 2x +y −3=0D. 2x −y −5=06. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，则f(−1)+f(1)=( )A. 0B. 1C. 32D. 27. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，且|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. 6√3B. 6√2C. 4√3D. 68. 某工厂抽取100件产品测其重量(单位：kg).其中每件产品的重量范围是[40,42].数据的分组依据依次为[40,40.5)，[40.5,41)，[41,41.5)，[41.5,42)，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在[40,41)内的产品件数为( )A. 30B. 40C. 60D. 809. sin 110° cos40°−cos70°⋅sin40°=( )A. 12B. √32C. −12D. −√3210. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. DC⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA⃗⃗⃗⃗⃗ C. BC⃗⃗⃗⃗⃗ D. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 某产品的销售额y(单位：万元)与月份x 的统计数据如表．用最小二乘法求出y 关于x的线性回归方程为y ̂=7x +a ̂，则实数a ̂=( ) x 3 4 5 6 y25304045A. 3B. 3.5C. 4D. 10.512. 下列结论正确的是( )A. 若a <b ，则a 3<b 3B. 若a >b ，则2a <2bC. 若a <b ，则a 2<b 2D. 若a >b ，则lna >lnb13. 圆心为M(1,3)，且与直线3x −4y −6=0相切的圆的方程是( )A. (x −1)2+(y −3)2=9B. (x −1)2+(y −3)2=3C. (x +1)2+(y +3)2=9D. (x +1)2+(y +3)2=314. 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )A. 事件“都是红色卡片”是随机事件B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C. 事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D. 事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件15. 若直线(a −1)x −2y +1=0与直线x −ay +1=0垂直，则实数a =( )A. −1或2B. −1C. 13D. 316. 将函数y =sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )A. y =sin(3x −π4) B. y =sin(3x −π12) C. y =sin(13x −π4)D. y =sin(13x −π12)17. 3名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. 14B. 23C. 12D. 3418. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列判断正确的是( )A. A 1D ⊥C 1CB. BD 1⊥ADC. A 1D ⊥ACD. BD 1 ⊥AC19. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +7b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ −5b ⃗ ，则( )A. A ，B ，C 三点共线B. A ，B ，D 三点共线C. A ，C ，D 三点共线D. B ，C ，D 三点共线20. 在三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =1，PB =PC =2，则该三棱锥的外接球体的体积为( )A. 9π2B.27π2C. 9πD. 36π二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21. 某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人．若采用分层抽样的方法在全体运动员中抽取18人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为______． 22. α为第二象限角sinα=35，则tanα= ______ ．23. 已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为______．24. 已知函数f(x)=x 2+x +a 在区间(0,1)内有零点，则实数a 的取值范围为______． 25. 若P 是圆C 1：(x −4)2+(y −5)2=9上一动点，Q 是圆C 2：(x +2)2+(y +3)2=4上一动点，则|PQ|的最小值是______．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PC 中点，求证：EF//面PAD ．27.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=6，cosB=1．3(1)若sinA=3，求b的值；5(2)若c=2，求b的值及△ABC的面积S．28.已知函数f(x)=ax+log3(9x+1)(a∈R)为偶函数．(1)求a的值；(2)当x∈[0,+∞)时，不等式f(x)−b≥0恒成立，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={1,3,5}，B={2,3}，∴A∪B={1,2,3,5}．故选：D．进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由三角函数的周期公式得T=2π12=4π，故选：D．根据三角函数的周期公式直接进行计算即可．本题主要考查三角函数周期的计算，结合周期公式是解决本题的关键，比较基础．3.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=√x−1+ln(4−x)，∴{x−1≥04−x>0，解得1≤x<4；∴函数f(x)的定义域是[1,4)．故选A．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查求定义域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由幂函数的性质可知，y=−x3，y=1x为奇函数，不符合题意，y=|x|为偶函数且在(0,+∞)上单调递增，不符号题意，y =1x 2为偶函数且在(0,+∞)上单调递减，符合题意． 故选：D ．结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可． 本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的一般式方程，是基础题．根据题意设出直线l 的方程，把点P(2,−1)代入方程求出直线l 的方程． 【解答】解：根据直线l 与直线2x +y −1=0互相垂直，设直线l 为x −2y +m =0， 又l 过点P(2,−1)， ∴2−2×(−1)+m =0， 解得m =−4，∴直线l 的方程为x −2y −4=0． 故选：B ．6.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={2x ,x ≤0x 32,x >0，∴f(−1)=2−1=12，f(1)=132=1，∴f(−1)+f(1)=12+1=32． 故选：C ．推导出f(−1)=2−1=12，f(1)=132=1，由此能求出f(−1)+f(1)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为π3，且|a⃗|=3，|b⃗ |=4，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cosπ3=3×4×12=6．故选：D．进行数量积的运算即可．本题考查了向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图得：重量在[40,41)内的频率为：(0.1+0.7)×0.5=0.4．∴重量在[40,41)内的产品件数为0.4×100=40．故选：B．由频率分布直方图得重量在[40,41)内的频率为0.4.由此能求出重量在[40,41)内的产品件数．本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：sin110°cos40°−cos70°⋅sin40°=sin70°cos40°−cos70°⋅sin40°=sin(70°−40°)=sin30°=12．故选：A．利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．10.【答案】B【解析】解：在平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．利用平面向量加法法则直接求解．本题考查向量的求法，考查平面向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：x −=3+4+5+64=4.5，y −=25+30+40+454=35，∴样本点的中心坐标为(4.5,35)，代入y ̂=7x +a ̂，得35=7×4.5+a ̂，即a ̂=3.5． 故选：B ．由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数a ^．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．12.【答案】A【解析】解：A.a <b ，可得a 3<b 3，正确； B .a >b ，可得2a >2b ，因此B 不正确；C .a <b ，a 2与b 2大小关系不确定，因此不正确；D .由a >b ，无法得出lna >lnb ，因此不正确． 故选：A ．利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误．本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由题意可知，圆的半径r =|3−12−6|5=3，故所求的圆的方程为(x −1)2+(y −3)2=9． 故选：A ．由题意可知，圆的半径即为圆心M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即可求解． 本题主要考查了圆的方程的求解，解题的关键是直线与圆相切性质的应用．14.【答案】C【解析】解：袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A 正确； 在B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B 正确； 在C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C 错误；在D 中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D 正确． 故选：C ．利用随机事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查随机事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】C【解析】解：根据题意，若直线(a −1)x −2y +1=0与直线x −ay +1=0垂直， 必有(a −1)+2a =0，解可得a =13； 故选：C ．根据题意，分析可得(a −1)+2a =0，解可得a 的值，即可得答案．本题考查直线平行的判断方法，注意直线的一般式方程的形式，属于基础题．16.【答案】A【解析】解：将函数y =sinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，可得y =sin3x 的图象；再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为y =sin3(x −π12)=sin(3x −π4)， 故选：A ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．求得3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23=8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有23−2=8−2=6种情况，∴所求概率为68=34．故选D．18.【答案】D【解析】解：因为AC⊥BD，AC⊥DD1；BD∩DD1=D；BD⊆平面DD1B1B，DD1⊆平面DD1B1B，∴AC⊥平面DD1B1B；BD1⊆平面DD1B1B；∴AC⊥BD1；即D对．故选：D．直接可以看出A，B，C均不成立，用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直．本题主要考查平面中的线线垂直的证明，属于对基础知识的考查．19.【答案】B【解析】解：向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ⃗ +7b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ −5b⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a ⃗ +7b ⃗ )+(4a ⃗ −5b ⃗ )=a ⃗ +2b ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A ，B ，D 三点共线． 故选：B ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a ⃗ +7b ⃗ )+(4a ⃗ −5b ⃗ )=a ⃗ +2b ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而A ，B ，D 三点共线．本题考查命题真假的判断，考查向量加法法则、向量共线等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】A【解析】解：由三棱锥中PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =1，PB =2，PC =2将此三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2．设外接球的半径为R ，则2R =√12+22+22=3所以R =32， 所以外接球的体积V =43πR 3=92π， 故选：A ．由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线等于外接球的直径求出外接球的体积．考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及球的体积公式，属于基础题．21.【答案】8【解析】解：∵某校田径队共有男运动员45人，女运动员36人， ∴这支田径队共有45+36=81人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为18的样本， ∴每个个体被抽到的概率是1881=29， ∵女运动员36人，∴女运动员要抽取36×29=8人， 故答案为：8．根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得人数． 本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题．22.【答案】−34【解析】解：∵α为第二象限角sinα=35， ∴cosα=−45，则tanα=sinαcosα=−34， 故答案为：−34．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，从而求得tanα的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．23.【答案】2π【解析】解：由已知可得r =1，ℎ=√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2． ∴圆锥的侧面积S =πrl =2π． 故答案为：2π．由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．本题考查圆锥侧面积的求法，关键是对公式的记忆，是基础题．24.【答案】(−2,0)【解析】解：函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)内有零点，f(0)=a，f(1)=2+a，由零点存在性定理得f(0)⋅f(1)=a(a+2)<0，得−2<a<0，经验证a=−2，a=0均不成立，故答案为：(−2,0)由零点存在性定理得f(0)⋅f(1)=a(a+2)<0，求出即可．考查函数零点存在性定理的应用，中档题．25.【答案】5【解析】解：圆C1：(x−4)2+(y−5)2=9的圆心C1(4,5)，半径r=3，圆C2：(x+2)2+(y+3)2=4的圆心C2(−2,−3)，半径r=2，d=|C1C2|=√(4+2)2+(5+3)2=10>2+3=r+R，所以两圆的位置关系是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)=10−(2+3)=5，故答案为：5．分别找出两圆的圆心坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出圆心间的距离d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又P在圆C1上，Q在圆C2上，则|PQ|的最小值为d−(r+R)，即可求出答案．本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．26.【答案】证明：取PD的中点G，连接FG、AG．因为PF=CF，PG=DG，CD．所以FG//CD，且FG=12又因为四边形ABCD是平行四边形，且E是AB的中点．CD．所以AE//CD，且AE=12所以FG//AE，且FG=AE，所以四边形EFGA是平行四边形，所以EF//AG．又因为EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF//平面PAD ．【解析】本题考查直线与平面平行的证明，是基础题．取PD 的中点G ，连接FG 、AG ，由PF =CF ，PG =DG ，所以FG//CD ，且FG =12CD.又因为四边形ABCD 是平行四边形，且E 是AB 的中点．所以AE//CD ，且AE =12CD.证得四边形EFGA 是平行四边形，所以EF//AG ，由线面平行的判定定理即可得证．27.【答案】解：(1)由cosB =13可得sinB =2√23， 由正弦定理可得，a sinA =bsinB ， 所以b =asinB sinA=6×2√2335=20√23，(2)由余弦定理可得，cosB =13=a 2+c 2−b 22ac=36+4−b 22×2×6，解可得，b =4√2， S =12acsinB =12×6×2×2√23=4√2．【解析】(1)先根据同角平方关系求出sinB ，然后结合正弦定理即可求解， (2)结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．28.【答案】解：(1)根据题意可知f(x)=f(−x)，即ax +log 3(9x+1)=−ax +log 3(9−x+1)，整理得log 39x +19−x +1=−2ax ，即−2ax =log 39x =2x ，解得a =−1；(2)由(1)可得f(x)=−x +log 3(9x +1)=log 3(3x +13x )，令ℎ(x)=3x +13x ，x ∈[0,+∞)，任取x 1、x 2∈[0,+∞)，且x 2>x 1， 则ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=3x 2+13x 2−(3x 1+13x 1)=(3x 2−3x 1)⋅3x 1+x 2−13x 1+x 2因为x 2>x 1≥0，所以3x 2−3x 1≥0，3x 1+x 2>1，则3x 1+x 2−1>0， 所以ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，故f(x)在[0,+∞)上单调递增， 因为f(x)−b ≥0对x ∈[0,+∞)恒成立，即−x+log3(9x+1)≥b对x∈[0,+∞)恒成立，因为函数g(x)=−x+log3(9x+1)在[0,+∞)上是增函数，所以g(x)min=g(0)=log32，则b≤log32.【解析】(1)根据偶函数性质f(x)=f(−x)，化简整理可求得a的取值；(2)根据条件可知x+log3(9x+1)≥b对x∈[0,+∞)恒成立，求出函数g(x)=x+ log3(9x+1)在[0,+∞)上的最小值即可本题考查利用函数奇偶性求参数值，利用函数增减性求参数取值范围，属于中档题．。
2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案(精校版)
2019年全国高考理科数学模拟试题4及详细答案（精校版）一、选择题（共12小题，每题5分，总分60分）1.集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】首先求得集合M,N，然后求解其交集即可.由题意可得：，，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.2.已知f（x）=x2+2x·f＇（1），则f＇（0）等于（）A. 0B. –2C. 2D. – 4【答案】D【解析】因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=-2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x-4，当x=0，f′（0）=-4．故选D．3.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选：B．4.若曲线在点(0, b)处的切线方程是, 则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】略5.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】6.设函数,则满足的的取值范围是（）A. ,2]B. [0,2]C. [1,+)D. [0,+ )【答案】D【解析】时,成立;时,,即,则.选D.7.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以；因为，所以；因为，所以，即，因此，答案选C．8.方程的解所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数.∵，∴∴故函数的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选C.9.定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，利用定义在上的偶函数在上递增，可得不等式，从而可求的取值范围．由题意，函数是定义在上的偶函数，且.∵∴∵函数在上递增∴∴或∴或∴的取值范围是故选B.10.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】函数y＝＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下作出函数f(x)＝，f(x)＝－sin x的图象，由图象可知函数y＝＋sin x只有一个零点0且当x>0时f(x)>0，∴选C.11.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知条件推导出在恒成立，令，利用导数性质求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵对恒成立∴在恒成立令，则.由得，即在上为增函数；由得，即在上为减函数，∴∴∴实数的取值范围是故选B.12.设是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知当时总有成立，可构造函数，即可判断函数为减函数，由是定义在上的奇函数，可得为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，结合的图象，解不等式即可设，则.∵当时，有恒成立∴当时，，即在上为减函数又∵是定义在上的奇函数∴，即为上的偶函数.∵∴函数的图象如图：∵，且∴∴∴根据图象可得或∴不等式的解集为故选D.二、填空题（共4小题，每题5分，总分20分）13.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为______________．【答案】16【解析】由题意可得幂指数为偶数，且幂指数为正数，根据当时，幂指数为4，符合题意，可得幂函数的解析式，从而可得的值．∵幂函数为偶函数∴幂指数为偶数∵幂函数在区间上是单调增函数．∴幂指数为正数，即>0解得-3<m<1,所以m=-2,-1,0∴对取值，得到当时，幂指数为4，符合题意，∴解析式为，则.故答案为14.给出下列命题:①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;③命题“,使得”的否定是真命题;④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________【答案】①③【解析】①若，则，故有实根，原命题为真，所以逆否命题也为真，真确；②命题“，”为真命题，则，所以是充要条件，故不正确；③命题“，使得”的否定是，成立；④函数为偶函数成立，所以命题为真，函数在上为增函数成立，命题也为真，为假，所以为假命题，不正确；故答案为①③.15.函数在区间上的值域是,则的最小值是____.【答案】【解析】先画出函数图象，再数形结合得到、的范围，最后计算的最小值即可.函数的图象如图所示：∵∴根据图可知，∴当，，取得最小值为故答案位.16.已知函数,若函数在上为单调函数,则的取值范围是_______________ . 【答案】【解析】f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.三、解答题（共6题，总分70分）17.设命题:实数满足,其中;命题:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.解：(1)由得,又,所以,当时, ,即为真时实数的取值范围是.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)∵是的充分不必要条件∴是的充分不必要条件.∴应满足:,且,解得.∴的取值范围为:.18.已知函数.（1）求函数的定义域;（2）求函数的零点;（3）若函数的最小值为,求的值。
福建省2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】
利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入．
【详解】设一次函数为： ，将 和 代入得： ，
解得 ，
故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型.
9.已知向量 ,则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算公式计算得出答案．
【详解】 , ,
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查学生计算能力,属于基础题．
10.已知直线l的斜率是1,且在y轴上的截距是 ,则直线l的方程是（）
【详解】解：由图形可知：
A：在 上单调递减,所以不正确；
B：在 上单调递增,在 上单调递增,但是在定义域上不单调,所以不真确；
C：在 上单调递减,在 上单调递增,不正确；
D：在 上单调递增,正确；
故选：D
【点睛】本题考查由图形确定函数的单调性,属于基础题.
13.不等式组 表示的平面区域的面积是（）
A. 4B. 2C. 1D.
【详解】由题意,不等式 可化为 ,解得 或 ,
所以不等式 的解集是 或 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
12.下列图象表示的函数中,在R上是增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
2019年山东省普通高中学业水平考试数学试题(带答案)
2019年山东省普通高中学业水平考试数学试题(带答案)2019年山东省普通高中学业水平考试数学试题（带答案）一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）1.已知集合 $A=\{2,4,8\}$，$B=\{1,2,4\}$，则 $A\capB=$（）A。
{4} B。
{2} C。
{2,4} D。
{1,2,4,8}2.周期为 $\pi$ 的函数是（）A。
$y=\sin x$ B。
$y=\cos x$ C。
$y=\tan 2x$ D。
$y=\sin2x$3.在区间 $(1,2)$ 上为减函数的是（）A。
$y=x$ B。
$y=x^2$ C。
$y=\frac{1}{x}$ D。
$y=\ln x$4.若角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-1,2)$，则 $\cos\alpha=$（）A。
$-\frac{5}{13}$ B。
$\frac{5}{13}$ C。
$-\frac{1}{13}$ D。
$\frac{1}{13}$5.把红、黄两张纸牌随机分给甲、乙两个人，每人分得一张，设事件 $P$ 为“甲分得黄牌”，设事件 $Q$ 为“乙分得黄牌”，则（）A。
$P$ 是必然事件 B。
$Q$ 是不可能事件 C。
$P$ 与$Q$ 是互斥但不对立事件 D。
$P$ 与 $Q$ 是互斥且对立事件6.在数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_{n+1}=3a_n$，$a_1=2$，则$a_4=$（）A。
18 B。
36 C。
54 D。
1087.采用系统抽样的方法，从编号为1～50的50件产品中随机抽取5件进行检验，则所选取的5件产品的编号可以是（）A。
1,2,3,4,5 B。
2,4,8,16,32 C。
3,13,23,33,43 D。
5,10,15,20,258.已知 $x,y\in (0,+\infty)$，且 $x+y=1$，则 $xy$ 的最大值为（）A。
1 B。
$\frac{1}{3}$ C。
$\frac{1}{4}$ D。
江苏省南通市2019届高三四模试题 数学【含解析】
江苏省南通市2019届高三四模试题数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1.已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B =_______．【答案】{}10x x -<< 【解析】 【分析】由集合交集的定义运算即可.【详解】已知集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则A B ={}10x x -<<故答案为：{}10x x -<<【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知复数221z i i=++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为_______． 【答案】1i - 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，再由共轭复数的定义得答案． 【详解】22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -∴=+=+=-+=+++- ∴1z i =-． 故答案为：1i -【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．3.执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为_______．【答案】17【解析】【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，S的值，即可得解输出的S的值．【详解】模拟执行程序代码，可得S＝3第1步：i＝2，S＝S＋i＝5；第2步：i＝3，S＝S＋i＝8；第3步：i＝4，S＝S＋i＝12；第4步：i＝5，S＝S＋i＝17；此时，退出循环，输出S的值为17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序代码，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．【答案】30【解析】【分析】由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数．【详解】由图知，（0.035+a +0.020+0.010+0.005）×10＝1，解得a ＝0.03； ∴身高在[120，130]内的学生人数为100×0.03×10＝30． 故答案为：30．【点睛】本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，属于基础题.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线的方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为_______． 5【解析】 【分析】由双曲线的两条渐近线方程是y ＝±2x，得b ＝2a ，从而225c a b a =+=，即可求出双曲线的离心率．【详解】∵双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两条渐近线方程是y ＝±2x ，∴2b a =，即b ＝2a ，∴225c a b a +，∴5ce a==． 5．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为__． 【答案】25【解析】 【分析】从中随机抽取2个数相加，基本事件总数2510n C ==，和是偶数包含的基本事件的个数2232C C 4m =+=，由此能求出和是偶数的概率．【详解】现有3个奇数，2个偶数．从中随机抽取2个数相加，基本事件总数2510n C ==，和是偶数包含的基本事件的个数2232C C 4m =+=，则和是偶数的概率为42105m p n === ． 故答案为：25． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题．7.已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为____． 【答案】22π 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，依题意，222r =，即2r =，所以该圆锥的侧面积为rl π=22π．【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r ，已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形， 如图所示，所以2222222r=+=，即2r =，又因为圆锥的母线长为2l =，所以该圆锥的侧面积为rl π=22π． 故答案为：22π．【点睛】本题考查了圆锥的结构特点，圆锥的侧面积．属于基础题．8.给出下列三个函数：①1y x =；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】分别求得三个函数的导数，由导数的几何意义，解方程可得不满足题意的函数．【详解】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意； 对于③xy e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意； 故答案为：①【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算，以及方程思想、运算能力，属于中档题．9.如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．43【解析】 【分析】以A 为原点，建立平面直角坐标系，设AB ＝BC ＝2后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2， 则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝2， AD ＝226，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF 26262232=D （2323）， AC ＝（2,2），AD ＝（233-23），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（233 -，233）+μ（2,1），所以，2322232λμλμ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：343λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ的值为43故答案为：43【点睛】本题考查了平面向量的基本运算，建系用坐标表示是解题的关键，属于中档题．10.已知实数,x y满足(2)(23)0x y x y+--+≥，则22x y+的最小值为_______．【答案】95【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】由(2)(23)0x y x y+--+≥，得：20230x yx y+-≥⎧⎨-+≥⎩或20230x yx y+-≤⎧⎨-+≤⎩，不等式组表示的平面区域如图所示；22x y+=()()2200x-+y-，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，即原点到20x y+-=的距离为00222d+-==，原点到230x y+=－的距离为：02033555d-⨯+===所以，22x y +的最小值为235⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝95故答案为：95【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查目标函数的几何意义，数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题．11.已知()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()121f x x =--．若函数()log a y f x x =-(1a >)在()0,∞+上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值__．【答案】72【解析】 【分析】根据题意得()y f x =与log ay x =有4个交点，画出函数y ＝f （x ）与y ＝log ax （a ＞1）在（0，+∞）的图象，根据数形结合可得答案．【详解】当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，得12,02()1211322,22x x f x x x x ⎧<<⎪⎪=--=⎨⎪-≤≤⎪⎩ ，且()f x 是定义在R 上且周期为32的周期函数， 函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，∴函数()y f x =与log a y x =(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个不同的交点，分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x ＝72时，有72log a ＝1，所以a =72.故答案为：72【点睛】本题考查了函数的图象及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．12.已知正项等比数列{}n a的前n项和为n S．若9362S S S=+，则631SS+取得最小值时，9S的值为_______．73【解析】【分析】因为9362S S S=+，所以q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a qq q q---=+---，即63(1)(2)0q q--=，得32q=．化简得16311311a qq aSS+-=-+，由基本不等式得其最小值，即可得到9S．【详解】由9362S S S=+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a qq q q---=+---，化简得：936112(1)q q q-=-+-，即963220q q q--+=，即63(1)(2)0q q--=，得32q=，化简得631SS+＝6131(1)11(1)a q qq a q--+--＝113131a qq a-+≥-当11311a qq a-=-，即13a=时，631SS+取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)13q q --＝33故答案为：73【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，基本不等式求最小值的条件，属于中档题．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．【答案】32【解析】 【分析】因为C 为圆221x y +=上一点，设C （sinθ，cosθ），则利用坐标运算即可． 【详解】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sinθ，cosθ），则()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sincos θθθθ⋅=+-+-+++()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，利用坐标运算是解题的关键，属于中档题．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______． 【答案】3【解析】 【分析】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理2222cos b c a bc A +-=，代入22233kS b c a ≤+-化简得22444cos sin b c bc A k bc A ++≤，由基本不等式得22444cos sin b c bc Abc A ++≥84cos sin A A +；令84cos sin Ay A+=，得sin 4cos 8y A A -=，由辅助角公式得216)8y A ϕ+-=，进而得2sin()16A y ϕ-=+(]0,1∈，求出y 即可得答案.【详解】在ABC ∆中，面积公式1sin 2S bc A =，余弦定理2222cos b c a bc A +-=，代入22233kS b c a ≤+-，有221sin 222cos 2k bc A b c bc A ⨯≤++，即22444cos sin b c bc A k bc A++≤恒成立，求出22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而22444cos 8bc 4cos 84cos sin sin sin b c bc A bc A A bc A bc A A++++≥=，当且仅当b c =取等号， 令84cos sin Ay A+=，得：sin 84cos y A A =+，即sin 4cos 8y A A -=，22216()81616y A A y y +=++，令22cos 1616y y ϕϕ=++216)8y A ϕ+-=，即2sin()16A y ϕ-=+所以02116y ≤+，两边平方，得：26416y ≤+，解得：4843y ≥=22444cos sin b c bc Abc A++的最小值为4343k ≤故答案为：3【点睛】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，辅助角公式的化简，也考查了计算能力，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，π2<ϕ)的图象关于直线π6x =对称，两个相邻的最高点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式； （2）在△ABC 中，若3()5f A =-，求sin A 的值． 【答案】（1）()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）43310. 【解析】 【分析】（1）由题意可求正弦函数的周期，利用周期公式可求ω，由图象关于直线π6x =对称，可求62k ππϕπ+=+，结合范围π2<ϕ，可求ϕ，即可求得函数解析式． （2）由已知可求3sin 035A π⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，结合范围A+3π∈（π，43π），利用同角三角函数基本关系式可求cos （A+3π），根据两角差的正弦函数公式可求sinA 的值． 【详解】（1）∵函数()sin()f x x ωϕ=+（ω＞0，π2<ϕ）的图象上相邻两个最高点的距离为2π， ∴函数的周期T ＝2π，∴2πω＝2π，解得ω＝1，∴f（x ）＝sin （x+φ），又∵函数f （x ）的图象关于直线π6x =对称，∴62k ππϕπ+=+，k∈Z ， ∵π2<ϕ，∴ϕ＝3π，∴f（x ）＝sin （x+3π）．（2）在△ABC 中，∵3()5f A =-，A∈（0，π），∴3sin 035A π⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，∴244,,cos 1sin 33335A A A πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+∈∴+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴sin sin ()sin cos cos()sin 333333A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭3143433525210-⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查由()Asin y x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，D 是棱AB 的中点．（1）求证：11BC CD 平面A ； （2）求证：11BC AC ⊥． 【答案】(1)见详解；（2）见详解. 【解析】 【分析】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，可求O 为AC 1的中点，D 是棱AB 的中点，利用中位线的性质可证OD∥BC 1，根据线面平行的判断定理即可证明BC 1∥平面A 1CD ．（2）由（1）可证平行四边形ACC 1A 1是菱形，由其性质可得AC 1⊥A 1C ，利用线面垂直的性质可证AB⊥AA 1，根据AB⊥AC，利用线面垂直的判定定理可证AB⊥平面ACC 1A 1，利用线面垂直的性质可证AB⊥A 1C ，又AC 1⊥A 1C ，根据线面垂直的判定定理可证A 1C⊥平面ABC 1，利用线面垂直的性质即可证明BC 1⊥A 1C ． 【详解】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是平行四边形， 所以：O 为AC 1的中点，又因为：D 是棱AB 的中点，所以：OD∥BC 1， 又因为：BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，所以：BC 1∥平面A 1CD ．（2）由（1）可知：侧面ACC 1A 1是平行四边形，因为：AC ＝AA 1，所以：平行四边形ACC 1A 1是菱形， 所以：AC 1⊥A 1C ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，因为：AB ⊂平面ABC ，所以：AB⊥AA 1， 又因为：AB⊥AC，AC∩AA 1＝A ，AC ⊂平面ACC 1A 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．r的圆C的一段劣弧．路17.如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为m灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．【答案】(1)当r为5Q在路面中线上；（2）124 5.【解析】【分析】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出PQ 的方程，设C （a ，b ），根据CA ＝CP ＝r 列方程组可得出a ，b 的值，从而求出r 的值；（2）用a 表示出直线PQ 的斜率，得出PQ 的方程，求出Q 的坐标，从而可得出|HQ|关于a 的函数，根据a 的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值．【详解】（1）以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，8），P （2，10），Q （7，0），∴直线PQ 的方程为2x+y ﹣14＝0．设C （a ，b ），则222222(2)(10)(8)a b r a b r ⎧-+-=⎨+-=⎩， 两式相减得：a+b ﹣10＝0，又2a+b ﹣14＝0，解得a ＝4，b ＝6，∴224(68)25r =+-=．∴当25r =时，点Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知a+b ﹣10＝0，当a ＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x ＝2，此时HQ ＝0． 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y ﹣10＝2aa --（x ﹣2）， 令y ＝0可得x ＝12﹣20a ，即Q （12﹣20a，0）， ∵H 在线段OQ 上，∴12﹣20a≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a ﹣a ＝12﹣（20a +a ）≤12﹣220＝12﹣45，当且仅当20a＝a 即a ＝25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣45）m ．【点睛】本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，3，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±-=；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，b 3F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，结合隐含条件解得a ＝2，c ＝1，则椭圆方程可求；（2）当直线l 与x 轴重合时，求得MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系及MF ＝2FN 求得m 值，则直线方程可求；（3）当直线l 的斜率为0时，设P （x 0，y 0），由PM•PN＝PF 2，求得052x =，当直线l 的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM•PN＝PF 2，求得032y m =，代入直线方程得052x =，由此可得点P 在定直线52x =上．【详解】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得5m 5=±5250x y ±=； （3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号， 又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++， 22210200PM 1m y ,PN 1m y ,PF 1m =+-=+-=+．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 定直线52x =上． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设函数32()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ,已知1x ，2x 是()f x '的两个不同的零点．（1）证明：23a b >；（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）求关于x 的方程1211()()()()2x x f x f x x f x -+'+=的实根的个数． 【答案】(1)见解析；（2）[)1,-+∞；（3）1个. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用△＝4a 2﹣12b ＞0，得证；（2）分离参数a ，所以a≥ln x x ﹣x 对任意x ＞0恒成立，令新函数设g （x ）＝ln xx﹣x 求最值即可，或采用x 3+ax 2﹣xlnx≥0时求左侧最值亦可． （3）转化函数求零点个数可得结论．【详解】（1）函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx （a ，b∈R）的导函数为f′（x ）＝3x 2+2ax+b ． 已知x 1，x 2是f'（x ）的两个不同的零点，设x 1＜x 2， 所以△＝4a 2﹣12b ＞0，所以：a 2＞3b 得证；（2）当b ＝0时，对任意x ＞0，f （x ）≥xlnx 恒成立，所以x 3+ax 2≥xlnx，即x 3+ax 2﹣xlnx≥0，x 2+ax ﹣lnx≥0对任意x ＞0恒成立， 所以a≥ln xx﹣x 对任意x ＞0恒成立， 设g （x ）＝ln x x ﹣x ，则2221ln 1ln g ()1x x x x x x'---=-= ， 令h （x ）＝1﹣1nx ﹣x 2，则h '（x ）＝﹣1x﹣2x ＜0， 所以h （x ）在（0，+∞）上单调递减，注意到h （1）＝0，当x∈（0，1）时，h （x ）＞0，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，1）上单调递增， 当x∈（1，+∞）时，H （x ）＜0，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（1，+∞）上单调递减， 所以，当x ＝1时，g （x ）有最大值g （1）＝﹣1， 所以a 的取值范围为[﹣1，+∞）；（3）由题意设F （x ）＝f （x ）﹣f （x 1）﹣()'121()2x x f x x +-， 则原问题转化为求函数F （x ）的零点的个数，因为导函数为f '（x ）＝3x 2+2ax+b ，已知x 1，x 2是f'（x ）的两个不同的零点，所以：21212,23233x x x x a a a f f b ''++⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以： 22212()()323()0233x x a a F x f x f x ax x +⎛⎫=-=++=+ ⎪⎝⎭'''， 所以F （x ）在（0，+∞）上单调递增，注意到F （x 1）＝0，所以F （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点x 1， ∴关于x 的方程()()1211()2x x f x f x x f x '+⎛⎫=-+⎪⎝⎭有1个实根， 【点睛】本题考查函数的极值，最值的综合应用，函数的零点判断，构造新函数求最值的特点，属于难题．20.已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3．（1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求1a d的取值范围； （2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围． 【答案】(1)1a d＜﹣3；（2）a 1⋅q ＞0 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，由于数列是等差数列，运用等差数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果；（2）根据已知条件，由于数列是等比数列，运用等比数列的求和公式，建立不等式，进一步求出相应的结果．【详解】在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立， （1）设{a n }为等差数列，且公差为d ， 则：2ma 1+2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0， 则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，1a d＜﹣3； （2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1）， 则()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q1q1q---+<---，整理得1a 1q-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n）＜0， 则：﹣1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1a 1q-＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0解得：﹣12＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1⋅q ＞0． 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列和等比数列前n 项和公式的应用，也考查了运算能力，属于中档题．21.已知矩阵 1 2 0A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 5 72 3B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．B 的逆矩阵1B -满足17 17 7AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求实数,x y 的值；（2）求矩阵A 的特征值．【答案】(1)1,3x y ==；(2)2-和1. 【解析】 【分析】（1）利用1()A AB B -=求解即可；（2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-求出行列式，然后令f （λ）＝0即可．【详解】（1）因为17 17 7AB y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 5 72 3B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴17175712()723514721A AB B y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即12120514721x y y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，∴51417210,3y x x y y ⎧-==⎧⎨⎨-=∴=⎩⎩；（2）矩阵A 的特征多项式12()1f λλλ+-=-=（λ+1）λ﹣2＝（λ+2）（λ﹣1），令f （λ）＝0，则λ＝﹣2或λ＝1，∴矩阵A 的特征值﹣2和1． 【点睛】本题考查了逆变换与逆矩阵以及矩阵特征值的求法，属于基础题．22.在极坐标系中，圆C的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为7π2sin 06m ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值；（2）若2m =，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 【答案】（1）1m =；3【解析】 【分析】（1）将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，利用圆心在直线上列式可得． （2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得．【详解】（1）由ρ+2cosθ＝0得ρ2+2ρcosθ＝0，得x 2+y 2+2x ＝0，则圆心为（﹣1，0），半径r ＝1． 由2ρsin（θ﹣76π）+m ＝0得2ρsinθcos 76π﹣2ρcosθsin 76π+m ＝0，得直线l 的直角坐标方程为 x3+m ＝0，因为直线l 过圆C 的圆心，则﹣1+m ＝0，所以m ＝1． （2）若m ＝2，则圆心C 到直线的距离1d 213==+， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为22122134r d -=-=． 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，属于中档题．23.已知实数,,x y z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++≥++．【答案】见详解. 【解析】 【分析】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，由题意可得4a+b+9c ＝12，再根据柯西不等式即可证明． 【详解】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，∴4（a ﹣2b+6c ）+9（b ﹣3c ）+12c ＝12，即4a+b+9c ＝12，∴222221+1123x y y z z +++11111=(49)12b c a b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 2111149312a b c a b c ⎛⋅⋅⋅= ⎝ 故原不等式成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题24.如图，已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=；（2）若∆ABF 的面积为4，求直线l 的方程．【答案】(1)见解析；(2)210x +=.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程利用韦达定理可得121212y y k k 0x 1x 1+=+=--. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m 即可． 【详解】（1）当直线l 的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线方程可得得y 2﹣4my+4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝4∴121212y y k k x 1x 1+=+=--()()()()()1212121222242402222my y y y m m my my my my -+⨯-⨯==----. （2）S △ABF ＝S △EFB ﹣S △EFA ＝|y 1﹣y 2|()221212416164y y y y m +-=-=．解得m ＝2±（负值舍去）． ∴直线l 的方程为：210x +=．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．25.（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考察恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ． （2）求证：22212220(1)()(1)n r n n n n n r r C n C n C --=+-=+∑． 【答案】(1)37C ；(2)见解析.【解析】【分析】（1）考查恒等式（1+x ）7＝（1+x ）3（x+1）4左右两边x 3的系数可得；（2）根据r 11n!(n 1)!C (r 1)!(n r)!(r 1)!(n r)!r n n rC n n ---==⋅=---- ，考查恒等式（1+x ）2n ＝（1+x ）n （x+1）n 左右两边x n 的系数．考查恒等式（1+x ）2n ﹣1＝（1+x ）n ﹣1（x+1）n 左右两边x n ﹣1的系数，可得等式成立．【详解】（1）考查恒等式（1+x ）7＝（1+x ）3（x+1）4左右两边x 3的系数，因为右边（1+x ）3（x+1）4＝（03C +13C x+23C x 2+33C x 3）（44C x 4+34C x 3+24C x 2+14C x+04C ）， 所以，右边x 3的系数为0122334343104334C C C C C C C C +++＝0112233434343434C C C C C C C C +++而左边x 3的系数为：37C ，所以011223343434343347=C C C C C C C C C +++．（2）∵r 11n!(n 1)!C (r 1)!(n r)!(r 1)!(n r)!r n n rC n n ---==⋅=----， 220(1)()n r n r r C =+=∑222000()2()()n n nr r r n n n r r r rC r C C ===++∑∑∑ 2121211110()2()n n nr r r r n n n n r r r n Cn C C C ----====++∑∑∑． 考查恒等式（1+x ）2n ＝（1+x ）n （x+1）n 左右两边x n 的系数．因为右边x n 的系数为0011...n n n n n n n n C C C C C C +++＝()20nr r n C =∑，而左边的x n 的系数为2nn C ． 所以220()n r n n n r CC ==∑，同理可求得1211221()nr n n n r C C ----==∑ 考查恒等式（1+x ）2n ﹣1＝（1+x ）n ﹣1（x+1）n 左右两边x n ﹣1的系数，因为右边（1+x ）n ﹣1（x+1）n ＝（01n C -+11n C -x+…+11n n C --x n ﹣1）（0n C x n +1n C x n ﹣1+…+nn C ）， 所以，右边的x n ﹣1的系数为01121111...n n n n n n n n C C C C CC ----+++＝11n r n r r n C C =-∑， 而左边的x n ﹣1的系数为121n n C --，所以111n r n r r n CC =--∑＝121n n C --，220(1)()n r n r r C =+∑﹣2122n n n C --＝2122n n n C --+2n 121n n C --+2n n C ﹣2122n n n C -- ＝2n 121n n C --+2n n C ＝n （121n n C --+121n n C --）+2n n C ＝n （121n n C --+21n n C -）+2nn C ＝n 2n n C +2n n C ＝（n+1）2n n C ．【点睛】本题考查了二项式定理展开式指定项的系数，属于难题．。
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率． 故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y， 代入− +3×(−)＝8，∴． 故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析 ：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析 ：解：当x ＞0时，与题意不符， 当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析 ：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则 解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ． 【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析 ：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求； （Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得） 【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分 从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分 又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落 在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则．…………2分 在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ：解：（1）因为，所以，令 得：，此时，…………2分 则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个， 等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得． 解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0， 所以 ，又因为 0＜＜1， 所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分 设与存在 “分界线”，方程为， 由，对x ∈R 恒成立， 则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分） 下面证明恒成立． 设，则．所以当 时，G ′（x ）＞0；当 x ＞ 时，G ′（x ）＜0． 因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立． 故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ） 取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分 当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列 中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分 记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析附后)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】因为 ，所以令 则有： 或 或 ，即零点有 个，
故选：D.
16．要得到函数 的图象．只需将函数 的图象（）
A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
【答案】A
【解析】根据相位变换的左加右减有： 向左移动 个单位得到 ，
C．线线平行
⑤
A．线面平行
B．线线平行
C．线面垂直
30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l： 与x轴的交点为A，圆O： 经过点A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求 ．”
该同学解答过程如下：
解答：（Ⅰ）令 ，即 ，解得 ，所以点A的坐标为 ．
因为圆O： 经过点A，所以 ．
故选：D.
13．如图，在直三棱柱 中， ，如果 ， ， ，那么直三棱柱 的体积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ；
所以 ，
故选：B.
14． 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
故选：A.
【方法指导】
本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一： ， .
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析附后）
一、单选题
1．已知集合 ， ，那么 等于（）
A. B. C. D.
2．已知向量 ， ，那么 等于（）
A. B. C. D.
3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）
2019年安徽省普通高中学业水平测试仿真卷数学卷(含答案解析)
2019年安徽省普通高中学业水平测试仿真卷数学试题考试时间：90分钟；满分：100分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷(选择题共54分)一、选择题（本大题共18小题，共54分）1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=，则f(f(4))=（）A. 2B. 4C. 8D. 164.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（）A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 2B. 4C. 6D. 86.已知两点，，则直线AB的斜率为A. 2B.C.D.7.过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点，且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是（）A. B. C. D.8.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，79.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为( )A. 40B. 60C. 80D. 10010.如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A. B. C. D.11.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A. B. C. D.12.已知α为第二象限角，则在（）A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第二、三象限13.410°角的终边落在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14.已知向量=（1，2），=（3，1），则-=（）A. B. C. D.15.已知=（3，0），那么||等于（）A. 2B. 3C. 4D. 516.在等差数列{a n}中，已知a2=-8，公差d=2，则a12=（）A. 10B. 12C. 14D. 1617.已知△ABC中，a=1，，A=30°，则B等于（）A. B. 或 C. D. 或18.若log2a＜0，（）b＞1，则（）A. ，B. ，C. ，D.，第II 卷（非选择题 共46分）二、填空题（本大题共4小题，共16分）19. △ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且，则角B = ______ ． 20. 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是______． 21. 方程log 2（2-x ）+log 2（3-x ）=log 212的解x =______． 22. 函数 的定义域为 ． 三、解答题（本大题共3小题，共30.0分）23. 已知函数f （x ）= ，， ＜ ＜ ，．（1）求f （π）；（2）在坐标系中画出y =f （x ）的图象； （3）若f （a ）=3，求a 的值．24.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥平面SCD；（2）求证：BD⊥SC．25.已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x-3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3）.故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题.【解答】解：A.∵f（x）=3-x在（0，+∞）上为减函数，故A不正确；B.∵f（x）=x2-3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，故B 不正确；C.∵f（x）=-在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，故C 正确；D.∵f（x）=-|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，故D不正确.故选C.3.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是分段函数的函数值求法，属于基础题.可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1-log24=1-2=-1，f(f（4）)=f（-1）=21-（-1）=22=4．故选B．4.【答案】C【解析】本题考查象限角和轴线角，考查了角的集合的表示法，是基础题．直接由图写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合的答案．【解答】解：如图：终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α|-45°+k•360°≤α≤120°+k•360°，k Z}．故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图的应用．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选C．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．根据两点坐标求出直线l的斜率即可．【解答】解：直线AB的斜率k==2故选A．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两条直线的交点坐标，以及两直线垂直的应用，即可得直线方程的点斜式方程与一般式方程.解：由题意得：，解得，直线2x+y-5=0的斜率是-2，故其垂线的斜率是：，∴所求方程是：y-2=（x-1），即x-2y+3=0，故选D．8.【答案】A【解析】【分析】由已知茎叶图中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y的值．本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．【解答】由已知茎叶图知甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．【解答】解：∵高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，∴若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为==100，故选D.10.【答案】D【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 x y z,循环前 1 1 2,第一圈是 1 2 3,第二圈是 2 3 5,第三圈是 3 5 8,第四圈否.故最终的输出结果为：.故选D．11.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查概率、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．先运用列举法列出所有基本事件，再列出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，所得所有事件为：{红,黄}、{红,蓝}、{红,绿}、{红,紫}、{黄,蓝}、{黄,绿}、{黄,紫}、{蓝,绿}、{蓝,紫}、{绿,紫}，共有十种．取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件为{红,黄}、{红,蓝}、{红,绿}、{红,紫}，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选C．12.【答案】B【解析】【分析】本题给出角α的终边在第二象限，求的终边所在的象限，着重考查了象限角、轴线角和终边相同角的概念，属于基础题．根据角α的终边在第二象限，建立角α满足的不等式，两边除以2再讨论整数k的奇偶性，可得的终边所在的象限．【解答】解：∵角α的终边在第二象限，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k Z∴kπ+＜＜kπ+，①当k为偶数时，2nπ+＜＜2nπ+，n Z，得是第一象限角；②当k为奇数时，（2n+1）π+＜＜（2n+1）π+，n Z，得是第三象限角；故选B．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了象限角、轴线角，是基础题，由410°=360°+50°，即可求出410°角的终边落在第一象限．【解答】解：∵410°=360°+50°，∴410°角的终边落在第一象限．故选A．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，是基础题．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴-=（2，-1）故选B．15.【答案】B【解析】[分析]本小题主要考查向量的模等基础知识，属于基础题．利用向量的模的计算公式：=，即可求解．[解答]解：∵已知，那么=．故选B．16.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的第12项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．利用等差数列通项公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}，a2=-8，公差d=2，∴a12=a2+10d=-8+10×2=12．故选B．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理以及三角形边角关系的应用,解题时注意内角的范围，属于基础题.根据题意和正弦定理求出sinB的值，由边角关系、内角的范围，特殊角的三角函数值即可求出B.【解答】解:由题意得,△ABC中,a=1,,A=30°,由得,sinB===,又b＞a,0°＜B＜180°,则B=60°或B=120°,故选D.18.【答案】D【解析】解：∵log2a＜0=log21，由对数函数y=log2x在（0，+∞）单调递增∴0＜a＜1∵，由指数函数y=单调递减∴b＜0故选：D．由对数函数y=log2x在（0，+∞）单调递增及log2a＜0=log21可求a的范围，由指数函数y=单调递减，及可求b的范围．本题主要考查了借助指数函数与对数函数的单调性比较大小求解参数的范围，属于基础试题19.【答案】【解析】【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，根据正弦定理得c2-b2+a2=ac，又由余弦定理得cosB==，即可求出角B．【解答】解：由正弦定理可得=，∴c2-b2=ac-a2，∴c2-b2+a2=ac，由余弦定理得cosB==，∵0＜B＜π，∴B=，故答案．20.【答案】7500【解析】【分析】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为7500．21.【答案】-1【解析】解：∵方程log2（2-x）+log2（3-x）=log212，∴，即，解得x=-1．故答案为：-1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．22.【答案】[3，+∞)【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x-8≥0，得2x≥8，则x≥3，∴函数y=的定义域为[3，+∞)．故答案为[3，+∞)．23.【答案】解：（1）f（π）=2π；（2）如下图：（3）由图可知，f（a）=3时，a2=3，解得，a=．【解析】（1）由π＞2，代入求值；（2）作函数的图象；（3）由题意，a2=3．本题考查了学生对分段函数的掌握情况及学生的作图能力，属于基础题．24.【答案】证明：（1）因为ABCD为菱形，所以AB∥CD.又因为AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD.（2）连接AC，因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD.因为SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.又因为SC⊂平面SAC，所以BD⊥SC.【解析】本题考查线面平行的证明、线面垂直的判定与性质，属于基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.（1）由底面ABCD为菱形，得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面SCD. （2）连接AC，由线面垂直得SA⊥BD，由菱形的性质得AC⊥BD，由此能证明BD⊥平面SAC，再由线面垂直的性质可得结论.25.【答案】解：⑴∴ 的最小正周期为，令，则，∴ 的对称中心为.⑵∵∴∴∴∴当时，的最小值为；当时，的最大值为.【解析】本题考查三角函数的图像与性质,属于基本题型.（1）化简三角函数为，然后求最小正周期及对称中心.（2）先由的范围求出，即可得出答案.。
湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷(四)数学试题
令 ，当 时，解得： 或
所求零点之和为：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查函数零点的求解问题，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
由正弦定理求得 ；根据三角形大边对大角的原则可求得 ；利用三角形内角和求得 .
【省级联考】湖南省2021年普通高中学业水平考试仿真试卷（四）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，数列4， ，9是等比数列，则 （ ）
A．5B．6C．7D．8
2．在区间 内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）
9．已知函数 ，则 （ ）
A．3B．5C．6D．32
10．不等式 表示的平面区域（用阴影表示）为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．经过点 ， 的直线的斜率为3，则实数 ________.
12．已知三点 ， ， ，则 ________.
13．当 时，函数 的所有零点之和为________.
14． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知 ， ， ，则 ________.
8．C
【分析】
由三视图可还原几何体为三棱柱，则表面积为两个底面面积与三个侧面面积之和.
【详解】
由三视图可知几何体为三棱柱
几何体表面积
本题正确选项：
【点睛】
本题考查空间几何体的表面积的求解，关键是能够根据三视图判断出原几何体为三棱柱.
9．C
【分析】
将 代入函数解析式求得结果即可.
【详解】
由题意得：
本题正确选项：
C．若直线 ，直线 ，且 ， ，则
2019年高二数学学业水平模拟试卷(4)及答案解析
4 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1. 已知集合A ＝{}0，1，3，B ＝{}1，2，则A ∪B 等于( )A. {}1B. {}0，2，3C. {}0，1，2，3D. {}1，2，32. 已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝{x |1x <0}，则A ∩B 等于( )A. －1B. {}－1C. (－∞，0)D. {}－1，03. 等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，则a 8＝( )A. 4B. 6C. 8D. 104. “sin A ＝12”是“∠A ＝30°”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是() A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交6. 函数f (x )＝2x 2＋1( )A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数7. 过点A (0，1)且与直线y ＝2x －5平行的直线的方程是( )A. 2x －y ＋1＝0B. 2x －y －1＝0C. x ＋2y －1＝0D. x ＋2y ＋1＝08. 在空间中，下列命题正确的是( )A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一直线的两条直线平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行9. 已知a ，b ∈R ＋，且ab ＝1，则a ＋b 的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(第10题)10. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A. AB →＝OC →B. AB →∥DE →C. ||AD →＝||BE →D. AD →＝FC →11. 已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(－1，2)，则2a －b ＝( )A. (7，0)B. (5，0)C. (5，－4)D. (7，－4)12. “x ＝0”是“xy ＝0”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件13. 焦点为(1，0)的抛物线的标准方程是( )A. y 2＝2xB. x 2＝2yC. y 2＝4xD. x 2＝4y14. 不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集是( )A. {} |x －2<x <－1B. {} |x x <－2或x >－1C. {} |x 1<x <2D. {} |x x <1或x >215. 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )A. y ＝－x ＋1B. y ＝1xC. y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD. y ＝1－x 216. 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ，则a 4＝( )A. 32B. 14C. 18D. 11617. 双曲线x 24－y 29＝1的离心率是( )A. 23B. 94C. 52 D. 13218. 若α∈(0，π2)，且sin α＝45，则cos 2α等于( ) A. 725 B. －725 C. 1 D. 7519. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A. －1或 3B. 1或3C. －2或6D. 0或420. 已知直线l ：ax ＋by ＝1，点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1外，则直线l 与圆C 的位置关系是() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定21. 函数y ＝2sin(π3－x )，x ∈[π6，2π3]的最小值和最大值分别是( ) A. －3和1 B. －1和2 C. 1和3 D. 1和222. 若k <2且k ≠0，则椭圆x 23＋y 22＝1与x 22－k ＋y 23－k ＝1有( )A. 相等的长轴B. 相等的短轴C. 相同的焦点D. 相等的焦距23. “a 2＋b 2>0”是“ab ≠0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件24. 若a ，b 为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是( )①a 2＋b 22≥ab ；②（a ＋b ）24≤a 2＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④ba ＋ab ≥2.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个25. 在60°的二面角α－l －β，面α上一点到β的距离是2 cm ，那么这个点到棱的距离为()A. 433 cmB. 2 3 cmC. 4 3 cmD. 233cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)26. 已知a ＝(2，5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝________．27. 不等式x ＋1x －2>0的解集________． 28. 函数y ＝2sin x ·cos x －1，x ∈R 的值域是________． 29. 已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________． 30. 给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{}－4，－2，0，2，4为闭集合；②集合A ＝{}n |n ＝3k ，k ∈Z 为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)31. (本题7分)△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c ＝3a ，求∠C .32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)[第32题(A)](A)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别是PC ，AB 的中点，平面PAD ⊥ 底面ABCD .(1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)求证：AB ⊥平面PAD .(B)如图，四边形DCBE 为直角梯形，∠DCB ＝90°，DE ∥CB ，DE ＝1，BC ＝2，CD ＝AC ＝1，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，直线AE 与直线CD 所成角的大小为60°.[第32题(B)](1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求BE 与平面ACE 所成角的正弦值．4 2014高中学业水平考试《数学》模拟试卷(四)1. C2. B3. C4. B5. C6. B7. A8. D 9. B 10. D 11. D 12. B 13. C 14. A15. D 16. C 17. D 18. B 19. D 20. A21. A 22. D 23. B24. C [提示：①显然成立，② a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2⇒（a ＋b ）24≤a 2＋b 22，③④由于a ，b 正负未确定不能得出．] 25. A [提示：构造直角三角形，得到棱的距离等于2sin 60°＝433.] 26. 15227. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 28. [－2，0] 29. 4或－54 [提示：当0<k ＋8<9时，c 2a 2＝9－（k ＋8）9＝14，解得k ＝－54；当k ＋8>9时，c 2a 2＝（k ＋8）－9k ＋8＝14，解得k ＝4.] 30. ② [提示：①2＋4＝6∉A ，所以A 不是闭集合；②中A 是闭集合，证明：设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a ＋b ＝3(k 1＋k 2)∈A ，a －b ＝3(k 1－k 2)∈A ，所以A 是闭集合；③中A 不是闭集合．]31. 解：(1)a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ⇒ sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ⇒ sin B ＝2sin A ⇒b a ＝2. (2)cos C ＝a 2＋4a 2－3a 22·a ·2a＝12，∴∠C ＝π3. 32. (A)证明：(1)取PD 的中点G ，连接EG ，AG ，则EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形，∴EF ∥AG ，所以EF ∥平面PAD . (2)∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD .(第32题)(B)证明：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥CB ，∴CD ⊥平面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC . (2)在平面ACB 内，过C 作CF ⊥CB ，以C 为原点，以CF ，CB ，CD 所在射线为x ，y ，z 的正半轴建立空间直角坐标系．∴CE →＝(0，1，1)，CA →＝(32，－12，0)，BE →＝(0，－1，1)，设平面ACE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x －12y ＝0，y ＋z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)，设BE 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝BE →·n |BE →|·|n |＝427，∴BE 与平面ACE 所成角的正弦值为427.33. 解：(1)a 1a 4＝13，a 2＋a 3＝14⇒a 1＝1，a 4＝13⇒d ＝4⇒a n ＝4n －3.(2)S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n ⇒b n ＝2n 2－n n －12＝2n ，∴f (n )＝2n （n ＋36）·2（n ＋1）＝n n 2＋37n ＋36＝1n ＋36n＋37≤149，当且仅当n ＝6时取到最大值．(第34题)34. 解：(1)由题意，可设拋物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在拋物线C 上，所以p ＝1.因此，拋物线C 的标准方程为y 2＝2x . (2)由(1)可得焦点F 的坐标是(12，0)，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0. (3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝y k＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k .由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)．化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)4（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m )．所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D (s 22，s )，E (t 22，t )．由点M (m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2(m －s 22)，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f (m )＝DE ＝ （2s 2－s 22）2＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m (m >0)．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(四)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上． 1. 复数2＋i1＋i (i 为虚数单位)的模为________．2. 函数f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)的定义域为________ . 3. 某公司生产A ，B ，C 三种药品，产量分别为1 200箱，6 000箱，2 000箱．为检验该公司的药品质量，现用分层抽样的方法抽取46箱进行检验，则A 药品应抽取________箱．4. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的y 的值为________．5. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，π6， π4， π3， π2， 2π3， 3π4， 5π6， π.现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为________．6. “α＝π4”是“cos 2α＝0”的________条件．7. 已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.则sin α的值为________.8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），kx －x 2（x <1）是R 上的单调增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积为36，点E 为棱B 1B 上的点，且B 1E ＝2BE ，则三棱锥A 1AED 的体积为________．10. 若直线l ：2x ＋y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且a >0，b >0则ab 的最大值为________． 11. 在等比数列{a n }中，a n ＞0且a 1a 3a 5a 7a 9＝32，则a 2＋a 8的最小值是________．12. 已知函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]，则满足f (x 0)>f (π6)的x 0的取值范围是________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a ·b ＝0，且|c －2b |＝2|c －a |，则|c ＋2a |的最小值是________．14. 已知a ≠0，函数f (x )＝e x －a (x ＋1)的图象与x 轴相切．若x >1时，f (x )>mx 2，则实数m 的取值范围是__________________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG ∥平面BCD .求证：(1) EF ＝12BC ；(2) 平面EFD ⊥平面ABC .已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n . (1) 求函数f (x )在区间[－π4，π6]上的最大值；(2) 设g (x )＝12－f (x )，若sin(2θ－π6)＝13，0<θ<π4，求g (θ)的值．一个游戏盘由一个直径为2 m的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1 m，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T.(1) 试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2) 求时间T最短时cos θ的值.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点(2, 2)．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△P AB的面积最小．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a2n＋1＝a n a n＋2＋p，则称数列{a n}是“容数列”．(1) 若数列{a n}的前n项和S n＝n2(n∈N*)，求证：{a n}是“容数列”；(2) 设{a n}是各项均不为0的“容数列”．①若p<0，求证：{a n}不是等差数列；②若p>0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，ax 3＋（b －4a ）x 2－（4b ＋14）x ＋1， 0≤x ≤4，a （log 4x －1）， x >4(a ，b 为常数，且a ≠0)．(1) 若b ＝0且f (8)＝1，求f (x )在x ＝0处的切线方程；(2) 设a ，b 互为相反数，且f (x )是R 上的单调函数，求a 的取值范围； (3) 若a ＝1，b ∈R .试讨论函数g (x )＝f (x )＋b 的零点的个数，并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(四)1.102 解析： 2＋i 1＋i ＝3－i 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋i ＝⎪⎪⎪⎪3－i 2＝94＋14＝102. 2. (－1，2) 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，x ＋1>0，解得－1<x<2.3. 6 解析：461 200＋6 000＋2 000×1 200＝6.4. 2 解析：由程序框图可知，第一次运行时，输入x ＝5，不满足x ≤0，故x ＝5－3＝2；第二次运行时，x ＝2不满足x ≤0，故x ＝2－3＝－1；第三次运行时，x ＝－1满足x ≤0，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，输出y ＝2.5. 49 解析：当余弦值为正数时，x ＝0，π6， π4， π3，概率为49. 6. 充分不必要 解析：由cos 2α＝0，得2α＝k π＋π2，α＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴ “α＝π4”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7. 13 解析：∵ β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－13，∴ sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，从而cos (α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429， ∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13.8. [2，3] 解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1，k －1≤2，∴ 2≤k ≤3.9. 6 解析：V A 1AED ＝VEA 1AD ＝13S △A 1AD ·AB ＝16SA 1ADD 1·AB ＝16×36＝6.10.258 解析：|2a ＋b|5＝5，且a>0，b>0，从而2a ＋b ＝5，∴ 5＝2a ＋b ≥22ab ，∴ ab ≤258，当且仅当2a ＝b ，即a ＝54，b ＝52时等号成立，从而ab 的最大值为258.11. 4 解析：∵ a 1a 3a 5a 7a 9＝32，a n >0，∴ a 5＝2，∴ a 2＋a 8≥2a 2a 8＝4.12. ⎣⎡⎭⎫－π2，－π6∪⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2为偶函数，其图象关于y 轴对称，故考虑函数在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的情形，利用导数可得函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故在⎣⎡⎦⎤0，π2上f(x 0)>f ⎝⎛⎭⎫π6的x 0的取值范围是⎝⎛⎦⎤π6，π2，利用对称性质知，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上， x 0的取值范围是[－π2，－π6)∪⎝⎛⎦⎤π6，π2.13. 20－10 解析：设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，OP →＝c ＝(x ，y )，则由|c －2b |＝2|c －a |，得x 2＋(y －2)2＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋(y ＋2)2＝10.又|c ＋2a |＝（x ＋2）2＋y 2，∴ |c ＋2a |min ＝20－10.14. (－∞，e －2] 解析：f ′(x )＝e x－a ，依题意，设切点为(x 0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （x 0）＝0，f ′（x 0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧e x 0－a （x 0＋1）＝0，e x 0－a ＝0.又a ≠0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝1，f (x )＝e x －x －1.由题意，得e x －x －1>mx 2，即e x －x －1x 2>m 在(1，＋∞) 上恒成立．设h (x )＝e x －x －1x 2，x >1，则h ′(x )＝（x －2）e x ＋x ＋2x 3，x >1.设s (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，x >1, ∴ s ′(x )＝(x －1)e x ＋1，x >1，∴ s ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴ s (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵ s (1)＝3－e>0，∴ s (x )>0即h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． ∵ h (1)＝e －2，∴ m ≤e －2，即实数m 的取值范围是(－∞，e －2]．15. 证明：(1) 因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， 所以EG ∥BD.又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点，同理可得F 为AC 的中点，所以EF ＝12BC.(7分)(2) 因为AD ＝BD ，由(1)知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE.又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC. 由(1)知，EF ∥BC ，所以AB ⊥EF.又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD.又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得f(x)＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵ －π3≤2x ＋π6≤π2，∴ f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1＋32，∴ f(x)max ＝1＋32.(7分)(2) 由(1)知g(x)＝12－f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∵ sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝13，0<θ<π4，∴ －π6<2θ－π6<π3，∴ cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝223，∴ g (θ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＋π3＝26＋16.(14分)17. 解：(1) 过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG ＝1，OF ＝OG sin θ＝1sin θ，EF ＝1＋1sin θ，AE ︵＝θ，∴ T (θ)＝AE ︵5v ＋EF6v ＝θ5v ＋16v sin θ＋16v ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4.(6分) (2) ∵ T(θ)＝θ5v ＋16v sin θ＋16v，∴T ′(θ)＝15v －cos θ6v sin 2θ＝6sin 2θ－5cos θ30v sin 2θ＝－（2cos θ＋3）（3cos θ－2）30v sin 2θ，记cos θ0＝23，θ0∈[π4，3π4]，故当cos θ＝23时，时间T 最短．(14分)18. 解：(1) 由题意得2c ＝26，且4a 2＋4b 2＝1.又c 2＝a 2－b 2，故a 2＝12，b 2＝6， 所以椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(6分)(2) 设点P(x 0，y 0)，其中x 0∈(2，23]，且x 2012＋y 206＝1，又设A(0，m)，B(0，n)，不妨令m>n, 则直线PA 的方程为(y 0－m)x －x 0y ＋x 0m ＝0，则圆心(1，0)到直线PA 的距离为|y 0－m ＋x 0m|（y 0－m ）2＋x 20＝1，化简得(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0，(8分) 同理，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0，所以m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 则(m －n)2＝（2y 0）2＋4x 0（x 0－2）（x 0－2）2，又△PAB 的面积为S ＝12(m －n)x 0，所以S 2＝y 20＋x 0（x 0－2）（x 0－2）2x 20＝（x 0－2）2＋82（x 0－2）2x 2，令t ＝x 0－2∈(0，23－2]，记f(t)＝（t 2＋8）（t ＋2）22t 2，则f′(t)＝t （t ＋2）（t 3－16）t 4＜0在(0，23－2]上恒成立，所以f(t)在(0, 23－2]上单调递减，故t ＝23－2，即x 0＝23时，f(t)最小，此时△PAB 的面积最小， 当x 0＝23时，y 0＝0，即P(23，0)．(16分) 19. 证明：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *，则{a n }是“容数列”⇔存在非零常数p ，使得(2n ＋1)2＝(2n －1)(2n ＋3)＋p ， 显然p ＝4满足题意，所以{a n }是“容数列”．(4分) (2) ① 假设{a n }是等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p ，得(a 1＋nd )2＝[a 1＋(n －1)·d ][a 1＋(n ＋1)d ]＋p ， 解得p ＝d 2≥0，这与p <0矛盾，故假设不成立，从而{a n }不是等差数列．(10分) ② 因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋p (p >0)， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋p (n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1(n ≥2)．因为{a n }的各项均不为0，所以a n ＋1＋a n －1a n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ≥2)，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1＋a n －1a n (n ≥2)是常数列． 因为a 1，a 2，a 3成等差数列，所以a 3＋a 1a 2＝2，从而a n ＋1＋a n －1a n＝2(n ≥2)，即a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，即证．(16分) 20. 解：(1) ∵ f(8)＝1，∴ a ＝2. 又b ＝0，∴ f(0)＝1， ∴ f ′(0)＝－14，∴ f(x)在x ＝0处的切线方程为x ＋4y －4＝0.(4分) (2) ∵ y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，且f(x)是R 上的单调函数， ∴ 在y ＝a (log 4x －1)中，应该有y ′＝ax ln 4≤0，故a <0.(5分) 在y ＝ax 3＋(b －4a )x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1中，其中a ＋b ＝0， y ′＝3ax 2－10ax ＋4a －14，导函数的对称轴为x ＝53，故Δ＝100a 2－12a ⎝⎛⎭⎫4a －14≤0，解得－352≤a <0， 即a 的取值范围是[－352，0)．(8分)(3) 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，x 3＋（b －4）x 2－⎝⎛⎭⎫4b ＋14x ＋1，0≤x ≤4，log 4x －1，x >4，则f ′(x )＝3x 2＋2(b －4)x －⎝⎛⎭⎫4b ＋14(0≤x ≤4)， 其判别式Δ＝4b 2＋16b ＋67>0，记f ′(x )＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 列表：当b >0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x ＝1－b 无解， 又f (0)＋b ＝1＋b >0, f (4)＋b ＝b >0,f (2)＋b ＝8＋4(b －4)－2⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－152－3b <0， 方程在(0，4)上有两解，方程一共有两个解；(10分)当b <－1时，⎝⎛⎭⎫12x ＋b ＝0有一解x ＝log 0.5(－b )，log 4x －1＋b ＝0有一解x ＝41－b,又f (0)＋b ＝1＋b <0，f (4)＋b ＝b <0，f ⎝⎛⎭⎫12＋b ＝18＋14(b －4)－12⎝⎛⎭⎫4b ＋14＋1＋b ＝－34b >0, 故方程在(0，4)上有两解，方程共有4个解；(12分)当－1<b <0时，⎝⎛⎭⎫12x＋b ＝0无解，log 4x －1＋b ＝0有一解， 又f (0)＋b ＝1＋b >0，f (4)＋b ＝b <0,方程在(0，4)内只有一解，方程共两解；(14分)当b ＝0时，有x ＝4和x ＝12两解，当b ＝－1时，有x ＝0，x ＝5－102，x ＝16三个解，综上，当b >－1时，g (x )有2个零点；当b ＝－1时，g (x )有3个零点；当b <－1时，g (x )有4个零点．(16分)。
2019年湖南省普通高中学业水平仿真数学试卷(四)
2019年湖南省普通高中学业水平仿真数学试卷（四）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知，数列，，是等比数列，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】根据题意，由等比中项的定义可得＝＝，结合的范围分析可得答案．【解答】根据题意，数列，，是等比数列，则有＝＝，又由，则＝；2. 在区间内任取一个实数，则此数大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】直接利用测度比为长度比求解．【解答】要使此数大于，只要在区间上取即可，由几何概型概率可得此数大于的概率为为．3. 已知集合＝，＝，＝，则＝（）A. B.C. D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行交集、并集的运算即可．【解答】∵＝，＝，＝，∴＝，＝．4. 如图是一个算法流程图．若输入的值为，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】程序框图【解析】直接模拟程序框图即可得结论．【解答】根据流程图可得，∵＝∴＝；5. 已知，为不同的直线，、、为不同的平面．在下列命题中，正确的是（）A.若直线平面，直线平面，则B.若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则C.若直线，直线，且，，则D.若平面平面，平面平面，则【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在中，与相交或平行；在中，与相交或平行；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的判定定理得．【解答】由，为不同的直线，、、为不同的平面，知：在中，若直线平面，直线平面，则与相交或平行，故错误；在中，若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则与相交或平行，故错误；在中，若直线，直线，且，，则与相交或平行，故错误；在中，若平面平面，平面平面，则面面平行的判定定理得，故正确．6. 已知，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】，则＝．7. 在四边形中，若，且，则四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由判断四边形是平行四边形，由判断平行四边形是矩形．【解答】四边形中，，则四边形是平行四边形；又，所以，所以平行四边形是矩形．8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【解答】根据几何体的三视图，转换为几何体为，底面为直角三角形的三棱柱，即：底面为直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱．故．9. 已知函数＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】对数的运算性质函数的求值【解析】根据题意，由函数的解析式可得＝，由对数的计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，＝，则＝＝＝，10. 不等式表示的平面区域（用阴影表示）为（）A.B.C.D.【答案】B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】根据不等式组的性质，将不等式组进行转化即可得到结论．【解答】不等式组等价为或；则对应区域为；二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.经过点，的直线的斜率为，则实数＝________．【答案】直接由已知结合斜率公式求解．【解答】，，由，得＝，即＝．已知三点，，，则________．【答案】【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据，点的坐标即可得出，从而得出，进而得出．【解答】∵，∴，∴．当时，函数＝的所有零点之和为________．【答案】【考点】函数与方程的综合运用【解析】通过，求出函数的零点，然后求解零点的和即可．【解答】当时，可得＝，解得＝，＝，所以函数＝的所有零点之和为：＝，的内角，，的对边分别是，，．已知＝，＝，，则＝________．【答案】【考点】正弦定理【解析】由正弦定理可得，，可求，然后结合大边对大角可求，进而可求．∵＝，＝，，由正弦定理可得，，∴，∵，∴＝，∴＝，＝＝已知样本，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数和方差分别是________．【答案】，【考点】极差、方差与标准差【解析】利用平均数、方差的性质直接求解．【解答】∵样本，，，，的平均数为，方差为，∴，，，，的平均数为：＝，方差分别是：＝．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足＝，＝．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】数列的通项公式为＝＝；由（1）和＝，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式求解即可．（2）利用递推关系式推出数列是等比数列，然后求和即可．【解答】数列的通项公式为＝＝；因此数列是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则．某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到如表：使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值．（1）从公司收集的这些产品中随机选取件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率；（2）假设该公司的甲类产品共销售件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．【答案】由题意知，样本中公司的产品总件数是＝，而丙类产品中获得用户满意评价的产品件数是＝，所以，从公司收集的这些产品中随机选取件，这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率为．在样本件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是＝，而该公司的甲类产品共销售了件，由样本估计总体可知，这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是件．【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】（1）先求出样本中公司的产品总件数是，丙类产品中获得用户满意评价的产品件数是，由此能求出从公司收集的这些产品中随机选取件，这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率．（2）在样本件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是，该公司的甲类产品共销售了件，由样本估计总体能求出这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数．【解答】由题意知，样本中公司的产品总件数是＝，而丙类产品中获得用户满意评价的产品件数是＝，所以，从公司收集的这些产品中随机选取件，这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率为．在样本件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是＝，而该公司的甲类产品共销售了件，由样本估计总体可知，这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是件．已知，对于函数．（1）判断函数的单调性，并简要说明；（2）是否存在实数使函数为奇函数？若存在，求出的值．【答案】函数在上是减函数，理由如下：＝在上单调递增，且，所以在上单调递减，又，且为常数，故函数在上是减函数．若函数为奇函数，则＝，即，化简得，即＝，解得．【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】（1）根据题意，由指数函数的性质分析可得＝在上单调递增，进而可得在上单调递减，据此分析可得答案；（2）由奇函数的性质可得＝，即，化简变形可得答案．【解答】函数在上是减函数，理由如下：＝在上单调递增，且，所以在上单调递减，又，且为常数，故函数在上是减函数．若函数为奇函数，则＝，即，化简得，即＝，解得．已知函数，．（1）填写下表，用“五点法”画在一个周期内的图象．（2）求函数的最小正周期和单调递增区间．【答案】填表和作图如下．函数的最小正周期为，又，，解得，所以函数的单调递增区间为，．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象【解析】（1）利用三角函数求值完成表格，通过五点法作图化简函数的图象．（2）利用三角函数的周期公式以及正弦函数的单调区间的求法，求解即可．【解答】填表和作图如下．函数的最小正周期为，又，，解得，所以函数的单调递增区间为，．如图，已知圆的方程为＝，是直线＝上的任意一点，过作圆的两条切线，切点分别是，，线段的中点为．（1）当点运动到轴上时，求出点，的坐标；（2）当点在轴上方运动且＝时，求直线的方程；（3）求证：＝，并求点的轨迹方程．【答案】当运动到轴上时，，＝，，则，所以直线垂直平分线段，则点，的横坐标为，又，在圆＝上，可知点的坐标为，点的坐标为．连接，，，则点在上，设的坐标为，因为＝，所以＝，则，所以，解得＝，即，直线的斜率为，又＝，＝，所以，则直线的斜率为，所以＝，，即点到直线的距离为，所以，解得＝（负值舍去），所以直线的方程为＝．设点的坐标为，的坐标为，连接，，，则点在上，由（2）知，又，可知，即，即＝，将坐标代入得，，①又，则＝，即，②将②代入①，得＝，因为，化简得点的轨迹方程为＝．【考点】轨迹方程【解析】（1）当运动到轴上时，利用对称性，结合圆的方程，转化求解点的坐标为，点的坐标为．（2）连接，，，则点在上，设的坐标为，推出，则直线的斜率为，设直线的方程为＝，通过点到直线的距离，列出方程，解得＝（负值舍去），求出直线的方程为＝．（3）设点的坐标为，的坐标为，连接，，，则点在上，由（2）知，又，可知，即，即＝，将坐标代入得，化简得点的轨迹方程为＝．【解答】当运动到轴上时，，＝，，则，所以直线垂直平分线段，则点，的横坐标为，又，在圆＝上，可知点的坐标为，点的坐标为．连接，，，则点在上，设的坐标为，因为＝，所以＝，则，所以，解得＝，即，直线的斜率为，又＝，＝，所以，则直线的斜率为，设直线的方程为＝，因为＝，所以＝，，即点到直线的距离为，所以，解得＝（负值舍去），所以直线的方程为＝．设点的坐标为，的坐标为，连接，，，则点在上，由（2）知，又，可知，即，即＝，将坐标代入得，，①又，则＝，即，②将②代入①，得＝，因为，化简得点的轨迹方程为＝．。