九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；

（2）找：找出等量关系；

（3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（4）列：列出一元二次方程；

（5）解：求出所列方程的解；

（6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（7）答：作答。

二、典型题型

1. 数字问题

例1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练习：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）

A. 25

B. 36

C. 25 或36

D. -25 或-36

2. 传播问题：公式：（a+x）n=M 其中a 为传染源（一般a=1），n 为传染轮数，M 为最后得病总人数

例3 、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100 人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

3. 相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题1 n（n-1），双循环问题n（n-1）.

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例4、（1）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有多少个队参加比赛？

（2）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90 场比赛，共有多少个队参加比赛？

66，请问参加例5 、一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握

手会议的人数共有多少人？

例6 、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1 件，全组共互赠了182件，设全组有x 个同学，则根据题意列出的方程是（）

A. x x 1 182

B. x x 1 182

C. 2x x 1 182

D. x x 1 182 2

练习：1、甲A 联赛中的每两队之间都要进行两次比赛，若某一赛季共比赛110 场，则联赛中共有多少个队参加比赛？

2、参加一次聚会的每两人都握了一次手, 所有人共握手15 次, 有多少人参加聚会?

3、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?

4. 平均增长率问题：b=a（1 ±x）n，n 为增长或降低次数, b 为最后产量，a

为基数，x 为平均增长率或降低率

例7、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2 月份开始涨价，3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。

例8 、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？

练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.

2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5 升．问每次倒出溶液的升数？

3. （2018·宁夏）某企业2018年初获利润300万元，到2020 年初计划利润达到507万元. 设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（）

A. 300 （1＋x）＝507

B. 300（1＋x）2＝507

C. 300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507

D. 300＋300（1＋x）＋300（1＋x）2＝507

4. （2017·无锡改编）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1 月份到3 月份，该店销售额平均每月的增长率是Ｗ.

5. （2018·沈阳）某公司今年1 月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元.假设该公司2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.

6. （宜昌中考题）某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015 年的销售量为9.5 万份，平均每份获利1.9 元，预计以后四年每年销售量按5 000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014 年底就投入资金10.89 万元，新增了一条B 品牌

产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求.B 品牌产销线2015 年的销售量为1.8 万份，平均每份获

利3 元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2 倍逐年递增.这样，2016 年A，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数.

（1）求A 品牌产销线2018 年的销售量；

（2）求B 品牌产销线2016 年平均每份获利增长的百分数.

7. （2018·安顺）某地2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280 万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015 年的基础上增加投入资金1 600 万元.

（1）从2015年到2017 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2017 年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500 万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户（含第1 000 户）每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天奖励5 元，按租房400 天计算，求2017 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.

5. 商品销售问题

例9、某商店购进一种商品，进价30 元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价X（元）满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200 元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

例10、益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？