2425切线长定理

这是一位同学运动完后放的篮球，
如果截它的平面，那么你能从中发现什 么几何知识呢？
P
C
D 地面 A
B墙
从圆外一点 可以引圆的 P 两条切线。
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长, 叫做这点到圆的切线长。
A
O
1 2
⌒
P
关键是
B
作辅助线
根据你的直观判断，猜想图中PA是否等 于PB？∠1与∠2又有什么关系？
(2)写出图中与∠OAC相等的角 B
E
。
O CD P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC A
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，
交AB于C。
(3)写出图中所有的全等三角形
B
△AOP≌ △BOP，
△AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
E
。
O CD P
A
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交于⊙O于点D、E， 交AB于C。
几何语言:
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA=PB
。
P
O
∠OPA=∠OPB
A
切线长定理为证明线段相等、 角相等提供了新的方法。
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你 又能得出什么新的结论?并给出证明.
B
OP垂直平分AB O。 M
P
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
A
F
E
O
B
C
D
如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、
B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已
知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE
的周长为（ A ）
A .16cm C.12cm
B.14cm D. 8cm
AD
C P
BE
例：已知：如图, △ABC的内切圆
⊙O与BC、CA、AB分别相交于点D、
E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，
条切线（ × ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，
它们的长相等。（ × ）
二、填空
如图,PA、PB切圆于A、B两点，
∠APB=50°,连结PO，则
∠APO= 25 度。 A
O
P
B
填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
（1）若PB=12，PO=13，则AO= 5
;
（2）若PO=10，AO=6，则PB=
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交于⊙O于点D、E， 交AB于C。
(1)写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，
B
OB⊥PB， AB⊥OP
E
。
O CD P
A
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交于⊙O于点D、E， 交AB于C。
3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的 交点；三角形的外心是三角形三条边垂直平分 线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果AF=2cm, BD=7cm,CE=4cm,则BC= 11 cm, AC= 6cm ，AB= 9cm 。
O
B
F
C
三角形的外接圆
C
三角形的内切圆
C
．o A
B
外心：三角形三边垂 直平分线的交点。
性质：到三角形三个 顶点的距离相等。
o．
A
B
内心：三角形三个内 角平分线的交点。
性质：到三角形三边 的距离相等。
1.一个三角形有且只有一个内切圆； 一个圆有无数个外切三角形；
2.一个三角形 有且只有一个外接圆； 一个圆有无数个内接三角形；
三角形与圆
——三角形的内切圆
一张三角形的铁皮，如何在它上面 截下一块圆形的用料，并且使圆的 面积尽可能大呢？
思考
三角形的内切圆:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心: 三角形的内切圆I 的圆心
（即三角形三条角平分线的交点）
A
内心的性质:
1.与顶点的连线平分三个内角。 D
E
2.到三角形三边的距离相等。
8
；
（3）若PA=4，AO=3，则PO= 5 ；
PD= 2 ；
如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切 ⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。
(1)若OA=3cm,∠APB=60°，则PA=__ _.
(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O
M
P
CB
反思：在解决有关圆的切线长问题时， 往往需要我们构建基本图形。
CA＝13cm,求AF、BD、CE的长。
A
x xE
F
y
O
z
By D z
C
如图，Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 , BC=4,则内切圆的半径是__1 _.
F D
E
直角三角形中,设直角边分别为a、b, 斜边为c,内切圆半径为r，则
r abc 2
c ar
b
如图，△ABC的内切圆的半径为2, △ABC 的周长为30,求△ABC的面积S.
（4）写出图中所有的等腰三角形
B
△OAB, △PAB
E
。
O CD P
A
例.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B 为切点，直线OP交于⊙O于点D、E， 交AB于C。
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA.
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设OA=xcm,则PO=PD+x=(2+x)cm B
在Rt△OAP中，由勾股定理，
得 42+x2 =(x+2)2
已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点，如何证明 PA=PB,
∠APO=∠BPO ？
证明：连结OA、OB
∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt△AOP ≌ Rt△BOP
O
P
B
∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
E
。
O CD P
解得x=3
所以，半径 OA 的长为3cm.
A
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线， 切点分别是A、B，Q为⊙O上一点， 过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、 F点，已知PA=12cm，∠P=70°,
求:(1)△PEF的周长 A
(2)∠EOF的大小。E
O
Q
P
FB
一、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两
(1)分别连结圆心和切点 A
(2)连结两切点
。
O
P
(3)连结圆心和圆外一点 B
小结：
B
1.切线长定理 从圆外 一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆 心和这一点的连线平分 两条切线的夹角。
E
。
OC
D
P
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵 活应用。