人教版高中数学必修4导学案平面向量
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
人教版高中必修4《平面向量》教学设计
人教版高中必修4《平面向量》教学设计《人教版高中必修4《平面向量》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、单元教学内容分析本章节内容教学安排在人教版必修四三角函数章节后，和差公式前，这为后面的和差公式的学习做好铺垫，又为解三角形问题和平面几何中的许多计算问题提供便利工具。
向量既有代数特征，又有几何特征，是沟通代数与几何的桥梁。
向量具有代数特征，运算及其规律是代数学研究的基本问题，向量可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。
向量运算具有一系列运算性质。
向量具有几何特征，它不仅可以描述，刻画几何中的点、线、面及其位置关系，数量关系，还可以表示空间中的曲线与曲面，是研究几何问题的基本工具。
本教材从学生熟悉的实例出发，经过观察、分析、归纳等方法概括出向量的相关概念，比以往的教材更能使学生产生自然而亲切的感觉，有助于激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，使他们真正认识到数学的应用价值，从而提高学生应用数学的意识。
教材结合向量的几何背景——有向线段，引入向量的表示法，规定了向量的长度的概念。
定义了零向量，单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量等概念。
对于许多旧有的知识利用向量方法去处理，就会变得简单易懂，从而有助于学生对这些知识有更深刻的理解，更牢固的记忆，更自如的应用。
二、单元学生情况分析1、学生在初中阶段接触过物理学中的矢量，已具备基本的认知水平和运算能力。
2、学生已基本掌握函数和三角函数的基础知识，会运用数形结合法、整体代换法、分类讨论法等解决实际问题。
3、学生已具备基本的分析为和解决问题的勇气和智慧。
三、教学目标1、知识与技能目标(1)理解并掌握平面向量的基本概念。
(2)通过实例，掌握向量的加、减、数乘和数量积运算，并理解其几何意义。
(3)理解并掌握向量共线和垂直问题，理解平面向量基本定理及其意义。
会用坐标表示向量的加、减、数乘和数量积运算。
(4)掌握数量积的坐标表示，能运用数量积表示两个向量的夹角，能解决两个向量的垂直问题，投影问题。
平面向量基本定理(教学设计)
《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。
平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。
平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。
实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。
二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。
三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。
本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。
2014-2015学年高中数学人教A版必修四平面向量导学案
§2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案【学习要求】1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．【学法指导】本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.【知识要点】1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作____. 3．向量的有关概念：（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量． （3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作 . ②规定：零向量与 平行.【问题探究】探究点一 向量的概念和几何表示（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ，是向量的有 . 向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB →的长度就是向量AB →的长度(简称模)，记作|AB →|；有向线段AB →箭头表示向量AB →的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm ，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模． |AB →|＝ ，|CD →|＝ ，|EF →|＝ ，|GH →|＝ ，|a |＝ .探究点二 几个向量概念的理解（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的． （2）单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量．（2）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 与b 相等，记作a ＝b .研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．例如：下列说法中正确的是________．①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量；③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；⑤单位向量都大于零向量． 想一想，在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 探究点三 平行向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a 、b 平行，通常记作a ∥b .规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 练一练，如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，（1）写出与BC →相等的向量：________.（2）写出与BC →共线的向量：________. 想一想，向量平行具备传递性吗？【典型例题】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；（2）若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； （4）向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．（1）作出向量AB →、BC →、CD →；（2）求|AD →|.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；（2）在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．（1）写出与EF →共线的向量；（2）写出与EF →的模大小相等的向量；（3）写出与EF →相等的向量．跟踪训练3 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．（1）写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；（2）写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；（3）分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【当堂检测】1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列命题正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上 3．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．（1）OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 东偏北45°； （2）AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； （3）BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 正北方向． 4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段 的交点)为起点和终点的向量中．（1）写出与AF →、AE →相等的向量；（2）写出与AD →模相等的向量．【课堂小结】1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．规定：零向量与任一向量都平行.【拓展提高】§2.2.1 向量加法运算及其几何意义【学习要求】1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．【学法指导】1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n 个向量求和——多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n 个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【知识要点】1．向量的加法法则 （1）三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作_____，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝__＋__＝__. （2）平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以 ， 为邻边作 ，则对角线上的向量 ＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律（1）交换律：a ＋b ＝ .（2）结合律：(a ＋b )＋c ＝ .【问题探究】探究点一 向量加法的三角形法则如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．问题1 当向量a ，b 是共线向量时，a ＋b 又如何作出？ 问题2 想一想，|a ＋b |与|a |和|b |之间的大小关系如何？当a 与b 同向共线时，a ＋b 与____同向，且|a ＋b |＝_______.当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______；若|a |<|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______.探究点二 向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以 这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC →，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .①根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB →＝a ，AD →＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋… ＋A n －1A n ＝A 1A n →.或A 1A 2→＋A 2A 3→＋… ＋A n －1A n ＋A n A 1→＝__. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF 中， AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.【典型例题】例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b . 跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c ，利用三角形法则作出向量a ＋b ＋c .例2 化简：（1）BC →＋AB →； （2）DB →＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．（1）AB →＋AD →＝________； （2）AC →＋CD →＋DO →＝________；（3）AB →＋AD →＋CD →＝________； （4）AC →＋BA →＋DA →＝________.例3 在水流速度为4 3 h km /的河中，如果要船以12 h km /的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．跟踪训练3 某人在静止的水中的游泳速度为2 3 h km /，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 h km /，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？【当堂检测】1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是 ( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →2．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：（1）DE →＋EA →＝________；（2）BE →＋AB →＋EA →＝______；（3）DE →＋CB →＋EC →＝________；（4）BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 3．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋ AD →，试判断四边形的形状．【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．【拓展提高】§2.2.2 向量减法运算及其几何意义【学习要求】1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．【学法指导】1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法：第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a －b ，这样，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .(如图(1))第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a ，b ，定义a －b ＝a ＋(－b )，在这种定义下，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，作OB ′→＝－b ，OA →＝a ，则由向量加法的平行四边形法则知OC →＝a ＋(－b )，由于a ＋(－b )＝a －b ，即OC →＝a －b .(如图(2))2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点，因此几何法确定差向量的方向有两个关注点：（1）共起点；（2）指被减.【知识要点】1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作____，并且有a ＋(－a )＝__. 2．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的 ，记为______，求两个向量差的运算，叫做 . 3．向量减法的平行四边形法则以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作 ，则对角线的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b . 4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.【问题探究】探究点一 向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法对比 内容（1）相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数（1）相反向量的两个向量，互为相反向量 （2）零的相反数是零（2）对比项 实数的减法向量的减法对比内容（3）互为相反数的和是零（3）（4）实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（4）向量的减法：减去一个 向量相当于根据相反向量的含义，完成下列结论：（1）－AB →＝___；（2）－(－a )＝__；（3）－0＝__； （4）a ＋(－a )＝__； （5）若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝____，b ＝____，a ＋b ＝__. 探究点二 向量减法的三角形法则（1）由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a －b .（2）当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b . 探究点三 |a －b |与|a |、|b |之间的关系 （1）若a 与b 共线，怎样作出a －b ?（2）通过上面的作图，探究|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系： 当a 与b 不共线时，有：_____________________； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：_______________； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：_______________.【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p＋n －q －r .例2 化简下列式子：（1）NQ →－PQ →－NM →－MP →；（2）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．跟踪训练2 化简：（1）(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；（2）(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .（1）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ （2）当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?（3）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ （4）a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？跟踪训练3 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：（1）|a ＋b ＋c |；（2）|a －b ＋c |.【当堂检测】1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( )A ．AB → B ．BA →C ．CD → D ．DB →2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A ．AB →－DC →＝0B ．AD →－BA →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝03．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝_______.4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________【课堂小结】1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.【拓展提高】§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【学习要求】1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．【学法指导】1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.【知识要点】1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下： （1）|λa |＝ .（2）λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝ 或λ0＝ .2．向量数乘的运算律（1）λ(μa )＝ .（2）(λ＋μ)a ＝ .（3）λ(a ＋b )＝ .特别地，有(－λ)a ＝ ＝ ；λ(a －b )＝ . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______. 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ .【问题探究】探究点一 向量数乘运算的物理背景（1）一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？（2）已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ （3）已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 探究点二 向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 探究点三 共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在一个实数λ，使b ＝λa .判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．例如，已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 探究点四 三点共线的判定由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AC →＝λAB →.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线．【典型例题】例1 计算： （1）(－3)×4a ； （2）3(a ＋b )－2(a －b )－a ； （3）(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 跟踪训练1 计算：（1）6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；（2）12⎣⎡⎦⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； （3）6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．跟踪训练2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．例3 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？跟踪训练3 如图，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，求证：DE →＝12BC →.【当堂检测】1．化简：（1）8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．4．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，试求实数k 的值．【课堂小结】1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.【拓展提高】§2.3平面向量的基本定理及坐标表示【学习要求】1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【学法指导】1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π].【知识要点】 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. （2）基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底． 2． 两向量的夹角与垂直 （1）夹角：已知两个 向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是 ．②当θ＝0°时，a 与b ． ③当θ＝180°时，a 与b ．（2）垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.【问题探究】探究点一 平面向量基本定理的提出（1）平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得： AB →＝_______，CD →＝________，EF →＝_______，GH →＝__________，HG →＝_________，a ＝______. （2）平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？ 探究点二 平面向量基本定理的证明 （1）证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． （2）证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 探究点三 向量的夹角（1）已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.（2）两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？ （3）在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：①〈AB →，AC →〉＝ ；②〈AB →，CA →〉＝ ； ③〈BA →，CA →〉＝ ；④〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .（1）用a 和b 表示向量OC →、DC →；（2）若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【当堂检测】1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.【课堂小结】1．对基底的理解 （1）基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．【拓展提高】§2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示§2．3.3 平面向量的坐标运算【学习要求】1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．【学法指导】1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.【知识要点】1．平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示．（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝ ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ 2．平面向量的坐标运算（1）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝ ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．（3）若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【问题探究】探究点一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．显然有，i ＝ ，j ＝ ，0＝ ．问题1 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系． 请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a ，b ，c ，d 所对应的点A ，B ，C ，D .探究点二 平面向量的坐标运算问题1 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
4
三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
5
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
4.1 4.2平面向量坐标表示(1) 导学案(学生)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
【预习自测】1、 a = OA = 2i 2 j =
b = OB = 2i j =
2、设向量 a,b 坐标分别是（-1，2） ， （3，-5）
【学习笔记】
2．若 A(0, 1), B(1, 2),
C(3, 4) 则 AB 2 BC = C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形 ABCD
3．已知：四点 A(5, 1), B(3, 4), 是梯形。
4、已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3 的坐标.
5、已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 y C B D1 A D3 O x D2
பைடு நூலகம்
3
变式：若点 A（-2，1） ，B（1，3） ，则 AB =__________ 【我的收获】
2
高一数学《必修四》导学案
第二章：平面向量
三、课后知能检测
课本 P89 练习 1、2、3、4、习题 A 组 1、2、3、4、 1．若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP
1 MN , 求 P 点的坐标； 2
高一数学《必修四》导学案
第二章：平面向量
4.1 、4.2 平面向量坐标表示（1） 导学案
编写：兰炳根 审校：高一数学备课组
【学习笔记】
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理
2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理与向量夹角．[难点] 平面向量基本定理的应用．知识点一平面向量基本定理[填一填](1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[答一答]1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．知识点二向量的夹角[填一填](1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；当a与b同向时，夹角θ＝0°；当a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.[答一答]3．零向量与向量a的夹角是多少呢？提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a 的夹角没有意义．4．等边三角形ABC中，向量与的夹角是60°吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120°而不是60°.类型一基底的概念[例1](1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2(2)设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.[解析](1)在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其它三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．(2)因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝代入②得e1＝e2－b＝－b＝a－b，故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.[答案](1)B(2)a－b根据平面向量基底的定义知，此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.[变式训练1]设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是③.解析：①中，设e1＋e2＝λe1，则无解．所以e1＋e2与e1不共线，故e1与e1＋e2可作为一组基底；同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底；③中的两个向量共线，不可作为一组基底．类型二用基底表示向量[例2]如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.[解]∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋m b，＝＋n＝(1－n)b＋n a.∵a与b不共线，∴∴n＝.∴＝a＋b.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.[变式训练2]如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b.＝＋＋＝－－＋＝－×b－a＋b＝b－a.类型三向量的夹角问题[例3]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a 的夹角为α，a－b与a的夹角是β.求α＋β.[解]如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB.所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，∴α＋β＝90°.求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.[变式训练3]在等边三角形ABC中，向量与向量的夹角为120°；E为BC的中点，则向量与的夹角为90°.解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，如图，延长边AB至点D，使BD＝AB，∴＝，∴∠DBC为向量与的夹角，且∠DBC＝120°，又E为BC的中点，∴AE⊥BC.∴与的夹角为90°.1．下列说法中，正确说法的个数是(C)①在△ABC中，，可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0B．1 C．2D．3解析：①③正确，②错误．2．已知平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，则向量与的夹角是(C)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由图知向量与的夹角为∠BCD＝60°的补角120°.3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.解析：∵e1，e2不共线，∴，解得∴x－y＝3.4．如图所示，向量，，的长度分别是2，，1.∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，则＝－＋－.解析：不妨设＝m＋n，则m<0，n<0.如图，构建▱OA′C′B′，其中＝－，且＝＋，则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，于是||tan60°＝||，||·sin60°＝||，所以||＝，||＝，从而m＝－，n＝－.5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.(1)以b，d为基底，表示；(2)以m，n为基底，表示.解：如图所示．(1)＝－＝(＋)－(＋)＝－＝b－d.(2)∵m＝＋＝d＋，①n＝＋＝＋d，②∴由①②消去d，得＝n－m.——本课须掌握的两大问题1．平面向量基本定理的作用(1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点．(2)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．2．两向量夹角的实质和求解(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．。
2.5.1平面几何中的向量方法
§2.5.1平面几何中的向量方法【学习目标】1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.【学习过程】一、自主学习（预习教材P109—P111） 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，AC AB AD =+ ，DB AB AD =- ，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：问题2：平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？结论：问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？⑴ ；⑵ ；⑶ 。
二、合作探究 1、在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-= ，判断ABC ∆的形状.2、设ABCD 是四边形，若AC BD ⊥，证明：2222AB CD BC DA +=+三、交流展示1、在梯形ABCD 中，CD ∥AB,E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝12（AB ＋CD ）. 求证：EF ∥AB ∥CD.2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
四、达标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1. 在ABC ∆中，若()()0CA CB CA CB +⋅-= ，则ABC ∆为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定2. 已知在ABC ∆中，()2,1A -，()3,2B ，()3,1C --,AD 为BC 边上的高，则点D 的坐标为（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,1-D.()1,1--3. 已知()1,2A ，()4,1B ，()0,1C -，则△ABC 的形状为 .4. 求通过点()1,2A ，且平行于向量()3,2a =的直线方程.5. 已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点， 且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .B 组：1. 已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB →＝________.2. (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,－2)，B (2,3)， C (－2,－1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．。
新人教A版必修4高中数学2.3.3平面向量的坐标运算导学案
1高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A 版必修4【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 。
（二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？1、已知：==1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数+a b =__________________________ _。
-a b =___________。
这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。
λa =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。
问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向2量AB 呢？2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________ 即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。
问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？二、合作探究1、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求：（1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.3三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A .1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ） A.()2,1x y -+ B.()2,1x y +- C.()2 1x y ---， D.()2,1x y ++3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1-4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB 3BC -，求D 点的坐标。
导学案025平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.教学过程基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．法则(或几何意义)平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λ b. 4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得双基自测1．下列给出的命题正确的是 ( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量2．如右图所示，向量a－b等于 ( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e23．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )A．AD＝BC B．AD＝2BCC．AD=-BC D．AD=-2BC4．化简：AB＋DA＋CD＝________.5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.典例分析考点一、平面向量的基本概念[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4变式1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算[例2] (2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )A．0 B．BE C．AD D．CF变式1本例条件不变，求AC＋AF.变式2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝ ( )A．8 B．4C．2 D．11.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算考点三、共线向量[例3] (2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向变式3．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b＝λ a.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( )A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[失误展板]错解一：a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB 、BC 、CA 围成 了一个封闭图形，故AB ＋BC ＋CA ＝0，故选B.错解三：当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB ＋BC ＋CA ＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．[正确解答]∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ， ∴⎩⎨⎧λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．本节检测1．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，A B＝D C ，且|A B|＝|B C |，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，B C ＋BA ＝2BP ，则( )A ．PA ＋PB＝0 B ．P C ＋PA＝0C ．PB＋P C＝0D ．PA ＋PB＋P C＝03．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋C O＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．(2012·银川模拟)在△ABC 中，D 为AB边上一点，若AD＝2D B，CD ＝13C A＋λCB，则λ的值为( )A ．1B.13C.23 D ．－235．已知向量p ＝a |a|＋b |b|，其中a 、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2O C＝0，则|A B||B C |＝________. 7．设向量e 1，e 2不共线，A B＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．自我反思。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
高一下学期数学必修4平面向量导学案全套
§2.2.1向量的加法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实际例子，掌握向量的加法运算，并理解向量加法的平行四边形法则和三角形法则则其几何意义。
2. 灵活运用平行四边形法则和三角形法则进行向量求和运算。
【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.（二）自主探究：（预习教材P80—P84） 探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则问题1：在复习中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？ 1、向量加法的三角形法则 ：已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作==,AB a BC b ，则向量__________叫做a 与b 的和，记作_____________，即+a b =_______=__________。
这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O 两个向量a ，b （==,OA a OB B ）为邻边作四边形OACB ，则以O 为起点对角线___________，就是a 与b 的和。
这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。
问题2：想想两个法则有没有共通的地方？3、对于零向量与任一向量a ，我们规定a +o =___________=_______. 探究二：向量加法的交换律和结合律问题3：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？4、对于任意向量a ，b ，向量加法的交换律是：_____________；结合律是：_____________。
二、合作探究1、已知向量a 、b ，求作向量a b +.小结1：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的 与第一个向量的 重合. 小结2：当a ，b 不共线时， ；当a ，b 同向时， ；当a ，b 反向时， （或 ）.2、一架飞机向北飞行400km ，然后改变方向向东飞行300km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.三、交流展示 1、化简++=++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO CO AB AC BA++=+++=++=__________________________________________________MB BA AC MN NP PM OA OC BO COABAC BA2、若C 是线段AB 的中点，则+AC BC =（ ） A 、AB B 、BA C 、O D 、O3、已知△ABC 中，D 是BC 的中点，则++32AB BC CA =（ ）A 、ADB 、3ABC 、OD 、2AD 4、已知正方形ABCD 的边长为1，===,, AB a AC c BC b ，则++||a b c 为（ ）A ．0B ．3 CD．四、达标检测（A 组必做，B 组选做） A 组：1. 在平行四边形ABCD 中，++BC CD DA 等于（ ）A ．BDB ．AC C ．ABD ．BA 2. 下列等式不正确的是（ ）.A.0a a +=B.a b b a +=+C.()()a b c a b c ++≠++ D.AC DC AB BD =++ 3. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( )A ．AB→＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →4. AB BC CD ++= ； ++++()()AB MB BO BC OM = .B 组：1、在矩形ABCD ，==||4,||2AB BC ，则向量++AB AD AC 的长度等于（ ） A． B． C ．12 D ．62、已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是 3、若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA的中点，求证：EF →＝NM →.§2.2.2向量的减法运算及其几何意义【学习目标】1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：求作两个向量和的方法有 法则和 法则.（二）自主探究：（预习教材P85—P87） 探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a -.零向量的相反向问题2：任一向量a 与其相反向量a -的和是什么？如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+a b 是互为相反的向量，那么a =____________，b =____________，+a b =____________。
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④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB ＝ DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
.
2．书本 88 页练习
课后练习与提高
1．下列各量中不是向量的是（
）
A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度
2. 下列说法中错．误．的是（
）
A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为 0
C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点 , 那么这些向量的终点所构成的图形是 （ ）
A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 圆上一群孤立点
D. 一个单位圆
4．已知非零向量 a // b , 若非零向量 c // a ，则 c 与 b 必定
.
5．已知 a 、 b 是两非零向量 ,且 a 与 b 不共线 ,若非零向量 c 与 a 共线 , 则 c 与 b 必
（ 7）共线向量一定在同一直线上吗？
例 3 下列命题正确的是（
）
A. ａ 与 ｂ共线， ｂ 与ｃ共线，则 ａ 与 c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形
的四顶点
C.向量 ａ 与ｂ 不共线，则 ａ 与ｂ 都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例 4 如图， 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 分别写出图中与向量 OA 、 OB 、OC
二、学习过程
1、数量与向量的区别？
2.向量的表示方法？
① ② ③
a
A( 起点 )
B （终点）
④向量 AB 的大小 ―― 长度称为向量的模，记作
。
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 向量与有向线段的区别： （ 1）
。 。
（ 2）
。
4、零向量、单位向量概念：
①
叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的 .
1) 数量与向量有何区别？
2) 如何表示向量？
3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4) 长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？
5) 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6) 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点
.
（ 2）共线向
三、理解和巩固：
例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断：
（ 1）平行向量是否一定方向相同？
（ 2）不相等的向量是否一定不平行？
（ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（ 4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（ 6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
A
B
C
则两次的位移和：
。
（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，
则两次的位移和：
。
（3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，
则两次的位移和：
。
CA
B C
（4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和：
A
。
B
C
A
B
3、提出疑惑
（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 ．． 向．线．段．的．起．点．无．关． .
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为 关．）．.
（与．有．向．线．段．的．起．点．无．
说明： （ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系
注意 0 与 0 的含义与书写区别 .
②
叫单位向量 .
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小
.
5、平行向量定义：
①
叫平行向量； ②我们规定 0 与
平行 .
说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（ ∥ｂ∥ｃ.
2）向量 ａ、ｂ 、ｃ平行，记作 ａ
6、相等向量定义：
叫相等向量。
说明：（ 1）向量 ａ与 ｂ相等，记作 ａ ＝ ｂ；（ 2）零向量与零向量相等；
O ，这是它们是不是平行向量？这时各
向量的终点之间有什么关系？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
一、学习目标
课内探究学案
1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别
.
2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能 力.
定
.
6. 设在平面上给定了一个四边形
ABCD, 点 K、 L、 M、 N分别是 AB、 BC、CD、 DA的中点 ,
则 | KL | ______何意义
课前预习学案
预习目标：
通过复习提问回顾向量定义及有关概念； 景。
利用问题情景提出向量加法运算、
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、预习目标 通过阅读教材初步了解向量的实际背景， 理解平面向量的概念和向量的几何表示； 掌握 向量的模、 零向量、 单位向量、 平行向量、 相等向量、 共线向量等概念； 并会区分平行向量、 相等向量和共线向量 .
二、预习内容 （一）、情景设置：
如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否
追到老鼠？（画图）
C
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了 . 分析：老鼠逃窜的路线 AC 、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、
A
D
B
有长短的量 .
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
（二）、新课预习：
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
相等的向量 .
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量共线的向量有哪些？ 课堂练习： 1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、 B、 C、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等；
预习内容：
给出实际背
1、 复习：提问向量的定义以及有关概念。
强调： 向量是既有大小又有方向的量 .长度相等、 方向相同的向量相等 .因此， 我们研 究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下，移到任何位置
2、情景设置：
（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到 C，