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高三试卷数学-湖北华中师范大学第一附属中学2024届高三上学期11月期中数学试卷及参考答案

华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,23.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()21y f x =-5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-36.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6B.7C.8D.9二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b+> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.202512.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.1e>a 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.16.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先化简求出z ,再根据共轭复数定义求出i z +,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i 21i 2i 21+i 2,1i 1+i 1i 1i 1i z z z z --+=∴=∴====--+- ，,=1i i=1+i+i=1+2i z z +∴+ ，,i =12i z ++.故选:D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A ，从而求解R A ð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B ，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合{}{}242xA x x x =>=>，所以{}R 2A x x =≤ð，又{}{}{}32Z log 3Z 021,2,3,4,5,6,7B x x x x =∈<=∈<<=，所以()R A B ⋂=ð{}1,2.故选：C3.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()21y f x =-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin (0)f x x ωω=>过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭得1sin =π2ωω=∴,()sinπf x x ∴=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2f x f x →,图1→图2说明图象向右平移12单位，得到()21y f x =-的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,A C B F 的坐标，求出AC BF ⋅即可得出答案．【详解】正六边形ABCDEF 中，每个内角都是120 ，30FEA FAE ∠=∠= ，有EA AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==AB AF ，1cos1202=-，3sin1202= ，则有(F -，所以(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，AC =，(BF =- ，由平面向量数量积的运算可得()33936AC BF ⋅=⨯-+-+=-.故选：B ．6.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D 【解析】【分析】对于选项A 、B ，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C 、D ，通过所给函数关系020lgp pL p =代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A ，30~100Hz 的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB ，1000~10000Hz 的高频对应的听觉下限阈值低于20dB ，所以对比高频更容易被听到，故A 错误；对于B ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B 错误；对于C ，240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，50210Pa P -=⨯，令020lg20p pL p ==，此时0100.0002p p ===Pa ，故C 错误；对于D ，1000Hz 的听觉下限阈值为0dB ，令020lg0p pL p ==，此时0p p =，所以240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D 正确.故选：D .7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】由切线放缩可求a ，根据对数函数性质和正弦值域可判断b ，由不等式的关系可判断b c >.【详解】因为0sin1<1<，当0x >时，设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，易知当0x =时，()00e 10f =-='，当0x >时，()f x 单调递增，所以e 1x x ≥+；()0x >所以sin1=e 10a a a a a +≥++⇒<；由已知可得0b >，因为0sin1<1<，所以01b <<；ln 0b <，所以sin1ln b b =-；00c ≥⇒≥，所以sin1c b =-<；故a c b <<；故选：A8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D 选项，再计算说明C 选项正确即可.【详解】()πsin =2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,当=6ω时,()π2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ππππ=2sin π+2sin 3π06233f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A选项错误;当=7ω时,()π2sin 73f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()ππ7ππ7ππ=2sin +2sin 210626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 选项错误;当=9ω时,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ9ππ9ππ=2sin +2sin 110626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ11π29π,,9,62366x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有三个极值点，D 选项错误;当=8ω时,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ8ππ8ππ=2sin +2sin 0626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ5π13π,,8,62333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值【答案】BC 【解析】【详解】根据图象得到()()f x f x -'的符号，即可得到()g x '的符号，进而得到()g x 的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x a <时()()0f x f x '->，当a x b <<时，()()0f x f x '-<，当x b >时，()()0f x f x '->，()()()exf x f xg x '-'=，因e 0x>，故当x a <时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),a -∞上单调递减，当a x b <<时，()()()0exf x f xg x '-'=>，()g x 在区间(),a b 上单调递增，当x b >时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),b ∞+上单调递减，故()g x 在x a =处取得极小值，在x b =处取得极大值，故选：BC10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b +> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以112a b+>，A 正确，由于212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，221122a b ab+≥=≥，当且仅当2211a b =且a b =时，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以22112a b +>，B 正确，由2a b +=以及0,0,a b a b >>≠可得224a b +≥=，当且仅当22a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以2242a b +>>，故C 正确，2222log log log log 10a b ab +=≤=，当且仅当b a a b=，即a b =时取等号，由于a b ¹，22log log 0a b +<所以D 错误，故选：ABC11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD 【解析】【分析】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，将函数零点转化为两个函数()y g x =与tan =-y a x 的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，对于函数()()sin cos g x x =，由[]cos 1,1x ∈-，可知()()[]sin cos sin1,sin1=∈-g x x ，因为()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤+=+==⎣⎦g x x x g x ，且()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤-=-==⎣⎦g x x x g x ，()g x 的周期为2π，且关于直线πx =对称，又因为()()cos cos sin '=-⋅g x x x ，当[]0,πx ∈，则[][]cos 1,1,sin 0,1∈-∈x x ，且()cos cos 0>x ，可知()()cos cos sin 0'=-⋅≤g x x x ，则()g x 在[]0,π上单调递减，可知()g x 在[]π,2π上单调递增，若0a =时，因为tan y x =的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则cos 0x ≠，可知()()sin cos 0=≠f x x ，无零点，不合题意，若0a <时，0a ->，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内没有交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（区间端点均不是零点），因为()y g x =与tan =-y a x 的周期均为2π，则()f x 周期为2π，结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2023或2024，若0a >时，0a -<，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内各有一个交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内没有零点，在()π,2π内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2024或2025；综上所述：整数n 可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()f x 转为两个函数：()y g x =与tan =-y a x 的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a 的符号.12.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数 D.1e>a 【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数()=e e xxg x --的单调性可求()2013sin f x x x=+判断A ，根据奇函数的定义判断B ，根据导数符号判断函数的单调性判断C ，根据奇函数和单调性把不等式化为21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sin sin e e eey x xx yx ----=-，有()20132013sin sin e e =e ey x y x xx ------，记()=e e xxg x --，则()=e e0xxg x -+>'，所以()=e e x x g x --在R 上单调递增，所以2013sin y x x -=，所以()2013sin f x x x =+，故选项A 错误；因为()()()()()20132013sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-且定义域R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故选项B 正确；记()()2012cos 2013h x f x x x=+'=，[)0,x ∈+∞，则()2011sin 20132012h x x x=-+⨯'，[)0,x ∈+∞，对[)0,x ∈+∞，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-≤，即函数sin y x x =-在[)0,∞+单调递减，又0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，根据幂函数性质知201120132012x x ⨯>，所以()2011sin 20132012sin 0h x x xx x =-+⨯>-≥'，所以函数()()2012cos 2013h x f x x x=+'=在[)0,∞+上单调递增，所以()()010f x f '='≥>，所以函数()2013sin f x x x=+在[)0,∞+上单调递增，又()f x 是奇函数，由奇函数性质知()f x 是增函数，故选项C 正确；因为对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，所以()()()21eln ln x f x a f x x f x x --<-=-在()0,∞+上恒成立，所以21e ln x x a x x --<-即21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，记()1ln m x x x =--，()0,x ∈+∞，则1()1m x x=-'，当()0m x '=时，1x =，当()0m x '>时，1x >，当()0m x '<时，01x <<，所以()1ln m x x x =--在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()1ln (1)0m x x x m =--≥=，所以1ln x x ≥+，所以22121ln e e x x x x x x --+≤，()0,x ∈+∞，记()221e x x n x -=，()0,x ∈+∞，则()()2121ex x x n x --'=，当()0n x '=时，1x =，当()0n x '>时，01x <<，当()0n x '<时，1x >，所以()221ex x n x -=在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111e ex x n x n -=≤=，所以21ln 1e x x x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立，所以1e>a ，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e 1x y b -=-+，则1e x y -'=，设切点坐标为()00,x y ，则00110e 1e 1x x b x a--⎧=⎪⎨-+=+⎪⎩，解得011x a b =⎧⎨+=⎩.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112π13α⨯=⨯⨯，可得2π3α=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23⨯⨯-=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB ∠，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.【详解】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，OB 旋转的角速度为2πrad/h -，11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，Z k ∈，111π34|sin |6|sin |26S AOB t =⨯⨯∠=，而当6,N 11n t n =∈时，不能构成三角形，所以11π6|sin |6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；显然函数11π6|sin|6S t =的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=⨯，所以S 取得最大值的次数为44.故答案为：11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；4416.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】通过证明ABC 是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD 中，4,2120BD ADC ABC ∠∠=== ，∴60,180ABC ABC ADC ∠=︒∠+∠=︒,∴四边形ABCD 四点共圆，在ACD 中，AD CD =，120ADC ∠= ,∴ACD 是等腰三角形，30ACD CAD ∠=∠=︒，在ABC 中，2120ABC ∠= ∴60ABC ∠=︒，()22133sin 248S AB BC ABC AB BC AB BC =⋅∠=⋅≤+,当且仅当AB BC =时，等号成立，∵当AB BC =时，BD 垂直平分AC ,∴AC BD ⊥,ABC 是等边三角形，2AC AE =，∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,1602ADE CDE ADC ∠=∠=∠=︒∴180306090BAD BCD ∠=∠=︒-︒-︒=︒,∴,3AE BE DE ===,∵44BD BE DE DE =+==,∴1,2DE AE AC AE ====∴ABC 面积的最大值为(22max 44S AC ==⨯=,故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12x a x ≤≤时，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π12sin sin 2sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311π1sin cos 22sin 222262x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π+Z 262k x k k -≤-≤∈,解得()ππππ+Z 63k x k k -≤≤∈，令()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππZ 212k x k =+∈，所以()f x 的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的函数图象如图所示，由题意当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当且仅当12x a x ≤≤，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，令()π13sin 2622f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 3x k k =+∈，所以()13min 0|min 3|πππZ 2,30x x f x x k x k ⎧⎫⎧⎫==>==>=⎨⎬⎨⎩∈⎬⎩⎭⎭+，令()π1sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 66x k k -=-+∈或()π7π22πZ 66x k k -=+∈，解得()πZ x k k =∈或()2ππZ 3x k k =+∈，所以()132π2πmin 0|min 0|ππ,Z 233x x f x x x k x k k ⎧⎫⎧⎫=>==>==+∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，综上所述：满足题意的实数a 的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BAD CAD ∠=∠，结合ABC ABD ACD S S S =+ ，得到()2bc b c =+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C ，由正弦定理可得πsin sin 2sin sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B C A C ，则()sin sin sin sin sin cos cos sin sin +=++=++B C A C C A C A C C ，π312sin sin 2sin sin sin sin cos622⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A C C A C A C ，即sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πA ∈，则ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠且AD =π6BAD CAD ∠=∠=，由ABC ABD ACD S S S =+ ，可得131111222222⨯=⨯+⨯bc c ，整理得()2bc b c =+≥，则16bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，故ABC 面积的最小值为11622⨯⨯=．19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）首先对()f x 求导，然后分01a <<和1a >讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log 33ln 122log 3333ln a a a a a ⎛⎫>-=⎪⎝-⎭，通过构造函数()1log 3a g x x x =-，说明()max23g x g ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意()()2l ,013n f x x x ax =->'，分以下两种情形来讨论函数()f x 的单调区间，情形一：当01a <<时，()()201ln 0,3l 0,n a f x x x ax '<<->=，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间.情形二：当1a >时，令()3201l 1n 0,n 3ln ln 3l a f x x x a x ax a -'>=-==，解得0x =>，当x ⎛∈ ⎝时，()313ln 0ln f x x a x a '-=>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()313ln 0ln f x x a x a '-=<，所以()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间；当1a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.【小问2详解】由题意若函数()f x 有最大值122log 333a -，则由（1）可知当且仅当1a >时，()f x 有最大值()maxf x f =⎡⎤⎣⎦，因此3111log 122log l 33ln 33l og 33n a a a f a a ⎛⎫==---=⎭ ⎪⎝，不妨令()1log 3a g x x x =-，求导得()()113ln 1,0,13ln 3ln x ag x x a x a x a -'=-=>>，令()13ln 03ln x a g x x a -'==，解得103ln x a=>，当10,3ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=>，当1,3ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=<，所以()1log 3a g x x x =-在10,3ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 111log 333l 122l l o n 3g 33n a a g x a a ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，故只能13ln 23a =，解得1ln ,12a a ==>符合题意；综上所述，满足题意的实数a.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.【答案】（1）2020πsin sin 3θθ=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y （2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin θ=EG ，1πsin 3θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭GF ，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin 3π4sin 33θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭y，换元令πsin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在Rt AEG △中，因为sin ∠=AG AEG EG ，可得2sin sin θ==∠AG EG AEG ，在AFG 中，可知π3θ∠=-AFG ，由正弦定理sin sin =∠∠GF AGGAF AFG，可得sin 1πsin sin 3θ⋅∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭AG GAFGF AFG，所以20201020πsin sin 3θθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y EG GF .【小问2详解】由（1）可知：202020πsin sin sin 3θθθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y2ππ80sin 80sin 332ππ2cos 214sin 333θθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π03θ<<，则ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，则280803434==--t y t t t，且34,==-y t y t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，可知34y t t =-在3,12⎛⎤⎥ ⎝⎦上单调递增，所以280803434==--t y t t t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，当1t =，即π6θ=时，修建道路的总费用y 取到最小值80万元.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）2个（2）1-【解析】【分析】（1）令()e sin sin 0xf x x x x =+-=可得e sin 1x x x =-，利用导数判断出函数()e 1x g x x =-在[]π,0x ∈-上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e 1xg x x =-与sin y x =在[]π,0-内的图象，根据交点个数即可求得()f x 的零点个数；（2）易知()e 1xx ≥+，sin x x ≥在[]π,0x ∈-上恒成立，则可得()()()e 1sin 11xf x x x x x x =+-≥++-，求出221y x x =-++在[]π,0x ∈-上的最小值即可得2π2π14k -++≤，便可知整数k 的最大值为1-.【小问1详解】根据由题意可知，令()e sin sin 0xf x x x x =+-=，又[]π,0x ∈-，整理可得e sin 1xx x =-；令()[]e,π,01xg x x x ∈=--，则()()()()()22e e 112e 1x xx x x x g x x =-----'=，显然当[]π,0x ∈-时，()()()2e 012x x g x x -=-'<恒成立，所以可得()e 1x g x x =-在[]π,0-上单调递减，且()e 01xx g x =-<在[]π,0x ∈-上恒成立，易知函数sin y x =在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；且()()πe sin π0ππ1g ---=-=+>，()πsin 1,sin 00120g ⎛⎫-=-=- ⎪⎝=⎭>画出函数()[]e ,π,01xg x x x ∈=--和函数[]sin ,π,0y x x =∈-在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e 1xg x x =-与sin y x =在区间[]π,0-上有两个交点，即可得函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-有两个零点；【小问2详解】若()40k f x -≤恒成立，可得()4f x k ≤，令()[]π,0sin ,h x x x x -∈-=，则()1cos 0h x x '=-≥在[]π,0-上恒成立，即可得()sin h x x x =-在[]π,0-上单调递增，所以()()sin 00h x x x h =-≤=，所以sin 0x x -≤在[]π,0-上恒成立，即sin x x ≥；令()()[]0e 1,π,xx x x ϕ∈-=-+，则()e 10xx ϕ'=-≤在[]π,0-上恒成立，即()()e 1xx x ϕ=-+在[]π,0-上单调递减，即()()()e 100xx x ϕϕ=-+≥=，所以()e 1xx ≥+在[]π,0-上恒成立，可得()()()2e sin sin e 1sin 1121xxf x x x x x x x x x x x =+-=+-≥++-=-++；易知函数221y x x =-++在[]π,0x ∈-上单调递增，因此2min π2π1y =-++，即只需2minπ2π14y k =-++≥即可得2π2π14k -++≤，易知()2π2π1 2.57961,044-++-≈∈-，所以1k ≤-；注意到，由（1）可知，由()f x 有两个零点可知，必存在[]0π,0x ∈-，使得()00f x <，所以当0k ≥时，()()0040k f x f x -≥->，故()40k f x -≤不恒成立；综上，整数k 的最大值为1-.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.【答案】（1）22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()32e x xf x k x x --⋅'=在()0,∞+上至少有三个实数根，即可知e x k x =在()0,∞+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e ,0,xg x x x=∈+∞的单调性并在同一坐标系下画出函数()g x 与函数y k =的图象即可求得实数k 的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x =，将要证明的不等式化为131ekx x <，利用分析法可得需证明311e x x -<，由()g x 的单调性可知()()()3113ex g x g g x -=<，化简可得313e 01ln x x---<，构造函数()1e ,11ln x h x x x -=-->即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()224332e e e 222221e xx x x x f x k k x x x x x x kx x x x x -⎛⎫'⎭-⋅-⋅--=--+=-⋅=⎪⋅ ⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()3e 02x xf x xk x -'-⋅==在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()20f '=，则需方程3e 0x kx x-=，也即e 0xkx -=有两个不等于2的不相等的实数根；由e 0xkx -=可得e xk x=，()0,x ∈+∞，令()()e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()2e 1,0,x x g x x x-'=∈+∞，显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；所以()()1e g x g ≥=，画出函数()()e ,0,xg x x x=∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可得e k >且2e 2k ≠时，e xk x=在()0,∞+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()32e x xf x k x x --⋅'=在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围时22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123x x x <<可知12x ≠，若2是()f x 的一个极大值点，易知函数()f x 在()10,x 上单调递减，可知22x =；因此13,x x 是方程e x kx =的两个不相等的实数根，即3113,e ex xkx kx ==所以()33333233333e 22ln ln l 1n x k k f x k x k x k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()111ln 1f x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()333313333131313113111111ln l 11n ln ln 1l 1n x x x k x k x k x x k f x f x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-===----由3113,e e x x kx kx ==可知3331111331e e ln ln ln lne e ex x x x x x x k x x x k-====-,所以()()13131111331313331313131n 1l x x x x x k k x x f x f x x x x x x k x x x x x x x x --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===⎝--⎭-又22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要证()()23131e f x f x k k x x -<--，即证21311ek k k x x -<⎛⎫⎪⎭-⎝，也即13111e k x x -<-，所以131e k x x <；只需证13e kx x <，即31e e x x <⋅可得311e x x -<；由（1）可得1301,1x x <<>，所以可得310e 1x -<<，且根据（1）中结论可知函数()e xg x x=在()0,1上单调递减；所以要证证311e x x -<，即证()()311ex g g x -<，又3131e e x x k x x ==，即()()13g x g x =，即证()()313e x g g x -<，即1333e13e e e x x x x --<，可得13e 3e e x x -<，即3131e ln x x --<，可得313e 01ln x x ---<，令()1e ,11ln xh x x x -=-->，则()11e 1e 1x x x h x x x --=-+-'=，令()1e 1,1x x x x u --=>，则()()1e 01x u x x -'=-<，所以()u x 在()1,+∞上单调递减，即()()10u x u <=，所以()0h x '<，即()h x 在()1,+∞上单调递减；因此()()10h x h <=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.。

武汉市部分学校高三年级11月联考化学试卷

2007~2020┄2021学年武汉市部分学校高三年级11月联考化学试卷说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分108分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Mg—24 Al—27Cl—35.5 Mn—55 I—127一、选择题（每题只有一个选项符合题意。

每题3分，共48分）1.下列物质中，不含有硅酸盐的是（）Ａ．玻璃Ｂ．硅芯片Ｃ．黏土Ｄ．普通水泥2.下列说法不正确的是（）Ａ．H2O和D2O互为同素异形体Ｂ．C2H2和C4H6可能互为同系物Ｃ．NH4CNO和CO（NH2）2（尿素）互为同分异构体Ｄ．3He和4He互为同位素3.下列反应中，改变反应物用量，浓度或反应温度等，都不会改变反应产物种类的是（）Ａ．CO2气体通入石灰水Ｂ．硝酸溶液中加入铜片Ｃ．乙醇和浓H2SO4共热Ｄ．金属锂与氧气反应4.下列离子方程式书写正确的是（）Ａ．苯酚钠溶液中通入CO2气体：2C6H5ONa + CO2 + H2O === 2C6H5OH↓ + Na2CO3Ｂ．实验室用稀硝酸和Zn反应：Zn + 2H+ === Zn2+ + H2↑Ｃ．Na2SiO3溶液中滴加醋酸溶液变浑浊：SiO32—+2CH3COOH=== H2SiO3↓ + 2CH3COOＤ．Na2S溶液呈碱性：S2— + 2H2O === H2S + 2OH—5.将用于2021年北京奥运会的国家游泳中心（水立方）采用了高分子膜材料“ETFE”，该材料是四氟乙烯（CF2=CF2）与乙烯（CH2=CH2）发生聚合反应得到的高分子材料。

下列说法不正确的是（）Ａ．“ETFE”分子中可能存在“—CH2—CH2—CF2—CF2”的连接方法Ｂ．合成“ETFE”的反应为加聚反应Ｃ．CF2=CF2和CH2=CH2均是平面型分子Ｄ．CF2=CF2可由CH3CH3与F2两种物质直接反应制得6.下列各组物质发生变化时，所克服的粒子间相互作用属于同种类型的是（）Ａ．金刚石和冰醋酸分别受热熔化Ｂ．氯化铵和碘分别受热变成气体Ｃ．氯化钠和氯化氢分别溶于水Ｄ．苯和干冰分别受热变成气体7.下列试剂的保存方法不正确的是（）Ａ． NaOH固体保存在配有橡皮塞的细口瓶中Ｂ．电石（CaC2）通常密封保存在广口瓶中Ｃ．浓硝酸通常保存在棕色细口瓶并置于阴凉处Ｄ．在盛液溴的试剂瓶中加水，形成“水封”，以减少溴挥发8.下列物质能通过单质间发生化合反应一步制得的是（）①NO2②FeCl3③FeI2④H2Te ⑤H2O2⑥Fe3O4Ａ．①③⑤Ｂ．②④⑥Ｃ．②③⑤Ｄ．③⑤9.25℃时，在pH=13的无色溶液中，可以大量共存的离子组是（）Ａ．K+、Na+、HCO3—、NO3—Ｂ．Na+、K+、SO42—、Cl—Ｃ．H+、Mg2+、SO32—、NO3—Ｄ．Ag+、K+、NO3—、MnO4—10.下列物质因保存不当而变质时，发生了氧化还原反应且有颜色变化的是（）Ａ．Ca（ClO）2Ｂ．Na2SO3Ｃ．CuSO4Ｄ．AgBr11.已知短周期元素的离子a W3+、b X+、c Y2—、d Z—都具有相同的电子层结构，下列关系正确的是（）Ａ．质子数：c>d>b>a Ｂ．离子的还原性：Y2—>Z—Ｃ．氢化物的稳定性：H2Y>HZ Ｄ．原子半径：X<W<Y<Z12.叠氮酸（HN3）与醋酸性质相似。

湖北省六校新高考联盟11月联考学校2024届高三数学答案

2023年湖北六校新高考联盟学校高三年级11月联考数学评分细则选择题：题号123456789101112答案ADCBCBABACBCDABCBCD填空题：13.()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤14.2-15.(],e -∞16．3，,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩1.20231=1z i i =+-，=1+z i 在复平面上对应的点为（1,1），该点在第一象限,故选A.2.{}()()21,13,A x x A =->=-∞+∞ ，，()0,2B =，所以(0,1)A B = ，故选D.3.sin cos 2cos 2,22k k k Z ππααπαπ⎛⎫⎛⎫=-+=-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222k k ππβαπαπ∴-+-+或.选C4.因为33x y >，所以x y >，故1133xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B .5.3126a a d π-==,202312023202266a a ππ=+⋅=，202320231sin sinsin(337)sin 6662a ππππ==+=-=-,故选C.6.由余弦定理得2222cos 22a cb a bc B c ac +-+==⨯，21c a b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝+⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选B ．7.由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+2cos sin 22=-+=αα．故选A.8．因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令4x πθ=+,则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-令()0f θ'=，得cos 1θ=-或1cos 2θ=当11cos 2θ-<<，即5(2,2)33k k ππθππ∈++，k Z ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减；当1cos 12θ<<，即(2,2)33k k ππθππ∈-++，k Z ∈时，()0f θ'>,()f θ单调递增；又()f θ周期为2π，所以=23k k Z πθπ+∈，时，()f θ取得最大值，所以()max33133222222f x =⨯+⨯=,故选B.9．因为(1,3),(,2)a b x =-=，所以()212,1a b x -=--- ，10．对于选项A，令t =，则3t ≥，则()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()(3)3g t g ==，即A 错误；对于选项B，当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞，故()f x 在(,2)-∞上最小值为2．对于选项C，()()141143()=15156152f x x x x x x x ⎛⎫=++++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭，当且仅当1x =时取等对选项D，112224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤.故选BCD.11．当0x ≤时，()()'1xf x x e =+，当1x <-时，()'0f x <，故()f x 在(),1-∞-上为减函数，当10x -<<时，()'0f x >，故()f x 在()1,0-上为增函数，所以当0x ≤时，()f x 的最小值为()11f e-=-.又在R 上，()f x 的图像如图所示：因为()g x 有两个不同的零点，所以方程()f x m =有两个不同的解，即直线y m =与()y f x =有两个不同交点且交点的横坐标分别为12,x x ，故12m <<或0m =或1m e=-.若12m <<，则122x x +=；若0m =，则123x x +=；若1m e =-，则1211132x x e e+=-++=+.综上，选ABC.12．因为111ln(11x x x <+<+，令7x =，1118ln(1ln 17877=<+=+，则188e 7<，故A 错误；因为111ln(1)lnx x x x ++=<，则2ln 11<，31ln 22<，…，81ln 77<，以上各式相加有11ln 8127<+++ ，B 正确；因为111ln 1ln 1x x x x +⎛⎫<+= ⎪+⎝⎭，则12ln 21<，13ln 32<，…，18ln 87<，以上各式相加有111ln 8238+++< ，C 正确；由11ln(1)x x +<得，1ln(1)1x x +<，即1ln(1)1xx+<，1(1)e x x +<，因此0188888018C C C 1(1)e 8888+++=+< ，所以D 正确．故选：BCD13.“()0,x ∀∈+∞，2230x x -->”的否定是“()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤”.14.因为()()()sin ,02,0x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，所以13322sin f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()3122f f f ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，15.由()ln f x mx x ≤，得()e ln 0x m x x x--≥，即()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，令()ln F x x x =-，则()111x F x x x-'=-=，所以当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()11F x F ≥=．令ln t x x =-，则[)1,t ∈+∞，则()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，等价于e 0tmt -≥对任意的1t ≥恒成立，等价于e tm t ≤对任意的1t ≥恒成立，即mine t m t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．令()()1e t h t t t =≥，则()()22e 1e e 0tt t t t h t t t--'==≥，所以()h t 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1e h t h ≥=，所以e m ≤，所以实数m 的取值范围为(],e -∞．16.(1)当1n =时,2311a a =,由10a ≠得11a =.当2n =时,2322(1)1a a +=+,由20a ≠得22a =或21a =-，当3n =时,2332323(1)1.a a a a ++=++若22a =得33a =或32a =-;若21a =-得31a =;综上,满足条件的三项数列有三个:3,2,1或2,2,1-或1,1,1-(2)令12,n n S a a a =+++ 则233312()n n S a a a n N *=+++∈ ，从而233331121().n n n n S a a a a a +++=++++ 两式相减,结合10n a +≠得2112n n n S a a ++=-当1n =时,由(1)知11a =;当2n ≥时,2211122()()(),n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---即11()(1)0,n n n n a a a a +++--=所以1n n a a +=-或11n n a a +=+又120231,2022,a a ==-所以,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩.17.（10分）解：（1）[]3,4A =-,当5m =时，{}[]2650=1,5B x x x =-+≤，[]=1,4A B ∴ ………………5分（2）由题得B 是A 的真子集，不等式()210x m x m -++≤等价于()()10x x m --≤当1m =时，{}1B =，满足题意；当1m >时，[]1,B m =，则14m <≤；当1m <时，[],1B m =，31m -<<；综上所述，[]3,4m ∈-………………10分18.（12分）解：（1）()2cos cos f x a b x x x=⋅=+111sin2cos2sin222262x x xπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以()f x的周期22Tππ==,令2()6x k k Zππ+=∈，得(),122kx k Zππ=-+∈所以()f x的对称中心1).1222k k Zππ-+∈（，）(………………6分（2）令222262k x kπππππ-≤+≤+（k Z∈）解得36k x kππππ-≤≤+（k Z∈），由于[]0,xπ∈，所以当0k=或1时，得函数()f x的单调递增区间为06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分19.（12分）解：（1）由1121S a=-得：11a=，因为()()1122(1)n n n nS S a n a n---=----(2)n≥，所以121n na a-=+，从而由()1121n na a-+=+得112(2)1nna na-+=≥+，所以{}1na+是以2为首项，2为公比的等比数列.………………6分（2）由（1）得21nna=-，所以13521na a a a+++++()321222(1)n n+=+++-+()1214(1)14nn+-=-+-232353n n+--=.………………12分20.（12分）解：（1）由题得()sin sin()a c C c B C-=-,即(sin sin)sin sin sin()A C C CB C-=-，由于sin0C≠，则有sin sin sin()A CB C-=-，即sin()sin sin()B C C B C+-=-,即2cos sin sin0B C C-=，由于sin0C≠，则有2cos=1B，即1cos=2B，又(0,2Bπ∈，故3Bπ=.………………6分（2）设ABC∆外接圆半径为R，则ABC∆的周长为222sin 2sin =2+(sin sin )=2+sin sin C a b c R B R C B C A A++=+++)cos )3=2+33sin sin tan 2A A A A A π++=+=+,由于ABC ∆为锐角三角形，所以(,,,tan (26221242A AA ππππ⎛⎫∈∈∈- ⎪⎝⎭所以6a b c <++<+即ABC ∆周长的取值范围是+………………12分21.（12分）解：（1）因为()1sin ()x f x e a x a R =--∈，所以()cos '=-x f x e a x ，设()(),()sin x h x f x h x e a x +=''=，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[]0,,sin 0π∈≥x x ，所以sin 0-≥a x ，而10x e -≥，所以1sin 0--≥x e a x ，即f (x )≥0恒成立，当01a <≤时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而(0)10'=-≥f a ，所以()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 在[0，π]上递增，即()(0)0f x f ≥=成立，当1a >时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而2(0)10,(02ππ''=-<=>f a f e ，所以存在[]00,x π∈，有()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当0x x π<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ，而0()(0)0f x f <=，不成立.综上：实数a 的取值范围(,1]-∞.………………6分（2）因为a =1，所以()()1sin ,0,1=--∈xf x e x x ，令()()1sin =-=---x g x f x x e x x ，所以()cos 1'=--x g x e x ，设()()u x g x ='，所以0n (i )s x u x e x +'=≥，所以()g x '在()0,1上递增，而(0)10,(1)cos110''=-<=-->g g e ，所以存在()10,1x ∈，()10g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当11x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，而(0)0,(1)1sin1120.840==---≈--<g g e e ，所以()0<g x ，即当()0,1x ∈时，()f x x <，而()10+-=-<n n n n a a f a a ，1n n a a +<，所以{a n }是递减数列.………………12分22.（12分）解：（1）由题知()f x a =有两个实数根，令()()g x f x a =-，即()ln g x x x a =--，则()g x 有两个零点，因为'1()=x g x x-，令'()=0g x 得1x =，所以在(0,1)上'()0g x <，()g x 单调递减；在(1,)+∞上'()0g x >，()g x 单调递增.故min ()(1)1g x g a ==-，则须有10a -<，即1a >.又()0aag ee--=>，22()212(1)0a a g e e a a a a =->+-=-≥，所以在(0,1)上存在1x 使得1()0g x =；在(1,)+∞上存在2x 使得2()0g x =，即1a >时，()g x 有两个零点，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.………………6分（2）由题知1122ln =ln x x x x --，要证明123x x ++>，只需证2112213ln ln x x x x x x -+>⋅-设120x x <<，令21(1)x t t x =>，则只需证1113(1)(1)ln t x t x t-++>只需证3(1)1ln t t t -++>，其中1t >，只需证ln t >1t >，方法一：易证明1t >时，>，证明如下：设2(1)()ln ,11x h x x x x -=->+，则2'2214(1)()0,1(1)(1)x h x x x x x x -=-=>>++所以()(1,)h x +∞在上单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以2(1)1ln ,1x x x x ->>+当时，所以1t >时，>，即1t >时，ln t >，>，其中1t >>1t >，只需证2441)t +>+，其中1t >，只需证10t -+>，只需证21)0->，其中1t >，显然成立，故123x x +>得证.………………12分x =，即2,1t x x =>，，故只需证223(1)2ln ,11x x x x x ->>++设223(1)()2ln ,11x h x x x x x-=->++，则()'2224322222221(252)23(41)262()0(1)(1)(1)x x x x x x x x x h x x x x x x x x x x -+++++-++=-==>++++++()h x ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，223(1)2ln ,11x x x x x -∴>>++，即不等式3(1)1ln t t t-++>（1t >）成立所以123x x ++>。

湖北省武汉市高三上11月调研考试数学试卷(文)及答案

湖北省武汉市高三上学期11月调研考试（数学文）.11.15一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M ∩N ＝A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}2．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝ A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差5．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则→OP ＋→OQ ＝A ．→OHB ．→OGC ．→EOD ．→FO6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．给定两个命题p ，q ．若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)．若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A ．14B ．12C ．1D ．2 9．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 10．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设z ＝(2－i)2（i 为虚数单位），则复数z 的模为．12．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为．13．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为．14．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于．15．为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25，30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：（Ⅰ）年龄在[25，30)内对应小长方形的高度为；（Ⅱ）这800名志愿者中年龄在[25，35)内的人数为．16．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有个．17．挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n＝L1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋L n－1(b n－1－b n)＋L n b n，其中L1＝a1，则（Ⅰ）L3＝；（Ⅱ）L n＝．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若sin A sin C＝3－14，求C．19．（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n＋b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求数列{b n}的前n项和S n．20．（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（Ⅰ）证明：AD⊥C1E；（Ⅱ）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．21．（本小题满分14分）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R．（Ⅰ）求f(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1．22．（本小题满分14分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C 相交于点D ，E ，求→AD ·→EB 的最小值．武汉市高三11月调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．A 2．A 3．D 4．C 5．D6．A 7．A 8．B 9．D 10．C二、填空题11．5 12．23 13．132114．45 15．（Ⅰ）0.04；（Ⅱ）440 16．4 17．（Ⅰ）a 1＋a 2＋a 3；（Ⅱ）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n三、解答题18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°．……………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝12＋2×3－14＝32，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°．…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝－23，2a 1＋9d ＝－29．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－3． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2．…………………………………………4分（Ⅱ）∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，∴a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1．∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)．当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n 2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n1－c．……………………………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ． ①又在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥BB 1． ②由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥C 1E ．………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵AC ∥A 1C 1，∴∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°．∵∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，∴A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E ．故C 1E ＝A 1C 1cos60°＝22，又B 1C 1＝A 1C 12＋A 1B 12＝2， ∴B 1E ＝C 1E 2－B 1C 12＝2．从而V 三棱锥C 1-A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ×A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23．…………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R ．令f ′(x )＝0，得x ＝ln2．于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x ) 单调递减↘ 2(1－ln2＋a ) 单调递增↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．……………6分（Ⅱ）设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ．于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ．由（Ⅰ）知，当a ＞ln2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )＞0．于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，∴g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0．即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1．……………………………………14分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1，化简，得y 2＝2x ＋2|x |．当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0．∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x （x ≥0）和y ＝0（x ＜0）．………………6分（Ⅱ）由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1． ∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k．设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1．故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4(k 2＋1k 2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．………………………14分。

2025届湖北省部分高中高三上学期11月期中联考数学试题(含答案)

2024年秋季普通高中11月份高三年级阶段性联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，则的值为（）A.B. C.D.3.已知，且，则与的夹角为（）A.B. C. D.4.已知曲线在点处的切线在轴上的截距为，则的值为（）A.1B.0C.D.5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（）A.40B.90C.80D.16011i+π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1313-(),2a b == ()2a a b ⊥+ a bπ32π33π45π6ln ay x x=+()1,a y 3-a 1-2-6.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（）A.B. C. D.7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）A.B. C. D.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列结论中正确的有（）A.已知，若，则；B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百分位数为135；C.已知的平均值为8，则的平均值为7；D.已知为两个随机事件，若，则.()()cos 0f x x x ωωω=->π()f x ϕ()g x ()g x ϕπ12π6π32π3881168124813281()f x [],a b ()f x '()f x ()()f x f x ='[],a b ()f x [],a b []4,3-()3228f x x x mx =+++m 5675m -<- (56)45m -<- (56)45m -< (74)m -<-…()24,X N σ~()50.1P X =…()340.4P X =……128,,,,11,13x x x 128,,,x x x A B ､()()()0.4,0.3,0.2P A P B P AB ===∣()0.15P B A =∣10.已知正实数满足，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是3D.的最小值为11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知的角的对边分别为，且，若，则__________.14.已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知，函数.（1）求的单调递减区间；（2）在中，若，求和长.16.（本题满分15分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列满足：，且.,a b 23a b ab +=ab 982a b +832a b +1b a-3-()[]f x x =[]x x {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21n n n b S S +=+()*n a n n =∈N)*n S n =∈N []12636b b b +++= 1210011118S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ()()2222ln f x x f x x -'=+()2f '=ABC A B C ､､a b c ､､sin a C =π6A =22b c bc+=()()()()13e 0xf x a x b a =-++≠[]1,3-3b a+()π,cos ,cos ,sin 2m x x n x x ⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎭()32f x m n =-⋅()f x ABC ()0,ABC f A BC S ===AC AB {}n a 421a =125,,a a a {}n b 143n n b b +=-1121b a =-（1）求和的通项公式；（2）若为数列的前项和，求.17.（本题满分15分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调査的学生是男生”.若.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.附0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3.19.（本题满分17分）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅{}n a{}n b n T1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n T M N ()()()457|,|,7815P M N P N M P N ===22⨯0.001α=X X ()E X ()()()()22():ad bc na b c d a c b d χ-⋅=++++αax ()1ln f x x a x x=--()f x 1x …()0f x …a ()ln 1n ++>+与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.（1）求的值；（2）求；（3）证明：为定值.x n n X ()1518P X ==x ()1n P X =()n E X2024年秋季普通高中11月份阶段性联考高三数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.D8.【解析】，显然不满足上式，所以，令，则，在，且，画出的图像，可知：.二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3分，三解题，每答对一个得2分】9.ACD 10.BCD11.BCD10.解析：（1）（当时取等号）；（2）（当时取等号）；()()()32481f x f x x x x m x '=⇒--+=-1x =32481,1x x x x m x--+≠=-()32481x x x g x x --+=-()()()22221(1)x x g x x '-+=--()g x ∴[)(4,1,1,2,2,3⎤⎤⎡-↑↑↓⎦⎣⎦()()()564,24,375g g g -=-=-=-[)7,4m ∈--8329ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥24,33a b ==8233a b ab +=≥24,33a b ==（3）（当时取等号）；（4）（当时取等号）.11.解析：（1）当时，，又A 错，B 对；（2），.故C 对；（3），当时，，，；故D对；三､填空题：12.13.14.14.【解析】，令，在，在，()()212122233,3225923a b a b ab a b a b a b b a b a b a ⎛⎫+=⇒+=∴+=++=++≥⇒+≥ ⎪⎝⎭1a b ==132233b b b b a b b --=-=+-≥-b =11,2n n nS a a ⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭2n ≥2211112,1n n n n n n n S S S S S S S ---=-+⇒-=-11111,02n S a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭211;n n n a S n S a ⇒=∴=⇒==∴()1263211176,722n n n b b b b S S +===-∴+++=+-∈+ []12636b b b ∴+++= 12n S =>=]1210011122118;S S S ⎡⎤∴+++>+++=->⎣⎦2n ≥12n S =<=-]121001111212119S S S ⎡⎤∴+++<++++=+-=⎣⎦1210011118S S S ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 3-21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()03e 1;x f x b a x =⇔+=-310,e x b x a a +-≠∴= ()()12,e ex x x x g x g x --=='()g x ∴()1,2-↓()2,3↑作出的图像，可知：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（1）由减区间为（2），或.16.（本题满分15分）解：（1）设的公差为，又（2），两式相减，得：17.（本题满分15分）()g x 2132e e b a+-≤≤()23π3cos cos sin sin 222f x x x x x x x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭()311π1cos21cos2sin 21,2226x x x x x ⎫⎛⎫=--=--=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭πππππ2π22πππ,26263k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x ∴()*πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N ()ππ0sin 21,,63f A A A ⎛⎫=⇒-== ⎪⎝⎭6,ABC S AB AC =⇒⋅= 227,BC AB AC AB AC =⇒+-⋅=2,3AB AC ∴==3,2,AB AC ==⋅{}n a ()()()221520,,21321(212)6d d a a a d d d d ≠=∴-+=-⇒= ()14133,16 3.n a a d a a n d n ∴=-==+-=-()1143141,n n n n b b b b ++=-⇒-=-111215,14,b a b =-=-=()*1441n n n n b b n ∴-=⇒=+∈N 6314n nn a n b -=-2323411633915631391563;;4444444444nn n n n n k n n n T T +=---==++++∴=++++∑2341336666635165;4444444334n n n n n n n T T +-+=+++++-⇒=-⋅解：（1）被调查的学生中男生有140人，女生有160人.男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂60100160喜欢去乙食堂8060140合计140160300零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此推断犯错误的概率不大0.001.（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.，，X 的分布列为：X 0123p，18.（本题满分17分）解（1）定义域为；..当时，恒成立，；()77,300140,1515P N =⨯=∴44(),14080,77P M N =⨯=∴∣533()(),60160,888P N M P N M =⇒=÷=∴∣∣0H 220.001(606010080)30011.5810.828160140160140χχ⨯-⨯⨯=≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 0,1,2,3X =()()()()615243712312312312777715151515C C C C C C C 8282450,1,2,3C 65C 65C 65C 65P X P X P X P X ============86528652465113()82824570123656565655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()0,∞+()()22211,Δ4,f x x ax a x=-+=-⋅'0122a -≤≤2Δ0,10x ax ≤-+≥()()0,f x f x ≥↑'.当时，有两根，但两根均为负数，当时，.当时，有两正根，当时，；当时，；当时；综上所述：.当时，增区间为；.当时，增区间为和；减区间为.（2），令，则在，若，则，与题意相符；若，则，所以必存在，使得当时，，从而使得当时，，与题意相矛盾；综上：.（3）证明：由（2）知，当时，（仅当时取等号），，令；，得证.19.（本题满分17分）解：（1）（2）022a<-2Δ0,10x ax >-+=()0,x ∞∈+()()0,;f x f x '≥↑32a >2Δ0,10x ax>-+=1x =2x =()10,x x ∈()()0,f x f x >↑'()12,x x x ∈()()0,f x f x <↓'()2,x x ∞∈+()(),0,f x f x >'↑012a ≤()f x ()0,∞+022a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()11f x x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'()1g x x a x =+-()()()22110,g x x g x x =-≥∴'[)()1,,12g a ∞+↑=-2a ≤()()()()()()10,0,,10g x g f x f x f x f ≥≥≥↑≥='2a >()120g a =-<01x >()01,x x ∈()()()0,0,g x f x f x <'<↓()01,x x ∈()()10f x f <=2a ≤1x ≥()12ln 0f x x x x=--≥1x =12ln x x x∴-≥x =11ln ln n n n n ++>=⇒>()2341ln ln ln ln ln 1123n n n +>+++=+ ()111513;11118x x P x x x x x x ==⋅+⋅=⇒=++++()()()()()()()11111010111212n n n n n n n n n n P x P x P x x P x P x x P x P x x ++++===⋅==+=⋅==+=⋅==∣∣∣，又，.（3），令，则而，..得证.()()()()()()11331111510120122244442282n n n n n n P x P x P x P x P x P x ⎛⎫==⋅+=⋅⨯+⨯+=⋅==+=+= ⎪⎝⎭()()()0121n n n P x P x P x =+=+==()()()()()()11151141411111,11,2882787n n n n n n P x P x P x P x P x P x ++⎡⎤⎡⎤∴==-=+===+⇒=-==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()114543431314311,11;78756756878778n n nn n P x P x P x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=∴=-=⨯=⨯⇒==+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()1112020121n n n n n n n P x P x P x x P x P x x +++===⋅==+=⋅==∣∣()()1222n n n P x P x x ++=⋅==∣()()()1311913122162214828n n n n P x P x P x +⎛⎫==+===++ ⎪⎝⎭()()()()111131391339228248214214148141414n n n n n n n P x P x P x P x ++++⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⇒=-==-+⇒=-=⨯=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()38214n n n a P x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦1193344,141414n n n n a a a a ++⎛⎫=+⇒+=+ ⎪⎝⎭()113333338280141414161414a P x ⎡⎤⎡⎤+==-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3333310820214141414148n n n n n a P x P x ⎡⎤∴+=⇒=-+=⇒==-⨯⎢⎥⎣⎦()()()()43133100112212177814148n n n n n n E X P x P x P x ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

2020届湖北省部分重点高中高三11月期中联考数学(理)科试题(解析版)

2020届湖北省部分重点高中高三11月期中联考数学（理）科试题一、单选题1．设集合{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=<,若A∩B≠∅,则a 的取值范围是( ) A ．1a ≥- B ．12a -<≤C ．2a >D ．1a >-【答案】D【解析】∵A∩B≠∅,∴A ，B 有公共元素，∵{|12},{|}A x x B x x a =-≤<=< ∴1a >- 故选：D点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 2．定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件1142i zzi-=+的复数z 为（）A ．3i -B ．13i +C ．3i +D ．13i -【答案】A【解析】试题分析：由题意得()()()()42142624231112i i i izi z i z i i i i +-+-+=+∴====-++- 【考点】复数运算3．已知12,e e 是不共线向量，1212122,3,AB BC CD e e e e e e λ=+=-+=-，且A ，B ，D 三点共线，则实数λ等于（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据共线向量基本定理得：A ，B ，D 三点共线，存在唯一的实数t 使得AB tBD =，(t 为实数），由此能求出实数λ．【详解】A ，B ，D 三点共线，122AB e e =+，123BC e e =-+，12CD e e λ=-，∴12(1)2BD BC CD e e λ=+=-+， ∴12122(1)2e e t e te λ+=-+，解得12t =，5λ=．故选C. 【点睛】本题考查向量的线性运算、共线向量基本定理，考查运算求解能力，属于基础题． 4．如图，点A 为单位圆上一点，3xOA π∠=，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点34()55B -，，则cos α=( )A ．310B ．310-C D ．410+-【答案】A【解析】可得)os(35c 3p a +=-，)in(45s 3p a +=,再根据cos cos[()]33ππαα=+-化简可得答案. 【详解】解：由题意得：)os(35c 3p a +=-，)in(45s 3p a +=，∴cos cos[()]33ππαα=+-=1cos()23p a ++)23p a +=134()2525?=，故选A.5．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音1c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（）A ．dB ．fC ．eD ．d【答案】D【解析】的音比1a 的频率低，故可将1a 的频率记为第一项，的音设为第n 项，则这个数列是以440Hz 为第一项，以1122q -=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【详解】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -= 由1112440(2)n --=⨯，解得7n =，频率为的音名是(#)d ，故选D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．6．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和（） A ．若*1,n n a a n n N +-=∈，则{}n a 是等差数列B ．若2*12,n n n a a a n N ++=⋅∈，则{}n a 是等比数列C ．若()1*,2n n n a a S n N +=∈，则{}n a 是等差数列 D ．若(0nn S q q =>且*1),q n N ≠∈，则{}n a 是等比数列【答案】C【解析】对A ，利用等差数列的定义判断；对B ，若有项为0则不能为等比数列；对C ，对递推关系进行两次递推，得到122(3)n n n a a a n --=+≥；对D ，可求出等比数列的前3项，证明2213a a a ≠⋅；【详解】对A ，若1n n a a t +-=（常数），则{}n a 是等差数列，故A 错误；对B ，当120n n n a a a ++===，即使212n n n a a a ++=⋅，则{}n a 不是等比数列，故B 错误；对C ，由1111112,2(1)2(1)(1),n n n n n n n S na na a a na n a S n a n a ---=+⎧⇒=+--⎨=-+-⎩①，又11122(1)(2)n n n a a n a n a ---=+---②，由①-②得：122(3)n n n a a a n --=+≥，故C正确；对D ，由(0nn S q q =>且1)q ≠，则11a S q ==，2221a S S q q =-=-，32332a S S q q =-=-，因为2224322()2a q q q q q =-=-+，324313()a a q q q q q =⋅-=-，显然2213a a a ≠⋅，则{}n a 不是等比数列，故D 错误．故选C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的定义证明及相关性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查方程思想的应用．7．下列四个命题中真命题是（）． 1:(0,1)P x ∀∈，1123log log x x ≤2:(0,)P x ∃∈+∞，121log 2xx ⎛⎫⎪⎝⎭≤13:0,3P x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫⎪⎝⎭≥A ．2P ，3PB ．2P ，4PC ．1P ，3PD ．1P ，4P【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】解：1P ：()0,1x ∀∈，1123log log x x >故1P 不正确；2P ：()0,x ∃∈+∞，121log 2xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭故2P 正确；3P ：10,3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭故3P 正确；4P ：()0,x ∀∈+∞，1123x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故4P 不正确．故选A ．【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.8．已知函数133,(1)()log ,(1)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】绘制函数()f x 的图象如图所示，则函数()1f x -的图象可由如下变换得到：首先将函数()f x 的图象关于y 轴对称变换，然后将函数图象向右平移1个单位长度，观察所给选项，只有D 选项符合题意. 本题选择D 选项.9．已知函数f (x )=cos 4x+sin 2x ,下列结论中错误的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．函数f (x )最小值为34C ．π2是函数f (x )的一个周期 D ．函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数【答案】D【解析】根据偶函数定义进行判断；将函数化为关于sin 2x 的二次函数，根据二次函数性质确定最小值；根据周期定义判断C 是否正确;举反例说明D 不成立. 【详解】由f (-x )=cos 4(-x )+sin 2(-x )=f (x ),知函数f (x )是偶函数,故A 正确;f (x )=(1-sin 2x )2+sin 2x=sin 4x-sin 2x+1=2213sin -24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又sin 2x ∈[0,1],则当sin 2x=12时,f (x )min =34,所以B 正确; f π2x ⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 4π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-sin 2π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=cos 4x+1-cos 2x=cos 4x+sin 2x ,则f (x )=f π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以C 也正确,因为()()43f f ππ< ，所以D 错误，选D本题考查偶函数、二次函数最值、周期、单调性，考查基本分析判断能力.10．定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足：当02x ≤<时，()22f x x x =-；当2x ≥时，()()32f x f x =-.记函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,,,,,n a a a 并记相应的极大值为12,,,,,n b b b 则11222020a b a b a b +++的值为（）A ．201931⨯+B ．191931⨯+C ．192031⨯+D ．202031⨯+【答案】A【解析】确定函数极大值点及极大值求得21n a n =-.1,3n n b -=，再求和即可【详解】由题当当0x 2≤<时，()()22f x 2x x 11,x =-=--+极大值点为1，极大值为1 当x 2≥时，()()f x 3f x 2=-.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故21n a n =-.1,3n n b -=,故()1213n n n a b n -=-设S=121911222020113353393a b a b a b +++=++++3S=12201333393+++两式相减得-2S=1+2(1219333+++)-()19202020313312393238313-=+⨯-=---∴S=201931⨯+故选：A 【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定n a 及n b 的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题11．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（）A ．π6B ．π2C ．7π6D ．π【解析】先求()[2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.12．函数()121x xf x e e b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是（）A ．(⋃B ．()()1,00,1e e -⋃-C ．()()11⋃D ．()1,1e e -⋃-【答案】D【解析】设12t x =-，则函数等价为11222t ty e e b t +-=--，条件转化为11222t t eeb t +--=，进而转化为1122t t y ee+-=-与2y b t =有两个交点，利用函数的单调性和导数的几何意义，结合绝对值，合理分类讨论，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()121xxf x e eb x -=---，设12t x =-，则12x t =+，因为01x <<，所以1122t -<<，则函数()f x 等价于()1122t t +-，即等价为()11222t t f x e eb t +-=--在1122t -<<上有两个零点，即11222t t eeb t +--=在1122t -<<有两个根，设()1122t t h t e e+-=-，则()()11112222t t t t h t eee e h t -++-⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭，即函数()h t 是奇函数，则()11220t t h t ee+-=+'>，即函数()h t 在1122t -<<上是增函数，且()1100,1,122h h e h e ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当102t ≤<，若0b =时，则函数()f x 只有一个零点，不满足条件；若0b >时，则()2g t bx =，设过原点的直线()2g t bx =与()h t 相切，切点为1122,a a a ee +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由()11220t t h t ee+-=+'>，则()1122a a h a ee+-=+'，则切线方程为()11112222()a a a a y e e e e x a +-+-⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，切线过原点，则()11112222()a a a a e e e e a +-+-⎛⎫--=+⋅- ⎪⎝⎭，即11112222a a a a e ea e e +-+-⎛⎫-+=-⋅+ ⎪⎝⎭，则()()112211a a a ea e-++=-+，当0a =，即切点为()0,0，此时切线的斜率为()11122202k h e e e ==+='，若1222e b =，则12b e ==y =与()h t 相切，只有一个交点，不满足题意. 当直线过点1,12e ⎛⎫-⎪⎝⎭时，1122e b b -=⨯=，此时直线()()21g t e x =-，要使得()g t 与()h t 1b e <<-，由1222b e -=，得b =1,12e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，1122e b b ⎛⎫-=-⋅-= ⎪⎝⎭，要使得()g t 与()h t由两个交点，则1e b -<<综上1e b -<<1b e <<-，即实数b的取值范围是(1,e -)1e ⋃-，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用问题，其中解答中利用换元法，利用条件转化为两个函数的图象的交点个数问题，利用导数求得函数的单调性和导数的几何意义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，试题难度大，属于难题.二、填空题13．设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a =__________．【答案】23a =-【解析】注意到()()()()221211f x x x x =-=+-为偶函数，故()()3212a f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，通过对比可知321,23a a -==-.14．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若115,,cos 314a B A π===，则ABC ∆的面积S =__________．【答案】【解析】由同角三角函数基本关系可得：sin A ==，由正弦定理有：5sin 7sin a B b A ===，由诱导公式结合两角和差正余弦公式可得：则ABC △的面积：11sin 57227ABCSab C ==⨯⨯⨯=. 15．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD 上有10个不同的点12310,,P P P P ⋯⋯，则12310()AF AP AP AP AP ⋅+++⋯+=________.【答案】180【解析】可用特殊位置法处理此题，假定这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点，则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=，建立坐标系，向量坐标法处理数量积．【详解】令这10个点是DG 的等分点，且M 为DG 中点，则1231010AP AP AP AP AM +++⋯+=，以A 为原点，AD 方向为x 轴建立坐标系，故F ，11(2M ，AF =，11(2AM =，∴原式10180AF AM =⋅=.故答案为180 【点睛】考查向量在图形中的几何应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值，考查数形结合思想和坐标法的应用． 16．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()*()(1)n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S =____．【答案】10200【解析】因为()2πxf x x cos2=，所以 ()()n a f n f n 1=++=22+1cos ++1cos22n n n n ππ（）（） 2224-34-34-24-3cos +4-2cos =-(42)22n n n a n n n ππ=-（）（）（）（）同理可得：22242414(42),(4),(4)n n n a n a n a n --=--=-=-2243424142(42)2(4)8(41)n n n n a a a a n n n ---∴+++=--+=- , ∴ {}n a 的前100项之和()100S 8379910200=++⋯+=.故答案为：10200 .点睛：本题中由条件()()n a f n f n 1=++=22+1cos++1cos22n n n n ππ（）（），由余弦函数的值可将n 分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n的最小值．【答案】（1）n a n =；（2）2019．【解析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ．【详解】（1）因为12n n S na +=……①，所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =.（2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭，当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．18．如图，三棱柱111ABC A B C -，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，160BAC CAA ︒∠=∠=且12AB AC AA ===．（1）求证：11B C A B ⊥；（2）求二面角1A B C B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）连结BD 、1AB 推导出D 是AC 的中点，BD AC ⊥，从而AC ⊥平面1A BD ，进而1AC A B ⊥，再求出11AB A B ⊥，由此证明1A B ⊥平面1AB C ，从而11B C A B ⊥．（2）由AC 、DB 、1DA 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求出二面角1A B C B --的余弦值．【详解】证明：（1）连结1,BD AB ，111,60,A D AC CAA AC AA ︒⊥∠==，D ∴是AC 的中点，又60AB AC BAC BD AC =∠=︒∴⊥，，，11,,A D BD D A D BD =⊂平面1A BD ，AC ∴⊥平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1AC A B ∴⊥，又11AA B B 是平行四边形，111,AB AA AB A B =∴⊥，11,,ACAB A AC AB =⊂平面1AB C ，1A B ∴⊥平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ， 11B C A B ∴⊥．（2）由（1）知AC DB 、、1DA 两两垂直，故以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，1(0,1,0),(0,1,0),A B C A -，1(0,1AA ∴=，设()1000,,B x y z ，则()1000,BB x y z =，110001,0,1,AA BB x y z B =∴==∴， 1(3,2,3),(0,2,0)AB AC ∴==，设平面1AB C 的一个法向量(,,)m x y z =，则132020m AB x y m AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得(1,0,1)m =-，设平面1BB C 的一个法向量为n ，同理得(1,3,1)n =-，10cos ,||||5m n m n m n ⋅∴<>==⋅，∴二面角1A B C B --的余弦值为5．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19．如图，一个角形海湾,2AOB AOB θ∠=（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中»PQl =；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =.（1）求方案一中养殖区的面积1S ；（2）求方案二中养殖区的最大面积（用l θ，表示）；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）21,0,42l S πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；（2）224tan l S θ=；（3）应选择方案一．【解析】（1）设此扇形所在的圆的半径为r ，则2l r θ=⋅，可得2lr θ=．利用扇形面积计算公式可得1S ．（2）设OC x =，OD y =，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，可得：224l xy sin θ≤，即可得出．（3）由于12tan S S θθ=，令()t a n f θθθ=-，求导，可得()f θ在(0,)2π上单调递增．即可得出结论．【详解】（1）设OP r =，则2l r θ=⋅，即2lr θ=，所以 211,0,242l S lr πθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭．（2）设,OC a OD b ==．由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-，所以22cos2l ab ab θ≥-．所以22(1cos 2)l ab θ≤-，当且仅当a b =时等号成立．所以221sin 2sin 224(1cos 2)4tan OCDl l S ab θθθθ∆=≤=-，即224tan l S θ=．（3）221114(tan ),0,2S S l πθθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，令()tan f θθθ=-，则22sin sin ()1cos cos f θθθθθ''⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'>，所以()f θ在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．所以，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，总有()(0)0f f θ>=，即21110S S ->，即12S S >．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．【点睛】本题考查扇形的面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，注意利用基本不等式求最值时，记得验证等号成立的条件．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点F 的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A B ，两点，求EAB ∆面积的最小值．【答案】（1）24x y =；（2）【解析】（1）求出抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-，由抛物线定义，得到2p =，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的12y x '=．设点2(,),04t E t t ≠，得到抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．求出(,0)2t P ．推出直线PF 的方程，点2(,)4t E t 到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出EAB ∆的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．【详解】（1）抛物线22(0)x pyp =>的准线方程为2p y =-，因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+，所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．（2）因为214y x =，所以12y x '=．设点2,,04t E t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2t x =，即点,02t P ⎛⎫⎪⎝⎭．因为,0,(0,1)2t P F ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x ty t +-=．则点2,4tE t ⎛⎫⎪⎝⎭到直线PF的距离为|4t d ==．联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得()22222160t y t y t -++=．因为()()224221646440t t t∆=+-=+>，所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=. 所以EAB ∆的面积为()()322224441122||t t S tt ++=⨯=⨯．不妨设()3224()(0)x g x x x+=>，则()122224()(24)xg x x x +=-'．当x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在上单调递减；当)x ∈+∞上，'()0g x >，所以()g x 在)+∞上单调递增，所以当x=32min4)()g x ==所以EAB ∆的面积的最小值为【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、利用导数求函数的最值等知识的交会，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力以及构造法的应用，难度比较大． 21．已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点()()22,e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()()21kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．【答案】（1）单调减区间为(0,1)和(1,]e ；（2）k 的取值范围为：0k ≤或2k =．【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得2m =，求得()f x 的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得()g x ，要使函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在()()0,11,x ∈+∞内无解，亦即要()21ln 0x k x x--=在()()0,11,x ∈+∞内无解.构造函数()()21ln x h x k x x-=-，对其求导，然后对k 进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到k 的取值范围. 【详解】 (1) ()()()2ln 1ln m x f x x -'=，又由题意有：()212f e '= 1242m m ⇒=⇒=，故()2ln x f x x =. 此时，()()()22ln 1ln x f x x -'=，由()001f x x <⇒<<'或1x e <<，所以函数()f x 的单调减区间为()0,1和()1,e .(2) ()()21kx g x f x x =-- ()2ln 1kx g x x x x ⎛⎫⇒=- ⎪-⎝⎭，且定义域为()()0,11,+∞，要函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在()()0,11,x ∈+∞内无解，亦即要()21ln 0x k x x--=在()()0,11,x ∈+∞内无解.构造函数()()()2212ln x kx h x k x h x xx'--=-⇒=. ①当0k ≤时，()0h x '<在()()0,11,x ∈+∞内恒成立，所以函数()h x 在()0,1内单调递减，()h x 在()1,+∞内也单调递减. 又()10h =，所以在()0,1内无零点，在()1,+∞内也无零点，故满足条件；②当0k >时， ()()2222k x kx k h x h x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⇒='' ⑴若02k <<，则函数()h x 在()0,1内单调递减，在21,k ⎛⎫⎪⎝⎭内也单调递减，在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 又()10h =，所以在()0,1内无零点；易知20h k ⎛⎫<⎪⎝⎭，而222220k kh e k k e ⎛⎫=⋅-+> ⎪⎝⎭，故在2,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有一个零点，所以不满足条件； ⑵若2k =，则函数()h x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增. 又()10h =，所以()()0,11,x ∈+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件；⑶若2k >，则函数()h x 在20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在21k ⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，在()1,+∞内也单调递增. 又()10h =，所以在21k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，及()1,+∞内均无零点. 又易知20h k ⎛⎫<⎪⎝⎭，而()()22222k k k h e k k e e k -=⋅--+=--，又易证当2k > 时，()0kh e ->，所以函数()h x 在20,k ⎛⎫⎪⎝⎭内有一零点，故不满足条件.综上可得：k 的取值范围为：0k ≤或2k =. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为t tt tx e e y e e--⎧=+⎨=-⎩（其中t 为参数）．在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．【答案】（1）224(2)x y x -=≥；（2）6π⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由曲线C 的参数方程求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，得222(cos sin )2cos 2ρθθθ-=，从而23tan 10θ-=，进而方程的解为6πθ=，由此能求出直线l 与曲线C 的公共点P的极坐标．【详解】（1）消去参数得曲线C 的直角坐标方程为224(2)x y x -=≥，所以曲线C 的极坐标方程2222cos sin 4ρθρθ-=，即2c o s 2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ，得4sin 2cos 23πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得23tan 10θθ-+=，得tan 36πθθ==，代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．得ρ=P 的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法、直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．已知函数2()1f x x x =-+，且,,a b c ∈R ．（1）若2a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据柯西不等式即可求出最小值，（2）根据绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）因为222214()33a b c a b c ++≥++=，当23a b c ===取等号， ()22247()()()()3133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=，所以()()()f a f b f c ++的最小值73.（2）因为||1x a -<，所以()22|()()|()|||1||1|f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-|()(21)||||21|1(2||1)2(||1)x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+.【点睛】本题考查柯西不等式和绝对值三角形不等式的证明，考查转化与化归思想的运用，属于中档题．。

高中高三数学11月联考试卷文含解析试题

2021届高三重点高中11月联考数学试卷〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题中给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 设集合，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由集合得：，那么=应选2. 假设复数满足，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】应选3. 等差数列的前项和为，假设，，那么的公差为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，此题选择C选项.4. ：“函数在上是增函数〞，：“〞，那么是的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B...............反之，能得到函数在上是增函数.即是的必要不充分条件.此题选择B选项.5. 平面向量，满足，，，那么向量，的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，那么应选点睛：此题中，由的坐标可得到的模，又因为求两个向量的夹角，由向量的数量积的计算公式可以求得答案。

着重考察了平面向量数量积的运算和两个向量夹角等知识，属于根底题。

6. ，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】，，应选7. 在中，角，，所对的边长分别为，，，假设，，，那么=〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由余弦定理可得：.即.解得：.应选C.8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】把函数的图象向右平移个单位长度后可得：应选9. 在公比为整数的等比数列中，，，那么的前5项和为〔〕A. 10B.C. 11D. 12【答案】C【解析】，，，即解得或者舍去，那么应选10. 假设函数〔，且〕的值域是，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得当时，故可得的值域是的子集，当时，时，即，解得即当时，即，解得，不合题意，综上所述，应选11. 如图，在中，点为的中点，点在上，，点在上，，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】此题选择D选项.12. 假设函数在上是增函数，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】假设，那么，在上是增函数，故可以排除假设，那么当时，获得最小值为即在上是增函数，故可以排除应选点睛：此题运用了排除法来解答，要证函数是增函数，分类讨论参量的情况，利用导数进展验证，从而求得参量的取值范围。

2024届湖北省十一校高三下学期第二次联考数学试题及答案

2024届高三湖北十一校第二次联考数学参考答案及评分细则题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案A B B C A D D C ACD AC ABC1.()5,2M =−,[)0,N=+∞ ∴[)0,2M N = 选：A 2.设,(,)z a bi a b R =+∈，由2z i z +=，得|(2)|||,a b i a bi ++=+ 2222(2)a b a b ++=+，解得1b =−，∴z 的虚部为1b −=选：B3. 由tan 1tan 241tan πααα− −==+ ，得tan 3α=−，∴22tan 3sin 21tan 5ααα==−+ 选：B 4.b a ,的夹角为60 ，223()||2a a b a a b a ⋅+=+= 2222113)(2)||222a b a a b b a +=++= （选：C5.由题意得，动点M 的轨迹是线段AB 的中垂面与平面可得线段AM 的最小值为4= 选：A6．()()()220126661x C ax C x C x +⋅−+−⋅−，所以2x 的系数为16152a −−=−，所以2a =− 选：D 7．设(),P x y ，23PA PB a ⋅= ，得P 得轨迹方程为圆:C 2224x y a +=，所以圆C 和已知圆相交即可，圆心距21120r r C r r −≤≤+，其中12,2r a r a ==，得222507250a a a a ++≥ −−≥得1a ≥选：D命题学校：鄂南高中审题人：鄂南高中雷松柏黄石二中命题人：李环宇易红艳汪勇谋万莲艳()ln ln ay x y x x ≥−−，()ln ln xxa y x y y ∴≥−−，ln x y xa y x y ∴≥− 设yt x =，得()ln 1,0,t a t t −≥∈+∞，设()ln 1(),0,x g x x x −=∈+∞，求导讨论单调性，可得21a e ≥选：C9．()2100,1.5X N 可知期望为100，方差为21.5，C 选项()()P X P X µσµσ<+=>−正确D 选项()()22P X P X µσµσµσµσ−<<+=−<<+正确选：ACD10．第i 行是以1i a 为首项，以()1i +为公差的等差数列，()()()11111ij i a a j i i j i i j ∴=+−⋅=++−⋅=⋅+，C 正确可知A 正确，对于B 选项06152433425160165,6422222222222222ij a i j i j =⋅+=∴⋅==×=×=×=×=×=×=×故共出现7次，B 错误对于D 选项，令1,2n =，检验可知错误.选：AC11．A 选项易知正确B 选项，如图可知()()111121111112,,2G F G A G F G D G A G D G F G F a c a c a ==∴+=+=−++= 122O O AD a ∴==得证C 选项，11OO F ∆,1111,,OF c OO a O OF θ==∠=得证D 选项，可知1111,,2AO F AO G θθ∠=∠=11O AG ∆中，1tan 2AGR θ=，所以错误.选：ABC(],1e −∞− 13.34π 14.3750−12.当0x ≤时，11x +≤得0x ≤，∴0x ≤当0x >时，ln(1)1x +≤得11x e −<≤−，∴01x e <≤−综上：()1f x ≤的解集为(],1e −∞−13. 由题意，可将三棱锥1A CDE −补形成长方体，设长方体外接球半径为R ，则2222(2)33434R =++=，∴2=434S R ππ=球 14.n S n为等差数列，∴数列{}n a 等差数列 ()()14114411777777S a a a a =∴+=+= ，14114114111141111112,11211a a a a a a a a a a =−−=− ∴ =−−=− ，则()1111111111137a a a a d −−−−= 111713110a a ∴+=111,a a N +∈ ，经检验11112,2a a ==则111110a a d −==−，13n a n =−，()12522n n n n a a S n −⋅+=⋅=,1003750S ∴=−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在平面四边形ABCD 中,3,AB AC BC ==．cos BCA ∠的值;(2)若12cos ,cos 13BCD ADC ∠=−∠AD 的长．解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得：222cos 2AC BC AB BCA AC BC +−∠=⋅cos BCA ∴∠=; ................5分 ()(2)sin sin sin cos cos sin 5121313ACD BCD BCA BCD BCA BCD BCA ∠=∠−∠=∠∠−∠∠=+=2sin 5ADC ∠= .................9分在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC AD ADC ACD =∠∠分是矩形，在四边形.30,DCA AC ∴∠==36AB BC ==又，90,30CAB ACB ∴∠=∠= ，∴四边形ABCD 是等腰梯形 ............... 3分//AD BC 且12AD BC = 1133AO AC EF MF ∴=== ∴四边形AOFM 是平行四边形 ............... 6分 ∴//AM OF 又,AM BDF OF BDF ⊄⊂面面，∴//AM BDF 平面 ............7分（2）平面ACFE ⊥平面ABCD ，且四边形ACFE 是矩形∴AE ⊥平面ABCD建立如图所示空间直角坐标系，由BF 与平面ABCD 所成角为6π，得CF =.... 8分∴(0,3,0)BCF (0,0,E 3,0)2D −(0,3,BE →=−9,0)2BD →−3,0)BC →=−3,BF →=− (9)分设平面BED 的法向量为1(,,)n x y z →=，则(0,3,(,,)3099,0)(,,)022x y z y x y z x y −⋅=−+=−⋅=−=∴1n →= ......... 11分设平面BCF 的法向量为2(,,)n x y z →=，则3,0)(,,)303,(,,)30x y z y x y z y −⋅=−= −⋅=−+∴2(1n →= ......... 13分∴1212||cos ||||n n n n θ→→→→== ......... 15分 17.（15分）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官。

湖北省部分重点中学高三上学期11月联考——数学(理)数

湖北省部分重点中学 2015届高三上学期11月联考数学（理）试题试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足 ( i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是（） A. B. C. D.2．下列说法中，正确的是（） A ．命题“若，则”的逆命题是真命题 B ．命题“存在，”的否定是：“任意，”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N （110，102），若P （100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C ． D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( ) A ． B ． C ． D ．6. 在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和 ( ) A ．132 B ．299 C ．68 D ．997. 若函数2()(,,,)df x a b c d R ax bx c =∈++的图象如图所示，则等于（）A ． B. C ． D ．8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A ． B ． C ． D ．9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别A ．B ．C ．D ．10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( ) A．2B ．5C ．3D ．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题） 11. 设f(x)＝lg2＋x2－x，则的定义域为__________________. 12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y ∈R.若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________.14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______. （二）选考题 15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若,6,5AB AC AE BD ===，则线段的长为________。

湖北省名校联考2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案

绝密＊启用前（新高考卷）数学试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮拌于净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

I.设z=-2+-:-，则2在复平面内对应的点位千A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 已知M,N均为R的子集，若存在x使得xEM，且江(RN'则A.MnN-:;,0B.M己NC.N!;;;;MD.M=N3 已知向量a,b=(l,-1)满足a.Lb,(a-b).L(a+ 2b)，则回＝A.石B.✓2C.24 记S,，为等差数列{a,，的前n项和，若S4=S5=20,则a尸D.IA.-10B.-8C.IOD.8冗5 函数/(x)=sin(2x+－）在区间(0,5)有6A.I个极大值点和1个极小值点C.2个极大值点和1个极小值点B.I个极大值点和2个极小值点D.2个极大值点和2个极小伯点2 26 已知椭圆c土+?;-= l(a > b > 0)的左、右顶点分别为A l,A2'上顶点为B,左焦点为F,线段A1B的汒b2中点为D,直线A2D与y轴交于点E．若A1B与FE共线，则C的离心率为IA.一7 在四边形ABCD中，l一2B2一3c3一4DAB=BC=2, AD=3,乙A＝乙CBD=90°,将丛BCD沿BD折起，使点C到达点C的位置，且平面C'BD.L平面ABD若三棱锥C'-ABD的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.17冗B. 23冗C. 25nD. 29兀P兀8 已知a,/J, y E (0，乌，且a+—=－, sin 2 a =cosy+ 0.1, 2sin 4-= sin y,则2. 2 2. 2A.a</J<rB./J<a<rC.r<a</JD./J<y<a数学试题（新商考卷）第1页（共4页）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省名校联考2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题及答案

1
1
1
e2
或
1
1
e2
，所以
a
的取值范围是
(0,
e
1 2
)
1
(e 2 ,1)
．
a
a
17.（10 分）
【解析】（1）方法 1：由 bsin A 3a cos B 3c 及正弦定理可得： sin B sin A 3 sin Acos B 3 sin C 3 sin( A B) ，所以 sin B sin A 3 sin A cos B 3 sin A cos B 3 cos Asin B ，故 sin B sin A 3 cos Asin B ，因为 sin B 0 ，故 sin A 3 cos A 0 ，所以 tanA 3 ，所以 A .
22
2
sin2
所以
cos
1
1 ，即 1 cos2
cos
1
1 ，解得 cos
10
35
，
4
10
4
10
5
cos sin 20 35 110 ．将 2 sin sin 两边平方后，可化简得：
2
10
2
cos 1 2 cos2 16 2 35 ，所以 cos cos ， cos2 cos2 35 13 0 ，即
1 a
(
1 ln a
2)
．由
g(a0 )
0
得
a0
e
1 2
，当
x
e
1 2
时，g
(a)
0
，g
(a)
单调递增；当
x
e
1 2
时，g(a)
0
，g

【名师解析】湖北省武汉市高三11月调研考试数学(理)试题版解析

）
A． (1 － 3 ， 2)
B． (0， 2)
C． ( 3－ 1 ， 2)
D ．(0 ， 1＋ 3)
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5．给定两个命题 p， q．若﹁ p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是﹁ q 的（）
，求 C．
4
cos( A C ) cos A cosC sin Asin C cos AcosC sin Asin C 2sin Asin C
1
31 3
2
2
4
2
A C 或A C
6
6
C
或C
12
4
考点： 1. 余弦定理； 2. 两角的和差公式 .
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18 ．（本小题满分 12 分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，
安排一名员工随机收集了在该超市购物的
100 位顾客
的相关数据，如下表所示．
一次购物量
1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟 / 人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55% ．
（Ⅰ）确定 x， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前

湖北省新高考协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题数学含答案

2024-2025学年上学期期中考试高三数学试题（答案在最后）时间：120分钟分值：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}2340A x x x =--<∣，{1,}B x x x Z =>∈则A B = （）A.{}1,2,3- B.{}2,3 C.{}3,2-- D.{}3,2,0--2.若1z i =+则3iz z +=（）A. B. C. D.3.已x ，y 知是任意实数，则:4p x y +≥是:1q x ≥且3y ≥的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a ，b 均为非零向量，且()a ab ⊥- ，2b a = ，则a 与b的夹角为（）A.3π B.4π C.6π D.23π5.若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）.A.c a b<< B.a b c << C.a c b<< D.c b a<<6.已知等比数列{}n a 的前3项和为28，0n a >且5256a a -=，则6a =（）A.28B.56C.64D.1287.已知02πβα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ⋅=，则sin sin αβ=（）A.15 B.25C.12D.28.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法一牛顿迭代法，做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线()()()000:l y f x f x x x '-=-，则l 与x 轴的交点的横坐标()()()()010000f x x x f x f x ''=-≠，称1x 是r 的第一次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的第二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()()()10n n n n n f x x x f x f x +''=-≠，称1n x +是r 的1n +次近似值，这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程23x =的近似解，则下列正确的是（）A.若取初始近似值为1，则过点()()1,1f 作曲线()y f x =的切线23y x =-B.若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为75C.()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =--'''+D.()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=---'--''' 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，10a >，670a a +>，670a a ⋅<，下列结论正确的是（）A.60a <，70a > B.0d < C.130S < D.当7n =时，n S 最大10.已知实数a ，b 满足()lg lg lg 4a b a b +=+，则下列结论正确的是（）A.a b +的最小值为9B.1ab 的最大值为14D.lg lg a b +的最小值为4lg211.函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（）A.2a =B.()()21f f ->C.若120x x <<，则()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤>+ ⎪⎣⎦⎝⎭D.方程()()2102fx f x -=有3个实数根三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函()y f x =，x ∈R 数，且()03f =，()()()()()()()0.510.52,2,,200.50.51f f f n f f f n ==⋯=-，*N n ∈则()3f =________.13.如图，函数()()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知点A ，D 为()f x 的零点，点B ，C 为()f x 的极值点，21||2AB DC AB ⋅=-，则ϕ=________.14.若1n a n =-，*N n ∈，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2250n nS S +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()21cos sin 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调减区间；（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.若对任意1x ，2,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤求实数a 的最小值.16.（15分）已知函数()323f x ax bx x =+-在点()()1,1f --处的切线方程为2y =（1）求函数()f x 的解析式；（2）若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.17.（15分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A C b C c +=（1）求角B 的大小；（2）设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且3AD DC =，求cos A 的值.18.（17分）已知函数()()212ln 2f x x ax x a =-+-∈R .（1）若3a =，求()f x 极值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极1x ，()212x x x <值点，求证：()()12293ln2f x f x +>-.19.（17分）把满足任意x ，y ∈R 总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为“类余弦型”函数.（1）已知()f x 为“类余弦型”函()0f x >，()1728f =数，求()1f 的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：()()()*21n a f n f n n =+-∈N ，求10012222log log log 333a a a++⋯+的值；（3）若()g x 为"类余弦型"函数，且()00g >，对任意非零实数t ，总有()1g t >.设有1x ，2x 理数满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 的大小关系，并给出证明.2024-2025学年上学期期中考试高三数学答案一.选择题1234567891011BCBACDBDBCACDBCD二.填空题12.192；13.56πϕ=；142333三.解答题15.【解】（1）()2131cos sin sin2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.……3分由()3222262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得()536k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ……（6分）（2）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，可得到函数sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，……9分当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7366x πππ≤+≤，则1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()112g x -≤≤，……11分对任意的1x 、2,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a -≤，则max min 13()()122a g x g x ⎛⎫≥-=--= ⎪⎝⎭，故实数a 的最小值为32.……13分16解：由题意得（1）()2323f x ax bx '=+-，()()1210f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩.……3分故3321()332300a b a f x x x a b b ⎧-++==⎧⇒⇒=-⎨⎨--==⎩⎩……6分（2）过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033k f x x ==-'，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--……8分将()1,A m 代入上式，整理得32002330x x m -++=.过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程322330x x m -++=有三个不同实数根……9分记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x =='--，……11分令()0g x '=，得0x =或1，则x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x (),0-∞0()0,11()1,+∞()g x '+0-+()g x极大极小当0x =，()g x 有极大值3m +；1x =，()g x 有极小值2m +，……13分由题意有，当且仅当()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，，即3020,m m +>⎧⎨+<⎩，解得32m -<<-时函数()g x 有三个不同零点.此时过点A可作曲线()y f x =的三条不同切线.故m 的取值范围是()3,2--……15分17.解：（1）因为sin sin2A Cb Cc +=，在ABC ∆中，A C B π+=-，所以sin sin cos 22B Bb Cc c π-==.……2分在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin sin cos2BB C C =又0C π<<，sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，即2sin cos cos 222B B B=，……4分又0B π<<，所以022B π<<，所以cos 02B≠，所以1sin 22B =，因为022B π<<，所以26B π=，即3B π=.……6分（2）因为3AD DA =，BD 是角平分线，即sin sin ABD CBD ∠=∠，因为11sin 22311sin 22AD hAB BD ABDS ABD AB S CBD CB CD h CB BD CBD ⋅⋅∠====⋅⋅∠ ，所以3c a =，……9分由正弦定理可知sin sin a c A C =，所以32sin sin 3aaAA π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，……11分所以1cos sin 3sin 22A A A +=，整理可得5cos sin 22A A =，……13分即3sin cos 5A A =，又因为22sin cos 1A A +=，且cos 0A >，即223cos cos 125A A +=，解得cos 14A =.……15分18.（1）当3a =时，()2132ln 2f x x x x =-+-()22323x x f x x x x-+-=-+-='当12x <<，()0f x '>，()f x 在（1，2）单调递增，01x <<或2x >，()0f x '<，()f x 在()0,1，()2,+∞单调递减……2分()f x ∴的极大值为()242ln2f =-……3分()f x 的极小值为()512f =……4分（2）由()212ln (0)2f x x ax x x =-+->，得()222x ax f x x a x x-+=-+-='-……5分令()22g x x ax =-+，则()()g x f x x'=-，0x >，当2Δ80a =-≤，即a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，则()0f x '≤，所以()f x 在()0,+∞上是减函数.……6分当2Δ80a =->，即a <-或a >（ⅰ）当a <-时，()0g x >恒成立，从而()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上是减函数.（ⅱ）当a >()g x有两个零点：12a x -=，22a x +=，列表如下：x()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-0+0-()f x 减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a ≤时，()f x 的减区间是()0,+∞，无增区间；当a >()f x 的增区间是,22a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间是0,2a ⎛⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭.……10分（3）由（1）知，当a >()f x 有两个极1x ，2x ，12x x <，值点，则1x ，2x 是方程()0gx =的两个根，从而2112ax x =+，2222ax x =+，由韦达定理，得122x x =，12x x a +=.所以120x x <<<，……10分()()221211122211222ln 2ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111222124ln 2ln 2x ax x x ax x =-+--+-()()22221112221224ln 22ln 2x x x x x x =-++--++-2242212122222214116ln 6ln 622x x x x x x x =+-⋅+=+-+.……12分令22(2)t x t =>，()4116ln 62h t t t t=+-+，2t >，……13分则()()()224241122t t h t t t t +-=-+='+，……15分当2t >时，()0h t '>，则()h t 在()2,+∞上是增函数，从而()()293ln2h t h >=-，故()()12293ln2f x f x +>-……17分19.（1）令0x y ==则，()()()20020f f f+=，又()0f x >，故()01f =.……2分令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，则()()22511016ff =>故()514f =……4分（2）令x n =，1y =，n +∈N ，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，()()()()21221f n f n f n f n ⎡⎤+-=--⎣⎦，即12n n a a -=，……6分又13a =，所以数列n a 为以2为公比，3为首项的等比数列，即13.2n n a -=，……7分则10012222099log log log 0129910049503332a a a ++++=++++=⨯= ；……9分（3）由题意得：函数()g x 定义域为R ，定义域关于原点对称，令0x y ==，有()()()20020g g g +=，又()00g >，故()01g =.令0x =，y 为任意实数，则()()()()20g y g y g g y +-=，即()()g y g y =-，故()g x 是偶函数，……10分因为()()()()2g x y g x y g x g y ++-=，又因为当0x ≠时，()1g x >，所以当0x ≠时，有()()()22g x g y g y >，所以()()()2g x y g x y g y ++->2x ，1x 为有理数，不妨设111p x q =，222px q =，令N 为2x ，1x ，分母的最小公倍数，且1a x N =，2bx N=，a ，b 均为自然数，且a b <，设n n C g N ⎛⎫=⎪⎝⎭，()101g g N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，则01c c <，……14分令n x N =，1y N =，则112n n n g g g N N N+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n C C C +-+>，()1112n n n n n n n C C C C C C C +-->-=+->，故数列{}n C 单调递增.……16分则()()21g x g x >，又()g x 是偶函数，所以有()()21g x g x >.……17分。

湖北省武汉市江岸区2024-2025学年高三上学期11月调考数学答案(岸)

2024～2025学年度高三十一月数学试卷参考答案题号1234567891011答案BBCBBADDADBDBCD8．D解：如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1||PF t =,由题意可得122,2t c a t c a +=-= 122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c-=12111e e ∴-=，即2121e e e =+2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<，令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈，所以2112e e ->，故选D.11．BCD解：A 选项：由椭圆方程22184x y +=，所以28a =，24b =，所以2224c a b =-=，所以12F PF 的面积为212tan42F PF S b ∠==，故A 错误；B 选项：当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时12F PF 为直角三角形，这样的点P 有4个，设椭圆的上下顶点分别为S ，T ，则121214,2,2F F OS OS F F ==∴=,同理1212OT F F =，知121290F SF FTF ∠=∠=︒，所以当P 位于椭圆的上、下顶点时12F PF 也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点P 有6个，故B 正确；C选项：由于1222222243PF PF a PF PF PF -=--=，所以当2PF最小即22PF a c =-=时，122PF PF -取得最大值6-C 正确；D选项：因为1222PF PM a PF PM PM PF +=-+=-，又22PM PF MF -≤=，则1PF PM +的最大、最小值分别为当点P 位于直线2MF 与椭圆的交点时取等号，故D 正确.故选：BCD 14．[)5,+∞解：由题意，知32223x mx m x -+≤-，即()322321x x m x +≤-．因为[)1,x ∞∈+，所以322321x x m x +≥-在[)1,+∞上有解，只需2min 32321x x m x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭．设()()3223121x x h x x x +=≥-，对函数()h x 求导，得()()(()3222228602121x x x x xh x x x -==>--'，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 15h x h ==，所以5m ≥．故答案为：[)5,+∞．15．解（1）在ABC V 中，由已知可得b a c >>，故由3sin 5C =，可得4cos 5C =.由已知及余弦定理，有2222cos 13c a b ab C =+-=，所以c =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 13a C A c ==，所以，c sin A 的值为13.（2）设BC 边的中点为D ，在ACD 中，4cos 5C =，由余弦定理得：AD ===.16．解（1）由已知，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>，双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>把点(1,2)M 代入抛物线方程，求得2p =，∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为()11,0F ．则对于双曲线，右焦点坐标为1(1,0)F ，则另一个焦点坐标为()21,0F -，故1c =，又(1,2)M 在双曲线上，根据双曲线的定义知，1222a MF MF =-==，1a ∴=，23a =-，2222b c a =-=．221=．（2）由题意可得，AP 的中点为C ，l 的方程为x n =，以线段AP 为直径的圆C 交l 于D 、E 两个点，DE 的中点为H ，则CH l ⊥.设()11,A x y ，则113,22x y C +⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,D x y ，2x n =，12,2y H x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12DC AP ==121231(2)322x CH x x x +=-=-+，因为，CHD V 为直角三角形，且2CHD π∠=，222CD CH HD=+所以，222222111211||||[(3)][2)3]44DH DC HC x y x x =-=-+--+21(2)3n x n n =--+，显然，当2n =时，2462DH =-+=为定值.所以，弦长为2DE DH ==为定值．故存在垂直于x 轴的直线l （即直线DE ），被圆截得的弦长为定值，直线l 的方程为2x =．17．解（1）连接1BC ，交1B C 于点N ，连接NE ，因为侧面11BCC B 是平行四边形，所以N 为1B C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以1//NE AB ，因为1AB ⊄面1BEC ，NE ⊂面1BEC ，所以1//AB 面1BEC .（2）连接1AC ，1A E ，因为1π3A AC ∠=，12AC AA ==，所以1AAC △为等边三角形，12AC =，因为点E 为线段AC 的中点，所以1A E AC ⊥，因为侧面11ACC A ⊥底面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1A E ⊂平面11ACC A ，所以1A E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF AC ⊥，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC，1EA 的方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0E，1,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭，(10,C ，所以1,02EB ⎫=-⎪⎪⎝⎭，(10,EC =，设平面1BEC 的法向量为，则1102220m EB x y mEC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1x =，则2y z ==-，所以平面1BEC的法向量为()2m =-，又因为平面ABE 的法向量为()0,0,1n =，则2cos ,2m n ==- ，经观察，二面角1A BE C --的平面角为钝角，所以二面角1A BE C --的余弦值为18．解（1）当2k =时，()12ln f x x x =--，(0)x >，所以()21f x x'=-，所以切线的斜率为()11f '=-，又因为()112ln101f =--=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即1y x =-+.（2）因为()1,0k x k f x k x x-'=-=≠，当0k <时，()0x kf x x-'=>，所以()1ln f x x k x =--在(0,)+∞上单调递增，又因为0121ln 22f k =-⎛⎫⎪⎝+<⎭，与()0f x ≥不符；当0k >时，由()0x kf x x-'=>得x k >，所以()1ln f x x k x =--在(0,)k 上单调递减，在(,)k +∞上单调递增.所以()1)ln (f x k k f k k =--≥，所以1ln 0k k k --=，设()1ln g x x x x =--(0)x >，则()1(1ln )ln g x x x '=-+=-，由()0g x '>，可得01x <<，所以()1ln g x x x x =--在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()11ln10(1)g x g =-≤-=，所以1ln 0k k k --=有唯一解，且1k =.（3）由（2）知当0x >时，()1ln 0f x x x =--≥，当且仅当1x =时，()10f =.所以当0x >且1x ≠时，()1ln 0f x x x =-->，则1ln x x ->.取112nx =+（Nn *∈），所以11ln(1)22n n >+，所以11ln(122+<，2211ln(1)22+<，L ，11ln(122n n+<所以22111111ln(1)ln(1)ln(1)222222n n ++++++<+++ .所以211(1)11122ln (1)(1)(1)122212n n -⎡⎤+++<⎢⎥⎣⎦- 所以1122111(1)(1)(1)e e222n n -+++<<于是对于任意正整数n ，2111111222nm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，只需e m ≤，又因为m ∈Z ，所以3m ≥，则m 的最小值为3.19．解（1）因为()()πcos cos sin cos 2f x x x x x ⎛⎫=++-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的互生向量()1,1OM =- .（2）由题意可得()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π22sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，解得ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以π03x ≤≤，所以函数()2y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上的严格增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由题()2sin f x x =，则()()2sin 2g x f x x k x x k =+-=+-，若函数()g x 在[]0,2π上有四个零点，则2sin k x x =+在[]0,2π上有四个实数根，则函数()2sin h x x x =+与y k =]0,2π上的图象有四个交点，因为()π3π2sin ,02π222sin π3π2sin ,22x x x x h x x x x x x ⎧+≤≤≤⎪⎪=+=⎨⎪-<<⎪⎩或，所以()ππ3π4sin ,02π322ππ3π4sin ,322x x x h x x x ⎧⎛⎫+≤≤≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩或，则由三角函数性质作其函数图象如图所示，由三角函数图象及性质可知k 的取值范围为(()2,4⋃.。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--<，{}1,B x x x =>∈Z ，则A B = （）A ．{}1,2,3-B ．{}2,3C ．{}3,2--D ．{}3,2,0--2．若1i z =+，则i 3z z +=（）A ．B ．C ．D ．3．已知x ，y 是任意实数，则:4p x y +≥是:1q x ≥且3y ≥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设,a b 均为非零向量，且()a ab ⊥- ，2b a = ，则a与b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π5．若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）.A ．a c b<<B ．a b c<<C ．c a b<<D ．c b a<<6．已知等比数列{}n a 的前3项和为28，0n a >且5256a a -=，则6a =（）A ．28B ．56C ．64D ．1287．已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ⋅=，则sin sin αβ=（）A ．15B ．25C ．12D ．28．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 的初始近似值，过点0,0作曲线=的切线()()()000:l y f x f x x x '-=-，则l 与x 轴的交点的横坐标10x x =-()()()()0000f x f x f x ''≠，称1x 是r 的第一次近似值；过点1,1作曲线=的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的第二次近似值；重复以上过程，得r 的近似值序列，其中()()()()10n n n n n f x x x f x f x +''=-≠，称1n x +是r 的1n +次近似值，这种求方程()0f x =近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程23x =的近似解，则下列正确的是（）A ．若取初始近似值为1，则过点1,1作曲线=的切线23y x =-B ．若取初始近似值为1，则该方程解的第二次近似值为75C ．()()()()()()01230012f x f x f x x x f x f x f x =--'''+D ．()()()()()()()()01210012n n n f x f x f x f x x x f x f x f x f x +=---'--''' 二、多选题9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，10a >，670a a +>，670a a ⋅<，下列结论正确的是().A ．60a <，70a >B ．0d <C ．130S <D ．当7n =时，n S 最大10．已知实数,a b 满足()lg lg lg 4a b a b +=+，则下列结论正确的是（）A ．a b +的最小值为9B ．1ab的最大值为14CD ．lg lg a b +的最小值为4lg 211．函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线2y =但又不与该直线相交，则下列结论正确的是（）A ．2a =B ．()()21f f ->C ．若120x x <<，则()()1212122x x f f x f x +⎛⎫⎡⎤>+ ⎪⎣⎦⎝⎭D ．方程()()2102f x f x -=有3个实数根三、填空题12．已知函数=，∈，且()03f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，，()()()0.520.51f n f n =-，*n ∈N ，则()3f =.13．如图，函数()()()0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，已知点A ，D 为()f x 的零点，点B ，C 为()f x 的极值点，212AB DC AB ⋅=-，则ϕ=.14．若1n a n =-，*n ∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2250n nS S +的最小值为.四、解答题15．已知函数()21cos sin 2f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调减区间；(2)将函数=的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数=的图象.若对任意1x ，2π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12g x g x a-≤求实数a 的最小值.16．已知函数()323f x ax bx x =+-在点()()1,1f --处的切线方程为2y =(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A C b C c +=(1)求角B 的大小；(2)设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且3AD DC =，求cos A 的值.18．已知函数()()212ln 2f x x ax x a =-+-∈R .(1)若3a =，求()f x 极值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求证：()()12293ln 2f x f x +>-.19．把满足任意x ，y ∈R 总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为“类余弦型”函数.(1)已知()f x 为“类余弦型”函数()0f x >，()1728f =，求1的值；(2)在（1）的条件下，定义数列：()()()*21n a f n f n n =+-∈N ，求10012222log log log 333a a a++⋅⋅⋅+的值；(3)若()g x 为“类余弦型”函数，且()g 00>，对任意非零实数t ，总有()g 1t >.设有理数1x ，2x 满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 的大小关系，并给出证明.。

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湖北省武汉市部分学校2010—2011学年度高三年级11月联考数学
试题
说明：本试卷满分150分．考试用时120分钟．
试题中注明文科做的，理科考生不做；注明理科做的，文科考生不做；未作注明，文理科考生都做。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考试科目、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，答在试卷上无效。

3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
P (A +B )=P (A )+P (B )
如果事件A 、B 相互独立，那么
P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式 24R S π=
其中R 表示球的半径
球的体积公式 33
4R V π=球其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}n a 为等差数列，28512,a a a +=则等于
（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 2．设集合{|08},{1,2,4,5},{3,5,7},()U U x N x S T S
C T =∈<≤==则= （）
A ．{1，2，4}
B ．{1，2，3，4，5，7}
C ．{1，2}
D ．{1，2，4，5，6，8}
3．（文科）不等式112x <的解集是
（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)
D ．(,0)(2,)-∞+∞ （理科）复数61(1)i +的值为
（） A ．-8 B ．8 C ．-8i
D ．8i 4．函数111
y x =--的图象是（）
5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在
两端，不同的排法共有（）
A ．1440种
B ．960种
C ．720种
D ．480种
6．已知α是第三象限的，且3tan ,cos 4αα=
则= （） A ．45 B ．35 C ．45- D ．35
- 7．已知向量,||1,a e e ≠=对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则
（） A ．a e ⊥ B ．()a a e ⊥- C ．()e a e ⊥- D ．()()a e a e +⊥-
8．给出下列四个函数图象：
和函数的四个关系式：①()()();f x y f x f y +=+；②()()()g x y g x g y +=⋅； ③()()();u x y u x u y ⋅=+④()()()v x y v x v y ⋅=⋅，已知每个函数图象都有满足其中的一
个关系式，则它们之间的对应是（）
A ．①→a ②→d ③→c ④→b
B ．①→b ②→c ③→a ④→d
C ．①→c ②→a ③→b ④→d
D ．①→d ②→a ③→b ④→c
9．如图，过抛物线y 2 =2px （p >0）焦点的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若
|BC|=2|BF|，且|AF| =3，则此抛物线的方程为（）
A ．232y x =
B ．23y x =
C ．292
y x = D ．y 2 = 9x 10．（文科）“a=l ”是“对任意的正数x ，2x 十
a x ≥l ”的（）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件（理科）若关于戈的不等式2||2x x a +-<至少有一个正数解，则实数口的取值范围是
（） A ．9(,2)4- B ．99(,)44- C ．9
(2,)4- D ．（—2，2）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上
11．圆2240x y x +-=在点P （1）处的切线方程为。

12．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则a 2=___ _.
13．某个容量为1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数．．
为。

14．把函数sin()(0,||)2y x π
ωϕωϕ=+><的图象按向量(,0)3a π
=-平移，所得函数图象
的一部分如图所示，则,ωϕ的值分别是，。

15．（文科）设()f x 是定义在R 上的奇函数，若当
30,()log (1),(2)x f x x f ≥=+-=时则。

（理科）已知12()log ,,,()()()
a b c f x x x y z f a f b f c ==
==设，其中01c b a <<<<，则,,x y z 的大小关系为。

三、解答题；本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行投篮训练，甲投进的概率为25，乙投进的概率为34
，两人投进与否相互没有影响。

（文科）现两人各投1次，求：
（Ⅰ）甲投进而乙未投进的概率；
（Ⅱ）这两人中至少有1人投进的概率。

（理科）（Ⅰ）两人各投1次，求恰有1人投进的概率；
（Ⅱ）若随机变量ξ表示乙投篮3次后投进的总次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21.tan A c B b +
= （I ）求角A ；
（II ）已知7,22
a ABC S =
∆=的面积求b c +的值。

18．（本小题满分12分）
已知函数32()3,f x x ax bx =--其中,a b 为实数。

（I ）若()1f x x =在处取得的极值为2，求,a b 的值；
（II ）若()f x 在区间[—1，2]上为减函数，且9,b a a =求的取值范围。

19．（本小题满分12分）
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，
（II ）这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
20．（本小题满分13分）
已知数列{},n n a n S 的前项和为且对任意正整数(1)n n n S p a =-总有（p 为常数，
且0,1p p ≠≠），数列{}2n n b b n q =+满足（q 为常数）
（I ）求数列{}n a 的通项公式（用p 表示）；
（II ）若1122,,a b a b p =<求的取值范围。

21．（本小题满分14分）
（文科）已知直线:l y P =和点，过点P 的直线m 与直线l 在第一象限交于点
Q ，与x 轴交于点M ，若△OMQ 为等边三角形。

（I ）求点Q 的坐标；
（II ）求△OMQ 的内切圆方程。

（理科）已知圆C 的方程为22 4.x y +=
（I ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =求直线l 的方程；（II ）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若
OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线。

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