北京清北学堂内部资料--2011年全国高中数学联赛全真模拟1

模拟一
一：填空题（每题8分，共8题） 1．若
2
1cos 14sin 2
θθ-=+，则()()33
4cos 3sin θθ+⋅+= . 2、在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使方程
33421
()(3)0x y t x y t x y
-+++
=- 没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

答：
815
令2
u t =，原方程化为332
1
()(3)0.x y u x y u x y
-+++
=- ① 233221(3)4()523(53)().
x y x y x y
x xy y x y x y ∆=+--⋅
-=+-=-+
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
,3,
3,
(53)()0x y x y x y x y <⎧⎪<⎪⎨
<⎪⎪-+<⎩或,
3,3,(53)()0,30.
x y x y x y x y x y <⎧⎪
<⎪⎪<⎨⎪-+≥⎪⎪+<⎩ 点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为
124181363.2525
ABO BCO
S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=
3．设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有
(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________；
答：因f （0）=1．
若令x=y=0，得f （1）=f （0）f （0）-f （0）-0+2=2
再令y=0得f （1）=f （x ）f （0）-f （0）-x+2，可得f （x ）=x+1，x ∈R
中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值4．若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9
为；
5、在四面体ABCD中1,
======则AD与BC所成的角
AB AC AD BC BD CD
为。

取CD、BD、AC的中点E、F、G,连接EG、EF、FG、AG、CF。

∠GEF就是所求的角。

∵1,
AB AC AD BC BD CD
======
∴⊿BCD是直角三角形得出：CF=√3/2
∵E、F、G是中点 AF=EF=1/2 ,EG=1/2
∴AF⊥BD AF=EF=1/2 ,E G=1/2
得出BF=√3/2 AF=1/2 而AC=1
推出⊿AFC是直角三角形
算出FG=1/2
∵EF=EG=FG=1/2
∴∠GEF=60°
6、若,,a βγ为锐角，且222sin sin sin 1,αβγ++=则
sin sin sin cos cos cos αβγ
αβγ
++++的最大值为 。

7．已知P 、Q 、R 、S 是三棱锥A BCD -内的四点，且Q 、R 、S 、P 分别是线段PA 、QB 、RC 、
SD 的中点，若用P ABC V -表示三棱锥P ABC -的体积，其余的类推．则
:::P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----= ．
解：8:1:2:4．
记,P BCD H 为点P 到平面BCD 的距离．其余类推．设1P BCD V -=． ∵ ,,::2S BCD P BCD H H SD PD ==．∴ 2S BCD V -=． ∵ ,,::2:1R BCD S BCD H H RC SC ==，∴ 4R BCD V -=．
∵ ,,::2:1Q BCD R BCD H H QB RB ==，∴ 8Q BCD V -=．
设AP 延长后交平面BCD 于'P ．则':':8:1Q BCD P BCD QP PP V V --==． ∴ :'7:1QP PP =，又AQ QP =，∴ ':'15:1AP PP =．∴ 15A BCD V -=． 同理1Q ACD V -=，1S ABC V -=，1R ABD V -=．
∴88P ABC S ABC V V --==，22P CDA Q CDA V V --==，244P ABD Q ABD R ABD V V V ---===． ∴ :::8:1:2:4P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----=．
8、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y 轴上，实轴长为2sin ,[,]43
ππ
θθ∈，又双曲线
上任一点(,)p x y 到点(1,0)M 的最短距离为1
sin θ
，则该双曲线的离心率的取值范围是
解设双曲线的方程为
1sin 2
222=-b
x y θ，则|PM|2=(x-1)2+y 2=(x-1)2+sin 2
θ(1+θθ2
22222sin 12)sin 1()++-+=x x b b x .∴|PM|2的最小值为1+sin 2θ-θ
222sin +b b .
又|PM|的最小值为θsin 1，∴1+sin 2θ-θ222sin +b b =θ2sin 1.整理得b 2=0sin 1sin sin sin 42
46>--+θ
θθθ. 由π/4≤θ≤π/3可知，
4
3
sin 2152≤<-θ.
D
∴e 2
=t t
t
t b -=-=+111sin sin 2
222θθ，其中t=sin 2
θ∈]43,215(-. 易知函数y =t t -1为单调递减函数，且t t
-1>0，故f(t)=
t t
-11为单调递增函数.
∴f(
215-)<e 2≤f(43)，即1<e 2
≤712.∴1<e ≤7
212即为所求.
小结 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数
等，值得注意的是，函数自变量的取值范围不容忽视.
二：解答题：（第9题16分。

20，21题20分）。

9．对于正整数n (2)n ≥，定义()f n 为集合S 中元素个数的最小值，集合S 满足最小的元素1S ∈，最大的元素n S ∈，且对于异于1的每个元素都是S 中两个元素的和（可以相同）. 证明：[]2(1)()log 1;f n n ≥+
(2)有无穷多个n ，使得()(1)f n f n =+.
10、椭圆2
2
21tan y x α
+
=（α为锐角）的焦点在x 轴上，A 是它的右顶点，这个椭圆与射线(0)y x x =≥的交点为B ，以A 为焦点，且过点B ，开口向左的抛物线的顶点为(,0)m ，当椭
圆的离心率e ∈时，求m 的取值范围。

11、用s σ（）表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1211,,A a a a = 是
正整数集，且1211a a a << ，若对每个正整数1500n ≤，存在A 的子集S ，使得()S n σ=，试求满足上述要求的10a 的最小值。

二试
一、 （满分40分）
以锐角△ABC 的两边AB 、AC 为直径向△ABC 外各作一个半圆，AH ⊥BC 交BC 于H ，点D 是BC 边上任意一点 (不是端点)，过点D 作DE ∥AC , DF ∥AB ，分别交两个半圆于点E 、F ．求证：D 、E 、F 、H 四点共圆．
二、（满分40分）
设a 1, a 2, a 3, a 4是一个四边形的四条边的长, 该四边形的周长为2s . 证明:
∑∑≤<≤=--≤+414
1))((1
921j i j
i i i a s a s s a
三、（满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.
四．数列}{n y 定义如下：12211,(45)42,1,2,n n n y y y k y y k ++===--+- 求所有的整数k ，使得数列}{n y 中的每一项都是完全平方数.
A B C D E F Q P H F F
'1。