金融的数学模型与方法试题A评分标准

莆田学院期末考试试卷参考答案及评分标准

2010—2011学年 第 1学期 （A ）卷

课程名称： 金融的数学模型与方法 适用年级/专业 08金融 试卷类别：开卷（ ）闭卷（√） 学历层次： 本科 考试用时： 120 分钟

《．考生．．注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．》．

一、填空题（每小题3分，共12分）

1. 一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约

2. ()r T t t t t c K e p S --+=+

3.在相反方向交易∆份额的原生资产S ，使得构成的投资组合∏：V S ∏=-∆

4.(),,dr b ar dt dB dB dB dt λλσλ=-+=+其中,,a b σ为正常数，()B t 表示标准的Brown

运动，为风险的市场价格。

二、计算题（30分）

1、（15分）设今日为1月1日，现股价为70元，无风险利率为4%，若在三个月期间，每一个月股价有两种可能：或上升5%或下降5%. 若购买一张3月31日到期的敲定价为70元的看跌期权，如按合约规定，第2个月月底持有人有权提前实施期权，问期权金为多少？

解：依题意得，

115% 1.05,15%0.95,,1 1.003312

u d t r t ρ=+==-=∆=

=+∆=年,070,70S K ==

0.53,

10.47

d

u p p u d

u d

ρρ--=

=-=

=--

令0,(,)(03,0)n n n n

n S S u d V V S t n n αααααα-==≤≤≤≤ ……………………5分

33233211

2

21

011001(),(3,03)

1m ax (1),(),(2,02)1

(1),(1,01)1

(1),

V K S n V pV p V K S n V pV p V n V pV p V αααααααααααραρρ+

+++=-=≤≤⎧⎫⎡⎤=+--=≤≤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎡⎤=+-=≤≤⎣⎦

⎡⎤=

+-⎣

⎦

经计算可得，00 2.35V = ……………………10分

2、（15分）若随机过程,t t X Y 分别适合随机微分方程：

1122, ,t t t t dX dt dW dY dt dW μσμσ=+=+

其中，12,μμ表示相应的期望回报率，12,σσ表示相应的波动率，t dW 表示标准的Brown 运动。求(

)?t t

X d Y =

解：由ˆIto

公式可得，

()2

2

2

3

11(

)t t t t t t t t t

t

t

t

t

X X X d dX dY dX dY dY Y Y Y Y Y =

-

-

+

……………………8分

2

2122

232

2122

3

1t t t t t

t

t

t

t t t t

t t

t

t

X X dX dY dt dt

Y Y Y Y Y dX X dY X Y dt

Y Y σσσσσσ=

-

-+

--=

+

……………………7分

三、证明题（共30分）

1、（15分）证明欧式看跌期权的价格()t p K 是敲定价格K 的凸函数，即设

12,K K >12(1),(01)

K K K λλλλ=+-≤≤，则有12()()(1)()t t t p K p K p K λλλ≤+-。

证：在()t t T <时刻构造两个投资组合

1122()(1)(),

()p K p K p K λλλΦ=+-Φ=

在期权的到期日,t T =

1122()()(1)(),

()()

T T T T T V K S K S V K S λλλ+

+

+

Φ=-+--Φ=-

当1T S K ≥时，12()()0;T T V V Φ=Φ=

当1T K S K λ≤<时，112()()0()T T T V K S V λΦ=->=Φ； ……………………8分 当2T K S K λ<<时，

11212()(),

()()()(1)()T T T T T T V K S V K S K S K S λλλλΦ=-Φ=-=-+--，

即12()()T T V V Φ>Φ；

当2T S K ≤时，1122()()(1)()()T T T T T V K S K S K S V λλλΦ=-+--=-=Φ； 因此在,t T =12()()T T V V Φ≥Φ，

而{}{}1221prob ()()prob 0.T T T V V K S K Φ>Φ=<<>

由无套利原理立得，12()()t t V V Φ>Φ。 ……………………7分

2、（15分）设(,,)N h c r q K α-是利率为r ，红利率为q ，敲定价为K 的欧式看涨期权价格，这里0()(0),(0)N h N h t N h t h N S S S u d N h αααα---=-∆≤≤==≤≤-。 证明：当12r r >时，12(,,)(,,)N h N h c r q K c r q K αα--≥。 证：记

11221

12211221,1,

,1,,1r t r t d

u d

u p p p p u d u d u d u d

ρρρρρρη

ηη

η

=+∆=+∆--

--

=

-=

=

-=

----

当0h =时，12(,,)(,,)N N

c r q K c r q K αα=

当1h =时，