八年级(下)数学基础知识试题(精华)
人教版 八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)
人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版 八年级数学 18.1 平行四边形 培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°， 又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6， 由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18， 故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ， 中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。
专题数据的分析(常考知识点分类专题)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练
专题20.5 数据的分析（常考知识点分类专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题★【知识点一】平均数与加权平均数1. 一组数据，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为15，则这20个数的平均数是（）A. 16B. 17.5C. 18D. 202. 思政课上，某小组的2023全国“两会”知识测试成绩统计如表（满分10分）：成绩78910频数1342则该组测试成绩的平均数为（ ）（单位：分）A. 8.2B. 8.3C. 8.7D. 8.9★【知识点二】利用平均数与加权平均数做出决策3. 实验中学举行了以“爱我中华”为主题的演讲比赛，7名评委为某选手的打分如表（满分10分），去除一个最高分和一个最低分之后取平均值为最后得分，该选手的最后得分为（）分数8.308.509.009.50频数1312A. 8.24B. 8.65C. 8.80D. 8.924. 某商店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如表所示，如果鞋店要购进100双这种女鞋，那么购进24厘米、24.5厘米和25厘米三种女鞋数量之和最合适的是（）尺码/厘米2222.52323.52424.525销售量/双12512631A. 20双B. 33双C. 50双D. 80双★【知识点三】众数与中位数5. 样本数据1-，4，7，a的中位数与平均数相同，则a的值是（ ）A. 4-或2或12B. 2或5或12C. 4-或2D. 2-或126. 荸荠口感脆甜，营养丰富，黄岩院桥素有“店头荸荠三根葱”的美誉．某校兴趣小组对50株荸荠的叶状茎生长度进行测量、记录，统计如下表：株数（株）712238叶状茎长度45.646.546.947.8（cm）这批荸荠叶状茎长度的众数为( )A. 45.6B. 46.5C. 46.9D. 47.8★【知识点四】利用众数与中位数做出决策7. 从小到大的一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均数分别是（）A. 2，4B. 2，3C. 1，4D. 1，38. 2012年5月份，齐齐哈尔市一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，30，31，34，32，31，这组数据的中位数、众数分别是【】A. 32，31B. 31，31C. 31，32D. 32，35★【知识点五】方差、极差与标准差9. 一个样本有20个数据，其中最小值为61，最大值为70，若取组距为2，则可分为（ ）A. 5组B. 6组C. 7组D. 8组10. 某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为（）B. 2C.D. 6A.★【知识点六】利用方差做出决策11. 某校队有A ，B ，C 三位短跑运动员，下表是三人最近10次百米赛跑的成绩平均分以及方差，如果现在要推荐一位运动员参加区级比赛，你认为最合适的运动员是（ ）ABCx1320'''1305'''1305'''2s 2.16.40.9A. AB. BC. CD. 无法确定12. 某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：尺码353637383940销售量（双）618331221根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（ ）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差二、填空题★【知识点一】平均数与加权平均数13. 已知数据a ，b ，c 的平均数为8，那么数据123a b c +++,,的平均数是_________．14. 面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是85分，80分，88分，若依次按20%，30%，50%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是______分．★【知识点二】利用平均数与加权平均数做出决策15. 某公司招聘人才，对应聘者分别进行了阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如下表：（单位：分），将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按1：3：1的比确定每人的最后成绩，被录用的是_________．应聘者阅读能力思维能力表达能力甲859080乙95809516. 某公司招聘，甲、乙两位候选人面试和笔试成绩如表所示．若面试与笔试成绩按6和4的权计算每人的平均成绩，从两人的成绩看，公司录取的是__________（填“甲”或“乙”）．候选人面试笔试甲9284乙9086★【知识点三】众数与中位数17. 小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是______，中位数是________．18. 已知3、2、n的平均数与2n、3、n、3、5的唯一众数相同，则这8个数的中位数是______．★【知识点四】利用众数与中位数做出决策19. 如图是容容前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千a___________．克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则20. 家鞋店对上周某一品牌女鞋的销售量统计如下：尺码/厘米2222.52323.52424.5销售量/双1251173该鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺码为23.5厘米的鞋，则影响鞋店决策的统计量是_____．★【知识点五】方差、极差与标准差21. 一组数据2，3，4，7，a，3，5，1的平均数是4，则这组数据的方差为____________．22. 如果有一组数据-2，0，1，3，x的极差是6，那么x的值是_________．★【知识点六】利用方差做出决策23. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员进行百米测试，每人5场测试成绩的平均数x （单位：秒）及方差2s（单位：秒2）如下表所示：甲乙丙丁x1010.110102s2 1.6 2.5 1.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择__．24. 某校要从甲、乙两名同学中选取一名成绩稳定的同学去参加数学竞赛，已知五次模拟测试中统计所得的信息为x甲＝115，S甲2＝12，x乙＝115，S乙2＝36，则应选择____参加竞赛．三、解答题25. 某校有3600名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．（1）参与本次问卷调查的学生共有 人，其中选择D类的人数有 人；（2）在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角 的度数，并补全C对应的条形统计图；（3）若将A、B、C．D．E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校选择“绿色出行”的学生人数．26. 小明随机抽取了某校八年级部分学生，针对他们晚上在家学习时间的情况进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）本次抽取的八年级学生晚上学习时间的众数是小时，中位数是小时；（3）若该校共有600 名八年级学生，则晚上学习时间超过1.5 小时的约有多少名学生？27. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________；（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．28. 在本学期某次考试中，某校八⑴、八⑵两班学生数学成绩统计如下表：分数5060708090100八⑴351631112班人数八⑵251112137班请根据表格提供的信息回答下列问题：1.八⑴班平均成绩为_________分，八⑵班平均成绩为________分，从平均成绩看两个班成绩谁优谁次？____________________2.八⑴班众数为________分，八⑵班众数为________分．从众数看两个班的成绩谁优谁次？____________________3.已知八⑴班的方差大于八⑵班的方差，那么说明什么？专题20.5 数据的分析（常考知识点分类专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题★【知识点一】平均数与加权平均数【1题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据平均数的计算方法进行计算即可求解．【详解】解：依题意，这20个数的平均数是()142016151620⨯+⨯=故选：A ．【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．平均数：是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【2题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该组测试成绩的平均数．【详解】解：由表格可得，该组测试成绩的平均数为：7183941028.71342⨯+⨯+⨯+⨯=+++，故选：C ．【点睛】本题考查加权平均数、频数分布表，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．★【知识点二】利用平均数与加权平均数做出决策【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】去除一个最高分，取出一个最低分之后，只剩下五个数据，依据加权平均数的概念计算可得．【详解】解：该名选手的最后得分为8.5039.009.508.805⨯++=．故选：C ．【点睛】考查了加权平均数，关键是熟练掌握加权平均数公式，注意要去掉一个8.30，一个9.50．【4题答案】【答案】B 【解析】【分析】求得销售这三种鞋数量之和为10，是30的三分之一，故要购进的这三种鞋应是100的三分之．【详解】根据题意可得：∵销售的某种女鞋30双，24厘米、24.5厘米和25厘米三种女鞋数量之和为10，∴要购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和应是100333≈ ，∴购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和最合适的是33双，故选：B【点睛】本题主要考查了综合运用统计知识解决问题的能力，理清题意，是解决此类问题的关键．★【知识点三】众数与中位数【5题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据中位数和平均数的意义列方程求解．对于a 的取值分情况讨论：①1a ≤-；②17a -<<；③7a ≥．【详解】①当1a ≤-时，平均数为()11474a -+++，中位数为32，故可得：()1314742a -+++=，解得：4a =-．②当17a -<<时，平均数为()11474a -+++，中位数为42a +，故可得：()1414742a a +-+++=，解得：2a =．③当7a ≥时，平均数为()11474a -+++，中位数为112，故可得：()11114742a -+++=，解得：12a =．综上所述，a 可取4-或2或12．故选：A ．【点睛】本题主要考查中位数和平均数的意义．解题的关键是对于a 的值要分情况讨论．【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据众数的定义即可求解，众数：在一组数据中出现次数最多的数．【详解】解：在这组数据中，46.9出现23次，次数最多，∴这批荸荠叶状茎长度的众数为46.9，故选：C ．【点睛】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．★【知识点四】利用众数与中位数做出决策【7题答案】【答案】B【解析】【分析】先利用中位数的定义求出x 的值，再根据众数的定义和平均数的公式，即可求出这组数据的众数和平均数．【详解】解：∵一组数据－1，1，2，x ，6，8的中位数为2，∴x ＝2×2－2＝2，2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，这组数据的平均数是()11226863-+++++÷=．【点睛】本题主要考查了众数，平均数及中位数，解题的关键是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．【详解】解：由此将这组数据重新排序为30、31、31、31、32、34、35，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：31．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是31，故这组数据的众数为31．所以这组数据的中位数是31，众数是31．故选B ．★【知识点五】方差、极差与标准差【9题答案】【答案】A【解析】【分析】先计算这组数据的极差，再根据组数=极差÷组距，进行计算即可．【详解】解：最小值为61，最大值为70，即极差是70619-=，则组数是925÷≈（组）．故选：A ．【点睛】本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数是解题的关键．【10题答案】【答案】B【分析】设三位男生的成绩分别为a 、b 、c ，可求得3位男同学考试分数的平均数，再由三位男生的方差为6，求得这个学习小组5位同学考试分数的方差，从而求得标准差．【详解】解：∵两位女生的成绩分别为17分、15分，∴两位女生的成绩的平均数是()1715216+÷=（分），∴三位男生成绩的平均数是16分．三位男生的方差2221[(16)(16)(16)]63a b c =⨯-+-+-=，222(16)(16)(16)18a b c ∴-+-+-=，∴这个学习小组5位同学考试分数的方差222221[(16)(16)(16)(1716)(1516)]5a b c =⨯-+-+-+-+-1(1811)5=⨯++4=，∴2=，故选：B ．【点睛】本题考查标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．★【知识点六】利用方差做出决策【11题答案】【答案】C【解析】【分析】通过比较平均数和方差进行选择即可．【详解】解：A ，B ，C 三位短跑运动员中B 和C 的平均数最小且相等，A ，B ，C 三位运动员中C 的方差最小，∴综合平均数和方差两个方面说明C 成绩既高又稳定，∴最合适的人选是C ．故选：C ．【点睛】本题考查了平均数和方差数据特征并根据题意进行决策，理解平均数和方差的特征是解题的关键．【12题答案】【答案】A【解析】【分析】根据各种统计量的含义与性质进行选择即可【详解】A 、众数是最多的数，它代表了销量最好，故符合题意；B 、中位数是指排好序后最中间的数，对进货没有指导意义，故不符题意；C 、平均数是所有尺码的平均销售量，反映整体水平，也不能做进货指导，故不符题意；D 、方差反映的是波动水平，不能做进货指导，故不符题意．故选：A【点睛】本题题考查众数、中位数、平均数、方差的理解与应用，理解这些概念是关键．二、填空题★【知识点一】平均数与加权平均数【13题答案】【答案】10【解析】【分析】根据数据a ，b ，c 的平均数为8，求出24a b c ++=，进而求出123a b c +++,,的平均数为10．【详解】解：∵数据a ，b ，c 的平均数为8，∴8324a b c ++=⨯=，∴12312324630a b c a b c +++++=+++++=+=，∴123a b c +++,,的平均数13003==．故答案为10．【点睛】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数所得的商，熟悉掌握算术平均数的公式是本题的解题关键．【14题答案】【答案】85【解析】【分析】根据加权平均数进行求解即可．【详解】解：根据题意这个人的面试乘积为85208030885017244485⨯+⨯+⨯=++=％％％，故答案为：85．【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算方法是解本题的关键．★【知识点二】利用平均数与加权平均数做出决策【15题答案】【答案】甲【解析】【分析】分别求出三个人的加权成绩，然后进行比较即可．【详解】解：由题意得：甲的成绩85190380187131⨯+⨯+⨯==++分；乙的成绩95180395186131⨯+⨯+⨯==++分，∴乙的成绩＜甲的成绩，∴被录取的是甲，故答案为：甲．【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键在于能够熟练掌握加权平均数的求法．【16题答案】【答案】甲【解析】【分析】根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：甲的平均成绩为：（92×6+84×4）÷10=88.8（分），乙的平均成绩为：（90×6+86×4）÷10=88.4（分），因为88.8>88.4，所以甲将被录取．故答案为：甲【点睛】本题考查了加权平均数，熟练握加权平均数的计算公式是解题的关键．★【知识点三】众数与中位数【17题答案】【答案】①. 1 ②. 1【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【详解】根据统计图可知用水量为1的天数为3天，最多，故这周用水量的众数是1；将这周用水量按从小到大排列为：0.5，1，1，1，1.5，1.5，2，∴这周用水量的中位数是1．故答案为：1，1．【点睛】本题考查众数和中位数的定义．解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数值为众数；按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，当数据为偶数个时，为最中间两个数的平均值．【18题答案】【答案】3.5【解析】【分析】先求出n的值，再求出中位数，求一组数据的中位数是将这组数据从小到大排列，再求这组数据中间的数，即为中位数．【详解】∵2n、3、n、3、5有唯一众数∴2n、3、n、3、5这组数中的众数为3∵3、2、n的平均数与2n、3、n、3、5的唯一众数相同∴3、2、n的平均数为3∴4n=∴这8个数从小到大排列一次是：2、3、3、3、4、4、5、8∴这8个数的中位数是343.52+=．故答案为：3.5．【点睛】本题考查中位数、众数和平均数的求解方法，解题的关键是掌握相关概念，进行数据分析．★【知识点四】利用众数与中位数做出决策【19题答案】【答案】8【解析】【分析】根据统计图中的数据利用中位数和众数的定义即可得到a的值．【详解】由统计图可知，前三次的中位数是8，∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，a=时，中位数是8.5，众数是9，不合题意；∴当9a=时，中位数是8，众数是8，符合题意；当8a=时，中位数是7，众数是6，不符合题意；当6故答案为：8．【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【20题答案】【答案】众数【解析】【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，所以影响鞋店决策的统计量是众数，故答案为：众数．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．★【知识点五】方差、极差与标准差【21题答案】【答案】4.25【解析】【分析】根据平均数的定义先求出x 的值，再根据方差的定义求出这组数的方差即可．【详解】利用平均数的计算公式，得234735148a +++++++=⨯，解得7a =，∴这组数据为2，3，4，7，7，3，5，1，∴这组数据的方差为()()()()()()2222222124234442745414 4.258s ⎡⎤=-+⨯-+-+⨯-+-+-=⎣⎦．故答案为：4.25．【点睛】本题考查了方差的定义、平均数，掌握公式正确求解计算是解题关键．【22题答案】【答案】4或-3##-3或4【解析】【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x 为最大值或最小值．【详解】解：∵3-（-2）=5，一组数据-2，0，1，3，x 的极差是6，∴当x 为最大值时，x -（-2）=6，解得x =4；当x 是最小值时，3-x =6，解得：x =-3．故答案为：4或-3．【点睛】此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键．★【知识点六】利用方差做出决策【23题答案】【答案】丁【解析】【分析】根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．【详解】甲、丙、丁的平均数较小，丁的方差<甲的方差<丙的方差，∴丁比较稳定，∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，故答案为：丁．【点睛】本题重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【24题答案】【答案】甲【解析】【分析】比较两人的平均数和方差，方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定．【详解】解：∵x甲＝x乙＝115，S甲2＝12＜S乙2＝36，∴甲、乙的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，∴应该选择甲同学参加竞赛，故答案为：甲．【点睛】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．三、解答题【25题答案】α=︒，答案见解析；（3）3456人．【答案】（1）450，72；（2）36【解析】【分析】(1)用A的人数除以A所占总人数的百分比即得总的学生数；用D所占总人数的百分比乘以总的学生数即得D的学生人数；(2)用100%减去A、B、C、D、F所占的百分比，得到E所占的百分比，然后再乘360°，即得到E类对应的圆心角；用20%乘以总的学生数即得到C类的学生数；(3)用3600×4%即得到F类学生的人数，再用3600减去F类学生数即可.【详解】解：(1)用A的人数除以A占总人数的比值：162÷36%=450(人)，故本次问卷调查的学生共有450人，其中D类的人数有：450×16%=72(人).故答案为：共有460人，D类的人数有72人.(2)E类学生占总人数的百分比为：1-36%-14%-20%-16%-4%=10%，故E类对应的圆心角为：10%×360°=36°，C类学生为：20%×450=90(人)，如下图所示：α=︒.所以36(3)3600名学生中，F类所占的人数为：3600×4%=144(人)，故选择“绿色出行”的学生人数为：3600-144=3456(人)，所以该校选择“绿色出行”的学生人数为3456(人).【点睛】本题考查了扇形统计图及条形统计图的相关知识，两个统计图要结合看，考查了学生数形结合的思想，熟练的掌握统计图所代表的每一部分的含义是解题的关键.【26题答案】【答案】（1）补全条形统计图和扇形统计图见解析；（2）2，2；（3）晚上学习时间超过1.5 小时的约有450名学生．【解析】【分析】（1）先由1小时的人数及其所占百分比求得总人数，总人数乘以2.5小时对应百分比求得其人数，用2小时人数除以总人数可得其百分比；（2）根据人数、中位数的定义求解可得；（3）总人数乘以样本中2小时和2.5小时人数所占百分比之和可得．【详解】（1）分别由条形统计图和扇形统计图知：1小时的人数为2人、所占百分比为5%，∴被调查的学生总人数为2÷5%=40人，∴2.5小时的人数为40×30%=12人，2小时人数所占百分比为18100%45% 40⨯=，补全条形统计图和扇形统计图如下：（2）2小时出现的次数最多，是18次，因此众数是2小时，把这40个数据从小到大排列后处在第20、21位的数都是2，因此中位数是2小时，故答案为：2，2；（3）晚上学习时间超过1.5小时的学生约有600(30%45%)450⨯+=（人）答：晚上学习时间超过1.5 小时的约有450名学生．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【27题答案】【答案】（Ⅰ）40，25；（Ⅱ）平均数是1.5，众数为1.5，中位数为1.5；（Ⅲ）每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720.【解析】【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得学生人数，利用百分比的意义求得m；（Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解；（Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．【详解】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4+8+15+10+3=40（人），m=100×1040=25．故答案是：40，25；（Ⅱ）观察条形统计图，∵0.94 1.28 1.515 1.810 2.13 1.54815103x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++，∴这组数据的平均数是1.5．∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为1.5．∵将这组数据按从小到大的顺序棑列，其中处于中间的两个数都是1.5，有1.5 1.5 1.52+=，∴这组数据的中位数为1.5．（Ⅲ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数占90%，∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的人数约占90%．有80090%720⨯=．∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h 的学生人数约为720．【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，还考查了加权平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．【28题答案】【答案】【答题空1】80【答题空2】80【答题空3】70【答题空4】90【答题空5】(2)班成绩好【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式计算出两个班的平均成绩，即可比较；（2）求出两个班成绩的众数，根据众数的大小即可比较；（3）根据方差的特征即可回答．【详解】（1）八（1）班平均成绩为：503605701680390111001280351631112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++（分）；八（2）班平均成绩为： 502605701180129013100780251112137⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++（分）；从平均成绩看两个班成绩一样．（2）八（1）班70分的有16人，人数最多，众数为70（分）；八（2）班90分的有13人，人数最多，众数为90（分）；从众数看两个班的成绩八（2）班成绩优．（3）八（1）班的方差大于八（2）班的方差，说明八（1）班的学生成绩不很稳定，波动较大．【点睛】本题考查加权平均数、众数的求法以及方差的意义．加权平均数：若n 个数x 1，x 2，x 3，…，x n 的权分别是w 1，w 2，w 3，…，w n ，则112212......n nnx w x w x w w w w ++++++叫做这n 个数的加权平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．。
综合复习与测试(5)(期末模拟测试卷)八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
综合复习与测试（5）（期末模拟测试卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 3a =-，则a 的取值范围是（ ）A. 3a B. 3a C. 0a D. 3a <2. 是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3. 将方程23920x x -+=配方成()2x m n +=的形式为（ ）A. 2319212x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B. ()2934x -= C. ()227312x -= D. 232523x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4. 下列命题是真命题的是（ ）A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形C. 一个角为90︒且一组邻边相等的四边形是正方形D. 对角线互相垂直的四边形是菱形5. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A. 1，1B. 1，34，52C. 0.5，1.2，1.3D. 9，40，416. 某中学为了解在校学生的视力情况，在全校的4700名学生中随机抽取了150名学生进行视力检查，其中视力达标的有45人，下列说法不正确的是（ ）A. 此次调查属于抽样调查B. 4700名学生的视力是总体C. 45名学生的视力是样本D. 该校视力达标的学生约有1410人7. 凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为5万人次，2017年约为6.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A. ()512 6.8x += B. 6.82(1)5x +=C. 25(1) 6.8x += D. ()25515(1) 6.8x x ++++=8. 已知m ，n 是一元二次方程2320x x +-=的两根，则2236n m n m n ---的值是（ ）A. 1B. 1-C. 32 D. 32-9. 如图，矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，点E 在AB 上，且1BE =，点,M F 分别为边,DC BC 上的动点，将BEF △沿直线EF 翻折得到NEF ，连接,AM MN ，则AM MN +的最小值为（ ）A. 5B.C. 2-D. 1-10. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x (x +5)=24的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x +5，宽为x 的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25=121，边长为11，故得x (x +5)=24的正数解为x = 1152-=3．小明按此方法解关于x 的方程x 2+mx －n =0时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为（ ）A.－1 B. C. 32 D. 1二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11. 一个n 边形的所有内角和等于540︒，则n 的值等于__．12. 已知m ，n 是方程2420x x -+=的两根，则25m m n --的值为__________．13. 如图，在笔直的公路AB 旁有一个城市书房C ，C 到公路AB 的距离CD 为80米，AC 为100米，BC 为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A 处向B 处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C 看书的读者不受鸣笛声影响．14. 如图，ABC 的顶点B 的坐标是()1,0，C 的坐标是()0,2，且90ABC ∠=︒，45A ∠=︒，则BC =________；A 的坐标是________．15. 为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在上学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数是________，中位数是________．16. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是5，则AB 的长为______．17. 如图，ABCD 的周长为16，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交边AD 于点E ，连接CE ，则CDE 的周长为______．18. 如图，四边形ABCD 为正方形纸片，E 是边CB 的中点，连接DE ，P 是边CD 上一点，将纸片沿着AP 折叠，使点D 落在DE 上的F 点处，则DF EF为______．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19. 计算：（1；（2）)()2221+-++．20. 要建一个面积为2150m 的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为35m ．（1）若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？（2）若给定墙长为m a ，则墙长a 对题目的解是否有影响？21. 如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AB DE B E BF CE =∠=∠=，，．（1）求证：ABC DEF ≌△△．（2）连接AF CD ，，试判断四边形AFDC 的形状，并说明理由．22. 山火烧不尽，春风吹又生，今年三月，校团委组织师生开展“汇聚青年力量·重建绿色山林”缙云山植树活动，购入了第一批树苗，经了解，购买甲、乙两种树苗共250棵，两种树苗的单价分别为20元和30元，共用去资金6000元．（1）求第一批购入甲、乙两种树苗的数量；（2）恰逢植树节在周末，有更多的师生参加到植树活动中来，校团委购入第二批树苗时发现甲树苗供不应求单价有所上涨，校团委决定，购入甲树苗时，若甲树苗单价每上涨2元，购入数量就比第一批甲树苗的数量减少10棵（最后数量不超过第一批甲树苗的80%），购入乙树苗单价与第一批相同，数量是第一批乙树苗的80%，最终花费的总资金比第一批减少了8%，求第二批购买树苗的总数量．23. “双减”政策颁布后，某区为了解学生每天完成书面作业所需时长的情况，从甲，乙两所学校各随机抽取50名学生进行调查，获取他们每天完成书面作业所需时长（单位：分钟）的数据，并对数据进行了整理､描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲，乙两所学校学生每天完成书面作业所需时长的数据的频数分布直方图及扇形统计图如下（数据分成5组：1530x ≤<，3045x ≤<，4560x ≤<，6075x ≤<，7590x ≤≤）：b ．甲校学生每天完成书面作业所需时长的数据在4560x ≤<这一组的是：45 46 50 51 51 52 52 53 55 56 59 59c ．甲，乙两所学校学生每天完成书面作业所需时长的数据的平均数､中位数如下：平均数中位数甲校49m 乙校5054根据以上信息，回答下列问题：（1）m =______；（2）乙校学生每天完成书面作业所需时长的数据的扇形统计图中表示4560x ≤<这组数据的扇形圆心角的度数是________°；（3）小明每天完成书面作业所需时长为53分钟，在与他同校被调查的学生中，有一半以上的学生每天完成书面作业所需时长都超过了小明，那么小明是_______校学生（填“甲”或“乙”），理由是______________________；（4）如果甲，乙两所学校各有1000人，估计这两所学校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生共有________人．24. 如图，在四边形ABCD 中，且90BAD ∠=︒，对角线AC 和BD 相交于点O ，且BO DO =，过点B 作BE AD ∥，交AC 于点E ，连结DE ．（1）求证：AOD EOB ≌△△；（2）试探究四边形ABED 的形状，并说明理由；（3）若BC DC =，5BC =，1CE =，求四边形ABED 的面积．综合复习与测试（5）（期末模拟测试卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）【1题答案】【答案】B【解析】【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断．3a=-3a=-33a a-=-∵30a -≥，∴30a -≥，∴3a ，故选：B【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键．【2题答案】【答案】D【解析】【分析】根据同类二次根式的定义可进行求解．【详解】解：A =不是同类二次根式，不符合题意，B 不是同类二次根式，不符合题意，C 2=不是同类二次根式，不符合题意，D =是同类二次根式，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【3题答案】【解析】【分析】先化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两个同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：23920x x -+=，∴22303x x -+=，∴2233x x -=-，∴29293434x x -+=-+，∴2319212x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．【4题答案】【答案】B【解析】【分析】分别根据平行四边形、矩形、正方形和菱形的判定定理结合真命题的判定逐项判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项是假命题，不符合题意；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项是真命题，符合题意；C 、一个角为90︒且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故此选项是假命题，不符合题意；D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选：B ．【点睛】本题考查命题的真假判断、平行四边形的判定、特殊平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、正方形和菱形的判定定理是解答的关键．【5题答案】【答案】B【分析】先求出两小边的平方和，在求出最长边的平方，看看是否相等．【详解】A.∵2 221+1=∴以1，1为边能够组成直角三角形，故本选项不符合题意；B.∵22 235 1+42⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴以1，34，52为边不能够组成直角三角形，故本选项符合题意；C. ∵2220.5+1.2=1.3∴以0.5，1.2，1.3为边能够组成直角三角形，故本选项不符合题意；D. ∵2229+40=41∴以9，40，41为边能够组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小的两边平方和等于最大边的平方，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据调查方式，总体，样本以及样本估计总体的方法分别判断即可．【详解】解：A、此次调查属于抽样调查，故正确，不合题意；B、4700名学生的视力是总体，故正确，不合题意；C、150名学生的视力是样本，故错误，符合题意；D、该校视力达标的学生约有4547001410150⨯=人，故正确，不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了总体、个体、样本，以及样本估计总体和调查方式．正确理解总体、个体、样本的概念是解决本题的关键．【7题答案】【答案】C【分析】根据2015年及2017年的观赏人数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得25(1) 6.8x +=，故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系式得出3m n +=-，进而根据分式的减法进行化简即可求解．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2320x x +-=的两根，∴3m n +=-∴2236n m n m n ---()()()36m n n m n m n +-=+-()()336m n nm n m n +-=+-()()()3m n m n m n -=+-3m n=+33=-1=-，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【9题答案】【解析】【分析】作A关于CD的对称点H，连接EH，根据条件求出EH的长度，当H、+最小，即可求出答案．M、N、E四点共线时，HM MN【详解】解：作A关于CD的对称点H，连接EH，，AD=3∴==，AH AD26，沿直线EF翻折得到NEFBEF，BEF NEF∴≅∴==，1BE NEBE=，AB=4，1AE AB AE∴=-=-=，413四边形ABCD为矩形，∴∠=︒，DAB90中，在Rt HAEHE===，+最小，当H、M、N、E四点共线时，HM MN最小为1HE NE-=-，∴+的最小值为1-．AM MN故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线．【10题答案】【答案】A【解析】【分析】把方程变形得到x(x+m)=n，设图中长方形长为x+m，宽为x，则图中小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m算即可．【详解】解：∵x2+mx－n=0，∴x(x+m)=n，∴长方形的长为x+m，宽为x，∴小正方形的边长为x+m－x=m=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m∴x1，1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解决此题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）【11题答案】【答案】5【解析】【分析】已知n边形的内角和为540︒，根据多边形内角和的公式易求解．【详解】解：依题意有()2180540n-⋅︒=︒，n=．解得5故答案为：5．【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角n-⋅︒是解题的关键．和为()2180【12题答案】【答案】6-【解析】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到2420m m -+=，即242m m -=-，代入25m m n --得到()2m n --+，再根据根与系数的关系得到4m n +=，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵m 是方程2420x x -+=的根∴2420m m -+=∴242m m -=-∴()22542m m n m m m n m n --=---=--+∵m ，n 是方程2420x x -+=的两根∴4m n +=∴25246m m n --=--=-故答案为：6-．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a -+=，12c x x a=．【13题答案】【答案】70【解析】【分析】如图，设170CE =米，由勾股定理求出AD 和DE 的长，则可求出答案．【详解】解：如图，设170CE =米，∵90CDE ∠=︒，80CD =米，∴150DE ===（米），∵80CD =米，100AC =米，∴60AD ===（米），∴60150210EA AD DE =+=+=（米），∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为210703=（秒），故答案为：70．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【14题答案】【答案】①. ②. ()3,1【解析】【分析】如图，过点A 作AD x ⊥轴于D ，根据点C 、点B 坐标可得OC 、OB 的长，根据同角的余角相等可得OCB DBA ∠=∠，利用AAS 可证明OCB DBA ≌，根据全等三角形的性质可得AD OB =，BD OC =，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点A 作AD x ⊥轴于D ，(0,2C )，(1,0B )，2OC ∴=，1OB =，BC ==90CBA ∠=︒ ，90OBC DBA ∴∠+∠=︒，90OCB OBC ∠+∠=︒ ，OCB DBA ∴∠=∠，在OCB 和DBA 中，COB BDA OCB DBA CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，OCB DBA ∴ ≌，1AD OB ∴==，2BD OC ==，3OD OB BD ∴=+=，∴A 的坐标是(3,1)．(3,1)．【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【15题答案】【答案】①. 8 ②. 8【解析】【分析】众数是出现次数最多的数，中位数是排好序后最中间的数．【详解】德：9分；智：8分；体10分；美8分；劳7分．其中8出现次数2次最多，故众数为：8．分数排序为：7， 8，8，9，10．最中间的数为：8．故中位数为：8．故答案为：8，8．【点睛】本题考查中位数、众数的定义，理解他们的含义是本题关键．【16题答案】【答案】【解析】【分析】如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，证明()ASA EOM FON ≌，则EOM FON S S = ，5OEDF MOND S S == 四边形，即25OE =，解得OE =，根据2AB OE =，计算求解即可．【详解】解：如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，∴OE OF =，90EOF EOM MOF ∠=︒=∠+∠，∵90MON FON MOF ∠=︒=∠+∠，∴EOM FON ∠=∠，∵EOM FON ∠=∠，OE OF =，90OEM OFM ∠=∠=︒，∴()ASA EOM FON ≌，∴EOM FON S S = ，∴5OEDF MOND S S == 四边形，即25OE =，解得OE =，OE =，∴2AB OE ==，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【17题答案】【答案】8【解析】【分析】根据题意求出8AD DC +=，再利用线段的垂直平分线的性质解决问题．【详解】解：ABCD 的周长为16，8AD DC ∴+=，由作图可知MN 垂直平分线段AC ，EA EC ∴=，CDE ∴ 的周长CE ED CD EA ED CD =++=++AD DC =+8=，故答案为：8．【点睛】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【18题答案】【答案】4【解析】【分析】根据正方形的性质，推出90DEC CDQ ∠+∠=︒，根据折叠得到AP 垂直平分DF ，证明()AAS ADP DCE △≌△，得到DP CE =，设2AD CD BC ===，利用勾股定理求出DF ，DE ，得到EF ，再代入计算即可．【详解】解：如图，在正方形ABCD 中，90ADC BCD ∠=∠=︒，AD CD =，∴90DEC CDQ ∠+∠=︒，由折叠可知：AP 垂直平分DF ，即AP DF ⊥，∴90DQP ∠=︒，即90CDQ DPQ ∠+∠=︒，∴DEC DPQ ∠=∠，在ADP △和DCE △中，DPQ DEC ADP DCE AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADP DCE △≌△，∴DP CE =，设2AD CD BC ===，∵E 是边CB 的中点，∴1DP CP CE BE ====，∴AP DE ===，∴AD DP DQ AP ⨯==，∴DF =，∴EF DE DF =-=，∴4DF EF ==，故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质以及全等的性质得到线段之间的数量关系．三、解答题（本大题共6小题，共58分）【19题答案】【答案】（1）5-（2）14+【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法和乘法，再合并同类二次根式即可；（2）先利用平方差和完全平方公式展开，再计算加减即可；【小问1详解】=32=+5=-；【小问2详解】)()2221+-++252121=-++14=+．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．【20题答案】【答案】（1）养鸡场的长为20m 或15m ，宽为75m ．或10m ； （2）当15a <时，题目无解；当1520a ≤<时，题目只有一个解；当20a ≥时，题目有两个解．【解析】【分析】（1）设垂直于墙的边长为m x ，则平行于墙的边长为()352m x -，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为2150m ，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据（1）的结论可分15a <、1520a ≤<及20a ≥三种情况，找出题目解的个数．【小问1详解】解：设垂直于墙的边长为m x ，则平行于墙的边长为()352m x -，依题意，得：()352150x x -=，整理，得：x x 22351500-+=，解得：127510x x ==．，，∴35220x -=或35215x -=．答：养鸡场的长为20m 或15m ，宽为75m ．或10m ；【小问2详解】解：当15a <时，题目无解；当1520a ≤<时，题目只有一个解；当20a ≥时，题目有两个解．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【21题答案】【答案】（1）见解析（2）四边形AFDC 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）由BF CE =得到BC EF =，又由AB ED B E =∠=∠，即可证明()SAS ABC DEF ≌△△；（2）由ABC DEF ≌△△得到AC DF ACB DFE =∠=∠，，则AC DF ∥，即可判断四边形AFDC 是平行四边形．【小问1详解】∵BF CE =，∴BF FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB ED B E =∠=∠，，∴()SAS ABC DEF ≌△△；【小问2详解】如图，连接,AF DC ，四边形AFDC 是平行四边形，理由如下：∵ABC DEF ≌△△，∴AC DF ACB DFE =∠=∠，，∴AC DF ∥，∴四边形AFDC 是平行四边形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．【22题答案】【答案】（1）甲种树苗的数量为150棵，乙种树苗的数量为100棵（2）第二批购买树苗的总数量为200棵【解析】【分析】（1）设甲种树苗的数量为x 棵，乙种树苗的数量为y 棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求解；（2）设甲树苗单价上涨a 元，则甲树苗单价为()25a +元，根据题意列出一元二次方程，解方程，进而分别求得甲、乙的数量即可求解．【小问1详解】解：设甲种树苗的数量为x 棵，乙种树苗的数量为y 棵，根据题意得，25020306000x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：150100x y =⎧⎨=⎩答：甲种树苗的数量为150棵，乙种树苗的数量为100棵【小问2详解】解：设甲树苗单价上涨a 元，则甲树苗单价为()25a +元，依题意()()20+150103010080%600018%2a a ⎛⎫-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭解得：4a =或6a =∵最后数量不超过第一批甲树苗的80%即150515080%a -≤⨯解得：6a ≥，∴6a =，∴求第二批购买树苗的总数量为1505610080%12080200-⨯+⨯=+=（棵）【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．【23题答案】【答案】（1）51 （2）108（3）乙，53分钟低于乙校学生每天完成书面作业所需时长中位数54分钟 （4）1360【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；（2）利用360︒乘以对应的百分比，即可求解；（3）比较中位数即可求解；（4）利用样本估计总体即可求解．【小问1详解】解：甲校50名学生每天完成书面作业的中位数是第25、26个数，都是51，∴5151512m +==，故答案为：51；【小问2详解】解：乙校学生每天完成书面作业所需时长的数据的扇形统计图中表示4560x ≤<这组数据的扇形圆心角的度数是()360114%26%26%4%108︒⨯----=︒，故答案为：108；【小问3详解】解：甲校中位数是51，乙校中位数是54，而小明每天完成书面作业所需时长为53分钟，在与他同校被调查的学生中，有一半以上的学生每天完成书面作业所需时长都超过了小明，∴小明是乙校学生，因为53分钟低于乙校学生每天完成书面作业所需时长中位数54分钟；故答案为：乙，53分钟低于乙校学生每天完成书面作业所需时长中位数54分钟；【小问4详解】解：样本中，甲校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生有9121233++=人，乙校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生有()50126%4%35⨯--=人，∴甲校1000名学生每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生有33100066050⨯=人，乙校1000名学生每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生有35100070050⨯=人，∴估计这两所学校每天完成书面作业所需时长低于60分钟的学生共有6607001360+=人．故答案为：1360．【点睛】本题主要考查中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的应用，解题的关键是掌握平均数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．【24题答案】【答案】（1）见解析（2）矩形，理由见解析 （3）18【解析】【分析】（1）由BE AD ∥可知，BEO DAO ∠=∠，进而可证()AAS AOD EOB ≌△△；（2）由AOD EOB ≌△△，可得BE AD =，证明四边形ABED 是平行四边形，由90BAD ∠=︒，可证四边形ABED 是矩形；（3）由BC CD =且BO DO =，可得CO BD ⊥，即90BOC ∠=︒，可证四边形ABED 是正方形，则=BO EO ，设BO EO x ==，则1OC x =+，在Rt BOC 中，由勾股定理得222BO CO BC +=，即()22215x x ++=，求出满足要求的x 值，根据2BD AE BO ==，求BD 的值，根据12ABED S BD AE =⋅正方形，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵BE AD ∥，∴BEO DAO ∠=∠，在AOD △和EOB 中，∵BEO DAO EOB AOD BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AOD EOB ≌△△；【小问2详解】解：四边形ABED 是矩形，理由如下：∵AOD EOB ≌△△，∴BE AD =，∵BE AD ∥，∴四边形ABED 是平行四边形，∵90BAD ∠=︒，∴四边形ABED 是矩形；【小问3详解】解：∵BC CD =且BO DO =，∴CO BD ⊥，即90BOC ∠=︒，∴四边形ABED 是正方形，∴=BO EO ，设BO EO x ==，则1OC x =+，在Rt BOC 中，由勾股定理得222BO CO BC +=，即()22215x x ++=，解得：13x =，24x =-（舍去），∴3BO EO ==，∴26BD AE BO ===，∴11661822ABED S BD AE =⋅=⨯⨯=正方形，∴四边形ABED 的面积为18．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．。
第19章 一次函数 2022-2023学年人教版八年级数学下册基础知识质量检测卷(含答案)
2022-2023学年新人教版初中八年级数学下册第十九单元基础知识质量检测卷时间：90分钟满分：120分班级__________姓名__________得分__________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）函数y=x―25中自变量x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤22．（3分）一次函数y＝﹣2x+2经过点（a，2），则a的值为（ ）A．﹣1B．0C．1D．23．（3分）已知一次函数y＝kx﹣4（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）A．﹣2B．1C．0D．﹣34．（3分）下列函数中，是一次函数的是（ ）A．y＝3x﹣5B．y＝x2C．y=6xD．y=1x―15．（3分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．6．（3分）点P1（﹣1，y1），点P2（2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定7．（3分）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：支撑物的高度h（cm）10203040506070小车下滑的时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59下列说法正确的是（ ）A．当h＝70cm时，t＝1.50sB．h每增加10cm，t减小1.23C．随着h逐渐变大，t也逐渐变大D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快8．（3分）下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是（ ）A．10m长铁丝折成长为y（m），宽为x（m）的长方形B．斜边长为5cm的直角三角形的直角边y（cm）和x（cm）C．圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）D．路程一定时，时间y（h）和速度x（km/h）的关系9．（3分）一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴的交点坐标是（ ）A．（0，6）B．（6，0）C．（3，0）D．（0，3）10．（3分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则点A（﹣3，k）在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式12a﹣3b+1的值等于 ．12．（3分）一次函数y＝（k﹣3）x﹣2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是 ．13．（3分）小明骑车回家过程中，骑行的路程s与时间t的关系如图所示．则经15分钟后小明离家的路程为 ．14．（3分）已知三点A（﹣2，6），B（﹣3，1），C（1，﹣3）．若正比例函数y＝kx图象经过其中两点，则k的值为 ．15．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为 ．16．（3分）已知函数y＝（m﹣2）x|3﹣m|+5是关于x的一次函数，则m＝ ．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）求下列函数中自变量的取值范围．（1）y＝2x﹣1；（2）y=x―3+5―x；（3）y=14―2x．18．（6分）平面直角坐标系xOy中，经过点（1，2）的直线y＝kx+b，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）当b＝3时，求k的值以及点A的坐标；（2）若k＝b，P是该直线上一点，当△OPA的面积等于△OAB面积的2倍时，求点P的坐标．19．（6分）已知y﹣1与x﹣1成正比例，且x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y＝﹣1时，求x的值．20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A，B两点．（1）求此一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜4的解集．21．（8分）我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x小时后，水龙头滴了yml水．（1）试写出y与x之间的函数关系式？（2）当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？22．（8分）已知一次函数y=―12x+3．（1）作出函数的图象；（2）求图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．23．（10分）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间有如下关系：（其中0≤x≤30）时间/x257101213141720接受能力/y47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？（3）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？24．（10分）狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x 元/千克，销售量为y千克．（1）y与x之间的关系式为 ；（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？25．（10分）甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y甲（单位：元）表示付款金额．（1）文文购买3kg苹果需付款 元；购买5kg苹果需付款 元；（2）写出付款金额y甲关于购买苹果的重量x的函数关系式；（3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？参考答案1．C；2．B；3．B；4．A；5．A；6．A；7．D；8．A；9．A；10．C；11．﹣8；12．k＜3；13．1.5千米；14．﹣3；15．y＝﹣2x﹣4；16．4；17．解：（1）y＝2x﹣1中，自变量的取值范围是全体实数；（2）由题意得：x﹣3≥0，5﹣x≥0，解得：3≤x≤5；（3）由题意得：4﹣2x＞0，解得：x＜2．18．解：（1）∵直线y＝kx+b经过点（1，2），∴k+b＝2，当b＝3时，k＝﹣1，∴直线解析式为y＝﹣x+3，令y＝0，得x＝3，∴点A的坐标为（3，0）；（2）由（1）知k+b＝2，当k＝b时，可得k＝b＝1，∴直线解析式为：y＝x+1，令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，1），∴S△OAB=12×1×1=12，设点P（m，n），∵△OPA的面积等于△OAB面积的2倍，∴12×1×|n|＝2×12，∴|n|＝2，得n＝±2，∴点P坐标为（1，2）或（﹣3，﹣2）．19．解：（1）∵y﹣1与x﹣1成正比例，∴设y﹣1＝k（x﹣1），∵x＝3时y＝4，∴4﹣1＝k（3﹣1），解得：k=3 2，∴y与x之间的函数关系式为：y﹣1=32（x﹣1），即y=32x―12；（2）当y＝﹣1时，﹣1=32x―12，解得：x=―1 3．20．解：（1）将点A（3，4），B（0，﹣2）的坐标分别代入y＝kx+b中，得3k+b=4 b=―2，解得k=2b=―2，故一次函数的解析式y＝2x﹣2；（2）观察图象可知：关于x的不等式kx+b＜4的解集为x＜3．21．解：（1）∵水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，∴离开x小时滴的水为3600×2×0.05x，∴y＝360x（x≥0）．（2）当y＝1620mL时，1620＝360x，解得x＝4.5小时，答：小明离开水龙头4.5小时．22．解：（1）直线一次函数y=―12x+3过（0，3）（6，0）两点，描点连线可以画出其图象，如图：（2）图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=12×6×3＝9．23．解：（1）反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量；（2）提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强；（3）当x在2分钟至13分钟的范围内，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内，学生的接受能力逐步降低．24．解：（1）由题意可知y与x之间的关系式为，y＝50+2x；（2）当售价为28元/千克，价格下调了x＝38﹣28＝10，将x＝10代入关系试中得y＝50+2×10＝70，∴当售价为28元/千克，这天的销售量是70千克；（3）当售价为30元/千克，价格下调了x＝38﹣30＝8，将x＝8代入关系试中得y＝50+2×8＝66，∴当售价为30元/千克时的销售量是66千克，利润＝（售价﹣进价）×销售量＝（30﹣20）×66＝660元，∴这天的销售利润是660元．25．解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，∴文文购买3kg苹果需付款：3×5＝15（元），购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，∴购买5kg苹果需付款：4×5+1×5×0.6＝23（元），故答案为：15，23；（2）由题意得：当0＜x≤4时，y甲＝5x，当x＞4时，y甲＝4×5+（x﹣4）×5×0.6＝3x+8，∴付款金额y甲关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y甲=5x(0＜x≤4) 3x+8(x＞4)；（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：3×10+8＝38（元），文文在乙超市购买10kg苹果需付费：5×10×0.8＝40（元），∵38＜40，∴文文应该在甲超市购买更划算．。
专题5.16 分式与分式方程(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.16分式与分式方程（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±=；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式2x nx m+-（m ，n 为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误．．的是（）x 的取值－22pq分式的值无意义012A ．2n =B ．2m =-C ．6p =D ．q 的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m ，n 的值，进而可知p ，q 的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x 为﹣2时方程无意义，∴x －m =0，解得：m =﹣2，故B 正确，故分式为：22x n x ++，当x =2时，分式的值为0，故2×2＋n =0，n =﹣4，故A 错误，故分式为：242x x -+，当分式值为1时，2x －4=x +2，解得：x =6，故6p =，故C 正确，当2422x x -=+时，2x －4=2x ＋4，此等式不成立，则q 的值不存在，故D 正确，故选：A ．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论x 取何实数时，分式22ax x a-+总有意义，则a 的取值范围是（）A ．1a ≥B ．1a >且0a ≠C ．1a >D ．1a <【答案】C 【分析】分式22ax x a-+总有意义，则分母永远不等于0，即22x x a -+的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式22ax x a-+总有意义，∴()22211x x a x a -+=-+-的最小值10a ->，解得1a >．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，则a 满足的条件是（）A ．3a =B ．3a =-C ．3a =±D ．3a =或2a =-【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：()()30320a a a ì-=ïí-+¹ïî①②，再解方程与不等式即可．解：∵分式||3(3)(2)a a a --+的值为0，()()30320a a a ì-=ï\í-+¹ïî①②由①得：3,a =±由②得：3a ≠且2,a ≠-∴ 3.a =-故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（）A ．11x x y y +=+B ．1x yx y-+=--C ．22x y x y x y-=++D ．22233x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.11x x y y ++≠，故该选项错误，不符合题意；B.()1x y x y x y x y---+==---，故该选项正确，符合题意；C.22x y x y x y-=-+，故该选项错误，不符合题意；D.22239x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该选项错误，不符合题意；【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（）A ．22x y y xx y x y--=++B ．a b a bc c-+-=-C ．0.220.22a b a ba b a b++=++D ．1x yx y--=+【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A 、22x y y xx y x y--=-++，此选项变形错误；B 、a b a bc c -+-=-，此选项变形正确；C 、0.22100.2102a b a ba b a b++=++，此选项变形错误；D 、1x yx y--=-+，此选项变形错误；故选B ．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式xyx y+中的x 和y 都扩大10倍，则分式的值（）A ．扩大20倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小10倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：()x y xy xyx y x y x y==+++101010010101010 故选：B ．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式122m +与11m +的最简公分母是（）A ．22m +B ．2m +C ．1m +D ．21m -【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式122m +与11m +的最简公分母22m +，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式212x y 和216xy 的最简公分母是（）A ．2xyB ．222x y C ．226x y D ．336x y 【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式212x y 和216xy的最简公分母是226x y ．故选：C ．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A ．2xB ．22x x C ．42xD ．11x x --【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.2x，是最简分式，符合题意；B.22x x =12x，不是最简分式，不合题意；C.422x x=，不是最简分式，不合题意；D.111xx -=--，不是最简分式，不合题意，故选：A ．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（）A ．224x x B ．22x y x y++C ．2211x x x +++D ．242x x -+【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A 选项22142x x x=，故不是最简分式；B 选项不能再化简，故是最简分式；C 选项()22121111x x x x x x +++==+++，故不是最简分式；D 选项()()2224222x x x x x x +--==-++，故不是最简分式．故选：B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：()22xyx y +和22x x y -；（2）约分：22416m mm --．【答案】（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y x x y x y x y +=-+-；（2）4m m +【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1）()()()()2222xy x y xyx y x y x y -=++-，()()()222x x y xx y x y x y +=-+-；（2）()()()224416444m m m m m m m m m --==-+-+．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：236a bab；（2）通分：223b a 与abc 【答案】（1）2a ；（2）2223b c a bc 与3233a a bc【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）2336322a b ab a aab ab ⨯==⨯；（2）223b a与abc 最简公分母为：23a bc ，则：2222222333b b bc b ca a bc a bc ⨯==⨯，23223333a a a a bc bc a a bc⨯==⨯．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程1x aa x -=+有增根，则a 的值为________．【答案】1-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x +=，得到=1x -，然后代入整式方程算出a 的值即可．解：方程两边同时乘以1x +得，()1x a a x -=+，∵方程有增根，∴10x +=，解得=1x -．∴10a --=，解得1a =-．故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x 的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x 的方程2133mx x =---有增根，那么m 的值为________．【答案】2-【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x 的值，最后代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：23x m =--，由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程得：2m =-．故答案为：2-．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y的分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，23a+为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩①②，解不等式①得：3x≥，解不等式②得：7x a<-，∵不等式组341227x xa x+⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，∴73a-≤，∴10a≤，分式方程3122y a yy y+=---去分母，得32y y a y-=---，∴23ay+=，∵分式方程3122y a yy y+=---的解为非负整数，∴0y≥且20y-≠，∴203a+≥且4a≠，∵a为整数，23a+为非负整数，∴2a=-，1，7，10，∴整数a的和为2171016-+++=．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x =0或x =1或3+a =0，将解代入整式方程求出a 即可．解：去分母，得3x +a （x -1）=0，∴（3+a ）x-a =0，∵原分式方程无解，∴x =0或x =1或3+a =0，当x =0时，a =0；当x =1时，3+0=0，无解；∴a =0，当3+a =0时，解得a =-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是____．【答案】4m ≥-且3m ≠-【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m 的取值范围．解：去分母得，m +3＝2x ﹣1，∴x ＝42+m ，∵方程的解是非负数，∴m +4≥0即m ≥﹣4，又因为2x ﹣1≠0，∴x ≠12，∴42+m ≠12，∴m ≠-3，则m 的取值范围是m ≥﹣4且m ≠-3．故答案为：m ≥﹣4且m ≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，则m 取值范围是______．【答案】5m <且2m ≠【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和3x ≠建立不等式，由此即可得．解：1233x m x x -=+--，方程两边同乘以()3x -，得()123x m x -=+-，去括号，得126x m x -=+-，移项、合并同类项，得5x m -=-，系数化为1，得5=-+x m ，关于x 的方程1233x m x x -=+--有正数解，50m ∴-+>，且53m -+≠，解得：5m <且2m ≠，故答案为：5m <且2m ≠．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，则满足条件的整数a 的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a 的值．解：分式方程334111ax x x x +-+=--的解为：24x a =+，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x 的分式方程334111ax x x x +-+=--的解为正整数，且24x a =+≠1，∴满足条件的所有整数a 的值为：-3，∴a 的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x 的分式方程()2141111k k x x x +=≠-+--①若k ＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k 的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k 的值________．【答案】2x =k ＝2|k|>5即可，如6±【分析】①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x =±1，然后把x 的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得51k x k -=+，利用方程的解为负数求出k 的取值范围，再求出互为相反的两个k 值．解：①若k ＝1，得到分式方程为2114111x x x +=+--，去分母得114x x -++=，解得2x =．故答案为：2x =；②将()2141111k k x x x +=≠-+--去分母得()114x k x -++=，解得51k x k-=+．∵方程有增根且无解，∴210x -=，解得1x =±，当x =1时，511k k-=+，解得：2k =，当x =-1时，511k k -=-+无解，∴k 的值为2．故答案为：2k =；③∵方程的解为负数，∴x ＜0且x ≠±1，∴501k k-<+且511k k -≠±+，解得5k <-或5k >，∴符合条件的且互为相反数的两个k 的值可以是±6．故答案为：5k <-或5k >，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x 的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：(1)211a a a ---；（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a 【答案】(1)11a -(2)a 【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）211a a a ---=2(1)(1)11a a a a a +----=2(1)(1)1a a a a -+--=22(1)1a a a ---=22+11a a a --=11a -（2）4222⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭a a a a =4222a a a a ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=24422a a a a -+⎛⎫÷ ⎪--⎝⎭=222a a a a-⨯-=a【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：(1)22122x x x x-+÷；（2）2126339x x x x --++--．（3）22241123x x x x x ---÷+--．（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭．【答案】(1)12x -；(2)2239x x --；(3)52x +；(4)22m m --+．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）22122x x x x-+÷解：原式()()()1121x x x x x +-=⋅+12x -=；（2）2126339x x x x --++--解：原式()()1263333x x x x x -=+++-+-()()()()()()()()2336333333x x x x x x x x x -+-=+++--++-()()236633x x x x x -++-+=+-22239x x x +-=-()()()()3133x x x x +-=+-13x x -=-；（3）22241123x x x x x ---÷+--解：原式()()()()3121122x x x x x x -+-=-⋅+-+2322x x x x +-=-++()232x x x +--=++（4）2443111m m m m m -+⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭解：原式()()()22113111m m m m m m -+-⎡⎤=÷-⎢⎥---⎣⎦()()2231211m m m m ⎡⎤---⎢⎥=÷--⎢⎥⎣⎦()222411m m m m -⎡⎤-=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()221122m m m m m --=-⋅--+22m m -=-+．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：2224124421x x x x x x x x ⎛⎫-+-÷--- ⎪-+--⎝⎭，然后从1-，0，1，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】21--x x，1x =-时，12-【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式()()()22222412212x x x x x x x x x ⎛⎫+--+-=÷- ⎪----⎝⎭()22224412212x x x x x x x x ⎛⎫-+--=÷-- ⎪----⎝⎭()2222441212x x x x x x x -+--+=÷----12121x x x x -=⋅---111x x =---21x x =--20x -≠ ，且10x -≠，且0x ≠2x ∴≠，且1x ≠，且0x ≠取=1x -时，原式12=-【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．【答案】82x +，1x =时，83【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭22(2)22(2)(2)x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥-⎣⎦-++-22(2)(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x ⎡⎤-=-÷⎢⎥-+-+-⎣⎦+2428x x x x =÷--2482x x x x -=⋅-82x =+，由()34212x x -≤-，2863x x -≤-，解得：54x ≥-；由13212x x +-<，4132x x --<，解得：3x <，故不等式组的解集为：534x -≤<，0,2,2x ≠- 当1x =时，原式83=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．(1)33122x x x-+=--；（2）214111x x x -+=+-【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以(2)x -去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以(1)(1)x x +-去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）33122x x x-+=--323x x -+-=-3+23x x +=-22x =解得，1x =经检验，1x =是原方程的解，所以，原方程的解为：1x =（2）214111x x x-+=+-2(1)4(1)(1)x x x --=+-222141x x x -+-=-22x -==1x -经检验，=1x -是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的关键．举一反三：【变式】解分式方程(1)432x x =+；（2）217133x x x+=---【答案】(1)6x =(2)无解【分析】（1）等号两边同时乘以(2)x x +将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可；（2）等号两边同时乘以(3)x -将原方程转换为整式方程，然后求解验根即可．（1）解：432x x=+，去分母得：43(2)x x =+，解得：6x =，经检验6x =是原方程的解；（2）217133x x x+=---去分母得：2137x x +=-+，解得：3x =，经检验3x =是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解本题的关键，注意解分式方程需要验根．类型五、分式方程的应用➽➼列方程✭✭解方程✭✭求值13．（1）解方程：411233x x x -=+--；（2）先化简，再求值：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+，其中x 从2-，2和3中选一个合适的值．【答案】（1）2x =-（2）72x +，75【分析】（1）将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最检验整式方程的解是不是分式方程的解即可；（2）根据分式的运算法则化简，再代入一个使原方式有意义的值求解即可．（1）解：411233x x x -=+--，方程两边同乘3x -，得()41231x x -=-+，解得2x =-，检验：当2x =-时，30x -≠，∴原分式方程的解是2x =-；（2）解：222(2)5242x x x x x x ++-÷---+()()222252(2)2x x x x x x x +-+-=⋅--++512x x -=-+252x x x +-+=+72x =+，2x =- 或2时，原分式无意义，3x ∴=，当3x =时，原式77325==+．【点拨】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题的关键．举一反三：【变式】解方程：(1)2232122x x x x x --+=--（2）()32011x x x x +-=--【答案】(1)1x =(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；（2）根据解分式方程的步骤求解即可．解：（1）2232122x x x x x--+=--去分母，得()22322x x x x ---=-，解得1x =，经检验，1x =是原方程的根，∴原方程的解为：1x =；（2）()32011x x x x +-=--去分母，得()320x x -+=，解得1x =，经检验，1x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．14．小状元书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、15元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.5倍，若用1800元在该店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（假设购进的两种图书全部销售完）【答案】(1)甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元(2)甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可；（2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．（1）解：设乙种图书售价每本x 元，则甲种图书售价为每本1.5x 元，,由题意得：14001800101.5x x-=，解得：20x =，经检验，20x =是原方程的解，∴甲种图书售价为每本1.52030⨯=元，答：甲种图书售价每本30元，乙种图书售价每本20元；（2）设甲种图书进货a 本，总利润W 元，则(30203)(20152)(1200)48400W a a a =--+---=+∵2015(1200)20000a a +⨯-≤，解得400a ≤，∵W 随a 的增大而增大，∴当a 最大时W 最大，∴当400a =本时，W 最大，此时，乙种图书进货本数为1200400800-=（本），答：甲种图书进货400本，乙种图书进货800本时利润最大．【点拨】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．举一反三：【变式1】为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多5元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?(2)由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共100桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的12，由于是第二次购买，商家给予八折优惠．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少最少总金额是多少元?【答案】(1)甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶(2)当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()+5x 元/桶，结合该单位分别用900元和720元采购相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可列出关于x 的分式方程，进而求解即可．（2）设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液为()100m -桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数的12，即可得出关于m 的一元一次不等式，解得m 的取值范围，然后设所需资金总额为w 元，根据题意列出函数关系式，再利用函数性质即可解决最值．（1）解：设乙种消毒液的零售价为x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为()5+x 元/桶，依题意得：9007205x x =+，解得：=20x ，经检验，=20x 是原方程的解，且符合题意，525x ∴+=．答：甲种消毒液的零售价为25元/桶，乙种消毒液的零售价为20元/桶：（2）解：设购买甲种消毒液m 桶，则购买乙种消毒液()100m -桶，依题意得：()11002m m ≥-，解得：1003m ≥，设所需资金总额为w 元，则()250.8201000.841600w m m m =+-=+ ，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当34m =时，w 取得最小值，最小值43416001736=⨯+=，答：当甲种消毒液购买34桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1736元．【点拨】此题考查了分式方程的运用、一元一次不等式以及一次函数运用，解题关键是找准等量关系，正确列出方程．【变式2】某水果店一次购进了若干箱水蜜桃和李子，已知购进水蜜桃花费800元，购进李子花费1680元，所购李子比水蜜桃多10箱，李子每箱的进价是水蜜桃每箱进价的1.4倍．(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为多少元？水蜜桃和李子各多少箱？(2)根据市场情况，每箱李子可以比每箱水蜜桃的利润多5元，这批水果全部售完后，店家若想获得不少于800元的利润，应该如何确定每箱水蜜桃和李子的售价？【答案】(1)水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱(2)每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元【分析】（1）设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，由题意列出分式方程，解之，再根据进货费用算出多少箱即可；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，由题意列出不等式，解不等式即可．（1）解：设水蜜桃每箱x 元，则李子每箱1.4x 元，根据题意得：1680800101.4x x -=，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，则1.4 1.44056x =⨯=，8004020÷=，16805630÷=，答：水蜜桃和李子每箱进价分别为40元和56元，各20箱和30箱；（2）设水蜜桃每箱利润y 元，则李子每箱利润(5)y +元，根据题意得：8001680(5)8004056y y ++≥，解得：13y ≥，134053+=，1355674++=，答：每箱水蜜桃和李子的售价分别不少于53元和74元．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；理解题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．【变式3】为预防新冠疫情的反弹，桐君阁大药房派采购员到厂家去购买了一批A 、B 两种品牌的医用外科口罩．已知每个B 品牌口罩的进价比A 品牌口罩的进价多0.7元，采购员用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍．(1)求A 、B 两种品牌每个口罩的进价分别为多少元？(2)若B 品牌口罩的售价是A 品牌口罩的售价的1.5倍，要使桐君阁大药房销售这批A 、B 两种品牌口罩的利润不低于8800元，则A 品牌口罩每个的售价至少定为多少元？【答案】(1)A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元(2)3元【分析】（1）设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，根据用7200元购进A 品牌口罩的数量为用5000元购进B 品牌数量的2倍列分式方程解答；（2）先求出两种品牌口罩购买的数量，设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，列不等式求解即可．（1）解：设A 品牌每个口罩的进价为x 元，则B 品牌每个口罩的进价为()0.7x +元，720050020.7x x =⨯+，解得 1.8x =，经检验， 1.8x =是原方程的解，且符合题意，∴0.7 2.5x +=，答：A 品牌每个口罩的进价为1.8元，则B 品牌每个口罩的进价为2.5元；（2）购进B 品牌口罩的数量为5000 2.52000÷=（个），购进A 品牌口罩的数量为200024000⨯=（个），设每个A 品牌口罩的售价定为y 元，则每个B 品牌口罩的定价为1.5y 元，依题意得：()()4000 1.82000 1.5 2.58800y y ⨯-+⨯-≥，解得3y ≥，答：A 品牌口罩每个的售价至少定为3元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键．。
专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。
【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。
（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法。
【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。
专题5.29 分式方程增根、无解、正负数解问题(基础篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.29分式方程增根、无解、正负数解问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知关于x 的分式方程211x kx x -=--的解是负数，则k 的取值范围为（）A ．02k <<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >D ．2k <且1k ≠2．如果关于x 的分式方程()21322ax x x -=--无解，则实数a 的值为（）.A ．1或32B ．32C ．1-或32D ．1-3．若关于x 的分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为()A ．1B ．1-C ．1-或0D ．1或1-4．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．25．若关于x 的方程3211x mx x -=+--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．0C ．3D ．2-6．关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A ．12k ≤-B ．12k ≥-C ．12k >D ．12k <-7．若方程212x ax +=--的解是非负数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．2a <且4a ≠-C ．2a ≥D ．2a ≤且4a ≠-8．已知关于x 的分式方程311m x +=-的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-9．如果关于x 的方程211x x m-+=的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．1m >-B ．1m >-且0m ≠C ．1m <-D ．1m <-且2m ≠-10．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-二、填空题11．若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．12．若分式方程233x m x x -=--无解，则m 的值为_____．13．若关于x 的方程，232111mx x x x -=-+-无解，则m 的值为_______________14．已知关于x 的分式方程2233x kx x -=+--无解，则k 的值是__________．15．关于x 的方程1122kx x x +=--无解，则k 的值为__________．16．若关于x 的分式方程2322x kx x -=--的解为非负数，则k 的取值范围为______．17．若关于x 的分式方程133x kx x +=++有增根，则k 的值是__________．18．如果关于x 的方程7766x mx x--=--的解是非负数，则m 的取值范围为___________．19．若关于x 的分式方程5233x mx x+=---有增根，则常数m 的值是_________．20．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______．三、解答题21．给定关于x 的分式方程7311mx x x +=--，求：（1）m 为何值时，这个方程的解为2x =？（2）m 为何值时，这个方程无解？22．已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x =1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．23．解答下列问题:已知关于x 的方程2233x mxx x =-++（1）m 为何值时，方程无解？（2）m 为何值时，方程的解为负数？24．已知关于x 的方程5311x a x x --=--无解，求a 的值．参考答案1．C【分析】解分式方程用k 表示出x ，根据解为正数及分式有意义的条件得到关于k 的不等式组，解不等式组即可得到答案．解：解得：211x k x x -=--去分母得：()21x x k ---=，∴23kx -=，∵211x k x x -=--的解为负数，且分式有意义，∴2032103kk -⎧<⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩，解得：2k >，故选：C ．【点拨】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于k 的不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件，避免漏解．2．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可．解：方程两边同乘2(2)x -可得：23x ax -=-，当整式方程无解时，此时1a =-，当整式方程有解时2x =，代入可得：230a -=，解得32a =，综上所述，a 的值为1-或32，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论即可．3．D【分析】化简分式方程得21ax a =-，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，=1x -，代入即可算出a 的值，当等式不成立时，使分母为0，则1a =．解：1x aa x -=+化简得：21a x a=-当分式方程有增根时，=1x -代入得1a =-．当分母为0时，1a =．a 的值为1-或1．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解．4．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．解：由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x mx x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．5．D【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x -=，得到1x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．解：3211x mx x -=+--方程两边都乘以1x -，得：()321x m x -=+-，∵分式方程有增根，∴10x -=，即1x =，将1x =代入整式方程，得：13m -=，即2m =-，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，412x x k ∴-+=-，312x k ∴-=--，43kx ∴=+， 解为非正数，∴403k+≤，12k ∴≤-．故选：A ．【点拨】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7．D【分析】根据分式有解得到4a ≠-，再根据分式方程的解为非负数求出2a ≤，即可得到答案．解：212x ax +=--解方程得23ax -=，∵方程212x ax +=--的解是非负数，而且20x -≠，∴2x ≠，∴203a-≥而且223a -≠，得2a ≤且4a ≠-，∴当2a ≤且4a ≠-时方程212x ax +=--的解是非负数．故选：D【点拨】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．D【分析】解分式方程用m 表示x ，由关于x 的分式方程的解是正数及分式方程的增根可求解m 的取值范围．解：方程两边同乘以1x -得31m x +=-，解得4x m =+，∵x 的分式方程311m x +=-的解是正数，∴4>0m +，解得>4m -，∵10x -≠，即410m +-≠，解得3m ≠-，∴m 的取值范围为>4m -且3m ≠-．故选：D ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解法，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．9．D 【分析】根据211x x m-+=得出1x m =--，为正数，即10m -->，从而得出m 的取值范围．再根据10x -≠，推出2m ≠-．解：211x x m-+=21x m x +=-解得：1x m =--方程211x x m-+=的解是正数，10x m ∴=-->1m ∴<-10x -≠ 即1x ≠11m ∴--≠2m ∴≠-1m ∴<-且2m ≠-故选：D【点拨】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．10．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．2x =【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x 的值进行求解即可．解：∵方程1122k x x+=--有增根，∴20x -=，∴2x =，故答案为：2x =．【点拨】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．12．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝3，代入整式方程即可求出m 的值．解：去分母得：x ﹣2x +6＝m ，将x ＝3代入得：﹣3+6＝m ，则m ＝3．故答案为：3．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，熟练的掌握分式方程无解成立的条件是解题的关键．13．5m =或6m =或4m =．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得15x m=-，由分式方程无解求出m 的值即可．解：232111mx x x x -=-+-()()321111mx x x x x -=+-+-()()3121mx x x --=+()51m x -=-15x m=- 关于x 的方程232111mx x x x -=-+-无解50m ∴-=或1111055m m ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭5m ∴=或115m =--或115m=-解得：5m =或6m =或4m =故答案为：5m =或6m =或4m =．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．14．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0求出x 的值，代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），即x=4-k ，由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：3=4-k ，解得：k=1，故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的解，需注意在解分式方程时要考虑分母不为0．15．k =1或k =12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．解：去分母得：12x kx +-=，∴()11k x -=-，∵分式方程无解，∴k -1=0或121x k =-=-，∴k =1或k =12，故答案为：k =1或k =12．【点拨】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．16．3k ≥-且1k ≠-【分析】首先解分式方程用含k 的式子表示x ，然后根据解是非负数，求出k 的取值范围即可．解：∵2322x k x x-=--，∴()322x x k --=-，整理，可得：3x k =+，∵关于x 的分式方程2322x kx x-=--的解为非负数，∴30k +≥且32k +≠，解得：3k ≥-且1k ≠-．故答案为：3k ≥-且1k ≠-．【点拨】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为0．17．2-【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k ．解：在方程133x kx x +=++两边同时乘以3x （+）得1x k +=，∵方程有增根，即3x =-满足方程1x k +=，将3x =-代入得31k -+=，∴2k =-故答案为：2-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．18．35m ≥-且1m ≠【分析】解分式方程求得方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．解：7766x mx x--=--，去分母得：77(6)x m x -+=-，去括号得：7742x m x -+=-，移项，合并同类项得：6350x m -++=，解得：356mx +=． 关于x 的方程7766x mx x--=--的解的解为非负数，∴3506m+≥．解得：35m ≥-．分式方程有可能产生增根6，6x ∴≠-，∴3566m+≠-，1m ∴≠．综上，m 的取值范围是35m ≥-且1m ≠．故答案为：35m ≥-且1m ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，正确求出分式方程的解是解题的关键．19．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．2m <-且3m ≠-【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．解：去分母，得：()321x m x =-+-，去括号，移项，合并同类项，得：2x m =--．∵关于x 的分式方程3211x m x x=+--的解为正数，∴20m -->．又∵10x -≠，∴1x ≠．∴21m --≠．解得：2m <-且3m ≠-．故答案为：2m <-且3m ≠-．【点拨】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m 表示出x 的值是解题的关键．21．（1）m ＝5（2）m ＝3或7【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将x ＝2代入计算即可求出m 的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x ＝1代入计算，即可求出m 的值．解：分式方程去分母得：7+3（x−1）＝mx ，（1）将x ＝2代入得：7+3（2−1）＝2m ，解得m ＝5；（2）整理得(m-3)x=4,当m=3时，整式方程无解；当3m ≠时，将x ＝1代入得：7+3（1−1）＝m ，解得m ＝7．此时，方程有增根，综上，m ＝3或7时原方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．22．(1)m =-6；(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；(3)m 的值为﹣1或﹣6或1.5【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母（x -1）(x +2)，化为整式方程；把方程的增根x =1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得．（1）解：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x +2）+mx =x -1，整理得（m +1）x =﹣5，∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）解：∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）解：当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点拨】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键．23．（1）4m =或2m =；（2）4m <且2m ≠【分析】(1)将分式通分后得出新的方程,①令新方程无解解出即可;②原分式分母为零,解出x 代入新方程解出m.(2)将新方程的x 表示出来,令方程小于零,解出即可.解：()()223323233326233x mx x x x x mx x x x m x x x x =-+++=-+++--=++由上得:2x =(m -2)x -6,整理得:(4-m )x =-6.(1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解;②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解;故2×(-3)=(m-2)×(-3)－6,解得m=2,综上所述,m=4或m=2.(2)()46m x -=-当m≠4时,604x m-=<-,解得4m <综上所述,4m <且2m ≠.【点拨】本题考查分式方程的运算,关键在于理解无解的情况.24．4a =-【分析】根据题意可得1x =，然后把x 的值代入5311x a x x --=--去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答．解：5311x a x x --=--，两边同乘以(1)x -得()531x x a --=-，解得：84a x +=∵关于x 的方程5311x a x x --=--无解，∴10x -=，即1x =把1x =代入84a x +=中可得：解得：4a =-，∴4a =-．【点拨】本题考查了分式方程，把x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
八年级(下)数学基础知识试题(精华)
八年级（下）数学基础知识考试试题一、 选择题 1、 若代数式1x x有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. x ≠ 1 B. x ≥0 C. x ＞0 D. x ≥0且x ≠12、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后， 用1小时爬上山顶。
游客爬山所用时间t 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）A B C D3、己知平行四边形的一组邻边长分别为6，8，则该平行四边形的一条对角线长不可能是（ ）A ．3B ． 7C ． 1 0D ． 1 54、如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN.若四边形MBND 是菱形，则MD AM等于（ ）A.83B.32 C.53D.54 X k 5.、下列各式中，一定是最简二次根式的是（ ） A.a 5 B.a 8 C.3cD. 3a6、如图1，OA=OB,则点A 所表示的数是（ ） A 、1.5 B 、3 C 、2 D 、57、已知△ABC 的三边长分别为5，13，12，则△ABC 的面积为（ ） A 、30 B 、60 C 、 78 D 、 不能确定8、如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形，四边形ABCD 应具备的条件是（ ）.（A ）一组对边平行而另一组对边不平行 （B ）对角线相等 （C ）对角线互相垂直 （D ）对角线互相平分9、某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，75，80. 下列关于对这组数据的描述错误的是（ ） A ．众数是80 B ．平均数是80 C ．中位数是75 D ．极差是15 10、下列数组中，能构成直角三角形的三边的是（ ）N M DB C ADCBAHGFE图1AF BCDEHG（图1）BCDAEP F A 、1，1，3 B 、13，14，15 C 、0.2，0.3，0.5 D 、532、、11、已知：如图1，点G 是BC 的 中点，点H 在AF 上，动点P 以每 秒2cm 的速度沿图1的边线运动，运动路径为：H F E D C G →→→→→，相应的△ABP 的面积)(2cm y 关 于运动时间)(s t 的函数图像如图2，若cm AB 6=，则下列结论中：(1)图1中的BC 长是8cm ；(2)图2中的M 点表示第4秒时y 的值为242cm ；(3)图1中的CD 长是4cm ；(4)图2中的N 点表示第12秒时y 的值为182cm ，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题12、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD＝2，AC ＝3，则BC 的长是 。
八年级下册数学重点题
八年级下册数学重点题
八年级下册数学的重点题目主要包括以下内容：
1. 代数方程与不等式：包括一元一次方程、一元一次不等式的解法，以及应用题的解答。
2. 平面几何：重点涉及到平行线与三角形、相似三角形、勾股定理、正弦定理和余弦定理等内容。
3. 圆的性质及应用：包括圆的周长、面积计算，弧长、扇形、正多边形内角和外角等相关题目。
4. 统计与概率：包括频数分布表的制作、统计图的绘制，以及简单的概率计算。
5. 函数初步：主要包括函数的概念、自变量、因变量、函数关系图象、函数的性质等。
6. 实数：包括有理数、无理数、实数的性质、实数的比较大小等。
这些是八年级下册数学的重点内容，建议认真复习课本中相关知识点，并多做相关的练习题目，加深对知识的理解和掌握。
如果有具体的题目需要帮助的话，也可以具体提问。
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八年级下数学期末考试题(基础篇)
八年级下数学期末考试题（基础篇）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）函数y＝|x|﹣1中的自变量x的取值范围是（）A．x≠±1B．x≠1C．x≠﹣1D．x为全体实数3．（3分）直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（）A．36B．28C．56D．不能确定4．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣3B．b＞1C．b﹣a＞0D．5．（3分）今有四个命题：（1）若两个实数的和与积都是奇数，则这两个数都是奇数．（2）若两实数的和与积都是偶数，则者两数都是偶数．（3）若两数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数．（4）若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．（3分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，其中AC＝4，AB＝3，BC＝5，AD＝，CD＝，则B到AD距离为（）A．3B．5C．D．7．（3分）一个样本的各数据都减少9，则该组数据的（）A．平均数减少9，方差不变B．平均数减少9，方差减少3C．平均数与极差都不变D．平均数减少9，方差减少98．（3分）一次函数y＝ax+b，ab＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（）A．四边形ABCD是平行四边形B．四边形ABCD是菱形C．对角线AC＝BD D．AD＝BC10．（3分）如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC≠2HG；②∠GDH＝∠GHD；③图中有8个等腰三角形；④S△CDG＝S△DHF．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为．12．（4分）下列命题中，其逆命题成立的是．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．（4分）小明的家离学校2000米，他以50米每分钟的速度骑车到学校，则他与学校的距离s（米）和骑车的时间t（分钟）之间的函数关系式为，s是t的函数．14．（4分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是．15．（4分）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM于E，若DE＝DC＝2，AE＝2EM，则BM的长为．16．（4分）长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC ＝10cm，则EF＝．三．解答题（共10小题，满分96分）17．（8分）计算：（1）；（2）（3﹣）（3）+（2﹣）；（3）（﹣2）2++6；（4）（1﹣π）0+||﹣+（）﹣1．18．（8分）已知＝2，求式子的值．19．（9分）经过全市市民的共同努力，2017年深圳市实现全国文明城市“五连冠”，在创建全国文明城市期间，我市某中学义工队利用周末休息时间参加社会公益活动，学校对全体义工队成员参加公益活动的时间（单位：天）进行了调查统计．根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据信息回答下列问题：（1）学校义工队共有名成员；（2）补全条形统计图；（3）义工队成员参加公益活动时间的众数是天，中位数是天；（4）义工队成员参加公益活动时间总计达到天；20．（9分）公路旁有一块山地正在开发，现有C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．22．（10分）利用所示图来证明勾股定理．证明：23．（10分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间（单位：分钟）之间的关系如图．（1）求y与x的函数关系；（2）每分钟进水、出水各多少升？（3）若12分钟以后只出水不进水，求多少时间将水放完？并求此时解析式；在图中把函数图象补完整．24．（10分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣2，4）且与直线y＝3x平行，求这个一次函数的解析式．25．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：▱ABCD是菱形．26．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，cos A＝，AB＝4，过点C作CD∥AB，且CD＝2，连接BD，求BD的长．。
专题35 分式与分式方程(常考知识点分类专题)(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.35分式与分式方程（常考知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题【考点一】构成分式的条件➼➻有意义★★无意义★★值为零1．若1x -有意义，则（）A ．32x ≤-B ．32x ≥-且1x ≠C ．23x ≤-D ．32x ≤-且0x ≠2．对于分式2x x a--来说，当=1x -时，无意义，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．若分式132x x +-的值为零，则x 的取值范围是（）A ．x =0B ．x =-1且x ≠23C ．x =-1D ．x ≠23【考点二】分式相关概念➼➻最简分式★★约分★★最简公分母★★通分4．下列分式是最简分式的是（）A ．22x xy x-；B ．222a ab b a b-+-；C ．2211x x +-；D ．211x x +-5．下列各式计算正确的是（）A ．33x x y y=B ．632m m m =C ．22a b a b a b+=++D ．32()()a b a b b a -=--6．分式2x，21x x -，31x +的最简公分母是（）A ．21x -B ．()21x x -C ．2x x-D ．()()11x x +-【考点三】分式方程相关概念➼➻增根★★无解7．已知关于x 的分式方程2111mx x x -=--无解，则m 的值是（）A ．1B ．1或2C ．0或2D ．0或18．若关于x 的分式方程1122x n x x -+=++无解，则n =（）A ．1-B ．0C ．1D ．329．若分式方程211x m x x-=--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【考点四】分式的运算➼➻分式的乘除法10．化简222222a ab a ab ab b a b b a ⎛⎫-÷÷ ⎪-+--⎝⎭的结果为（）A ．1B ．abC ．b aD ．211．已知m ，n 是非零实数，设3m m n k n m+==，则（）A ．23k k=-B ．23k k =-C ．23k k =--D ．23k k =+【考点五】分式的运算➼➻分式的加减法12．数学课上，老师让计算23a a b a b a b -+--．佳佳的解答如下：解：原式23a a b a b+-=-①33a ba b -=-②()3a b a b-=-③＝3④对佳佳的每一步运算，依据错误的是（）A ．①：同分母分式的加减法法则B ．②：合并同类项法则C ．③：逆用乘法分配律D ．④：等式的基本性质13．已知116a b a b+=+，则a b b a +的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点六】分式的运算➼➻分式的混合运算14．分式23111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭化简结果是（）A ．12x -+B ．12x +C ．12x --D ．12x -15．若112()a b -÷的运算结果为整式，则“ ”中的式子可能为（）A ．a b -B ．a b +C ．abD ．22a b -【考点七】分式的运算➼➻分式的化简求值16．若2310x x ++=，则221x x +=（）A ．4B ．5C ．6D ．717．若12xy x=-，则232x xy y y xy x --+-的值为（）A ．13B ．-1C ．53-D ．73-【考点八】分式方程➼➻解分式方程18．若21a aa-=，则222022a a -+的值为（）．A ．2020B ．2021C ．2022D ．202319．分式方程61222x x x-=---的解是（）A ．3x =-B ．2x =-C ．0x =D ．3x =【考点九】分式方程➼➻正（负）数解★★非正（负）数解20．已知关于x 的分式方程412222m x x -=--的解为整数，则符合条件的整数m 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．521．关于x 的分式方程22224x x m x x x +-=+--的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m <-B ．4m >-C ．4m <-且16m ≠-D ．4m >-且8m ≠22．若关于x 的方程2111m x x -=++的解为负数，则m 的取值范围是（）A ．2m <B ．3m <C ．2m <且31m ≠D ．3m <且2m ≠【考点十】分式方程★★不等式（组）➼➻求参数23．若a 使得关于x 的不等式组12332145xa x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，且使得关于y 的分式方程42133a y y y --=--有非负整数解，则所有满足条件的a 的值的和是（）A ．24B ．25C ．34D ．3524．已知关于x 的不等式组2521322x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≥-⎩至少有三个整数解，且关于y 的分式方程99233y ay y y +-=---有正整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-二、填空题【考点一】构成分式的条件➼➻有意义★★无意义★★值为零25．函数y x 的取值范围是_____．26．若32a +无意义，且分式11b b --的值等于零，那么a b ＝_____．27．若分式()()223m m m +-+的值为零，则m =______．【考点二】分式相关概念➼➻最简分式★★约分★★最简公分母★★通分28．约分:2336mnm n =-____________________.29．分式234x y -，212x y 的最简公分母是_________．30．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________．【考点三】分式方程相关概念➼➻增根★★无解31．分式方程24111x k x x +-=--若有增根，则k 的值是_____________．32．若关于x 的方程3111mx x x=---无解，则m 的值是______.33．若关于x 的分式方程213339m mx x x ++=-+-无解，则m =___________．【考点四】分式的运算➼➻分式的乘除法34．计算：23423b a aa b b⎛⎫⎛⎫÷-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．35．已知3a b =，2a c =，则32a b c a b c+++-的值为______．【考点五】分式的运算➼➻分式的加减法36．计算：2241442x x x x -+=-++__________．37．已知m ＞n ＞0，分式n m的分子分母都加上1得到分式11n m ++，则分式11n m ++_____n m．（填“＜、＞或＝”）【考点六】分式的运算➼➻分式的混合运算38．化简：22211221x x x x x x x ++--÷++-的结果是___________．39．化简2121212a a a a a a +÷-=--++______．【考点七】分式的运算➼➻分式的化简求值40．已知115a b -=，则2325a ab b a ab b+---的值是________．41．已知16a a+=，且42321222a ma a ma a -+=++，则m =___________．【考点八】分式方程➼➻解分式方程42．代数式23x x -的值比代数式232x-的值大4，则x =______．43．定义一种新运算：()()aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为______．【考点九】分式方程➼➻正（负）数解★★非正（负）数解44．关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的负整数m 的和是______．45．若关于x 的分式方程33122x m mx x --=-+的解是负数，则m 的取值范围是_______．46．已知关于x 的分式方程3121m x -=+的解为负数，则m 的取值范围是______________．【考点十】分式方程★★不等式（组）➼➻求参数47．若关于x 的一元一次不等式组1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩有解，且关于y 的分式方程1122a y y y --=--的解是正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是__________．48．如果关于x 的不等式组()03321x mx x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩的解集为x m <，且关于x 的分式方程2333m xx x-+=--有非负整数解，所有符合条件的m 的和是___________．参考答案1．B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．解：根据题意得：23010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得，32x ≥-且1x ≠，故选：B【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．2．C【分析】根据分式无意义的条件求解即可．解：当分式2x x a--无意义时，x-a=0,而此时x=-1所以，-1-a=0解得，a=-1故选：C【点拨】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a 的方程是解此题的关键．3．C【分析】根据分式的值为0，就是分式的分子为0，分母不为0，即可以求解．解：∵132x x +-=0，∴10x +=，且320x -≠解得x =-1且x ≠23，∴x =-1，故选C ，【点拨】本题主要考查了分式的意义及解分式方程，掌握分式的值为0，就是分式的分子为0，分母不为0，是解题的关键．4．C【分析】直接利用最简分式的定义进而判断得出答案．解：A 、22x xy x-=()22x x y x yx --=，不是最简分式，不合题意；B 、222a ab b a b -+-=2()a b a b a b -=--，不是最简分式，不合题意；C 、2211x x +-无法化简，是最简分式，符合题意；D 、211x x +-=11(1)(1)1x x x x +=+--，不是最简分式，不合题意.故选：C【点拨】此题主要考查了最简分式，正确把握最简分式的定义是解题关键．5．D【分析】根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．解：A 、33x y 是最简分式，所以33x x y y≠，故选项A 不符合题意；B 、624m m m=，故选项B 不符合题意；C 、22a b a b++是最简分式，所以22a b a b a b +≠++，故选项C 不符合题意；D 、3322()()()()a b a b a b b a a b --==---，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．6．B【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答．解：∵2x 的分母是x ，21x x -的分母是(x 2-1)，即(x +1)(x -1)；31x +的分母是x +1，∴分式2x，21x x -，31x +的最简公分母是x (x +1)(x -1),即为x (x 2﹣1)．故应选：B【点拨】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键．7．B【分析】去分母，化分式方程为整式方程()11m x -=，根据分式方程产生增根1x =或10m -=，即可求解．解：2111mx x x -=--，方程两边同时乘以()1x -，得21mx x -=-，移项、合并同类项，得()11m x -=，∵方程无解，∴10x -=或10m -=，∴11m -=或1m =，∴2m =或1m =，故选：B ．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．8．A【分析】解分式方程，可得32n x -=，根据题意可知分式方程的增根为2x =-，即有322n -=，求解即可获得答案．解：1122x n x x -+=++，去分母，得21x x n ++=-，合并同类项、系数化为1，得32n x -=，由题意可知，分式方程的增根为2x =-，即有322n -=-，解得1n =-．故选：A ．【点拨】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为2x =是解题关键．9．B【分析】先化分式方程为整式方程，令分母10x -=，代入整式方程计算m 的值．解：因为211x m x x-=--，去分母得：()21x m x +=-，解得：2m x =-因为分式方程211x m x x-=--有增根，所以10x -=，即：1x =是方程增根，所以21m x =-=-，故选B ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．10．D【分析】先对式子的分子和分母因式分解，再将括号里的除号变为乘号运算，最后同样进行除法运算化简即可．解：原式2(2)2()2a a b a b a b a b a b ab ⎛⎫--=÷⨯ ⎪---⎝⎭(2)(2)()2()a ab a b a b a b b a b --=÷---(2)2()2()(2)a ab b a b b a b a b a --=⨯=---．故选：D ．【点拨】本题主要考查分式的化简运算，属于基础题，注意计算的细节即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．D【分析】根据分数除法的运算法则解答，用k 、n 表示出m 代入等式化简，即可得到关于k 的等式．解：∵=mk n，∴m kn =∵3=m nk m+，∴+33kn n k k kn k+==，∴2=+3k k ，故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键．12．D【分析】根据分式的加减法法则计算即可．解：①：同分母分式的加减法法则，正确；②：合并同类项法则，正确；③：提公因式法，正确；④：分式的基本性质，故错误；故选：D ．【点拨】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．13．A【分析】先把分式进行化简，得到2()6a b ab+=，然后再把要求的分式化简，代入计算即可得到答案．解：∵116a b a b+=+，∴6a b ab a b+=+，∴2()6a b ab+=，∴2222()2()2624a b a b a b ab a b b a ab ab ab++-++===-=-=；故选：A ．【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．14．A【分析】利用分式加减乘除混合运算计算即可．解：23111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭()()311211x x x x x x -----=÷--22114x x x x --=⨯--224x x -=-224x x -=--()()222x x x -=-+-12x =-+，故选A ．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．15．C【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．解：A ．221122==22b a a b a ab b a b a bab ab ---+⎛⎫-÷⋅- ⎪-⎝⎭，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B ．22112==22b a a b b a a b a bab ab -+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；C ．112==22b a ab b a a b ab ab --⎛⎫-÷⋅ ⎪⎝⎭，是整式，故本选项符合题意；D ．()()()()222112==22a b a b a b a b b a a b a bab ab +-+--⎛⎫-÷⋅- ⎪-⎝⎭是分式，不是整式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．16．D【分析】根据题意可得0x ≠，将已知等式两边同时除以x ，得到13x x+=-，进而根据完全平方公式的变形即可求解．解：∵2310x x ++=，且由题意可得0x ≠，∴2310x x x x x ++=，∴13x x +=-，∴()2222112327x x x x ⎛⎫+=+-=--= ⎪⎝⎭，故选D ．【点拨】本题主要考查了等式，完全平方公式，分式求值，熟练掌握等式的性质,完全平方公式变形是解题的关键．17．D【分析】将12x y x =-变形得2y x xy -=，然后整体代入232x xy y y xy x --+-即可求解．解：∵12x y x=-，∴2y x xy -=，∵2322()3()x xy y x y xy y xy x y x xy----=+--+，∴()22323277233xy xy x xy y xy y xy x xy xy xy -----===-+-+故答案为：D ．【点拨】本题考查代数式求值，解题关键是正确变形整体代入求解．18．C 【分析】由21a a a-=可得220a a -=，采用整体代入法，即可求解．解：21a a a-= ，220a a ∴-=，2220222022a a ∴-+=，故选：C ．【点拨】本题考查了代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键．19．D【分析】解此方程即可判定．解：去分母，得：()6122x x -=---，去括号，得：6124x x -=--+，移项、合并同类项，得：39x =，解得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，所以，原方程的解为3x =，故选：D ．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．20．B【分析】解该分式方程得22m x --=，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出m 为2的倍数且4m ≠-，即选B ．解：412222m x x -=--，方程两边同时乘22x -，得：422m x --=-，解得：22m x --=，∵该分式方程的解为整数，∴2m --为2的倍数，∴m 为2的倍数．∵220x -≠，∴1x ≠，∴212m --≠，∴4m ≠-，综上可知m 为2的倍数且4m ≠-．∴只有B 选项符合题意．故选B ．【点拨】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．21．C 【分析】先解分式方程得46m x +=-，然后令406m +->，且426m +-≠±，计算求解即可．解：22224x x m x x x +-=+--，两边同时乘以()()22x x +-得，()()222x x x m --+=，去括号得，22244x x x x m ----=，移项合并得，64x m -=+，系数化为1得，46m x +=-，令406m +->，且426m +-≠±，解得4m <-，且16m ≠-，8m ≠，综上，4m <-，且16m ≠-，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算并检验．22．D【分析】先银分式方程求得解为3x m =-，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．解：2111m x x -=++，21m x -=+，3x m =-，∵原方程解为负数，∴30m -<，∴3m <，∵10x +≠，∴310m -+≠，∴2m ≠，∴3m <且2m ≠，故选：D ．【点拨】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．23．B 【分析】先根据不等式组12332145x a x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，得出a 的取值范围，再解分式方程42133a y y y --=--，得出13a y -=，10a ≠，再根据y 为非负整数找出满足条件的a 的值，最后求和即可．解：解不等式1233x a -≤-+，得36x a ≥-，解不等式2145x a -+≥-，得32x a ≤-，解关于x 的不等式组12332145x a x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，∴3236a a -≥-，解得13a ≤；将分式方程42133a y y y --=--化为整式方程，得423a y y -+=-，解得13a y -=， 30y -≠，∴133a y -=≠，解得10a ≠，又 关于y 的分式方程42133a y y y --=--有非负整数解，∴当a 取13，7，4，1时，该分式方程有非负整数解，1374125+++=，∴所有满足条件的a 的值的和是25，故选B ．【点拨】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，解题的关键是根据不等式组有解得出a 的取值范围，注意分式的分母不能为0．24．C【分析】先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到0a ≤，再解分式方程确定a 的值即可得到答案．解：解不等式25213x x +>-得：2x <，解不等式22x a ≥-得：22a x -≥，∵关于x 的不等式组2521322x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≥-⎩至少有三个整数解，∴212a -≤-，∴0a ≤；99233y ay y y +-=---去分母得：()()9239y y ay +=---，去括号得：9269y y ay +=--+，移项得：2699y y ay -+=-+-，合并同类项得：()16a y -=-，∴61y a -=-，∵关于y 的分式方程99233y ay y y +-=---有正整数解，∴601a ->-，∴11a -=-或12a -=-或13a -=-或16a -=-，∴0a =或1a =-或2a =-或5a =-，又∵631y a -=≠-，∴1a ≠-∴()()257-+-=-，故选C ．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．25．2x >或1x ≤【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，得出不等式组，解不等式组即可求解．解：由题意得，102x x -≥-，则1020x x -≥⎧⎨->⎩或1020x x -≤⎧⎨-<⎩，解得，2x >或1x ≤，故答案为：2x >或1x ≤．【点拨】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件与分式有意义的条件是解题的关键．26．2【分析】直接利用分式的值为零的条件“分子为0且分母不为0”分析得出答案．解：∵32a +无意义,∴a+2＝0，∴a ＝﹣2∵分式11b b --的值等于零，∴|b|﹣1＝0，b ﹣1≠0，∴b ＝﹣1，∴a b ＝21--＝2，故答案为2．【点拨】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．27．-2【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m 的值．解：根据题意，得20m +=，且20m -≠、30m +≠；解得2m =-；故答案是：2-．【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．28．212mn -【分析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式=221332-=-2mn mn m n mn ⋅.故答案是：212mn -【点拨】此题考查约分，解题关键在于掌握运算法则.29．12x 2y 2【分析】根据最简公分母的定义求解．解：分式234x y -，212x y的最简公分母为2212x y ．故答案为：2212x y ．【点拨】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．30．2(1)x -1x ≠【分析】将已知等式右边的分母利用平方差公式分解因式，观察两分母发现等式左边的分子分母同时乘以x ﹣1，即可得到？处应填的式子，条件是所乘的因式不能为0．解：∵x 2﹣1=（x +1）（x ﹣1），∴等式左边的分子分母同时乘的是x ﹣1，则？处应填（x ﹣1）2．∵x -1≠0，∴x ≠1．故答案为（x ﹣1）2，x ≠1．【点拨】本题考查了分式的约分逆运算，利用了分式的基本性质，即分式分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．31．1【分析】首先根据解分式方程的方法求出方程的解，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行检验即可得解解：24111x k x x +-=--，()()41111x k x x x +-=-+-，公分母为：()()11x x +-，两边同时乘以()()11x x +-得：()()()()1114x k x x x ++-+-=，解得：31k x k -+=+，分式方程有增根，()()110x x ∴+-=，1x ∴=或=1x -，当1x =时，311k k -+=+，解得：1k =，此时方程有增根，当=1x -时，311k k -+=-+，得：31=-，无解，综上所述，1k =，故答案为：1．【点拨】本题考查对分式方程增根的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．32．1或3/3或1【分析】将分式方程化为整式方程，可得21x m =-，根据分式方程无解，可得10x -=，或10m -=，分情况求解即可．解：3111mx x x =---，去分母，得13mx x =-+，解得21x m =-， 方程无解，∴10x -=，或10m -=，当10x -=时，211m =-，解得3m =；当10m -=时，1m =，即m 的值为1或3，故答案为：1或3．【点拨】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．33．1-或3或37-【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．解：213339m m x x x ++=-+-方程两边都乘()(33)x x +-，得(3)(3)3x m x m ++-=+，化简得，得：(1)4m x m +=，当1m =-时，方程无解；当3x =±时，分母为零，分式方程无解，把3x =代入整式方程，3m =；把3x =-代入整式方程，得37m =-；综上可得：1m =-或3或37-．故答案是：1-或3或37-．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．34．23a -/23a -【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．解：原式223344b b a a a b⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭333344b a a b=-⋅23a =-，故答案为：23a -．【点拨】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．35．157【分析】分别用含a 的代数式表示出b ，c ，再代入求值即可．解：∵3a b =，2a c =，∴3a b =，2a c =，∴32a b ca b c+++-332232a a a a a a +⨯+=+⨯-2232aa a a a a ++=+-22643666a a a a a +=+-422643666a a a a a +=+-5276a a =157=．故答案是：157．【点拨】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．36．22524x x x ++-【分析】先分子分母因式分解约分后，再通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．解：2241442x x x x -+-++2(2)(2)1(2)2x x x x +-+-+＝2122x x x ++-+＝2(2)2(2)(2)(2)(2)x x x x x x +-++-+-＝2442(2)(2)(2)(2)x x x x x x x ++-++-+-＝22524x x x ++-＝．故答案为：22524x x x ++-．【点拨】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．37．＞【分析】根据题意，比较11n m ++﹣n m 的差与0的大小即可，然后根据m ＞n ＞0和分式的减法即可得到11n m ++﹣n m 的差与0的大小情况，从而可以解答本题．解：()()()11111m n n m n n m m m m +++=++﹣﹣()()=11mn m nm n m n m m m m +=++﹣﹣﹣∵m ＞n ＞0，∴m ﹣n ＞0，1m +＞0，∴()01m n m m +﹣，即11n m ++＞n m，故答案为：＞．【点拨】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键.38．12x -+【分析】首先把分式的分子进行因式分解，把除法转化成乘法，然后进行约分，最后根据同分母分式减法法则进行计算即可．解：22211221x x x x x x x ++--÷++-=()()()2111221x x x x x x x ++--÷++-=()()()2112211x x x x x x x +--⋅+++-=122x x x x +-++=12x -+，故答案为：12x -+【点拨】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．39．12a -+【分析】由题意利用分式约分化简的方法与技巧进行化简计算即可．解：2121212a a a a a a +÷---++()211122a a a a a -=⨯--++122a a a a -=-++12a aa --=+12a =-+，故答案为12a -+．【点拨】本题考查分式的化简，利用变除为乘、分式加减法则以及分式的约分化简是解题的关键．40．710/0.7【分析】由已知115a b -=得到5a b ab -=-，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．解：由已知115a b -=得，5a b ab -=-，2325a ab b a ab b +-∴--()()235a b aba b ab-+=--()25355ab abab ab⨯-+=--710abab-=-710=，故答案为：710．【点拨】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．41．103【分析】根据16a a +=求出的值，4232122a ma a ma a -+++上下同时除以2a ，整理代入解方程即可．解： 16a a +=∴22211236a a a a ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭∴22134a a +=4232122a ma a ma a-+++上下同时除以2a 得：22422232111212222a m a m a ma a a a ma a a m a m a a -++--+==++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，将16a a +=，22134a a +=代入以上式子得：2213421122a m m a m a m a +--==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得：103m =．故答案为：103【点拨】本题考查了分式的化简求值，相关知识点有：完全平方公式，整体思想的利用是解题关键．42．2【分析】根据题意可得：242332x x x-=--，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．解：由题意得：242332x x x -=--，去分母得：()2423x x +=-，解得：2x =，检验：当2x =时，230x -≠，2x ∴=是原方程的根，故答案为：2．【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．43．52【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．解：由题意可知：当5x <时，则525x =-，解得：52x =，经检验当52x =时，50x -≠，∴52x =是原方程的解；当5x >时，则25x x -=-，解得：103x =，经检验当103x =时，50x -≠，∵1053<，∴103x =不是原方程的解；故答案为52．【点拨】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．44．7-【分析】解出关于x 的分式方程3211m x x +=--的解为52m x +=，解为正数解，进而确定m 的取值范围，注意增根时m 的值除外，再根据m 为负整数，确定m 的所有可能的整数值，求和即可．解：去分母得，2(1)3m x -+-=，解得，52m x +=， 关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，∴502m +>，5m ∴>-，又1x = 是增根，当1x =时，512m +=，即3m =-，3m ∴≠-，∴5m >-且3m ≠-，∴符合条件的负整数m 有4-，2-，1-，其和为4217---=-，故答案为：7-．【点拨】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数m 的意义是正确解答的关键．45．13m <且0m ≠【分析】首先求出关于x 的分式方程的解，然后根据解为负数，求出m 的取值范围即可．解：33122x m m x x --=-+去分母得：()()()()()3m 22232x x x x m x -+-+-=-，去括号得：22326436x mx x m x mx m -+--+=-，移项得：22323664x mx x x mx m m -+--=-+-合并同类项得：()264m x -=-，解得：231x m =-，∵分式方程的解是负数，2031x m =<-，310m ∴-<，∴13m <，20x -≠ 且20x +≠，即2x ≠±，2231x m =≠±- 解得：0m ≠且23m ≠∴13m <且0m ≠．故答案为：13m <且0m ≠．【点拨】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．46．4m <且3m ≠【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合210x +≠求出答案．解：3121m x -=+，去分母得：321m x -=+，解得：42m x -=，∵分式方程的解是负数，∴0x <且210x +≠，即40m -<且410m -+≠，解得：4m <且3m ≠，故答案为：4m <且3m ≠．【点拨】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．47．1-【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围3a <，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得32a y +=，由分式方程有正数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．解：1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-解不等式②得：1x a <-，关于x 的一元一次不等式组1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩有解，12a ∴->-，解得：3a <，分式方程1122a y y y--=--去分母得：12a y y +-=-，解得：32a y +=，y 是正数，且2y ≠，3a ∴>-且1a ≠，∴满足条件的整数a 的和为21021--++=-，故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．48．15-【分析】根据不等式组的解法及分式方程的解法求解即可得到答案．解：()03321x m x x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩①②由①得x m <；由②得1x <-；关于x 的不等式组()03321x m x x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩的解集为x m <，1m ∴≤-；由2333m x x x-+=--，解得72m x +=， 关于x 的分式方程2333m x x x -+=--有非负数解，∴702m +≥，且732m +≠，7m ∴≥-，1m ≠-；综上所述，71m -≤<-，关于x 的分式方程2333m x x x-+=--有非负整数解，7m ∴=-或5-或3-，∴所有符合条件的m 的和是75315---=-，故答案为：15-．【点拨】本题考查解一元一次不等式组及分式方程求参数，熟练掌握一元一次不等式组的解集求法及分式方程解法是解决问题的关键．。
人教版八年级数学下册名校课堂知识点训练(基础)：一次函数的图象和性质
《一次函数的图象与性质》基础训练知识点1 画一次函数图象1.已知函数23y x =-+.（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x 轴、y 轴的交点的坐标.知识点2 一次函数图象的平移2.（2019·湘潭）将一次函数3y x =的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式为_________.3.若直线2y kx =+是由直线21y x =--平移得到的，则k =___________，即直线21y x =--沿y 轴向_________平移了__________个单位长度.知识点3 一次函数的图象与性质4.在平面直角坐标系中，一次函数1y x =-的图象是（ ）A. B. C. D.5.（2019·广安）一次函数23y x =-的图象经过的象限是（ ）A.一、二、三B.二、三、四C.一、三、四D.一、二、四6.（2018·常德）若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ）A.2k <B.2k >C.0k >D.0k <7.（2018·沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象如图所示，则k和b 的取值范围是（ ）A.00k b >>，B.00k b ><，C.00k b <>，D.00k b <<，8.（2019·天津）直线21y x =-与x 轴的交点坐标为_________.9.请你写出y 随着x 的增大而减小的一次函数解析式（写出一个即可）：_________.10.（2019·成都）已知一次函数(3)1y k x =-+的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是___________.【变式】（2019·潍坊）当直线(22)3y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_________.11.已知关于x 的一次函数(21)3y m x m =++-.（1）若函数图象经过原点，求m 的值；（2）若函数的图象平行于直线33y x =-，求m 的值；（3）当m 取何值时，函数图象与y 轴交点在x 轴下方？易错点1 忽视正比例函数是特殊的一次函数而致错12.一次函数y kx b =+不经过第三象限，则下列选项正确的是（ ）A.00k b <>，B.00k b <<，C.00k b <≤，D.00k b <≥， 易错点2 距离与坐标的转化未进行分类讨论而致错13.若直线6y kx =-与坐标轴围成的三角形面积为9，则k =__________.参考答案1.解：（1）图略.（2）函数23y x =-+与x 轴、y 轴的交点的坐标分别是3,0,(0,3)2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2.32y x =+ 3.2- 上 3 4.B 5.C 6.B 7.C 8.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭9.21y x =-+（答案不唯一，只要0k <即可） 10.3k <【变式】13k <<11.解：（1）3m =.（2）1m =.（3）3m <且12m ≠-. 12.D 13.2±。
专题4.12 分组分解法(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题4.12分组分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．把2222a a b b +--分解因式的结果是（）．A ．()()()22a b a b -++B ．()()2a b a b -++C ．()()2a b a b -++D ．()()2222a b b a --2．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．33．下列因式分解中错误的是（）A ．()2228164x xy y x y -+=-B ．()()111xy x y x y -+-=+-C ．()()24515x x x x --=-+D ．()()()42161412121x x x x -=++-4．下列多项式不能分解因式的是（）A ．()()22ab cd bc ad++-B ．2269x y x -++C ．2223485x xy y x y --++-D ．224x x ++5．若a 、b 为有理数，且a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0，则a ＋3b ＝（）A ．8B ．4C ．－4－D ．－86．把x 2-y2-2y -1分解因式结果正确的是（）A ．(x +y +1)(x -y -1)B ．(x +y -1)(x -y -1)C ．(x +y -1)(x +y +1)D ．(x -y +1)(x +y +1)7．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）28．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)9．已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021二、填空题11．分解因式：1x xy y -+-=___________12．分解因式：321x x x +--=_____13．因式分解：22x y ax ay +-+=______．14．分解因式：2224a ab b -+-=________________．15．若224613x x y y -++=-，则x y +=______．16．若代数式22512986x xy y x -+++有最小值，则最小值是_______．17．因式分解：226517712x xy y x y -++-+=_______．18．分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-=______．三、解答题19．将下列各式因式分解：（1）421x x ++；（2）22268x x y y +-+-．20．因式分解：(1)2224129a b bc c -+-；(2)2215x x --；(3)22465x y x y -+--．21．已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．22．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216ax y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．23．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“22+”分法、“31+”分法、“32+”分法及“33+”分法等．如“22+”分法：()()()()()()ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y x y a b +++=+++=+++=++仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：22x y x y ---；(2)分解因式：222944m x xy y -+-；(3)分解因式：2222244441a a a b b ab +---+．24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．例如：()2222222424()2(2)(2)-+-=-+-=--=---+x xy y x xy y x y x y x y ．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：2222()(2321412121)23()()()1x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +-+；②（拆项法）268x x -+；(2)已知a 、b 、c 为ABC 的三条边，且满足222446170a b c a b c ++---+=，求ABC 的周长；(3)已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足20a ab ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．参考答案1．B【分析】此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因式法进行因式分解．解：a 2+2a-b 2-2b ，=（a 2-b 2）+（2a-2b ），=（a+b ）（a-b ）+2（a-b ），=（a-b ）（a+b+2）．故选：B ．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各式的特点选用合适的分组方法．2．A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．解：a 2b +ab 2-a -b =（a 2b -a ）+（ab 2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a +b ）将a +b =3，ab =1代入，得：原式=0．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．3．C【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可解：A.()2228164x xy y x y -+=-，故该选项正确，不符合题意；B.()()111xy x y x y -+-=+-，故该选项正确，不符合题意；C.()()24515x x x x --=+-，故该选项不正确，符合题意；D.()()()42161412121x x x x -=++-，故该选项正确，不符合题意；故选C【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．4．D【分析】A 、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；B 、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；C 、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；D 、不能分解.解：A.()()22ab cd bc ad ++-2222222222222222222222222222()()()()()()a b abcd c d b c abcd a d a b a d c d b c a b d c d b b d a c =+++-+=+++=+++=++能分解，本选项不合题意；B.2269x y x -++=2269x x y ++-()223x y =+-()()33x y x y =++-+能分解，本选项不合题意；C.2223485x xy y x y --++-()()3485x y x y x y =-+++-且()()()31548x y x y x y-⨯-++⨯=+∴原式()()351x y x y =-++-能分解，本选项不合题意；D.224x x ++，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.故选：D.【点拨】本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．5．D【分析】根据已知，将其a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0变形为22()(2)0a b b -++=，利用非负数的性质，求出a 和b ，最后代入即可.解： a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2＋4b ＋4＝22()(2)0a b b -++=∴a-b=0b+2=0a b 2∴==-a+3b=8-故选择D【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b 的值是关键.6．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=22(21)x y y -++=22(+1)x y -=1)(1)x y x y ++--（故选A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．7．B【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B 8．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．9．D【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2=0，再利用非负数的性质求解即可．解：∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0，即（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形．故选D ．【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．10．C【分析】先将x 2-2x-1=0变形为x 2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x 2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，∵2x 3-7x 2+4x-2019=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2019，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2019，=6x-3x 2-2019，=-3（x 2-2x ）-2019=-3-2019=-2022，故选：C ．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．11．()()11x y --【分析】先分组，再根据提取公因式法进行分解即可．解：1x xy y -+-()11x y y =-+-()()11x y y =---()()11x y =--故答案为：()()11x y --．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握提取公因式法．12．()()211x x -+【分析】采用分组分解法分解因式即可．解：321x x x +--()()321x x x =+-+()()211x x x =+-+()()211x x =-+()()211x x =-+，故答案为：()()211x x -+.【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键．13．（x ＋y ）（x －y ＋a ）【分析】根据因式分解-分组分解法分解因式即可．解：原式=()()()x y x y a x y +-++=)()x y x y a (＋－＋故答案为：)()x y x y a (＋－＋【点拨】本题考查了分解因式-分组分解法，熟记平方差公式是解题的关键．14．(2)(2)a b a b -+--【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--故答案为：(2)(2)a b a b -+--．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式．15．-1【分析】先分组，再化为完全平方公式，进而求出x 、y 的值即可.解：由x 2−4x+y 2+6y=−13，得x 2−4x+y 2+6y+13=0，故x 2−4x+4+y 2+6y+9=0，(x-2)2+(y+3)2=0，所以x-2=0，y+3=0，所以x=2，y=-3，所以x+y=2-3=-1.故答案为：-1【点拨】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.16．-10【分析】将原式变形为222412981610x xy y x x -++++-，然后分组进行变形进一步即可得出答案.解：22512986x xy y x -+++=222412981610x xy y x x -++++-=()()2223410x y x -++-.∴当230x y -=，40x +=时原代数式有最小值，并且最小值为10-.所以答案为10-.【点拨】本题主要考查了完全平方式的实际运用，熟练掌握相关公式是解题关键.17．(23)(34)x y x y -+-+【分析】将原式进行拆解变形为2265849312x xy y x y x y -++-+-+后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.解：226517712x xy y x y -++-+=2265849312x xy y x y x y -++-+-+=()()()2342x y x y x y --+-+()3312x y -+=()()()234334x y x y x y --++-+=()()2334x y x y -+-+.所以答案为()()2334x y x y -+-+.【点拨】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键.18．()()2211x y --【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++，再进行分组得到完全平方公式，所以原式()()2[1]x y xy =+-+，然后再把括号内分组分解即可．解：原式()()()()2222421x y x y xy x y xy xy xy =+-+-+++-+()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++()()()()22211x y x y xy xy =+-++++()()21x y xy ⎡⎤=+-+⎣⎦()21x y xy =+--()()211x y ⎡⎤=--⎣⎦()()2211x y =--．故答案为：()()2211x y --．【点拨】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．19．（1）()()2211x x x x ++-+；（2）(2)(4)x y x y +--+．【分析】（1）先将原式变形为42221x x x ++-，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（2）先将原式变形为222169x x y y ++-+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解．解：（1）原式42221x x x =++-()2221x x =+-()()2211x x x x =++-+；（2）原式222169x x y y =++-+-()()222169x x y y =++--+()()2213x y =+--()()1313x y x y =++-+-+()()24x y x y =+--+．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．20．(1)(23)(23)a b c a b c +--+(2)(5)(3)x x -+(3)(5)(1)x y x y +--+【分析】（1）利用分组法变形为222)4129a b bc c +--(后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（2）利用十字相乘法35x x ⨯-分解因式即可．（3）变形为()()224469x x y y -+--+后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（1）解：原式()2224129a b bc c =--+2223)a b c =--((23)(23)a b c a b c =+--+；（2）解：原式(5)(3)x x =-+；（3）解：原式()()224469x x y y =-+--+22(23)()x y -=--(5)(1)x y x y =+--+．【点拨】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键．21．2-或1【分析】222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，得2222a b mab b c mbc ++=++，移项后因式分解得到()()0a c a c mb -++=，由a ，b ，c 三个数两两不等，则0a c -≠，得到0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，分0a b c ++≠和0a b c ++=两种情况求解即可．解：∵222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，∴2222a b mab b c mbc ++=++，即22220a b mab b c mbc ++---=，∴220a c mab mbc -+-=，∴()()()0a c a c mb a c +-+-=，∴()()0a c a c mb -++=，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴0a c -≠，∴0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，当0a b c ++≠时，①＋②＋③得，()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m +++=，∴20m +=，解得2m =-，当0a b c ++=时，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴a ，b ，c 三个数中至少一个不是0，设0b ≠，∴0a c b +=-≠,∵0a c mb ++=，∴0b mb -+=，∴()10b m -=，∴10m -=，解得1m =，综上可知，m 的值为2-或1．【点拨】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键．22．(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216ax y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+．【点拨】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。
八年级数学(下)第十六章《二次根式》基础测试题含答案
八年级数学（下）第十六章《二次根式》基础测试题测试1 二次根式学习要求掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算．课堂学习检验一、填空题1．a +1表示二次根式的条件是______． 2．当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，31+x 有意义． 3．若无意义2+x ，则x 的取值范围是______． 4．直接写出下列各式的结果： (1)49＝_______；(2)2)7(_______； (3)2)7(-_______；(4)2)7(--_______； (5)2)7.0(_______；(6)22])7([- _______． 二、选择题5．下列计算正确的有( )．①2)2(2=- ②22=- ③2)2(2=- ④2)2(2-=-A ．①、②B ．③、④C ．①、③D ．②、④6．下列各式中一定是二次根式的是( )． A ．23-B ．2)3.0(-C ．2-D ．x7．当x =2时，下列各式中，没有意义的是( )． A ．2-xB ．x -2C ．22-xD ．22x -8．已知,21)12(2a a -=-那么a 的取值范围是( )．A ．21>aB ．21<a C ．21≥a D ．21≤a 三、解答题9．当x 为何值时，下列式子有意义? (1);1x -(2);2x -(3);12+x(4)⋅+-xx2110．计算下列各式：(1);)23(2 (2);)1(22+a(3);)43(22-⨯-(4).)323(2-综合、运用、诊断一、填空题11．x 2-表示二次根式的条件是______． 12．使12-x x有意义的x 的取值范围是______． 13．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______． 14．当x =－2时，2244121x x x x ++-+-＝________． 二、选择题15．下列各式中，x 的取值范围是x ＞2的是( )．A ．2-xB ．21-xC ．x -21D ．121-x16．若022|5|=++-y x ，则x －y 的值是( )． A ．－7B ．－5C ．3D ．7三、解答题17．计算下列各式：(1);)π14.3(2- (2);)3(22--(3);])32[(21-(4).)5.03(2218．当a =2，b =－1，c =－1时，求代数式aacb b 242-±-的值．拓广、探究、思考19．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：||)(||22b b c c a a ---++-的结果是：______________________．20．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 均为整数，且a 和b 满足.09622=+-+-b b a 试求△ABC 的c 边的长．测试2 二次根式的乘除(一)学习要求会进行二次根式的乘法运算，能对二次根式进行化简．课堂学习检测一、填空题1．如果y x xy ⋅=24成立，x ，y 必须满足条件______．2．计算：(1)=⨯12172_________；(2)=--)84)(213(__________； (3)=⨯-03.027.02___________．3．化简：(1)=⨯3649______；(2)=⨯25.081.0 ______；(3)=-45______． 二、选择题4．下列计算正确的是( )． A ．532=⋅ B ．632=⋅C ．48=D ．3)3(2-=-5．如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么( )．A ．x ≥0B ．x ≥3C ．0≤x ≤3D ．x 为任意实数6．当x =－3时，2x 的值是( )． A ．±3 B ．3 C ．－3 D ．9三、解答题7．计算：(1);26⨯(2));33(35-⨯- (3);8223⨯(4);1252735⨯ (5);131aab ⋅(6);5252ac c b b a ⋅⋅(7);49)7(2⨯- (8);51322-(9).7272y x8．已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．综合、运用、诊断一、填空题9．定义运算“@”的运算法则为：,4@+=xy y x 则(2@6)@6=______．10．已知矩形的长为cm 52，宽为cm 10，则面积为______cm 2．11．比较大小：(1)23_____32；(2)25______34；(3)－22_______－6． 二、选择题12．若b a b a -=2成立，则a ，b 满足的条件是( )．A ．a ＜0且b ＞0B ．a ≤0且b ≥0C ．a ＜0且b ≥0D ．a ，b 异号13．把4324根号外的因式移进根号内，结果等于( )． A ．11- B ．11C ．44-D ．112三、解答题14．计算：(1)=⋅x xy 6335_______；(2)=+222927b a a _______；(3)=⋅⋅21132212_______； (4)=+⋅)123(3_______．15．若(x －y ＋2)2与2-+y x 互为相反数，求(x ＋y )x 的值．拓广、探究、思考16．化简：(1)=-+1110)12()12(________；(2)=-⋅+)13()13(_________．测试3 二次根式的乘除(二)学习要求会进行二次根式的除法运算，能把二次根式化成最简二次根式．课堂学习检测一、填空题1．把下列各式化成最简二次根式：(1)=12______；(2)=x 18______；(3)=3548y x ______；(4)=xy______； (5)=32______；(6)=214______；(7)=+243x x ______；(8)=+3121______． 2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：23 与.2(1)32与______； (2)32与______；(3)a 3与______； (4)23a 与______； (5)33a 与______． 二、选择题 3．xx x x -=-11成立的条件是( )． A ．x ＜1且x ≠0 B ．x ＞0且x ≠1C ．0＜x ≤1D ．0＜x ＜14．下列计算不正确的是( )． A ．471613= B ．xy x x y 63132= C ．201)51()41(22=-D ．x x x3294= 5．把321化成最简二次根式为( )． A ．3232 B ．32321C ．281 D ．241 三、计算题 6．(1);2516 (2);972(3);324 (4);1252755÷-(5);1525 (6);3366÷(7);211311÷(8).125.02121÷综合、运用、诊断一、填空题7．化简二次根式：(1)=⨯62________(2)=81_________(3)=-314_________ 8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： (1)=51_______(2)=x 2_________(3)=322__________(4)=y x5__________ 9．已知,732.13≈则≈31______；≈27_________．(结果精确到0．001) 二、选择题 10．已知13+=a ，132-=b ，则a 与b 的关系为( )． A ．a =b B ．ab =1C ．a =－bD ．ab =－111．下列各式中，最简二次根式是( )．A ．yx -1B ．ba C ．42+x D ．b a 25三、解答题12．计算：(1);3b a ab ab ⨯÷ (2);3212y xy ÷(3)⋅++ba b a13．当24,24+=-=y x 时，求222y xy x +-和xy 2＋x 2y 的值．拓广、探究、思考14．观察规律：,32321,23231,12121-=+-=+-=+……并求值．(1)=+2271_______；(2)=+10111_______；(3)=++11n n _______．15．试探究22)(a 、a 与a 之间的关系．测试4 二次根式的加减(一)学习要求掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算．课堂学习检测一、填空题1．下列二次根式15,12,18,82,454,125,27,32化简后，与2的被开方数相同的有______，与3的被开方数相同的有______，与5的被开方数相同的有______．2．计算：(1)=+31312________； (2)=-x x 43__________．二、选择题3．化简后，与2的被开方数相同的二次根式是( )． A ．10B ．12C ．21 D ．61 4．下列说法正确的是( )．A ．被开方数相同的二次根式可以合并B ．8与80可以合并C ．只有根指数为2的根式才能合并D ．2与50不能合并5．下列计算，正确的是( )． A ．3232=+B ．5225=-C ．a a a 26225=+D ．xy x y 32=+ 三、计算题6．.48512739-+ 7．.61224-+8．⋅++3218121 9．⋅---)5.04313()81412(10．.1878523x x x +- 11．⋅-+xx x x 1246932综合、运用、诊断一、填空题12．已知二次根式b a b +4与b a +3是同类二次根式，(a ＋b )a 的值是______．13．3832ab 与b a b 26无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”) 二、选择题14．在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( )．A ．a 2B ．23aC ．3aD ．4a三、计算题 15．.)15(2822180-+-- 16．).272(43)32(21--+17．⋅+-+bb a b a a124118．.21233ab bb a aba bab a-+-四、解答题19．化简求值：y y xy xx 3241+-+，其中4=x ，91=y ．20．当321-=x 时，求代数式x 2－4x ＋2的值．拓广、探究、思考21．探究下面的问题：(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．①322322=+（ ） ②833833=+（ ）③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） (2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n 的式子将规律表示出来，并写出n 的取值范围．(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．测试5 二次根式的加减(二)学习要求会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．课堂学习检测一、填空题1．当a =______时，最简二次根式12-a 与73--a 可以合并． 2．若27+=a ，27-=b ，那么a ＋b =______，ab =______．3．合并二次根式：(1)=-+)18(50________；(2)=+-ax xax45________． 二、选择题4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )． A ．ab 与2abB mn 与nm 11+ C ．22n m +与22n m - D ．2398b a 与4329b a5．下列计算正确的是( )． A ．b a b a b a -=-+2))(2( B ．1239)33(2=+=+C ．32)23(6+=+÷D ．641426412)232(2-=+-=- 6．)32)(23(+-等于( )． A ．7 B ．223366-+- C ．1D ．22336-+三、计算题(能简算的要简算) 7．⋅-121).2218( 8．).4818)(122(+-9．).32841)(236215(-- 10．).3218)(8321(-+11．.6)1242764810(÷+- 12．.)18212(2-综合、运用、诊断一、填空题13．(1)规定运算：(a *b )=｜a －b ｜，其中a ，b 为实数，则=+7)3*7(_______．(2)设5=a ，且b 是a 的小数部分，则=-ba a ________．二、选择题14．b a -与a b -的关系是( )． A ．互为倒数 B ．互为相反数 C ．相等D ．乘积是有理式15．下列计算正确的是( )．A ．b a b a +=+2)(B ．ab b a =+C ．b a b a +=+22D ．a aa =⋅1三、解答题 16．⋅+⋅-221221 17．⋅--+⨯2818)212(218．.)21()21(20092008-+ 19．.)()(22b a b a --+四、解答题20．已知,23,23-=+=y x 求(1)x 2－xy ＋y 2；(2)x 3y ＋xy 3的值．21．已知25-=x ，求4)25()549(2++-+x x 的值．拓广、探究、思考22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，63+与63-互为有理化因式． 试写下列各式的有理化因式： (1)25与______；(2)y x 2-与______；(3)mn 与______； (4)32+与______； (5)223+与______；(6)3223-与______．23．已知,732.13,414.12≈≈求)23(6-÷．(精确到0.01)答案与提示第十六章 二次根式测试11．a ≥－1．2．<1， >－3．3．x <－2．4．(1)7； (2)7； (3)7； (4)－7； (5)0.7； (6)49． 5．C ． 6．B ． 7．D ． 8．D ．9．(1)x ≤1；(2)x ＝0；(3)x 是任意实数；(4)x ≤1且x ≠－2．10．(1)18；(2)a 2＋1；(3);23- (4)6．11．x ≤0． 12．x ≥0且⋅=/21x 13．±1． 14．0． 15．B ． 16．D ． 17．(1)π－3．14；(2)－9；(3);23 (4)36． 18．21-或1．19．0． 20．提示：a ＝2，b ＝3，于是1<c <5，所以c ＝2，3，4．测试2 1．x ≥0且y ≥0．2．(1);6 (2)24；(3)－0.18．3．(1)42；(2)0.45；(3).53- 4．B ． 5．B ． 6．B ．7．(1);32 (2)45； (3)24； (4);53 (5);3b(6);52(7)49； (8)12； (9)⋅y xy 263 8．.cm 629．.72 10．210． 11．(1)>；(2)>；(3)<． 12．B ． 13．D ．14．(1);245y x (2);332b a + (3) ;34 (4)9． 15．1． 16．(1);12- (2).2测试31．(1);32 (2);23x (3);342xy y x (4);xxy (5);36 (6);223 (7);32+x x (8)630． 2．.3)5(;3)4(;3)3(;2)2(;3)1(a a 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．.4)8(;322)7(;22)6(;63)5(;215)4(;22)3(;35)2(;54)1(-7．⋅-339)3(;42)2(;32)1( 8．⋅y y x x x 55)4(;66)3(;2)2(;55)1( 9．0.577，5.196． 10．A ． 11．C ． 12．.)3(;33)2(;)1(b a x bab+ 13．.112;2222222=+=+-y x xy y xy x 14．.1)3(;1011)2(;722)1(n n -+--15．当a ≥0时，a a a ==22)(；当a <0时，a a -=2，而2)(a 无意义．测试41．.454,125;12,27;18,82,32 2．(1).)2(;33x3．C ． 4．A ． 5．C ． 6．.33 7．.632+ 8．⋅827 9．.23+ 10．.214x 11．.3x 12．1． 13．错误． 14．C ． 15．.12+ 16．⋅-423411 17．.321b a + 18．0．19．原式,32y x+=代入得2． 20．1． 21．(1)都画“√”；(2)1122-=-+n n nn n n (n ≥2，且n 为整数)；(3)证明：⋅-=-=-+-=-+111)1(1223222n nn n n n n n n n n n 测试51．6． 2．.3,72 3．(1);22 (2) .3ax - 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．⋅668．.1862-- 9．.3314218-10．⋅417 11．.215 12．.62484-13．(1)3；(2).55-- 14．B ． 15．D ． 16．⋅-4117．2． 18．.21- 19．ab 4(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．20．(1)9； (2)10． 21．4．22．(1)2； (2)y x 2-； (3)mn ； (4)32-； (5)223-； (6)3223+(答案)不唯一． 23．约7.70．。
专题5.21 分式与分式方程(中考真题专练)(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.21分式与分式方程（中考真题专练）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．（2022·山东济南·统考中考真题）若m －n ＝2，则代数式222m n m m m n-⋅+的值是（）A ．－2B ．2C ．－4D ．42．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若关于x 的方程131mx x -=-无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或33．（2022·广西玉林·统考中考真题）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是()A ．①B ．②C ．③D ．①或②4．（2022·四川南充·中考真题）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A B ．CD ．5-5．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知0b a >>，则分式a b 与11a b ++的大小关系是（）A ．11a ab b +<+B ．11a ab b +=+C ．11a ab b +>+D ．不能确定6．（2021·山东济宁·统考中考真题）计算2454(1)a a a a a--÷+-的结果是（）A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+D ．2a a+7．（2021·河北·统考中考真题）由1122c c +⎛⎫- +⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c =时，12A ≠C ．当2c <-时，12A >D ．当0c <时，12A <8．（2022·重庆·统考中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．209．（2022·重庆·统考中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1310．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（）A ．3030201.2x x -=B ．3030 1.220x x -=-C ．3030201.2x x-=D ．30301.220x x-=-二、填空题11．（2021·山东淄博·统考中考真题）若分式13m-有意义，则m 的取值范围为______．12．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算：2x y yx y x y+---＝_________．13．（2022·四川自贡·统考中考真题）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++＝____________．14．（2021·内蒙古·统考中考真题）化简：2211()422m m m m +÷=--+_____．15．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的分式方程11222k x x--=--的解是正数，则k 的取值范围是______．16．（2022·山东济南·统考中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______．17．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x 的方程111(1)x a x x x x ++=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．18．（2022·北京·统考中考真题）方程215x x=+的解为___________．19．（2022·四川泸州·统考中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．20．（2022·重庆·统考中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．三、解答题21．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）先化简，简求值：22234+4243x xx x x x x x -÷--+++，其中212x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．22．（2022·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：（2x x -﹣1）÷22444x x x --+，其中x ＝﹣4．23．（2022·湖南郴州·统考中考真题）先化简，再求值：2212ab b a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭，其中1a ，1b =．24．（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值：25244 111a a aaa a+++⎛⎫+-÷⎪++⎝⎭，其中11|2|2a-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．25．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？26．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同．(1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？参考答案1．D【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．解：原式m n m n m +-=（）（）•2mm n+＝2（m -n ），当m -n ＝2时，原式＝2×2＝4．故选：D ．【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．2．B【分析】先将分式方程化成整式方程(3)2m x -=-，再分①整式方程(3)2m x -=-无解，②关于x 的方程131mx x -=-有增根两种情况，分别求解即可得．解：将方程131mx x -=-化成整式方程为133mx x -=-，即(3)2m x -=-，因为关于x 的方程131mx x -=-无解，所以分以下两种情况：①整式方程(3)2m x -=-无解，则30m -=，解得3m =；②关于x 的方程131mx x -=-有增根，则10x -=，即1x =，将1x =代入(3)2m x -=-得：32m -=-，解得1m =；综上，m 的值为1或3，故选：B ．【点拨】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．3．B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．解：22242(2)x x x x --++=()()222224(2)2x x x x x +--++=()2222442x x x x +-++=()222(2)x x ++=1；故选B ．【点拨】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．4．B【分析】先将分式进件化简为a bb a+-，然后利用完全平方公式得出a b -=，a b +，代入计算即可得出结果．解：2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222a b b a ab a b +-⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭()()()22222a b a b a b b a b a +=⨯+-a bb a+=-，∵223a b ab +=，∴222a ab b ab -+=，∴()2a b ab -=，∴a b -=∵223a b ab +=，∴2225a ab b ab ++=，∴()25a b ab +=，∴a b +∴=，故选：B ．【点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．5．A【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．解：()()()()111111a b b a a a a b b b b b b b +-++--==+++，∵0b a >>，∴()1011a a a b b b b b +--=<++，∴11a ab b +<+，故选：A ．【点拨】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．6．A【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．解：2454(1)a a a a a --÷+-24(1)(54)a a a a a a-+--=÷()()22254a a a a a aa+-+-+=÷()()()2222a a aa a +-=⋅-22a a +=-．故选：A ．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键．7．C【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- +⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．解：11=224+2c cc c+-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意；当0c =时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意；当2c <-时，04+2cc >，12A >，故C 选项正确，符合题意；当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2cc >，12A >，故D 选项错误，不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．8．A【分析】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．解：由分式方程的解为整数可得：313x a x x ---=-解得：2=-x a 又题意得：20a ->且23a -≠∴2a >且5a ≠，由()922y y +≤+得：5y ≥由213y a ->得：32ay +>∵解集为5y ≥∴352a+<解得：7a <综上可知a 的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A ．【点拨】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．9．D【分析】根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．解：∵411351x x x a -⎧-≥⎪⎨⎪-⎩①＜②，解①得解集为2x ≤-，解②得解集为15a x +＜，∵不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，∴125a +-＞，解得a ＞-11，∵1211y a y y -=-++的解是y =13a -，且y ≠-1，1211y a y y -=-++的解是负整数，∴a ＜1且a ≠-2，∴-11＜a ＜1且a ≠-2，故a =-8或a =-5，故满足条件的整数a 的值之和是-8-5=-13，故选D ．【点拨】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键．10．A【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x 万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．解： 实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x 万人，∴实际每天接种1.2x 万人，又 结果提前20天完成了这项工作，3030201.2x x∴-=．故选：A ．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．11．3m ≠【分析】利用分式有意义的条件可得3−m ≠0，再解即可．解：由题意得：3−m ≠0，解得：m ≠3，故答案为：m ≠3．【点拨】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．1【分析】根据分式加减法的性质计算，即可得到答案．解：2x y yx y x y+---2x y y x y +-=-x y x y-=-1=故答案为：1．【点拨】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．13．2aa +【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．解：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++=2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++22222a a a a a -=+=+++故答案为2aa +【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．14．1【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．解：2211(422m m m m +÷--+=2211(422m m m m -÷--+=()()22224m m m m -+⨯+-=()()()2222m m m m ⨯++--=1．故填1．【点拨】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．15．4k <且0k ≠【分析】根据题意，将分式方程的解x 用含k 的表达式进行表示，进而令0x >，再因分式方程要有意义则2x ≠，进而计算出k 的取值范围即可．解：2(2)11x k -+-=420x k --=42kx -=根据题意0x >且2x ≠∴402422k k -⎧>⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩∴40k k <⎧⎨≠⎩∴k 的取值范围是4k <且0k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．16．7【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x 的值即可．解：∵代数式32x +与代数式21x -的值相等，∴3221x x =+-，去分母()()3122x x -=+，去括号号3324x x -=+，解得7x =，检验：当7x =时，()()210x x +-≠，∴分式方程的解为7x =．故答案为：7．【点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．1a <且0a ≠【分析】把a 看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x 的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．解：由111(1)x a x x x x ++=++得1x a =-， 关于x 的方程111(1)x a x x x x ++=++的解为负数，∴001x x x <⎧⎪≠⎨⎪≠-⎩，即101011a a a -<⎧⎪-≠⎨⎪-≠-⎩，解得110a a a <⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，即1a <且0a ≠，故答案为：1a <且0a ≠．【点拨】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．18．x =5【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．解：215x x=+方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5,解得：x =5,经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0.故答案为：x =5.【点拨】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根.19．1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可．解：33122x x x-+=--去分母得：323x x -+-=-解得：1x =经检验，1x =是分式方程的解把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点拨】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．20．35【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．解：设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ．∴425336x a x a +=+，∴3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=，设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∴()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+，∴:5:4m n =，∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n⋅-⋅-=++⋅+，故答案为：35．【点拨】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．21．x ，4【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x 的值，代入即可．解：22234+4243x x x x x x x x -÷--+++()()()()2222332x x x x x x x x +--=×+++-2233x x x x x +=+++()33x x x +=+x =2142x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，当4x =时，原式=4【点拨】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．22．2,12x -+【分析】先将能够分子分母因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x 的值带去即可．解：原式＝2(2)(2)2(2)(2)x x x x x x -----+ ＝2222x x x --+＝22x +当x ＝﹣4时，原式＝242-+＝﹣1．【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键．23．ab ，4【分析】把分母分解为()()22a b a b a b -=+-，利用通分进行括号里分式的计算，再用分式的除法法则进行计算，最后代入求值；解：原式()()()()a b a b ab a b ab ab a b a b a b a b a b+-+=÷=⋅=-+--+．当1a =+，1b =时，原式)114==．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题关键用平方差公式进行因式分解，按照运算法则进行计算．24．22a a -+，15．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值．解：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭22(1)52(2)11a a a a a +--+=÷++22411(2)a a a a -+=⋅++2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=⋅++=22a a -+，当11|2|23223a -⎛⎫=-- =+⎪-⎭=⎝时，原式=3232-+=15．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．25．(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x 元，则第一次采购的平均价格为（x +200）元，第二次采购的平均价格为（x -200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x 元，由题意得，3000005000002200200x x ⨯=+-，解得：2200x =，经检验：2200x =是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；（2）由（1）得，今年的土豆数为：30000033752400⨯=(吨)，设应将m 吨土豆加工成薯片，则应将（375－m ）吨加工成淀粉，由题意得，()237533756058m m m m ≥--+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：150175m ≤≤，总利润为：()700400375300150000m m m +-=+，当175m =时，利润最大，最大利润为：300175150000202500⨯+=（元）．答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．【点拨】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26．(1)一台A 型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B 型收割机平均每天收割小麦3公顷(2)至少要安排7台A 型收割机【分析】（1）设一台A 型收割机平均每天收割小麦x 公顷，则一台B 型收割机平均每天收割小麦(2)x -公顷，然后根据一台A 型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B 型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可；（2）设每天要安排y 台A 型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可．(1)解：设一台A 型收割机平均每天收割小麦x 公顷，则一台B 型收割机平均每天收割小麦(2)x -公顷．根据题意，得1592x x =-，解得5x =经检验：5x =是所列分式方程的根∴2523x -=-=（公顷）．答：一台A 型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B 型收割机平均每天收割小麦3公顷．(2)解：设每天要安排y 台A 型收割机，根据题意，得()531250y y +-≥，解得7y ≥，答：至少要安排7台A 型收割机．【点拨】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．。
综合复习与测试(计算化简求值100题)(基础篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
综合复习与测试（1）（计算化简求值100题）（基础篇）（专项练习）【类型一】二次根式运算1. （1）-（2-2. 计算：（1（2）2+-+．3. 计算：（1++（2）()()(2 11-+-÷4. 计算（1+（2+5. 计算：（1）--．（2）2022 3(1)-+-．6. 计算：（1-+；（2）⨯÷7. 计算：（1）02(3----（2(÷8. 计算：（1-；（2--．9. 计算：（1（2）21)-10. 计算．（1+．（22)(2+-．11. 计算：（12-+；（2）(23+．12. 计算：（1；（2）．13. 计算：（1）))20111122π-⎛⎫+---+-- ⎪⎝⎭；（2）1324-．14. 计算：（1）-+（2）)32+．15. 计算：（10(3)π-；（2+16. 计算：（1）；（2．17. 计算：（1）0()20022π+--；（2）（+-．18. 计算：（1+；（2）202221(3)(6)--+-．19. 计算：（112-；（2）()2771+-+-．20. 计算（1）(-；（2）--．21. 计算：（1⎛-+÷ ⎝（2）((2321+-++22. 计算：（121)-（220220|2|(1)(3)π--+-23. 计算：（1）2||1|5)---++-（2-÷++24. （10(3)|32|π----+；（2）2118844-⨯-÷25. 计算：（1-+；（2+26. 计算（1（2）27. 计算：（1-（2）()022532--+．28. 计算：（1()23--（2）-29. 计算：（1）2+-（2）(222++30. 计算：（1(041-；（2+-31. 计算：（1；（2）（（．32. 计算：（1） +（2） (-+33. 计算：（1（2）(+34. 计算（1）（235. 计算：（1；（2）)21-．36. 计算：（1）（2）⎛- ⎝37. 计算：（1-；（2．38. 计算：（1+（2）39. 计算：（1+（2(101220233-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭40. 计算：（1）；（2．41. 计算；（1）-（2）22-42. 计算下列各式．（1）(+-；（2）2-．43. 化简求值：（1）-+⨯；（2）2-÷44. 计算：（1-+（2+45. 计算：（1）+（2）)(13+-．46. 计算：（1；（2）()031-+--47. 计算：（1）+；（2）2+．48. 计算：（1）（2+．49. 计算：（1）2（2-50. 计算：（1)1|2|+-；（2|1-．【类型二】二次根式的化简求值51. 若,x y 均为实数，且满足91y x +-=，求：2++52. 先化简，再求值：21211x x ++-，其中1x =+．53. 当2x =-54. ，其中5x =，15y =．55. 已知6x =+，6y =-，求下列各式的值：（1）222x xy y -+（2）22x y -．56. 先化简，再求值：2341211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1x =-．57. 先化简，再求值：其中222111a aa a a +⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中1a =+．58. 已知x =， 1y =，求下列各式的值：（1）222x xy y ++，（2）11x y59. 已知a =+，b =222a ab b -+的值．60. 已知，11a b =+=（2）()()11a b ++61. 先化简，再求值：23139x x x ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =+．62. 先化简，再求值：()()()23a b a b ab ab a +---÷，其中a =13b =．63. 先化简，再求值：221111x x x -⎛⎫÷- ⎪--⎝⎭，其中1x =-64. （1）先化简，再求值：2211121x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1x =．（2）解不等式组：()3122235x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩①②，并把它们的解集在数轴上表示出来．65. 先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中1x =．66.已知x y ==（1）222x xy y -+；（2）y x x y+67.已知2a =+，2b =-，求下列代数式的值：（1）222a ab b -+；（2）22a b -．68.已知2x =，2y =+，求下列代数式的值：（1）22x xy y ++；（2）22x y xy +69.已知22a b ==，求下列式子的值：（2）22a b ab ++70. 已知3x =，3y =，求代数式224x xy y ++的值．71. 已知x =y =（1）求x y +的值；（2）求223x xy y ++的值．72. 若1a =- ，1b =+求下列各式的值：（1）22a b -；（2）222a b ab ++．73. 已知x =y =，试求代数式22252x xy y -+的值．74. 12x =-，8y =-．75. 先化简，再求值：()()22a b b a b -+-，其中a =．76. 先化简，再求值：2231x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中1x =+．77. 已知：2a =+，2b =-（1）直接写出：ab =________，a b +=________；（278. 已知a =，b =，求下列各式的值．（1）a b +和ab ；（2）22a ab b ++．79.先化简，再求值：2221122x x x x x x --⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，其中x =．80. ()22y x +-=．（1）求a b -的值；（2）求202112x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值．81. 先化简，再求值：221211x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中1x =+．82. 已知 2x =+， 2y =（1）求22353x xy y ++的值．（2+的值．83. 先化简，再求值：2111222x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭，其中x =．84. 先化简，再求值：22112()2b a b a b a ab b -÷-+++，其中1,1a b =+=-．85. 化简再求值：若x ，y 是实数，且4y =+，求23⎛- ⎝的值．86. 化简求值：（1）已知x y ==求22x xy y ++的值．（2）先化简，再求值222222x y x y x xy y x xy x y ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭其中3x y ==-87. 先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中a =．88. 先化简，再求值：22111x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中1x =+．89. 先化简，再求值：2344214x x x x x ++⎛⎫÷+ ⎪-⎝⎭，其中2x =+．90. 已知22x y ==+.（1）求223x xy y ++的值（2）求y x x y-的值91. 某同学在做这样一道题：“当=a ∙时，试求2”所求得代数式的值为32，该同学的答案是否正确？请说明理由．92. 先化简，再求值：2241244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2a =+．93. 先化简，再求值：22295121693x x x x x x ⎛⎫--+÷- ⎪+++⎝⎭，其中x 3=+．94. 在解决问题“已知a =2361a a --的值”时，小明是这样分析与解答的：∵1a ===+，∴1a -=∴()212a -=，∴2212a a -+=，∴221a a -=，∴2363a a -=，∴23612a a --=．请你根据小明的分析过程，解决如下问题．（1）根据小明的解题过程，化简：m ==______；（2）若a =22121a a -+的值；（3）利用（1）中求得的m 的值，求((265m m -+--的值．95. 先化简，再求值：22121222a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪---⎝⎭＋，其中196. 先化简，再求值：2(1)11a a a a a --÷--，其中a =97. 先化简，再求值：((3)a a a a ---，其中a =．98. 先化简，再求值：2221(1)x x x x x-+÷--，其中x =99. 先化简，再求值：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中1m =+．100.先化简，再求值：22242442x x x x x x --÷+++，其中x =．综合复习与测试（1）（计算化简求值100题）（基础篇）（专项练习）【类型一】二次根式运算【1题答案】【答案】（1）12-；（2）1-【解析】【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）先化简再按照二次根式运算法则计算即可．【详解】（1）-=-=-12（2-==1【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．【2题答案】【答案】（1（2）8【解析】【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再合并即可；（2）先利用平方差公式进行计算，然后再进行加减运算即可【小问1详解】==；【小问2详解】解：2+327=-+=．8【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．【3题答案】【答案】（1-；（2）19-．【解析】【分析】（1）化简二次根式，然后按照二次根式的加减运算法则进行计算即可；（2）先运用平方差公式、二次根式的除法法则、积的乘方进行去括号、化简，然后进行计算即可．【小问1详解】++-=+-=-；【小问2详解】()()(2-+-÷11(22=---118=--⨯-1213418=-．19【点睛】本题考查了平方差公式，二次根式的化简和计算；正确化简二次根式是解题的关键．【4题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可；（2）二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．【小问1详解】-+=【小问2详解】+2⨯=63【点睛】此题考查的是二次根式的加减运算，掌握二次根式的乘法公式：==和合并同类二次根式法则是解决此题的关键．【5题答案】【答案】（1）（2）π【解析】【分析】（1）去括号、合并同类二次根式即可得出结果；（2）根据绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义进行计算即可得出结果．【小问1详解】--=-【小问2详解】20223(1)-+-3531π=-+-+π=【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义、算术平方根的性质、立方根的意义、乘方的意义及同类二次根式的定义是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）0；（2）6．【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先将除变为乘，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【小问1详解】-+==-0=【小问2详解】÷=655⨯=6=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算；熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．【7题答案】【答案】（1）（2）2-【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，非零数的零次幂的计算方法，有理数的加减运算法则即可求解；（2）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，即可求解．【小问1详解】解：02(3---12)1=---=【小问2详解】(+⎛=++ ⎝2=+2=-．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，非零数的零次幂，二次根式的性质，二次根式的混合法则是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）5-；（2）．【解析】【分析】（1）先利用算术平方根对二次根式化简，然后利用有理数的加减混合运算法则进行计算按即可；（2）先去括号，然后合并同类二次根式即可．【小问1详解】-()=-+243=-27-；=5【小问2详解】--=+=【点睛】本题主要考查二次根式化简、二次根式和有理数的加减混合运算法则；熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．【9题答案】【答案】（1）（2）5-【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则，先化简二次根式，再计算；（2）根据平方差公式，完全平方公式先展开，再根据实数的运算法则即可求解．【小问1详解】==．【小问2详解】解：21)--22(51)=---+16=-+5=-．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式，二次根式的混合运算是解题的关键．【10题答案】【答案】（1（2）0【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算；（2）根据二次根式的混合运算进行化简计算即可．【小问1详解】+6+-=+=-=【小问2详解】2)(2+(46)=+-22=-0=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．【11题答案】【答案】（1）2-（2）2+【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先用乘法分配律去括号化简，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】原式13=-+，=2【小问2详解】原式64=+-，2=+【点睛】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．【12题答案】【答案】（1（2）1【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减法即可求解；（2）根据乘法分配律，再根据二次根式的乘法，最后根据二次根式的加减法即可求解．【小问1详解】=-=+==．【小问2详解】解：===32=-1=．【点睛】本题主要考查二次根式的加减乘除的混合运算，熟练掌握二次根式的化简，加减，乘除法运算法则是解题的关键．【13题答案】【答案】（12（2【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【小问1详解】解：原式221411=----5142=---2=-；【小问2详解】解：原式===.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，正确计算是解题的关键．【14题答案】【答案】（1）（2）3-+【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并即可．（2）利用多项式乘法展开，然后再合并即可．【小问1详解】解：原式=-=【小问2详解】解：原式26363=+--=+-=-【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事倍功半．【15题答案】【答案】（1）2-（2）【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简、零指数幂的性质化简，进而计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则化简，进而得出答案．【小问1详解】=原式11=-=--11=-；2【小问2详解】原式3=+-=-=【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．【16题答案】【答案】（1（2）4+【解析】【分析】（1）根据二次根式的化简，加减法即可求解；（2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解．【小问1详解】解：=+-=-=【小问2详解】=+=+4=+4=+．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．【17题答案】【答案】（1）3+（2）0【解析】【分析】（1）根据零指数幂、二次根式的加减运算计算即可；（2）运用平方差公式、二次根式的混合运算计算即可．【小问1详解】原式=123++=+【小问2详解】原式=7340--=．【点睛】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，正确计算是解题的关键．【18题答案】【答案】（1）2 3（2）38【解析】【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．【小问1详解】2=3+(3)+3-2=3；【小问2详解】解：202221(3)(6)-+-+-149(6)(2)=-+⨯+-÷-1363=-++38=．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．【19题答案】【答案】（1）4-（2）5-【解析】【分析】(1）先算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；(2）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答；【小问1详解】解：原式=1432-+⨯=4【小问2详解】解：()2771＋－＋(222271=-+-+494831=-+-+5=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．【20题答案】【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的减法，然后计算二次根式的除法即可得；（2）先分母有理化，再化简二次根式，然后再计算二次根式的加减法即可得．【小问1详解】⨯-⨯解：原式=(23=(-===；【小问2详解】解：原式=-+=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．【21题答案】【答案】（1）（2）7+【解析】【分析】（1）先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．（2）利用完全平方公式，然后去括号，再合并同类二次根式和同类项即可．【小问1详解】⎛-+÷ ⎝132=⨯-=-=【小问2详解】((2321+-++412=-+++7=+【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，混合运算，以及完全平方公式的应用，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键．【22题答案】【答案】（13（2）2【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行二次根式的运算即可．（2）先化简，然后去括号，在合并同类二次根式和同类项即可．【小问1详解】()21=--+原式213=-+-=-【小问2详解】211=+--+原式2112=+--+=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂．【23题答案】【答案】（1）2-（2）1-+【解析】【分析】（1）先算绝对值，去括号，再算加减即可．（2）先进行化简，二次根式的除法运算，二次根式的乘法运算，最后算加减即可．【小问1详解】原式)215=---+-215=+-2.=-【小问2详解】原式32=+-1.=-【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解此题的关键．【24题答案】【答案】（1）3；（2）4【解析】【分析】（1）利用平方根的性质化简，再结合零指数幂的性质以及绝对值的性质化简即可求出答案．（2）利用平方根的性质化简，再根据实数的运算法则即可解答．【详解】解：（10(3)|32|π---+原式51|1|=---511=--3=（2）2118844-⨯-÷原式1188442=-⨯-⨯+⨯8416=--+4=【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【25题答案】【答案】（1）0（2【解析】【分析】(1)首先化简二次根式，然后再计算加减即可；(2)先算乘法，然后再计算加减即可．【小问1详解】-+==0【小问2详解】=【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【26题答案】【答案】（1）+（2）6【解析】【分析】（1）先化简各式，再合并同类二次根式；（2）先化简各式，再进行加减运算．【小问1详解】解：原式=++；【小问2详解】=-+原式523=．6【点睛】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．熟练掌握二次根式的性质，正确的计算，是解题的关键．【27题答案】【答案】（1）-（2）5【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再化简二次根式，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和乘方，再计算加减．【小问1详解】=-+=-；【小问2详解】解：()022532--+-+111499=+-+5=．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．【28题答案】【答案】（1）6-（2）【解析】【分析】（1）分别计算算术平方根，乘方运算，立方根的运算，再合并即可；（2）先化简绝对值，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】()23-+491=--6=-；【小问2详解】==+．【点睛】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，化简绝对值，实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键．【29题答案】【答案】（1）5（2）8-【解析】【分析】（1）先算平方和开方，计算乘法，再合并；（2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算．【小问1详解】解：2+53=+-533=+-5=；【小问2详解】(222++22522=+-+-5243=+-+-8=-．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【30题答案】【答案】（1（2）2【解析】【分析】（1）先算二次根式乘法和零指数幂，再算二次根式的减法即可；（2）先算二次根式乘除法，再化简，然后计算二次根式的加减法即可．【小问1详解】(0411===【小问2详解】-21=+-+=+-+2132=．2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【31题答案】【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算即可；（2）先利用二次根式的性质化简，然后计算减法即可．【小问1详解】-+＝-＝【小问2详解】解：（（+．（＝2-＝203＝7【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【32题答案】【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可；（2）利用平方差计算即可．【小问1详解】+=-+=【小问2详解】(-+((22=-=-2724=3【点睛】本题考查二次根式的运算、平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的性质．【33题答案】【答案】（1）-（2）6【解析】【分析】（1）先化简各数，计算乘法，分母有理化，再合并；（2）利用平方差公式变形，再计算．【小问1详解】==【小问2详解】(+-((22=-=-12186=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简各数．【34题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先算乘法，再算除法；（2）把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【小问1详解】解：==；【小问2详解】=-=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【35题答案】【答案】（1）152（2）3【解析】【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后从左向右依次计算即可．（2）首先化简绝对值，再去括号，然后从左向右依次计算即可．【小问1详解】解：原式1232=++152=【小问2详解】解：原式25=-+3=【点睛】此题主要考查了实数的运算，平方根与立方根的混合运算，熟练掌握平方根的性质以及正确计算是解题的关键．【36题答案】【答案】（1）（2）49【解析】【分析】（1）先利用乘法分配律计算，最后计算加减可得；（2）先算除法，再化简，最后计算加减可得．【小问1详解】解：-=+-=【小问2详解】解：⎛- ⎝=-=-21432=⨯-⨯-3934=9【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则．【37题答案】【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；（2）先算乘除法，再算减法即可．【小问1详解】--1=-⨯-3=--=【小问2详解】=-=-=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【38题答案】【答案】（1）3-（2）5【解析】【分析】（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算；（2）先利用二次根式的乘法和除法运算法则将原式化简，再进行加减运算．【小问1详解】=+3=-3【小问2详解】+÷12=⨯4=+32=．5【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握相应在的运算法则是解题的关键．【39题答案】【答案】（1）+（2）【解析】【分析】（1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可；（2）化简二次根式，再根据负整数指数幂，去绝对值，零指数幂的运算法则计算各项，最后进行加减运算．【小问1详解】解：原式=++=+【小问2详解】解：原式321=-+-+=．【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．【40题答案】【答案】（1）1 （2）6【解析】【分析】（1）根据平方差公式可进行求解；（2）二次根式的除法可进行求解．【小问1详解】解：原式221=-=；【小问2详解】===．解：原式6【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．【41题答案】【答案】（1）-（2）3【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再合并即可解答；（2）运用完全平方公式和二次根式的乘法进行计算，再合并即可解答．【小问1详解】解：=-=【小问2详解】解：22+5210=-++-3=-．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．【42题答案】【答案】（1）6（2）2--【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】(-6=+-6=．【小问2详解】2-2222⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦5232=----2=--【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键．【43题答案】【答案】（1）（2）13【解析】【分析】（1）利用分配律，根据二次根式的乘法进行计算即可求解．（2）根据二次根式的除法进行计算即可求解．【小问1详解】解：⨯==-；【小问2详解】解：2÷=21=-31=．3【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【44题答案】【答案】（1（2）【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【小问1详解】-+=-+=【小问2详解】==【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据二次根式的性质正确化简二次根式．【45题答案】【答案】（1）-（2）2【解析】【分析】（1）化简二次根式后，合并同类二次根式即可；（2）先计算乘法后，再进行加减运算即可．【小问1详解】解：原式=+=【小问2详解】解：原式532=-+--=-【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【46题答案】-【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值即可；（2）首先计算零指数幂、开平方、开立方和绝对值，然后从左往右依次计算，求出算式的值即可．【小问1详解】()935=÷--35=--8=-；【小问2详解】解：()031-+-+3132=+-+3=．【点睛】本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．【47题答案】【答案】（1）（2）10-【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【小问1详解】解：+=-+=；【小问2详解】解：2+5353=-++-10=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【48题答案】【答案】（1）（2）4+【解析】【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的乘法和除法法则计算，再合并同类二次根式．【小问1详解】62=+⨯==【小问2详解】==+4【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．【49题答案】【答案】（1）5 （2）3-+【解析】【分析】（1）先算乘方，开方，再算加减即可；（2）先算开方，去绝对的值符号，再算加减即可．【小问1详解】解：2+94=-5=；【小问2详解】++12=--++3=-+【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【50题答案】【答案】（1）5（2）3【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法、绝对值的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【小问1详解】)12|++32=5=；【小问2详解】|1|-371=-+-+-3=．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．【类型二】二次根式的化简求值【51题答案】【答案】3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x 的值，继而求得y 的值，将式子2++x 、y 的值代入即可得到最后结果．【详解】4040x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：4x =， 解得：13y =，2++=++，=+，代入结果3=．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件和二次根式的化简，二次根式被开方数必须是非负数是解答本题的关键．【52题答案】【答案】11x -【解析】【分析】通分后进行分式加法计算，然后代入x 求值即可．【详解】解：原式()()()()121111x x x x x -=++-+-()()111x x x +=+-11x =-，当1x =+时，原式==．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式加法的计算法则．【53题答案】【答案】1【解析】【分析】根据二次分式的性质即可求解．【详解】解：当2x =-时，1==．【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解．【54题答案】【答案】-【解析】【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．===-，当5x =，15y =时，原式=-=【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【55题答案】【答案】（1）144（2）【解析】【分析】（1）先计算x y -，然后根据完全平方公式因式分解，然后代入即可求解；（2）计算,x y x y +-，然后根据平方差公式因式分解，代入进行计算即可求解．【小问1详解】解：∵6x =+，6y =-，∴)6612x y -=--=，∴222x xy y -+()2212144x y =-==；【小问2详解】解：∵6x =+，6y =-，∴)6612x y -=--=，66x y +=+-=，∴()()2212x y x y x y -=+-=⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，公式法因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【56题答案】【答案】11x +【解析】【分析】化简时先算括号，再算除法，化为最简分式后，将x 的值代入计算即可．【详解】解：2341211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭()2314111x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++⎝⎭+()23311x x x x --=÷++()23131x x x x -+=⨯-+11x =+，当1x =-时，原式11x ===+【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，将结果化为最简分式是解题的关键．本题还考查了二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键．【57题答案】【答案】31a -【解析】【分析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．【详解】解：原式()()()()22211111a a a a a a a a⎡⎤-++=+⨯⎢⎥+-+-⎣⎦()()3111a a a a a+=⨯+-31a =-；∵1a =，∴31a ==-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简求值及分母有理化是解题的关键．【58题答案】【答案】（1）12（2）-1【解析】【分析】（1）将所求式子因式分解得到222)2(x xy y x y =+++，再将已知代入即可；。
专题5.25 分式的化简与求值100题(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.25分式的化简与求值100题（巩固篇）（专项练习）1．计算：(1)22421x x x --+；(2)222228224x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--⎝⎭．2．先化简22211(1)11x x x x x x -+-÷-++-，然后从2-，1-，0，1选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．3．先化简，再求值：2222144121426a a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中34a =-．4．先化简，再求值：22111,211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭其中x 的值从22x -<<的整数解中选取．5．先化简，再求值：22226951222a ab b b a b a ab a b a ⎛⎫-+÷--- ⎪--⎝⎭，其中,a b 满足51a b a b +=⎧⎨-=⎩．6．先化简，再求值：22691(122a a a a a -+÷---，请从0、1、2、3中选一个适合的数作为a 的值代入求值．7．先化简，再求值：2169122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =．8．先化简，再求值：111a a a b b a b -⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，其中3a =，13b =．9．化简(1)2223m n m n m n --+-；(2)2344111a a a a a ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭10．求值：(1)已知3x y -=-，2xy =，求33222x y xy x y +-的值；(2)先化简532224a a a a -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭，然后从2-，2，3-，3四个数中选取一个合适的数作为a 的值代入求值．11．化简：2241244a a a a a -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，并在2-，0，2中选择一个合适的a 值代入求值．12．已知分式：221221211a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭及一组数据﹣1，0，1．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个合适的数代入a 并求值．13．（1）计算：()211422x x x ⎛⎫+⋅- ⎪-+⎝⎭（2）先化简，再求值：()()()22a b a b a b a +-+-，其中2a =，3b =-．14．（1）化简：()()13122121x x x x x x +⎛⎫÷-+- +-+-⎝⎭（2）化简并求值：233211x x x +---其中13x =-15．王老师在黑板上写了一道题目，计算：22221244x y x y x y x xy y ---÷+++．爱民同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让爱民同学回去认真检查．请你仔细阅读爱民同学的计算过程，帮助爱民同学改正错误．(1)上述计算过程中，哪一步开始．．出现错误？______；（用序号表示）(2)从①到②是否正确？________；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是_______；(3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当()1012023π,22x y -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭时的值．16．先化简，再求值：22244244x x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中从2-，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．17．先化简，再求值：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 在一组未排序的数据7、9、6、a 、8、5中，已知这组数据的极差是6．18．化简求值221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭，其中x 是绝对值不大于2的整数．19．先化简，再求代数式53222m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭的值，其中m 为满足04m <<的整数．20．先化简，再求值．221211221x x x x x x +÷+-+-+，请从不等式组52030x x -≥⎧⎨+>⎩的整数解中选择一个你喜欢的求值．21．先化简，再求值：23211236x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中4x =．22．先化简，再求值：2222339x x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭，其中2x =．23．先化简，再求值：222122244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中2a +．24．化简：2233393969x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从3-，1，3中选一个合适的值代入求解．25．先化简，再求代数式2211333x x x x x -⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭的值，其中4x =-．26．已知实数x 满足510x x -+=，求441x x +的值．27．先化简244224x x x x x -⎛⎫-÷ ---⎝⎭，再从2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．28．先化简22221211x x x x x x x+÷-++++，然后选一个合适的x 值代入，求出代数式的值．29．化简：(1)2y x y x y y x -+--；(2)1211x x x -⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭．30．先化简，再求值：2395222x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中13x =．31．已知代数式22381631a a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭．(1)化简已知代数式；(2)若a 满足410a a--=，求已知代数式的值．32．先化简，再求值：2291()333x x x x x---+ 其中13x =．33．先化简，再求值：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中2m =．34．先化简，再求值：(1)先化简，再求值：22913321x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 满足2220250x x +-=．(2)先化简，再求值：24442244m m m m m m --⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭，在2，3，4中选一个合适的数作为m 的值代入求值．35．化简求值：2222m n n nm n m n m -++--，其中2m =，3n =．36．先化简，再求值：2222422x y x y x xy y x y--÷+++，其中1x =，2y =．37．先化简，再求值：(1)224()2122a a a a a ---+ ，其中1a =；(2)26435()111x x x x ++÷---，其中2x =．38．先化简，再求值：2123121a a a a a -⎛⎫++⋅ ⎪--⎝⎭，其中3a =．39．先化简，再求值：2221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭，请你从22x -<<的整数解中选择—个你喜欢的x 的值代入并求值．40．先化简，再求值：2212111a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中1a =．41．先化简，后求值：22222212a a a a ab a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪--++-⎝⎭⎝⎭，其中1a =，2b =．42．先化简，再求值：2443111x x x x x -+⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中11(3)32x x -=-．43．先化简，再求值．(1)()()2211x x x x x --+-，其中12x =；(2)221112111x x x x x x x-+-÷⋅-+-+，其中12x =．44．先化简，再求值：2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，其中x 是不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩的整数解．45．化简求值，35222x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭，请选择一个你喜欢的数代入求值．46．（1）计算：()()31121xx x x -+-+-；（2）先化简，再求值：2111442a a a a -⎛⎫÷+ -+-⎝⎭，请从1，2，3中选一个合适的数作为a 的值，代入求值．47．（1）计算：2322y x x y ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）先化简：22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从1-，0，1，3中选择一个合适的数作为a 的值代入求值．48．已知230x x --=，求分式2112x x x +-+-的值．49．计算：(1)()()()2412525x x x +-+-(2)22222233a b a ba a ab a b a bb +-⎛⎫⋅-÷ ⎪-+-⎝⎭50．计算：(1)()()1201911|7|20195π-⎛⎫---⨯-+- ⎪⎝⎭；(2)2221211x x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭．51．先化简，再求值：222111x x x x x ++---，其中x 满足不等式组1030x x -≥⎧⎨-<⎩，且x 为整数．52．先化简，再求值：2344111a a a a a -+⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，请在－1、1、2三个数中选择一个合适的整数代入求值．53．先化简211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭；再从1-，0，1x 的值代入求值．54．先化简，再求值：22311244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2022x =．55．化简再求值：2221211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭．其中2x =-．56．先化简，再求值：22212211211m m m m m m m m ++-⎛⎫+÷- ⎪--+-⎝⎭，其中m 满足22m -≤≤，取一个整数即可．57．已知2470m m --=，求代数式2241(1)39m m m m m --++÷+-的值．58．先化简2234244111x x x x x x +++⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，然后在22x -≤≤的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．59．（1）按要求填空：小明计算22142x x x --+的过程如下：解：22142x x x --+()()21222x x x x =-+-+……第一步()()()()222222x x x x x x -=-+-+-……第二步()()2222x x x x --=+-……第三步()()222x x x -=+-……第四步12x =+①小明计算的第一步是___________（填“整式乘法”或“分解因式”）；②计算过程的第___________步出现错误；③直接写出正确的结果是___________．（2）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中2a =60．先化简，再求值：(1)()()()()22525424x x x x x +-+++-，其中x(2)21122a a a a a a a ⎛⎫+-+-÷++⎝⎭其中2a =．61．若0a >，12a M a +=+，23a N a +=+．(1)当5a =时，计算M 、N 的值；(2)猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．62．先化简，再求值：21(1)11aa a +÷--，其中3a =-．63．先化简2211211x xx x x --++++，然后从0，1，1-，2四个数中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．64．先化简：2444122x x x x -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭，然后从2，0，2-中选一个合适的数代入求值．65．先化简分式：211(1)1m m m---），然后在0，1，2中选一个你认为合适的x 的值，代入求值．66．先化简，后求值：2344111x x x x x -+⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．67．先化简，再求值：2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭，并在32a -<<中选取一个使式子有意义的整数代入求值．68．先化简，再求代数式222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ -+--⎝⎭的值，其中0120232a -=+．69．先化简，再求值：2212124a a a a a a a--+÷-+-，其中3a =．70．先化简231122x x x -⎛⎫-+⎪++⎝⎭，再从1，0，2-中选一个使原式有意义的数代入并求值．71．计算：222222322a bb b a a ab b a b a b-+⎛⎫+÷ ⎪-+--⎝⎭72．计算：2244222xx x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭．73．（1）计算：)2112-⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）化简：211(1211x x x ÷-+++74．计算(1)()()()2222-++-x y x y x y (2)22944333x x x x x x --+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭75．计算：212(1)11x xx x --÷++．76．化简求值：211(1)(11x x x -++-，其中12x -=．77．化简：23311x x x -+--．方方的解答如下：3(1)3(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+-+-原式=2(1)(1)(1)x x x -=+-=313(1)(1)x x x x +--+-21x =+方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．78．计算(1)2m n m nn m m n n m-++---(2)23651x x x x x+----79．计算：(1)111a a a +++(2)2211121a a a a a +⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭80．（1）计算：()235423a a a a ⎡⎤⋅+÷⎢⎥⎣⎦；（2）计算：2223m nm n m n --+-81．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题22511x x x +++-，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：甲同学：22511x x x +++-=25(1)(1)(1)(1)x x x x x +++-+-第一步=25(1)(1)x x x +++-第二步=7(1)(1)x x x ++-第三步乙同学：22511x x x +++-=2(1)5(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+-第一步=225x x -++第二步=33x +第三步老师发现这两位同学的解答过程都有错误．(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：22511x x x +++-82．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．22211(1)(1)12122(1)2(1)x x x x x x x x x x --+---=-+++++…第一步1112(1)x x x x --=-++…第二步2(1)12(1)2(1)x x x x --=-++…第三步2(1)(1)2(1)x x x ---=+…第四步2212(1)x x x ---=+…第五步322x x -=+…第六步任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是_________．A ．整式乘法B ．因式分解（2）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是_________．（3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：___________________．任务二：补充正确的解题过程，已知x 是满足x <x 的值代入求值；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议：______________．83．（1）已知1212x x ++-计算结果是(1)(2)mx x x +-，求常数m 的值；（2）已知32A B x x ++-计算结果是34(3)(2)x x x ++-，求常数A 、B 的值．84．先化简，再求值：224242442x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪+++⎝⎭，其中||2x ≤且x 为整数．85．先化简，再求值：22693339()x x x x x x x -+-+÷÷--，其中x 为不等式组40512(1)x x x +>⎧⎨+<-⎩的整数解．86．计算：(1)()()()2224a b a b a b +---(2)22221211x x x x x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+-⎝⎭87．计算：(1)()()()224x y x y x y --+-(2)22442242x x x x x x -+-⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭88．计算：(1)()()()22021032412π5-+⨯---+-；(2)2244311-+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭x x x x x x ．89．先化简，再求值：222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足方程：2250a a --=．90．（1）先化简，再求值2799(1)x x x x x--+-÷，其中5x =-．（2）若114a b -=，求323a b a ab b-+-值．91．（1）计算：()202122022π32π-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求值：222569122x x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后选择一个你喜欢的数代入求值．92．先化简，再求值：2224393a a a a a a -+÷--+，其中a ，2，4为ABC 的三边长，且a 为整数．93．（1）先化简，再求值：24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中4x =．（2）已知113x y -=，求分式2322x xy y x xy y+---的值．94．先化简，再求值(1)222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭，其中a 是满足33a a -=-的最大整数．(2)2311144x x x x x -⎛⎫--⋅ ⎪--+⎝⎭，其中3x =-95．计算：(1)()2332y y xy x x-÷⋅．(2)先化简：312224a a a a +⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭，再从12a -≤≤的整数中选取一个你喜欢的a 的值代入求值．96．计算：(1)21x y x y -+-．(2)21111m m m ⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭．97．先化简，再求值：2144111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，从2-，1-，1中选择合适的a 的值代入求值．98．化简：2121442x x x x x +÷-⎛⎫ ⎝+++⎭+，再从1，0，1-，2-中选一个喜欢的数求值．99．先化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，从不等式组()3421213212x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩的整数解中，选取一个你最喜欢的x 的值代入求值．100．计算：(1)2221651565a a a a a a a a a --+⋅÷++++；(2)29(2)33666x x x x x x --+--+-．参考答案1．(1)22x x -(2)22x +【分析】（1）利用提公因式和平方差公式进行计算即可；（2）利用提公因式和平方差公式进行计算即可．解：（1）22421x x x--+()()()42111x x x x =-+-+()()()42111x x x x x --=+-()()2211x x x x +=+-22x x=-；（2）222228224x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪--⎝⎭()()22222228224x x x x x x x +-⎡⎤+=-÷⎢---⎣⎦()()()2222222244x x x x x x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭-+-+()()()22222244x x x x x +-⋅-+=+22x +=．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练运用分式运算法则和平方差公式是解题的关键．2．1x-；当2x =-时，原式12=【分析】原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果，再根据分式有意义的条件，取2x =-代入求解即可．解：原式2(1)1[(1)](1)(1)1x x x x x x --=÷--+-+2(1)1[(1)](1)(1)1x x x x x x --=÷--+-+11(1)(1)11x x x x x x ----+=÷++211111x x x x x -+=⋅+--+211111x x x x x -+=⋅+--+1(1)x x x -=--1x=-，当=1x -，0，1时，原式没有意义；当2x =-时，原式12=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握因式分解和分式的性质是解题的关键．3．321a a +，92【分析】根据分式混合运算，先化简，再将34a =-代入化简后的代数式求值即可得到答案．解：2222144121426a a a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()222121212216a a a a a a ⎡⎤+=-÷⎢⎥--⎣⎦()()()22241622122121a a a a a a a ⎡⎤=-⨯⎢⎥--+⎣⎦()()22241622121a a a a a -=⨯-+22(21)(21)62(21)(21)a a a a a a +-=⨯-+321a a =+，当34a =-时，原式339432214⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则化简是解决问题的关键．4．1x x--，当1x =时，原式0=．【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件结合不等式组选取合适的值代值计算即可．解：22111211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭()()()2111111x x x x x +-=--÷++()()()21111x x x x x +--=÷++()()()21111x x x x x +-+=-+1x x -=-∵22x -<<的整数解为1-，0，1，其中只有1能使得原分式有意义，∴当1x =时，原式0=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键．5．23a b-+，29-【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a ，b 的值代入计算即可．解：原式()()()()223512222a b b a a b a b a ab a b -+--=÷---()()()()2321233a b a b a a b b a b a a--=⋅--+-()313a b a b a a -=--+23a b=-+，∵51a b a b +=⎧⎨-=⎩，∴32a b =⎧⎨=⎩，∴原式22233329a b =-=-=-++⨯．【点拨】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．6．3a a-，2-【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a 的值，代入计算即可．解：原式2(3)21()(2)22a a a a a a --=÷----2(3)2·(2)3a a a a a --=--3a a-=，∵0a ≠，20a -≠，30a -≠，∴0a ≠、2、3，当1a =时，原式1321-==-．【点拨】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．7．11;32x -【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2169122x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭=()2321233x x x x x --⨯=---，当5x =时，1113532x ==--．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．8．a b，9【分析】先通分计算括号里的，再算乘除，最后算加减并化到最简，将字母值代入即可得到答案；解：原式111a a b a a a a b ab b b b--+-=⨯+==-当3a =，13b =时，原式3913==．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是在化简时要化到最简及注意符号选取．9．(1)1m n -；(2)22a a -+．【分析】（1）根据异分母分式的减法化简即可；（2）根据分式的加减乘除混合运算化简即可．（1）解：()()222323m n m n m n m n m n m n m n ---=-+-++-()()()()()()23223m n m n m n m nm n m n m n m n -----+==+-+-()()1m n m n m n m n +==+--；（2）解：()()()22311344111112a a a a a a a a a a --++++⎛⎫-+÷=⋅ ⎪+++⎝⎭+()()()222222a a a a a +--==++．【点拨】本题考查分式的加减乘除混合运算，掌握分式的加减乘除混合运算法则正确化简是解题的关键．10．(1)18(2)26a +，当2a =时，原式10=；当3a =-时，原式0=【分析】（1）先进行因式分解，再代值计算即可；（2）先运算分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．（1）解：∵3x y -=-，2xy =，∴()233222x y xy x y xy x y =+--()223=⨯-18=；（2）解：原式()2224523a a a a +--=⋅+-()2293a a -=-26a =+；∵20,30a a +≠-≠，∴2,3a a ≠-≠，当2a =时，原式10=；当3a =-时，原式0=．【点拨】本题考查因式分解，分式的化简求值．熟练掌握因式分解的方法，以及分式的运算法则，是解题的关键．11．22a+，1【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．解：原式22a a a-+=-•()()2(2)2222a a a a -=-+-•()()2(2)22a a a --+22a =+，当2a =-或2时，原式没有意义；当0a =时，原式220==+1．【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．21a a+，当1a =时，原式12=【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定a 的值，最后代值计算即可．解：221221211a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭()()21211211a a a a a a a ⎡⎤--=-⋅⎢⎥+-+⎢+⎥⎣⎦()()22221221111a a a a a a a a a ⎡⎤--=-⋅⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦()2212111a a a a a -=+⋅-+21a a=+，∵分式要有意义，∴()10210a a a ⎧+≠⎨-≠⎩，∴0a ≠且1a ≠-且12a ≠，∴当1a =时，原式2111112a a ===++．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．13．（1）2x ；（2）22ab b -，24-【分析】（1）先算括号里面，再算乘法即可；（2）先展开各项，再合并同类项，最后代入求值即可．解：（1）()211422x x x ⎛⎫+⋅- ⎪-+⎝⎭()()()()()()22222222x x x x x x x x ⎛⎫+-=+⋅-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭()()()()22222x x x x x =⋅-+-+2x =；（2）()()()22a b a b a b a +-+-222222a ab ab b ab a =+--+-22ab b =-当2a =，3b =-时，原式()()222232324ab b =-=⨯--⨯-=-．【点拨】本题考查了分式的化简，整式的化简求值，熟记相关运算法则及运算顺序是解题的关键．14．（1）21x x -；（2）11x -，34-【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先约分，然后根据同分母分式减法化简，最后代值计算即可．解：（1）()()13122121x x x x x x +⎛⎫÷-+- ⎪+-+-⎝⎭()()2143121221x x x x x x x⎛⎫+-=÷+- ⎪+-++-⎝⎭()()214312121x x x x x x +-+=÷-+-+-()()21112121x x x x x x+-=÷-+-+-()()()()11112121x x x x x x x +-+=÷-+-+-()()()()12121111x x x x x x x ++=⋅-+-+--()21111x x =+--2111x x +-=-21x x =-；（2）233211x x x +---()()()312111x x x x +=-+--3211x x =---11x =-，当13x =-时，原式131413==---．【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键．15．(1)①(2)否；错用去括号法则(3)25-【分析】（1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误；（2）去括号时，出现错误；（3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x 的值，将,x y 的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可．（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，爱民同学第①步先算的减法，∴从第①步开始出现错误；故答案为：①；（2）解：在去括号时，括号前面是“-”号，括号里面的每一项都要变号，爱民同学括号里的第二项没有变号，出现错误，∴从①到②不正确，错用去括号法则；故答案为：否，错用去括号法则；（3）解：原式()()()2212x y x y x y x y x y +-=-++-21x y x y +=-+2x y x y x y x y++=-++2x y x yx y+--=+y x y=-+；∵()1012023π213,22x y -⎛⎫=+-=+== ⎪⎝⎭，∴原式22325-==-+．【点拨】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．16．244x x+，54【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．解：原式22244244x x x x x x --⎛⎫=+⨯ ⎪+-⎝⎭()()22244244422x x x x x x xx x --=⨯+⨯+-+-()2142x x -=+244444x x x x x-+=+244x x+=2x ≠± ，0，∴当1x =时，原式21441+=⨯54=．【点拨】本题考查分式化简求值，解题的关键是明确分式加法和除法的运算法则，注意：分式取值一定要使分式有意义．17．1a --，当11a =时，原式12=-；当3a =时，原式4=-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据极差的定义求出a 的值，最后代值计算即可．解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭()()2211341121a a a a a a a -+⎡⎤-=-÷⎢⎥++++⎣⎦()()()()22223111a a a a a --=÷+-++()()()2214122a a a a a +-=⋅++-()()()()()2222211a a a a a a +=⋅++--+1a =--；当数据7、9、6、a 、8、5中a 为最大值时，则56a -=，即11a =，当11a =时，原式11112=--=-；当数据7、9、6、a 、8、5中a 为最小值时，则96a -=，即3a =，当3a =时，原式314=--=-．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，极差，正确计算是解题的关键．18．21x x +；16【分析】先将分式的分子分母因式分解来化简，然后x 取值要避免取到使得分式分母为0的整数．解：221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭(1)(1)(2)(2)31(2)221x x x x x x x x x -+-+⎡⎤=÷+-⎢⎥++++⎣⎦2(1)(1)(4)31(2)21x x x x x x x ⎡⎤-+-+=÷-⎢+++⎣⎦(1)(1)(1)(1)1(2)21x x x x x x x x -+-+⎡⎤=÷-⎢⎥+++⎣⎦111x x =-+1(1)(1)x x x x x x +=-++1(1)x x =+21x x=+∵x 是绝对值不大于2的整数，∴0x =或1±或±2∵221312221x x x x x x -⎛⎫÷-+- ⎪+++⎝⎭中，0x ≠且1x ≠±且2x ≠-，∴2x =∴原式22111226x x ===++．【点拨】此题考查分式的化简求值，解题关键是将分式因式分解化简，取值时需令值使得分母不为0．19．3m +，4【分析】先把除法变成乘法，再计算括号内的，最后约分化简即可，根据分式有意义的条件结合m 的取值范围确定出m 的值．解：原式(2)(2)5223m m m m m +---=⨯--(3)(3)223m m m m m +--=⨯--3m =+∵53222m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭有意义，∴2m ≠，3m ≠．又∵m 为满足04m <<的整数，∴1m =∴原式134=+=．【点拨】本题考查分式的化简求值，分式的相关运算，以及分式有意义的条件，能够熟练掌握分式有意义的条件是解决本题的关键．20．212x x +；x 取1-时，值为1-，x 取2时，值为18．【分析】先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后算除法，再算加法，即可化简．分别解不等式确定不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件选取合适的x 的值代入求值即可．解：原式21(1)11(2)2x x x x x -=⋅+-++11(2)2x x x x -=+++1(2)x xx x -+=+212x x=+，52030x x -≥⎧⎨+>⎩①②，解不等式①，可得52x ≤，解不等式②，可得3x >-，∴不等式组的解集为532x -<≤，∴不等式组的整数解为2-、1-、0、1、2，又∵2()0x x +≠，10x -≠，∴0x ≠且1x ≠且2x ≠-，∴x 可取1-或2．当x 取1-时，原式211(1)2(1)==--+⨯-，当x 取2时，原式2812212==+⨯．【点拨】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．21．31x -，1【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：23211236x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭()()22322132x x x x x +⎛⎫=-÷ ⎪++⎝-+⎭()()2222133x x x x +-=⋅+-+()()231221x x x x -=⋅++-31x =-，当4x =时，原式3141==-．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．22．3x x+，52【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．解：2222339x x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪---⎝⎭()()()33322x x x x x x +++÷--=()()()33223x x x x x x +-=⋅-++3x x+=，当2x =时，原式23522+==．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．23．12a -，2【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把2a代入化简后的代数式进行计算即可．解：222122244a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()()()()2222222a a a a a a a -++-=-+-12a =-，∵2a =，∴原式=【点拨】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键．24．33x +，当1x =时，原式34=【分析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后从3-，1，3中选择一个使原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．解：原式()()()()()()()23333333333x x x x x x x x ⎡⎤+-=-⋅⎢⎥-+-+-⎢⎥⎣⎦()()()39333x x x -=⋅-+33x =+，当3x =±时，原分式无意义，∴1x =，∴原式33134==+．【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．25．()()322x x -+，3【分析】先算括号内的加法，再把除化为乘，分子分母分解因式约分，化简后将4x =-代入即可得到答案．解：2211333x x x x x -⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭()()()333323x x x x x x x -++=÷-+--()()()33322x x x x x x +-=⋅--()()223x x =-+当4x =-时，原式()()434322-+=-=-【点拨】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的顺序及相关运算的法则．26．527【分析】根据等式的性质求得1x x +的值，然后利用平方差公式求出221x x +的值，再继续利用平方差公式求出441x x +的值．解：由2510x x -+=得0x ≠，∴15x x+=，∴21()25x x+=∴22123x x +=，∴42224211()2232527x x x x +=+-=-=【点拨】此题考查完全平方公式的应用，解题关键是反复使用完全平方公式．27．2x +，当3x =时，原式325=+=【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．解：244224x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()44222x x x x x --=÷-+-()()22424x x x x x +--=⋅--2x =+，∵要使分式244224x x x x x -⎛⎫-÷ ---⎝⎭有意义，∴20x -≠，20x +≠，40x -≠，∴x 不能为2，2-，4，∴取3x =，当3x =时，原式325=+=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．28．()221x x +，1【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分式有意义的条件选择合适的x 的值，代入计算即可解：()()222222121121111x x x x x x x x x x x x x +++÷-=⋅-++++++()()()22222111x x x x x x x x +=-=+++．∵0x ≠且1x ≠-，∴取1x =代入上式，原式1=．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的加减乘除混合运算，正确化简．29．(1)−1(2) 1xx -【分析】（1）根据同分母分式的减法法则进行计算即可；（2）先计算括号内的，再把除法转换为乘法，再进行约分即可得到答案．解：（1）2y x y x y y x -+--2y x y x y x y-=---y xx y-=-＝−1；（2）1211x x x -⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭11=11x x x -⎛⎫- ⎪--⎝⎭2x x -÷2·1x x -=-2x x -1xx =-【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．30．33x x +，310【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2395222x x x x x -⎛⎫÷+- --⎝⎭=()()()33225222x x x x x x x -+-⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭=()()()333322x x x x x x -+-÷--=()()()332233x x x x x x --⨯-+-=33x x +，当13x =时，33x x +=133311033⨯=+．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．31．(1)24a a +(2)1【分析】(1)首先算括号内的及进行因式分解，再把除法运算变为乘法运算，即可求得结果；(2)由题意得24a a =+，再把此式代入化简后的式子，即可求得结果．（1）解：22381631a a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭()()224411a a a a a a ++=÷++()()()24114a a a a a a ++=⨯++24a a =+；（2）解：由410a a--=，得24a a =+，所以，原式22214a a a a ===+．【点拨】本题考查了分式的混合运算，代数式求值问题，准确计算是解决本题的关键．32．1x，3【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：2291(333x x x x x---+ =()29133x x x x -⨯-+=()()()33133x x x x x -+⨯-+=1x ，当13x =时，1x =1313=．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．33．11m -；1【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．解：22111m m m m +-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭=()()2111m m m m m m -+⎛⎫⨯ ⎪+-⎝⎭=()()111m m m m m +⨯+-=11m -，当2m =时，111121m ==--．【点拨】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．34．(1)223x x +-，2022；(2)22m m -+，当3m =时，原式3=-；【分析】（1）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，再代入计算即可；（2）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，由20m -≠，40m -≠确定m 的值再代入计算即可．（1）解：2220250x x +-= ，222025x x ∴+=，22913321x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪---+⎝⎭()2291331x x x x x ⎛⎫-=-÷ ⎪---⎝⎭()2219·31x x x x --=--()()()2331·31x x x x x +--=--()()31x x =+-223x x =+-，当222025x x +=时，原式20253=-2022=；（2）24442244m m m m m m --⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭()24442244m m m m m m --⎡⎤=-+÷⎢⎥--+⎣⎦()()()222444222m m m m m m m ⎡⎤+---=-÷⎢⎥---⎣⎦()222444224m m m m m m -⎛⎫--=-⨯ ⎪---⎝⎭()22244424m m m m m ---+=⨯--()()24224m m m m m --=⨯--()2m m =--22m m =-+，20m -≠ ，40m -≠，2m ∴≠，4m ≠，当3m =时，原式2323=-+⨯3=-．【点拨】本题考查了分式的化简求值；灵活运用公式正确化简求值即可．35．m n m n -+，15【分析】先通分，再加减，化简后，再代入求值即可．解：2222m n n n m n m n m -++--=222()()2()()m mn mn n n m n m n --+++-=2()()m n m n m n -+-（）=m n m n-+．当2m =，3n =时原式=321325-==+．【点拨】本题考查的是分式的化简求值、有理数的混合运算．解题的关键是熟记有理数的混合运算顺序，运算时需要注意符号．36．2x y x y ++，53【分析】利用公式法进行因式分解，然后根据分式的混合运算法则化简，最后代入计算即可．解：原式2(2)(2)2=()2x y x y x y x y x y x y x y+-++⋅=+-+，将1x =，2y =时，原式1225123+⨯==+．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．37．(1)1a ，1(2)21x +，23【分析】（1）根据平方差公式和提取对分式进行化解，再代入求值即可；（2）将分式进行通分化解，将除法换算成乘法，即可对分式进行化解，代入求值即可．（1）解：224()2122a a a a a---+ 222412a a aa =-+-()(2)(2)212a a a a a +-=-+ 1a=当1a =时，原式1=；（2）解：26435()111x x x x ++÷---()()6(1)411135x x x x x ++=⨯--++1635101x x x =⨯+++21x =+当2x =时，原式22213==+．【点拨】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用．38．4a ，12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．解：原式()2213221a a a a a a a --⎛⎫=++⋅ ⎪---⎝⎭()21321a a a a a a --=+⋅--3a a=+4a =，把3a =代入得：原式43=⨯12=．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．39．1x x --；0【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分后得到化简的结果，再确定使分式有意义的x 的整数值，代入计算即可．解：2221121x x x x x x ⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭()()()2221111x x x x x x x +--=++- ()()()21111x x x x x +-=++- 1xx =--∵22x -<<，x 为整数，且1x ≠，1x ≠-∴0x =，∴原式0=．【点拨】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．40．122a +，4【分析】先根据分式的加减运算法则计算括号内，再将除法转化为乘法进行分式乘法运算进行化简原式，再代值求解即可．解：2212111a a a a +⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭()()()211211a a a a a +-+-=⋅+-21112a a a +--=⋅+1112a =⋅+()121a =+122a =+，当1a =时，原式4==．【点拨】本题考查分式的化简求值，熟记平方差公式，掌握分式的混合运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键．41．2a a b-;2-【分析】先算括号内的减法，再把除法转化为乘法来做，通过分解因式，约分化为最简，最后把数代入计算．解：原式＝（()22a a a b a b ---）÷（()()2a a a b a b a b -++-）+1()()()()()222a a b a a a b a a b a b a b ----=÷++--1()()()()()222a a b a a b a b a a b a a b --+-=⨯+---1a b a b +=+-12a a b=-，当12a b ==，时，原式2212==--．【点拨】此题考查的是分式的除法和减法的混合运算，有括号的先算括号，还要注意符号的变化．42．22x x -+；15【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再解方程得出x 的值，最后代入数据求值即可．解：原式22(2)13111x x x x x ⎛⎫--=÷- ⎪---⎝⎭22(2)411x x x x --=÷--2(2)11(2)(2)x x x x x --=⨯-+-22x x -=+，∵11(3)32x x -=-，∴2639x x -=-，解得：3x =，将3x =代入上式得：23212325x x --==++．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．43．(1)22x x -+；0(2)11x x -+；13【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则化简，进而把x 的值代入得出答案；（2）将分式中能分解因式的进行因式分解，再化简求出答案．（1）解：原式=()3223x x x x x --+-，=3232x x x x x ---+，22x x =-+，当12x =时，原式2112022⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭．（2）解：221112111x x x x x x x-+-÷⋅-+-+，2(1)(1)11(1)11x x x x x x x +---=⋅-++ ，11x x-=+；把12x =代入上式得∶原式1112;1312-==+【点拨】此题主要考查了整式及分式的化简求值，正确分解因式进而化简分式是解题关键．44．11x x -+，2【分析】先根据分式的混合运算化简，然后求得不等式的整式解，代入化简结果进行计算即可求解．解：原式()()2342221121x x x x x x x +--+=÷+--+=22(1)(1)(1)2x x x x x +-⋅+-+=11x x -+解不等式组40251x x +>⎧⎨+<⎩得：4-<x 2<-．其整数解为：x 3=-．当x 3=-时，原式=3131---+2=【点拨】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．45．1134x +，【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可．解：35222x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭()35222x x x x 轾-=¸-+犏犏--臌()()2235222x x x x x x 轾+--犏=¸-犏---臌()254322x x x x 轾---犏=¸犏--犏臌()()32233x x x x x --=´--+13x =+．当1x =时，原始14=．【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式与通分．46．（1）12x -+；（2）12a -，1．【分析】（1）根据分式的四则运算求解即可；（2）根据分式的四则运算进行化简，然后代数求解即可．解：（1）()()31121x x x x -+-+-()()()()()()()()()2123121212x x x x x x x x x x +-+=-+-+-+-+()()2232212x x x x x x --++-=-+()()112xx x -=-+12x =-+（2）2111442a a a a -⎛⎫÷+ -+-⎝⎭()21122a a a a --⎛⎫=÷ ⎪-⎝⎭-()21212a a a a --⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭-12a =-，由题意可得：20a -≠，10a -≠∴1a ≠，2a ≠将3a =代入得，原式1132==-．【点拨】此题考查了分式的四则运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算以及分式的有关知识．47．（1）44y x -；（2）26a -；选择0a =时，266a -=-；选择1a =时，264a -=-【分析】（1）先算乘方，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入合适的数，求值即可．解：（1）2322y x x y ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32624y x x y =-⨯44y x =-；（2）22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭()()()221311333a a a a a a a +-⎡⎤-+=-÷⎢⎥---⎣⎦()222312331a a a a a a ---++=⋅-+()()221331a a a a +-=⋅-+()23a =-26a =-，∵30a -≠，10a +≠，∴3a ≠，1a ≠-，如果选择0a =，则原式2066=⨯-=-；如果选择1a =，则原式2164=⨯-=-．【点拨】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．48．225,2x x x x ----2-【分析】先根据230x x --=，得到23-=x x ，再将2112x x x +-+-变形为22412x x x x -----，。
探索数学运算的精华八年级数学下册综合算式专项练习题
探索数学运算的精华八年级数学下册综合算式专项练习题探索数学运算的精华——八年级数学下册综合算式专项练习题一、整数的加减运算1. 求以下整数的和或差：(1) 24 + 18(2) 12 - 28(3) -19 + 7(4) -35 - 14(5) 43 + (-23)(6) -16 - (-9)解答：(1) 24 + 18 = 42(2) 12 - 28 = -16(3) -19 + 7 = -12(4) -35 - 14 = -49(5) 43 + (-23) = 20(6) -16 - (-9) = -72. 计算：(1) 87 + (-35) - 12(2) -18 - 27 + (-61)(3) -16 + 25 - (-38)解答：(1) 87 + (-35) - 12 = 40 + (-12) = 28(2) -18 - 27 + (-61) = -45 + (-61) = -106(3) -16 + 25 - (-38) = -16 + 25 + 38 = 47二、分数的加减运算3. 计算以下分数的和或差：(1) 1/2 + 1/3(2) 3/5 - 2/3(3) 5/8 - 1/4(4) 4/9 + 2/5(5) 7/10 - 3/4解答：(1) 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6(2) 3/5 - 2/3 = 9/15 - 10/15 = -1/15(3) 5/8 - 1/4 = 5/8 - 2/8 = 3/8(4) 4/9 + 2/5 = 20/45 + 18/45 = 38/45(5) 7/10 - 3/4 = 28/40 - 30/40 = -2/40 = -1/20三、小数的加减运算4. 计算以下小数的和或差：(1) 0.6 + 0.3(2) 2.8 - 1.6(3) 0.35 - 0.17(4) 3.1415 + 2.71828(5) 5.23 - 3.15解答：(1) 0.6 + 0.3 = 0.9(2) 2.8 - 1.6 = 1.2(3) 0.35 - 0.17 = 0.18(4) 3.1415 + 2.71828 = 5.85978 (保留五位小数)(5) 5.23 - 3.15 = 2.08四、算式的化简与运算5. 化简以下算式：(1) 2(a - 3) - 4(a - 7)(2) 3(b + 5) - b(2 - 4)(3) 2(c - 6) + 3(8 - c)解答：(1) 2(a - 3) - 4(a - 7) = 2a - 6 - 4a + 28 = -2a + 22(2) 3(b + 5) - b(2 - 4) = 3b + 15 - (-2b) = 5b + 15(3) 2(c - 6) + 3(8 - c) = 2c - 12 + 24 - 3c = -c + 12五、代数式的展开与因式分解6. 展开以下代数式：(1) (x - 2)(x + 5)(2) (2y - 3)^2解答：(1) (x - 2)(x + 5) = x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10(2) (2y - 3)^2 = (2y - 3)(2y - 3) = 4y^2 - 6y - 6y + 9 = 4y^2 - 12y + 9 7. 因式分解以下代数式：(1) 2x^2 + 8x(2) 12x^3 - 18x^2解答：(1) 2x^2 + 8x = 2x(x + 4)(2) 12x^3 - 18x^2 = 6x^2(2x - 3)六、带有括号的四则运算8. 计算以下算式：(1) 3(2 + 5) - 4(1 - 3)(2) 2(3x - 4y) + 5(x - 2y)(3) 4(x + 3)(2x - 5)解答：(1) 3(2 + 5) - 4(1 - 3) = 3 * 7 - 4 * (-2) = 21 + 8 = 29(2) 2(3x - 4y) + 5(x - 2y) = 6x - 8y + 5x - 10y = 11x - 18y(3) 4(x + 3)(2x - 5) = 4 * (2x^2 - 5x + 6x - 15) = 8x^2 - 10x - 60七、算式中的分式运算9. 计算以下算式：(1) (2/3)*(4/5)(2) (3/4)/(5/6)(3) 2/(3/4)解答：(1) (2/3)*(4/5) = 8/15(2) (3/4)/(5/6) = (3/4)*(6/5) = 18/20 = 9/10(3) 2/(3/4) = 2*(4/3) = 8/3八、多项式乘法10. 计算以下多项式的乘积：(1) (x + 3)(x - 2)(2) (2x - 3)(3x + 4)(3) (2x + 1)^2解答：(1) (x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6(2) (2x - 3)(3x + 4) = 6x^2 + 8x - 9x - 12 = 6x^2 - x - 12(3) (2x + 1)^2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x^2 + 2x + 2x + 1 = 4x^2 + 4x + 1综上所述，通过以上精选的综合算式专项练习题，我们可以更好地探索数学运算的精华，提高对整数、分数、小数、代数式和多项式的加减乘除运算的理解与运用能力。
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一- 选择题
1、若代数式 凶 有意义，则实数目的取值范围是（）
2、某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了 2千米，休息0. 5小时后, 用1
小时爬上山顶。
游客爬山所用时间』与山高弓间的函数关系用图形表示是（）
8、如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四条边的中点，要使四边形EFGH 为矩形,
四边形ABCD 应具备的条件是（
）・
（A ） 一组对边平行而另一组对边不平行 （B ）对角线相等 （C ）对角线互相垂直
（D ）对角线互相平分
9、 某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80, 90, 75,
80, 75, 80.下列关于对这组数据的描述错误的是（ ） A.众数是80 B.平均数是80 C.中位数是75 D.极差是15
10. 下列数组中，能构成直角三角形的三边的是（
）
八年级（下）数学基础知识考试试
A ・[3 M1
B. Q >0
C. □ >0
3＞己知平行四边形的一组邻边长分别为6, 8, 是
（）
A. 3 B ・ 7 C ・ 1 0 D. 1 5
4、如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB,点M 、
则该平行四边形的一条对角线长不可能
N 分别在边AD 、BC 上，
连接BM 、DN •若四边形MBND 是菱形，则 区］等于（） A .0 B.g c.g D.g
5. 、下列各式中，一定是最简二次根式的是（
A . a
B . a c. 0 D . □
6、 如图1, 0A 二OB,则点A 所表示的数是（
A ＞ 1.5
B 、凹
C 、2 Ds LJ
7＞已知AABC 的三边长分别为5, 13, 12,则Z\ABC 的面积为（
A 、30
B 、60
C 、78
D 、不能确定
)
A 、 1, 1, a
B 、
C 、0. 2, 0. 3, 0. 5
11、已知：如图1,点G 是BC 的 中点，点H 在AF 上，动点P 秒2 H 的速度沿图1的边线 动，运动路径为： （图1） 相应的AABP 的面积匕J 关 于运动时间S 的函数图像如图2, 若 ㈢ ，则下列结论中：（1）图1中的BC 长是8因；（2）图2中的M 点表示第4秒
时3的值为24 S ；⑶图1中的CD 长是4回；
（4）图2中的 '点表示笫12秒时3的值为18 S ,其中正确的个数有（ ）
A ・1个 B. 2个C. 3个 D. 4个 二、填空题 12、 如图，在Rt △遊中，仞是斜边月万上的中线，已知仞 =2,川7=3,则BC 的长是 __________________ 。
13、 在直解坐标系中，原点0到直线 [K1的距离是一 14、 如图，一次函数EH1 的图象经过仏
B 两点, 则关于X 的不等式㈢的解集是 ______________________ . 15、 对中、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数、 方差计算结果如下：机床甲：3=10, 0 =0.02；机床乙：凶二10, 3 =0.06,由此可知： __________ （填屮或乙）机床性能好. 16、如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5, P 是对角线 A
C 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE//BC 交A3 EI
于E, PF//CD 交AD 于F,则阴影部分的面积是
___________________________________________________
.
17、如图，EK 回分别是平得四边形L2S1的边国、凶 上的点，凶与回相交于点日，回与田相交于点因， 若3A ^ H H , a H S ,则阴影部分的面积 为_______ S
18、当x _______ 时， I =】
19、直角坐标系中，点A (4, 3) , B (0, 1)，点P 是x 轴 上的动点，则当
PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为 _______________________ 三.解
答题
20、计算:(1)
21、先化简再求值：住］—(3 +2—住］)
22、如图所示，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落 在BC 边的点F 处，已知AB=8cm.BC=10cmo 求CE 的长?
23、在AABC 中,ZC=30° , AC=4cm, AB=3cm,求 BC 的长.
24、如图①，直线AB 与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长 度分别为a 、b,且满足a 勺一2ab+b 勺=0.
(1) 判断AAOB 的形状；
(2) 如图②，正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB 交于点Q,过A 、B 两点分别 作AM 丄OQ 于M, BN 丄OQ 于N,若AM=9, BN=4,求MN 的长.
由
A(4,3)
B(0,
p r
第19图
(3) 如图③，E 为AB 上一动点，以AE 为斜边作等腰直角△ ADE, P 为BE 的中点， 连结PD 、PO,试问：线段PD 、PO 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你 的结论
并证明.
25、为了从屮、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在 相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
甲.乙射击成绩统计表
(1)请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折
线图).
(2)如果规定成绩较稳定者胜岀，你认为谁应胜出？说明你的理山.
⑶如果希望⑵中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什
平 均 数
中 位 数
方 差 命中10 环的次数
屮 7
0 乙
1
y
y
v
屮、乙射击成绩折线图。