高三数学教案 数形结合思想

第十三专题 数形结合思想

考情动态分析：

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的.

一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法.

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果.

数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视.

数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越.

第一课时 方程、函数中数形结合问题

一、考点核心整合

利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷.

二、典例精讲：

例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个

C 、3个

D 、无穷多个

例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2

-=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1-

B 、有最大值727-，无最小值

C 、有最大值，无最小值

D 、无最大值，也无最小值

例3 已知0>x ，设:P 函数x

c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围.

例 4 已知0>a ，且方程022

=++b ax x 与方程022

=++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值.

三、提高训练：

（一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞

B 、)1,1(-

C 、),1[]1,(+∞--∞

D 、),1()1,(+∞--∞

2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3

sin(2π

有两个不同的实数解，则实数a 的

取值范围为（ ）

A 、]2,2[-

B 、]2,3[

C 、]2,3(

D 、)2,3(

3．已知)(2))(()(b a b x a x x f <---=，且βα、是方程0)(=x f 的两根)(βα<，则实数βα、、、b a 的大小关系为（ ）

A 、βα<<

B 、b a <<<βα

C 、βα<<

D 、b a <<<βα 4．方程2log ,2log 23=+=+x x x x 的根分别是βα、，那么α与β的大小关系是（ ） A 、βα>

B 、βα<

C 、βα=

D 、不确定

5．已知)1(log )(2+=x x f ，且0>>>c b a ，则

c c f 、

b b f 、a a f )

()()(的大小关系是（ ） A 、

c c f b b f a a f )

()()(>

> B 、a a f b b f c c f )()()(>

> C 、c

c f a a f b b f )()()(>

>

D 、b

b f

c c f a a f )()()(>

> （二）填空题：

6．

40cos 20cos 40sin 20sin --=_____________；

7．已知关于x 的方程m x x =+-5||42

有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围是

_____________________. （三）解答题：

8．设方程0sin cos 3=++a θθ在)2,0(π上有相异两解βα、. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求βα+的值.

9．已知012462

2

≤+--+b a b a ，求2

2

b a +的最值. 10．设R x ∈，求函数11)(22+-+++=

x x x x x ϕ的值域.

第二课时 不等式、解析几何中的数形结合

一、考点核心整合

数形结合的本质是：

几何图形的性质反映了数量关系； 数量关系决定了几何图形的性质；

数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助地形的几何直观来阐明数之间的某种关系.

把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，把形作为手段的数形结合主要体现在不等式、方程的根、函数的值域、距离、面积等之中.

本节的主要内容是：1、利用函数的性质解不等式问题；2、利用数形结合的方法求解析几何中的变量的取值范围问题.

二、典例精讲：

例1 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是____________________.

例2 已知实数、y x 满足y x b x y m y y x +=++=

≥=+2,3

1),0(32

2.