线性代数第四章
第四章-解AX=b的迭代法
•迭代格式的收敛性
2 k 引理4.1 (线性代数定理) 设矩阵序列 IM , , M , , M ,
k l i m M 0 ( M ) 1 . k
则
（证明见关治和陈景良编《数值计算方法》P410-412） 定理4.1 设迭代格式为
( k 1 ) ( k ) xM x g , k 0 , 1 , 2 , ( 4 . 3 )
充分性（）设ρ(M)<1,证{x(k)}收敛。
如果ρ(M)<1 ，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因
为ρ(M)<1，λi<1，因此λ=1不是M的特征值，即
| 1 IM || IM |0 .
所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即 x*=Mx* + f 。于是
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 2 ) x x * M ( x x * ) M ( x x * ) k ( 0 ) k M ( x x * ) M . 0
由引理4.1知，
k () k I f ( M ) < 1 ,t h e nl i m M 0 , l i m ( x x * ) 0 , i . e . k k () k l i m x x * . k
写成矩阵形式
x1 0 x b 2 21 31 x3 b x b n n1
或简记为
b 12 b 13 0 b23 b 0 32 bn2 bn3
b 1n x 1 g 1 b2n x2 g2 b 3n x 3 g3 g x 0 n n
( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) x x * x x q x x *
线性代数第四章矩阵的特征值
令 P ( p1 p2 L pn ), 则P 可逆，且
AP ( Ap1 Ap2 L Apn ) (1 p1 2 p2 L n pn )
1
( p1 p2 L
pn
)
2
O
P,
n
2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量
若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。
3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。 特征值和特征向量的对应.
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
3 1
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A
称为A的特征矩阵,其行列式
I A
为λ的n次多项式,称为A的特征多项式, I A 0
称为A的特征方程.
求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:
1. 由矩阵A的特征方程 I A 0 求出A的特征值 1,2 ,L s (s n 2k )
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上 元素的特征向量。
推论 若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则
Ａ必与对角矩阵Λ相似
推论 若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对 角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无
A
4 1
3 0
0 2
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
线性代数第四章
§3 向量组的秩
定义5 设有向量组 A， 如果在A中能选出 r个向量a1 , a 2 , , a r， 满足(1) 向量组A0 : a1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2) 向量组中 任意r 1个向量(如果A中有r 1个向量的话 )都线性相关 ， 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向 量组(简 称最大无关组 )， 最大无关组所含向量个 数r称为向量组 A 的秩， 记为RA .
a T (a1 , a2 ,, an )
二、向量的运算
三、向量组
定义 由若干个同维数的列向 量(或同维数的行向量 )构成 的集合称为向量组 . a11 a12 a1n a21 a22 a 2 n A a a a m2 mn m1 A (1 , 2 , , n ) , 其中 j (a1 j , a 2 j , , a mj )T T T A ( , , , ) , 其中 1 2 m i ( a i 1 , a i 2 , , a in )
向量组B : b1 , b2 , , bl 能由向量组向量 A : a1 , a2 , , am 线性表示 R( A) R( A, B ) 有矩阵K， 使得B AK 矩阵方程 AX B有解
例( P 86例 3) 设n维 向 量 组 A : a1 , a 2 , , a m 构 成n m 矩 阵 A ( a1 , a 2 , , a m )，n阶 单 位 矩 阵 E (e1 , e 2 , , e n )的 列 向 量 称 为n维 单 位 坐 标 向 量 .证 明 : n 维 单 位 坐 标 向 量 e1 , e 2 , , e n能 由 向 量 组 A线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 R( A) n.
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
线性代数第四章
§3 线性方程组解的结构定义2 若一个线性方程组的常数项都等于0，那么这个线性方程组叫作齐次线性方程组.我们看一个齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x ,a x a x a x ,a x a x a x .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L 这个方程组总是有解，显然12000n x ,x ,,x ===L就是方程组的一个解，这个解叫做零解，若方程组还有其他解，那么这些解就叫做非零解.我们常常希望知道，一个齐次线性方程组有没有非零解，由定理3我们就立即得到. 定理4一个齐次线性方程组（）有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n .定义3 设12r ,,,αααL 是齐次线性方程组的r 个解向量，如果满足下列条件： (1) 12r ,,,αααL 线性无关；(2) 方程组的任意一个解向量α都能由12r ,,,αααL 线性表出. 则12r ,,,αααL 称为齐次线性方程组的基础解系．．．．. 易见，基础解系可看成解向量组的一个极大线性无关组.定理5 齐次线性方程组（）若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n r ，其中r 是系数矩阵的秩.证 设齐次线性方程组的系数矩阵为111212122212n n m m mn a a a a a a ,a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M LA 由定理4知秩r ＜n .对A 进行行初等变换，A 可化为11121211000010000010000,r n ,r n r ,r rn c c c c ,c c +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L LLLLLL 与之对应的方程组为111112*********,r r n n ,r r n nr r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .+++++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L （） 令12r r n x ,x ,,x ++L 为自由未知量，得111112211211,r r n n ,r r n nr r ,r r rn n x c x c x ,x c x c x ,x c x c x .++++++=---⎧⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩L L L L L 我们取12110000001r r n x x ,,,,x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M 由可得11121122222212,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r rn r c c c x cc c x ,,,,c c c x ++++++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L M M M M 从而得到的n r 个解11121212221212100010011,r ,r n ,r ,r n r ,r r ,r m n r c c c c c c c c c ,,,.++++++----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξM M M L M M M下面我们证明12n r ,,,-ξξξL 就是的基础解系.首先，这n r 个解向量显然线性无关.其次，设(12n k ,k ,,k L )是方程组的任意解，代入方程组得11111221121111,r r n n ,r r n n r r ,r r rn n r r n n k c k c k ,k c k c k ,k c k c k ,k k ,k k .++++++++=---⎧⎪=---⎪⎪⎪=---⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩L L L L L L L 于是121122r r n n rn k k k k k k ξξξ++-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M ，因此方程组的每一个解向量，都可以由这n r 个解向量12n r ,,,-ξξξL 线性表示，所以12n r ,,,-ξξξL 是方程组的一个基础解系，由于方程组与方程组同解，所以12n r ,,,-ξξξL 也是方程组的基础解系.定理5实际上指出了求齐次线性方程组的基础解系的一种方法.推论(齐次线性方程组解的结构定理)齐次线性方程组（）若有非零解，则它的通解就是基础解系的线性组合.例6 解齐次线性方程组12341234123400220x x x x ,x x x x ,x x x x .-+-=⎧⎪--+=⎨⎪--+=⎩ 解 齐次线性方程组的系数矩阵为111111111122.--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A对A 进行行初等变换，得111111111111111100220011112200330033111111000011001100000000.------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A由此可看出，ｒ＝２＜4，故有非零解，其对应的方程组是123400x x ,x x .-=⎧⎨-+=⎩ 把14x ,x 看作自由未知量，令141001x ,,x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得231001x ,.x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 从而得基础解系1210100101,.⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ由此，得方程组的通解为1122c c =+x ξξ(其中12c ,c 为任意实数).例7 λ取何值时，方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，并求其通解.解 由于所给方程组是属于方程个数与未知量的个数相同的特殊情形，可以通过判断其系数行列式是否为零，来确定方程组是否有零解.其系数行列式为1111(+1)(4-),112λλλλ=-=-A当|A |=0，即λ=1，4时，有非零解.将λ=1代入原方程，得1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 方程组的系数矩阵11011111121110003012112023000⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 得同解方程组1323102302x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 把3x 看作自由未知量，令3x =2 得1213x ,x =-=从而得基础解系132-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ=所以，方程组的通解为x=k ξ(k 为任意实数).同理，当λ=4时，可求得方程组的通解为311k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x (k 为任意实数).例8 设B 是一个三阶非零矩阵，它的每一列是齐次方程组1231231232202030x x x ,x x x ,x x x .λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解，求λ的值和|B |.解由于B 是一个三阶非零矩阵，所以B 中至少有一列向量不是零向量，又由于B 的每一列都是上面齐次方程组的解，故该齐次方程组有非零解，从而系数行列式12221550311λλ-=-=-=-A所以λ=1.当λ=1时，秩R （A ）=2从而基础解系中只含有一个解向量，因而B 的三个列向量必线性相关，得|B |=0.下面讨论非齐次线性方程组. 线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb ,a x a x a x b ,a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L （） 称为非齐次线性方程组(12m b ,b ,,b L 不全为0).如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组的导出方程组，简称导出组.非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有如下关系.定理6 (非齐次线性方程组解的结构定理)如果线性方程组有解，那么方程组的一个解与它的导出方程组的解之和是方程组的一个解，方程组的任意解都可写成方程组的一个特解与它的导出方程组的解之和.证 设1112121222121122n n m m mn n m a a a a a a ,a a a x b x b ,,x b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A x b =LL M M M L M M则方程组可表示为Ax =b ，它的导出组可表示为Ａｘ＝０.设12()n c ,c ,,c =L γ是方程组的一个特解，12=()n d ,d ,,d L δ是它的导出组的一个解，于是有=.=b,A Aγδ0那么().+=+=b+b A γδAγAδ0=所以+γδ是方程组的一个解，设12()n l ,l ,,l =L λ是方程组的任意解，那么()=-+=+=A A b b λγγAδ0.因此=-μλγ是导出组的一个解，从而=+λγμ.由定理可知，对于非齐次线性方程组在r n <时，我们只须先求得它的一个特解，然后再求它的导出组的通解，由此便可得的全部解.一般求的一个特解与求它的导出组的通解可同时进行.例9 试求123451234512345324328729456111015x x x x x ,x x x x x ,x x x x x .+-++=⎧⎪-+++=⎨⎪++++=⎩ 的全部解.解 对增广矩阵进行行初等变换131243131243218729071036345611101507103631312431312431036307103630177770000000002323103010777710363017777000000,--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此可知系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解.由前述知对应的齐次线性方程组的基础解系(去掉常数列)为1232323107771036777100010001,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ令3450x x x ===，得非齐次线性方程组的一个特解为30300077,,,,'⎛⎫- ⎪⎝⎭(不能忽略常数列)，于是它的全部解（一般解）为11223330737000k k k ,⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x ξξξ其中123k ,k ,k 为任意实数.注：在求方程组的特解与它的导出组的基础解系时，一定要小心常数列(项)的处理!最好把特解与基础解系中的解分别代入两个方程组进行验证.例10 设线性方程组1231231234324px x x ,x tx x ,x tx x .++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 试就p ,t 讨论方程组的解的情况，有解时并求出解.解 对增广矩阵进行行初等变换°114113=113001121401143113113001011420114200(1)142p tt t t pt p p t t t pp p p p t t pt ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦A(1)当（p 1）t ≠0(即p ≠1,t ≠0)时，有惟一解123211142(1)(1)t t pt,,.p t t p t--+===--x x x(2)当p =1，且14t +2pt =12t =0即t =12时，方程组有无穷多解，此时 °1113101220102010200000000⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 于是方程组的一般解为212001k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x (k 为任意常数). (3)当p =1，但14t +2pt=12t ≠0，即t ≠12时，方程组无解.(4)当t=0时，14t+2pt=1≠0，故方程组也无解.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1)12341241234123442362242322312338;x x x x,x x x,x x x x,x x x x+-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩(2)123123123320503580;x x x,x x x,x x x++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)123123123320503580;x x x,x x x,x x x++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(2)1234123412341234502303803970;x x x x,x x x x,x x x x,x x x x-+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩(3)123451234123422702345035680;x x x x x,x x x x,x x x x++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩(4)123451234512345222023202470.x x x x x,x x x x x,x x x x x+-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩3. 解下列非齐次线性方程组.(1)123123121232122423442;x x x,x x x,x x,x x x++=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪++=⎩(2)12341234123421422221;x x x x,x x x x,x x x x+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩(3)123412341234212125;x x x x,x x x x,x x x x-++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩(4)12345123452345123457323222623543312x x x x x,x x x x x,x x x x,x x x x x.++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）122x120x230x3表中第一列消耗系数,,表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间万元，万元，万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.5. λ取何值时，方程组12312321231x x x ,x x x ,x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.6. 齐次方程组0020x y z ,x y z ,x y z λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩当λ取何值时，才可能有非零解并求解.7.当a ，b 取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解在有解时，求出其解.（1） 123412341234123423123132236x x x x x x x x x x x x a x x x bx ++-=⎧⎪+++=⎪⎨---=⎪⎪+-+=-⎩ (2) 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨----=⎪⎪+++=-⎩8. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 9.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R （A ）=1及122313111+=+=+=011011,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求：方程组Ax=b 的通解.10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1) 1223==;1001,-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ (2) 123121232==,=021352132,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ξξξ11.设向量组1α=（1，0，2，3），2α=（1，1，3，5），3α=（1，1，a+2，1），4α=（1，2，4，a +8），β=（1，1，b +3，5）问：（1） a ，b 为何值时，β不能由1α，2α，3α，4α线性表出（2） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α惟一地线性表出并写出该表出式.（3） a ，b 为何值时，β可由1α，2α，3α，4α线性表出，且该表出不惟一并写出该表出式.12. 证明：线性方程组121232343454515x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有解的充要条件是510i i a==∑.13. 设*η是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解，12n r ,,,-ξξξL 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明（1）1*n r ,,-,ξξL η线性无关；（2）1++***n r ,,-,ξξL ηηη线性无关. 14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123422434521121x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解。
线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量
例 设 是 A 的一个特征值，证明：(1) 2 是 A2 的一个特征值；(2)当 A 可逆时， 1 是 A1 的一个 特征值.
证 设 是 A 的属于特征值 的特征向量，即 Aα α （ 0 ）
(1)在 Aα α 两边左乘 A ，得 A2α Aα 2α 所以， 2 是 A2 的一个特征值，且 是 A2 的属于特 征值 2 的特征向量.
在上述讨论中，表达式 A0 40 反映了矩阵 A 作用在向量0 上只改变了常数倍，我们把具有这 种性质的非零向量0 称为矩阵 A 的特征向量，数 4 称为对应于0 的特征向量.
定义 1 设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 和非零 列向量 ，使得 Aα α .则称 为 A 的一个特征值， 称为矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量.
(2)当 A 可逆时，由 Aα α 有 α A1α ,因为 0 ， 知 0 ，故 A1α 1α ，则 1 是 A1 的一个特征值.
将此例推广为一般情况，有
结论：若 是 A 的一个特征值，则 m （ m N ） 是 Am 的一个特征值；() 是 ( A) 的特征值，其中 ( ) a0 a1 L am m ， ( A) a0 E a1 A L am Am .
例
已知向量
1 1
是
A
2 5
1 a
2 3
的一个特
1
1 b 2
征向量，试确定 a,b 及特征向量 所对应的特征值 .
解 由特征值和特征向量的定义 Aα α ，有
2 5 1
1 a b
2 3
1
1
1 1
即
2 1 1
1
2
a
b 1
于是 1 , 2 a ,b 1 所以 a 3, b 0, 1
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由定理2可知
➢ 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0，
⑴ R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解
A为方阵时，A≠0 ⑵ R(A)<n 方程组Ax=0有无穷多组解，
即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 ➢ 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。
2r2r1 5r2r3
1 0
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 5
0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
x3与x4可任意取值， 称为自由未知量
令x3k1,x4k2(k1,k2为任意 ),得 方常 程 组 的数 解
x1 3 k1 k2
向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
➢ 性质1若向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…, t 线性表示，向量组1, 2,…,t 可由向量组1, 2, …,p线性表示，则向量组1, 2,…,s可由向量组 1, 2,…,p线性表示。（传递性）
§2 向量组的线性相关性
➢ 性质2
⑴向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,s等价； ⑵若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 则向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,s等价； ⑶若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,p等价， 则 向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,p等价。
➢ 例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
线性代数_第四章
从本例中,我们可看出,对角矩阵中的主对角
元素恰为矩阵A的特征值.相似因子阵P的各
列恰为A的对应于各特征值的特征向量.
定理7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明: (必要性)
设A相似于对角矩阵D=diag{l1, l2, …,ln} ,
则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=D，即AP=PD。
即可求得对于该特征值的特征向量.
例4 设三阶方阵
1 2 2 A= 2 1 2 2 2 1
求A的特征值与对应于各特征值 的全部特征向量.
解: 求解特征方程|lI – A|=0,
l 1
| l I A |= 2 2 2 2 2 = (l 1) 2 (l 5) l 1
l 1
2
证明: 设A~B,则存在可逆矩阵X,使得B=X-1AX.
于是:
|B|=|X-1AX|=|X-1||A||X|=|A|
故行列式是相似不变量.
定理3
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵的迹是相似不变量.
定理4 矩阵的秩是相似不变量.
证明: 设矩阵A, B相似, 从而有A与B等价. 故A与B的秩相等. 因此, 矩阵的秩是相似不变量.
定理4 如果l1, l2, …,ls如(s<n)是n阶方阵A的
不同特征值,而 X , X , i1 i2
, X iri (i=1,…,s)是
A的对应于特征值li的ri个线性无关的特征向 量，那么向量组
X11 , X12 , , X1r1 , X 21, X 22 ,
, X 2r2
, X s1 , X s 2 ,
对P进行分块有：P=(X1, X2, …,Xn)，代入上式
线性代数-第四章
0 L
A
~
0
满足条件：
（1）1 ,2 ,L ,r 线性无关；
（2）T 中的任一向量 都可由1 ,2 ,L ,r 线性表示。
则称1 ,2 ,L ,r 为向量组 T 的极大线性无关组，或
极大无关组。
注释：
极大线性无关组，也可以定义成是一个线性无关的 向量组， 而且是极大的。 （就是不能再大，大一点就不是线性无关，而是线性相 关，也就是新添的向量都可被原来的向量组线性表示）
否则，如果只有当 k1 k2 L km 0 时， k11 k22 L kmm 0 才成立，称向量组线性无关。
2.2 基本问题
如何判断向量组 1 ,2 ,L ,m 是线性相关还是无关？
（1）线性相关
• 存在不全为零数 k1, k2 ,L , km，使 k11 k22 L kmm 0
L
a2n xn LLL
0 L
am1x1 am2 x2 L amn xn 0
a11 a12 L
A
a21
a22
L
L L L
am1 am2 L
则方程组可写成
a1n
a2n
,
L
amn
x1
X
x2
M
xn
矩阵的秩,行秩,列秩的关系:
特例:
1 0 a1 0 b1 0
0
1
a2
0
b2
0
B 0 0
0
1 b3
0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
B-型矩阵很容易看出矩阵的秩,行秩,列秩.
线性代数第四章
由定理4.1知该向量组线性相关.
例如: 1 1,1,2 , 2 0 ,1,0 ,
T T
3 1,0 ,1 , 4 0 ,0 ,1
T
T
一定线性相关.
西安建大
例4.1
讨论向量组的线性相关性.
T T T
1 1,1,1 , 2 0 ,2 ,5 , 3 1,3 ,6
x1 3 x2 3 x3 0 2 x1 2 x2 3 x3 0 x 2 x 3 x 0 2 3 1
有无非零解,因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵
的秩为 3 (向量的个数),因此方程组只有零解, 即当且仅当 x1 x2 x3 0 时才有 x1 1 x2 2
2.向量组线性相关性的几个重要结论
定理4.2 若 1 , 2 , , r 线性相关,则
1 , 2 , , r , r 1 , , m 也线性相关.
证:因 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全为 零的数 k1 , , kr 使 k11 kr r 0
k1 1 km m 0 , 即 k11 km m, k11r 1 km mr 1 0
因此有 k11 km m 0. 1 , , m 线性 由 无关,知 k1 km 0 , 因此 1 , , m 线性 无关.
第四章 向量组的线性相关性 和线性方程组解的结构
第一讲 向量组的线性相关性 第二讲 向量组的秩向量空间 第三讲 线性方程组解的结构 第四讲 习题课
西安建大
第一讲 向量组的线性相关性
西安建大
1.线性相关和线性无关
一. 向量组的线性相关性
1.线性相关和线性无关 定义4.1
线性代数-第4章
第4章《线性代数》习题解读1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。
2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。
要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。
4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。
5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。
7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。
所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。
8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。
9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。
10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。
矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。
11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。
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第四章 线性方程组 大纲要求 一、克莱姆法则 1.Ax b =，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b b 21 当0≠=A D 时，方程组Ax b =有唯一解 DD x j j =，n j ,,2,1 =j D 是用b 代替D 的第j 列得到的行列式.2.0Ax =有唯一零解0≠⇔A 0Ax =有非零解（无穷解）0=⇔A 二、齐次方程组1.齐次方程组的三种等价方式设111212122212n n mxn m m mn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()n ααα,,,21 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21， 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦000 ，则111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 0=⇔x A mxn02211=+++⇔n n a x a x a x2.0=Ax 有唯一零解()R A n ⇔=A ⇔的列向量组线性无关0=Ax 有非零解()R A n ⇔<A ⇔的列向量组线性相关3.0=Ax 解的性质(1)01=Ax ，()00212=+⇒=x x A Ax (2)k Ax ∀⇒=0，()0=kx A4.基础解系（解空间的基，解向量组的最大无关组）定义 若0=Ax 的解12,,,t ηηη 满足 121,,,t ηηη 线性无关20Ax = 的任一解都可由12,,,t ηηη 线性表示，则称12,,,t ηηη 是0=Ax 的基础解系. 性质 (1)()r A r =0Ax ⇔=的基础解系向量的个数为r n -0Ax ⇔=的解空间的维数为r n -()0R A Ax +=的解空间的维数=n(2)若()R A r n =<，则0=Ax 的任意r n -个线性无关的解向量都是0=Ax 基础解系.5.0=Ax 的通解为1122t t k k k ηηηη=+++ 其中12,,,t ηηη 是0=Ax 的基础解系，12,,,t k k k 是任意常数.6.求0=Ax 通解的步骤(1)用初等行变换把A 化为行最简形（即行首非零元为1，且行首非零元所在列的其余元素均为零）；(2)写出行最简形对应的方程组(3)把行首非零元对应的未知量（非自由未知量）的项留在方程左边，其余的未知量（自由未知量）的项移到方程右边； (4)对自由未知量依次令其中之一为1，其余的为零，得到基础解系； (5)写出通解.注意：在第(1)步将A 化为经变量次序重排后为行最简形，也是完全可行的. 例 求齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+++=+++=-++04320464203440324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. [解]1231144324641234A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦122102140006003-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21212310112200010003r ⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10200112000010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+00210243231x x x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=021243231x x x x x 令13=x 得基础解系⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--01212方程的通解为12,,1,02Tk ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k 为任意常数. [解2]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4321464234411321A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→300600041201221⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−-30001000412013041213r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000100001200041 同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=-0020443221x x x x x即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==02442321x x x x x令12=x 得基础解系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0214通解为[]4,1,2,0Tk -，k 为任意常数. 注意：两组基础解系是等价的. 三、非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组的三种等价形式设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n mxna a a a a a a a a A 212222111211[]n ααα,,,21 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21，[]b A A =则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111b x A mxn =⇔1122n n x x x b ⇔+++= ααα2.b Ax =有解的充要条件(1)()()R A R A n Ax b ==⇔=有唯一解b ⇔可由n ααα,,,21 线性表示且表法唯一(2)()()R A R A n Ax b =<⇔=有无穷多解b ⇔可由n ααα,,,21 线性表示,但表法不唯一3.b Ax =解的性质(1)若b A =ξ，0A η=，则()b A =+ηξ (2)若b A =1ξ，b A =2ξ，则()021=-ξξA (3)若t ξξξ 21,是Ax b =的解，则1122t t k k k ξξξξ=+++ 是b Ax =的解121=+++⇔t k k k 4.b Ax =解的结构设*ξ是b Ax =的特解，t ηηη 21,是0=Ax 的基础解系，则(1)b Ax = 的通解为t t k k k ηηηξ++++* 2211，其中t k k k ,,,21 是任意常数. (2)t ηηηξ,,,,21 *线性无关[证] 设022110=++++*t t k k k k ηηηξ 则022110=++++*t t A k A k A k A k ηηηξ 即0000k b +++=因b Ax =是非齐次方程组，故0≠b 于是有00k =，代入（*）式得 02211=+++t t k k k ηηη 因t ηηη,,,21 线性无关，故 021====t k k k 于是0210=====t k k k k 所以t ηηηξ,,,,21 *线性无关.(3)t ηξηξηξξ+++****,,,,21 线性无关 [证] 设()()0110t t k k k ξξηξη***+++++= 即()()01110t t t k k k k k ξηη*++++++=*则()01110t t t k k k A k A k A ξηη*++++++= 即()01000t k k k b ++++++=因0≠b ，故010=+++t k k k ，代入()*式有 11220t t k k k ηηη+++= 因t ηηη 21,线性无关， 故021====t k k k于是0210=====t k k k k ，结论得证. (4)b Ax =的通解ξ可表为()()011t t k k k ξξξηξη***=+++++ 其中110=+++t k k k [证]()()011t t A k A k A k A ξξξηξη***=+++++b k b k b k t +++= 10 ()b b k k k t =+++= 10说明()()011t tk k k ξξηξη***+++++ 是b Ax =的解.反之，设ξ是b Ax =的任意解，则 ()0=-*ξξA则*-ξξ可由t ηηη 21,线性表示 设1122t t k k k ξξηηη*-=+++ 令t k k k ----= 101 则110=+++t k k k 于是()0111t t t k k k k k ξξηη*=++++++()()011t t k k k ξξηξη***=+++++ 说明b Ax =的任意解可表为形如 ()()011t t k k k ξηξη**+++++ 其中 110=+++t k k k 5.求b Ax =通解的步骤(1)用初等行变换把增广矩阵A 化为行最简形；(2)写出行最简形对应的同解方程组； (3)把非自由未知量留在左边，含自由未知量的项移到方程右边；(4)令全部自由未知量为零，得b Ax =的特解*ξ；(5)求0=Ax 的通解η； (6)写出b Ax =的通解ηξξ+=*典型题4.1 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----223221122322213211111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x X 321，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111 B 其中j i a a ≠，(j i ≠， )n j i ,,2,1, =，则线性方程组BX A T =的解是 .(961) [解] B X A T= 由题设为2111112122222133332111111111n n n n n n nn x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++⇒---111132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x()∏≤<≤≠-==nj i i jT a aA A 10 ，∴由克莱姆法则，()TX 0,,0,1 =.4.2 设A 是n n ⨯阶矩阵，齐次线性方程组(Ⅰ)0=AX 有非零解，则非齐次线性方 程组(Ⅱ)b x A T=，对任何()Tn b b b b ,,,21 =[ ](A)不可能是唯一解 (B)必有无穷多解 (C)无解 (D)可能唯一解，可能无穷多解 [解] 因0=AX 有非零解，故0==T A A ，即TA 的列向量（A 的行向量）线性相关，则()n Ar T<，故非齐次方程b x A T=，当()()n A r b A r TT <= 时，有无穷多解，当()()T T A r b A r > 时，无解，故b X A T=对任何b ，不可能有唯一解，故选(A).4.3设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵,则线性方程组()0=x AB [ ] (A)当m n >时仅有零解 (B)当m n >时必有非零解 (C)当n m >时仅有零解.(023) (D)当n m >时必有非零解[解] 当n m >时，()()m n A R AB R <≤≤，而AB 为m m ⨯矩阵，可见此时()0=x AB 必有非零解，故应是(D).4.4 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量， 若秩=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0TA αα秩()A ，则线性方程组[ ] (A)α=Ax 必有无穷多解 (B)α=Ax 必有惟一解(C)00T A x y αα⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 仅有零解 (D)00T A x y αα⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭必有非零解.(013)[解] 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0T A αα为()()11+⨯+n n 矩阵，且秩=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0T A αα秩()n A ≤，小于未知量的个数1+n ，因此00T A x y αα⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭必有非零解，故选(D) .4.5 设有齐次线性方程组0=Ax 和0=Bx ，其中B A ,均为n m ⨯矩阵，现有四个命题：①若0=Ax 的解均是0=Bx 的解，则秩()≥A 秩()B .②若秩()≥A 秩()B ，则0=Ax 的解均是0=Bx 的解.③ 若0=Ax 与0=Bx 同解，则 秩()=A 秩()B .④若秩()=A 秩()B ，则0=Ax 与0=Bx 同解.以上命题中正确的是 (A) ① ② (B) ① ③ (C) ② ④ (D) ③ ④ (031) [解] ①因0=Ax 的解均是0=Bx 的解， 故 {}{}00=⊂=Bx x Ax x 于是 ()()B r n A r n -≤- 即 ()()B r A r >，①是对的. ③因0=Ax 与0=Bx 同解，即 {}{}00===Bx x Ax x ，故两个解空间的维数相同，即()()B r n A r n -=-. 于是()()B r A r =，③是对的.故(B)入选. 4.6 已知三阶矩阵0≠B ，且B 的每一个列向量都是以下方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ(1)求λ的值 (2)证明0=B .(923) [解] (1)因0≠B ，故B 中至少有一个非零列向量，依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故必有系数行列式011312221=-=λA ，由此可得1=λ.(2)因B 的每一列向量都是原方程组的解，故有0=AB .由0≠A 必有0=B .事实上，倘若不然，设0≠B ，则B 可逆，故由0=AB 两边乘1-B ，得0=A ，这与条件矛盾，可见必有0=B .4.7 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是 .(893)[解] 系数行列式1111111λλ=A()21111010001-=--=λλλ，要使齐次线性方程组只有零解的条件是0≠A ，即1≠λ.4.8 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x的基础解系.(962)[解] 110011100111100001010011100010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解得基础解系为()11,1,0,0,0Tξ=-， ()21,0,1,0,1Tξ=-- 4.9 设s ααα,,,21 为线性方程组0=Bx 的一个基础解系，22111ααβt t +=，21223121,,s s t t t t βααβαα=+=+其中21,t t 为实常数，试问21,t t 满足什么关系时，s βββ,,,21 也为0=Ax 的一个基础解系.(011)[解] 由于()s i i ,,2,1 =β为s ααα,,,21 的线性组合，所以()s i i ,,2,1 =β均为0=Ax 的解.设 02211=+++s s k k k βββ （1） 即()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由于s ααα,,,21 线性无关，因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0001122112211s s s k t k t k t k t k t k t （2）因为系数行列式12121210000000t t t t t t t t s()1121s ss t t +=+-所以当()11210s sst t ++-≠，即当s 为偶数，21t t ±≠；s 为奇数，21t t -≠时，方程（2）只有零解021====s k k k ,从而s βββ,,,21 线性无关，此时s βββ,,,21 也是0=Ax 的一个基础解系.4.10 设向量t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，向量β不是方程组0=Ax 的解，即0≠βA .试证明：向量组t αβααββ++,,,,21 线性无关. (963)[解] 设有一组数t k k k k ,,,,21 使得 ()0ti i k k ββα++=∑()11t ti i i i i k k k βα==⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑ （*）上式两边同时左乘矩阵A ，有()110t ti i i i i k k A k A βα==⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭∑∑因为0≠βA ，故 01=+∑=ti ikk （* *）从而，由（*）式得()10tiii k α=-=∑由于向量组t αα,,1 是基础解系，所以 120t k k k ====因而由（* *）式得0=k ，因此向量组t αβααββ++,,,,21 线性无关.4.11 设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，证明21αα+，32αα+，13αα+也是该方程的一个基础解系.(944)[证] 由()0002121=+=+=+ααααA A A ，知21αα+是0=Ax 的解同理可证32αα+，13αα+也都是0=Ax 的解设()()()0133322211=+++++ααααααk k k ， 则有()()()0332221131=+++++αααk k k k k k由于321,,ααα线性无关，故得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k由02110011101≠=，可见 0321===k k k ，从而21αα+，32αα+，13αα+线性无关 根据题设0=Ax 的基础解系含有三个线性无关的向量，所以21αα+，32αα+，13αα+是方程组0=Ax 的基础解系.4.12 设4321,,,αααα是四维非零列向量，()4321,,,αααα=A ，*A 为A 的伴随矩阵，已知方程组0=Ax 的基础解系为()T k 0,2,0,1，则方程组0=*x A 的基础解系为 (A)321,,ααα(B)313221,,αααααα+++ (C)432,,ααα(D)14433221,,,αααααααα++++ [解] 由线性方程组的结构，四阶方阵A 的秩为3，则*A 的秩为1，所以，方程组0=*x A 的基础解系包括三个向量.又()0,,,4321===**E A AA A αααα，所以向量4321,,,αααα是方程组0=*x A 的解.因为()T0,2,0,1是方程组0=Ax 的解，有0231=+αα，即向量组321,,ααα与4321,,,αααα线性相关，可得(A)不是基础解系，排除(A). 对(B)作矩阵[]313221,,αααααα+++ []233221,,αααααα-++→ []232212,,ααααα-++→[][]23123221,,,,αααααααα→++→因321,,ααα线性相关，故(B)线性相关，排除(B).同理由4321,,,αααα线性相关，可推出(D)线性相关，排除(D)，故选(C)，事实上，由0231=+αα，得1α可由432,,ααα线性表示，又向量组4321,,,αααα的秩为3，所以，向量组432,,ααα线性无关，即它是方程组0=*x A 的基础解系.4.13 已知线性方程组123123223123000x x x ax bx cx a x b x c x ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ (1),,a b c 满足何种关系时，方程组仅有零解？(2),,a b c 满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解.(994)[解] 系数行列式222111D ab c ab c = ()()()a b b c c a =--- (1)当,,a b b c c a ≠≠≠时，0D ≠，方程组仅有零解1230x x x === (2)下面分四种情况：①当a b c =≠时，同解方程组为123300x x x x ++=⎧⎨=⎩方程组有无穷多组解， 全部解为()11,1,0Tk -（1k 为任意常数） ②当a c b =≠时，同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩ 方程组有无穷多组解， 全部解为()21,0,1Tk -（2k 为任意常数） ③当b c a =≠时，同解方程组为12310x x x x ++=⎧⎨=⎩ 方程组有无穷多组解， 全部解为()11,1,0Tk -（1k 为任意常数） ④当a b c ==时，同解方程组为1230x x x ===方程组有无穷多组解，全部解为()()451,1,01,0,1TTk k -+- （45,k k 为任意常数） 4.14 已知线性方程组()()()()1122331122331122331122330,0,0,0,n nn n n n n na b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪+++++=⎩ 其中10nii a=≠∑.试讨论12,,,n a a a 和b满足何种关系时 (1) 方程组仅有零解(2) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.(033) [解] 方程组的系数行列式123123123123n n n n a b a a a a a b a a A a a a b a a a a a b++=++11nn i i bb a -=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑(1) 当0b ≠且0ni b a +≠∑时，秩()A n =，方程组仅有零解.(2) 当0b =时，原方程组的同解方程组为11220n n a x a x a x +++= .由10nii a=≠∑可知，()1,2,,i a i n = 不全为零.不妨设10a ≠，得原方程组的一个基础解系为211,1,0,,0Ta a α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，321,0,1,,0Ta a α⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ， ，11,0,0,,1Tn n a a α-⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当1ni i b a ==-∑时，有0b ≠，原方程组的系数矩阵可化为12300000n a ba a ab b b b b b +⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭123111001010101nin i a a a a a =⎛⎫- ⎪ ⎪ -⎪→⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭∑00000110001001010001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭1100101010010000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由此得原方程组的同解方程组为21311,,,n x x x x x x ===原方程组的一个基础解系为()T 1,,1,1,1 =α4.15 设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++000321321321n nn ax bx bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax 其中0≠a ，0≠b ，2>n ，试讨论a ，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.(023) [解] 方程组的系数行列式ab b b b a b b bb a b b b b a A =()[]()11---+=n b a b n a(1)当b a ≠且()b n a -≠1时，方程组仅有零解.(2)当b a =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a aaaa a a aa a aa a a a a A111100000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦原方程的同解方程组为 021=+++n x x x 其基础解系为()11,1,0,,0T α=- ，()21,0,1,,0Tα=- ， ，()11,0,0,,1Tn α-=- .方程组的全部解是112211n n x c c c ααα--=+++（121,,,n c c c - 为任意常数）.(3)当()1a n b =-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有()()()()1111n bb b b b bn b b b b A b b n b b b b b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-⎪⎪ ⎪-⎝⎭111111111111111nnn -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→-⎪⎪0000000000011111n n n n n n n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-→⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭1000101001001010001100000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭原方程组的同解方程组为()1,1,1,,1Tβ=方程组的全部解是x C β=（C 为任意常数）. 4.16 设有齐次线性方程组()()()12121210,2220,0,n n n a x x x x a x x nx nx n a x ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩()2n ≥ 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(041)[解] 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aaA n a nnn +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦111120000a a a B na a +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦当0a =时，()1r A n =<，故方程组有非零解，并其通解方程为 12n x x x =--- 由此得基础解系为()11,1,0,,0Tη=- ， ()21,0,1,,0T η=- ， ， ()11,0,0,,1T n η-=- . 于是方程组的通解为1111n n x k k ηη--=++ ， 其中11,,n k k - 为任意常数，当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()100022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知()12n n a +=-时，()1r A n n =-<，故方程组有非零解，并其通解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=由此得基础解系为()1,2,,Tn η= ， 于是方程组的通解为x k η=，其中k 为任意常数. 解法二 方程组的系数行列式为11112222a a A n n n n a++=+ ()112n n n a a -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当0A =，即0a =或()12n n a +=-时， 方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等变换，有11112222A n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11110000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的同解方程组为 120n x x x +++= ， 由此得基础解系为()11,1,0,,0Tη=- ， ()21,0,1,,0Tη=- ， ，()11,0,0,,1T n η-=- .于是方程组的通解为1111n n x k k ηη--=++ ， 其中11,,n k k - 为任意常数， 当()12n n a +=-时，对系数矩阵A 作初 等行变换，和解法一结果相同. 4.17 设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为123123423020x x x x x x x +-=⎧⎨++-=⎩且已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为 ()12,1,2,1Ta α=-+()21,2,4,8Ta α=-+(1)求方程组(Ⅰ)的一个基础解系； (2)当α为何值时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.(024)[解] (1)对方程组(Ⅰ)的系数矩阵作初等变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310350111210132A得方程组(Ⅰ)的同解方程组⎩⎨⎧+-=-=4324312335x x x x x x由此可得方程组(Ⅰ)的一个基础解系为()T0,1,3,51-=β， ()T1,0,2,32-=β(2)由题设条件，方程组(Ⅱ)的全部解为()⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡+++--=+=⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡21212211214222k k a k k k k k k x x x αα ① （1k ，2k 为任意常数）. 将上式代入方程组(Ⅰ)，得()()()⎩⎨⎧=+-+=+01101211k a k a k a ②要使方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)有非零公共解，只需关于1k ，2k 的方程组②有非零解.因为()()211101+-=+-++a a a a ，所以，当1-≠a 时，方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)无非零公共解.当1-=a 时，方程组②有非零解，且1k ，2k 为不全为零的任意常数.此时，由①可得方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的全部非零公共解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡74211112214321k k x x x x （1k ，2k 为不全为零的任意常数）. 4.18 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为1-n ，则线性方程组0=Ax 的通解为 .(931)[解] 由于A 的秩为1-n ，故齐次线性方程组0=Ax 的基础解系所含解向量的个数 为1，又10niji a==∑ ()n i ,,2,1 =，于是 111212122212111n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11200n j i n j αα=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∑∑即00=Ax ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001110 x ，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110 x 可作为0=Ax 的基础解系，故0=Ax 的通解为：111X k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，k 为任意常数.4.19 设n 阶方阵A 的列向量为()n i i ,,2,1 =α.n 阶方阵B 的列向量为 12αα+，32αα+， ，n n αα+-1，1αα+n ，试问：当()n A r =时，方程组0=Bx 是否有非零解？证明你的结论. [解] 设[]n A ααα,,,21 =，[]13221,,,αααααα+++=n B ， ()Tn x x x x ,,,21 =，于是0=Bx 等价于()()()11222310n n x x x αααααα++++++= 从而0=Bx 是否有非零解等价于向量组12αα+，32αα+， ，1αα+n ，是否线性相关.上式可改写为()()()1112210n n n n x x x x x x ααα-+++++++= 当()n A r =时，n ααα,,,21 线性无关，故有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+--0012211n n n x x x x x x 上述方程组的系数行列式为()1111101000001100001110001+-+==n n Do 1当n 为奇数时02≠=n D ，该方程组只有零解，即方程组0=Bx 只有零解.o 2当n 为偶数时0=n D ，该方程组有非零解，即方程组0=Bx 有非零解.4.20 设()()12,,,1,2,,;Ti i i in a a a i r r n α==< 是n 维实向量，且12,,r ααα 线性无关，已知()12,,Tn b b b β= 是线性方程组111122121122221122000n n n nr r rn n x x x x x x x x x ααααααααα++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 的非零解向 量，试判断向量组12,,,,r αααβ 的线性相关性.(014)[解] 设有一组数12,,,,r k k k k 使得11220r r k k k k αααβ++++= ()*成立.因为()12,,Tn b b b β= 是线性方程组111122121122221122000n n n n r r rn n x x x x x x x x x ααααααααα++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 的解，且0β≠故有()01,2,Ti i r αβ==即0Ti βα=()1,2,i r = 于是，由11220T T T T r r k k k k βαβαβαββ++++=得0Tk ββ=.但0T ββ≠，故0k =.从而()*式为11220r r k k k ααα+++= .由于向量组12,,,r ααα 线性无关，所以有 120r k k k ====因此，12,,,,r αααβ 线性无关. 4.21 设A 为n 阶实矩阵，TA 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：0Ax =和 (Ⅱ) 0TA Ax =，必有[ ](A )(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解(B )(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解(C )(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解(D )(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.(003)[解] 若0Ax =，则0TA Ax =，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，设x 为(Ⅱ)的解，即0TA Ax =，则()0TT Tx A Ax Ax Ax ==，设{}12,,,Tn Ax b b b = ，则 ()210,nTii Ax Ax b===∑故0,1,2,i b i n == .故选(A).4.22 非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则[ ](A )r m =时，方程组Ax b =有解 (B )r n =时，方程组Ax b =有惟一解 (C )m n =时，方程组Ax b =有惟一解 (D )r n <时，方程组Ax b =有无穷多解 (974)[解] 由题意知，矩阵A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，若r m =，则A 的m 个行向量线性无关，增广矩阵()|A b 的m 个行向量也线性无关，因为线性无关的向量组添加分量后仍线性无关.()()|R A R A b m ==，所以方程组Ax b =有解，正确选项为(A ). 至于(B )，r n =，并不能保证()()|R A R A b =，从而Ax b =不一定有解；当r n <时，同理不能保证()()|R A R A b =，即A x b =不一定有解，也就谈不上Ax b =有无穷多解.4.23 设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是[ ](A )若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解 (B )若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多解(C )若Ax b =有无穷多解，则0Ax =仅有零解(D )若Ax b =有无穷多解，则0Ax =有非零解(913)[解] 由解的判定定理知，对Ax b =而言，Ax b =有解⇔秩()R A =秩(),R A r =且r n Ax b <⇔= 有无穷多解，从而0Ax =有非零解，故正解选项为(D )(A )，(B )不成立，在于()R A 与()R A 不一定相等.4.24 设A 为4×5矩阵，()4r A =，B 为4×2矩阵，则下列命题中不正确的是(A )0T T A x B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦只有零解.(B ) ()0A B x =必有无穷多解.(C ),T T A b x b B ⎡⎤∀=⎢⎥⎣⎦有唯一解.(D ) (),b A B x b ∀= 必有无穷多解. [解] 因为4TT A r B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()4r A B x = ， 由齐次线性方程组的判定知，(A )，(B )两项均成立.又()()47r A B b r A B ==< ，可见(D )也成立，但T T A r B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与T T A r b B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 不一定相等，因此(C )为不正确命题.4.25 设111122232333,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则三条直线1110a x b yc ++= 2220a x b y c ++=3330a x b y c ++=（其中220,1,2,3i i a b i +≠=）相交于一点的充要条件是[ ] (A )123,,ααα线性相关 (B )123,,ααα线性无关(C )秩()123,,R ααα=秩()12,R αα (D )123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. (971)[解] 三条直线交于一点，相当于方程组只)2α=秩()123,,2R ααα=， (D ).3,1,2,3,i i y a z b i +==它们所组，则这三张平面可能的位置关系为 (B ) (C ) (D ).(021)121312223132331y a z b y a z b y a z b+=+=+= .(A )只有唯一解；(C )、(D )无(B ).121232343414x x x x x x x x αααα+=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩1234,,,αααα应满足条件 .123100110011001αααα-⎤⎥⎥⎥-⎥123141100011000110101ααααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦ 1231241100011000110011αααααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ 12312341100011000110000ααααααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦ 当12340αααα+++=时，()()R A R A =，方程组有解.4.28 设123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多 个解，则a = .(012)[解] 3111111311a a a a a=++- ()()2332210a a a a =-+=+-=2,1a a ⇒=-=，(1)当1a =时，111111111112A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ()11110000,20003R A ⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()1R A =，可知方程组无解.(2)当2a =-时，211112111122A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦000000001211033311221122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦11220111,0000--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()23R A R A ==<，故当2a =-时，有无穷多个解.4.29 已知A 、B 为三阶非零方阵，139206,317A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12301,2,1110a b βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦为齐次线性方程组0Bx =的三个解向量，且3Ax β=有非零解.①求a ，b 的值；②求0Bx =的通解.[解] ①由123,,βββ均为0Bx =的解，而0B ≠故，()1r B ≥由此可知，123,,βββ必线性相关，于是[]1230,,1210110a bβββ==-， 由此解得3a b =.用行初等变换求解3Ax β=11031392206131703170139b b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦11103103223301201222100050362b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因3Ax β=有非零解，故5b =，从而15a =.② 由题设()1r B ≥，于是基础解系解向量的个数()32r B -≤，而12,ββ为0Bx =的两个线性无关的解，故()32r B -=，可见12,ββ即可作为0Bx =的基础解系，故通解为112212,,x k k k k ββ=+为任意常数.4.30 要使12100,121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程 组0Ax =的解，只要系数矩阵A 为[ ] (921)(A )[]211- (B ) 201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C )-10201-1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D ) 011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦[解] 方法一：直接将四个答案一一代入0Ax =中，12,ξξ均为其解的只有(A ).方法二：0Ax =至少有两个线性无关的解向量，所以()32R A -≥，即()1R A ≤.显然只有(A )正确.4.31 设A ，B 为四阶非零方阵，B 的每列均为100Ax ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的解，则(A )()1r AB = (B ) ()1r A =(C ) ()1r B = (D ) ()()1r A r B +=[解] 由题设111000000AB ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，于是 ()1r AB =.4.32 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组AX b =的三个解向量，且秩()3r A =，()11,2,3,4T α=，()230,1,2,3Tαα+=，C 表示任意常数，则线性方程组AX b =的通解X =[ ].(004)(A )11213141C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B )10213243C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(C )12233445C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (D )13243546C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[解] 由于秩()3A =，故线性方程组0Ax =解空间的维数为 4-秩()1A =由于 1A b α=，2A b α=，3A b α= 故 ()1232()2()0A b b b ααα-+=-+=，可见()1232()2,3,4,5Tααα-+=是0Ax = 的解，根据Ax b =的解的结构理论知，(C )为Ax b =的通解.4.33 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0A *≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b=的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系[ ](A )不存在 (B )仅含一个非零解向量 (C )含有两个线性无关的解向量 (D )含有三个线性无关的解向量.(043)[解] 因0A *≠故A 有非零的1n -阶子式，于是()1r A n ≥-.又因120ξξ-≠是0Ax =的非零解，故()r A n <或()1r A n ≤-.总之()1r A n =-，故基础解系只有一个解向量，(B )入选. 4.34 解线性方程组12341341231342434;3;31;773 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ (874)[解] 对方程组的增广矩阵作初等变换：2143410113101132143431101311017073370733-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦10113101130121201212012310000212000424000424----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1011310103012120120800016000160000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是，由原方程组得与之同解的方程组132343826x x x x x ⎧=-⎪=-+⎨⎪=⎩令3x k =，其中k 是任意常数，得方程组的一般解如下：12343826x k x k x k x =-⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩4.35 λ取何值时，方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解，有惟一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.(972)[解] 解法一：原方程组的系数行列式2211154455λλλλ-∆=-=---()()154λλ=-+ 故当1λ≠且45λ≠-时，方程组有惟一解.当1λ=时，原方程组为1231231232124551x x x x x x x x x ⎧+-=⎪⎪-+=⎨⎪+-=-⎪⎩ 对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ 111210010111011100000000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此，当1λ=时，原方程组有无穷多解， 其一般解为()12311x x k k x k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数通解为()()1,1,00,1,1TTx k =-+()k 为任意实数当45λ=-时，原方程组的同解方程组为12312312310455455104551x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩ 对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦由此可知当45λ=-时，原方程组无解.解法二：对原方程组的增广矩阵施行初等行变换：2112111122103455165506λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+-⎣⎦⎣⎦211210354009λλλλ-⎡⎤⎢⎥→+-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦于是当45λ=-时，原方程组无解. 故当1λ≠且45λ≠-时，方程组有惟一解.因此，当1λ=时，原方程组有无穷多解， 其一般解为()12311x x k k x k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数通解为()()1,1,00,1,1TTx k =-+()k 为任意实数4.36 已给线性方程组123412341213412342231363315351012x x x x x x x x x x k x x x x x x k +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解.(883) [解] 以A 表示方程组的系数矩阵，以()A B 表示增广矩阵，对增广矩阵()A B 施行初等行变换：()1123113613A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪12112310242204660061291k k ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪--- ⎪⎪---⎝⎭1211231012110022400035k k ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-+ ⎪⎪+⎝⎭当12k ≠时，()()4R A R A B ==，方程组有唯一解； 当12k =时，有()211231012110002400035A B k ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪⎪⎪+⎝⎭211231012110001200001k ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪⎪⎪-⎝⎭这时，若21k ≠，则()()34R A R A B =<=，故方程组无解；若21k =，则()()34R A R A B ==<，故方程组有无穷多解，此时有()11231012110001200000A B ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10040012110001200000⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1008012030001200000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相应的方程组为12348322x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩取3x c =（c 为任意常数），方程组的一般解为：1248322x x c x ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩4.37 设线性方程组()()123412341234022032441x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩ 已知()1,1,1,1T--是该方程组的一个解，试求：(Ⅰ) 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； (Ⅱ) 该方程组满足23x x =的全部解.(044) [解] 将()1,1,1,1T --代入方程组，得λμ=对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得1102112042441A λλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭()102101311002212121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭(Ⅰ) 当12λ≠时，有1001011010221100122A ⎛⎫⎪⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因()()34r A r A ==<，故方程组有无穷多解，全部解为()110,,,02,1,1,222TT k ξ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭其中k 为任意常数.当12λ=时，有11101220131100000A ⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因()()24r A r A ==<，故方程组有无穷多解，全部解为()()121,1,0,01,3,1,01,2,0,22TT T k k ξ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭其中12,k k 为任意常数.(Ⅱ) 当12λ≠时，由于23x x =，由通解 表达式知 k k -=+-2121解得12k =，方程组的解为()1110,,,03,1,1,2222TT ξ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭()1,0,0,1T=-当12λ=时，由于23x x =，即121132k k k --= 解得121142k k =-，故全部解为 2111311,,,0,,,2444222TTk ξ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中2k 为任意常数. [注]：在题(Ⅱ)中，当12λ=时，解得 21122k k =-时，全部解也可以表示为 ()()11,0,0,13,1,1,4TTk ξ=-+-其中1k 为任意常数.4.38 设向量()11,1,2,1,Tα=--()()233,4,1,2,4,5,3,3,T Tαα=--=-- ()()41,,3,0,0,,5,1TTk αλβ=-=-.试问,k λ取何值时，β不能由1234,,,αααα线性表出？,k λ取何值时，β可由1234,,,αααα线性表出？并写出线性表达式.[解] 本题相当于讨论线性方程组()12123434,,,x xAX x x αααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11223344x x x x ααααβ=+++=何时有解？无解？由于134101452133512301k A λ--⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭1341001111055550111k λ--⎛⎫ ⎪---⎪→ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ 10123011110002100000k λ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-- ⎪⎪⎝⎭但2,1k λ=≠时，β不能由1234,,,αααα 线性表出，1,2k λ==时，β可由1234,,,αααα线性表出.12312111010001X k k--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()12132k k βα=--()12213241k k k k ααα++-++（其中12,k k 为任意常数） 当2,k λ≠为任意值时，β可由1234,,,αααα线性表出.()211010321011012100012000k k A k λλλ-⎛⎫- ⎪- ⎪- ⎪--⎪→- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭()21321111210012k k X k λμλλ-⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪-⎝⎭所以()12132k βμαλ--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦23411122k k μαμααλλ--⎡⎤+-+++⎢⎥--⎣⎦其中2,,k λμ≠为任意常数. 4.39 设()33ijA a ⨯=是实正交矩阵，且111a =，()1,0,0Tb =，则线性方程组Ax b =的解是 .(044)[解] 因TTA A AA E ==，故2221112131a a a ++=，2221121311a a a ++=，且111a =.于是12130a a ==，21310a a ==由Ax b =得T TA Ax A b =，因A 是实正交矩阵，故Tx A b =即 2232233310011000000x αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.40 设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩(1)证明，若1234,,,a a a a 两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设13a a k ==，()240a a k k ==-≠，且已知1β，2β 是该方程组的两个解，其中1111β-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，写出此方程组 的通解.(943)[解] (1)增广矩阵A 的行列式231112322223333234441111a a a a a a A a a a a aa=()()()434241a a a a a a =---()()()323121a a a a a a ---由1234,,,a a a a 两两不相等，知0A ≠，从而矩阵A 的秩()4R A =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R A ≠，因此方程组无解.(2)当13a a k ==,()240a a k k ==-≠时，方程组为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x kx kx k xk ⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩即 2312323123x kx k x kx kx k x k⎧++=⎪⎨-+=-⎪⎩ 因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R A ==，从而方程组有解且对应的导出方程组的基础解系应含有321-=个解向量.因为1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21112110112ξββ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦是对 应齐次线性方程组的解；且0ξ≠，故ξ是导出方程组的基础解系，于是非齐次线性方程组的通解为：1121012X c c βξ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（c 为任意常数）4.41 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1l ：230ax by c ++= 2l ：230bx cy a ++= 3l ：230cx ay b ++=试证明这三条交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.(031)证法1 必要性：设三直线123,,l l l 交于一点，则线性方程组232323ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩（*）有唯一解，故系 数矩阵222a b A b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与增广矩阵232323a b c A b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩均为2，于是。