微元法评述3 弧微分
曲线的弧微分与曲率半径
曲线的弧微分与曲率半径弧微分和曲率半径是微分几何中经常遇到的概念，它们可以帮助我们研究曲线的特性和性质。
在曲线上，弧微分是描述曲线长度的微小增量，而曲率半径则是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
本文将详细介绍曲线的弧微分和曲率半径的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义曲线的弧微分和曲率半径。
对于平面曲线上的一小段弧长 ds，它的微分 ds 称为弧微分。
弧微分是描述曲线长度的微小增量，可以用微积分中的微分概念来解释。
曲线的弧微分可以表示为ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt，其中 dx 和 dy 分别是曲线上一点的横纵坐标的微分，dt 是曲线参数 t 的微分。
曲率半径是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
在平面曲线上，曲率半径可以定义为两个单位切向量之间的夹角的倒数。
具体来说，单位切向量是指切线方向的单位向量，可以表示为 T = (dx/ds, dy/ds)，其中 dx 和 dy 是曲线在某一点的坐标变化，ds 是曲线弧长的微小增量。
曲率半径可以表示为曲率半径R = 1/κ，其中κ 是曲率，即曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率可以用公式κ = |dT/ds| 来计算，其中 dT/ds 是单位切向量的变化率。
接下来，我们将探讨如何计算曲线的弧微分和曲率半径。
对于给定的曲线方程 y = f(x)，我们可以通过对参数 t 的选取来得到参数方程 x = g(t) 和 y = h(t)。
在这个参数方程中，参数 t 通常是曲线上的弧长。
我们可以使用微分几何的知识来计算曲线的弧微分和曲率半径。
首先，我们计算曲线的弧微分。
根据曲线的参数方程，dx/dt = g'(t)和 dy/dt = h'(t)。
代入弧微分的定义公式，我们可以得到ds = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²] dt = √[g'(t)² + h'(t)²] dt。
解题方法专题——微元法讲义
微元法本专题主要讲解利用微元法解决动力学问题、变力做功问题、电场和电磁感应等问题，主要分为时间微元和位移微元两大类。
微元法在近几年高考中考查频率较高，出现了分值高、难度较大的计算题。
微元法是一种非常有效的解题方法，将研究对象或研究过程分解为众多细小的“微元”，分析这些“微元”，进行必要的数学推理或物理思想处理，能够有效的简化复杂的物理问题。
考查学生的分析推理能力，应用数学方法解决物理问题能力。
时间微元（2022•北京模拟）微元思想是中学物理中的重要思想。
所谓微元思想，是将研究对象或者物理过程分割成无限多个无限小的部分，先取出其中任意部分进行研究，再从局部到整体综合起来加以考虑的科学思维方法。
如图所示，两根平行的金属导轨MN和PQ放在水平面上，左端连接阻值为R的电阻。
导轨间距为L，电阻不计。
导轨处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B。
一根质量为m、阻值为r的金属棒放置在水平导轨上。
现给金属棒一个瞬时冲量，使其获得一个水平向右的初速度v0后沿导轨运动。
设金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，不计一切摩擦。
求：（1）金属棒的速度为v时受到的安培力是多大？（2）金属棒向右运动的最大距离是多少？关键信息：金属棒水平向右沿导轨运动→产生的感应电动势E＝BLv，回路中感应电流的方向为顺时针，金属棒所受安培力方向水平向左不计一切摩擦→对金属棒受力分析，金属棒所受合力等于安培力解题思路：根据法拉第电磁感应定律结合安培力的计算公式求解金属棒所受的安培力。
金属棒水平向右运动过程中，从时间微元的角度，划分为无数小段，每一小段的速度可看成几乎不变，速度在时间上的累积为位移，应用牛顿第二定律或动量定理列方程，求解金属棒向右运动的距离。
（1）金属棒在磁场中的速度为v 时，电路中的感应电动势：E ＝BLv 电路中的电流：I ＝ER r+ 金属棒所受的安培力：F 安＝BIL得：F 安＝22B L vR r+（2）对金属棒受力分析，由牛顿第二定律得：22B L vR r -+＝ma设经过一段极短的时间Δt ，a ＝vt∆∆，则22B L v t R r ∆-+＝m Δv ，对时间累积：∑－22B L v tR r∆+＝∑m Δv ，由－22B L v t R r ∑∆+＝m ∑Δv 得：－22B L x R r +＝－mv 0解得：x ＝022()mv R r B L+取水平向右为正方向，金属棒从速度为v 0至停下来的过程中，由动量定理：I 安＝0－mv 0将整个运动过程划分成很多小段，可认为每个小段中的速度几乎不变，设每小段的时间为∆t i ，则安培力的冲量I 安＝－22B L R r +v 1·∆t 1＋(－22B L R r +v 2·∆t 2)＋(－22B L R r+v 3·∆t 3)＋…I 安＝－22B L R r +(v 1·∆t 1＋v 2·∆t 2＋v 3·∆t 3＋…)I 安＝－22B L R r+x解得：x ＝022()mv R r B L+。
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
1、谈谈对微元法的认识
1、谈谈对微元法的认识微元法，又称微分法或微分元法，是微积分中的一种重要方法，用于求解曲线的长度、曲线与坐标轴所围成的面积、曲线的弧长、曲线的质心、曲线的弧微分等问题。
它通过将曲线或曲面分割成无限小的微元，然后对这些微元进行求和，最终得到所求问题的解。
微元法的核心思想是将复杂的问题分解成简单的微小部分，并通过对这些微小部分的处理，得到整体问题的解。
在微分法中，我们通常将要研究的曲线或曲面分割成许多微小的线段或面元，然后对每个微小部分进行分析和计算。
通过对微小部分的求和，我们可以得到整体问题的解。
微元法在实际应用中具有广泛的意义。
在几何学中，我们可以通过微元法计算曲线的长度、曲线与坐标轴所围成的面积等。
在物理学中，微元法可以用来计算物体的质心和重心，以及曲线所受的力等。
在工程学中，微元法可以用来计算材料的应力和变形等。
在经济学中，微元法可以用来计算曲线下面积表示的经济收入等。
微元法的基本思想是将一个复杂的问题分解成无限小的微元，然后通过对这些微元进行求和，得到整体问题的解。
在微积分中，微元法是一种非常重要的方法，它能够帮助我们解决许多实际问题。
通过将问题分解成无限小的微元，我们可以更加直观地理解问题的本质，并且可以通过对微元的分析和计算，得到问题的解。
微元法的应用十分广泛，不仅可以用于求解几何问题，还可以用于求解物理、工程、经济等领域的问题。
无论是计算曲线的长度，还是计算曲面的面积，微元法都能够提供一种简洁而有效的解决方案。
通过将问题分解成微小的部分，并对这些部分进行求和，我们可以更加细致地研究问题的特性和规律，从而得到更加准确和全面的答案。
微元法是微积分中的一种重要方法，它通过将复杂的问题分解成无限小的微元，然后对这些微元进行求和，最终得到问题的解。
微元法的应用范围广泛，可以用于求解几何、物理、工程、经济等领域的问题。
它的核心思想是将问题分解成简单的微小部分，并通过对这些部分的处理，得到整体问题的解。
微元法评述_1
“微元法”评述“微元法”又称为“元素法”,是解决际应用问题的一种常用的方法。
设总量函数S(x)在[a,b]上连续, 记函数值S(b)为S _粗斜体;其流程是：在一小段区间上通过分析得到近似关系式 (10) △S ≈dS= f(x)△x 。
然后就是结论(30)：S = W f =()ba f x dx ⎰。
这里借用了符号dS ,若dS 是微分,当然有(30), 但还需要证明：(20) 误差r=△S -d S =o (△x) 即误差r 是△x 的高阶无穷小。
一般情况下,直接证明(20)是很困难的！另外，f 连续，定积分W f 当然存在，但是它与总量函数S 有关系吗？而且,“近似”的标准是什么呢？ 例如：小曲边梯形面积△S ≈小三角形面积d S= 0.5f(x)△x ⇒(30): S =W f =0.5()ba f x dx ⎰。
为什么是错的呢？…参考文献F6C 数学分析(沐定夷 上海交通大学出版社1993) 在302页～303页中就指出数学分析中对这一问题，的处理方法是：对于不规则图形(如曲边梯形)的度量(如面积) 用规则图形(如矩形)的面积之和的极限来定义(若极限存在, 则称该图形为可求面积的；称该极限就是它的面积)。
用面积的严格定义，解决了求曲边梯形面积(或类似问题)的(10)⇒(30)的严密性证明；对于复杂的问题，例如，求弧长的问题，单纯靠弧长的严格定义还不够，还要专门加上有针对性地证明|Σ△S i -Σf(x)△x i |→0（参见F6C 294页～297页，302页）。
如果增加了下面的“微元定理”(10)⇒(30)中的严密性欠缺问题。
微元定理约定1 函数f(x),g(x), 及具有代数可加性的总量函数S(x)在D 上都是连续的，区间D=[a,b],小段区间△D=[x,x +△x], 函数f 在区间D 上的积分和简记为：Σf(x)△x i 或Σf △x i ；定积分()ba f x dx ⎰简记为：W f ；进一步简记为：f ➵W f ；其中下标用能够反映f 的特征标记,例如g ➵w g ；f 2➵W 2。
3.6 弧微分、曲率
例4
率突然改变, 容易发生事故, 为了行驶平稳, 往往
在直道和弯道之间接入一段缓冲段, 使曲率连续
地由零过渡到
1 R
,
其中
R
为圆弧轨道的半径.
数学上常用三次抛物线
y
x3 6Rl
,
x
[0,
x0
].
作为缓冲段 OA,其中 l 为OA的长度,
使得缓冲段 OA在始端 O 处 的曲率为零,
且当
l R
很小
l R
1
时,
y R
在终端
A
的曲率近似为
1 R
.
A
ol
x
y 1 x3 6Rl
例2 根据分析, 在缓冲段 OA上,
y
1 2Rl
x2,
y
1 Rl
x.
故在缓冲段始端 x 0处的曲率为 K0 0. ( y 0, y 0)
题意实际要求
l
x0 ,
l R
1,
故
y xx0
x02 2Rl
l2 2Rl
l 2R
,
y xx0
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
二、曲率及其计算公式
曲线的弯曲程度
与切线的转角有关 与曲线的弧长有关
M M M
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s ,对应
切线转角为 ,定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
x0 Rl
l Rl
1. R
例2
题意实际要求
l
浅析如何计算曲线的弧长
(x) 2 (y ) 2 ， 从 中 就 不 难 得 到 ds (dx ) 2 (dy ) 2 ， 而
s ds 。弧长的计算是对弧微分进行积分，所以计算的关键是把弧微分表示出来。根据给出的方
程形式不同，对应的弧微分有三种计算公式，若曲线用参数式表示： 线弧长为： s
1 x2 1 dx ln 3 2 1 x 2
曲线方程为极坐标表示：r ( ), a b, 该曲线段的弧长为 s / 1
b
a
2 ( ) '2 ( ) d ，如
\
版权所有 翻印必究 例 3。
例 3：计算曲线的弧长 r a (1 cos ),0 2 解：
b
a
1 f '2 ( x) dx ，如例
例 2：计算曲线 y ln(1 x ),0 x 解： dy
1 2 0
2
1 2
1 x2 2x 2x 2 2 dx ， dx , ds 1 f ' ( x ) dx 1 ( ) dx 1 x2 1 x2 1 x2
x x(t ) ， a t b ，该曲 y y (t )
b
a
x'2 (t ) y '2 (t ) dt 。如例 1.
3 3
例 1：计算曲线弧长 x a cos t , y a sin t ,0 t 解：
2
x' (t ) 3a cos 3 t sin t , y 3a sin 2 t cos t
以上就是对于曲线弧长的计算，基于不同类型的曲线应结合相应公式代入计算。
2
中学物理思想方法——微元法专题
中学物理思想方法——微元法专题齐薇（启东市汇龙中学 226200）近些年各地高考，特别是江苏高考物理试卷中时有微元法题目出现，考生的得分率很低，因此掌握这种问题的解题技巧就显得尤为重要。
那什么是微元法呢？利用微分思想的分析方法称为微元法。
它是将研究对象或物理过程进行无限细分（化变为恒、化曲为直、化整为零），从其中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象或被研究过程变化规律的一种思想方法。
一、“微元法”解题的思维程序：1、隔离选择恰当微元（空间元、时间元）作为突破整体研究的对象。
微元可以是：一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。
2、将微元模型化（如视作点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……）并运用相关物理规律，求解这个微元。
3、将一个微元的求解结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的关系（如对称关系、矢量方向关系、量值等关系），对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。
二、“微元法”解题一般步骤: 1、确定研究对象，选取“微元”； 2、列出相关微元的方程；3、对相关微元进行累积求和或求导。
三、微元法在变化中的应用.解题示范：从地面上以初速度v0竖直向上抛出质量为m 的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动。
求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功（2）球抛出瞬间的加速度大小（3）球上升的最大高度解析：（1）由动能定理得：22101122f W mv mv =-克服空气阻力做功22011122f f W W mv mv =-=-克（2）空气阻力 f kv = 由落地时匀速运动有：10mg kv -=设刚抛出时加速度大小为a0，则00mg kv ma +=解得：001(1)v a g v =+（3）设上升至速度为v 时加速度为a ，则 ()mg kv ma -+=k a g v m =--v v 1取极短时间t ∆，其速度变化为v ∆，有：k v a t g t v t m ∆=∆=-∆-∆又因为 v t h ∆=∆对上升全过程有：kv g t h m ∆=-∆-∆∑∑∑010k v gt H m -=--解得：011()v gt v H g -=小结：在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
3-9弧微分与曲率
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
有
y
x x0
1 2Rl
x02
1 l2 2Rl
l, 2R
y
y
x x0
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2M2 S2 M3来自S1M1弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学.
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x
y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2 y 2 d t
弧微分的重要性与应用
弧微分的重要性与应用弧微分是微积分中非常重要的一种概念。
它是微积分领域中的一个独特的工具，用于描述曲线的性质和运动。
弧微分广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域中，是一个非常实用的概念。
本文将介绍弧微分的定义、性质、应用以及如何计算弧微分。
一、弧微分的定义在微积分中，弧微分是描述曲线的一种方法。
弧微分是曲线上弧长的微小增量，也就是曲线上的每一点处的切线长度。
形式化地说，如果有一条曲线，它的参数方程是$(x(t),y(t))$，则在$t$处的弧微分为：$$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$其中，$\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$ 分别是曲线在$t$处的水平和竖直速度。
二、弧微分的性质弧微分有以下几个重要的性质：1. 任意两点之间的弧长可以通过对曲线上各点的弧微分进行积分得到。
2. 弧微分是一个标量，所以不受坐标系旋转或变换的影响。
3. 弧微分是正的，因为曲线上的任意一点的速度的平方和是非负的。
三、弧微分的应用弧微分在物理、工程、计算机科学等领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的例子：1. 物理中的应用：弧微分被广泛应用于描述力学系统中的运动，例如描述一个运动的物体沿着曲线的路径移动。
2. 工程中的应用：弧微分在工程中也有广泛的应用，例如在航空工程中，弧微分被用来计算两个飞机之间的最短距离。
3. 计算机科学中的应用：弧微分在计算机科学中也有很多应用，特别是在计算机视觉方面。
例如，计算机可以使用弧微分来描述人脸的轮廓。
四、如何计算弧微分计算弧微分可以使用以下公式：$$ ds = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$其中，$(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是曲线上的任意两个点。
另一种计算弧微分的方法是使用微积分的方法。
高中物理解题方法---微元法
高中物理解题方法----微元法一、什么是微元法：在所研究是物理问题中，往往是针对研究对象经历某一过程或处于某一状态来进行研究，而此过程或状态中，描述此对象的物理量可能是不变的，而更多则可能是变化的。
对于那些变化的物理量的研究，有一种方法是把全过程分割成很多短暂的小过程或把研究对象整体分解为很多的微小局部的研究而归纳出适用于全过程或整体的结论。
这些微小的过程或微小的局部常被称为“微元”，此法也被称为：“微元法”。
二、对微元的理解：简单地说，微元就是时间、空间或其它物理量上的无穷小量，（注：在数学上我们把极限为“零”的物理量，叫着无穷小量）。
当某一连续变化的事物被分割成无数“微元”（无穷小量）以后，在某一微元段内，该事物也就可以看出不变的恒量了。
所以，微元法又叫小量分析法，它是微积分的理论基础。
三、微元法解题思想：在中学物理解题中，利用微元法可将非理想模型转化为理想模型（如把物体分割成质点）；将曲面转化为平面，将一般的曲线转化为圆弧甚至直线段；将变量转化成恒量。
从而将复杂问题转化为简单问题，使中学阶段常规方法难以解决的问题迎刃而解。
微元法的灵魂是无限分割与逼近。
用其解决物理问题的两要诀就是取微元----无限分割和对微元做细节描述----数学逼近。
所谓取微元就是对整体对象作无限分割，分割的对象可以是各种几何体，得到“体元”、“面元”、“线元”、“角元”等；分割的对象可以是一段时间或过程，得到“时间元”、“元过程”；也可以对某一物理量分割，得到诸如“元功”、“元电荷”、“电流元”、“质元”等相应元物理量，它们是被分割成的要多么小就有多么小的无穷小量，而要解决整体的问题，就得从它们下手，对微元作细节描述即通过对微元的性质做合理的近似逼近，从而在微元取无穷小量的前提下，达到向精确描述的逼近。
例1、如图所示，岸高为h，人用不可伸长的绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为θ时，人收绳速率为υ，则该位置船的速率为多大？例2、如图所示，长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？例3、如图所示，半径为R，质量为m的匀质细圆环，置于光滑水平面上，若圆环以角速度ω绕环心O转动，试证明：（1）圆环的张力πω22RmT=(2)圆环的动能2)(21RmEkω=例4、一根质量为M，长度为L的匀质铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度x时，链条对地面的压力为多大？例5、如图所示，半径为R的半圆形绝缘细线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q和－q，求圆心处的场强.例6、如图所示，在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C，充电后两端电压为U1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m的金属棒，当闭合S，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U2，求棒落在离平台多远的位置.例7、（1）试证明：质量为M的匀质球壳，对放置在空腔内任意一点的质量为m的质点的万有引力为零。
微元法评述3 弧微分
弧微分__必不可少的一个应用问题。
请看下面例子<本例引自同济第6版高等数学>：弧微分 已知平面曲线弧AB ,起点A 对应于t =α,终点B 对应于t =β求弧AB 的长度s 。
注意: 其中的关系式是通过两次近似而得到的,为什么能这样？在参考文献F6C - 303页中也有类似地结果，严谨的推导见F6C -294页～297页或本文后面的解法1、2、3。
下面我们用微元定理来推导这一问题。
解法1：首先引入定义10：在D=[α,β]上取分点t 0=α,t 1,…,t n =β；对应于弧上点P 0=A ,P 1,P 2,…,P n =B ；弧内接弦构成折线P 0P 1P 2…P n 该折线的总长记为s p ；当按上述方法求得的s p 在最大弦长λ→0时,若s p →s (极限存在)则称原曲线弧为可求长的,且该弧长为s 。
∵在小段△D=[t ,t+△t]中,弦长2=(△x )2+(△y)2=[(x /t (ζ))2+(y /t (η))2]|△t |2, 其中ζ ,η∈△D ;∴弧长s =01limni i t λ→==W=βα⎰,(由微元定理4)。
∴弧微分。
解法2(不用微元定理4)：引理 |v w -|(该引理简略证明如下：乘共轭根式,化简并注意v )∵设f 1 f 2由约定2 f 1➵*W=βα⎰;由引理 |f 2-f 1≤|y /t (η)- y /t (ζ)|,y /在D 上连续由微元定理3②得f 2➵W 成立。
∴弧长s =W=βα⎰。
解法3：设曲线弧方程为y=f(x)，x ∈D=[a,b], y /在D 上连续且只有有限个驻点，即在D 上只有有限个单调区间；故可设△D=[x,x+△x]上曲线是单调上升(或下降)的(图830)。
弦PQ 长=[(△x )2+(△y)2] 1/2=[1+(y /(ξ)) 2] 1/2△x显然, 弦PQ ≤弧长△s ≤线段PR+RQ ；(g=线段RQ 的长) 其中线段PR 2=(dx )2+(dy)2=[1+(y /(x ))2]|△x |2；记f 1=[1+(y /(x ))2]1/2；f 1➵W=a⎰f 2=[1+(y /(ξ)) 2] 1/2；由约定2知f 2➵*W∵f 2△x ≤△s ≤f 1△x+g =( f 1+g /△x)△x; 记f 3= f 1+g /△x; ∵|f 3- f 1|= g /|△x |=|△y- dy |/|△x |=|y /(η)- y /(x )|其中y /连续;η,x ∈△D=[x ,x+△x]；由微元定理3②知：f 3➵W 。
02-080、弧微分
第三章第七节
弧微分
弧微分的定义
弧微分的计算公式
弧长及弧长函数
第三章第七节增函数。
的单调是而且存在函数关系：与弧。
显然，，相反时增大的方向）一致时依的方向与曲线的正向（弧的长度，当有向弧段的绝对值等于这段如下：简称为弧段的值，规定有向弧点的正向。
对曲线上任一增大的方向作为曲线弧长的基点，并规定依作为度量（上取固定点在曲线）内具有连续导数。
在（：设函数定义x x s x s s x s s s x s s s y x M x y x M x f y b a x f )(),(00)(),(),)(,)(1000=<>=
弧微分）（）（x x y s ∆+∆'+=∆ο2
1
弧微分公式：
x y s d )(1d 2
'+=
2
2）（）（dy dx ds +
=弧微分公式：
弧微分公式：
y x s d )(1d 2
'+=
弧微分公式：
dt y x s 2
2)()(d '+'=
弧微分公式：
θd r r s 22)(d '+=。
高中物理解题方法：三、微元法
三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。
赛题精讲例1：如图3—1所示，一个身高为h 的人在灯以悟空速度v 沿水平直线行走。
设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C 点是做匀速直线运动。
解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。
设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程△t （△t →0），则人由AB 到达A ′B ′，人影顶端C 点到达C ′点，由于△S AA ′=v △t 则人影顶端的 移动速度hH Hv t S h H H t S v A A t C C t C -=∆∆-=∆∆='→∆'→∆00lim lim 可见v c 与所取时间△t 的长短无关，所以人影的顶端C 点做匀速直线运动.例2：如图3—2所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足： θθθθT G T T +∆=∆+cos θρθθcos cos Lg G T ∆=∆=∆由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△T θ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上△T θ的和，即 ∑∑∑∆=∆=∆=θρθρθcos cos L g Lg T T观察 θcos L ∆的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD ⊥OC ，∠OCE=θ△Lcos θ表示△L 在竖直方向上的投影△R ，所以 ∑=∆R L θcos 可得铁链A 端受的拉力 ∑=∆=gR L g T ρθρcos例3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点A 离太阳的距离为a ，行星经过近日点A 时的速度为A v ，行星的远日点B 离开太阳的距离为b ，如图3—3所示，求它经过远日点B 时的速度B v 的大小.解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间△t ，由于时间极短可以认为行星在△t 时间内做匀速圆周运动，线速度为A v ，半径为a ，可以得到行星在△t 时间内扫过的面积 a t v S A a ⋅∆=21 同理，设行星在经过远日点B 时也运动了相同的极短时间△t ， 则也有 b t v S B b ⋅∆=21 由开普勒第二定律可知：S a =S b 即得 A B v b a v = 此题也可用对称法求解. 例4：如图3—4所示，长为L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m ，船的质量为M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过程中的△t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.设v 1、v 2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有 21Mv mv = ① 两边同时乘以一个极短的时间△t ， 有 t Mv t mv ∆=∆21 ②由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为t v s ∆=∆11，t v s ∆=∆22由此将②式化为 21s M s m ∆=∆ ③把所有的元位移分别相加有 ∑∑∆=∆21s M s m ④即 ms 1=Ms 2 ⑤ 此式即为质心不变原理. 其中s 1、s 2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s 2 ⑥由⑤、⑥两式得船的位移 L mM m s +=2 例5：半径为R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR ，且弹性绳圈的劲度系数为k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3—5所示，若 平衡时弹性绳圈长为R π2，求弹性绳圈的劲度系数k.解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m 作为研究对象，进行受力分析.但是△m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m 所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量 M m πθ2∆=∆ △m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为 2sin 2)2cos(2θθπ∆=∆-=F F T 因为当θ很小时，θθ≈sin 所以θθ∆=∆=F F T 22 再看正视图3—5—乙，△m 受重力△mg ，支持力N ，二力的合力与T 平衡.即 θtan ⋅∆=mg T 现在弹性绳圈的半径为 R R r 2222==ππ 所以 ︒===4522sin θθR r 1tan =θ 因此T=Mg mg πθ2∆=∆ ①、②联立，θπθ∆=∆F Mg 2， 解得弹性绳圈的张力为： π2Mg F = 设弹性绳圈的伸长量为x 则 R R R x πππ)12(2-=-=所以绳圈的劲度系数为：RMg R Mg x F k 222)12()12(2ππ+=-== 例6：一质量为M 、均匀分布的圆环，其半径为r ，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mr ω2，当ω一定时，r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度ω，r 应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L ，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为M m πθ2∆=∆，受圆环对它的张力为T ，则同上例分析可得 22sin2ωθmr T ∆=∆ 因为△θ很小，所以22sin θθ∆≈∆，即 2222ωπθθMr T ∆=∆⋅ 解得最大角速度 MrT πω2= 例7：一根质量为M ，长度为L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图3—7所示，求链条下落了长度x 时，链条对地面的压力为多大？解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.设开始下落的时刻t=0，在t 时刻落在地面上的链条长为x ，未到达地面部分链条的速度为v ，并设链条的线密度为ρ.由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零.从t 时刻起取很小一段时间△t ，在△t 内又有△M=ρ△x 落到地面上静止.地面对△M 作用的冲量为 I t Mg F ∆=∆∆-)( 因为 0≈∆⋅∆t Mg所以 x v v M t F ∆=-⋅∆=∆ρ0 解得冲力：t x v F ∆∆=ρ，其中tx ∆∆就是t 时刻链条的速度v ， 故 2v F ρ= 链条在t 时刻的速度v 即为链条下落长为x 时的即时速度，即v 2=2g x ，代入F 的表达式中，得 gx F ρ2= 此即t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力.所以在t 时刻链条对地面的总压力为 .332LMgx gx gx gx N ==+=ρρρ 例8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析：钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图3—8所示，当左边绳端离钉子的距离为x 时，左边绳长为)(21x l -，速度 gx v 2=， 右边绳长为).(21x l + 又经过一段很短的时间△t 以后， 左边绳子又有长度t V ∆21的一小段转移到右边去了，我们就分 析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力l m g t v /(21=∆λλ为绳子的线密度）， 根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21(v t v t g t v T ⋅∆--=∆∆-λλ 由于△t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，所以有 λλgx v T ==221 因此钉子对右边绳端的作用力为 )31(21)(21lx mg T g x l F +=++=λ 例9：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析：求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力.因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解.在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元△L ，△L 所对应的圆心角为△θ，如图3—9—甲所示，绳元△L 两端的张力均为T ，绳元所受圆盘法向支持力为△N ，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得： 2sin 22sin 2sinθθθ∆=∆+∆=∆T T T N 当△θ很小时，22sin θθ∆≈∆ ∴△N=T △θ 又因为 △L=R △θ则绳所受法向支持力线密度为 RT R T L N n =∆∆=∆∆=θθ ① 以M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有 Mg －T=Ma ② T －mg=m a ③ 由②、③解得： m M Mmg T +=2 将④式代入①式得：Rm M Mmg n )(2+= 例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和r 的两圆环相切.若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环即可求解.如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q 两点，并设与水平线夹角为α，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元αα∆⋅=∆∆⋅=∆2221r L R L其对应的质量分别为 αρρ∆⋅=∆=∆21111R l mαρρ∆⋅=∆=∆22222r l m 由于△α很小，故△m 1、△m 2与m 的距离可以认为分别是 ααcos 2cos 221r r R r ==所以△m 1、△m 2与m 的万有引力分别为 222222212111)cos 2(2,)cos 2(2ααρααρr m R G r m Gm F R m R G r m Gm F ∆⋅=∆=∆∆⋅=∆=∆ 由于α具有任意性，若△F 1与△F 2的合力为零， 则两圆环对m 的引力的合力也为零， 即2221)cos 2(2)cos 2(2ααρααρr m r G R m R G ∆⋅=∆⋅ 解得大小圆环的线密度之比为：rR =21ρρ 例11：一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，有F △t=△m ·v 因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg即 Mg ·△t=△m ·v △t=△m ·v/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为： 221mv W ∆= 所以发动机的功率 MgV Mg mV mv t W P 21)/(212=∆∆=∆= 例12：如图3—11所示，小环O 和O ′分别套在不动的竖直杆AB 和A ′B ′上，一根不可伸长的绳子穿过环O ′，绳的两端分别系在A ′点和O 环上，设环O ′以恒定速度v 向下运动，求当∠AOO ′=α时，环O 的速度.解析：O 、O ′之间的速度关系与O 、O ′的位置有关，即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系.设经历一段极短时间△t ，O ′环移到C ′，O 环移到C ，自C ′与C 分别作为O ′O 的垂线C ′D ′和CD ，从图中看出. ααcos ,cos D O C O OD OC ''=''= 因此OC+O ′C ′=αcos D O OD ''+ ① 因△α极小，所以EC ′≈ED ′，EC ≈ED ，从而OD+O ′D ′≈OO ′－CC ′ ②由于绳子总长度不变，故 OO ′－CC ′=O ′C ′ ③由以上三式可得：OC+O ′C ′=αcos C O '' 即)1cos 1(-''=αC O OC等式两边同除以△t 得环O 的速度为 )1cos 1(0-=αv v 例13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算.已知水银密度33/106.13m kg ⨯=ρ，水 银的表面张力系数./49.0m N =σ当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h 的简单函数，而且支持力N 和重力mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解.在圆饼的侧面取一个宽度为△x ，高为h 的体积元，，如图3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面积△x ·h 上的压力F ，x gh xh hg S P F ∆⋅=∆⋅==22121ρρ， 还有上表面分界线上的张力F 1=σ△x 和下表面分界线上的 张力F 2=σ△x .作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲 分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出. 由力的平衡条件有：0cos 21=--F F F θ即 0cos 212=∆-∆-∆x x x gh σθσρ 解得：θρθσcos 1107.2)cos 1(23+⨯=+=-gh 由于 ,2cos 11,20<+<<<θπθ所以 故2.7×10－3m<h<3.8×10－3m题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h 的估算值为3×10－3m 或4×10－3m.例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示.问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p 0、密度为ρ）解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径.注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为△L ，因△L 很小，所以其质量△m 进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，该问题就可以解决了.由以上分析，得：F=(p 0－p)S ① 对进入的△m 气体， 由动能定理得：221mv L F ∆=∆ ② 而 △m=ρS △L联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度 ρ)(20p p v -=例15：电量Q 均匀分布在半径为R 的圆环上（如图3—14所示），求在圆环轴线上距圆心O 点为x 处的P 点的电场强度.解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解.选电荷元 ,2RQ R q πθ∆=∆它在P 点产生的电场的场强的x 分量为： 22222)(2cos x R x x R R Q R k r q k E x ++∆=∆=∆πθα 根据对称性 322322322)(2)(2)(2x R kQx x R kQxx R kQxE E x +=+=∆+=∆=∑∑ππθπ由此可见，此带电圆环在轴线P 点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P 点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向.例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m.令此环均匀带正电，总电量为Q.现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向竖直向下.当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则环中也就没有因磁场力引起的张力.当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关.由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小.在圆环上取△L=R △θ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示.因转动角速度ω而形成的电流 πω2Q I =，电流元I △L 所受的安培力θπω∆=∆=∆QB R LB I F 2 因圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，R m F T 22sin 2ωθ∆=∆-∆ 当△θ很小时，R m QB R T 2222sin ωθπωθθθ∆=∆-∆∆≈∆ θπωθπωθθπ∆=∆-∆∴∆=∆2222R m QB R T m m解得圆环中张力为 )(2ωπωm QB R T += 例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m 的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R 的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v 0，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？解析：水平地从a 向b 看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解.设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间△t ，发生了一段极小的位移△x ，在△t 时间内，磁通量的变化为△φ △φ=BL △x tRx BL tR R I ∆∆=∆∆Φ==ε金属杆受到安培力为tRx L B ILB F ∆∆==22安 由于时间极短，可以认为F 安为恒力，选向右为正方向，在△t 时间内，安培力F 安的冲量为：Rx L B t F I ∆-=∆⋅-=∆22安 对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为x RL B R x L B I 2222)(-=∆-=∑ ① 其中x 为杆运动的最大距离， 对金属杆用动量定理可得 I=0－mV 0 ② 由①、②两式得：220LB R m V x = 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向1，然后合向2.求：（1）两根小棒最终速度的大小；（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计） 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得：1111v m v m t F i i -'=∆ ∑=∆v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=∆v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=∆+∆∑∑又因为 11Bli F i = 21i i t t ∆=∆ 22Bli F i = i i i =+21所以 ∑∑∑∑∆=∆+=∆+∆i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211v m m q Q BL )()(21+=-=而Q=CE q=CU ′=CBL v所以解得小棒的最终速度 2221)(LCB m m BLCE v ++= （2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(212121 即产生的热量 22122)(212121v m m C q CE Q +--=热 )(2)()()]([2121)(21)(12121222122122212122222122C L B m m CE m m L CB m m BLCE m m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=针对训练1．某地强风的风速为v ，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面积为S 的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A 和水平面上B 点的水平距离为s.现在修一条冰道ACB ，其中AC 为斜面，冰道光滑，物体从A 点由静止释放，用最短时间经C 到B ，不计过C 点的能量损失.问AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？3．如图3—21所示，在绳的C 端以速度v 匀速收绳从而拉动低处的物体M 水平前进，当绳AO 段也水平恰成α角时，物体M 的速度多大？4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A 和B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C 球的两绳的夹角为θ，设A 、B 两球此时下落的速度为v ，则C 球上升的速度多大？5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是（ ）A ．gh 2B ．0C ．gh 22D ．v 0 6．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦.（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）（2）设k=Mg/2π2R ，求绳圈的最后平衡位置及长度.7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A 处有一质量为m 、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用下小球以恒定速度v 沿管壁做半径为R 的匀速圆周运动，如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A 点运动到B 点过程中F 做的功W F .8．如图3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV 的直线加速器加速，形成电流为1.0mA的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10－19C.这束质子流每秒打到靶上的质子数为 .假设分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l 的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为n 1和n 2，则n 1: n 2 .9．如图3—25所示，电量Q 均匀分布在一个半径为R 的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x 的点电荷q 所受的力的大小.10．如图3—26所示，一根均匀带电细线，总电量为Q ，弯成半径为R 的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的长为△L 的空隙，求圆环中心处的场强.11．如图3—27所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导线（它们的电荷线密度为η），端点联线LN 垂直于这两直导线，如图所示.LN 的长度为2R.试求在LN 的中点O 处的电场强度.12．如图3—28所示，有一均匀带电的无穷长直导线，其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度.该点与直导线间垂直距离为r.13．如图3—29所示，半径为R 的均匀带电半球面，电荷面密度为δ，求球心O 处的电场强度.14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长为a （a <L ），质量为m 的正方形闭合线框以初速v 0垂直磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v <v 0），求：（1）线框在这过程中产生的热量Q ；（2）线框完全进入磁场后的速度v ′.15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ，充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2，求棒落在离平台多远的位置.16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小为B ，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C 的电容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求金属棒的加速度a .答案：1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2hs g h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1）RMg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R QqxK + 10．32R l Q K ρ∆ 11．R k λ2 12．r k λ213．σπR 2 14．2),(210220v v v v v m +='- 15．gh m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=。
弧微分与曲率
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
注:参数方程下曲率的计算
设
x y
2
(
x
)2
x
(y
2
)2
MN MN
2
1
(y)2
x 2
s x
MN MN
2
1
(y)2
x2
N T
x x x
当x 0时, N M
lim
NM
MN MN
2
K
2 (1 4x2 )3/ 2
,
1 K
(1 4x2 )3/ 2 2
.
在点(0, 0),
Kmax
2,
min
1. 2
y
随着曲线 y x2
O2
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
K 逐渐减小， 逐渐增大.
O1
A
O
y x2
x
求 y x2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
下面求 s s( x) 的导数与微分
设N ( x x, y y)为曲线 上的另一点, s MN
y AM
s 2 x
MN x
2
MN MN
2
MN x
数学专业毕业论文-微元法的研究及应用模板
摘要 (1)第一章微元法理论 (2)1.1选题意义及微元法的产生背景 (2)1.2微元法理论简介 (3)1.2.1预备知识-定积分的定义 (3)1.2.2微元法的引入 (4)1.2.3微元法的实质及解题步骤 (4)第二章微元法的应用 (5)2.1微元法在几何中的应用 (5)2.1.1微元法证明一类积分学公式 (5)2.1.2微元法在几何学中的具体应用 (8)2.2微元法在物理学中的应用 (13)2.2.1概述微元法在物理中的应用 (13)2.2.2微元法在大学物理中的应用 (14)摘要微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理。
本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件，使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用，解决一些具体的实际问题，并研究如何使用微元法更加简单、高效。
关键词：微元法微元法几何应用物理应用ABSTRACTMicro-element method is an important treatment method for calculus problems. The use of Micro element method make originally complex integral problem becomes easy to deal with. This paper will give the principle of micro-element method, the use of methods and conditions of use of micro-element method to gain a deeper understanding. Then introduce applications of micro element method in geometry and physics to solve specific practical problems and learn how to use micro-element method is more simple and efficient.Key words: micro-element method; micro-element; geometric applications; physics application;第一章微元法理论1.1选题意义及微元法的产生背景数学的思想、精神、文化对于人类历史文化变革有着重要的影响。
数学考研名师指导微元法的运用
数学考研名师指导微元法的运用
数学考研名师指导：微元法的运用
微元法是高等数学中的重要内容，但是有很多的考生对微元法却是一知半解，从心里面比较排斥微元法，无法在做题的过程中使用微元法。
事实上，微元法远不像大多数考生想象的那样抽象，那样不可理解。
在高等数学中，微元法的思想首先出现在定积分之中，归根结底它的中心思想就是分割，近似，求和，取极限。
借助于这种思想和思路，我们进一步用微元法去求解面积，旋转体的体积，弧长，旋转体的表面积以及在物理中的应用。
下面，我主要给大家介绍一下如何用微元法求解极坐标下的面积，旋转体的体积，弧长，旋转体的表面积。
极坐标下的面积
首先我们必须明确，由于这个不规则的扇形的半径在不断的变化，所以我们无法将它的面积按照扇形的面积公式进行计算，所以我们首先对它进行分割，在分割的比较细的时候，
图中阴影部分近似的看作是半径不变的扇形，然后我们按照扇形的面积公式进行计算。
通过以上四个例子，相信大家对微元法已经有了一定的了解，对于微元法在物理中的应用类似我们也可以得到相关结论，微元法的根本思想就是分割，近似，求和，取极限。
只要我们牢牢的把握住这一点，微元法对大家而言也是很简单的。
论积分学中的微元法思想及其应用.doc
论积分学中的微元法思想及其应用.doc
积分学是数学中的一个非常重要的分支，在很多实际问题和工程中都有广泛的应用。
微元法是积分学中一个重要的思想，也是基于微分的一种技术。
微元法通常是通过将一个大的量分解成多个微小的部分，来更好地理解和计算复杂问题。
在微元法中，我们通常从一个小区间中的微小量来考虑问题。
比如，在计算曲线的弧长时，我们将一个曲线分割成很多小区间（也就是微元），然后计算每个小区间的弧长，最后将它们相加得到整个曲线的弧长。
又比如，在计算曲面面积时，我们可以将曲面分为很多小块，并将每个小块近似为一个平面。
然后我们可以计算每个小块的表面积，最后将它们相加得到整个曲面的面积。
还有一个常见的应用就是计算体积。
我们通常将一个复杂的体积分割成很多小块，然后计算每个小块的体积，最后将它们相加得到整个体积。
其实，在很多计算中，我们都会使用微元法的思想。
因为将一个大的复杂问题分解成多个小的简单问题，不仅便于计算，而且更易于理解。
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弧微分__必不可少的一个应用问题。
请看下面例子<本例引自同济第6版高等数学>：
弧微分 已知平面曲线弧AB ,起点A 对应于t =α,终点B 对应于t =β求弧AB 的长度s 。
注意: 其中的关系式是通过两次近似而得到的,为什么能这样？在参考文献F6C - 303页中也
有类似地结果，严谨的推导见F6C -294页～297页或本文后面的解法1、2、3。
下面我们用微元定理来推导这一问题。
解法1：首先引入定义10
：在D=[α,β]上取分点t 0=α,t 1,…,t n =β；
对应于弧上点P 0=A ,P 1,P 2,…,P n =B ；弧内接弦构成折线P 0P 1P 2…P n 该折线的总长记为s p ；当按上述方法求得的s p 在最大弦长λ→0时,若s p →s (极限存在)则称原曲线弧为可求长的,且该弧长为s 。
∵在小段△D=[t ,t+△t]中,弦长2=(△x )2+(△y)2=[(x /
t (ζ))2+(y /
t (η))2]|△t |2, 其中ζ ,η∈△D ;
∴弧长s =0
1
lim
n
i i t λ→==W=β
α
⎰
,(由微元定理4)。
∴弧微分。
解法2(不用微元定理4)：引理 |v w -|
(该引理简略证明如下：乘共轭根式,化简并注意v )
∵设f 1 f 2由约定2 f 1➵*W=β
α
⎰
;
由引理 |f 2-f 1≤|y /t (η)- y /
t (ζ)|,
y /
在D 上连续由微元定理3②得f 2➵W 成立。
∴弧长s =W=β
α
⎰。
解法3：设曲线弧方程为y=f(x)，x ∈D=[a,b], y /
在D 上连续且只有有限个驻点，即在D 上只有有限个单调区间；故可设△D=[x,x+△x]上曲线是单调上升(或下降)的(图830)。
弦PQ 长=[(△x )2+(△y)2] 1/
2=[1+(y /
(ξ)) 2] 1/
2△x
显然, 弦PQ ≤弧长△s ≤线段PR+RQ ；(g=线段RQ 的长) 其中线段PR 2=(dx )2+(dy)2=[1+(y /
(x ))2]|△x |2；
记f 1=[1+(y /
(x ))2]
1/2
；f 1➵W=
a
⎰
f 2=[1+(y /
(ξ)) 2] 1/
2；由约定2知f 2➵*W
∵f 2△x ≤△s ≤f 1△x+g =( f 1+g /△x)△x; 记f 3= f 1+g /△x; ∵|f 3- f 1|= g /|△x |=|△y- dy |/|△x |=|y /
(η)- y /
(x )|
其中y /
连续;η,x ∈△D=[x ,x+△x]；由微元定理3②知：f 3➵W 。
而f 2△x ≤△s ≤f 3△x ，由微元定理2得弧长s = W=
a
⎰
此时，弧微分为
当曲线弧方程为：x=x(t),y=y(t), t ∈D=[α,β]时，y /(x )= y /(t)/x /(t), dx=x /
t dt;
∴此时弧微分为ds =[(x /
t )2
+(y /
t )2]1/2
; 弧长s =β
α
⎰。
说明：解法1中用了10: 曲线弧长的定义及20
: 微元定理4(证明中要用多元函数连续性)。
解法2中用了10
及引理(f(u,v)时才成立)。
解法3中没有用10及20, 但它增加了条件30: y /
在D 上只有有限个驻点。