基本计数原理
第一节 计数的基本原理
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
计数的公式知识点总结
计数的公式知识点总结1.基本计数原理基本计数原理是计数问题中最基本的方法之一。
它适用于一些简单的问题，例如从一个有限的集合中选择元素的方式数量。
基本计数原理的核心思想是：如果一件事情可以划分为若干个独立的步骤，每个步骤有若干个选择，那么总的选择数就是所有步骤的选择数的乘积。
例如，考虑从一个4位数字（0-9）中选择一个数字的问题。
根据基本计数原理，我们可以将这个问题划分为4个步骤：先选第一位数字，再选第二位数字，以此类推。
每一步都有10种选择，因此总的选择数量为$10^4$=10000。
2.排列排列是计数中比较常见的问题之一。
排列是指从一个集合中选择一部分元素，并按照一定的顺序进行排列。
对于一个包含n个元素的集合，如果从中选择r个元素进行排列，则一共有$n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$种排列方式。
排列问题的应用十分广泛，例如在密码学中用于生成密码、在组合游戏中用于解决游戏的排列问题等。
在实际应用中，我们也可以用排列的方法来解决一些实际问题。
比如，在一家商店里，有10种不同的衣服，小王要挑选3种不同的衣服，问他共有多少种不同的选择方式？根据排列的计数方法，答案为$P^{10}_3=10\cdot 9 \cdot 8=720$种选择方式。
3.组合组合是另一个常见的计数问题。
组合是指从一个集合中选择一部分元素，并不考虑元素的排列顺序。
对于一个包含n个元素的集合，如果从中选择r个元素进行排列，则一共有$\frac{n!}{r!(n-r)!}$种组合方式。
组合问题在实际中也有着很多应用，例如在概率论中，组合问题用于计算事件发生的概率；在统计学中，组合问题用于计算样本的数量等。
组合问题也有着很多有趣的性质和应用，例如在计算机程序设计中，组合问题用于生成排列和组合的算法。
4.二项式定理二项式定理是组合的一个重要的应用。
它描述了二项式的幂的表达式。
计数方法和应用
计数方法和应用计数是一种非常基础和普遍的数学概念，也称为计数学。
在日常生活和工作中，计数方法和技术被广泛应用。
本文将从计数方法和应用两个方面进行阐述。
一、计数方法1.1 基本计数原理基本计数原理是计数领域最基础的公理之一，也称为加法计数原理，是指如果一个事件发生的次数是 m，而另一个事件发生的次数是 n，则这两个事件连续发生的总次数是 m+n。
举个例子，假设一个学校有三个年级，每个年级有30 个学生，那么这个学校的学生总人数就是 3 × 30 = 90 人。
1.2 排列和组合排列和组合是计数中两个基本的概念。
排列是指 n 个元素中任取 r 个元素进行排列，不考虑元素的顺序。
排列数用 P(n,r) 来表示。
组合是指n 个元素中任取r 个元素进行组合，考虑元素的顺序。
组合数用 C(n,r) 来表示。
举个例子，假设有 ABC 三个字母，我们从中任取两个字母进行排列和组合，其结果如下：- 排列：AB, AC, BA, BC, CA, CB，共 6 种。
- 组合：AB, AC, BC，共 3 种。
1.3 树状图树状图是计数中一种常用的图形表示方法，也被称为树状图法。
它通过树的枝干和节及其上的符号来表示问题的分支和可能的结果。
树状图通常用于组合问题和排列问题。
举个例子，假设一个口袋里有三个苹果和两个梨，从中任取两个水果，可能的取法有：苹果-苹果、苹果-梨、梨-苹果、梨-梨、共 4 种可能。
这个问题的树状图可以如下表示：二、计数应用2.1 组合优化组合优化是计算机科学中的一个重要分支，其应用于各种领域，如图形学、数据库、网络等，旨在寻找最优的组合方案。
举个例子，在网络优化中，如何在一个有向图中找到最短或最快的路径是一个经典问题，可以用 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford算法以及其他更高级的算法来解决。
而求解这些问题的基础，则是组合优化的概念和算法。
2.2 计算概率计数方法还可以用于计算概率，这是概率论的基础之一。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
基本计数原理
基本计数原理基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它是指在一系列独立事件中，所有可能的结果总数等于各个事件可能结果数的乘积。
基本计数原理在概率计算和组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
首先，我们来看一个简单的例子，假设你有一件红色、一件蓝色和一件绿色的衬衫，一条黑色和一条白色的裤子，以及一双黑色和一双棕色的鞋子。
现在你要从这些衣物中挑选一套搭配，问你有多少种不同的搭配方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每种衣物的选择方式，然后将它们相乘即可得到总的搭配方式数。
首先，你有3种衬衫选择方式，然后有2种裤子选择方式，最后有2种鞋子选择方式，所以总的搭配方式数为3×2×2=12种。
这就是基本计数原理的应用，通过分别计算每个事件的可能结果数，然后将它们相乘得到总的可能结果数。
基本计数原理不仅可以用于简单的搭配问题，还可以用于更复杂的排列和组合问题。
例如，如果我们要从10个人中选出3个人组成一个委员会，那么根据基本计数原理，总共有10×9×8=720种不同的选委员会的方式。
这个例子中，我们可以看到基本计数原理的计算方法，首先选择第一个人有10种可能，然后选择第二个人有9种可能，最后选择第三个人有8种可能，将它们相乘得到总的可能结果数。
除了排列和组合问题，基本计数原理还可以应用于更复杂的情况，比如多阶段的选择问题。
例如，如果你要从一副扑克牌中抽取5张牌，问你有多少种不同的抽牌方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每次抽牌的可能结果数，然后将它们相乘即可得到总的可能结果数。
首先，第一次抽牌有52种可能，然后第二次抽牌有51种可能，以此类推，最后得到总的可能结果数为52×51×50×49×48。
通过这个例子，我们可以看到基本计数原理在解决多阶段选择问题时的应用。
总的来说，基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
计数原理
第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。
分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。
二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。
排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。
基本的计数原理
基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。
基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。
本文将介绍基本的计数原理及其应用。
一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。
组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。
排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。
这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。
二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。
根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。
2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。
根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。
3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。
假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。
4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。
通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。
以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。
总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。
基本计数原理概念及例题
111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mAA C A A A 基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照．．一定顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=Λ 5、公式：，11--=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+ 8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r +-==101() 10、二项式系数C nr 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角：()（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n nn n 012+++= （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n C n n n n2112+⎛⎝ ⎫⎭⎪+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+121211212 排列组合例题1．(2010?山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70[答案] B[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种[答案] C[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个[答案] C[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人[答案] A[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种[答案] C[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A ．24种B ．36种C ．38种D ．108种[答案] B[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！×(n－r)！＝n×(n－1)！r×(r－1)！×[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12?A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12?A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2010?四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22?C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33?A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2010?北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16?A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49?C25?C33＝1260(种)排法．13．(2010?江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44＝1 080种．14．(2010?山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．三、解答题15．(1)计算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20×(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)×(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈Z，所以n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当m>n2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2010?东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33?A33＝C412?C48?C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66?A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18?A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010种排法．。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
计数知识点归纳总结
计数知识点归纳总结计数是数学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中的许多实际问题，如时间、距离、数量等等。
在学习计数的过程中，我们将会接触到各种各样的计数方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家总结一下计数的一些重要知识点，希望可以帮助大家更好地理解和掌握计数的相关内容。
一、基本计数原理基本计数原理是计数问题中最基本的原理。
它包括了两个基本的规则：加法原理和乘法原式。
1.1 加法原理加法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个互不相容的事件的并集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数之和。
换句话说，如果A和B是两个互不相容的事件，那么A和B的并集的发生次数等于A的发生次数加上B的发生次数。
例如，一个班级有30个男生和20个女生，那么班级一共有多少个学生？答案是30+20=50，这里使用了加法原理。
1.2 乘法原理乘法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个独立事件的交集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数的乘积。
换句话说，如果A和B是两个独立事件，那么A和B的交集的发生次数等于A的发生次数乘以B的发生次数。
例如，一个由3位数字组成的密码，每位数字可以是0到9之间的任何一个数字，那么一共有多少种可能的密码？答案是10*10*10=1000，这里使用了乘法原理。
二、排列和组合排列和组合是计算一组事物的不同排列和组合方式的方法。
在计数中，排列和组合经常会被用到。
2.1 排列排列是指从一组事物中抽取一部分进行排列，要求这些事物之间有顺序之分。
例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取3个数字进行排列，一共有多少种排列方式？答案是4*3*2=24种，这里使用了排列的计算方法。
2.2 组合组合是指从一组事物中抽取一部分进行组合，不要求事物之间有顺序之分。
例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取2个数字进行组合，一共有多少种组合方式？答案是4*3/2=6种，这里使用了组合的计算方法。
三、计数的应用计数不仅仅是一门理论学科，它还涉及到许多实际问题的解决。
基本计数原理知识点总结
基本计数原理知识点总结1. 基本计数原理的概念基本计数原理是指：如果一个任务可以分解成若干个独立的步骤，每个步骤有n个选择，那么整个任务有n1 * n2 * ... * nk种可能的选择。
简单来说，就是如果有n1种方式完成任务A，n2种方式完成任务B，那么完成A和B的方式一共有n1 * n2种。
2. 基本计数原理的应用基本计数原理通常用于解决排列和组合问题。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序取出若干个元素，组成一种特定的排列方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出若干个元素，组成一种特定的组合方式。
基本计数原理能够帮助我们快速计算出排列和组合的可能性。
3. 基本计数原理的例题解析举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设有一个珠子摆放在环形的项链上，这个项链有6个位置可以放置这个珠子。
那么总共有多少种放置这个珠子的可能性呢？根据基本计数原理，可以得到答案：6种。
因为首先可以选择任意一个位置放置这个珠子，然后再考虑不同位置之间的相对顺序，最终得到总共6种可能的放置方式。
4. 基本计数原理的推广在实际问题中，基本计数原理也可以通过多次使用来计算复杂的排列和组合的可能性。
比如，如果有一个3位数由0到9的数字组成，那么总共有多少种可能的排列呢？根据基本计数原理，可以分别计算出第一位、第二位和第三位的选择可能性，然后将它们相乘，就可以得到总共的排列可能性。
即10 * 10 * 10 = 1000种可能性。
5. 基本计数原理的局限性虽然基本计数原理在计算排列和组合问题中非常有用，但是在某些情况下可能并不适用。
比如，在一些相互依赖的情况下，无法简单地将不同步骤的选择可能性相乘来计算整体的可能性。
这时就需要使用更多的数学工具和技巧来解决问题。
总的来说，基本计数原理是解决排列和组合问题的基础，通过它能够很方便地计算出各种可能的排列和组合的数量。
在实际问题中，只要善于分解任务并且正确地应用基本计数原理，就能够迅速解决各种复杂的排列和组合问题。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是一种统计学理论，它提出了一种新的方法来解决复杂的问题，
并且在互联网领域有着广泛的应用。
基本计数原理的核心思想是，通过对一组数据进行统计，可以得出有用的信息，从而解决复杂的问题。
它的基本原理是，通过统计一组数据中的每个元素出现的次数，可以得出有用的信息。
在互联网领域，基本计数原理可以用来解决复杂的问题，比如搜索引擎的排名
算法，社交网络的用户关系分析，以及广告投放等。
搜索引擎的排名算法，可以通过统计搜索引擎中每个关键词出现的次数，来确定搜索结果的排名。
社交网络的用户关系分析，可以通过统计用户之间的关系，来分析用户之间的关系，从而更好地推荐内容。
广告投放，可以通过统计用户的行为，来确定最佳的广告投放策略。
基本计数原理的应用，使得互联网领域的问题变得更加容易解决，也使得互联
网领域的发展变得更加迅速。
它的应用，不仅可以提高互联网领域的效率，还可以提高互联网领域的用户体验。
总之，基本计数原理是一种有效的统计学理论，它在互联网领域有着广泛的应用，可以有效地解决复杂的问题，提高互联网领域的效率和用户体验。
计数原理公式
计数原理公式下面是一些基本的计数原理公式：1.乘法法则假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能的结果，那么这两个事件的组合就有m某n种可能的结果。
例如，如果你想选择一件衣服和一双鞋子，如果你拥有3件衣服和2双鞋子，那么你有3某2=6种不同的组合。
2.加法法则假设一个事件有m种可能的结果，另一个事件有n种可能结果，但这两个事件并不会同时发生，那么这两个事件的总可能性就是m+n。
例如，如果你想知道你在使用餐厅的时间段内将拿到桌子的可能性，这个时段有两个可能的时间段可供使用，分别为12：00-14：00和18：00-20：00，那么你将有2种可能的结果：如果这两个时间段使用同一个概率，则总共有2种可能的结果，这就是加法法则。
3.圆排列公式假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序放在一个圆中，那么圆排列的数量为(n-1)。
例如，在一个由4个数字组成的圆排列中，你会发现只有三个点不同，因为第四个点可以通过选择前三个点的反向来获得。
这意味着这个圆排列可以通过3!种方式重新排列，所以总共有(4-1)!3!=6个不同的排列序列。
4.全排列公式假设你有n个不同的对象，这些对象可以按任意顺序排列，那么全排列的数量为n。
例如，在一个由4个数字组成的全排列中，有4种可能性来选择第一个数字，3种选择来选择第二个数字，2种选择来选择第三个数字，以及1种选择来选择最后一个数字。
因此，总数为4某3某2某1=24，也就是4。
5.组合公式将n个不同的对象分成k个无序的组合，组合的数量为C(n,k)=n!/k!(n-k)。
例如，你有8个人要参加晚宴，但你只有6张餐桌可以使用。
你想在这些人中选择6个人参加这个晚宴。
这意味着你需要从8个人中选择6个人的组合数量。
利用组合公式，你可以得出C(8,6)=8!/6!(8-6)!=28。
6.二项式公式二项式公式告诉我们，如果一个事件之前已发生k次，而事件完成的概率是p，那么发生事件恰好k次的概率是：P(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。
fundamental counting principle -回复
fundamental counting principle -回复基本计数原理（Fundamental Counting Principle）是概率和组合数学中的一个重要概念，用于计算多个事件同时发生的可能性。
它的应用广泛，包括排列组合、解决复杂问题和设计算法等。
本文将详细介绍基本计数原理，并以具体例子逐步解释其应用。
首先，让我们来了解基本计数原理的概念。
基本计数原理是指当一个事件有多个步骤或层次时，我们可以通过将每个步骤的可能选择数相乘来计算整个事件的可能性。
换句话说，如果有n个事件，每个事件有m个选择，那么整个事件的可能性将是n*m。
为了更好地理解基本计数原理的应用，让我们来看一个简单的例子。
假设我们有一件衣服，它有3种颜色可选（红色、蓝色、绿色），并且有2种尺寸可选（S号、M号）。
那么，我们如何计算出这件衣服所有可能的组合呢？根据基本计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤：首先选择颜色，然后选择尺寸。
在第一步中，我们有3种选择，即红色、蓝色和绿色。
而在第二步中，我们有2种选择，即S号和M号。
因此，根据基本计数原理，我们可以通过将每个步骤的选择数相乘来计算出总的可能组合数，即3*2=6。
因此，这件衣服有6种可能的组合。
除了简单的例子外，基本计数原理还可以应用于更复杂的问题。
例如，假设我们要从一副扑克牌中选择一手5张牌。
那么，我们如何计算出可能的不同手牌数量呢？首先，让我们确定这个问题有几个步骤。
第一步是选择第一张牌，我们有52张牌可选。
第二步是选择第二张牌，因为我们已经选择了一张牌，所以这里只剩下51张牌可选。
依此类推，我们有52*51*50*49*48种可能的不同手牌。
在这个例子中，我们可以看到基本计数原理的威力。
通过分解问题为每个步骤的选择，我们可以以简单的方式计算出复杂问题的答案。
除了用于计算排列组合，基本计数原理也可以用于解决其他类型的问题。
例如，假设我们要组织一场宴会，由5个菜品和3种饮料可选。
fundamental counting principle -回复
fundamental counting principle -回复“基本计数原理”是组合数学中的一个重要概念，是指当一个实验包含k 个步骤，而每个步骤都有n_i个选择时，实验的总次数可以通过各个步骤的选择数的乘积得到。
这个原理在解决组合问题和计算概率时非常有用。
本文将详细介绍基本计数原理的概念、应用和一些实际问题的解决方法。
首先，让我们从一个简单的例子开始理解基本计数原理。
假设一家比萨店有3种尺寸的比萨饼(小号、中号和大号)和4种不同的配料(香肠、蘑菇、青椒和奶酪)可供选择。
现在，我们想知道共有多少种可能的比萨组合。
使用基本计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤：1. 选择比萨饼的尺寸：3个选择(小号、中号、大号)。
2. 选择配料：4个选择(香肠、蘑菇、青椒、奶酪)。
根据基本计数原理，我们将两个步骤的选择数相乘：3*4=12。
因此，总共有12种可能的比萨组合。
现在我们来看一个稍微复杂一些的例子。
假设一个密码由4个数字(0-9)组成，且允许重复。
我们想知道共有多少种可能的密码组合。
同样，我们可以使用基本计数原理来解决这个问题。
在这个例子中，每个步骤的选择数都是相同的，即10个(0-9)。
因为密码由4个数字组成，所以我们需要选择4次。
根据基本计数原理，我们将4次选择的结果相乘：10*10*10*10=10,000。
因此，总共有10,000种可能的密码组合。
基本计数原理还可以用于解决更复杂的问题。
例如，假设有5个人要排队购买电影票，而票价有3种选择(10元、20元、30元)。
此外，每个人还可以选择是否购买3D眼镜(是或否)。
我们想知道共有多少种可能的购票组合。
在这个例子中，我们可以将问题分解为5个步骤：1. 选择第一个人的票价：3个选择。
2. 选择第一个人是否购买3D眼镜：2个选择。
3. 选择第二个人的票价：3个选择。
4. 选择第二个人是否购买3D眼镜：2个选择。
5. 选择第三个人的票价：3个选择。
计数原理-拔高难度-讲义
计数原理知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．典型例题一．选择题（共1小题）1．（2018•蚌埠三模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是98．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类A，B，C三门课都不选，有C73=35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72=63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．故答案为：98．三．解答题（共9小题）3．（2018春•南阳期末）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N=C64+C63C61+C62C62=360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41=116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42=36（个）．4．（2018•江苏）设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t 时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．5．（2017秋•涞水县校级期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．6．（2017春•宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种7．（2016•东城区一模）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少8．（2016春•秀英区校级期末）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？【解答】解：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种．（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种，（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）A1010．9．（2016春•九龙坡区校级期中）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C54种；②取3个红球1个白球，C53C61种；③取2个红球2个白球，C52C62种，∴C54+C53C61+C52C62=215种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C52C63+C53C62+C54C61=381种．（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C53C62=150种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32=72根据分步计数原理可得，150×72=10800．10．（2016春•江阴市期中）将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，∴共有55=3125种放法．（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2．先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法．∴由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法．（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（﹣+﹣）=44，∴满足条件的放法数为：A55﹣C51×9﹣5!（﹣+﹣）=120﹣45﹣44=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51C41=20种放法．11．（2016春•江阴市期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比4301大的四位数有多少个？（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答．【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A53=60个第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C21=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．把三步相乘，共有2×4×12=96个最后，两类相加，共有60+96=156个（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A42=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个（3）（1+2+3+4+5）×A53×103+（1+2+3+4+5）×C41A42×（102+10+1）=15×65328=979920。
计数原理基本知识点
计数原理基本知识点1.分类计数原理：做一件事情,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有1m 种不同的方法,做第二步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中,任取m m n ≤个元素这里的被取元素各不相同按照一定的顺序．．．．．排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中,任取m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤6 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8 组合的概念：一般地,从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 10．组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 11 组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；12．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC1．二项式定理及其特例：101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈, 21(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表杨辉三角()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等∵m n m n n C C -=．直线2n r =是图象的对称轴．2增减性与最大值：当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时,中间两项12n n C -,12n nC +取得最大值． 3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++特别提醒1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r r r n T C a b -+=,注意()n a b +与()nb a +虽然相同,但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的,所以我们一定要注意顺序问题;另外二项展开式的二项式系数与该项的字母系数是两个不同的概念,前者只是指r n C ,而后者是指字母外的部分;2．在使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=时,要注意：1通项公式是表示第r ＋1项,而不是第r 项.2展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同.3通项公式中含有a ,b ,n ,r ,T 1+r 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程或方程组.这里必须注意n 是正整数,r 是非负整数且r ≤n .。
基本计数原理-知识介绍
独立 还是 相关？
但这原理只在所有的选择都是独立时才适用。 如果其中一个选择会影响到另一个选择（就是，与另一个选择有相关），把选择个数乘起来就不对了。
例子：你在买车子 …… 但是 ……
售货员说： "没有黑色的掀背车" …… 那就不一样了！
基本计数原理
若有m个方法去做一件事，及 n个方法去做另一件事，
则有m×n个方法去做这两件事。
ห้องสมุดไป่ตู้
例子：你有 3件衬衫和 4条长裤。 这便有3×4=12 种不同的配搭。
例子：冰淇淋有 6种味道和 3种蛋卷。 那么你便可以买6×3=18种不同的单球冰淇淋。
这个原理也适用于多于两个的选择：
例子：你去买车子。
有 2个车形： 轿车 或 掀背车
有 5种颜色：
有 3种模型：
GL （标准型号）、 SS （跑车型号――大发动机） SL （豪华型号――皮座）
总共有几个选择？
看看这个 "树" 图：
我的新车
GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL
我的新车
GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL GL SS SL
你现在只有 27个选择了。 因为你的选择已经不是互相独立的。 但你可以这样算：
选择的总数 = 5×3 + 4×3 = 15 + 12 = 27