吉林省东北师范大学附属中学2020学年高中数学 1.3第12课时函数的最大(小)值与导数(1)教案理新人教A

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东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（） A. 2i −− B. 2i −+C. 2i +D. 2i −【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+，所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2. 已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//m n ，m α⊂，则//n α C. 若//m α，//m β，则αβ∥ D. 若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误；对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ，由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=，所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ，连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角），设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==，MI =HIHG GB==所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==，抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m n x ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=，解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=，解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=，所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°，正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==，故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG 的投影向量为OA ，OA 与AD方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠再由余弦定理即可求得MC ，对于，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确；对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误；对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===,112EP BD =,则cos EPO ∠，依题意，,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________．【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形，则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ，为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________．【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=，图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=，图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =，因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−，又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤，所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ，所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明；（2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==，且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家（2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家；【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =，设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =，所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论；（2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △，所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式；（2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ．猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。

吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

东北师大附中2020——2021学年下学期期末考试高一年级数学科试卷命题人：高一数学学科组本试卷共3页，22小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知附属z 满足)2i z =，则z =（）A ．122i + B iC ．122i - D i2．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a =，c =6B π=，则b =（）A ．B ．C D4．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是23，乙同学外出旅游的概率是34，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A ．16B ．14C ．512D ．127．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15B C D 8．设点G 为ABC △的重心，过G 作一直线MN 分别交边AB ，AC 于点M ，N ，若AM xAB =，AN y AC =，则4x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．103D ．92二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（）A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B ．过空间中任意三点有且只有一个平面C ．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D ．若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A =“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B =“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C =“两个点数之和为8”；D =“两个点数之和为7”，则（） A ．A 与B 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 相互独立D ．C 与D 相互独立11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C = B ．ABC △是钝角三角形C ．ABC △的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC △ 12．如图，四棱锥P ABCD -的底部为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ．//l 平面PADB ．//AE 平面PCDC ．直线PA 与lD ．平面α截四棱锥P ABCD -所得的上，下两部分几何体的体积之比为35三、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分．13．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP =_______．14．某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg ）的数量分别是13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，则所给数据的第75百分位数是_______．15．已知动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且(0PA r r =<<，记点P 的轨迹长度为()f r ，则()1f f+=______．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a =3A π=,则223b c bc ++的取值范围是______．17．（本题满分8分）已知()1,0a =，()2,1b =．（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +垂直？（2）若23AB a b =+，BC a mb =+，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．（本题满分8分）2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如下表：现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：（1）求表中a 的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[)40,50与[)50,60内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率．19．（本题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，若PA PD ==cos 10PAB ∠=．（1）证明：PAD ABCD ⊥平面平面；（2）求二面角B PD A --的正切值．20（本题满分10分）树人中学为了了解A ，B 两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从A ，B 两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：（1）从A 校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；（2）如果把频率视为概率，从A 校区全体高一学生中随机选取一名，从B 校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较A ，B 两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．21（本题满分10分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 是棱11A C 的中点，点Q 在棱11B C 上．（1）试在棱AC 上找一点D ，使得//QD 平面11ABB A ，并加以证明；（2）求四棱锥C ABQP -的体积．22．（本题满分10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且111tan tan tan B C A+=．（1）求cos A 的最小值；（2）记ABC △的面积为S ，点P 是ABC △内一点，且PAB PBC PCA θ∠=∠=∠= ,证明：①2224tan SA b c a =+-；②tan 2tan A θ=．东北师大附中2020——2021学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．C 8．B9．AD10．AB11．ACD12．ACD填空题 13．111444OA OB OC ++ 14．15.3 15．3π 16．(]11,15 解答题17．解（1）()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，()()()21,022,15,2a b +=+=．因为ka b -与2a b +垂直，所以()()52120k -+-⨯=，即51020k --=，得125k =．（2）()()()2321,032,18,3AB a b =+=+=，()()()1,02,121,BC a mb m m m =+=+=+．因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()83210m m -+=，即230m -=，所以32m =． 18．解（1）∵0.100.150.150.250.051a +++++=，∴0.30a =．（2）由已知等级达到C 级及以上所占排名等级占比为15%35%35%85%++= 设原始分数不少于x 分可达到赋分后的C 级及以上，易知5060x << 所以，0.150.10501053.330.250.10x -=+⨯≈-所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）（3）设A =“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[)50,60内”由题设可知，原始得分在[)40,50和(]50,60内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，得分在[)50,60内的有3人．记得分在[)40,50内2位同学为a ，b ，得分在[)50,60的三位同学位B ，C ，D ．则从5人中任取2人，样本空间为()()()()()()()()()(){}=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a B a C a D b B b C b D B C B D C D Ω，共包含10个样本点()()()()()(){},,,,,,,,,,,M a B a C a D b B b C b D =，共包含6个样本点．所以，()63105P M == 故这2个人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率35．19．（1）证明：取AD 中点O ，连结PO ，BO ，BD ，在PAD △中，PA PD ==2AD =，则PO AD ⊥，2PO ===．在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD ==，∴2AB AD BD ===，∴BO AD ⊥，且BO ===PAB △中，cos PAB ∠=，∴2222cos 54227PB PA AB PA AB PAB =+-⋅⋅∠=+-=．在POB △中，222347OB PO PB +=+==，∴PO BO ⊥，且AD BO O ⋂= ∴PO ⊥平面ABCD ．又PO ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且BO AD ⊥， ∴BO ⊥平面ABCD ，作OE PD ⊥于E ，由三垂线定理，得BE PD ⊥． ∴BEO ∠就是二面角B PD A --的平面角，在Rt POD △中，OE PD ⊥，有PD OE PO OD ⋅=⋅21OE =⨯，∴OE =在Rt BOE △中，tan OB BEO OE ∠===∴二面角B PD A --．20．解：（1）从A 校区抽取的100名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于60分的频率为()0.0240.010200.68+⨯=，利用频率估计概率可得这名学生的成绩不低于60分的概率为0.68；（2）由概率分布图可得A 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.010200.20⨯=，B 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.005200.10⨯=，则这三名学生物理成绩都低于80分的概率约为0.800.900.900.648⨯⨯=，这三名学生中至少有一名学生成绩都不低于80分的概率为10.6480.352-=．（3）①从众数看，A ，B 两个校区的众数都是70，所以A ，B 两个校区的众数相等． ②从中位数看，A 校区物理成绩的中位数高于B 校区物理成绩的中位数A 校区的中位数是0.500.32602067.50.800.32-+⨯=-B 校区的中位数是0.500.48602061.00.900.48-+⨯=- 因为67.561.0>，所以，A 校区物理成绩的中位数高于B 校区物理成绩的中位数．③从平均数看，A 校区物理成绩的平均数高于B 校区物理成绩的平均数A 校区成绩平均数为1100.00120300.00320500.01220700.02420900.0102065.6μ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， B 校区成绩平均数为，2100.00120300.00420500.01920700.02120900.0052060.0μ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12u u >，所以，A 校区物理成绩的平均数高于B 校区物理成绩的平均数．④从方差看，B 校区物理成绩比A 校区物理成绩更集中．A 校区成绩方差为：()()()2222=1065.60.023065.60.065065.60.24AS -⨯+-⨯+-⨯+ ()()227065.60.489065.60.20324.64-⨯+-⨯=B 校区成绩方差为：()()()()()22222210600.0230600.0850600.3870600.4290600.10292B S =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=因为22A B S S >，所以B 校区物理成绩比A 校区物理成绩更集中． 21．（1）证法1：（1）点D 为棱AC 的中点，证明如下：取AB 的中点M ，连接DM ，1B M ．∵11//AB A B ，AB ⊂平面ABQP ，11A B ⊄平面ABQP ，∴11//A B 平面ABQP ，∵11A B ⊂平面111A B C ，平面ABQP ⋂平面111A B C PQ =，∴11//PQ A B ．又P 是棱11A C 的中点，∴Q 是棱11B C 的中点，∴112QB BC ∥， ∵D ，M 分别为棱AC ，AB 的中点，∴12DM BC ∥，∴1QB DM ∥， ∴四边形1DMB Q 是平行四边形，∴1//QD B M ，∵1B M ⊂平面11ABB A ，OD ⊄平面11ABB A ，∴//QD 平面11ABB A ．证法2：D 为AC 的中点时，//QD 平面11ABB A ．证明如下：∵//AB 平面111A B C ，AB ⊂平面ABQP ，平面ABQP ⋂平面111A B C PQ =， ∴//PQ AB ，PQ ⊄平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以//PQ 平面11ABB A ，又∵D 为AC 的中点，P 为11A C 的中点，∴1PDAA 是平行四边形，∴1//PD AA ，又∵PD ⊄平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，∴//PD 面11ABB A ，又∵PD 与PQ 在平面PDQ 内相交，∴面//PDQ 面11ABB A ，又∵QD ⊂面PDQ ，∴//DQ 平面11ABB A ．（2）解法一：连接BP ，四棱锥C ABQP -可视为三棱锥C BPQ -和C ABP -组合而成，三棱锥C ABP-可视为P ABC -，底面积24ABC S a ==△2，设1C BAP V V -=，体积为111322V ==．三棱锥C BPQ -与C ABP -等高，体积比为底面积之比，设2C BPQ V V -=，则21:::1:2BPQ BAP V V S S PQ AB ===△△，故211124V V ==，因此，1234C ABPQ V V V -=+=，即为所求．解法二：分别取AB 和11A B 的中点M ，N ，连接MN ，CM ，连接1C N 交PQ 于点G ，连接MG ，CG ． ∵ABC △和111A B C △是正三角形，且M ，N 分别是AB 和11A B 的中点， ∴CM AB ⊥，且1CM C N ∥，则C ，M ，N ，1C 四点共面． ∵1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1CC AB ⊥，又CM ⊂平面1CMNC ，1CC ⊂平面1CMNC ，1CM CC C ⋂=，∴AB ⊥平面1CMNC ， ∵AB ⊂平面ABQP ，∴平面ABQP ⊥平面1CMNC ．在矩形1CMNC 中，1MN CC ==，1CN CM AB ===∴11C G NG CC MN ===，∴145C GC NGM ∠=∠=︒，且1CG ==， ∴90CGM ∠=︒，即CG MG ⊥．又平面ABQP ⊥平面1CMNC ，平面ABQP ⋂平面1CMNC MG =，CG ⊂平面1CMNC ，∴CG ⊥平面ABQP ．在等腰梯形ABQP 中，11112PQ A B ==，2AB =，BQ AP ===，∴等腰梯形ABQP 的高h ==∴四棱锥C ABQP -的体积()111332ABQP V CG S CG PQ AB h =⋅=⨯+⨯梯形()11312324=+=．22．解：（1）因为111tan tan tan B C A +=，所以cos cos cos sin sin sin B C AB C A+=，所以2cos sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin B C B C AA ABC B C+==，由正弦定理可得2cos a A bc =，而由余弦定理得2222cos 2b c a a A bc bc+-==，所以2223a b c =+．因为22222223cos 233b c b c b c A bc bc ++-+==≥，当且仅当b c =时，等号成立，所以cos A 的最小值为23．（2）证明：设PA x =，PB y =，PC z =，PAB △，PBC △，PCA △的面积分别为1S ，2S ，3S ， ①因为222cos 2b c a A bc +-=，所以2222cos bc A b c a =+-，而1sin 2S bc A =，所以222sin 2sin 4tan cos 2cos A bc A S A A bc A b c a ===+-． ②由（1）中可得2223a b c =+，所以222242tan S S A b c a a==+-，在PAB △，PBC △，PCA △中，同理可得：312222222222444tan S S S c x y a y z b z x θ===+-+-+-，所以()22214tan S c x y θ=+-，()22224tan S a y z θ=+-，()22234tan S b z x θ=+-，所以()()222212344tan 4tan S S S S a b c a θθ=++=++=，即2tan S a θ=，所以tan 2tan A θ=．。

吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷

东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。

2020届吉林省东北师范大学附属中学高三上学期第二次模拟数学(理)试题(解析版)

2019—2020学年髙三年级上学期第二次摸底考试（数学）学科试卷（理）考试时间：120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}240P x R x x =∈-≤，{}3Q x R x =∈<，则P Q ⋃=（） A. []3,4 B. (]3,4- C. (],4-∞ D. ()3,-+∞【答案】B 【解析】【分析】分别求解二次不等式和绝对值不等式，求并集即可. 【详解】对集合P ：240x x -≤，解得[]0,4x ∈；对集合Q ：3x <，解得：()3,3x ∈-；求并集得：(]3,4P Q ⋃=-，故选：B .【点睛】本题考查不等式的求解、并集的运算. 2.复数311ii++等于( ) A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】C 【解析】2311(1)2.11(1)(1)2i i i ii i i i i +++====+--+ 本题选择C 选项.3.若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（）A. 允分不必要条件B. 必要不允分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 【详解】因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作：若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝，故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化. 4.设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A. c b a >> B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】120200201901912a >==Q,20192019log log 201910b <<==, 202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用..5.将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），那么所得图象的一个对称中心的坐标为（） A. ,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,112π⎛⎫-⎪⎝⎭ C. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭D. ,13π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由三角图像变换，先求变换后的解析式，再求对称中心即可.【详解】将函数2sin 16y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短为原来的12，则得()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，解得()212k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，解得12x π=，此时函数值为-1，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图像的变换，及变换后函数的性质.6.已知命题“00x ∃≥，200210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A. [)1,-+∞B. ()0,∞+C. []1,1-D. [)0,+∞【答案】A 【解析】【分析】求该命题的否定，再将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题：00x ∃≥，200210x ax ++<是假命题；则其否定:0x ∀≥，2210x ax ++≥是真命题；当0x =时，10≥显然成立；当0x >时，2210x ax ++≥，解得122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭而1122x x+≥当且仅当1x =时取得，故： 1122x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭，由题可知： 122x a x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭等价于1a ≥-，故选：A.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，属综合基础题.7.若直线y ex b =+是曲线ln y x =的一条切线，则函数()3ln f x b x x x=---的单调递增区间是（） A. ()0,3 B. ()1,3-C. ()3,+∞D. (),1-∞-和()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由y ex b =+是曲线的切线，求出b ，再求具体函数的单调增区间即可. 【详解】设切点为()00,ln x x ，则可得过该点的切线方程为：001ln 1y x x x =+-，又知切线为：y ex b =+，故得：01x e =，1ln 12b e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则： ()33ln 2ln f x b x x x x x x=---=--，()2231f x x x=-+'，令()0f x ¢>，解得：2230x x --<，即()1,3x ∈- 又该函数定义域为：()0,+?，故单调增区间为()0,3.故选：A.【点睛】本题考查曲线上一点处的切线方程的求解，以及求具体函数的单调区间，属综合基础题. 8.下列函数中同时具有以下性质的是（） ①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④图象的一个对称中心为,012π⎛⎫⎪⎝⎭． A. 26cos x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据选项，对每个函数进行逐一分析即可.【详解】对A ：函数的最小正周期为4π，故A 不正确；对B ：该函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，故B 不正确；对C ：函数图像不关于3x π=直线对称，故C 不正确；对D ：该函数满足四条性质，故D 正确. 故选：D .【点睛】本题考查正余弦函数的最小正周期、单调区间、对称轴、对称中心，属基础综合题.9.己知函数()()()()()24112111xa x f x x a x x ⎧--<⎪=⎨+-+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（） A. [)1,+∞ B. []1,0 C. [)1,3 D. [)0,3【答案】C 【解析】【分析】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【详解】若满足题意，则()()41xf x a =--要为增函数，则：41a ->；①若保证()()()22111f x x a x x =+-+≥单调递增，则：11a -≤；②若要保证该函数在R 上单调递增，则在断点处：()()411211a a --≤+-+③由①②③解得：[)1,3a ∈. 故选：C .【点睛】本题考查分段函数在R 上的单调性，需要满足每段函数均为单调的，同时也要考虑断点处函数值的关系.10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，0) B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B 【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）．故选B ．11.己知O 是ABC ∆内一点，230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AB AC =-uu u r uu u r g ，且23BAC π∠=，则OBC ∆的面积为（）A.B.C. D.6【答案】D 【解析】【分析】由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v可确定O 点的位置，再求解面积即可. 【详解】分别取AC 、BC 的中点为D 、E ，作图如下：由230OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v，可得：()2OA OC OB OC +=-+u u u v u u u v u u u v u u u v，即：2OD OE =-u u u v u u u v ，故O 是DE 上靠近E 点的三等分点，故6ABC OBC S S ∆∆=，根据题意可知：4AB ACAB AC cosA=⋅=u u u r u u u r故12ABC S AB AC sinA ∆==则16OBC ABC S S ∆∆==，故选：D .【点睛】本题考查向量的运算、三角形面积公式的计算，属综合基础题.12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，则实数a 的取值范围是（）A. (]1,18,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B. ()6,+∞C. 1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭D. {}11,121410⎛⎫⋃⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】【分析】将函数有5个零点的问题，转化为图像有5个交点的问题，则数形结合可得.【详解】()()2f x f x +=-可得：该函数关于1x =对称，又其关于原点对称，故：该函数的周期为4；()()()log 3a g x f x x =-+有5个零点，等价于函数()y f x =与()log 3a y x =+有5个交点，当()0,1a ∈时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：()log 3a y x =+在7x =时的函数值log 101a >-，且在11x =时的函数值log 141a <-，解得：11,1410a ⎛⎫∈⎪⎝⎭；当()1,a ∈+∞时，若满足两函数有5个交点，则由下图可知：此时，函数应该过点()9,0C ，故log 121a =，解得12a =. 综上所述：12a =或11,1410a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：D.【点睛】本题综合考查函数的性质，以及零点问题，利用数形结合；属综合中档题.二、填空题：13.己知向量a r ，b r 满足a b ⊥r r，1a =r，2a b +=r r =b r ______．【答案】1 【解析】【分析】由向量垂直可得0a b =v n v，将2a b +=v v 两边平方，结合已知，即可求得.【详解】因为a b ⊥v v ，故0a b =v n v ；2a b +=vv ，两边平方，则：22445a b a b ++=v n v vv ，解得：244b =v ，即：1b =r .故答案为：1.【点睛】本题考查向量的数量积、模长的计算，属向量基础运算题. 14.已知tan 2θ=，则sin cos θθ=____．【答案】25. 【解析】试题分析：把所求的式子分母看作“1”，利用sin 2θ+cos 2θ=1，从而把所求的式子化为关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．详解：由tanθ=2，则sinθcosθ=22sin cos sin cos θθθθ+=1215tan tan θθ=+.故答案为25.点睛：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.15.己知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin b C c B a A +=，1AB =，2BC =，且1AB BC =-u u u r u u u rn ，则C ∠=______．【答案】6π【解析】【分析】由cos cos sin b C c B a A +=可求角A ，利用向量数量积，求得B ，从而推出C. 【详解】由：cos cos sin b C c B a A +=，可得：1sinA =，又()0,A π∈，故90A =︒；由1AB BC -⋅=u u u r u u u r，可得：()cos 1AB BC B π-=-⋅u u u r u u u r，解得：60B =︒；由三角形内角和得：30C =︒，故答案为6π. 【点睛】本题考查向量的数量积运算，考查了正弦定理的应用，属基础题. 16.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，己知()f x '是它的导函数，且恒有()()cos sin 0x f x x f x '⋅+⋅<成立，且13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则不等式()2cos f x x <的解集为______．【答案】32x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'可构造函数()()f x F x cosx=，由其单调性及特殊值，可求得不等式.【详解】由()()cos sin 0x f x x f x ⋅'+⋅<，可构造函数：()()f x F x cosx =，则：()()()2cos sin 0cos x f x x f x F x x''⋅+⋅=<；故()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可得23F π⎛⎫= ⎪⎝⎭；而()2cos f x x <等价于()23F x F π⎛⎫<=⎪⎝⎭，解得：,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：32xx ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查：利用导数构造函数，求解不等式的问题，属导数中的中档题；本题中()()cos sin x f x x f x ⋅+⋅'的构造形式需要注意.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，数列{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n n c a b b +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a -=，n b n = （2）1221nn T n =-++ 【解析】【分析】（1）由21n n S a =-，利用1n n n a S S -=-求得n a ；再利用基本量求得n b ；（2）先求n a 的前n 项和，再用裂项求和即可.【详解】（1）当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---122n n a a -=-，∴12n n a a -=，当2n =时，2221S a =-即22121a a +=-，∴22a =， ∴212a a =，∴{}n a 为以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a -=，∵11b =，434b a ==，4113b b d -==， ∴n b n =．（2）由（1）可得：()1121n n c n n -=-+，所以1111112231n n T S n n ⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭112112211n n n n =--+=-+++ 【点睛】第一问考查1n n n a S S -=-的利用，以及基本量求解通项公式；第二问考查分组求和与裂项求和. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，AB //CD ，2AB CD =，PA PD =，PA ⊥平面PCD ．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）设2AD CD ==，求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）11【解析】【分析】（1）由CD ⊥平面PAD ，通过线面垂直，推出面面垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵PA ⊥平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， ∴PA CD ⊥又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=， ∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 的中点O ，连接PO ，作图如下：∵PA PD =，∴PO AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的直角坐标系，()0,1,0D ，()2,1,0C ，()0,0,1P ，()410B -，，， ()2,2,0BC =-u u u v ，()4,1,1PB =--u u u v，∴平面PBC 的一个法向量()1,1,3m =v，平面PAD 的一个法向量()2,0,0n DC ==u u uv vcos m n m n m n⋅=v v v vv v11=，∴平面PBC 与平面PAD . 【点睛】本题第一问考查通过线面垂直证明面面垂直，第二问考查利用向量求解二面角的大小.19.已知函数()()2sin 2cos 12f x x x x ππ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，己知()2f A =-，2a =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将函数整理为标准型，再求单调区间；（2）由（1）解得角A ，利用余弦定理及均值不等式，得bc 的最大值，即可得面积最大值.【详解】（1）()cos cos2f x x x x =-+12sin2cos222x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，又∵[]0,x π∈，∴函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）∵()2f A =- ∴2sin 226A π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴262A ππ-=，∴3A π=在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又2a =，∴2242b c bc bc bc bc =+-≥-=，当且仅当2b c ==时，()max 4bc =，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤∴当2b c ==时，()max ABC S ∆=【点睛】（1）第一问考查利用三角恒等变换化简三角函数为标准型，并求其单调性；（2）第二问考查三角函数与解三角形的结合，以及利用余弦定理，均值不等式求解三角形面积最大值得问题；本题属综合中档题，需要重视，高考常考.20.已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点F ，抛物线2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于A B 、两点，点A F B 、、在直线:4g x =上的射影依次为D K E 、、. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，当m 变化时，证明：12λλ+为定值；（3）当m 变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析；（3）5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：：1）由题设条件求出椭圆的右焦点F 与上顶点坐标，即可得出b ：c 的值，再求出2a 的值即可求得椭圆C 的方程：：2：设()()1122,,,A x y B x y ：联立直线与椭圆的方程：结合韦达定理得出12y y +与12y y ：再根据12,MA AF MB BF λλ==u u u v u u u v u u u v u u u v 及10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭：从而可表示出12λλ+：化简即可得证：：3：）当0m =时，易得AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭：可猜想：m 变化时：AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭：再证明猜想成立即可.试题解析：：1：∵:1l x my =+过椭圆C 的右焦点F ： ∴右焦点()1,0F ，即21c =：又∵2x =的焦点(为椭圆C 的上顶点，∴b =222234b a b c ==+=，：∴椭圆C 的方程22143x y +=：：2）由22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩得，()2234690m y my ++-=：设()()1122,,,A x y B x y ，则121222693434m y y y y m m 、+=-=-++： ∵121,,0,MA AF MB BF M m λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ：∴()()111112222211,1,,,1,x y x y x y x y m m λλ⎛⎫⎛⎫+=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭：∴1212111,1my my λλ=--=--： ∴1212221269822/34343y y m m my y m m λλ++=--=--=-++：综上所述，当m 变化时，12λλ+的值为定值83-：：3）当0m =时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，易知AE 与BD 是相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，猜想AE 与BD 相交于点5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，证明如下： ∵11112533,,,222AN x y my y NE y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ：∵()()121121222333369022223434m my y y y y my y m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-=---=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭： ∴//AN NE u u u v u u u v，即A N E 、、三点共线. 同理可得B N D 、、三点共线，则猜想成立，即当m 变化时，AE 与BD 相交于定点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：：1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题：：2）求定值问题常见的方法：：从特殊入手：求出定值：再证明这个值与变量无关：：直接推理、计算：并在计算推理的过程中消去变量：从而得到定值． 21.已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 的两个零点分别是1x ，2x ，求证：122x x a+>．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，得其导数的主导因式为二次函数，对参数进行分类讨论即可；（2）要证122x x a +>，即证：212x x a >-，根据函数的单调性，等价于证：()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，讨论其单调性即可. 【详解】（1）函数()()2ln 2f x x ax a x=-+-定义域为()0,+∞，()()()()121122ax x f x ax a x x-+=-+-=-'， ①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：由（1）易知0a >，且()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，不妨设1210x x a<<<，构造函数()()2F x f x f x a ⎛⎫=--⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()2'222212222ax ax ax F x f x fx f x f x a a x ax x ax -+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎣'⎭⎦'''， ∵10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()()()22102ax F x x ax ='->-， ∴()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()11210F x F f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的即()2f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又1x ，2x 是函数()f x 的两个零点且110x a<<， ∴()112f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又∵()()12f x f x =，∴()212f x f x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，而2x ，12x a -均大于1a ，且()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴212x x a >-，∴122x x a+>，得证．【点睛】本题第一问考查利用导数对含参函数单调性讨论；第二问考查极值点偏离问题的处理方法，构造函数法；本题的第二问属于经典题型，需要重点关注.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t ay t a=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为23sin 4ρρθ=+．（1）求曲线C 的参数方程；（2）若3=4πα，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）cos 1sin 2x y ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）（2）2 【解析】【分析】（1）将极坐标方程，化为直角方程，再转化为参数方程即可；（2）可以利用直线参方中参数的几何意义进行处理，也可以利用直角坐标系中的弦长公式. 【详解】（1）由23=sin 4ρρθ+得，2234x y y +=+，的即22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴曲线C 的参数方程为12x cos y sin ββ=⎧⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）．（2）解法一：若3=4πα，则直线l参数方程为1212x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2234x y y +=+，整理得2410t ++=，560=>n ，12t t +=，1214t t =， ∴122AB t t =-==．解法二：若34πα=，则直线l 的直角坐标方程为0x y +=， ∵曲线C 为圆，它的直角坐标方程为22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径1r =，圆心到直线l的距离14d ==，∴2AB ===．【点睛】本题考查将极坐标方程转换为参数方程、利用直线参方中t 的几何意义求解弦长；本题中第二问的方法二，也是一种很好的思路，利用直角坐标系中的弦长公式进行求解.【选修4-5：不等式选讲】23.己知函数()2f x x a a =-+．的（1）当2a =时，求不等式()8xf x ≥的解集；（2）若不等式()14f x x ≥-+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}2x x ≥ （2）(]5,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U【解析】【分析】（1）将绝对值函数，转化为分段函数，分段求解不等式，先交后并即可；（2）不等式有解，等价于214x a x a ---≥-有解，求21x a x ---的最大值即可. 【详解】（1）当2a =时，()2,4426,4x x f x x x x -≥⎧=-+=⎨-<⎩，当4x ≥时，由()8xf x ≥，得2280x x --≥，得4x ≥．当4x <时，由()8xf x ≥，得2680x x -+≤，得24x ≤<，∴不等式()8xf x ≥的解集为{}2x x ≥．（2）由()14f x x ≥-+有解，可得214x a x a ---≥-有解，又()()212121x a x x a x a ---≤---=-∴214a a -≥-①．当4a ≥时，不等式①恒成立当142a ≤<时，不等式①可化214a a -≥-，可得543a ≤<，当12a <时，不等式①可化为124a a -≥-，可得3a ≤-． ∴实数a 的取值范围是(]5,3,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值不等式的性质、有解问题的转化，属不等式中档题.。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

(1)若从两校参加活动的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师
性别相同的概率；
(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名教师来自同一学校的概率． 19．如图，在三棱锥 P ABC 中，△PAC 是边长为 2 的正三角形，BC AC ，ACB 2π ，
3 D 为 AB 上靠近 A 的三等分点．
D． 4 2,8
二、多选题
9．已知直线 l1 ： x y 1 0 和直线 l2 ： k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论正确的
是（）
A．存在实数
k，使得直线
l2
的倾斜角为
π 2
B．对任意的实数 k，直线 l1 与直线 l2 都有公共点
C．对任意的实数 k，直线 l1 与直线 l2 都不重合
D．
1 3
5．圆心在 x 轴上，并且过点 A1,3 和 B 1,1 的圆的标准方程是（）
A． x 42 y2 18
B． x 32 y2 10
C． x 22 y2 10
D． x 22 y 2 10
6．若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数, b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数,则关于 x
x 42 y2 4 ．
(1)求证：直线 l 恒过定点； (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；
(3)设 l 恒过定点 A ，点 P 满足
PA PO
2 ，记以点 P 、 O （坐标原点）、 A 、 C 为顶点的
四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点 P 的坐标．
的一元二次方程 x2 2ax b2 0 有实根的概率是
A．
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吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析

吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则（）....参考答案：B略2. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，若弦AB中点的横坐标为4，则|AB|=（）A、12B、10C、8 D、6参考答案：B略3. 函数的极值点的个数是（）A.2B.1C.0D.由a确定参考答案：C4. 圆x2＋y2－4x－2y－5＝0的圆心坐标是：A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,-2)参考答案：B5. 二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是 ( )A． B． C． D．参考答案：C略6. 设集合，，则下列关系中正确的是（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 一个正三棱柱恰好有一个内切球（即恰好与两底面和三个侧面都相切）和一外接球（即恰好经过三棱柱的6个顶点），此内切球与外接球的表面积之比为（）A．1∶ B．1∶3C．1∶ D．1∶5参考答案：D略8. 用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．推理没有问题，结论正确参考答案：A【考点】演绎推理的基本方法．【分析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．9. 极坐标系内曲线上的动点P与定点的最近距离等于（）A. B. C. 1 D.参考答案：A10. 下列四个命题中，正确的是 ( )A、“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；B、“若”的逆命题；C、若“m>2,”D、“正方形是菱形”的否命题；参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为____.参考答案：试题分析：总的数对有，满足条件的数对有3个，故概率为考点：等可能事件的概率．点评：本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式12. 曲线在点处的切线方程为．参考答案：13. 函数的定义域是．参考答案：14. 若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是。

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.3.3.1函数的最大(小)值与导数(1课时)学案理新人教A版选修2-2

吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.3.3.1函数的最大（小）值与导数（1课时）学案理新人教A 版选修2-2一、学习目标：⒈理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二．、学习过程：三．新课学习观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．1．结论：学生理解记忆⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：1.2.3.三．典例分析例1．（课本例5）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值例2：求函数f(x)=x 的单调区间和最值。

吉林省东北师范大学附属中学2020学年高中数学 1.3第13课时函数的最大(小)值与导数(2)教案理新人教A

课题：函数的最大（小）值与导数（2）课时：13课型：新授课例2：12. [2020·四川卷] 21．已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1) 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；解析：由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . 四．课堂练习1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能 3．函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D.1213 4．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值． 5．课本练习五．回顾总结1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间[]b a,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a内的可导函数不一定有最4．利用导数求函数的最值方法．六．布置作业。

吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 1.3.1函数的

1 §1.3.1函数的最大（小）值（二）教学目的：（1）运用函数单调性定义求函数最值；（2）学会运用函数单调性比较大小及解不等式；教学重点：函数单调性定义的理解和应用．教学难点：函数的单调性的证明及灵活运用．教学过程：复习引入如何利用函数的单调性求函数的最值？1.根据已学函数性质；2.结合函数图象。

新课教学（一）典型例题例1．求函数ｙ＝32-x x （１≤ｘ≤２）的值域.解：任取ｘ１，ｘ２且１≤ｘ1＜ｘ２≤2，则有：2＜ｘ１＋ｘ２＜4，即6＜３（ｘ１＋ｘ２）＜１２，∴１＜ｘ１ｘ２＜４∴ｘ２－ｘ１＞０，３（ｘ１＋ｘ２）－ｘ１ｘ２＞０，ｘ１－３＜０，ｘ２－３＜０则有：ｙ１－ｙ２＝)3)(3(3333212222121221222121--+--=---x x x x x x x x x x x x0)3)(3(])(3)[(21212121φ---+-=x x x x x x x x∴ｙ１＝ｙ２∴函数ｙ＝32-x x 在ｘ∈［１，２］上是减函数.即ｆ（２）≤ｙ≤ｆ（１）得：ｙ∈［－4，－21］巩固练习：求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．变式一：函数1-=x ay 在区间[2，6]上为增函数，求ａ的取值范围。

变式二：k x 2+2(k －1)x <0在（0，4）上恒成立，求k 的取值范围。

（分离变量）)4,0(22∈+<⇔x x k 对恒成立，记2 31,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=k g x g x g x x g 为单调减函数Θ.例2．函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上是减函数，求ｆ（ａ2－ａ＋１）与ｆ（43）的大小关系?解：∵ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上是减函数∵ａ2－ａ＋１＝（ａ－21）2＋43≥43＞０∴ｆ（ａ2－ａ＋１）≤ｆ（43）评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.变式训练函数ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上是减函数，已知ｆ（－ａ＋１）>ｆ（43）,求a 的取值范围。

吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 1.3.1函数的最大(小)值教案(一) 新人教B版必修1

§1.3.1函数的最大（小）值（一）教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象及单调性理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(+-=x x f （2）32)(+-=x x f]2,1[-∈x （3）()f x x = （4）12)(2++=x x x f二、新课教学三、（一）函数最大（小）值定义 1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义．注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）．2．判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f (x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．练习：快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和15 km/h ，已知AC=150km ，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？例2求下列函数的最值⑴2()241f x x x =--+ [4,2]x ∈--⑵2()241f x x x =--+ [0,3]x ∈⑶2()241f x x x =--+ ]2,2[-∈x练习求下列函数的最值⑴2()321f x x x =-+[4,2]x ∈-- ⑵2()321f x x x =-+ [1,3]x ∈⑶2()321f x x x =-+ ]2,2[-∈xA B C D例3 已知函数f (x)=－x2+2x+1在区间[－3，a]上最大值为f (a)，求a的取值范围.解：略。

吉林省东北师范大学附属中学高二数学(人教A版选修1-1)教案：3.3.2《函数的极值与导数》

教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程：创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号新课讲授一、导入新课观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.三、数学建构观察右图可以看出，函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。

精选人教版高一数学必修1第12课时函数的最大(小)值(含解析)

当－1<a<1时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；
当a≤－1时，函数f(x)的大致图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
于是f((x)＝，x∈[1，＋∞)．
A．－ B．－
C．0 D.
答案：A
解析：设x∈(－1,0]，则x＋1∈(0,1]，因为当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＝x2＋x.又f(x＋1)＝2f(x)，则f(x)＝ x2＋ x＝ 2－，所以当x＝－时，f(x)取得最小值－ .故选A.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
第12课时函数的最大(小)值
课时目标
1.理解函数最大(小)值的概念．
2．能利用函数的单调性求最值．
3．会求二次函数在闭区间上的最值．
识记强化
1．函数的最大值．
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值，
由得
故f(x)的最大值为 .
13．(15分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a<0时，由图(1)知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图1－3－12知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

吉林省东北师范大学附属中学2020学年高中数学 1.3第10课时函数的极值与导数(1课时)教案理新人教A版选

课题：函数的极值与导数（1课时）课时：10课型：新授课教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件教学过程〈一〉创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？（2）在点t=a 附近的图象有什么特点？（3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？o h<二>探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

2019-2020学年吉林东北师范大学附属中学高一下学期期末数学试卷(1)

又∵直线过点
与线段有交点，
∴直线的倾斜角的取值范围为
，
故答案为
．
15 、【答案】【解析】 ∵所求直线方程与直线
∴设方程为
，
∵直线过点
，
∴
，
∴
，
∴所求直线方程为
，
故答案为：
．
垂直，
16 、【答案】 ;
【解析】由题意用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，构成如图所示的四面体
中
平面
，
，
，
，
，
，其
，
，
．
对称圆的方程．
21、在四棱锥，
中，底面
是边长为的菱形，
，、分别为、的中点．
，
平面
(1) 求证： (2) 求二面角
平面
．的大小．
第6页，共22页
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22、已知点
，
，，分别为线段，上的动点，且满足
．
(1) 若
，求直线的方程．
(2) 证明：
的外接圆恒过定点（异于原点）．
且与直线
垂直，则直线的方程为
．
16、如图，正方形
的边长为，点，分别在边，上，且
．将此
正方形沿，，切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，
则该三棱锥的内切球的体积为
，外接球的表面积为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分）
17、已知命题：关于的不等式的定义域为．如果
，
解得交点坐标
，
又∵直线过点，
显然斜率存在，
∴设直线为
，

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课题：函数的最大（小）值与导数（1）
课时：12
课型：新授课
教学目标：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：
一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值．
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)
(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大
值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．
1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数
()y f x =在这个区间上连续．
（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x
x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
⑵ )(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求()31443
f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值解：由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3
f =-，又由于()04f =，()31f = 因此，函数()31443
f x x x =-+在[]0,3的最大值是4，最小值是43-．上述结论可以从函数()31443f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验证．。