相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用

一、判定相似三角形的基本思路:

1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。

2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式；

3.证直线平行；

4.证直线垂直；

5.证面积相等； 三、经典例题：

例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证：

CE

AE

BF AF =

.

变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证：

AD:AC=CE:BD.

例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，︒=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ∆∆~ ；②BC AD BD •=2

例3.如图，在ΔABC 中，︒=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。

求证：ME MD MA •=2

例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线

上，且

AC

AB

DF ED =

求证：BE//FC 。

例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF.

例6.在ΔABC 的中线AD,BE 相交于G 。 求证：ΔAGB 的面积等于四边形CEGD 。

四．课堂练习：

1.如图，在ABC △中，AC BC >，D 是AC 边上一点，连接BD ．

（1）要使CBD CAB △∽△，还需要补充一个条件是 （只要求填一个） （2）若CBD CAB △∽△，且2AD =，3BC =，求CD 的长．

2. 如图，在平行四边形ABCD 中，R 在BC 的延长线上，AR 交CD 于Q ，若DQ ∶CQ ＝4∶3，求AQ ∶QR 的值。

3.如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且2AB CD =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．

（1）求证：EDM FBM △∽△； （2）若9DB =，求BM ．

A B

C

D D M F C

Q

R P

D

C B

A

4.如图，△ABC 中AB=BD ，AD 为中线，点E 是BD 的中点。 求证：（1） △ABE ∽CBE ； （2）求证：AC=2AE

5. 如图，点D ，E 分别在ABC △的边BC ，BA 上，四边形CDEF 是等腰梯形，EF CD ∥．EF 与AC 交于点G ，且BDE A =∠∠． （1）试问：AB FG CF CA =g g 成立吗？说明理由； （2）若BD FC =，求证：ABC △是等腰三角形．

6、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F,求证：FC FB FD •=2

7、已知：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=900,过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F 。 求证：2DC DF DA =•

8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

(1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由.

(2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。

（1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。

（2）图中共有几对相似三角形？

思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？

10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；

（2）连接FG，若α=45°，AB=42，AF=3，求FG的长。

E

D

C

B

A

G

F

E D

C