四、随机变量的数字特征(答案)
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第三版课后习题答案
概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。
而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。
第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。
第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。
答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。
2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）=C. E （X ）=2，D （X ）=4D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ）A. 1B. 3C. 5D. 6 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X-C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 B ． 21 C ．23D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34B ． 37C ． 323D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13B ． 15C ． 19D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)31,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31 B ． 1 C ． 310 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1B. D （X ）=3C. P （X=1）=0D. P （X<1）=11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X12、设随机变量)21,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1，则常数x =( B)A ． 2B ． 4C ． 6D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（D ） A ．4)(,2)(==X D X E B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ． 91-B ． 0C ． 91D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）A ． 2-B ． 0C ．D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- B ． 0.5 C ． 2 D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（B ） A ．2161 B ． 361 C ． 61 D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N(0，9)，Y ～N(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D(Z)=（D ） A ． 5 B ． 7 C ． 11 D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D(X)>0，D(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}22εσεμn n X P ≥<- B ． {}221εσεμn X P -≥<- C ． {}221εσεμn X P -≤≥- D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 B ． 31 C ． 98D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ） A ．91 B ． 31 C ． 94 D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 B ．2 C ．3 D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =52、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=13、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为216131321iP X414121101iP Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E(Y)= 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=13、已知E （X ）= -1，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为 （附：Φ（2）=） 17、设随机变量X~B （100，），应用中心极限定理计算P{16X24}= 附：Φ（1）=18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=，E(Y)=，D(X)=D(Y)=，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E(X)=2，方差D(X)=4，随机变量Y 的期望E(Y)=4, D(Y)=9, 又E(XY)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
第3章随机变量的数字特征_答案_
第3章随机变量的数字特征_答案_第3章随机变量的数字特征⼀.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k ?===则随机变量32Z X =?的数学期望E (Z)= (4)解: ()()()()~(2), 2,32323224X P E X E Z E X E X ==?=?=×?=2.设随机变量X 的密度函数为+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞∞=?+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞∞==?+=∫, 11,2A B ∴==3. (92-1-3)已知随机变量X 服从参数为1的指数分布, 则数学期望()2XE X e+= (4/3)解:()()()()222300, 011~(1), 1, , 330, 0x X x x x x e x X E E X f x E e e f x dx e e dx e x ?+∞+∞+∞∞?>=====?=?≤?∫∫ ()211/34/3X E X e ?+=+=4.(95-1-3)设X 表⽰10次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次射中⽬标的概率为0.4，则2x 的数学期望()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4),100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E X D X E X =×==?=×?==+=+=5. (99-4-3)设~(),X P λ已知[(1)(2)]1E X X ??=,则λ= (1) 解:()()()()()222~(),,,X P E X D X E XD XE X λλλλλ===+=+,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ??=?+=+=?+=?=?6. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1,10()1, 010,x x f x x x +?≤≤??=?<≤,则⽅差DX 为 (1/6)解:()()00110123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()0011012222343411001011111(1)(1)34346E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()()221/601/6D X E X E X =?=?=7.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独⽴,~(3,1),~(2,1)X N Y N ?,则27, Z ~Z X Y =?+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =?+=??×+==+=+=∴8.设两个相互独⽴的随机变量X 和Ｙ均服从(1,1/5)N ,若随机变量X aY ?满⾜条件2()[()]D X aY E X aY ?=?，则a = . (1) 解:()0,()()01101E X aY E X aE Y a a ??=??==?=9.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =?则Y 与Z 的相关系数为 (0.9) 解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =?==?==,,0.9YZ ρ===10.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ====，，试求2E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=?= ()()()222D Y E Y E Y =?=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====?===222222)2()()2226E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（⼆.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协⽅差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ()()()D XY D X D Y =; (B ) ()D X Y DX DY +=+; (C ) X 与Y 独⽴; (D ) X 与Y 不独⽴2.若随机变量X 与Y 的协⽅差(,)0Cov x y =，则下列结论必正确的是( ). 解C (A ) X 与Y 独⽴; (B )()()()D XY D X D Y =; (C )()D X Y DX DY +=+; (D )()D X Y DX DY ?=?.3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则,n p 的值( ). 解B (A )4,0.6n p ==; (B ) 6,0.4n p ==; (C ) 8,0.3n p ==; (D ) 24,0.1n p ==. 解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====?==?==4.(97-1-3)设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差为4和2,则随机变量32X Y ?的⽅差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析: ()329()4()944244D X Y D X D Y ?=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独⽴同分布,记,U X Y V X Y =?=+,则U 和V 必然( ) 解D (A )独⽴; (B)不独⽴; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独⽴同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=?+=+??=?=?=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=～～，则（）. 解D (A)(21)1P Y X =??=. (B)(21)1P Y X =?=. (C)(21)1P Y X =?+=.(D)(21)1P Y X =+=. 分析:,1,0XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+?=?+?=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x，求EX ，DX （0.3，0.61）解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =?×+×=，()22210.210.50.7EX =?×+×=，2220.70.30.61DX EX E X =?=?=2. 若已知是分布函数()0, 10, 011, 1x F x x x x ?≤=≤，求EX ，DX （1/2，1/12）(思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，()1, 01'()0, x F x f x ≤其他，1120 011122EX x dx x =?==∫， 112230 011133EX x dx x =?==∫，2221113212DX EX E X ??=?=?=3.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独⽴，令32132X X X X +?=,求EX ,DX (12, 46) 解:12306 ()()2()3()2033122E X E X E X E X +=?+=×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X ?=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对X 进⾏20次独⽴观测，Y 表⽰20次观测值中事件{}5X >发⽣的次数，求()2 YE （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ?∈?=其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 (,)Y B n p ～，120,4n p == 1315205,5444EY np DY npq ==×===×=，()222153528E Y DY E Y =+=+= 5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)X -1 0 11/3 0.2 0.3 0.5解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =?=?=,()10.1510.350.2EY =?×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy ?=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴= 6、已知随机变量),(Y X 服从区域()}{,01,D x y x x y x =<解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ?=∈?=其他（注意，函数区间利⽤⼆重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞∞∞+∞+∞∞∞+∞∞===?==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞+∞∞∞==?∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<其他 1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独⽴性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01 x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞∞===∫∫2, 01()0, X x x f x <02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞∞===?∫∫,1, 02()20, Y yy f y ??<2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?,X Y ∴，不独⽴.3) 121122002()(,)23E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫显然(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠∴Y X ,相关.8. (07-1,3,4-11)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,01,0,x y x y f x y ??<<<其他1) 求{2}P X Y >, 2)判断X,Y 的独⽴性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独⽴.相关) 解1) ()1/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >==∫∫∫1205157()822424x x dx =?=?=∫ 2)112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞∞≤≤==??=??=?∫∫，,3/2, 01()0, X x x f x ?≤≤?∴=??其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞∞≤≤==??=??=?∫∫3/2, 01()Y y y f y ?≤≤?∴=?显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?, X Y ∴，不独⽴3)1123003315()()()()24312X E X xf x dx x x dx x x +∞?∞==?=?=∫∫,1123003315()()()()24312Y E Y yf y dy y y dy y y +∞?∞==?=?=∫∫11111222320000011211()(,)(2)()()23326E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞∞∞==??=??=?=∫∫∫∫∫∫ (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设22~(1,3),~(0,4),X N Y N 且1,2XY ρ=?设32X YZ =+，1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,3)问X,Z 是否相互独⽴?为什么? (1/3, 0, 独⽴) 解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=?32X Y Z =+111()()()323E Z E X E Y ?=+= 1(,)3462Cov X Y ρ==?××=?,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+?=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=?+?=cov ,0XZ X Z ρ∴==3) X,Z 相互独⽴0XZ ρ?=(⼆维正态独⽴的充要条件)10.飞机场送客汽车载有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站⽆⼈下车则该车站不停车。
第四章随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征」、选择题1 .X 为随机变量，E(X) = —1,D(X)=3，则 ERxfao = ( D ) A. 18B.9C.30D. 322.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为A. 0B.1/2C.2D. 13. ( X,Y )是二维随机向量，与C OV (X ,Y )=0不等价的是(D ).C. D (X _Y )= DX DYD. X 与 Y 独立4. X,Y 独立，且方差均存在，则D(2X -3Y) =( C ). A. 2DX -3DY B. 4DX -9DY C.5.若X,Y 独立，则(C ). A. D(X -3Y) = DX -9DY B. C. E {[ x-EX ][Y -EY ]} =0 D.6.若Cov(X,Y)=0,则下列结论中正确的是(C ). A. X,Y 独立 B. D(XY)=DX DYC. D(X Y)=DX DYD.D(X-Y) = DX-DY7. X,Y 为两个随机变量,且 E[(X -EX )(Y -EY)] =0,则 X,Y( D ).A.独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8. 设D(X Y^DX DY,则以下结论正确的是(A ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C.6y=1 D.•一 1f (x, y)e" y),0 :::x ：：： ：：,0 ：：：则 E(XY)=(D).A. E(XY)二 EX EYB.D(X Y)二 DX DY4DX 9DY D. 2DX 3DYD(XY) = DX DY P{Y 二 aX b} = 19. 下式中恒成立的是（C ）.C. Cov(X,aX b)=aDXD.10. 下式中错误的是(D ). A. D(X Y)二 DX DY 2Cov(X,Y) B. Cov(X,Y)二E(XY) — EX EY1C.Cov(X,Y) [D(X Y) - DX - DY]2D. D(2X -3Y)=4DX 9DY -6Cov(X,Y) 11.下式中错误的是（B ).A. EX 2 = DX (EX)2B. D(2X 3) =2DXC.E(3Y b) =3EY bD.D(EX) = 012.设X 服从二项分布，EX 二 2.4,DX二1.44,则二项分布的参数为（A ）.A.n = 6, p = 0.4 B. n = 6, p = 0.1C. n = 8, p 二 0.3D.n = 24, p = 0.113.设X 是一随机变量,EX ",DX 八2,二0,则对任何常数C,必有（D ）. A.E(X -c) = EX -C 2B. E(X _c)2 = E(X _ J )2C. E(X -c)2: DX D.E(X -c)2 一二 2M.XS,则鵲=(B )A. nB.1 - pC.pD.11 - pA. E(XY)二 EX EYB. D(X _Y)二 DX DY D(X 1) = DX 115.随机变量X 的概率分布律为P{X 二k} = 1 ,k =1,2,||(, n,则D(X) =n(B ).17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为 0,方差为1，贝U( X, Y )的概率密度为(A )18. X 服从［0,2］上的均匀分布,则DX=( B ). A.1B.1C.1D.12361219. X ~ N(0,1),Y = X 3,贝U EY=( C ).A. 2B. 3Vn C. 0D.〈n4320.若丫 =X1 X 2,X i ~N(0,1),i =1,2,则(A ).A. EY=0B. DY=2C. 丫〜N(0,1)D. 丫〜N(0,2) 21.设 xLb( n,p),Y_N(・点2)，则(B ). A. D(X Y)二 np(1-p)二2 B. E(X Y)二 np - J22.将n 只球放入到 M 只盒子中去，设每只球落在各个盒中是等 可能的，设X 表示有球的盒子数，则EX 值为(A ).A. 1?(n 2 1)B.卩2")1C. 12(n 1)2D. (n-1)21216. 随机变量X~f(x )」1：e0,4 A. - 1 B.104 10 14X 0,则 E(2X 1)=( C ).x _0C. 21D. 20A.1心2)f(x,y) 一 e 2B.2兀C. 1 严)2f (x,y F e D.f(x, y)(x 2 -y 2)1x 2 4y 2f(x,沪勿「丁C. E(X 2 Y 2) = n 2p 2D. D(XY) = np(1 - pF 2-21A. M[1-(1 -)n] B.MX 服从参数为23.已知 n 1、nn! B. M[1 一()] D. nMMM n■ '的泊松分布，且E[(X -1)(X -2)^1,则■).A. 124.设 X i1D. 丄24,X 2 , X 3相互独立，其中X 1服从［0,6］上的均匀分布，X 2B.-2C.服从正态分布N(0,22),X 3服从参数为3的泊松分布，记丫 = Xi -2X 2 3X 3,则 DY=( B ).A. 14B.46C.20D. 925.设X 服从参数为1的指数分布,则E(X e^X )=( D ). 1 D. 电 33为随机变量,EX ",DX = ；2,则P{| X 」|_3「}满足A. 1B.0C.26.设(A A. < 927.设).<1 3X,Y 独立同分布 B.1 1--D.一丄93，记U = X -Y,^ X Y,贝y U 与V 满足C.D. A. 28.EX i A. C. 29. ).不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D.相关系数为0设随机变量 X 1,x,|2ix 相互独立，且= 1,DX j =2(i =1,2,川,10)，则下列不等式正确的是(C ).10P{Z Xi -^4 >1-i=1 10P{5： X i —10 < 号 K 1 —20Ei =1B.利用正态分布有关结论10P{S X i -im ::} -1-10P{2； X i —10 CE }兰1 —20EiT」X -2)2(x 2 -4x 4)e2dx =(A ).30.设（X,Y ）服从区域D =｛（ x,y ）：0< x, y < a ｝上的均匀分布,则E|X -丫|的值为（C ）.32.某班有n 名同学，班长将领来的学生证随机地发给每个人「-1, X ：： 033.设X 服从区间［-1,2］上的均匀分布，丫二0, X=0,则DY=（1, X 0A. 2B. 1C.833934.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品，价值10元；疵点数大 于1不多于3的为二等品，价值8元;3个以上者为废品，则产品 的废品率为（B ）. A. -B.1 - § C. 1」 D. 3e3e 2e_5_ 2e35.接上题，任取一件产品，设其价值为X,则EX 为（A ）.A. 1B.0C.2D. -1 A. 0 B.C. D.31. 1a 4下列叙述中正确的是 (D ).A.D (JEX)=1DXB.貸 ~N(0,1)C. EX 2 =(EX)2D. EX 2 二 DX (EX)2A. 1设X 表示恰好领到自己学生证的人数，则EX 为（A ）. n （n 1） 2B.C.D.n -1 n).CD. 1A. 763eB.兰C.3e9D. 636.设X ~ f (x)=丿 '2x, 01x<J,以Y 表示对X 的三次独立重复观0, ■-其他察中“ X 兰1 ”出现的次数，则 DY=( A).A . 9 B.16 C. -D.41694337.设(X,Y)为连续型随机向量，其联合密度为f (x,y),两个边缘概率密度分别为f x (x)与f Y (y),则下式中错误的是(D ). *-be—-be -beA. EX xf X (x)dxB.EX xf(x, y)dxdy—o -be -be o—-be -beC. EY 2y f (x, y)dxdy D. E(XY)xyf X (x) f Y (y)dxdyJO-O0 --O0二、填空题2/e2 .已知离散型随机变量 X 可能取到的值为： -1 , 0, 1，且E(X) = 0.1,E X ) 0,贝U X 的概率密度是 ____________ . _______3. 设随机变量X~N(・/2)，则X 的概率密度f(x)二 __________________EX 二 ____ ； DX 二 若Y =-^^-，贝U Y 的概率密度 f(y)二EY = ______ ； DY 二4. 随机变量X 〜N(=4),且E(X 2)=5 ,则X 的概率密度函数 为5.若随机变量X 服从均值为3，方差为匚2的正态分布，且P(2 VX £4)=0.3 贝U P(X V2)=______6 .已知随机变量X 的分布律为：1 .随机变量X 服从参数为，的泊松分布，且 D(X) =2，贝U p 〈X =1/ =则E(x)= 7/4 _____ , D(X)=121/48, E(_2X 1)= -5/2 .7 .设DX =4,DY =9, P X Y =0.5,则D(2X —3Y)= ________________ .618. 抛掷n颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为35/12 . ___________9. 设随机变量X和Y独立，并分别服从正态分布N(2, 25)和N(3,49)，求随机变量Z =4X -3Y 5的概率密度函数为10. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E ( X2) = 18.4 .11. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望 E (Z) = 4 .。
概率论与数理统计 第4章 随机变量的数字特征
解：
1 (5 0.5x)( 3 x2 x)dx
0
2
4.65(元)
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4.1.2 随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形．
定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数．
(1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律
为P{X xi ,Y yj } pij, i, j 1,2,, 则有
解：由于 P{ X k} k e ，k = 0，1，2，…，
k!
因而
E( X ) kP{ X k} k k e
k0
k0 k!
k e
k1 (k 1)!
e
k 1
k1 (k 1)!
e k ee k0 k!
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4.1.1 数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
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4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连续
函数).
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
若级数 g( xk ) pk绝对收敛,则 E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
f ( x) 25( x 4.2)， 4 x 4.2，
0，
其 它.
求pH值X的数学期望E(X).
解：
E( X ) xf ( x)dx
4
4.2
x 25( x 3.8)dx x (25)(x 4.2)dx
3.8
4
4
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《概率论与数理统计答案》第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ； （2） EX = 1.7 ； （3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分 布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α
叶宏应用概率统计第4章 随机变量的数字特征
（ u ）
1
u2
e 2 du
2
2.随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X的分布，我们需要计 算的不是X的期望，而是X的某个函数的期 望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算 呢？
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量， 故应有概率分布，它的分布可以由X的分布 求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可 以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布，一般是比较复杂的 .
是否可以不求g(X)的分布而只 根据X的分布求得E[g(X)]呢？
下面的基本公式指出，答案是肯定的.
公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)] 时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的 分布就可以了. 这给求随机变量函数的期 望带来很大方便.
P86.1 设随机变量 X 的分布律为
X
-2
0
2
P
0.4 0. 3 0.3
求 E(X )
EX 20.4 00.3 20.3 0.2
例 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
解
E(X )
n
kCnk pk (1 p)nk
k 0
n
np
(n 1)!
其它
设组织n 台货源, 利润为 Y
显然，2000< n < 4000
3n,
n X,
Y g(X)
3X (n X ), n X
3n, n x, g(x)
4x n, n x
E(Y ) g(x) f X (x)dx
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第4章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。
离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ） （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ） 推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数 一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
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第 4 章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n= 6 , p= .4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.5、设X的分布律为X 1 0 1 2P 1 1 1 1 8 4 2 8则 E(2X 1) 9/4 .6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是P Y aX b 1 .8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，D ( X Y ) 37 .14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .15、若随机变量X 的概率密度为e x x 0，(x)x，则 E(2X ) 20 0E (e 2 X ) 1/3 .二、计算题1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。
第4章随机变量的数字特征
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（ 其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
） ．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
） ．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
） ．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（ ） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
） ．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =
概率论与数理统计习题册 第四章 答案
× (−1) j+1 3 j j
= ∞ (−1) j+1 × 2 = ∞ 2 = +∞
j =1
j j=1 j
∞
∑ 所以级数 x j p j 非绝对收敛，故由定义可知 X 的数学期望不存在。 j =1
四、有 3 只球、4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4.将球逐个独立地、随机地放入 4 只盒
子中去.以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小编码(例如， X = 3 表示第 1 号，第 2 号盒子
六、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 P( X = 1,Y = 10) = P( X = 2,Y = 5) = 0.5 ，试 求 ρ XY .
例 22)
************************************************************************
十二、一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假
设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和
0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间 X 的数学期望．
30 30
30 30
P{Y = 4} = C41 = 4 , P{Y = 9} = C91 = 9
30 30
30 30
即 Y 的分布律为
Y
2
3
4
9
pk
2 30
15 30
4 30
9 30
所以 E(Y ) = 2 × 2 + 3× 15 + 4 × 4 + 9 × 9 = 73 . 30 30 30 30 15
f
(x)
=
⎧⎪⎨θ1
−
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第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
概率论习题
第四章、随机变量的数字特征检测题一、单项选择题,在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在表格中。
错选、多选或未选均无分。
1.设离散随机变量X 的分布列为，则D （X ）＝（ ）A.0.21B.0.6C.0.84D.1.22．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( ) A.61B. 65C. 625 D.53.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（ ） A. 3B. 6C. 10D. 124.设二维随机向量（X,Y ）~N(μ1，μ2，ρσσ,,2221)，则下列结论中错误．．的是（ ） A.X~N （21,1σμ），Y~N （222,σμ）B.X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0C.E （X+Y ）=21μ+μD.D （X+Y ）=2221σ+σ5.设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（ ） A.61B.21 C.1D.26.设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A.D(X+c)=D(X)B.D(X+c)=D(X)+cC.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)7.设E （X ）=E （Y ）=2，Cov(X,Y)=，61-则E （XY ）=（ ） A.61-B.623C.4D.625 8.设随机变量X ～U(0，2)，又设Y=e -2X ，则E(Y)=( ). A. 21(1-e -4) B.41(1-e -4) C.41D. -41e -4 9．设（X ，Y ）为二维连续随机向量，则X 与Y 不相关．．．的充分必要条件是（ ） A ．X 与Y 相互独立B ．E （X ＋Y ）＝E （X ）＋E （Y ）C ．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）D ．（X ，Y ）～N （μ1，μ2，21σ，22σ，0）10．设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，21），则Cov （X ，Y ）＝（ ） A ．21 B ．3 C ．18D ．3611．已知二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为（ ）则E （X ）＝ A ．0.6 B ．0.9 C ．1D ．1.612.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ）A.1B.2C.3D.413.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=214.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）A.1B.4C.5D.615.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.416．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8 B ．16 C ．28D ．44二、填空题,不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的)解：设表示一次抽检的 10件产品的次品数为1 —=.从而E ( X )=np =4X =的数学期望不存在. 解:3j—)不绝对收敛，由数学期望的定义知， X 的数学期望不存在.J求 E(X), E(X 2), E(3X 25).解 E (X )=(-2) +0 +2习题4-3 设随机变量 X 的分布律为P =P (调整设备)=P ( E >1)=1 — P ( E W 1)= 1 -[P ( E =0)+ P ( E =1)］查二项分布表因此X 表示一天调整设备的次数时4P ( X =1)= XX =, P ( X =2)=1 4P ( X =3)= XX =, P ( X =4)=X 〜巳4,. 4XX =2 4XX =P ( X =0)=XX习题4-2 设随机变量 X 的分布律为P X23j ，1,2,,说明X由于.13j (1)j 勺一P(X j(1)j1-)-，而级数2 j 1 j• 1 3j- 1)j1- P(X ( 1)j由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E(X2)=(-2) 2小2 小2+0 +2E(3X2+5)=[32 2 2(-2) +5] +[3 0 +5] +[3 2+5]如利用数学期望的性质, 则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=3 +5=E(X)2 E(X ) E(3X22 0.4 020.3 0.30.2,习题求（1）Y22(2) 0.4 225) 3E(X ) 54-4 设随机变量2X; (2)Y e 2X0.3 2.8,13.4X的概率密度为f（X）的数学期望.(I)E( Y) E(2X) 2xf(x)dx2( 0dx2( xe 0 e x dx) 2e(II )E(Y) E(e 2X) 2x x .e e dx3x dx习题4-5 设（X,Y）的概率密度为f(x,y)求 E(X), E(Y), E(XY), E(X2 Y2).解各数学期望均可按照E[g（X, Y）]在有限区域G:｛（x,y）|0E(X)E(Y) 0,xe3xx 0,x 0dx)12y2, 0,y x 1, 其它g(x, y) f (x, y)dxdy 计算。
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概率论与数理统计练习题系 专业 班 学号第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数2．设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则1()9E X -= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ （C ）1- （D ）13．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ]（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233E ξ- 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则()E X = 0.52．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 93．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X += 116/154．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X解：X 的可能取值为3，4，53511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯=2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它，求()E X解：11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3．设随机变量2~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：222()22|||x y x x dx y y edy μσμμσ---∞∞--∞-∞--=⎰令22y yedy ∞-==4．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望。
（1） 21XY e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =解：（1）2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() （2）2202()2xx E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+（3）2302()2x x E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321e e e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 学号第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ]（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）362．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηληλ==（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 ()D X = 0.45 2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D X E X = 1/34．设正态分布Y 2(3)y--，则()D X = 1/2三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：21Y X =-的期望与方差；解：()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解：22||||x E X x dx -+∞-∞=⎰222x dx -+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()x E X dx ∞-=⎰= 02442()x E X dx ∞-=⎰232x ∞-=-⎰2223x dx ∞-=⎰= 33．设随机变量X 的分布密度为02()240axx f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量XY e =的期望与方差。
解：（1）2422()()E X x axdx x bx c dx ==⋅++⎰⎰323424022|||332a b c x x x =++856633a b c =++得8566233a b c ++= 3(13)4P X <<=得 353224a b c ++= ()1f x dx +∞-∞=⎰得 2621a b c ++=所以 解得11,, 1.44a b c ==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444xx x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4x D Y E Y E Y e f x dx e +∞-∞=-=--⎰ 222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =-概率论与数理统计练习题系 专业 班 学号第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则 [ B ] （A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。
解：X 的分布律为:X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y 的分布律为:X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125100125110125E XY =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XY E ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它，(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩，求()E XY解：3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯= 5．（1）设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()XYD X D Y =σ=σ，证明当222X Ya σ=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
解：（1）22269W a X aXY Y =++2222226969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+当3a =时，()E W 最小，最小值为108。