三角函数知识点

常用的三角函数有6种(正弦，余弦，正切，余切，正割，余割).还有另外一些不常用的，有正矢、余矢、外正割、外余割、半正矢、半余矢等.比如：
外余割就是余割的倒数；正矢：versinα=1-cosα，vercosinα=1+cosα；余矢：coversinα=1-sinα，covercosinα=1+sinα等.
初中的三角函数都使用角度制.通用的是弧
度制.弧度制的单位是弧度rad.360°=2π
rad;60°=π/3 rad.
弧度制就是将角度用构成这个角度的单位
圆上的弧长来表示的方法.
正弦与余弦的图像呈现单纯的波形，正因为
正弦与余弦的这种波形的特质，它们也被用来研
究一些波的问题.
要改变y=asinbx的振幅，就要改变系数a，改变波长，就要改变b，a越大，振幅越大；b越大，波长越短.
任何波都能够用“单纯的波”叠加起来表示.为了解析复杂的波是如何用单纯波叠加起来的，目前人们都使用一种叫做“傅里叶变换”的方法.
那么接下来就要介绍三角函数的微分.
微分是由牛顿，与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨发明的.正弦函数的斜率变化使用余弦函数来表示的.求微分即求某点的切线的斜率.
以y=sinx为例，该函数在x从0~π/2变化时是递增的，斜率是减小的，在π/2处斜率为0；在π/2~3π/2时是递减的，斜率继续减小后增加，在3π/2处斜率也为0.如果把这些切线的斜率变化在新的坐标图上画出来，就是y=cosx.
也就是说，对正弦函数求微分，得到的就是余弦函数.微分
用d表示，d(sinx)=cosx.对余弦函数求微分，得到，
d(cosx)=-sinx.
接下来，我们就通过用计算的方法求三角函数的微分.再次
以y=sinx为例，假如在这上面有一点A(x,sinx)，那么首先在
沿x轴正方向，找一个与A相距h的B点，B点的坐标可求，
为(x+h,sin(x+h)）.那么，连接A，B两点的直线，斜率就可以
这样表示：
直线AB不是点A的切线.但如果B点沿着函数图像靠近A
点的话，直线AB就接近A点的切线，如果h无限接近于0，
也就是说，B点无限接近于A点，直线AB的斜率K，就会与A
点的切线的斜率无限接近.所以，此处我们就引入极限的概念，点A切线的斜率可以表示为：这也就是导数的概念。

也就是说，对于y=sinx上A点求其切线的斜率，就是求其导数，用(sinx)'表示.
将sin(x+h)用和角公式展开，sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh。

代入刚刚那个式子:
将这个式子分为两个式子相加，并且把不含△x的sinx和cosx提出到极限符号的前面，就变成了：
该极限可求：
对于极限：
先建立一个不等式，当0＜h＜π/2时有：
＜＜
以sinh除各项可得：
＜＜或者＜＜
根据两倍角余弦公式：
＜＜
由于：
且
根据夹逼准则，有：
即
对于极限：
可进行如下变形：
代入上式，得：
接下来是三角函数的积分.既然已经有了微分和导数，积分将十分简单.积分就是微分和导数的逆运算.
但是，因为(sinx+1)'=cosx，而(sinx+4)'=cosx，sinx加上任意常数，对其求导，最后求得都是cosx.括号中的，谓之cosx的原函数，那么cosx的所有原函数，谓之cosx的不定
积分.如果常数用C表示，积分符号是∫，则：∫cosxdx=sinx+C.
不定积分并没有定下范围，也就不可求从何到何的面积（积分其实就是在
求面积），所以是“不定”的.
那么定积分就是指限定一个范围内对于这个函数求面积。

比如说，如果是
这样一个式子，积分号上端是π/2，下端是0，也就是求f(x)=sinx 在区间[0，π/2]的面积，也就是求f(x)=sinx 在区间[0，π/2]的面积。

根据牛顿-莱布尼茨公式，可得：
根据函数的图像可知，当积分上限是π，积分下限是π/2时亦是如此.如果规定坐
标轴上端的区域面积是正的，坐标轴下端的面积是负的，那么，y=sinx 从在[0,2π]
区间内的积分是0；由y=cosx 的图像可知，这个答案也是0.
接下来是三角函数的正交性.所谓正交性，就是指一个函数
中完全不包括另一个函数的成分.如何来判断“包含”这个“成
分”到什么程度，众所周知的方法是对两个函数的成绩求积分.
如果积分的结果为0，说明两个函数正交.
三角函数的周期是2k π，一个周期是2π，积分上限取2π，
积分下限取π.可根据函数的图像.图左图，是y=sin ²x 的图像.由图像，得：
所以，y=sinx 与y=sinx 不正交.
如右图，是y=cosx ·sinx 的图像.据此可求：
所以，y=cosx 与y=sinx 正交.
再如左图，是y=2cos3x·sinx 的图像.由此求得：
所以，y=2cos3x 与y=sinx 正交.
如右图，是y=3sin2x·sinx 的图像.由此求得：
所以，y=3sin2x 与y=sinx 正交.
由此，我们可以归纳出正弦与余弦函数的正交性：
三角函数除了和自身以外的任何正弦与余弦函数相乘后求积分，结果一定为0，也就是说，三角函数之间都是正交的.那么，为什么在函数和函数的关系中要使用“正交性”这个词
呢？看看矢量的情况就容易理解了.
如图一， 与 以60°相交；图二中， 与 以90°相交，三个向量的值都是
2.在两个图中，分别过A 点和C 点向 上作投影，可以得到投影的长度为：
图一中，这个值为1，也就是说 含有 的一半的 的成分；图二中，该值
为0.图二中，因为投影的长度为0，也就是说 完全不含有
的成分。

这时称两个向量正交
.
向量(矢量)的定义是用箭头表示的具有大小和方向的量，于此相对的，只有大小而无方向的量叫做数量(标量).引入内积的概念来描述两个向量的关系.
如果两个向量的夹角是α，的长度是，的长度是，那么两者的内积表述如下：
图一中，内积为2；图二中，内积为0. 如果内积的计算结果是0，也就是α=90°时，这两个向量之间互相没有包含的成分，即无关.也就是说，两个向量内积为0时，两个向量是正交的.将各个向量的x成分和y成分分别相乘之后相加，亦可求得内积值.
如果将此概念拓展，衍伸到函数的正交性，就相当于“函数的内积”，即将函数的各成分分别相乘之后进行积分.由此，亦能得到，当两个函数的“内积”为0时，两个函数无关，亦称两个函数正交.。