04-动态电路(2)一阶零状_全_三要素
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
动态电路
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
四. 动态电路的分析方法
激励 u(t)
响应 i(t)
an
d ni dt n
an1
d n1i dt n1
a1
di dt
a0i
u
t0
经典法
拉普拉斯变换法 状态变量法 数值法
时域分析法
复频域分析法 时域分析法
2、换路定则与初始值的确定
uL(0+)、iR(0+)和
0.1H iL
duC dt
、diL 0 dt
的值。
0
+
u
3Ω
–C
6Ω
+ 6Ω 12V
–
iL
iR +
uC 3Ω iC –
解：作t = 0–的等效电路如图(b)
(b)
所示，有
iL (0 )
12 6 // 6 3
2
A
uC (0 ) 3iL (0 ) 6 V
由换路定则得 uC(0+) = uC(0–)=6V， iL(0+)= iL(0–)=2A
uC(0+) = uC(0-) = RIS
uL(0+)= - RIS
iC (0 )
Is
RI S R
0
3.确定 duC
dt
与 diL
0
dt
的值
0
对于n阶电路的初值确定
还要把其（n-1)阶导数的初值也确定出来。 本书仅涉及到分析二阶电路，因此只需了解diL 和 duC 的初值
dt 0 dt 0
一阶动态电路的三要素法
一阶动态电路的三要素法一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。
三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。
在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。
在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。
2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。
3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。
4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：\[V_L-V_s=0\]其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。
接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，\(dt\)是时间微分。
将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。
例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。
最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。
例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
一阶动态电路分析
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
i2(0+)
US
uC(0+)
41
t
e2
41
e 0.5t
V
uC uC uC 3e0.5t 4 1 e0.5t 4 e0.5t V
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6.3.2 一阶电路的零输入响应
1．RC电路的零输入响应
图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0 时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路 定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，
通过3Ω电阻的电流为：
i 12 uC 12 8 4e0.5t 4 4 e0.5t A
3
3
33
iC
+ 1F －uC
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6.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
t
f (t) f () f [ f (0 ) f ()]e
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
R R1R2 20 5 4k R1 R2 20 5
4动态电路教学设计
案例b: 动态电路初始条件的确定
动态过程分析过程中求解的是微分方程，所以解 答中的积分常数必须由初始条件来确定，下面介绍电 路初始条件的计算： I S(t=0) R
一、换路定律
+ + 换路： 电路中开关的接通、断开 U UC 10V s C 或元件参数发生变化，都 － － 会引起电路工作状态的变 化，把这种变化称为“换 路”。 设 t=0为换路瞬间， t=0–表示换路前瞬间，t=0+ 表示换路后的初始瞬间。
1 2 ∵ L储能： W L Li L 2
i L不 能 突 变
二、计算电路初始值的步骤
1. 求出换路 前 iL(0-)、 uc(0-)。 2. 由换路定律得： iL(0+)=iL(0-) 、uc(0+)=uc(0-)。 3. 画出t=0+时刻等效电路
a. 换路 后 的电路
b.用理想电压源替代uc(0+)，用理想电流源替代iL(0+)。 （方向与原电容电压、电感电流方向相同） 4. 利用t=0+时刻等效电路，求得到各电流和电压的 初始值。
动态电路教学设计
一、动态电路的时域分析 二、动态电路的复频域分析
一、动态电路的时域分析
1.主要教学内容 电路的动态过程与动态响应 电路初始条件的确定 求解一阶电路动态响应的三要素法 一阶电路响应分类 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应 二阶RLC电路的零输入响应
2.主要知识点 动 态 电 路 的 时 域 分 析
+
uS _
+ u R C
+ _uC
duC 将 iC dt
代入后整理得：
duC 1 uS uC dt RC RC
互动、讨论以下电路： S(t=0)
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
一阶动态电路三要素法求解公式
一阶动态电路三要素法求解公式
在一阶动态电路中，三要素法是一种常用的方法，用于求解各个元件的电流和电压。
三要素法基于基尔霍夫电压和电流定律，帮助我们分析和解决电路中复杂的问题。
首先，我们需要了解三要素法中的三个要素。
这三个要素分别是电源电压、初始条件和电路响应。
电源电压指的是电路中的电源电压源。
它可以是直流电压源或交流电压源，根据具体情况决定。
电源电压对电路元件和电路响应产生重要影响。
初始条件是指在电路初始时刻的电压和电流数值。
对于电容器和电感器，初始电压和电流应该已知，而对于电阻器则不需要初始条件。
电路响应是指在电路中元件电压和电流的变化情况。
我们可以通过求解电路响应来了解电路中各个元件的具体情况。
为了使用三要素法求解电路，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据实际情况，确定电源的类型和数值。
如果是直流电压源，则电压大小为常数；如果是交流电压源，则根据频率和幅值确定相应的电压函数。
2. 根据电路中的初始条件，确定各个元件的初始电压和电流数值。
对于电容器和电感器，需要初始电压和电流；对于电阻器则不需要。
3. 根据基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），建立电路方程。
根据电路中的元件和电源关系，写出各个元件的电压和电流表达式。
4. 解析电路方程，得到元件的电流和电压表达式。
这些表达式将告诉我们在不同时间点，电路中各个元件的具体数值。
通过使用以上步骤，我们可以使用三要素法求解一阶动态电路中各个元件的电流和电压。
这个方法有效地帮助我们理解和解决电路中的问题。
电路分析基础课程标准.
课程标准课程名称：电路分析基础课程代码：05001适用专业：应用电子技术、通信技术学时：64学分：4制订人：审核：《电路分析基础》学习领域（课程）标准一、学习领域（课程）综述（一）学习领域定位《电路分析基础》是面向应电类、通信类专业的学生开设一门专业技术基础课程，是以满足社会发展需求为目的，以科学分析学院办学定位为前提，通过专业岗位群进行分析调查，形成的一门基于工作过程导向的工学结合的学习领域课程。
该课程是在一年级第一学期开设，是应用电子专业和通信专业的一门主干课程，因而是最重要也是最现行的职业基础课，是为后续课程奠定基础的起点。
在教学中要根据高职学生的知识基础及就业岗位需求组织教学内容，同时采取适宜的教学方法，教、学、练一体化，注重理论与实践的融合，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
进一步提高学生综合素质，增强适应职业变化的能力，为继续学习打下基础。
（二）设计思路本课程以应电、通信专业学生的就业为导向，根据行业专家对专业所涵盖的岗位群进行的任务和职业能力分析，以本专业共同具备的岗位职业能力为依据，遵循学生认知规律，紧密结合职业资格证书中电工技能要求，确定本课程的项目模块和课程内容。
按照认识课程、认识电路、变压器使用与维护、白炽灯、日光灯的安装与维修、认识动态电路、供电与用电等具体实践过程安排学习项目，使学生掌握电工技能的基本操作要领。
为了充分体现任务引领、实践导向课程的思想，将本课程项目模块下的教学活动又分解设计成若干任务，以任务为单位组织教学，并以电工仪器仪表、电路设备为载体，按电工工艺要求展开教学，让学生在掌握电工技能的同时，引出相关专业理论知识，使学生在技能训练过程中加深对专业知识、技能的理解和应用，培养学生的综合职业能力，为学生的终身学习打下良好基础。
高职学院课程建设与改革的核心和关键是：合理进行教学设计，建立突出职业能力培养的课程标准，规范课程教学的基本要求，提高教学质量，改革教学方法和手段，融“教、学做”为一体，强化学生能力培养。
动态电路“三要素”分析法
在电路中，由于电感L 、电容C 两元件的电压、电流关系均为微分或积分关系，因此称其为动态元件，含有动态元件的电路就是动态电路。
用三要素法分析一阶线性动态电路时，需要确定待求响应f （t ）的初始值f （0+）、稳态值f 1（t ）和时间常数τ三个要素。
以下就一阶动态电路三要素分析法中的初始值、稳态值；动态电路中电感L 、电容C 的等效电路问题谈自己的教学体会。
1初始值f （0+）图1初始值就是换路后0+时待求响应的值。
求初始值的理论依据是换路定律：u C （0+）=u C （0-），i L （0+）=i L （0-）。
u C （0-），i L （0-）可根据0-时的等效电路求取。
需要注意的是，换路时除电容电压和电感电流外，电路中其它电压、电流都可以跃变，换路定律只适于求电容电压和电感电流的初始值。
图1是一RC 零状态响应电路，t=（0-）时，电容电压u C （0-）=0、电阻电压u R （0-）=0。
换路后，t=（0+）时，由换路定律得u C （0+）=0，若u R （0+）=u R （0-）=0，则u C （0+）+u R （0+）=0，显然不符合KVL 。
正确答案的是R （+）=U S ，（+）+R （+）=U S ，。
求初始值时，首先求u C （0+）、i L （0+），然后根据0+时的等效电路，求其它初始值。
2非齐次特解f 1（t）f 1（t）是一阶微分方程的非齐次特解，也是一阶线性动态电路的稳态解，稳态解就是t →∞时待求响应的值，因此f 1（t ）也可表示为f （∞），其函数形式取决于激励源的函数形式，故非齐次特解又称为强迫分量。
可根据t →∞时的电路求f 1（t ）。
2.1零激励时的情况零激励时，f 1（t ）等于0，如零输入响应电路中的u C （∞）=0，i L （∞）=0。
2.2直流激励时的情况激励源为直流电源时，f 1（t ）是一个常数，如由直流激励的零状态响应、全响应及阶跃响应电路中的稳态解。
三要素法
R1 R2
+ u2 C2
– 图7-43 例7-13
u1(0+) + u2(0+) = Us
根据电荷守恒准则：此刻两电容由相同的无穷大电流所产生的 增量电荷量相等。由此可得
电路分析基础——第二部分：7- 6
14/16
C1[u1(0+) – u1(0–)] = C2[u2(0+) – u2(0–)]
即
3V
2
1
6 5
A
i(0+) = 1 – 2iL(0+)/3 = 0.2A
(2) 求iL() 和 i()
图7-40 t = 0+时的等效电路
t= 的等效电路如图7-41所示，此时电感相当于短路。由此可得
i() =
9 5
A
，iL() =
6 5
A
(3) 求 。开关转向 b以后，戴维南 等效电阻为 R0 = 1+ 2/3 = 5/3
动态电路的叠加定理：动态电路由初始状态和输入共同 作用产生完全响应，完全响应=零输入响应+零状态响应。
电路分析基础——第二部分：7-6
1/16
本节将在7-1节提出的通用分解方法的基础上，推出适用于 直流输入情况的三要素法。
以电容为例：图7-1（b）及（c）中的uoc(t)和isc(t)都是常数。图
问题是：直流一阶电路中任一支路电流、支路电压是否都能表 示成(7-50)和(7-51)的形式？时间常数是否一致？能否直接求解？
电路分析基础——第二部分：7-6
3/16
为便于分析，仍然以电容电路为例，我们将原电路分成两
个单口网络，其中一个只包含电容，另一个包含电阻和电源。
零状态全响应三要素
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状态响应
US
零输入响应
U0
全响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t0
之间的关系
零输入+零状态
t
t
uC US (1 e ) U0e
激励与响应的因果关系
t0
Ａ＝４
L 0.1s
R1 R2
i (4e10t 2)A t 0
uL
L
di dt
24e V 10t
t0
解法二 全响应 i =零输入响应i ′+ 零状态响应i"
i(0 ) i(0 ) 6A
0.1s
1. i 6e 10t A t 0
t
( f (t ) f (0 )e )
i() 2A
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t
第三章 一阶动态电路分析
一般情况下，当电路中只有一个动态元件,所列方 程为一阶微分方程，电路也称一阶动态电路。
一阶电路动态过程的分析方法常用经典法，即在时 间域中求解常微分方程。
2. 换路定则
换路定则：换路时,电容的电场能和电感的磁场能 不会发生跃变，即电容电压和电感电流不会发生跃变。 设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的最终时刻 t=0+—表示换路后的初始时刻（初始值）
ψ NΦ (磁链) 线性电感: L ψ NΦ ( H、mH) i i
di u与i的关系满足： u L dt
将上式两边同乘上 i ，并积分，则得：
i
+
u L
ui dt
0
t
i
0
1 2 Li di Li 2
电感元件的符号
磁场能
1 2 W Li 2
∴电感i不能跃变
即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流 增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电 流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。电 感为储能元件，也称为动态元件。
1 2 W Cu 2
∴电容u不能跃变
二、 一阶动态电路方程及其初始值的确定
产生动态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 ；(2) 电路发生换路 换路: 电路状态的改变。如：电路接通、切断、 短 路、电压改变或参数改变。
1. 一阶动态电路的方程
存在动态元件L和C的电路中，当发生换路后，根据 基尔霍夫定律及L、C元件的电压电流关系可以知道，列 出的回路电压方程或节点电流方程，必然是以电压或电 流为变量的常微分方程，称为动态方程。常以电感电流 iL 和电容电压 uC 作为动态方程的状态变量。
电路分析基础 课题四 一阶动态电路的分析
输入响应。
2.
−
一阶动态电路的零输入响应的一般表达式为：() = (0+) ，其中，为时间常数（单位：s），
(0+)为初始值。
3.
“零输出响应”特点：
➢ 换路后电源信号为0（零输入/激励）
➢ 储能元件的初始值≠0
➢ 储能元件的稳态值=0
问题四：
闪光灯在实际使用中，会频繁充电；同时实
iL I 0 e
R
t
L
I0e
t
稳态值= iL (∞) = 0
1
最大储能：wL = 2 LI02
（5）其它响应：
（c）响应曲线
uL uR RI 0 e
t
t
L
...RL电路时间常数
R
知识链接3.一阶零输入响应的表达式
1.
定义：在没有输入激励的情况下，仅由电路的初始状态（初始时刻的储能）所引起的响应，称为零
闪光灯的功能就是通过瞬间放电补光的过程。
知识链接 1.RC零输入响应电路分析
（a）换路前
（b）换路后
（1）换路前（0-时刻如图a）
（5）其它响应
Uc（0-）=U0≠0
uR uC U 0 e
（2）换路瞬间（0+时刻）
由换路定理：初始值Uc（0+）=Uc（0-）=U0≠0
1
最大储能：(0+) = 2 02
3.初始值的计算
【初始值求解步骤】
① 换路前的电路（t =0－）直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路。
② 换路前的电路（t =0－）只求电感中电流iL(0－)或者电容中电压uC(0－)。
电路邱关源电子教案第六章
第六章 一阶电路第一节 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。
1、特点：当动态电路状态发生改变时（换路），需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。
换路：由开关动作引起电路结构或参数的改变。
电容电路：CutS 闭合前，电路处于稳定状态，0C u=S 闭合后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，C S u U = 电感电路：tLiS 闭合前，电路处于稳定状态，0L i =S 闭合后很长时间，电路达到新的稳定状态，SL U i R= 2、动态电路的方程CuLi一阶RC 电路（含有电阻和一个电容）一阶电路一阶RL 电路（含有电阻和一个电感） c S Ri u U += c du i Cdt = L L S Ri u U += L L diu L dt= c c S du RCu U dt +=—一阶线性微分方程 L L S diRi L U dt+=二、电路的初始条件及换路定则1、电路的初始条件（初始值）：变量（电压或电流）及其(1)n -阶导数在0t +=时的值。
0t -=换路前一瞬间 认为换路在 t =0时刻进行0t +=换路后一瞬间(0)f +)-2、换路定则当电容电流和电感电压为有限值时，则有：（1）(0)(0)C C u u +-=，(0)(0)C C q q +-=；换路前后瞬间电容电压（电荷）保持不变。
（2）(0)(0)L L i i +-=，(0)(0)L L +-ψ=ψ；换路前后瞬间电感电流（磁链）保持不变。
证明：0001111()()d ()d ()d (0)()d t t t C C u t i i i u i C C C C ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()d C C u u i C ξξ+-+-=+⎰(0)(0)C C u u +-=得证0001111()()d ()d ())d (0)()t t t L L i t u u u i u d L L L L ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()L L i i u d L ξξ+-+-=+⎰(0)(0)L L i i +-=得证三、初始值的确定（求(0)f +）求初始值的步骤:1由换路前电路求(0)C u -和(0)L i -（换路前电路一般为稳定状态，则C 为开路，L 为短路）； 2由换路定则得(0)C u + 和(0)L i +。
一阶动态电路分析
在低通滤波器中，随着频率的增加，输出信号的 幅度逐渐减小；而在高通滤波器中，随着频率的 增加，输出信号的幅度逐渐增加。
在一阶电路中，由于存在电容或电感元件，输出 信号与输入信号之间会存在一定的相位差。这种 相位差随着频率的变化而变化，形成了一阶电路 的相频特性。
一阶低通滤波器的截止频率决 定了信号通过的频率范围。
一阶高通滤波器
一阶高通滤波器允许高频信号通过， 而阻止低频信号。
一阶高通滤波器的截止频率同样决定 了信号通过的频率范围，但与低通滤 波器相反。
其电路结构也由一个电阻和一个电容 组成，但连接方式与低通滤波器相反。
幅频特性和相频特性
幅频特性描述了一阶动态电路对不同频率信号的 幅度响应。
电阻的作用
电阻在电路中起到分压、 分流、限流等作用，是电 路中的重要元件。
电阻的种类
电阻按照材料、结构、功 率等可分为多种类型，如 碳膜电阻、金属膜电阻、 线绕电阻等。
电容
电容的定义
电容是电路中存储电荷的 元件，用符号"C"表示，单 位为法拉（F）。
电容的作用
电容在电路中起到滤波、 隔直、耦合等作用，常用 于电源电路、信号电路等。
复数域分析法
将电路中的元件参数和变量表示为复数形式，通过复数运算来分 析电路稳定性。
06 一阶动态电路的应用举例
RC电路的应用
延时电路
利用RC电路的充放电特性，可以实现延时功能， 如电子门铃、延时开关等。
滤波电路
RC电路可以构成低通、高通或带通滤波器，用于 滤除信号中的特定频率成分。
振荡电路
在某些条件下，RC电路可以产生振荡，用于产生 特定频率的信号。
3.5 一阶电路的三要素公式
2、三要素公式
y(t ) = y(∞) + [ y(0+ ) − y(∞)]e
τ > 0 时：
−
t
τ
t ≥0
上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电路 全响应的三要素公式。
换路时刻为 t0 时的三要素公式为：
y(t) = y(∞) + [ y(t0+ ) − y(∞)] e
XIDIAN UNIVERSITY
Gao Jianning
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如何画出 t =0-时刻等效电路？
由于t = 0-时电路已处于稳态，则： 情况一、若t = 0- 时等效电路中有独立源：
电容: 用开路线替代； 电感: 用短路线替代； 在t = 0- 时等效电路中计算：uc ( 0− ) , iL ( 0− )
10/9/2013 6:01:05 PM
Gao Jianning
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二、三要素法求解步骤如下
1、 确定初始值 y (0+) 初始值y(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。 (1)、独立初始值的计算 换路后瞬间 (t0=0+) 电容电压、电感电流的初始值， 受换路定律的约束，即
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Gao Jianning
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4、应用举例
例1 图 (a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的 i1、 iL、uL。
电路分析基础难点一阶动态电路分析
3.3 零 输 入 响 应
当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产 生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. 3.3.1 RC电路的零输入响应 电路的零输入响应
18
图3-5 (a) 所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容 被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC (0-)=R0IS， t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电， 电路如图3-5 (b)所示，电路中形成电流 i。故 t>0后，电路 中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生， 故属于零输入响应。
由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决 于此时刻的电压，而与电流无关，且储能 ≥0。 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能 量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它 本身不消耗能量，也不会释放出 多于它吸收的 能量，所以称电容为储能元件。
7
3.1.2 电感元件 电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感 元件是它的理想化模型。当电流通过感器时，就 有磁链与线圈交链，当磁通与电流 i参考方向之间 符合右手螺旋关系时，磁力链与电流的关系为： Ψ(t)=L i(t) 当u、i为关联方向 时，有:
例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、 i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。
13
图 3-3 例1图
解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流 的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳 定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳 态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电 容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0， 故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等 3-3(b) 效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：
一阶动态电路的三要素法ppt课件
全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳 态响应与暂态响应的叠加。或曰：零输入响应和零状 态响应是全响应的特例。
4
7.5 一阶电路的全响应
规律总结：
通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看 出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值 f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f （∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。
24
2
R1
L R2
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形 曲线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律 增加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
一、一阶动态电路的三要素
初始值f（0+） 稳态值f（∞）
一阶动态电路 的三要素
时间常数τ
5
二、三要素法的通式
t
f (t) f () [ f (0 ) f ()]e
进一步推得：
t ln f (0 ) f ()
f (t) f ()
由此式可以确定电路中电 压或电流从换路后的初始值变 化到某一个数值所需要的时间
说明：
上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利 用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据， 求出其它电压、电流的解析式。
【例14-2】
下图所示电路中，开关转换前电路已处于稳态， t = 0时开关由1位接至2位，求t ≥0时（即换路后） iL 、i2、i3和电感电压uL的解析式。
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[ uC ( 0 ) uC
t 0 .04
(1 )
( 0 )] e
t
3kΩ 6V
R2
1kΩ
+ uc -
C 10μF
6 [4 -6 ] e
uc(V)
6 4
6 2 e 25 t ( V )
ic(mA)
0.5
iC
R3 6kΩ
0
t (Sec)
0
t (Sec)
iC C
duC du ( 10 10 6 ) C 10 5 50 e 25 t ( A ) 0.5 e 25 t ( mA ) dt dt
19
所有解法的出发点
运用各种元件VCR关系、电路定律、定理、换路定 则，利用逻辑推理和微分方程求解
20
一阶全响应的习题
解得： I m um R ( L )
2 2
,
u ，
（其中： arctan
L
R
）
10
（具体过程不推导）
（3）全解： i L i L
(1 )
iL
(2 ) t
I m cos( t Ψ u ) Ae
代入初始条件 i L ( 0 ) 0 ，得： A I m cos( Ψ u )
+ uL -
（t 0 - ）
（t 0 ）
6
2、RL电路的零状态响应数学分析关键点：
（1）换路： i L( 0 ) i L( 0 - ) 0 ，（零状态） （2 ） t 0 时，KVL得： uR uL uS
（3 ）非齐次方程解， R
二、一阶RC电路和RL电路的零状态响应
零状态响应的概念
电路在零起始状态下（储能元件无初始储能），仅由外加激励 所产生的响应。
R + us + uR C i + uc + us R + uR L iL + uL -
上两例中，开关合上前电容上无电压，电感中无电流，即两个 电路均处于零状态。当开关在t=0时刻合上时，电路被电源激 励。此时电路中的响应，就是零状态响应。 零状态具体含义：uC(0-)=0，iL(0-)=0。
（2） t 0 时，由 KVL 得 u R uc u S 根据元件 VCR ： 代入后得到： RC uR R i, iC du C dt
+ us -
R + uR C i
（t 0）
+ uc -
(2 )
u R RC
du C dt
du C u c u S （一阶线性非齐次方程 ） dt
R + u0 + uR + us C i + uc + u0 R + uR + us C i + uc -
(t≤0-)
(t≥0+)
t 0 时的初始储能：u0 t 0 时的外加激励：uS
14
一阶电路全响应的基本求解方法
（1）t 0 时的初始储能：u0 。t 0 时的外加激励：uS。
(1 )
（3）非齐次方程的全解为：uC uC
uC
非齐次方程的 特解
非齐次方程的 通解 3
解非齐次方程简要：
（1）特解：
（2）通解：
R + us + uR C i
t
uc
(1)
uS
Ae
(1)
t
+ uc -
uC
(2)
（t 0）
（3）全解： u C uC
uC
(2)
设电路中原先开关闭合，已处于稳 态。t=0时开关打开，求电容电压和 电流。 R1
+ us -
3kΩ 6V
R2
1kΩ
+ uc -
C 10μF
iC
R3 6kΩ
（2）开关打开，t 0 时换路（电容电压不变） uC ( 0 ) uC ( 0 ) 4 V - - - -- 第一个要素确定 : f ( 0 )
(2 ) t
uS e
其变化规律（指数衰减 ）取决于电路结构（ RC 电路）和元件参数 RC ， 它与外加激励无关。所 以称为自由分量，也称 暂态分量（暂时的过渡 状态）。
5
2、RL电路的零状态响应
物理过程分析方法与RC电路相同
R + us + uR L iL
R + us + uR L iL + uL -
所以此时的电流为：
+ us （t 0）
+ uR i
R
（3）过渡期 ： 电源对电容充电， u c 增大，电流逐渐减小， 直至 u c u s，电路达到稳态。
+ us -
+ uR C i
（t 0）
+ uc 2
过渡过程的数学定量分析：
（1）换路定则（电容电压 不突变）， u c ( 0 ) u c ( 0- ) 0
4-15，4-16，4-17(?)
21
uS A e
（4）代入初始值（零值） ，得
0 uS A e
t
t 0
A uS
t t
所以，零状态响应的解 为： uC ( t ) u S - u S e 且： duC u S i( t ) C e dt R
t
uS ( 1 e
（3）特解为 uC
（1）
uS 6 V
- - - -- 第二个要素确定 : f ( 1 ) ( t ) uC ，f ( 1 ) ( 0 ) uC
（1）
（1）
（4）时间常数：
ReqC ( R1 R2 ) C ( 1 k 3 k )10 0.04 ( Sec )
强制响应和自由响应同相叠加，幅度是稳态电 流振幅的两倍。开关合闸时，容易引起“过电 流”，在电力系统中需要避免
12
一阶电路零状态响应的习题
4-11，4-12，4-14
13
三、一阶电路的全响应
概念：一个非零初始状态的一阶电路在外加激励下所产生的响应， 称为全响应
即：电路储能元件有初始储能和外加激励共同产生作用 电路举例：
非齐次微分方程 : di L L Ri L um cos( t u ) dt
+ us -
R + uR L iL
+ uL -
（1） 通解： i L
(2 )
Ae
t
,
L R
（2）特解： i L 设为 i L
(1 )
（t 0 ）
I m 和 的值待定。
应当具有与激励信号相 同的函数形式，
(1 )
I m cos( t ) ,
把通解 i L di L L dt
(1 )
(1 )
代入微分方程：
(1 )
Ri L
um cos( t u ),
LI m sin( t ) RI m cos( t ) um cos( t u ),
Ψ u：接通电路时外加正弦电压的初相角 （接入相角或合闸角，第五章将介绍）
+ us -
（t 0 - ）
R + uR L iL
+ uL -
与直流激励下的零状态响应求解有差别
非齐次微分方程的特解不一样 利用初始值确定待定常数更为复杂
（t 0 ）
9
正弦激励下的零状态响应的微分方程解
（2）根据换路定则：uC ( 0 ) uC ( 0 ) u0
（3）RC电路的微分方程：RC 时间常数： RC 方程全解：uC uC
特解：uC 通解：uC
(1 )
duC uC uS dt
+ u0 + us -
R + uR C i + uc -
(1 )
uC
(2 )
最后，解得电流的零状 态响为： i L ( t ) I m cos( t Ψ u ) I m cos( Ψ u )e
t
强制分量 （按正弦变 化）
自由分量 （按指数衰 减）
全解
（开始时：受自由分量衰减， 稳定时：完全由强制分量决定） 11
（4）讨论：接入相角 Ψ u对电路的影响
uS Ae
t
(t≥0+)
(2 )
（A待定）
t
（4）全解：uC uS Ae
利用初始值确定 A u0 uS
uC uS （u0 uS）e
t
15
一阶电路全响应的理解
uC uS （u0 uS）e
全响应 稳态分量 （强制分量）
t
暂态分量 （自由分量）
)
4
波形：
uc uS
电容上的电压波形
i
电阻 R1 上的电流波形
us R
波形与物理分 析完全吻合！
t
0
t
0
特解和通解的物理概念：
（1）特解： uc
(1 )
uS，
与外加激励有关，是被 强迫产生的，也称强制 分量。 外加激励是常量或周期 函数时，该分量呈稳态 ，又称稳态分量。