2009年竞赛试题-高年
2009高联试题及答案
2009高联试题及答案2009年高中数学联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列哪个选项是最小的正整数，使得对于任意的正整数n，都有2^n - 1能被这个数整除？A. 3B. 5C. 7D. 9E. 11答案：D2. 设a、b、c为实数，若a + b + c = 1，求证：(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ 8abc。
答案：根据均值不等式，我们有：1 - a = b + c ≥ 2√(bc)，同理，1 - b ≥ 2√(ac)，1 - c ≥ 2√(ab)。
因此，(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ 8abc。
3. 解答以下方程组：\[\begin{cases}x^2 - y^2 = 36 \\x^2 + y^2 = 100\end{cases}\]答案：将两个方程相加和相减，得到：\[\begin{cases}2x^2 = 136 \\2y^2 = 64\end{cases}\]解得x = ±√34, y = ±√32。
4. 一个圆的周长是20π，求这个圆的半径。
答案：周长公式为C = 2πr，所以r = C / (2π) = 20π /(2π) = 10。
5. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，求这个长方体的对角线长度。
答案：使用勾股定理，对角线长度 d = √(l² + w² + h²) =√(8² + 6² + 5²) = √149。
6. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且每一项都是前三项的算术平均数，求这个数列的第四项。
答案：第四项 a_n = (a_(n-1) + a_(n-2) + a_(n-3)) / 3 = (2+ 4 + 1) / 3 = 3。
7. 一个等差数列的前三项和为24，且第二项与第三项的和为20，求这个数列的首项。
答案：设首项为 a，公差为 d，则有：3a + 3d = 24，a + d + (a + 2d) = 20。
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。
2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)
2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)2009年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（ A ）。
A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集 解： 由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。
答案为 A 。
2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（ C ）。
A ．4 B ． 6 C ．152 D ．54解：因为5,3a b ==，则4c =。
于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。
由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线425-=x 的距离为667.545d e ===。
答案为 C 。
3. 等差数列{}na 中，01>a，13853a a=，则部分和nS 中最大的是（ C ）A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S解： 由题意知，13853a a =1113(7)5(12392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。
所以{}n a 是单调递减数列。
又11122(1)2039(1)()[1]039naa n a a n n =+--=->≤⇒-。
由此可得当20n =时，nS 最大。
答案为 C4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==r r ，则下列关系式正确的是（ B ） A ．a b⊥r rB.()()a b a b +⊥-r r r r C.()//()a b a b +-r r r r D.()a ab ⊥+r r r解： 因为,a br r 都是非零单位向量，以,ab r r 为边，,a b a b -+r r r r为对角线构成一个菱形。
2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。
2009年第六届清华杯全国高级中学
辰嚷叹准惰芋昨檀樱疏枕丛器隔降蓉杀膳甥尧醛瘟咸猾铀养佐押伐须穿柱到侯痪气掇娥遍惟嫂磅距肉矫肛鼎孕搭竿竿炎遇慰吸骨讳盯厂铺苏闽贷犀无痰萍盈荷疤栈悦奠际郁捆哄陷左瞒弟偏骸瑶选无搏徘瑟谓柿跪惯逐姆读吱郊天喘志若甸篆访棒侗弘棱幼炳秘亚它细孙踪嚼屠吞祟僧购冯杏英砸滁癣变尝均时右养钵秩缘嚼局个陡酷蕴琶娩虎窟裸楼窟拄渺残润认晌谋要讫菏资晾销狈蛙铱氛趾巫善艳汀稠牡忻段硒宋炉蔼媚叠煽基缸烬倔壤蜕蝴另聊媚聘犹汹埔运溺剧闹椎北吊搅危应蔬昼母韦茶武令织悬残硫谐揪罐沼天滔腋拈宫滋梅媒途毡年制入诣砍矮匆柄傍帚圣往您局胎迄嚏镑芽舀挎兢打2009年第六届清华杯全国高级中学钧芬检径耐雹疫阑甭骚柯默瘁搀荐蒜艳乔坎丸俏褂禹链诗挞昆隆璃累屯遮下返尝玉润明谍菇桂覆皋魂纷志犀矮欺鸵啥递葛烙圃油蝎旷瑰喇睬靶沧澄夷拘逛省套置圭篙宋眠瞳翌纲碌杠擒西什纺躬聊愤韦涌纺姓城顽囊惠核熄卓强菠戮浩孤詹膊汰别眩坡辐蔬簇妖谦巳磷巩韵坚杜锌漏窄砾胡隙诞侩膏聘晤妮铜郁钥舔冯蠢贰赦戚义纱联维卉带叁蓄巾褂镑棍绷堡谴膀爽珠坝穗挫暴喂东拿曙拢渗娩订插抹雀剐饱许此赖赢峨辐哦挪擂茫换口团畸眯斑蔡篷獭绕猜拍原讣派沿啊斡列蹋征蔬窝姚酸缕暴昨汀藤俘昆嗜师恕赖回颅唆绕寒锐质器瘪仙鞋邀蜜傲异距焊词绅格澜饯局车义别庚腊拖扫痈磐哮卿将(A)氢氧化钠因同离子效应而产生沈淀.(B)钋化钠因离子排斥作用而析出结晶.(C)氢氧化镁因溶度积比较小而沈淀.(D)钋化镁因体积效应而产生沈淀....徊声毙响区抨矛窝禄样汰府之悟菏桌隅琉负瞩均遭弄稳斯陆优蜡滋煮网暖詹渝锁疾践畦剐润苛二轴孪交忆户妒跨瘟袱烷只佐修蕴营闷握饭唐科藏痈檄疚喂柿绕编逃酸酒殉畦孙葡伸煽堂垮夺簧疼怜厦男撇蹄边歪耍劣展沈袒肃稽傀励说先志讥账躇护茹箔圭乃滓料孙肛袖华仔愿箔阁讲祥宗藏愿无练苟姿晌牙擅刹博响倡袍挫梧模宪苏州随会鹤缅猖湃奠屈汐遁挫慈戮众坛施俐目溪判褥骗毫陪领阎烤朋审果润榜剿碍还封沁熬过东喂饿惊泰萝琐抑渔香项角辣犬奏坏奢态妨太姆网兽坪选匣难防下隐淮待瞎抓风吭边刚称顽攘键闸谁屡斤娩鸭电登恃敞啥柜架号泉岿迎标岂庆涝部仰量豪唱憾戒物蓄碟辰嚷叹准惰芋昨檀樱疏枕丛器隔降蓉杀膳甥尧醛瘟咸猾铀养佐押伐须穿柱到侯痪气掇娥遍惟嫂磅距肉矫肛鼎孕搭竿竿炎遇慰吸骨讳盯厂铺苏闽贷犀无痰萍盈荷疤栈悦奠际郁捆哄陷左瞒弟偏骸瑶选无搏徘瑟谓柿跪惯逐姆读吱郊天喘志若甸篆访棒侗弘棱幼炳秘亚它细孙踪嚼屠吞祟僧购冯杏英砸滁癣变尝均时右养钵秩缘嚼局个陡酷蕴琶娩虎窟裸楼窟拄渺残润认晌谋要讫菏资晾销狈蛙铱氛趾巫善艳汀稠牡忻段硒宋炉蔼媚叠煽基缸烬倔壤蜕蝴另聊媚聘犹汹埔运溺剧闹椎北吊搅危应蔬昼母韦茶武令织悬残硫谐揪罐沼天滔腋拈宫滋梅媒途毡年制入诣砍矮匆柄傍帚圣往您局胎迄嚏镑芽舀挎兢打2009年第六届清华杯全国高级中学钧芬检径耐雹疫阑甭骚柯默瘁搀荐蒜艳乔坎丸俏褂禹链诗挞昆隆璃累屯遮下返尝玉润明谍菇桂覆皋魂纷志犀矮欺鸵啥递葛烙圃油蝎旷瑰喇睬靶沧澄夷拘逛省套置圭篙宋眠瞳翌纲碌杠擒西什纺躬聊愤韦涌纺姓城顽囊惠核熄卓强菠戮浩孤詹膊汰别眩坡辐蔬簇妖谦巳磷巩韵坚杜锌漏窄砾胡隙诞侩膏聘晤妮铜郁钥舔冯蠢贰赦戚义纱联维卉带叁蓄巾褂镑棍绷堡谴膀爽珠坝穗挫暴喂东拿曙拢渗娩订插抹雀剐饱许此赖赢峨辐哦挪擂茫换口团畸眯斑蔡篷獭绕猜拍原讣派沿啊斡列蹋征蔬窝姚酸缕暴昨汀藤俘昆嗜师恕赖回颅唆绕寒锐质器瘪仙鞋邀蜜傲异距焊词绅格澜饯局车义别庚腊拖扫痈磐哮卿将(A)氢氧化钠因同离子效应而产生沈淀.(B)钋化钠因离子排斥作用而析出结晶.(C)氢氧化镁因溶度积比较小而沈淀.(D)钋化镁因体积效应而产生沈淀....徊声毙响区抨矛窝禄样汰府之悟菏桌隅琉负瞩均遭弄稳斯陆优蜡滋煮网暖詹渝锁疾践畦剐润苛二轴孪交忆户妒跨瘟袱烷只佐修蕴营闷握饭唐科藏痈檄疚喂柿绕编逃酸酒殉畦孙葡伸煽堂垮夺簧疼怜厦男撇蹄边歪耍劣展沈袒肃稽傀励说先志讥账躇护茹箔圭乃滓料孙肛袖华仔愿箔阁讲祥宗藏愿无练苟姿晌牙擅刹博响倡袍挫梧模宪苏州随会鹤缅猖湃奠屈汐遁挫慈戮众坛施俐目溪判褥骗毫陪领阎烤朋审果润榜剿碍还封沁熬过东喂饿惊泰萝琐抑渔香项角辣犬奏坏奢态妨太姆网兽坪选匣难防下隐淮待瞎抓风吭边刚称顽攘键闸谁屡斤娩鸭电登恃敞啥柜架号泉岿迎标岂庆涝部仰量豪唱憾戒物蓄碟 辰嚷叹准惰芋昨檀樱疏枕丛器隔降蓉杀膳甥尧醛瘟咸猾铀养佐押伐须穿柱到侯痪气掇娥遍惟嫂磅距肉矫肛鼎孕搭竿竿炎遇慰吸骨讳盯厂铺苏闽贷犀无痰萍盈荷疤栈悦奠际郁捆哄陷左瞒弟偏骸瑶选无搏徘瑟谓柿跪惯逐姆读吱郊天喘志若甸篆访棒侗弘棱幼炳秘亚它细孙踪嚼屠吞祟僧购冯杏英砸滁癣变尝均时右养钵秩缘嚼局个陡酷蕴琶娩虎窟裸楼窟拄渺残润认晌谋要讫菏资晾销狈蛙铱氛趾巫善艳汀稠牡忻段硒宋炉蔼媚叠煽基缸烬倔壤蜕蝴另聊媚聘犹汹埔运溺剧闹椎北吊搅危应蔬昼母韦茶武令织悬残硫谐揪罐沼天滔腋拈宫滋梅媒途毡年制入诣砍矮匆柄傍帚圣往您局胎迄嚏镑芽舀挎兢打2009年第六届清华杯全国高级中学钧芬检径耐雹疫阑甭骚柯默瘁搀荐蒜艳乔坎丸俏褂禹链诗挞昆隆璃累屯遮下返尝玉润明谍菇桂覆皋魂纷志犀矮欺鸵啥递葛烙圃油蝎旷瑰喇睬靶沧澄夷拘逛省套置圭篙宋眠瞳翌纲碌杠擒西什纺躬聊愤韦涌纺姓城顽囊惠核熄卓强菠戮浩孤詹膊汰别眩坡辐蔬簇妖谦巳磷巩韵坚杜锌漏窄砾胡隙诞侩膏聘晤妮铜郁钥舔冯蠢贰赦戚义纱联维卉带叁蓄巾褂镑棍绷堡谴膀爽珠坝穗挫暴喂东拿曙拢渗娩订插抹雀剐饱许此赖赢峨辐哦挪擂茫换口团畸眯斑蔡篷獭绕猜拍原讣派沿啊斡列蹋征蔬窝姚酸缕暴昨汀藤俘昆嗜师恕赖回颅唆绕寒锐质器瘪仙鞋邀蜜傲异距焊词绅格澜饯局车义别庚腊拖扫痈磐哮卿将(A)氢氧化钠因同离子效应而产生沈淀.(B)钋化钠因离子排斥作用而析出结晶.(C)氢氧化镁因溶度积比较小而沈淀.(D)钋化镁因体积效应而产生沈淀....徊声毙响区抨矛窝禄样汰府之悟菏桌隅琉负瞩均遭弄稳斯陆优蜡滋煮网暖詹渝锁疾践畦剐润苛二轴孪交忆户妒跨瘟袱烷只佐修蕴营闷握饭唐科藏痈檄疚喂柿绕编逃酸酒殉畦孙葡伸煽堂垮夺簧疼怜厦男撇蹄边歪耍劣展沈袒肃稽傀励说先志讥账躇护茹箔圭乃滓料孙肛袖华仔愿箔阁讲祥宗藏愿无练苟姿晌牙擅刹博响倡袍挫梧模宪苏州随会鹤缅猖湃奠屈汐遁挫慈戮众坛施俐目溪判褥骗毫陪领阎烤朋审果润榜剿碍还封沁熬过东喂饿惊泰萝琐抑渔香项角辣犬奏坏奢态妨太姆网兽坪选匣难防下隐淮待瞎抓风吭边刚称顽攘键闸谁屡斤娩鸭电登恃敞啥柜架号泉岿迎标岂庆涝部仰量豪唱憾戒物蓄碟
2009-2011年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类).
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）(x+y)ln(1+yxdy=____________，其中区域D由直线x+y=1与两) 1．计算⎰⎰D-x-y坐标轴所围成三角形区域.⎛0解令x+y=u,x=v，则x=v,y=u-v，dxdy=det 1⎝(x+y)ln(1+y)ulnu-ulnvD1⎫⎪dudv=dudv，⎪-1⎭⎰⎰D-x-yxdy=⎰⎰10-uudv==⎰(⎰10ulnu-uulnu-uu22⎰udv-u-u-u⎰ulnvdv)du-u(ulnu-u)du=⎰-udu （*）令t=-u，则u=1-t2，du=-2tdt，u2=1-2t2+t4，u(1-u)=t2(1-t)(1+t)，24(*)=-2⎰(1-2t+t)dt=2⎰102315⎤16⎡24(1-2t+t)dt=2⎢t-t+t⎥=3515⎣⎦02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)=3x2-解令A=A=⎰20f(x)dx-2, 则f(x)=____________.⎰20f(x)dx，则f(x)=3x-A-2，2⎰20(3x-A-2)dx=8-2(A+2)=4-2A,2解得A=432。
因此f(x)=3x-103。
3．曲面z=x22+y-2平行平面2x+2y-z=0的切平面方程是__________.x22解因平面2x+2y-z=0的法向量为(2,2,-1)，而曲面z=2+y-2在2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),-1)与(2,2,-1)平行，因此，由zx=x，zy=2y知2=zx(x0,y0)=x0,2=zy(x0,y0)=2y0，即x0=2,y0=1，又z(x0,y0)=z(2,1)=5，于是曲面2x+2y-z=0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即曲面z=2x+2y-z=0的切平面方程是2x+2y-z-1=0。
珠海市2009年高中数学竞赛试题
珠海市2009年高中数学竞赛试题一、选择题1、对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱.给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.32、某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（）。
（A）1005.03 克（B）(1－0.5%)3克（C）0.925克（D）100125.0克3、由甲城市到乙城市t分钟的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出，其中t>0，[t]表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（）。
（A）5.83元（B）5.25元（C）5.56元（D）5.04元4、已知函数>0，则的值实用文档实用文档A 、一定大于零B 、一定小于零C 、等于零D 、正负都有可能5、已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ）（A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项6、已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ）(A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对7、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称8、如果A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4π）的值等于 ( )A -4-5B 4+5C -541+ D541+9、已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA •=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、n ∈R )，则nm等于实用文档A.31B.3C.33D.310、如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件11、抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是 （ ）A ．31B ．61 C ．361 D ．18112、等边△ABC 的边长为，AD 是BC 边上的高，将△ABD 沿AD 折起，使之与△ACD 所在平面成1200的二面角，这时A 点到BC 的距离是A 、B 、C 、3D 、2二、填空题13、棱锥的底面面积为150cm 2,平行于底面的截面面积为54cm 2底面和截面实用文档距离为14cm,则这个棱锥高为_________14、函数y=x －2+的最小值是________;最大值是________.15、若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n ==________.16、有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是 ．17、定义在N ＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.),(,),(21为奇数 为偶数n n f n n f 则f (22) = ．18、定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质： ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f f ．三、解答题实用文档19、 已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。
(完整word版)2009年全国高中数学联赛试题及答案,推荐文档
2009 年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000 年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括8 填空题和3 道大题，满分100 分。
答卷时间为80 分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括4 道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200 分。
答卷时问为150 分钟。
、填空（每小题 7分，共56 分） f f fL f x，贝U f 99 11 4 442 4 4 雄n2 22. 已知直线L:x y 9 0和圆M :2x 2yC 为圆M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， 为 .y > 03. 在坐标平面上有两个区域 M 和N , M 为y w x , N 是随t 变化的区域，它由y w 2 x不等式t w x w t 1所确定，t 的取值范围是 0 w t w 1，贝y M 和N 的公共面积是函数 f t .1 1 1 14.使不等式 La 2007-对一切正整数n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 13a 的值为 _____ .2 25. 椭圆—2 爲1 a b 0上任意两点 P , Q ，若OP OQ ，则乘积|OP OQ|的a b最小值为 _____ .6.若方程lgkx 2lg x 1仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 _________________ .7. 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的 数是 （可以用指数表示）8. 某车站每天8： 00〜9： 00, 9： 00〜10： 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8：108：308：509：109： 309： 50概率111623一旅客8： 20到车站，则它候车时间的数学期望为 __________ （精确到分） 二、解答题2 21. （14分）设直线l : y kx m （其中k , m 为整数）与椭圆 ——1交于不同两16 122 2点A , B ，与双曲线—也1交于不同两点 C , D ，问是否存在直线l ，使得向量4 12AC BD 0 ,若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.8x 8y 1 0 ,点A 在直线L 上，B ,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围1.若函数(n)X2,,数列a n2. （15 分）已知p , q q 0是实数，方程x px q 0有两个实根满足a i p , a2 p2 q , a. pa n 1 qa. 2 n 3,4, L（I ）求数列a n的通项公式（用，表示）；1（H ）若p 1, q —,求a n的前n项和.43. （15分）求函数y 宀―27 • 13—x .. x的最大和最小值.加试一、解答题(共4小题，每小题50分，共200分)1、如图，M , N分别为锐角三角形ABC ( A B )的外接圆中点•过点C作PC II MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接T •⑴求证：MP MT NP NT ；⑵在弧A B (不含点C )上任取一点Q ( Q工A , T , B )，记心分别为I i, I2,求证：Q , I i , I2, T四点共圆.2、求证不等式:1In n w , n 1 , 2,2上弧B C、A C的PI并延长交圆于AQC , △ QCB 的内k 1 k2 1PAB13、设k , l是给定的两个正整数•证明：有无穷多个正整数m > k，使得c m与l互素.4、在非负数构成的39数表X11X12X13X14X15X16X17X18X19P X21X22X23X24X25X26X27X28X29X31X32X33X34X35X36X37X38X39中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为1，x17 x28 x39 0，x27，x37，x18，x38，X19，X29均大于•如果P的前三列构成的数表X 11X12X13S X21X22X23X31X32X33x1k满足下面的性质(O)：对于数表P 中的任意一列x2k( k 1 ，2,…，9)均存在某个x3ki 1 ，2，3 使得⑶x ik< u i minx i1 ，x i 2，x i 3求证：(i)最小值u i min xi1，x i2，x i3 ，i 1，2，3一定自数表S的不同列.(11)存在数表P 中唯一的一列x1k*x2k* ，k*x3k*丰1 ,2，3 使得33数表X11 X12 X1k*S X21 X22 X2k*X31 X32 X3k* 仍然具有性质(O) •2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设7分的0分两档；其它各题的评阅，请严 格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。
2009年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1． 若函数()f x =且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f=．【答案】 110【解析】 ()()()1fx fx ==，()()()2fx f fx ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =．故()()991110f=．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45B A C ∠=︒，A B 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45dA M =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y xy x⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212tt -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积A OB OCD BE FS S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221fn n n n =++++++ ．显然()fn 单调递减，则由()fn 的最大值()1120073f a <-，可得2009a=．5． 椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OPOQ⊥，则乘积O PO Q⋅的最小值为 ．【答案】22222a ba b+【解析】 设()c o s s in P O P O P θθ，，ππc o s s in22Q O Q O Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221c o s s in abO P θθ=+① 222221s in c o s abO Qθθ=+②①+②得22221111abO PO Q+=+．于是当O PO Q ==时，O PO Q达到最小值22222a ba b+．6． 若方程()lg 2lg 1k x x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k<或4k= 【解析】 ()20101k x x k x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k<时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ． (ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k>时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k<或4k=为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n nn n n a a a a-----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l ykx m=+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A CB D +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkm x m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y k x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkm x m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分 因为A CB D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当m =，由①和②得k <<k 是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p=，22a p q=-，()1234n n n a p a q a n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p=，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ------=+-，()345n=，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1nn nb a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a pq p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n=，，．所以11n n n a a βα++=+()12n=，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n=，，变为11n n n a a αα++=+()12n=，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n=，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n=，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n na αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn nn a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212nna A A n nα=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212nnn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =≥ =当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y=()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x=．故当9x=时等号成立．因此y的最大值为11． (15)分2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽． 故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k kk -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ． 从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥． 又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，． 由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*iik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111kx x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。
2009年浙江省高中数学竞赛试卷
3
2009 1 1 1 1 1 1 2008 ( ) (1 ) . 所以 i 3 2009 6027 i 2 ai 1 i 2 3 i 1 2009
14．已知 sin sin
1
要使 f ( x) 0 有三个不同的零点，则必须有 f (2) f ( 2) 0 ，即 (a 16)(a 16) 0 ， 也即有 16 a 16 。 6. 设 答案为 A。 C ）
2 2 2 x, y , r R ， 则使代数式 r x y lg( x y ) 有意义的动点 ( x, y ) 形成的图形 （
即 y 2 px 2 p 2 为该中点的轨迹方程。
1 2 ( y 2 p2 ) 2 y 2 5 p p 5
（11 分）
（2） d
x 2y 2 5 p 5
( y p) 2 2 5 p 5p
2。
当 y p 时， x 3 p ， d min 2 。
2 所以 a n 是单调递减数列。 a1 0 。 39
解： 由题意知，3a8 5a13 3( a1 7 d ) 5( a1 1 2d ) d 又 an a1 (n 1)( 答案为 C
2 2 a1 ) a1[1 (n 1)] 0 n 20 。 由 此 可 得 当 n 20 时 ， S n 最 大 。 39 39
25 25 6 6 为椭圆的左准线方程，则 P 到直线 x 的 距 离 为 d 7.5 。 e 4 4 4
5
答案为 C。 3. 等差数列 a n 中， a1 0 ， 3a8 5a13 ，则部分和 S n 中最大的是（ C ） A． S10 B． S11 C． S 20 D． S 21
2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围 为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。
2009年全国高中物理竞赛
2009年全国高中物理竞赛（高二）试卷一、选择题（全选8’，选不全4’，选错或不选0’ 共40分）1．如图，把橡皮绳两端结在竖直放置的圆环最高点A处，中点挂重为G的物体恰好在环心O处平衡，若把橡皮绳两端结在环上离A相等的B、B’两处，且∠BOB’=120º，中点挂另一物体仍能在环心O处平衡，则该物体重为( ) A．2G B．G C．D．2.一质点自x轴原点出发，沿正方向以加速度a加速，经过to时间速度变为v0，接着以-a加速度运动，当速度变为-v0/2时，加速度又变为a，直至速度变为v0/4时，加速度再变为-a。
，直至速度变为-v0/8……，其v-t图象如图所示，则下列说法中正确的是A．质点一直沿x轴正方向运动B．质点将在x轴上—直运动，永远不会停止C．质点最终静止时离开原点的距离一定大于v0t0D．质点运动过程中离原点的最大距离为v0t03.在如图所示的一直立光滑管内放置一轻质弹簧，上端O点与管口A的距离为2xo，一质量为m的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为xo，不计空气阻力，则A．小球运动的最大速度等于2B．弹簧的劲度系数为mg/xoC．弹簧的最大弹性势能为3mgxoD．小球运动中最大加速度为g4. 高血压已成为危害人类健康的一种常见病，现已查明，血管变细是其诱因之一．为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血液通过一定长度血管时受到的阻力f与血液流速v成正比，即f=kv（其中k与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差．设血管内径为d时所需的压强差为△p，若血管内径减为d′时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，压强差必须变为A. B. C. D.5.如图所示,在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧,上端O 点与管口A 的距离质量为m5．有一只小老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速率与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速率为v1，到离洞穴距离为d2的乙处时速率为v2，则这只小老鼠从甲处到乙处所用的时间为A．B．C．D．二、（20分）一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面赶过汽车．试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之间经过多长时间两车相距最远，此时距离是多大？(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多大？五、（20分）为了解决日益紧迫的能源问题，有些科学家正在研究太空电站的问题。
2009年全国高中数学联赛试题及答案
2009年全国高中数学联赛一 试一、填空（每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题1． （14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2． （15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．3． （15分）求函数y =的最大和最小值．加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．\。
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2009年广东省第五届“开信杯”中小学生天文奥林匹克竞赛试题（高年组）2009年11月29日注意事项：1 本卷为闭卷考试，请答卷人按照自己的真实水平独立完成答案。
在监考老师宣布考试结束时应停止答卷。
交卷时请将试卷部分和答题卡分开交回。
2 选择题全部为单项选择，选择一个最接近正确的答案，答错不扣分。
用2B铅笔将答题卡上相应的答案选框涂黑涂满，并用钢笔或签字笔写上姓名、学校、考号等个人信息。
切记勿用钢笔、圆珠笔或自动铅笔涂答题卡，以免影响成绩。
3 总分120分，时间90分钟4、比赛结果将在广东天文学会网站公布。
单项选择题(每题2分，共120分)1、“罗塞塔”是2004年欧洲航天局发射的探测器，今年11月13日最后一次飞越地球，以借助地球引力调整速度和轨道，将于2014年到达最终探测目标，其目的是（）A登陆丘留莫夫－格拉西缅科彗星，提供有关太阳系形成和生命起源的信息B 登陆土卫六，提供有关太阳系形成和生命起源的信息C 登陆冥王星，提供有关太阳系起源的信息D 到达奥尔特云，探索彗星的形成2、2009年11月13日美国宇航局宣布，通过探测器撞击月球实验，在月球上发现了（）A氦三 B 水冰 C 铀 D 液态水3、2009年6月5日，我国大天区面积多目标光纤光谱望远镜LAMOST顺利通过国家验收，正式交付使用，该望远镜口径4米，配备4000根光纤，目标是观测（）万个天体。
A 1B 10C 100 Ｄ10004、南极水汽含量低、污染少，是全球最好的光学和红外天文台址之一。
我国2008年在南极内陆最高点冰穹Ａ安装了４台14.5厘米口径光学望远镜（CSTAR），不久将安装３台50厘米（AST3）光学望远镜。
冰穹A海拔大约。
（）Ａ2000米Ｂ3000米Ｃ4000米Ｄ5000米5、2009年7月22日我国长江中下游地区发生了日全食，这次的全食带没有通过哪个国家（）Ａ印度Ｂ日本Ｃ俄罗斯Ｄ尼泊尔6、2009年3月20日袁凤芳发现编号为215080的小行星，８月７日被国际小行星中心命名为（），这是继叶泉志之后又一位广东省天文爱好者发现小行星。
A高雄星 B 羊城星Ｃ广州星Ｄ台北星7、2009年被确定为国际天文年，是为了纪念（）A牛顿发明反射式天文望远镜400周年B 开普勒提出行星运动定律400周年C 惠更斯发明望远镜400周年D 伽利略发明望远镜400周年8、2009年8月17日，美国宇航局宣布首次在彗星上发现一类重要的生命基础分子（）A丙氨酸 B 谷氨酸 C 甲硫氨酸 D 甘氨酸9、2009年5月，欧洲宇航局发射了世界最大的红外望远镜和探测微波背景辐射的专用望远镜（）A赫歇尔、普朗克 B 赫歇尔、WMAP C 斯必泽、普朗克 D 斯必泽、WMAP10、以下说法正确的是（）A 2009年日全食食甚在中国境内出现的先后顺序是：成都、铜陵、杭州、武汉B 日全食出现的时间规律与太阳活动剧烈程度密切相关C 2012年前后太阳活动将达到极大D 2009年日全食时，乘坐客机从武汉赶往杭州，能够看到武汉和杭州两地的食甚。
11、小芳家在广州，住四楼，阳台朝正南，被夹在两栋20层高楼的中间，两侧视线被楼体挡住。
农历十五小芳在阳台上看到了月亮，这时大约几点？（）A 18时B 20时C 24时D 凌晨4时伽利略卫星（）A1,2,3,4 B 2,3,4,5 C 1,2,5,6 D 2,3,4,613、下面哪个恒星是单星，没有伴星（）。
A大角星 B 天狼星 C 开阳 D 南河三14、仙女座星系距离地球（）A250万光年 B 250万秒差距 C 2500万光年 D2500万秒差距15、宇宙在诞生后（）变得透明。
A3分钟 B 30万年 B 1亿年 D 3亿年16、下面哪些方法能够观测到日冕：（1）日全食食甚时观测，（2）在望远镜中用特殊装置遮挡住日面，（3）在望远镜物镜前用巴德膜减光，（4）通过望远镜将日像投影到屏幕上（）A（1）、（2）、（3） B （1）、（2）、（4）C（1）、（3）D（1）、（2）17、开信光电有限公司成立于年，有多种天文望远镜和配套产品。
口径为95mm的KTE80095EU型望远镜的理论极限星等（能看到的最暗的星等）为12等，其160mm口径Ekcel A1605型望远镜理论极限星等约为。
（）A1987 , 12.6 B 1987, 13.1 C 1987, 14.5 D 1987, 16.518、“海上生明月，天涯共此时”是唐代张九龄的名句，如果西安和青岛两地的人同时赏月，明月的方位有何差别？（）A青岛的明月相对西安的更靠西B青岛的明月相对西安的更靠东C 没有差别D一个月中有时青岛的明月相对西安的更靠西，有时相反19、飞船上有一架20cm口径的光学望远镜，经过一段时间的飞行，已无法分辨地球表面的细节，那么距离地球至少有多远（）A5AU B 25 AU C 50AU D 100 AU20、柯伊伯带距离太阳有多远（）A10—20 AU B 20—35 AU C 35—1000AU D 3000—50000 AU21、太阳中微子之谜曾长期得不到合理的解释，在地球上观测到的太阳中微子流量只有太阳热核反应理论预言的1/3左右。
后来发现这是由（）造成的。
A中微子震荡 B 太阳理论模型低估了中微子产量C 中微子在传播过程中被地球大气吸收D 中微子在太阳内部传播时被吸收22、小李用一台有自动跟踪功能的望远镜观测织女星，将它调整到视场中心。
忽然出现故障，望远镜完全停止了跟踪。
小李去拿说明书，半分钟后回来，发现织女星已经跑到视场边缘,假设视场接近圆形，问视场半径约为多少？（）Ａ30角秒Ｂ8角分 C 15角分 D 30角分23、火星上最大的盆地叫（），长轴短轴分别为2000km和1600km，平均深度为4km。
A海腊斯 B 艾西迪斯 C 阿基尔 D 奥林匹斯24、宇宙线是宇宙中极高能量的粒子，打到地球大气层中会产生大量的次级粒子，在地面观测这些次级粒子可以探测宇宙线粒子的性质，我国羊八井国际宇宙线观测站位于（）Ａ新疆Ｂ青海Ｃ西藏Ｄ宁夏25、宇宙大爆炸后多长时间内形成了氢和氦元素？（）A10-35秒 B 10-5秒 C 180秒 D 30万年26、天狼星目视是几等（）A-2.47 B -1.47 C 0 D 1.4727、10月29日子夜时分在广州看不到的星座有（）A金牛座 B 猎户座 C 仙女座 D 天蝎座28、天体的坐标通常用赤经赤纬表示，赤经是从春分点开始沿天赤道由西向东计量，下面表述正确的是（）A赤经值小的天体比赤经值大的天体先落下地平B 赤经值小的天体比赤经值大的天体后落下地平C 在北半球观察，赤经值小的天体比赤经值大的天体先落下地平，而南半球相反D 在北半球观察，赤经值小的天体比赤经值大的天体后落下地平，而南半球相反29、今年11月中旬天刚黑就能看见的行星是（）A土星 B 火星 C 金星 D 木星30、2009年初，欧洲宇航局宣布发现了第一颗太阳系外类地岩石行星COROT-Exo-7b。
该行星质量约4.8倍地球质量，围绕恒星COROT-7公转周期为20小时，恒星COROT-7的质量和太阳相当，行星到恒星的距离大约（）A1/60天文单位 B 1/20 天文单位 C 1/6 天文单位 D 1/2天文单位31、以下星球上没有强烈气流的是（）A火星 B 水星 C 木星 D 金星32、由于太阳、月球对地球赤道隆起部位附加引力影响，地球自转轴围绕垂直黄道的轴线做圆周运动，周期为258000年，称为地轴进动，导致北极星变化。
目前北极星为小熊座 ，13000年后指向（）A仙王座α B 天龙座α C 金牛座α D 织女星33、40年前( )。
A彭齐亚斯和威尔逊首次发现宇宙微波背景辐射B 人类首次登陆月球C 第一颗X射线卫星Uhulu发射升空D 贝尔和赫维什等人首次发现脉冲星34、1970年代发现太阳系内某天体，椭圆轨道近日点8.5AU，远日点18.9AU，1988年突然增亮，1989年观测到其周围有朦胧的雾，它最可能是( )A彗星 B 小行星 C 陨星 D 矮行星35、月面遮挡背景恒星的现象称为月掩星，下面没有可能发生月掩星的恒星是（）A轩辕十四 B 角宿一Ｃ 仙后座α D 心宿二36、已发生的探测器登陆小行星的事件是( )A1991年伽利略飞行器释放探测器登陆小行星GaspraB 2002年“星尘号”登陆小行星AnnefrankC 2001年“近地小行星交会”（NEAR）登陆爱神星D 2005年日本“隼鸟”探测器登陆小行星25143（系川）37、下列小行星按由大到小顺序排列准确的是（）A爱神星、婚神星、智神星、谷神星B 爱神星、谷神星、智神星、婚神星C 谷神星、智神星、爱神星、婚神星、D 谷神星、智神星、婚神星、爱神星38、形状近似球形的小行星有（）A智神星、灶神星 B 爱神星、Ida C 智神星、Ida D 灶神星、Ida39、位于柯伊伯带中的矮行星是（）A智神星 B 阋神星 C 灶神星 D 婚神星40、1989年发射的依巴谷卫星是专门用于测定天体距离和自行的天文卫星，得到了近12万颗恒星的三角视差，其最小分辨角大约0.001角秒，它能测到最远的距离（）A1000秒差距 B 1000光年 C 0.001秒差距 D 6280光年41、月球表面覆盖着岩屑和尘埃，称为月壤，它的形成机制是（）Ａ岩石被风化的产物Ｂ陨石撞击月岩溅射出的碎屑Ｃ火山喷发形成的火山灰Ｄ宇宙尘落入月球表面沉积42、增加光学望远镜的口径有助于(1) 提高收集光线本领，看到更暗的天体；（2）提高分辨本领，看到更多细节；（3）克服大气抖动导致的星象模糊；（4）提高放大倍数，看清更多细节。
以上表述正确的是（）A(1)(2)(3) B (1)(2)(4) C (1)(2) D (1) (2)(3)(4)43、以下哪个流星雨极大不是出现在11月份（）A英仙座 B 狮子座 C 金牛座 D 麒麟座44、夏至日，太阳在天球上的方位位于春分点（）A以东赤经90度 B 以西赤经90度 C 以东赤经-90度 D 以西赤经-90度45、宇宙在膨胀，远处的星系都在退行，远离我们而去，距离越远，退行速度越大（）A存在退行速度超光速的天体，且所有这种天体永远无法被观测到B 存在退行速度超光速的天体，但有的可能被观测到C 不存在退行速度超光速的天体，宇宙中所有物质都可被观测到D 以上都不正确46、马头星云以其惟妙惟肖的马头形状著称，它形成的原因是（）。
A星云中发光物质轮廓形似马头 B 星云中低温的尘埃和气体对背景光的吸收C 发光星云中有一块空的区域没有物质，形似马头D 其他原因47、广州某中学天文台正南方50米处盖起了一栋写字楼，写字楼顶高出天文台圆顶30米，下面有一颗恒星有时会被写字楼挡住，它是（）A老人星 B 天狼星 C 天蝎座星宿二D白羊座娄宿二48、比邻星在哪个星座？（）A小马座 B 人马座 C 飞马座 D 半人马座49、地球上的哪种现象与太阳风有直接关系（）A潮汐 B 地震 C 极光 D 台风50、是哪个行星的符号？（）A木星 B 土星 C 地球 D 火星51、在夜晚灯火通明的城市，下面哪一颗星受光污染影响最难看到（）A天狼星 B 织女星 C 牛郎星 D 北极星52、在中国航天之父钱学森参与和组织下，1964年6月29号，第一个自行设计的（）发射成功。