机械原理基本杆组分析法

机械原理

机构运动分析基本杆组法

上

机

指

导

书

Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计

随着计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本文采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。

1. 单杆运动分析子程序

单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P 1P 2P 3的边长l 、r 夹角α以及构件上某基

点P 1的运动参数x 1，y 1，x ’ 1，y ’ 1，x ’’1，y ’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’ ，θ

’’，要求确定构件上点P 2和P 3的运动参数。 显然，由图1可得下列关系式：

x 2=x 1+lcos θ， y 2=y 1+lsin θ x ’ 2=x ’ 1-lsin θθ’ ， y ’ 2=y ’ 1+lcos θθ’

x ’’2=x ’’1-lsin θθ’’-lcos θθ’ 2, y ’’2=y ’’1

+lcos θθ’’-lsin θθ’

2 x 3=x 1+rcos(θ+α)， y 3=y 1+rsin(θ+α) x ’ 3=x ’ 1-(y 3-y 1)θ’ ， y ’ 3=y ’ 1+(x 3-x 1)θ’

x ’’3=x ’’1-(y 3-y 1)θ’’-(x 3-x 1)θ’ 2, y ’’3=y ’’1+(x 3-x 1)θ’’-(y 3-y 1

)θ’

2 由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。

图1

2. RRR 杆组运动分析子程序

图2所示RRR Ⅱ级杆组中，杆长l 1，l 2及两外接转动副中心P 1，P 2的坐标、速度、加

速度分量为x 1，x ’ 1，x ’’1，y 1，y ’ 1，y ’’1，x 2，x ’ 2，x ’’2，y 2，y ’

2，y ’’2，要求确定两杆的角度、

角速度和角加速度θ1，θ’ 1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’

2。 1) 位置分析

将已知P 1P 2两点的坐标差表示为：

u=x 2-x 1，v=y 2-y 1 (1) 杆l 1及l 2投影方程式为： l 1cos θ1-l 2cos θ2=u

l 1sin θ1-l 2sin θ2=v (2) 消去θ1得：vsin θ2+ucos θ2+c=0 (3)

其中：c=(u 2+v 2+l 22-l 12

)/2l 2 解式(3)可得：

tan(θ2/2)=(v ±222c u v -+)/(u-c) (4)

式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。 图2

由式(2)可得：

tan θ1=(v+l 2sin θ2)/(u+l 2cos θ2) (5) 2) 速度分析

对式(2)求导一次得：A 1θ’1+A 3θ’2=u ’，A 2θ’1+A 4θ’2

=v ’ (6) 其中：A 1=-l 1sin θ1，A 2=l 1cos θ1，A 3=l 3sin θ2，A 4=-l 2cos θ2

解式(6)可得：ω1=θ’1=(A 4u ’-A 3v ’)/D ，ω2=θ’2=(A 1v ’-A 2

u ’)/D (7) 其中：D=A 1A 4-A 2A 3=l 1l 2sin(θ1-θ2)

3) 加速度分析

对式(6)求导一次得：A 1θ’’1+A 3θ’’2=E ，A 2θ’’1+A 4θ’’2

=F (8) 其中：E=u ’’+A 2θ’12+A 4θ’22，F=v ’’-A 1θ’12-A 3θ’2

2 解式(8)可得：α1=θ’’1=(A 4E-A 3F)/D ，α2=θ’’2=(A 1F-A 2

E)/D (9) 由上述式子可设计出RRR 杆组运动分析子程序（见程序单）。

3. RRP 杆组运动分析子程序

图3所示RRP Ⅱ级杆组中，已知杆长l 1及两外接点P 1，P 2的运动和移动副轴线P 2P 3的

方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2），

P 2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l 2，θ1，l ’2，θ’1，l ’’2，θ’’1

。

1) 位置分析

由于θ2已知，l 2待求，将式(2)消去θ1可得： l 22+2(ucos θ2+vsin θ2)l 2+(u 2+v 2-l 12

)=0 由此解得：

l 2=-(ucos θ2+vsin θ2)±

2222

1)cos v sin u (l θ-θ- (10)

式中+号用于转动副中心P 3处在P 2H 线段之外（ 图3中m=+1的位置），-号用于P 3处在P 2H 线段 之内（图3中m=-1的位置）。 θ1由式(5)而定。

2) 速度分析

对式(2)求导一次得： 图3

A 1θ’1+A 5l ’2=G ，A 2θ’1+A 6l ’2

=H (11) 其中：A 1，A 2同前，A 5=-cos θ2，A 6=-sin θ2，G=u ’+l 2A 6θ’2，H=v ’-l 2A 5θ’2

解式(11)可得：ω1=θ’1=(A 6G-A 5H)/D 8，l ’2=(A 1H-A 2G)/D 8

(12) 其中：D 8=A 1A 6-A 2A 5=l 1cos(θ1-θ2) 3) 加速度分析

对式(11)求导一次得：A 1θ’’1+A 5 l ’’2=E 1，A 2θ’’1+A 6 l ’’2=F 1

(13) 其中：E 1=u ’’+A 2θ’12+2A 6l ’2θ’2+l 2A 5θ’22+l 2A 6θ’’2 F 1=v ’’-A 1θ’12-2A 5l ’2θ’2+l 2A 6θ’22-l 2A 5θ’’2

解式(13)可得：α1=θ’’1=(A 6E 1-A 5F 1)/D 8，l ’’2=(A 1F 1-A 2E 1)/D 8

(14) 由上述式子可设计出RRP 杆组运动分析子程序（见程序单）。

4. RPR 杆组运动分析子程序

图4所示RPR Ⅱ级杆组中，已知杆长l 1及两外接点P 1，P 2的运动，l 1为P 1点至导路的垂直距离， P 2为过P 2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w （当P 2与P 1在导路同侧时，w 取

正，在异侧时，w 取负），要求确定运动变量l 2，θ1，θ2，l ’2，θ’1，θ’2，l ’’2，θ’’1，θ’’2。

1) 位置分析

θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15)

式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两 位置。

l 1与l 2有如下关系： 21222)w l (v u l --+=

(16)

由式(4)和式(16)可得：

tan(θ2/2)=[v ±(l 1-w)]/(u-l 2) (17)

2) 速度分析

由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i

（i=1,2），对 式(2)求导一次得：

A 7θ’i +A 5l ’2=u ’，A 8θ’i +A 6l ’2

=v ’ (18) 其中：A 7=-(l 1-w)sin θ1+l 2sin θ2

A 8= (l 1-w)cos θ1-l 2cos θ2 图4 解式(18)可得： ωi =θi =(A 6u ’ -A 5v ’)/(-l 2)，l ’2=(A 7v ’ -A 8u ’)/(-12) (19)