鲁棒优化的方法及应用

鲁棒优化的方法及应用杨威在实际的优化中决策过程中，我们经常遇到这样的情形，数据是不确定的或者是非精确的；最优解不易计算，即使计算的非常精确，但是很难准确的实施；对于数据的一个小的扰动可能导致解是不可行。

鲁棒优化是一个建模技术，可以处理数据不确定但属于一个不确定集合的优化问题。

早在19世纪70年代，Soyster 就是最早开始研究鲁棒优化问题的学者之一，他的文章给出了当约束矩阵的列向量属于一个椭球形不确定的集合时的鲁棒线性优化问题。

几年以后Falk 沿着这条思路做了非精确的线性规划。

在以后的很长的一段时间里，鲁棒优化方面都没有新的成果出现。

直到19世纪末，Ben-Tal,Nemirovski 的工作以及这时计算技术的发展，尤其是对于半定优化和凸优化内点算法的发展，使得鲁棒优化又成为一个研究的热点。

一个一般的数学规划的形式为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,}ni x R x R x f x x f x i m ξξ∈∈-≤≤=其中x 为设计向量，0f 为目标函数，12,,...,m f f f 是问题的结构元素。

ξ表示属于特定问题的数据。

U 是数据空间中的某个不确定的集合。

对于一个不确定问题的相应的鲁棒问题为0000,min {:(,)0,(,)0,1,...,,}ni x R x R x f x x f x i m U ξξξ∈∈-≤≤=∀∈这个问题的可行解和最优解分别称为不确定问题的鲁棒可行和鲁棒最优解。

这篇文章主要回顾了鲁棒优化的基本算法，目前的最新的研究结果及在经济上的应用。

1 鲁棒优化的基本方法1.1鲁棒线性规划一个不确定线性规划{min{:}(,,)}Tnm nm xc x Ax b c A b U R RR ⨯≥∈⊂⨯⨯所对应的鲁棒优化问题为min{:,,(,,)}Txt t c x Ax b c A b U ≥≥∈，如果不确定的集合是一个计算上易处理的问题，则这个线性规划也是一个计算上易处理的问题。

并且有下列的结论： 假设不确定的集合由一个有界的集合{}NZ R ξ=⊂的仿射像给出，如果Z 是1线性不等式约束系统构成P p ξ≤，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个线性规划问题。

2由锥二次不等式系统给出2,1,...,Ti i i i P p q r i M ξξ-≤-=，则不确定线性规划的鲁棒规划等价于一个锥二次的问题。

3 由线性矩阵不等式系统给出dim 010i i i P P ξξ=+≥∑，则所导致的问题为一个半定规划问题。

1.2鲁棒二次规划考虑一个不确定的凸二次约束问题1{min{:2,1,...,}(,,)}T T T m i i i i i i i xc x x A x b x c i m A b c U =≤+=∈对于这样的一个问题，即使不确定集合的结够很简单，也会导致NP 难的问题，所以对于这种问题的处理通常是采用它的近似的鲁棒规划问题。

考虑一个不确定的优化问题{min{:(,)0}}TxP c x F x U ξξ=≤∈，假设不确定集合为n U V ξ=+，而n ξ表示名义的数据，而V 表示一个扰动的集合，假设V 是一个包含原点的凸紧集。

不确定问题P 可以看成是一个不确定问题的参数族{min{:(,)0}}T n xP c x F x U V ρρξξξρ=≤∈=+，0ρ≥表示不确定的水平。

具有椭圆不确定性的不确定的凸二次规划问题的近似鲁棒问题11{{(,,)(,,)(,,)}1,1,...,}Lnn n l l l m Ti i i iiil i i i i j l U c A b c A b c A b Q j k ξξξ====+≤=∑ 其中10,0kj jj Q Q=≥∑f则问题可一转化为一个半定规划问题11111111min 2...[]22[]2..0,1,...,[]2T L kT n n T T L n T i i i i iji i i j T i T i i kij ij L L TT Li i in L i i i c xc c x b c x b x b A x c x b A x s t Qi m c A x x b A x A x A xI λλ==⎛⎫+-++ ⎪⎪ ⎪+⎪⎪⎪≥=⎪ ⎪+ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭∑∑M ML具有椭圆不确定集合的不确定锥二次问题的近似鲁棒规划 考虑不确定锥二次规划12{min{:,1,...,}{(,,,)}}T T m i ii i i i i i i xc x A x b x i m A b U αβαβ=+≤+=∈它的约束为逐侧的不确定111{,}(,,,)}{,}m leftm i i i i i i i i m right i i i A b U U A b U αβαβ===⎧⎫∈⎪⎪=⎨⎬∈⎪⎪⎩⎭它的左侧的不确定的集合是一个椭圆11{{(,)(,)(,)}1,1,...,}Lleftnn l l m T i i iil i i i j l UA b A b A b Q j k ξξξ====+≤=∑其中10,0kj jj Q Q=≥∑f右侧的不确定集合是有界的，它的半定表示为11{{(,)(,)(,)}}Rrightnn r r m i i iir i i i r UV αβαβηαβη====+∈∑{:()()0}V u P Q u R ηη=∃+-≥，(),()P Q u η为线性映射。

则半定规划为11111min [][]..0,1,...,[]T kn n T iji i j T i i kijij L L T i i n n L i i i i i c xA x b A x b s t Qi mA x b A x b A x A xIτλλτ==⎛⎫-+ ⎪⎪⎪+ ⎪≥= ⎪ ⎪+⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑M L其中11**0,1,...,,1,...,(),1,...,(),1,...,()0,1,...,0,1,...,ij T n n i i i i T i i i T R R i i i i i m j k x Tr RV i mx P V i mx Q V i mV i mλταβαβαβ≥===++=⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭==≥=M1.3鲁棒半定规划一个不确定的半定规划的鲁棒规划为0011{min{:0}{(,...,)}}nTm i i n i xi c x A x A A A U ==+≥∈∑由一个箱式不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题0001{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l l n nl n l U A A A A A A ξξ∞===+≤∑。

则半定规划的近似的鲁棒优化为01,011[],1,...,min :[],1,...,,1,...,lnl l ll j j j T l l x X L nl l lj j l j X A x A x A l L c x X A x l L X A x A l L ===⎧⎫≥≡+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥-=⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤+=⎪⎪⎩⎭∑∑∑由一个球不确定集合影响的不确定半定规划的近似鲁棒问题00021{(,...,)(,...,)(,...,)1}Lnn l ln nl n l U A A A A A A ξξ===+≤∑。

则半定规划问题为12120,,1[][][][]min :[]0,2()[]L nT n n j j x F G j L G A x A x A x A x c x A x F F G A x A A x F =⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪≥+≤+⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭∑L M M具有易处理的鲁棒counterparts 的不确定线性规划。

如果多胞形是由有限集合的凸包给出的，则鲁棒规划为1min{:0,1,...,}nTl l j j xj c x A x A l L =+≥=∑2 鲁棒优化的几种新的方法鲁棒规划的最近的研究包括了对于可调节的鲁棒优化的研究以及对于鲁棒凸优化的研究。

2.1不确定的线性规划的可调节的鲁棒解不确定线性规划为[,,],{min :}TZ U V b Z u vLP c u Uu Vv b ζ=∈+≤，其中不确定集合n m n m Z R R R ⨯⊂⨯⨯是一个非空的紧的凸集，V 称为recourse 矩阵。

当V 是确定的情况下，则称相应的不确定线性规划为固定recourse 的。

定义：线性规划Z LP 的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]):}TuRC c u v U V b Z Uu Vv b ζ∃∀=∈+≤，则它的可调节的鲁棒counterpart 为():min{:([,,]),:}T uARC c u U V b Z v Uu Vv b ζ∀=∈∃+≤。

可调节的鲁棒规划比一般的鲁棒规划灵活，但是同时它也比一般的鲁棒规划难解。

对于一个不确定线性规划的鲁棒规划是一个计算上易处理的问题，然而它相应的可调节的鲁棒规划却是不易处理的问题。

但是如果不确定集合是有限集合的凸包，则固定recourse 的ARC 是通常的线性规划。

从实际的应用来看，只有当原不确定问题的鲁棒counterpart 在计算上容易处理的时候，鲁棒优化方法才有意义。

当可调节的变量是数据的仿射函数时，可以得到一个计算上易处理的鲁棒counterpart.对于Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)可以表示为,,():min{:(),([,,])}T u w WAARC c u Uu V w W b U V b Z ζζ++≤∀=∈。

如果Z 是一个计算上易处理的集合，则在固定recourse 的情况下，Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个计算上易处理的问题。

如果Z 是这样的一个集合，1{[,,][,,][,,]:}Ll l l l l Z U V b U V b U V b ξξ===+∈ℵ∑，ℵ是一个非空的凸紧集。

在固定的recourse 的情况下，AARC 具有这样的形式01000,,,...,min {:[][][],}LT l l ll l l u v v vc u U U u V v v b b ξξξξ+++≤+∀∈ℵ∑∑∑ 如果不确定的集合是一个锥表示的，则Z LP 的仿射可调节的鲁棒counterpart (AARC)是一个锥二次或半定规划。

如果recourse 也是可变的，则AARC 是不易处理的问题，这时采用它的近似形式。

在简单椭圆不确定集合的情况下，AARC 等价于一个半定规划。

当扰动的集合是一个中心在原点的箱式集合或者是一个关于原点对称的多胞形集合，则AARC 可以有一个半定规划来近似。