《三角函数模型的简单应用(第2课时)》教学教案2

1.6 三角函数模型的简单应用

学习目标

1．能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．

2．通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系．

重点难点

学习重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．

学习难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题．

学习过程

导入新课

思路1．通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等．

思路2．(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．

提出问题

①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数、对数模型中是怎样处理搜集到的数据的？

活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的．教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业．教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上节课的学习氛围中,使学生的思维状态进入到现在的情境中．

应用示例

例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐．在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:

时刻0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米5．0 7．5 5．0 2．5 5．0 7．5 5．0 2．5 5．0

深的近似数值(精确到0．001)．

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1．5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0．3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,如图6．教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如

y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画．其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值即可．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深．

图6

根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合,应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．

在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型．求货船停止卸货,将船

驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．

进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．

解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6)．

根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出:

A ＝2．5,h ＝5,T ＝12,φ＝0,

由T ＝ωπ

2＝12,得ω＝6

π． 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2．5sin

6πx+5近似描述． 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:

令2.5sin 6πx+5=5.5,sin 6

πx=0.2． 由计算器可得

2 SHIFT sin -1

0．2

=

0.201 357 92≈0．201 4．

如图7,在区间[0,12]内,函数y ＝2.5sin

6

πx+5的图象与直线y ＝5.5有两个交点A 、B,

图7

因此6πx≈0.201 4,或π－6

πx≈0.201 4． 解得x A ≈0.384 8,x B ≈5.615 2．

由函数的周期性易得:x C ≈12+0.384 8＝12.384 8,x D ≈12+5.615 2＝17.615 2．

因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．

图8

(3)设在时刻x 货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6—7时之间两个函数图象有一个交点(如图8)． 通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米．因此为了安全,货船最好在6.5时之前