2013年高考数学复习要点梳理教学案4.5正弦定理和余弦定理精品(学生版)新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案4.5 正弦定理和余弦定理（新
课标人教版，学生版）
【考纲解读】
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.解三角形是历年来高考重点内容之一,正余弦定理的考查，选择题、填空题与解答题都有可能出现,在考查正余弦定理知识的同时，又考查函数思想、转化思想等解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查正余弦定理及变形公式,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】 1.正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 为ABC ∆的外接圆半径), 即三角形的各边长与它所对角的正弦的比相等,等于该三角形的外接圆直径. 2.正弦定理的变形公式：
(1)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===;
(2)sin ,2R a A =sin ,2R b B =sin 2R c
C =
;(3)::sin :sin :sin C a b c A B =; (4)sin sin sin sin sin a b a b c A B A B C +++=+++2sin a
R A
==.
3.余弦定理:
在∆ABC 中, 2222cos c a b ab C =+-;
2222cos b a c ac B =+-; 2222cos a b c bc A =+-
即三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
4．余弦定理的变形公式:
222cos 2b c a A bc +-=;222cos 2a c b B ac +-=;222
cos 2a b c C ab
+-=.
5.解三角形的类型:(1)已知两角一边,解三角形,用------定理,有解时,只有一解.
(2)已知两边及其一边的对角,解三角形,用-----------定理,有解的情况可分别为几种情况.在∆ABC 中,已知a 、b 和解A 、B,解的情况如下:
A 为锐角
A 为钝角或直角
图 形
关 系 式
a=bsinA
bsinA<a<b
a ≥b
a ≥b
解 个 数
一解 两解 一解 一解 (3)已知三边,解三角形,用余弦定理,有解时,只有一解. (4)已知两边及夹角,解三角形,用余弦定理,必有一解. 5.三角形的面积公式： (1)111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆==
=(经常用); (2)1
()2
ABC S a b c r ∆=
++⋅ (其中r 是ABC ∆的内切圆半径). 【例题精析】
考点一 解三角形
例1. (2012年高考北京卷文科11)在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3
π
，则∠C 的大
小为_________.
【变式训练】
1. (2012年高考陕西卷理科9) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若
2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）2 （C ） 12 （D ） 1
2
- 考点二 判断三角形的形状
例2. (2012年高考上海卷文科17)在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△
ABC 的形状是（ ）
A ．钝角三角形
B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【变式训练】
2.在△ABC 中，若cos cos ,a A b B =试判断这个三角形的形状. 考点三 正余弦定理的综合应用
例3.(2012年高考山东卷文科17) 在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.
(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .
【名师点睛】本小题主要考查等比数列的判断、切化弦的思想，考查考生的分析问题与解决问题的能力.
【变式训练】
3. （2011年高考山东卷文科17)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.
已知
cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b
. （I ） 求sin sin C
A
的值；
（II ） 若cosB=1
4
，5b ABC 的周长为，求的长.
【易错专区】 问题：解三角形
例.在ABC ∆中，若30,2B AB AC ===，求ABC ∆的面积. 【课时作业】
1. (2012年高考天津卷理科6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=( )
（A ）
725 （Ｂ）725- （Ｃ）725± （Ｄ）2425
2.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若
cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )
(A)-
12 (B) 1
2
(C) -1 (D) 1 3．(湖北省襄阳市2012年3月高三调研文理科)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边洗定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒， 105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D 4. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是( )
（A ）(0,]6π （B ）[,)6
π
π
(C) (0,]3π
（D ）[,)3
π
π
5. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC 的面积为3， BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________.
6．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科)如图：已知树顶A 离地面212
米，
树上另一点B 离地面
112
米，某人在离地面
32
米的C 处看此树，则该人离此树 米时，
看A 、B 的视角最大．
7. （2011年高考江西卷文科17)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知
C b B c A a cos cos cos 3+=.
（1）求A cos 的值； (2)若3
3
2cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．
【考题回放】
1. (2012年高考广东卷文科6)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )
A. 2. (2012年高考湖北卷文科8)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为( )
A.4∶3∶2
B.5∶6∶7
C.5∶4∶3
D.6∶5∶4
3 . (2012年高考湖南卷文科8) 在△ABC 中， ，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于
A 4.(2012年高考重庆卷文科13)设△ABC 的内角A
B
C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1
cos 4
a b C =
=1，=2，，则sin B = 5. (2012年高考湖北卷理科11)设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=______________.则AC=_______。

6. (2012年高考陕西卷文科13)在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，
c ，若a=2 ，B=
6
π
，b=
7．(2011年高考上海卷理科6)在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若
0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离是 千米。

8. (2012年高考浙江卷文科18)（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边
分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.
9.（2011年高考辽宁卷文科17)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
asinAsinB+bcos 2
a 。

（I ）求b a
；（II ）若c 2=b 2a 2
，求B 。