代数第二册第八章第3节分组分解法(二)拆项,配方,换元
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
代数第二册第八章第3节分组分解法(二)拆项、配方、换元
课程信息【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法(二)拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。
拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。
配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。
换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。
以下是配方常用的公式2 2 2a b = (a b) -2ab2 2(a b) -4ab 二(a -b)(a -b)2 4ab 二(a b)2a(a 1)(a 2)(a 3) 1 = (a2 3a 1)2a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 = (a2 a 1)2【典型例题】2［例1］分解因式：(a b -2ab)(a b -2) (1 -ab)分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到a b，ab把它们看作一个字母，用换元法即可。
解：设= a b，y = ab则原式=(x -2y)(x -2) (1 -y)22 2=x _2xy _2x 4y 1 _2y y=x2 -2xy y2 -2x 2y 1= (x-y)2 -2(x-y) 1= (x-y -1)22=(a b -ab -1)二[(a —ab) 一(1 —b)]2= (a-1)2(b-1)22 2[例2]分解因式：(1 - 2a - a )b a(a - 1)(2b -1)分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中a-1看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。
解:令a _1 =x贝卩1 _2a_a2 =(a_1)2 _2a2 =x2 _2a2•••原式二(x2 -2a2)b ax(2b2 -1)2 2 2=x b - 2a b 2ab x - ax2 2 2=(x b -ax) (2ab x-2a b)=x(xb - a) 2ab(bx - a)=(xb - a)(x - 2ab)= [(a —1)b —a] [a —1)+2ab]=(ab - a -b)(a 2ab -1)说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
分组分解法PPT优选课件
2020/10/18
1
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？
。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？
•这个多项式能否进行因式分解？
2020/10/18
2
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
思考：本例能否按第1，3项，第2， 4项分组来分解呢？
2020/10/18
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例2 把a²+2ab+b²-c²分解因式。
解：a²+2ab+b²-c² =(a²+2ab+b²)-c²
=(a+b)²-c² =[(a+b)+c][(a+b)-c] =(a+b+c)(a+b-c)
2020/10/18
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例3、把2x²-5x-ax+3a-3分解因式
练习：1.ax+ay+x+y 2.5m(a+b)-a-b
（答案 (x+y)(a+1)、(a+b)(5m-1)来分解因式的方
法叫做分组分解法。
2020/10/18
4
例1、把x³-x²+x-1分解因式。
解：x³-x²+x-1 =(x³-x²)+(x-1) =x²(x-1)+(x-1) =(x-1)(x²+1)
分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?
分组分解法2PPT课件
2.已知x－2y=－2b=－4098，
2020年10月2求日 2bx2－8bxy+8by2－8b的值. 12
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2020年10月2日
11
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3；
(2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)；
(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2020(年610月)2日25x2-4a2+12ab-9b2.
5
分解因式: (1)a2+2ab+b2-ac-bc; (2)4a2+4a-4a2b+b+1; (3)a4b+2a3b2-a2b-2ab2.
2020年10月2日
6
例2 把a4b+2a3b2－a2－2ab2分解因式. 解 ： 原式=
=
=
=
(1)a2+2ab+b2－ac－bc；
(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1；
完整版)因式分解的常用方法及练习题
完整版)因式分解的常用方法及练习题因式分解是初等数学中常用的代数式恒等变形方法之一，它在解决数学问题时发挥着重要作用。
因式分解方法灵活多样，技巧性强，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能和思维能力也有独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在此基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。
一、提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，使其成为一个因式乘以一个多项式。
例如，ma+mb+mc可以提取公因式m得到m(a+b+c)。
二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，反向使用这些公式可以得到因式分解中常用的公式，例如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式等。
还有两个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2和a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。
三、分组分解法：将多项式按照一定规律分成若干组，然后分别进行因式分解。
分组后能直接提取公因式的例子有am+an+bm+bn，可以将前两项分为一组，后两项分为一组，然后分别提取公因式得到(m+n)(a+b)。
分组后能直接运用公式的例子有2ax-10ay+5by-bx，可以将第一、二项为一组，第三、四项为一组，然后运用平方差公式得到(2a-b)(x-5y)。
因式分解方法的灵活性和技巧性需要通过大量的练才能掌握，只有掌握了这些方法和技巧，才能在解决数学问题时游刃有余。
例3、分解因式：x^2-y^2+ax+ay分析：将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，不能直接提公因式，需要另外分组。
改写：将x^2和ax分为一组，将-y^2和ay分为一组。
不能直接提公因式，需要另外分组。
例4、分解因式：a^2-2ab+b^2-c^2解：原式可以化为(a-b)^2-c^2，再用差平方公式得到(a-b+c)(a-b-c)。
代数第二册第八章第3节分组分解法(一)
【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法（一）二. 重点、难点：分组分解是一种很重要的方法，当提公因式法与运用公式法不能直接起作用时，要想到利用分组分解法，另外拆项，添项也可以看作是分组分解的拓展，分组分解在于恰当的分组，一般说来分组的方法不是唯一的。
【典型例题】[例1] 分解因式23323+++a a a分析：这是四项所以不能用公式，注意到3a 所以它可以用立方公式或者观察系数1，3，3，2适当的拆分即可。
解法一：原式33231)1(1)133(++=++++=a a a a ]1)1()1)[(11(2++-+++=a a a )1)(2(2+++=a a a解法二：原式)2()2()2(223+++++=a a a a a)1)(2()2()2()2(22+++=+++++=a a a a a a a a 解法三：原式)222()(223+++++=a a a a a )1(2)1(22+++++=a a a a a )2)(1(2+++=a a a 解法四：原式)333()1(23+++-=a a a )1(3)1)(1(22+++++-=a a a a a)1)(2()31)(1(22+++=+-++=a a a a a a说明：分组方法不唯一，此题解法一、四是将常2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解。
[例2] 分解因式（1）xy y y x x 2)1()1(-++- （2）)()(2222b a cd d c ab +++ （3）3232)1(x x x x -+++分析：显然上面几个式子均无公因式可提取，又无乘法分式可用，可考虑先将式子乘开，再重新分组。
解：（1）原式)()2(22222y x y xy x xy y y x x --+-=-++-= )1)(()()(2---=---=y x y x y x y x（2）原式)()(22222222cd b abd cd a abc cdb cda abd abc +++=+++= ))(()()(bc ad bd ac bc ad bd ad bc ac ++=+++= （3）原式362322)1(2)1(x x x x x x x -++++++= )1()1(2)1(332322-++++++=x x x x x x x)1)(1()1(2)1(232322++-++++++=x x x x x x x x x )]1(2)1)[(1(3322-++++++=x x x x x x x )1)(1(4322x x x x x x ++++++=说明：在上节课我们讲了两个拓展式)1)(1(123++-=-x x x x ，)1(13+=+x x)1(2+-x x 其中12++x x ，12+-x x 要同学们特别记住，很多情况下看到12++x x 与12+-x x 都要想到13-x 与13+x ，很多的拆项也是拆成12++x x 与12+-x x 的形式。
(完整版)因式分解方法大全
因式分解方法大全（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。
因式分解方法灵活，技巧性强。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。
一、提公因式法： ()ma mb mc m a b c ++=++二、运用公式法： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+-⑵完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+（新课标不做要求）⑷立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++（新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++⑹ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例：分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --㈡分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=()()a b c a b c -+--四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式2ax bx c ++，都要求240b ac ∆=->而且是一个完全平方数。
分组分解法因式分解ppt课件
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
分组分解法因式分解 课堂小结：
1．分组分解法的几种形式是什么？ 2．因式分解的一般方法和具体步骤是什么？
分组分解法因式分解
课后作业：
一、把下列多项式因式分解： （1）xy2 2xy 2 y 4
(2)x3 x2 x 1 (3)3a2 6ab 3b2 12c2 二、已知：a、b、c为有理数，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0 试说明三角形ABC的形状。（选做）
定义：分组分解法指通过分组分解的方式来分 解因式，当提公因式法和公式分解法无法直接 分解时用此方法。分解方式一般分为“1+3” 式和“2+2”式 .
分组分解法因式分解
把下列各式因式分解：
(1)x2 y2 ax ay
分解要彻 底
(2)a2 2ab b2 c2
分析：(1)按公因式分，第三、四项有公因式a，第一、
分组分解法因式分解
练习：把下列多项式因式分解：
(1)4a2 b2 4a 2b (2)x2 2xy y2 1 (3)9x2 6x 2 y y2 (4)x2 y2 a2 b2 2ax 2by
分组分解法因式分解应用
已知：a2 b2 2a 4b 5 0,
求：a b的值。
二项符合平方差公式，各自分解后均含有公因式(a+b),再提取；
(2)按公式特点分组，由公式特点知，第一、二、三项 为一组，它符合完全平方公式 。第四项为一组．再次利 用公式分解因式。
分组分解法因式分解
分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂 的方法，让我们来须有预见性. 能预见到 下一步能继续分解.而“预见”源于细致的 “观察”，分析多项式的特点，恰当的分 组是分组分解法的关键 .
因式分解-分组分解法精品课件
因式分解的基本概念和目的
1
基本概念
通过将多项式表达式拆解为较简单的因
目的
2
子相乘的形式，以求得其因式分布。
简化多项式表达式，使其更易理解并为
后续运算提供方便。
3
重要性
因式分解是代数学中一项关键技巧，广 泛应用于解方程、化简式子等问题。
分组分解法的步骤和原理
步骤
1. 对多项式项进行分组。
2. 利用公式进行化简和因式 分解。
3. 结合分组和化简的结果得 到最终的因式分解形式。
原理
分组分解法通过合理的分组， 运用代数运算法则，使多项 式中的各个项出现公共因子， 从而达到因式分解的目的。
示例
接下来我们将详细介绍一个 分组分解法的实例，帮助大 家更好地理解步骤和原理。
缺点
• 对于一些复杂或特殊的多项式，分组分解法 可能不适用
• 需要掌握一定的代数技巧和规则 • 在一些情况下可能需要进行多次分组和化简，
增加了求解复杂度
扩展思考：其他因式分解方法的介绍
• 公因式提取法 • 配方法 • 差平方公式 • 分解因子法 除了分组分解法外，还有许多其他因式分解的方法，每种方法都有其适用场景和特殊规则。
分组分解法的详细示例
1
步骤1
对多项式中的项进行分组。
示例：将4x - 3y + 6xy + 2yz进行分组。
2
步骤2
对分组后的项进行化简和因式分解。
示例：化简4x - 3y + 6xy + 2yz = x(4 - 6y) + y(2z - 3)
3
步骤3
结合分组和化简的结果得到最终的因式分解形式。
分组分解法课件
(4)(a b ) 4a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
(5)4a b (a b c )
(6)a 2a (c b) a(b c) ;
3 2 2
(7)a 2a b b ;
4 2 2 2 4
(8)(2 x 1) 4( x 2 x) .
2+8x+11的值 4、无论x取何值，4x
永远都是正数，你相信吗？
小结
对分组分解法有何看法？
1:把下列各式分解因式:
1 (1)(x 2 y ) ( x 2 y ) ; 4 2 2 2 (2)4 x (a b) 12xy(a b) 9 y ;
2
(3)(a b )(a b) 4(a b ) 4a 4b;
2 2 2
说明： （1）分解因式的步骤：一提 二套 （2）注意点:提净；分解透；整理好因 式.
2:k为何值时， 4 x kxy 12 求a+b的值。
2
2
4a 6b 13 0
4: 已知 a, b, c 是三角形的三条边, 2 2 2 求证: b a c 2ac
2-ab+ac-bc 解：a
=（a2-ab）+（ac-bc） =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c)
还有其他解法吗？
2-y2+ax+ay分解因式 例２：把x
2-y2+ax+ay 解：x 2-y2)＋(ax+ay) =(x
=(x+y)(x-y)＋a(x+y) =(x+y)(x-y+a)
因式分解
(八年级数学教案)八年级数学分组分解法知识点
八年级数学分组分解法知识点
八年级数学教学设计
____年八年级数学 :分组分解法知识点
分组分解法
我们看多项式 am+ an+ bm+ bn,这四项中没有公因式 ,所以不可以用提取公因式法,再看它又不可以用公式法分解因式 .
假如我们把它分红两组(am+ an)和(bm+ bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式 .
原式 =(am +an)+(bm+ bn)
=a(m+ n)+b(m +n)
做到这一步不叫把多项式分解因式,由于它不切合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式 (m+n),所以还可以持续分解 ,所以
原式 =(am +an)+(bm+ bn)
=a(m+ n)+b(m+ n)
=(m +n)?(a +b).
这类利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上边的例子能够看出 ,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好同样,那么这个多项式就能够用分组分解法来分解因式.。
因式分解分组分解
因式分解分组分解
【原创版】
目录
1.引言
2.因式分解的定义与分类
3.分组分解的概念与方法
4.分组分解的实际应用
5.结论
正文
1.引言
因式分解是代数学中的一种重要方法，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为若干个简单的因式的乘积。
在因式分解中，有一种常见的方法叫做分组分解，它通过将多项式中的项进行分组，再进行因式分解，从而达到简化表达式的目的。
今天我们将重点介绍分组分解这一方法。
2.因式分解的定义与分类
因式分解就是将一个多项式表达式分解为若干个简单的因式的乘积。
根据分解的方法不同，因式分解可以分为提公因式、公式法、分组分解等几种类型。
其中，分组分解是一种较为实用的方法，它适用于多种复杂的多项式表达式。
3.分组分解的概念与方法
分组分解的概念：将多项式中的项进行分组，再分别对每组进行因式分解，最后将各组的因式乘积相乘，得到原多项式的因式分解式。
分组分解的方法：通常是将多项式中的项按照某种规则进行分组，如按照项的次数、系数等进行分组。
然后对每组进行因式分解，最后将各组
的因式乘积相乘，得到原多项式的因式分解式。
4.分组分解的实际应用
分组分解在代数学中有着广泛的应用，如在解方程、化简表达式、证明等式等方面都有着重要的作用。
例如，对于一个四次方程，我们可以通过分组分解将其化为两个二次方程的乘积，从而简化问题的求解过程。
5.结论
分组分解作为一种因式分解的方法，在代数学中有着广泛的应用。
通过掌握分组分解的方法，我们可以轻松地解决许多复杂的数学问题。
初中代数有哪些好的学习方法
初中代数有哪些好的学习方法代数是初中数学的一个重要的运算理论和方法，学好初中的代数，能为未来的高中数学和物理打下坚实的基础。
下面是小编分享的初中代数基础的学习方法，一起来看看吧。
初中代数基础的学习方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
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【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法（二）拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。
拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。
配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。
换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。
以下是配方常用的公式ab b a b a 2)(222-+=+ 22)(4)(b a ab b a -=-+ 22)(4)(b a ab b a +=+- 22)13(1)3)(2)(1(++=++++a a a a a a 222222)1()1()1(++=++++a a a a a a【典型例题】[例1] 分解因式：2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到b a +，ab 把它们看作一个字母，用换元法即可。
解：设b a x +=，ab y = 则原式2)1()2)(2(y x y x -+--= 2221422y y y x xy x +-++--= 122222++-+-=y x y xy x1)(2)(2+---=y x y x2)1(--=y x 2)1(--+=ab b a 2)]1()[(b ab a ---= 22)1()1(--=b a[例2] 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中1-a 看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。
解：令x a =-1则2222222)1(21a x a a a a -=--=--∴ 原式)12()2(222-+-=b ax b a xax x ab b a b x -+-=22222)22()(222b a x ab ax b x -+-=)(2)(a bx ab a xb x -+-= )2)((ab x a xb +-=]2)1][()1[(ab a a b a +---=)12)((-+--=ab a b a ab说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。
[例3] 分解因式（1）1232234++++x x x x ；（2）20001999200024+++x x x解：（1）原式)1()()(223234++++++++=x x x x x x x x)1()1()1(2222++++++++=x x x x x x x x)1)(1(22++++=x x x x 22)1(++=x x（2）原式200020002000223234+++---++=x x x x x x x x)1(2000)1()1(2222+++++-++=x x x x x x x x)2000)(1(22+-++=x x x x说明：对于高次多项式12++x x 是经常出现的因式[例4] 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++分析：因为)()(b a c b a c +-+=-，所以可先将)(a c ca -进行拆项，然后再进行分组分解。
解：原式)()]()[()(b a ab b a c b ca c b bc +-+-+++= )()()()(b a ab b a ca c b ca c b bc +-+-+++= ))(())((b c b a a b a c b c ++-++= ))()((a c c b b a -++=[例5] 分解因式))((4)(2222222y z z x y x +--+分析：若直接乘开非常复杂，观察到222222)()(y x y z z x +=++-∴ 设a z x =-22 b y z =+22利用22)(4)(b a ab b a -=-+解：设a z x =-22 b y z =+22则222222y x y z z x b a +=++-=+ 原式ab b a 4)(2-+=2)(b a -=22222)(y z z x ---=2222)2(z y x --=[例6] 分解因式24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+分析：观察多项式，其首、末两项是完全平方式，可考虑对其进行配方。
解：原式2422)1()1()1(2)1(y x y x y y -+-+++=)1(2)1()1(2222y x y x y +--+- )]1()1[(2)]1()1[(22222y y x y x y ++---++=2222)2()1(x y y x x -++-=)21)(21(2222x y y x x x y y x x -++-+++-=)]1()12)][(1()12[(2222--+---++=x y x x x y x x)]1)(1()1)][(1)(1()1[(22-+---+-+=x x y x x x y x)1)(1)(1)(1(y xy x x y xy x x ----+-++= [例7] 分解因式（1）674+-x x ；（2）202811323+++x x x解：（1）原式6622334+--+-+-=x x x x x x x)1(6)1()1()1(23---+-+-=x x x x x x x)6)(1(23-++-=x x x x（2）原式20208833223+++++=x x x x x)1(20)1(8)1(32+++++=x x x x x)2083)(1(2+++=x x x说明：若一个多项式各项系数之和为0，则一定有1-x 这个因式，若一个多项式奇次系数之和与偶次系数之和相等一定有1+x 这个因式。
[例8] 分解64)3())(3(2++++-+y x y x y x解：原式64)](9)[(22++-+=y x y x64)(9)(24++-+=y x y x224)(2564)(16)(y x y x y x +-++++= 222)(25]8)[(y x y x +-++=)8552)(8552(2222+--+++++++=y x y xy x y x y xy x[例9] 分解因式2222)1(8)1(x x x x +-++分析：观察题目，前两项都是平方元素，但配方后却做不下去，联想前面的配方公式222222)1()1()1(++=++++a a a a a a 拆最后一项去做。
解：原式22222)1(9)1()1(+-++++=x x x x x 222)1(9)1(+-++=x x x )22)(44(22--++=x x x x)22()2(22--+=x x x[例10] 已知实数x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，求z y x 32++分析：原题中只有两个方程，按常规无法求出x 、y 、z 用消元法代入较复杂的式子中变形求解。
解：由5=+y x 得y x -=5 则9)5(2-+-=y y y z9522-+-=y y y z 09622=+-+y y z 0)3(22=-+y z∴ 0=z 03=-y 3=y∴ 5=x 235=-=y ∴ 80332232=⨯+⨯+=++z y x【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 判断题1. )3)(2(652--=--x x x x （ ）2. )1)(8(872+-=-+x x x x （ ）3. ))(2()2()2(y x x x y x x +-=---（ ）4. )4)(2(8222y x y x y xy x +-=-+（ ）5. )4)(5(21)1(2-+=--+x x x x （ ）6. )2)(6(12423-+-=+--a a a a a a （ ）7. )31)(21(61652--=+-x x x x （ ） 8. 2323b b a a -++因式分解可分组为)()(2233b a b a -++（ ）9. ac b a a c b a -+-++)()(2有因式c a +（ ）10. )1)(2)(1(6)4)(1(222-+-+=+-+++x x x x x x x x （ ）二. 填空题1. x x 253-，1253+x ，xy y x y x 2023-+的公因式是2. 分解因式=-+-y x y x 364223. 分解因式=-+6072x x4. +-x x 32=)2(+x （ ）5.=+-2209.054.010081n mn m 6. ++444y x － )22)(22(2222xy y x xy y x -+++=7. =++22107y xy x8. =+-4216171y y9. )4)(3(12722y kx y x y xy kx --=+-，则=k10. ))(1(6116223b ax x x x x x ++-=-+-，则=a三. 选择题1. 下面四个因式分解题：（1）)1)(6(652+-=+-x x x x ；（2）)7)(4(281122y x y x y x x --=+-；（3）22)21(4144+=++x x x ；（4）)1)(()()(3+--=---y x y x x y y x )1(--y x ，其中分解正确的题数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 多项式ab bx ax x +--2可分解为（ ）A. ))((b x a x -+B. ))((b x a x +-C. ))((b x a x --D. ))((b x a x ++ 3. 多项式822222--++-y x y xy x 可分解为（ ）A. )2)(4(+---y x y xB. )8)(1(----y x y xC. )2)(4(--+-y x y xD. )8)(1(--+-y x y x 4. 分解的结果等于)4)(24(-+x x 的多项式是（ ） A. 96502++x x B. 96202+-x xC. 96202-+x x D. 96102--x x5. 与多项式452+-x x 有一个相同因式的多项式是（ ）A. 652++x x B. 652-+x x C. 652+-x x D. 652--x x6. 如果62++mx x 能分解为系数是整数的两个一次因式的积，则整数m 可取的值为（ ）_A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个 7. 32312-+a a 分解因式得（ ） A. )31)(32(-+a a B. )31)(32(+-a aC. )13)(3231(+-a a D. )23)(313(-+a a8. 若)()())((2y x y x xy y x y x +=+--+M ⋅，且0≠+y x ，则M 是（ ）A. 22y x + B. 22y xy x +- C. 223y xy x +- D. 22y xy x ++四. 将下列各式因式分解 1. b a b a 36422-+-2. 123+--x x x3. 822--t t4. a a a 12423+--5. 1222---b b a6. 22128n mn m ++ 7. )1(4)(2-+-+y x y x8. 81264422++-+-y x y xy x9. xyz z y yz z y x +++++)()(210. xy y x y x y x 44816222244+---+五. 分解因式1. 1)4)(3)(2)(1(+----x x x x2. 323-++x x x3. 1442424++x x4. 422429y y x x ++六. 解答题1. 已知by ay bx ax 22-+-的值为12，b a 2-的值为4，求y x +的值。