高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 学业分层测评19 Word版含答案

品零售价定为 P 元，销售量为 Q 件，且销量 Q 与零售价 P 有如下关
系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货
支出)( )
A．30 元
B．60 元
C．28 000 元
D．23 000 元
【解析】 毛利润为(P－20)Q，
即 f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
900
品单位数是( )
A．150
B．200
C．250
D．300
x3 【 解 析 】 由 题 意 可 得 总 利 润 P(x)＝ － ＋ 300x－ 20 000，
900
0≤x≤390.
由 P′(x)＝0，得 x＝300.
当 0≤x＜300 时，P′(x)＞0；当 300≤x≤390 时，P′(x)＜0，所
＝x，OB＝y，且 x＋y＝3，则三棱锥 O－ABC 体积的最大值为( )
A．4
B．8
4
8
C.
D.
3
3
1 2x2 x2y x23－x 3x2－x3
【解析】 V＝ × ·y＝ ＝
＝
(0＜x＜3)，
32 3
3
3
V′＝6x－3x2＝2x－x2＝x(2－x)． 3
令 V′＝0，得 x＝2 或 x＝0(舍去)．
辆，出厂价为 13 万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档
次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为
x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量也相应增加，
5
( ) 年销售量 y 关于 x 的函数为 y＝3 240 －x2＋2x＋ ，则当 x 为何值 3 时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出
以当 x＝300 时，P(x)最大．故选 D.
【答案】 D
3．某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可
以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙壁所用的材
料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16
B．30,15
C．40,20
D．36,18
【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短．
设场地宽为 x 米，则长为512米， x
512 因此新墙总长 L＝2x＋ (x＞0)，
x 512 则 L′＝2－ . x2 令 L′＝0，得 x＝16 或 x＝－16(舍去)．
512 此时长为 ＝32(米)，可使 L 最小．
16
【答案】 A
4．某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品．若该商
4
由 f′(x)＝－3x2＋1＝0， 4
2
2
得 x1＝－ (舍)，x2＝ ，
3
3
2
( ) ∴x∈ 0， 时，f′(x)>0，f(x)是递增的； 3
2
( ) x∈ ，2 时，f′(x)<0，f(x)是递减的， 3
2
43
∴当 x＝ 时，f(x)取最大值 .
3
9
【答案】 4 3 9
4．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/
甲、乙两地相距 800 千米，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用
最低，它的航速应为( )
A．30 千米/时
B．25 千米/时
C．20 千米/时
D．10 千米/时
【解析】 设航速为 v(0≤v≤30)，燃料费为 m，
则 m＝kv3，
1 ∵v＝10 时，m＝25，代入上式得 k＝ ，
40
则总费用
y＝800·m＋800×400＝20v2＋320
9
9
因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．
5 故当 x＝ 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元．
9
＋2πRL＝πR2＋2π·27，令 R
54π S′表＝2πR－ R2 ＝0，得
R＝3，即当
R＝3
时，S 表最小． 【答案】 3
7． 已 知 某 矩 形 广 场 面 积 为 4 万 平 方 米 ， 则 其 周 长 至 少 为
________米.
【导学号：26160099】
40 000
【解析】 设广场的长为 x 米，则宽为
4 ∴x＝2 时，V 最大为 .
3 【答案】 C
二、填空题
6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27π，且用料最
省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 L，则 V＝πR2L＝
27π，所以
27 L＝ .要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S
R2
表＝πR2
15
当 0<x<1 时，y′>0；
当 1<x<1.6 时，y′<0，
所以在 x＝1 处 y 有最大值，此时容器的高为 1.2 m，最大容积为
1.8 m3.
[能力提升]
1．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已
知某海轮的最大航速为 30 千米/时，当速度为 10 千米/时时，它的燃
料费是每小时 25 元，其余费用(无论速度如何)是每小时 400 元．如果
000 ，
v
v
v
320 000
∴y′＝40v－
.
v2
令 y′＝0，得 v＝20.
经判断知 v＝20 时，y 最小，故选 C.
【答案】 C
2．如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )
( )A. l 3π 6
( )B. l 3π 3
( )C. l 3π 4
( )1
D.
l
3π
44
【解析】 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，
则 f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)．
5 令 f′(x)＝0，解得 x＝ 或 x＝3(舍去)．
9
( ) 当
x∈
5 0，
时，f′(x)>0；
9
5
( ) 当 x∈ ，1 时，f′(x)<0. 9
( ) 所以，当 x＝5时，f(x)取得极大值，f 5 ＝20 000.
x5
20 4 y′＝－ ＋ ，令 y′＝0，
x2 5
得 x＝5 或 x＝－5(舍去)．
当 0＜x＜5 时，y′＜0；
当 x＞5 时，y′＞0. ∴当 x＝5 时，y 取得极小值，也是最小值． ∴当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小． 【答案】 5 三、解答题 9．(2016·武汉高二检测)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入) 为 2 500 元，已知每生产 x 件这样的产品需要再增加可变成本 C(x)＝ 200x＋ 1 x3(元)，若生产出的产品都能以每件 500 元售出，要使利润
米．
【答案】 800
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1(万元)与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费 y2(万元)与到车站的距离成正 比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万 元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千
则 4r＋2h＝l，
( ) ∴h＝l－4r，V＝πr2h＝ l πr2－2πr3
l 0＜r＜
.
2
2
4
则 V′＝lπr－6πr2，
l 令 V′＝0，得 r＝0 或 r＝ ，
6 l 而 r＞0，∴r＝ 是其唯一的极值点． 6
l
l
( ) 当 r＝ 时，V 取得最大值，最大值为 3π.
6
6
【答案】 A
3．如图 3－4－4，内接于抛物线 y＝1－x2 的矩形 ABCD，其中
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它
的高为( )
A．6 m B．8 m
C．4 m
D．2 m
【解析】 设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h
＝256.所用材料的面积设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x2＝4x·256＋x2＝
A，B 在抛物线上运动，C，D 在 x 轴上运动，则此矩形的面积的最大
值是________．
图 3－4－4
( ) 【解析】 设
CD＝x，则点
C
坐标为
x ，0
，
2
( ( ) ) 点
B
坐标为
x ，1－
x
2
，
22
x
[ ( ) ] ∴矩形 ABCD 的面积 S＝f(x)＝x· 1－ 2 2
x3 ＝－ ＋x，x∈(0,2)．
x2
x2
256
×
4 ＋
x2.S′＝
2x－
256
×
4 ，令
S′＝0 得
x＝ 8， 因 此
256 h＝
x
x2
64
＝4(m)．
【答案】 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位
的产品，成本增加 100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系
x3 是 R(x)＝－ ＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产
厂价—每辆车的投入成本)×年销售量) 【导学号：26160100】
【解】 由题意，得本年度每辆车的投入成本为 10(1＋x)万元，
本年度每辆车出厂价为 13(1＋0.7 x)万元，本年度的年利润为
f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]y