实验三 线性方程组的迭代法

5实验三 线性方程组的迭代法、代数插值
5.1实验目的
① 掌握解线性方程组的迭代算法；
② 培养编程与上机调试能力.
③ 掌握拉格朗日插值算法
5.2算法步骤
5.2.1迭代法的基本思想
根据方程组Ax b = 设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量(0)x 代入迭代公式，求出(1)x ，再以(1)x 代入同一迭代公式，求出(2)x ，如此反复进行，
得到向量序列(){}k x .当(){}k x 收敛时，其极限即为原方程组的解.
5.2.2雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组
设方程组Ax b = 的系数矩阵对角线元素0(1,2,...,)ii a i n ≠=，M 为最大迭代次
数，ε为容许误差. 雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组算法步骤如下：
① 取初始向量(0)(0)(0)12(,,...,)T n x x x x = ，令0k =.
② 对1,2,...,i n =，计算
(1)
(
)11()n k k i i ij j j ii j i
x b a x a +=≠=-∑ . ③ 如果(1)()1n
k k i i i x x ε+=-<∑，则输出(1)k x + ，结束；否则执行④
④ 如果k M ≥，则不收敛，终止程序；否则1k k ←+，转②
5.3实验题目及参考结果：
题目
应用迭代法解线性方程组1231231
2352828321361x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩
参考结果：
雅可比迭代法迭代次数20次，结果如下：
[0] 1.000000
[1] 2.000000[2] 1.000000
x x x =+=+=-if
5.4程序源代码：
#define n 3
#include "math.h"
void shuru(a,b)
float a[n][n],b[n];
{int i,j;
printf ("\ninput the a[i][j] and b[i]:\n"); for (i=0;i<n;i++)
{for (j=0;j<n;j++)
scanf("%f",&a[i][j]);
scanf("%f",&b[i]);
}
for (i=0;i<n;i++)
{for (j=0;j<n;j++)
printf("%11.6f",a[i][j]);
printf("%11.6f\n",b[i]);
}
}
int zhanyou(a)
float a[n][n];
{int i,j;
float s;
for (i=0;i<n;i++)
{s=0;
for (j=0;j<n;j++)
{if (i!=j) s=s+fabs(a[i][j]);}
if((i==j) &&(s>=fabs(a[i][j])) )return(-1); }
return(1);
}
void diedai(a,b)
float a[n][n],b[n];
{int i,j;
float x[n],esp,p,q,s;
printf("\ninput esp=");
scanf("%f",&esp);
printf("\nesp=%f\n\n",esp);
printf("input x0[i]\n");
for (i=0;i<n;i++)
scanf("%f",&x[i]);
for (i=0;i<n;i++)
printf("x0[%d]=%f\n",i+1,x[i]);
p=1+esp;
while (p>esp)
{p=0;
for (i=0;i<n;i++)
{s=0;
for (j=0;j<n;j++)
{if (i!=j) s=s+a[i][j]*x[j];}
for (j=0;j<n;j++)
{ if(i==j) s=(b[i]-s)/a[i][j]; } q=fabs(x[i]-s);
if (q>p) p=q;
x[i]=s;
}
}
for (i=0;i<n;i++)
printf("\nx[%d]=%f",i+1,x[i]);
}
main()
{int k;
float a[n][n],b[n];
shuru(a,b);
k=zhanyou(a);
if(k==1)diedai(a,b);
else printf("\n****fail****\n");
}
拉格朗日插值源程序：
main()
{int i,j,n;
float x1,y1,l,x[20],y[20];
printf("input n:\nn=");
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",n);
printf("input x[i],y[i]:\n");
for (i=0; i<=n;i++)
{scanf ("%f,%f,",&x[i],&y[i]); printf ("%f,%f\n",x[i],y[i]); }
printf ("input x:=\nx=");
scanf ("%f",&x1);
printf("%f\n",&x1);
y1=0;
for(i=0;i<=n;i++)
{l=1;
for(j=0;j<=n;j++)
{if (j==i) continue;
l=l*(x1-x[j])/(x[i]-x[j]);
}
y1=y1+l*y[i];
}
printf("y(%f)=%f\n",x1,y1); }。