21.2.3因式分解法(教师版)
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
21.2.3.解一元二次方程—因式分解法
解：
【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
【例2】解方程：
⑴x(x-2)+x-2=0⑵3x(x+2)=5(x+2)
(3
⑶x+1)2-5=0⑷x2-6x+9=（5-2x）2
【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点，直接应用因式分解法较简便。
解：
【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。
如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
【练习】Р40 1 2创新，培养学生的应用意识和创新能力．
四、自主总结 拓展新知
1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
2、正确的因式分解是解题的关键。
五、课堂作业 P43 6 （《课堂内外》对应练习）
教学理念/教学反思。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计2
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计2一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的一个重点内容。
这一部分内容主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能够运用因式分解法解决实际问题。
因式分解法是解决一元二次方程、不等式以及二次函数等问题的关键，对于学生来说，掌握因式分解法对于提高他们的数学解题能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于一元二次方程、不等式等概念有一定的了解。
但是，因式分解法作为一种解题方法，学生可能还没有完全掌握其背后的原理和应用技巧。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解因式分解法的原理，并通过大量的练习让学生熟练运用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和操作方法，能够运用因式分解法解决实际问题。
2.过程与方法：通过引导学生的自主探究和合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习意识和团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和操作方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握因式分解法的原理，以及如何灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：通过具体的例题，让学生了解因式分解法的应用，培养学生解决问题的能力。
3.合作交流法：学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和合作，提高学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教材和教辅：准备人教版九年级数学上册教材和相关教辅资料。
2.课件和多媒体设备：制作因式分解法的课件，准备相关的多媒体教学资源。
3.练习题：准备因式分解法的练习题，以便在课堂上进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，引导学生思考如何解决，从而引出因式分解法的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的定义和基本原理，通过具体的例题展示因式分解法的操作步骤和技巧。
人教版九年级上册数学第21章21.2.3《因式分解法》教案
《一元二次方程》教案5教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程；(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学难点学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．教学过程设计1．创设情景，引出问题问题一根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”．【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程．在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲．2．观察感知，理解方法问题二如何求出方程的解呢？师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程．【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备．问题三如果，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？师生活动：学生很容易回答有或的结论．由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积．【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解．问题四上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导．【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法．在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容．3．例题示范，灵活运用例解下列方程(1)；(2)．师生活动：提问：(1)如何求出方程(1)的解呢？说说你的方法．(2)对比解法，说说各种解法的特点．学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同．【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构．师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同？(2)谈谈方程(2)的解法．学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题．【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．4．巩固练习，学以致用完成教材P14练习1，2．【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况．5．小结提升，深化理解问题五(1)因式分解法的一般步骤是什么？(2)请大家总结三种解法的联系与区别．师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤．总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题．【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想．五、目标检测设计解下列方程1．．【设计意图】利用提取公因式法解方程．2．．【设计意图】利用平方差公式解方程．3．．【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决．4．．【设计意图】选用适当的方法解方程．《解一元二次方程》同步试题北京市海淀区中关村中学谢琳一、选择题1．方程的解是( )．A．B．C．D．考查目的：考查直接利用因式分解法的求解．答案：B．解析：两项一次项乘积为0，两个一次项分别为零．2．方程的正确解法是( )．A ．化为B．C．化为D．化为考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：C．解析：以为整体提取公因式．3．方程正确解法是( )．A．直接开方得B．化为一般形式C．分解因式得D ．直接得或考查目的：考查平方差公式求解．答案：C．解析：将9和4分别看作3和2的平方，利用平方差公式进行因式分解求方程解二、填空题4．方程的解是____________________．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．5．方程的解是___________________．考查目的：考查平方差公式求解．答案：或．解析：将256看作16的平方，利用平方差进行因式分解求方程解．三、解答题用适当的方法解下列方程．6．．考查目的：考查提取公因式法的求解．答案：或．解析：以为整体提取公因式．7．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了4倍，求小圆形场地的半径．考查目的：考查平方差公式求解的实际问题．答案：或(舍)．解析：能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计1
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计1一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册第21章第2节的内容，它是解决一元二次方程的一种重要方法。
因式分解法不仅可以帮助学生更好地理解一元二次方程的解法，还可以提高他们解决实际问题的能力。
本节课的内容包括因式分解法的概念、方法和步骤，以及如何应用因式分解法解决实际问题。
通过本节课的学习，学生应该能够掌握因式分解法的原理，并能够灵活运用它来解决一元二次方程。
二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经学习了一元二次方程的基本概念和解法，他们对一元二次方程有一定的了解。
然而，因式分解法作为一种特殊的解法，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，并引导他们积极参与课堂讨论。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解法的概念，掌握因式分解法的步骤，并能够运用因式分解法解决一元二次方程。
2.过程与方法目标：学生通过自主学习和合作交流，培养解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对因式分解法的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养良好的学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的概念、方法和步骤。
2.难点：如何灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析法：教师通过分析典型例题，引导学生理解和掌握因式分解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。
2.教学多媒体设备：电脑、投影仪、黑板等。
3.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾一元二次方程的基本概念和解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，介绍因式分解法的概念、方法和步骤，让学生初步了解因式分解法。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.3 因式分解法
21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=± 50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
第21章 21.2.3 因式分解法
17．小明给出解方程x2－|x|－2＝0的过程： 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0.解得x1＝2，x2＝－1(不合题 意，舍去)； (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝ －2. ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2 请参照小明的解题过程，解方程x2－|x－1|－1＝0.
产生漏根．.
16．用适当的方法解方程： (1)x2－3x＋1＝0； 解：x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5(公式法) (2)(x－1)2＝3； 解：x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3(直接开平方法) (3)4x2－12x＋9＝0； 解：x1＝x2＝23(因式分解法) (4)x2－2x＝4. 解：x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5(配方法)
会用因式分解法解一元二次方程． 【例2】用因式分解法解一元二次方程： (1)3x2－5x＝0； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (3)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0. 【思路分析】 (1)方程的左边可用提公因式分解因式；(2)方程的左边可用 平方差公式分解因式；(3)方程的左边可用完全平方公式分解因式． 【规范解答】 (1)因式分解， 得x(3x－5)＝0，于是得x＝0， 或3x－5＝0 x1＝0，x2＝35
解：(1)当x－1≥0时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)， x2＝1； (2)当x－1＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)， x2＝－2，∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2.
(4)3(t－1)2＋2t＝2 解：t1＝1，t2＝13
8．方程x2－5x＝0的解是1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝5
D．x1＝－5，x2＝0
9．方程(1－x)2＋1＝x的根是( C )
21.2.3因式分解法解一元二次方程(第1课时)
(6)另一解法 : ( x 4) 2 (5 2 x) 2 x 4 (5 2 x) x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地, 场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4.
(
)
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.解下列方程： 2 (1) x x 0,
(2) x 2 3 x 0,
2
提公因式： x( x 1) 0， 所以有 x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
提公因式： x( x 2 3 ) 0， 所以有 x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3 x 2 6 x 3, 移项，得： 3 x 6 x 3 0，
2
2 x 112 x 11 0
2 x 11 0 另一解法 :或2 x 11 0
3
提公因式法
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
快速回答：下列各方程的根分别是 多少？
(1) x( x 2) 0
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得 除配方法或公式法以 x 10 4.9 x 0. 外，能否找到更简单 的方法解方程① 于是得
x 0 或 10 4.9 x 0,
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法教案2022-2023学年人教版九年级数学上册一、教学目标1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.学会运用因式分解法解一元二次方程。
3.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
二、教学重点1.理解一元二次方程的定义和性质。
2.运用因式分解法解一元二次方程。
三、教学难点1.运用因式分解法解一元二次方程。
2.掌握解一元二次方程时的思路和步骤。
四、教学准备1.教学课件或黑板、粉笔等工具。
2.学生课本和练习册。
3.提前准备好一元二次方程的例题和练习题。
1. 导入教师可以通过提问或讲解的方式，复习一元二次方程的定义和性质。
例如：“什么是一元二次方程？它的一般形式是什么样的？一元二次方程有哪些特点？”等等。
2. 引入因式分解法引入因式分解法，告诉学生我们可以通过将一元二次方程进行因式分解的方式求解。
引导学生思考并回顾因式分解的基本原理和步骤。
3. 讲解因式分解法的步骤•步骤一：将一元二次方程写成一对括号乘积的形式，即找到方程的两个因式。
•步骤二：令每个括号内的式子分别等于零，并解方程组。
•步骤三：列出解的集合。
4. 案例演示选择一个简单的一元二次方程案例，演示解题的过程。
引导学生按照步骤一步一步地解题，并帮助学生理解每一步的目的和原理。
5. 学生练习将几个类似的一元二次方程写在黑板上或课件上，要求学生自己进行因式分解，然后解出方程。
解完后，学生可以相互核对答案并讨论解题方法。
6. 拓展练习布置一些拓展练习题，要求学生在课后自主完成。
鼓励学生多加练习，巩固和运用所学的知识和技能。
通过本堂课的学习，学生应该掌握了一元二次方程的因式分解法和解题步骤。
教师可以对本节课的教学进行总结，并对学生的表现给予肯定和鼓励。
同时，可以提醒学生在课后复习和巩固所学知识。
七、课后作业1.完成课堂上的练习题。
2.完成教师布置的拓展练习题。
3.预习下一节课的内容。
以上教案通过因式分解法来解一元二次方程，帮助学生理解和掌握该方法的原理和步骤。
21.2.3 因式分解法教案
.课题教学目标教学重点教学难点教学方法 教学准备 教学流程复习回顾探究新知21.2.3 因式分解法 课时 1 授课时间 年 月 日 知识技能：1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式 分解，根据两个因式的积等于 0，必有因式为 0，从而降次解方程.过程方法：1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.情感态度: 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降 次解方程将整理成一般形式的方程左边因式分解 合作探究法 多媒体课件教师活动 学生活动 再次备课复习回顾：分解因式的方法有那些? 学生回答， （1）提取公因式法: 教师评价 am +bm +cm =m (a +b +c ).（2）公式法:a 2－b 2=(a +b )(a －b ), a 2+2ab +b 2=(a +b )2 a2－2ab +b 2=(a －b )2（3）十字相乘法:x 2+(p +q )x +pq = (x +p )(x +q ).问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地 面以 10m /s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体 离地面的高度（单位：m ）为10 x －4.9x 2你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01s ）？设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度 为 0，即10x － 4.9x 2=0① 让学生根思考;据前面铺 垫，尝试用除配方法或公式法以外,能否找到更简单的因式分解方法解由问题得出的方程①?法解○12 13 210 x - 4.9 x 2 = 0①讨论：以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次 的?可以发现,上述解法中,由①到②的过程 ,不是用开平 方降次 ,而是先因式分解使方程化为两个一次式的 乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于 0, 从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.♦ 提示:♦ 1.用分解因式法的条件是 :方程左边易于分 解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“ab =0,则 a =0 或 b =0 ”快速回答：下列各方程的根分别是多少？(1) x ( x - 2) = 0x = 0, x = 212(2)( y + 2)( y - 3) = 0y = -2, y = 3 1 2(3)(3x + 2)(2 x - 1) = 0 x = - , x =1 2 (4) x 2 = xx = 0, x = 1 12例3.:(1) x ( x - 2) + x - 2 = 0;1 3(2)5x 2 - 2 x - = x 2 - 2 x + .4 4分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于 0;2. 将方程左边因式分解为 A ×B ;3. 根据“ab =0,则 a =0 或 b =0”,转化为两个一元一次 方程.4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原 方程的根练习反馈 练习：1.解下列方程：（1）x 2+x =0 ；（2）x 2 - 2 3x = 0;（3）3x2－6x =－3 ； （4）4x2－121=0； （5）3x(2x+1)=4x +2 （6）(x －4)2=(5－2x)22.把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地,场 地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径学生独立 完成，教师 巡 回检查， 师 生集体订正5(归纳小结练习 2：解下列方程：1) x2 = 3x2） x 2 - x) = 3( x 2 + x) 3) x2 + 10x – 11 = 0 4) t ( t – 12 ) = 285)(y －1)2－ 4(y －1)+4=0 6) 2y 2 –5 y – 3 = 0归纳：配方法要先配方 ,再降次 ;通过配方法可以推出求根 公式,公式法直接利用求根公式 ;因式分解法要先使 方程一边为两个一次因式相乘 ,另一边为 0,再分别 使各一次因式等于 0.配方法、公式法适用于所有一 元二次方程 ,因式分解法用于某些一元二次方程 .总 之,解一元二次方程的基本思路是 :将二次方程化为 一次方程,即降次.布置作业 作业习题 22.2第 6 题 ，第 10 题，第 13 题学生归纳， 总结阐述， 体会，反思. 并做出笔 记.板书设计课后反思分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于 0;2. 将方程左边因式分解为 A ×B ;3. 根据“ab =0,则 a =0 或 b =0”,转化为两个一元一次 方程.4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原 方程的根。
21.2.3因式分解法解一元二次方程(教案)
1.教学重点
-重点一：一元二次方程标准形式的掌握，即ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，且a≠0）。通过讲解和示例，使学生理解方程各部分的数学意义。
-举例：方程x² + 3x - 4 = 0中，a=1，b=3，c=-4，强调a≠0的条件。
-重点二：因式分解法的应用，包括提取公因式、十字相乘等方法，以及如何将一元二次方程转化为因式分解的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解法解一元二次方程，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
2.提高学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用判别式Δ分析一元二次方程的根的性质，增强对数学问题的深入理解；
4.增强学生的数学抽象思维，让学生掌握一元二次方程的一般形式，并能够将其与因式分解法有效结合。
4.通过例题和练习，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，并能解决实际问题。
本节课将结合教材内容，针对以上要点进行深入讲解和练习。
二、核心素养目标
《21.2.3因式分解法解一元二次方程》的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用因式分解法进行一元二次方程的求解，理解数学知识之间的内在联系；
关于小组讨论，我发现学生们在讨论因式分解法在实际生活中的应用时，思维比较局限，难以提出具有创新性的观点。在今后的教学中，我会引导学生多关注生活，发现生活中的数学问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》一. 教材分析《因式分解法》是人教版数学九年级上册第21章的一节内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能运用因式分解法解决一些实际问题。
因式分解是代数学习中的重要内容，也是解决一元二次方程、分式方程等问题的关键。
本节课的内容为后续学习奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式等知识，具备了一定的代数基础。
但是，对于因式分解的方法和技巧，部分学生可能还比较陌生，需要通过实例讲解和练习来逐步掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够正确地进行因式分解。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会运用因式分解法解决实际问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习代数的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解因式分解的基本方法和技巧。
2.案例分析法：通过具体实例，让学生学会运用因式分解法解决问题。
3.练习法：让学生在课堂上和课后进行适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT课件，包括基本方法、实例分析等内容。
2.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商店举行打折活动，原价为100元的商品打8折，求打折后的价格。
引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的基本方法和技巧，包括提取公因式、完全平方公式等。
通过PPT展示具体实例，让学生理解因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行因式分解的练习，教师巡回指导。
选取一些典型题目进行讲解，帮助学生掌握因式分解的方法。
4.巩固（10分钟）让学生继续进行因式分解的练习，巩固所学知识。
教师选取一些题目进行讲解，解答学生的疑问。
21.2.3因式分解法解一元二次方程
1
21.2.3公式法解一元二次方程
学习过程
【自主学习】（一）复习：
1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2、把下列各式分解因式
（1）=-x x 642 （2）=---)2(252
x x ）（
（2）=-1162x （4）=+-962
y y
（5）=--122x x （6）
=-+5132）（x （7）=++18192x x （8）=+-91922x x （二）探究新知：1、你能用因式分解法解下列方程吗
（1） x 2-4=0; （2）(x+1)2-25=0
（3）x 2
－3x －10=0 （4）（2x －3）2
＋14（2x －3）－15＝0
2．快速回答：下列各方程的根分别是多少？
归纳总结：
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使___________________从而实现_________， 这种解法叫做__________________。
3、如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如
：
如
果
(1)(x x +
-=，
那么10x +=或_______，即1
x =-或________。
注意点：
1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
2、因式分解法的根据是：如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =。
据
(1)(2)0
x x -=(2)(2)(3)0y y +-=(3)(32)(21)0x x +-=2(4)x x
=
2。
第二十一章21.2.3因式分解法
21.2.3 因式分解法
1.已知(x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,则x2+y2的值为 ( ) A.1或-3 B.1 C.-3 D.-1或3
栏目索引
答案 B (x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,于是有x2+y2-1=0或x2+y2+3=0,∴x2+y2=1或 x2+y2=-3,∵无论x、y为何值,x2+y2都不等于-3,∴x2+y2=1,故选B.
简单.直接降次法和因式分解法适用于特殊的方程.对于一个一元二次
方程,要善于观察,根据其特点选择合适的方法.
21.2.3 因式分解法
题型一 用因式分解法解特殊形式的一元二次方程 例1 用因式分解法解下列方程: (1)4x2-9=0;(2)x2-3x=0; (3)5x(x-3)=(x+1)(x-3). 解析 (1)因式分解,得(2x+3)(2x-3)=0.
于是得2x+3=0或2x-3=0.∴x1=- 32 ,x2= 32 .
(2)因式分解,得x(x-3)=0. 于是得x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3. (3)移项,得5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0. 因式分解,得(x-3)(5x-x-1)=0,即(x-3)(4x-1)=0.
于是得x-3=0或4x-1=0.∴x1=3,x2= 1 .
21.2.3 因式分解法
栏目索引
2. (2018广东东莞翰林学校期中,1,★☆☆)方程2(2x+1)(x-3)=0的两根分
别为 ( )
A. 1 和3
2
B.- 1 和3
2
C. 12 和-3
21.2.3 因式分解法解一元二次方程
21．2 .3 因式分解法解一元二次方程【学习目标】1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
【学习重点】:应用分解因式法解一元二次方程【学习难点】：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.【学习过程】一、【创设情境，引入课题】问题1：对于方程10x-4.9x2=0你有哪些方法？教师选派两名同学展示解题过程，提出思考：除配方法和公式法外，是否找到更简便的方法？学生讨论，确定解法为方程左边分解因式为x（10-4.9x）=0，所以x=0，10-4.9x=0，所以x1=0，x2=100 49；比较配方法、公式法和因式分解法的特点，说明因式分解法的特征.二、【探究新知，练习巩固】思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;问题2：（1）你能观察出这两题的特点吗？（2）你知道方程的解吗？说说你的理由因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。
这种方法叫做因式分解法。
你能总结出因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？（1）（2）（3）（4）三、【合作探究，尝试求解】1．解方程 22(1)411;(2)(2)24x x x x = -=-2． 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是（ ）A. 8B. 8或10C. 10D. 8和183．用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化为两个一元一次方程___________,____________求解。
四、【概括提炼，课堂小结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1） 将方程右边化为（2） 将方程左边分解成两个一次因式的（3） 令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解五、【当堂达标，拓展延伸】1．方程(3)0x x +=的根是2．方程22(1)1x x +=+的根是________________3．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是_________4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x 1、x 2，且x 1>x 2，则x 1-2x 2的值等于___5．若（2x+3y ）2+2（2x+3y ）+4=0，则2x+3y 的值为_________．6．已知y=x 2-6x+9，当x=______时，y 的值为0；当x=_____时，y 的值等于9．7．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ）A ．-1，2B ．1，-2C ．0，-1，2D ．0，1，28．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）A ．（x+5）（x-7）=0B ．（x-5）（x+7）=0C ．（x+5）（x+7）=0D ．（x-5）（x-7）=09．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）A ．x=-4B ．x=5C ．x 1=-4，x 2=5D ．以上结论都不对10、阅读材料：解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，然后设21x -=y ①，那么原方程可转化为2540y y -+=，解得121,4y y = =当y=1时，211x -=，∴22x =，∴x =当y=4时，214x -=，∴25x =，∴x =故原方程的解为1234x x x x = = = =解答问题：（1）上述解题过程中，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程：4260x x --=。
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法 教学设计4
人教版九年级数学上册：21.2.3 因式分解法教学设计4一. 教材分析因式分解法是九年级数学上册的教学内容，属于代数知识范畴。
通过学习因式分解法，学生能更好地理解多项式的运算，提高解决问题的能力。
本节课的内容是在学生已经掌握了多项式、单项式、同类项等基本概念的基础上进行教学的。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握因式分解法的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和独立思考的能力，对于新的知识有较强的求知欲。
但是，由于因式分解法较为抽象，部分学生在理解上可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握因式分解法的基本概念和方法，能够独立进行因式分解。
2.过程与方法：通过教师的引导和学生的实践，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：因式分解法的基本概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解法，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：教师引导学生进行思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习法：学生分组讨论，培养团队合作意识。
4.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对因式分解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解法的例题和练习题。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入和巩固环节。
3.教学设备：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如分配律，引入因式分解法。
让学生思考：如何将一个多项式分解成几个单项式的乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解法的基本概念和方法，通过例题展示因式分解的过程。
让学生跟随教师一起动手操作，加深对因式分解法的理解。
《21.2.3_因式分解法》教案
21.2.3 因式分解法教学目标：一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．教学过程：环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．将下列各题因式分解：am ＋bm ＋cm ＝__m (a ＋b ＋c )__；a 2－b 2＝__(a ＋b )(a －b )__；a 2＋2ab ＋b 2＝__(a ＋b )2__；x 2＋5x ＋6＝__(x ＋2)(x ＋3)__；3x 2－14x ＋8＝__(x －4)(3x －2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法)；(2)3x 2＋6x －24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题【活动1】 小组讨论(师生对学)【例1】用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x －10＝0；(2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2；(4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0.∴x ＋2＝0或x －5＝0，∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.∴2x ＋1＝0或2x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝12. (3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0.因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0.∴2x ＋1＝0或3x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝23. (4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0.因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0，∴1－x ＝0或3x －9＝0，∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．解方程：(1)x 2－3x －10＝0；(2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)；(3)(3x ＋1)2－5＝0；(4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2.解：(1)x 1＝5，x 2＝－2.(2)x 1＝－2，x 2＝53. (3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13. (4)x 1＝－12，x 2＝54. 2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab 的值． 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2b a. ∵9a 2－4b 2＝0，∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0，即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0，∴a ＝－23b 或a ＝23b . 当a ＝－23b 时，原式＝－2b －23b ＝3； 当a ＝23b 时，原式＝－3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.练习设计：请完成本课时对应练习！。
21.2.3因式分解法教案
b.运用因式分解法对数学模型进行简化，解决实际问题。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握提取公因式法的步骤及原理：这是因式分解的核心内容，学生需要理解如何从多项式中提取公因式，并掌握因式分解的基本过程。
-举例：对于表达式2x^2 + 4x，学生需要能够识别出2x是公因式，并掌握分解为2x(x + 2)的过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。它在解决数学问题和简化计算中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将表达式2x^2 + 4x因式分解为2x(x + 2)，以及这个方法如何帮助我们简化计算。
此外，我也在思考如何更好地利用课堂时间，让学生在有限的时间内掌握更多的知识。可能需要我在备课上下更多功夫，精心设计每一个教学环节，确保每个环节都能高效地进行。
b.能够将提取公因式法应用于解决实际问题：学生需要学会将因式分解应用于简化实际计算，这是数学应用能力的体现。
-举例：在实际问题中，如计算长方形的面积和周长时，学生能够将表达式x(x + 5) + 3(x + 5)因式分解为(x + 3)(x + 5)，从而简化计算。
2.教学难点
a.公因式的识别与选择：学生在进行因式分解时，难点在于如何准确地识别和选择公因式，特别是在多项式项较多时。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对因式分解的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
九年级数学 教案1 21.2.3 因式分解法
21．2.3因式分解法1．认识用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点一：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，∴x ＝0或x＋5＝0，∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解为x1＝5，x2＝7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0，则(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解为x1＝167，x2＝43.方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC 的形状．解析：先分解因式，确定a，b，c的关系，再判断三角形的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a －c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c 或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.。
21.2.3因式分解法
练习P14—1,2
三．小结
四．达标检测
复习旧知识，学生先独立填空，并再找2名学生，再全体订正。
第2题全体学生独立探究，找2名学生板演
全体学生先自学教材
再合作探究，交流讨论
教师讲解，并及时归纳。
全体学生先独立探究，并板演，再交流合作学生订正
找3到4名学生谈收获，其余学生补充。
见小卷பைடு நூலகம்
学生独立完成
（2）如果 ，那么_____________________，这是因式分解法的根据。如：如果
，那么 或______________，即 或_______________。
（3）仔细阅读教材例33．归纳总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①通过___________把一元二次方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的______;
“活力课堂”学教设计
课题
21.2.3因式分解法
共课时
教师
课型
新授
2016年月日
本节是第课时
总第节
学教目标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
重点
应用因式分解法解一元二次方程
板书设计
21.2.3因式分解法
1,因式分解法例3，（1） （2） （3）
练习1练习2
作业设计
1，P17---6
2，小黑卷
课后反思
③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程;
④解，它们的解就是原方程的解。
注意点：
（1）因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边能进行因式分解而右边是0的一元二次方程。
九年级数学 教案2 21.2.3 因式分解法
21.2.3 因式分解法教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键1．重点：用因式分解法解一元二次方程．2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=11 4（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．三、巩固练习教材P45练习1、2．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．六、布置作业教材P46复习巩固5 综合运用8、10 拓广探索11．第六课时作业设计一、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=12．下列命题①方程k x2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．1二、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．三、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）答案:一、1．B 2．A 3．D二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5）2．x1=12，x2=13．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8三、1．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-45，y2=45（3）•（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0x1=7，x2=52．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=13．设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 2x2-35x+150=0（2x-15）（x-10）=0，x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件．。
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永昌三中新人教版九年级数学（上）教案主备人：张军审核：九年级数学备课组时间：2017年9月6日 教学札记： 教学反思：
教研组长签审： 教务主任签审：
(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34
；(4)3x 2－12x ＝－12.
归纳：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为____；
(2)将方程左边分解成两个一次式的____；
(3)令每个一次式分别为____，得到两个方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．
四、跟踪练习：
1.用因式分解法解下列方程：
(1)x 2＋x ＝0；(2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2
－6x ＝－3；
(4)4x 2－121＝0；(5)3x(2x ＋1)＝4x ＋2； (6)(x －4)2＝(5－2x)2.
2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地半径．
五、课堂小结：总结本堂课的收获与困惑．
1.用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．
2.正确的因式分解是解题的关键．
六、布置作业：1.课本P 17习题第6、10题；2.预习下一课时学案.。