谐波计算

§12 –3 3
有效值、 有效值、平均值和平均功率
前已指出，任一周期电流i 有效值I 前已指出，任一周期电流i的有效值I已经定义
1 T 2 I= i dt ∫0 T
•当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 当然可以用非正弦周期函数直接进行上述定义的 积分求有效值。 积分求有效值。这里主要是寻找有效值和各次谐 波有效值之间的关系。 波有效值之间的关系。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
周期电流、电压、 周期电流、电压、信号等都可以用一个周期 函数表示， 函数表示，即：
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（a）脉冲波形
图（b）方波电压
图
12－ 12－1
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（c） 锯齿波 图 12－ 12－1
图（d）磁化电流
非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
§12 –1 1
非正弦周期信号
图（e）半波整流波形 图 12－ 12－1 非正弦周期电流、 非正弦周期电流、电压波形
f (t ) = f (t + kT)
式中， 为周期函数 为周期函数f 的周期。 式中，T为周期函数f（t）的周期。 k＝0，1，2，… ＝
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能 展开成一个收敛的傅立叶级数， 展开成一个收敛的傅立叶级数，即
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为幅 这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称为幅 度频谱。 度频谱。 如果把各次谐波的初相用相应线段依次排列就可 以得到相位频谱。 由于各谐波的角频率是w 的整数倍， 由于各谐波的角频率是w1的整数倍，所以这种频谱 是离散的， 是离散的，有时又称为线频谱。
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
Akm
o
ω1 2ω13ω14ω1
kω1
图12－2 12－
幅度频率
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
T 4 0
按上式可求出正弦电流的平均值为
4I m 1 T I av = ∫ I mcos(ωt) dt = cos(ωt)dt T 0 T ∫ T 4I m [sin (ωt)]04 = 0.637I m = 0.898I = ωT
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值( 它相当于正弦电流经全波整流后的平均值(见图 12－ 12－9)，这里因为取电流的绝对值相当于把负半 周的值变为对应的正值。 周的值变为对应的正值。
式中，u、i 取关联参考方向。它的平均功率（有 式中， 取关联参考方向。它的平均功率（ 功功率） 功功率）仍定义为
1 T P = ∫ pdt T 0
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
•不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零 不同频率的正弦电压与电流乘积的上述积分为零 即不产生平均功率）；同频的正弦电压、 ）；同频的正弦电压 （即不产生平均功率）；同频的正弦电压、电流 乘积的上述积分不为零。 乘积的上述积分不为零。这样不难证明
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –4 4
非正弦周期电流电路的计算
在§12 –4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则， 4中以指出非正弦周期电流电路的计算原则， 具体步骤如下： 具体步骤如下：
（12－1） － ）
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
式（12－1）还可以合并成另外一种形式 － ）
f (t ) = A0 + A1m cos(ω1t +ψ1 ) + A2m cos(2ω1t +ψ 2 ) + L+ Akm cos(kω1t +ψ k ) + L
= A0 + ∑ Akm cos(kω1t +ψ k )
1.
把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数， 把给定的非正弦周期电压或电流分解为傅立叶级数， 高次谐波取到哪一项为止， 高次谐波取到哪一项为止，要根据所需准确度的高 低而定。 低而定。
2.
分别求出电源电压或电流的恒定分量及各次谐波分 量单独作用时的响应。对恒定分量（w=0），求解时 量单独作用时的响应。对恒定分量（w=0），求解时 ）， 把电容看作开路，把电感看作短路。 把电容看作开路，把电感看作短路。对各次谐波分 量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、 量可以用相量法求解，但要注意感抗、容抗、与频 率的关系，并把计算结果转换为时域形式。 率的关系，并把计算结果转换为时域形式。
π
0
π
−π
(12-3)
上述计算公式中 k=1,2,3,… k=1,2,3,
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
由上述讨论可知， 由上述讨论可知，一个周期函数可以展开成傅立 叶级数，它是如式（12－ 和式（12－ 叶级数，它是如式（12－1）和式（12－2）的三 角级数形式。 角级数形式。 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后， 为了表示一个周期函数分解为傅立叶级数后，包 含哪些频率分量以及各分量所占的“比重” 含哪些频率分量以及各分量所占的“比重”，用 长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率 的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图12－ 的高低顺序把它们依次排列起来，就得到图12－2 12 所示的图形。这种图形称为f(t)的频谱（ 所示的图形。这种图形称为f(t)的频谱（图）。 f(t)
∞
2
§12 –3 3
1 T 2 2 I 0 dt = I 0 T ∫0
有效值、平均值和平均功率 有效值、
上式中的i展开式平方后将含有下列各列： 上式中的i展开式平方后将含有下列各列：
1 T 2 I km cos2 (kω1t +ψ k )dt = I k2 T ∫0
1 T ∫0 2I 0 cos(kω1t +ψ k )dt = 0 T 1 T ∫0 2I km cos(kω1t +ψ k )I qm cos(qω1t +ψ q )dt = 0 T (k ≠ q)
k =1
∞
（12－2） － ）
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
不难看出上述两种形式系数之间有如下关系
A0 = a0
2 Akm = ak + bk2
ak = Akm cosψ k bk = − Akm sin ψ k − bk ψ k = arctan( ) ak
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
傅立叶级数是一个无穷三角级数。 傅立叶级数是一个无穷三角级数。 12－ 的第一项A 称为周期函数f(t) f(t)的恒定 式（12－2）的第一项A0称为周期函数f(t)的恒定 分量(或直流分量)；第二项A1mcos(w1t+ψ1 )称 分量(或直流分量) 第二项A 为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原 为一次谐波（或基波分量），其周期或频率与原 ）， 周期函数f(t)相同，其他各项通称为高次谐波， 周期函数f(t)相同，其他各项通称为高次谐波，即 f(t)相同 谐波。 2次、3次、4次、…谐波。 谐波
2 2 ak = ∫ f (t ) cos(kω1t )dt = ∫ f (t ) cos(kω1t )dt T 0 T 1 2π 1 π = ∫ f (t ) cos(kω1t )dω1t = ∫ f (t ) cos(kω1t )dω1t
T T 2 T − 2
π
0
π
−π
2 T 2 T bk = ∫ f (t )sin( kω1t )dt = ∫ 2T f (t )sin( kω1t )dt T 0 T −2 1 2π 1 π = ∫ f (t )sin( kω1t )dω1t = ∫ f (t )sin( kω1t )dω1t
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
这种将一个周期函数展开或分解为一系列谐波 之和的傅立叶级数称为谐波分析。 式（12－2）中的系数，可按下列公式计算。 12－ 中的系数，可按下列公式计算。
1 T 1 a0 = ∫ f (t )dt = ∫ T 0 T
T 2 T − 2
f (t )dt
§12 –2 周期函数分解为傅利叶级数 2
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
图12－9 12－
正弦电流的平均值
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。 现在讨论非正弦周期电流电路的功率问题。 任一端口的瞬时功率（吸收） 任一端口的瞬时功率（吸收）为
∞ ∞ p = ui = U0 + ∑Ukm cos(kω1t +ψ uk ) × I 0 + ∑ I km cos(kω1t +ψ ik ) k =1 k =1
ห้องสมุดไป่ตู้
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
∞
假设一非正弦周期电流i 假设一非正弦周期电流i可以分解为傅立叶级数
i = I 0 + ∑ I km cos(kω1t +ψ k )
k =1
将i代入有效值公式，则得此电流的有效值为 代入有效值公式，
1 T I= ∫0 I0 + ∑ Ikm cos(kω1t +ψ k ) dt T k =1
f (t ) = a0 + [a1 cos(ω1t ) + b1 sin( ω1t )]
+ L+ [ak cos(kω1t ) + bk sin( kω1t )] + L
= a0 + ∑[ak cos(kω1t ) + bk sin (kω1t )]
k =1 ∞
+ [a2 cos(2ω1t ) + b2 sin( 2ω1t )]
P = U0 I0 + U1I1 cosϕ1 + U2 I 2 cosϕ2 + L+ Uk I k cosϕk + L
Ukm I km Uk = , Ik = , ϕ =ψ uk −ψ ik 2 2 , k = 1,2,L
即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波 平均功率的代数和。 平均功率的代数和。
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
这样可以求得i 这样可以求得i的有效值为
I = I + I + I + I +L = I + ∑ I
2 0 2 1 2 2 2 3 2 0 k =1
∞
2 k
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方 与各次谐波有效值的平方之和的平方根。 与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论 可以推广用于其他非正弦周期量。 可以推广用于其他非正弦周期量。
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
第十二章 非正弦周期电流电路和信号的 频谱
§12 –1 §12 –2 §12 –3 §12 –4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅利叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算
§12 –1 1
非正弦周期信号
在一个线性电路中， 在一个线性电路中，有一个正弦电源作用或多个同 频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、 频电源同时作用时，电路各部分的稳态电压、电流 都是同频的正弦量。 都是同频的正弦量。 但在生产实践和科学实验中， 但在生产实践和科学实验中，通常还会遇到按非正 弦规律变化的电源和信号。 弦规律变化的电源和信号。 所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。 图12-1所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。 所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、
在实践中， 的概念，以电流i为例， 在实践中，还用到平均值的概念，以电流i为例， 其定义由下式表示。 其定义由下式表示。
I av
1 = T
∫
T
0
i dt
即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的 平均值。 平均值。
§12 –3 3
有效值、平均值和平均功率 有效值、