圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
圆锥曲线切线方程的五种求法
圆锥曲线切线方程的五种求法切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆0的方程是(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2，求经过圆上一点M(x0, y0)的圆的切线I的方程.解：设所求切线I上任意一点N的坐标是(x, y)由已知得：点0的坐标是(a，b)，且M的坐标是(x0，y0)，值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例 3. 求经过点M( 2， 1 )的双曲线：x2-2y2=2 的切线I 的方程.将它代入方程x2-2y2=2 中整理得：( 2k2-1 )x2-4k ( 2k-1 )x+( 8k2-8k+4 ) =0，由已知得：△ =[-4k (2k-1 ) ]2-4 (2k2-1 ) (8k2-8k+4 ) =0, 解得：k=1，故所求切线I的方程为：y=x- (2X1 -1 ), 即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x 的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例 4. 此处仍以上面的例 3 为例.解：对方程：x2-2y2=2 两边都取关于x 的导数，得：2x-4yy' =0,•••过点M(2, 1)的双曲线x2-2y2=2的切线I的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M则/F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M, 过M作准线的垂线，垂足为N,贝U FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。
据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：例 5. 求抛物线C：y2=8x 上经过点M( 8，8)的切线I 的方程.解：由抛物线C的方程可得其焦点F为(2, 0),准线方程为：x=-2 ，过点M(8, 8)作准线的垂线，设垂足为N,贝U N的坐标是( -2 , 8),又设FN的中点为P,则P的坐标为(0, 4),。
圆锥曲线的切线方程求解方法总结
圆锥曲线的切线方程求解方法总结圆锥曲线是代数几何中的重要概念，指由一个平面与一个锥体相交而产生的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将总结圆锥曲线切线方程的求解方法，并以椭圆、抛物线和双曲线为例进行说明。
一、椭圆的切线方程求解方法椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
对于椭圆上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（其中a和b为椭圆的半长轴和半短轴），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对椭圆方程两边求导，得到2x/a^2 + 2y/b^2 * y' = 0。
然后将点P的坐标代入，得到x0/a^2 + y0/b^2 * y' = 0。
最后将此式变形为y' = -x0 * a^2 / (y0 * b^2)，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上的轨迹为OP。
设P点的坐标为(x0, y0)，则PF1和PF2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
又根据焦点和点到直线的距离公式，可得切线所在直线与轴的交点Q的坐标为(a^2/x0, b^2/y0)，进而得到切线方程的解析式。
二、抛物线的切线方程求解方法抛物线是一个平面上的开口曲线，其形状类似于抛物形。
对于抛物线上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解抛物线的切线方程。
设抛物线的标准方程为y^2 = 2px（其中p为抛物线的焦点到顶点的距离），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对抛物线方程两边求导，得到2yy' = 2p。
然后将点P的坐标代入，得到y0 * y' = p。
最后将此式变形为y' = p / y0，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解抛物线的切线方程。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 . （椭圆的光学性质）2.PT 平分△ PF1F2 在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . （中位线）3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . （第二定义）4.若 P0 ( x0,y0 )x2y21x0 x y0 y1.（求在椭圆b2上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2a2a2导）5.若 P0 ( x0,y0 )x2y21外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点在椭圆b2a2弦 P1P2 的直线方程是x0x y0 y 1. （结合 4）a2b26.椭圆 x2y2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan . （余弦定理 +面积公式 +2半角公式）7.x2y21（ a＞ b＞ 0）的焦半径公式：椭圆2 b2a|MF1| a ex0 , | MF2 | a ex0 (F1 ( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ). （第二定义）8.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、 N两点，则M F⊥ NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF⊥ NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第 8 条，证毕10. AB 是椭圆x2 y21 的不平行于对称轴的弦， M(x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则a2 b2k OM k ABb2a2 ，即K AB b2x0 。
圆锥曲线的切线方程总结(附证明)上课讲义
运用联想探究圆锥曲线的切线方程2芯 1 （ a b o ）上的位置（在椭圆上或椭圆b外）的不同，同一方程 辱 与 1表示直线的几何意义亦不同。
a 2b 2X x oy y oM ( X o , y o )的切线方程为 Ax o x Cy o y D o E o2 2联想二:X （1）过双曲线令 J 1(a o,bo )上一点 M ( x o, y o ）切线方程为a b22oo2 - 21 ； ( 2)当 M ( x o ,y o ）在双曲线 X 2笃 1的外部时，过M 引切线有两aba b 2条，过两切点的弦所在直线方程为：X o X y o y 1。
（证明同上）2 a b 22 2o （ A ，C 不全为零）上的点现行人教版统编教材高中数学第二册上、 一点M （ X o , y o ）的切线方程为X o X y o y 线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为 将如何？我们不妨进行几个联想。
2X~2a ooo第75页例题2，给出了经过圆X y r 上 ;当M（ X 。
，y o ）在圆外时，过M 点引切 2y y rX o X 联想一：（1）过椭圆2* 1(0 ）上一点M （ X o , y ° ）切线方程为X o X aXo ,y o ）在椭圆 2X-2 a1的外部时, 过M 引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:X o X ~2" ay o y 2证明：（1）笃a1的两边对 X 求导,2X ~~2a2yy V 0,得X X o学，由a y o点斜式得切线方程为y o李(Xa y oX o ），即X oX ay o y b 22 Xo -2a 2 y ob 2（2）设过椭圆 2X~2a2y b 21 （a b o ）外一点M （ X o , y o ）引两条切线，切点分别为 A(X 1 , yj 、B(X 2 ,X 2X Y 2Y 2 a b 2 X 2X o Y 2Y o2 ab 2X o X y o y 2 a b 2。
圆锥曲线切线方程公式推导
圆锥曲线切线方程公式推导
圆锥曲线切线方程：
1. 什么是圆锥曲线：
圆锥曲线是一种双曲线，它具有双曲线特有的性质，即具有凹凸反转
的离心轨迹，在形状上又有圆弧的特性。
它是一种抛物线和双曲线的
结合，形状上是一个凸出来的半圆锥，因此也叫锥形曲线。
2. 圆锥曲线切线方程的定义：
圆锥曲线切线方程是指该曲线上一点，以这点为焦点做一组切线的方程。
3. 圆锥曲线切线方程的推导步骤：
（1）设圆锥曲线上一点A，切线为l。
（2）求出点A在圆锥曲线上满足切线方程的偏移长度s，s=∫[0,t]f(t)dt。
（3）求出切线方程的坡度为曲线在该点的切线的倾斜角，k=f’(t)。
（4）以点A作为参考系，得出该切线的直角坐标为（x，y）=
（cosθs,sinθs），点A的坐标为（x0,y0），可以得出切线的方程为一
般式： y-y0=ks(x-x0)。
4. 圆锥曲线切线方程的应用：
（1）用圆锥曲线切线方程可以表示流体运动轨迹，通过求解切线方程
可以确定某一点所在的水流函数坡度。
（2）用圆锥曲线切线方程可以表示交通运行线路，可以通过确定切线方程的形式，精确控制车辆的行驶速度。
（3）圆锥曲线切线可以用来近似描述光线的传播方程，从而研究光线的行为和光学系统的结构。
（4）圆锥曲线切线可以用来模拟电磁学中偏振波的传播轨迹，从而可以研究电磁散射等现象。
圆锥曲线的切线方程_寇宗娣
∴（3）可以化为 a2b4x2-2a2b4x0x+a4b2y0+a4b4=0，
即 b2x2-2a2x0x+a2y0+a2b2=0.
（4）
∴（4）中 有
△=4b4x02-4b2（a2y02+a2b2） =4b2（b2x02-a2y02）-4a2b4=4a2b4-4a2b4=0.
∴（4）有 唯 一 实 数 解 .
x0x=±2p
y+y0 2
.
过 抛 物 线 ：（x-h）2=±2p（y-k）上 一 点 M（x0，y0）的 切 线 方
程
为 ：（x0-h）（x-h）=±2p
（y0-k）+（y-k） 2
.
（责任编辑：科 言）
2010 年第 9 期
- 55 -
以
猜想
为
：
x0x a2
-
y0y b2
=1.
证
明
：联
立
x2 a2
-
y2 b2
=1,
x0x a2
-
y0y b2
=1，
得 a2b2y02x2-a4b2y02=b4x02x2-2a2b4x0x+a4b4.
即 （a2b2y02-b4x02）x+2a2b4x0x-a4b2y0-a4b4=0.
（3）
又 -a2y02+b2x02=a2b2，
又 （x0-a）2+（y0-b）2=r2.所 以 （x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
2.
过
椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
上一点
p （x0
,y0）做 椭 圆 的 切 线 ，并
圆锥曲线的切线与法线方程
圆锥曲线的切线与法线方程圆锥曲线是平面几何中的重要内容，其切线与法线方程的推导和应用也是数学学习中的重点之一。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
在圆锥曲线中，每一种曲线都有特定的切线与法线方程。
我们以圆锥曲线的切线与法线方程为例来详细讨论。
1. 圆的切线与法线方程对于圆而言，其切线与法线的性质具有特殊性。
以圆心为原点，半径为r的圆方程为$x^2+y^2=r^2$。
圆的切线与法线方程如下：（1）圆的切线方程：设切点坐标为$(x_0,y_0)$，切线斜率为k，则切线方程为$y=kx+b$，其中$b=y_0-kx_0$。
（2）圆的法线方程：切线斜率为k，法线斜率为$-\frac{1}{k}$，法线方程为$y=-\frac{1}{k}x+c$，其中$c=y_0+\frac{x_0}{k}$。
2. 椭圆的切线与法线方程椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的切线与法线方程与圆有所不同，需要根据椭圆的方程进行推导。
3. 双曲线的切线与法线方程双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的切线与法线方程也需要根据双曲线的方程进行推导。
4. 抛物线的切线与法线方程抛物线是平面上到一个固定点的距离等于到一个固定直线的距离的点的轨迹。
抛物线的切线与法线方程与圆有所不同，同样需要根据抛物线的方程进行推导。
综上所述，圆锥曲线的切线与法线方程是平面几何中重要的内容，对于不同类型的曲线需要采用不同的方法进行推导。
熟练掌握圆锥曲线的切线与法线方程可以帮助我们更好地理解曲线的几何性质，为数学学习提供有效的帮助。
建议学生在学习中多进行练习，加深对圆锥曲线切线与法线方程的理解，提高解题能力。
有关一类圆锥曲线的切线和切点弦结论的推理和证明
知识导航圆锥曲线问题是高考考查的重点，其中有关圆锥曲线的切线和切点弦问题是比较常见的问题，此类问题主要考查直线与圆锥曲线相切的位置关系，与圆的切线问题较为相似.笔者总结了一些有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.结论1：若点P （x 0,y 0）在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 上，则在点P 处的切线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1 .证明：因为点P 在椭圆上，所以x 02a 2+y 02b2=1 ，①则直线x 0x a 2+y 0yb2=1 必过点P ,所以直线x 0x a 2+y 0y b 2=1与椭圆x 2a 2+y 2b2=1 至少有一个公共点P ,假设直线l 与椭圆有不同于点P 的公共点Q (x 1,y 1)，则x 12a 2+y 12b2=1 ②，x 0x 1a 2+y 0y 1b 2=1 ③，由①②③得：(x 0-x 1)2a 2+(y 0-y 1)2b 2=0,当x 0=x 1,y 0=y 1,即点P 与点Q 重合时，直线l 与椭圆有唯一的公共点，此时直线l 是椭圆的切线，其方程为x 0x a 2+y 0y b2=1.这里采用了间接法，假设直线l 与椭圆还有其他的公共点，通过联立方程，从而证明出结论.此类问题具有普遍性，我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论2：若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，则在点P 处的切线的方程为x 0x 1a 2-y 0y1b2=1 .结论3：若点P (x 0,y 0)在抛物线y 2=2px 上，则在点P 处的切线的方程为y 0y =p (x +x 0).此类结论适用于解答有关圆锥曲线的切线问题，运用上述结论可以快速求出有关圆锥曲线的切线方程.相比较于常规方法：联立直线与圆锥曲线方程，通过判别式Δ判定直线与圆锥曲线相切，要简便很多.结论4：已知椭圆为x 2a 2+y 2b2=1，若点M （x 0,y 0）为椭圆外一点，由点M 引椭圆的两条切线，则切点弦直线的方程为x 0x a 2+y 0yb2=1.证明：设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)，因为点A ,B 在椭圆上，由结论1可得在A 点处的切线方程为x 1x a 2+y 1yb2=1，M 经过该切线，所以x 0x 1a 2+y 0y 1b2=1①，同理，在B 点处的切线为x 2x a 2+y 2yb2=1，所以x 0x 2a 2+y 0y 2b2=1②.由①②可得，过点A ，B 切点弦直线为x 0x a 2+y 0yb2=1.我们可以将该结论推广到双曲线、抛物线中，得到如下结论.结论5：若点M （x 0,y 0）为双曲线外一点，由点M 引双曲线的两条切线，则切点弦直线的方程为xx 0a 2-yy 0b2=1.结论6：若点M （x 0,y 0）为抛物线外一点，由M 点向抛物线引两条切线，则切点弦直线的方程为y 0y =p ()x +x 0.以上结论均可用证明椭圆的切点弦直线的方法来证明.例题：若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为F ()c ,0，点M 为直线x =a 2c上任意一点，由点M 向椭圆引两条切线，其切点为A ,B ，证明：直线AB 恒过焦点F .解：设点M æèçöø÷a 2c ,m ，由结论4可得切点弦直线AB的方程为x c +myb2=1，将F ()c ,0代入上述方程，满足方程，故AB 恒过焦点F .可见，运用有关圆锥曲线的切线和切点弦的结论来解题，能简化解题的过程，有效提升解题的效率.高中数学题型多变，解法多样，同学们在日常学习中要注意总结解题的规律，将同类型的题目放在一起进行对比，归纳出一类问题的通性通法，这样当再次遇到同类问题的时候便能轻松应对.(作者单位:山东省淄博实验中学)张春宁35。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
圆锥曲线与切线有关
圆锥曲线与切线有关知识点：一、切线方程与切点弦方程都为“各取一半”。
1.椭圆：①点),00y x （在曲线上，则过该点的切线方程12020=+by y a x x ②点),00y x （在曲线外，则过该点做曲线的两条切线的两切点的直线（切点弦）方程为12020=+by y a x x 2.双曲线的两种情况：1-2020=b y y a x x 3.抛物线的两种情况：px px y y +=004.圆的两种情况：200))(())(r b y b y a x a x =--+--（ 二、椭圆的焦点三角形内切圆，用等面积法。
ca cy r +=0（0y 是焦点三角形顶点的纵坐标） 三、双曲线的焦点三角形内切圆，切于右顶点或左顶点；过焦点三角形顶点的切线评分这个顶角。
四、抛物线中，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过这两点的切线一定交于准线上（设为P ），则AP ⊥BP ，PF ⊥AB.练习：1、过点P （-2,3）做抛物线x y 82=的两条切线，切点为A 、B ，求直线AB 所在直线方程的斜率。
2、双曲线12222=-b y a x 中21,F F 分别是左右焦点，)25,0x P （在抛物线上，21F PF ∆的内切圆M 的半径为1，且5=OM ,求双曲线方程。
3、已知1,222221=-by a x F F 是双曲线左右焦点，P 是双曲线右支上异于顶点的点，以P 为切点的切线与X 轴交于点M ，2121212|,PF ||PF |MF M F PF PF =-=+且若,求双曲线离心率。
4、已知点)214,2(-P 在椭圆C:)012222>>=+b a by a x （，过P 做圆222=+y x 的切线，切点为A 、B,且直线AB 恰好过椭圆的左焦点F ，则22b a +的值为多少。
5、已知y x 82=，过1)1()122=++-y x （上任意一点P 做抛物线的切线，切点为A 、B ，求直线AB 的斜率的取值范围。
圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
y0y = p(x + x0)
−
b2x0 a2y0
[2x
−
(x1
+
x2)]
化简后得
x0x a2
+
y0y b2
=
1
同理过双曲线外一点 P(x0, y0)向双曲线做两条切线 PA 和 PB，切
点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
−
y0y b2
=
1
同理过抛物线外一点 P(x0, y0)向抛物线做两条切线 PA 和 PB，切
为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为
x0x a2
+
y0y b2
=
1
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相减得
x(x1 − a2
x2
)
=
−
y(y1 − a2
y2)
−b2x a2y
=
(y1 (x1
− −
[2x
−
(x1
+
x2)]
切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为
x1x xa22x a2
+ +
y1y yb22y b2
= =
1 1
两式相加得
x(x1 + a2
x2)
=
y(y1 + a2
y2)
+
2
y1
+
圆锥曲线的切线方程讲义——以一道高考题为例(原创)
因为 P 是 PA, PB 的交点，故 ( x0 , y0 ) 满足：
x0x1 = 2 y1 + 2 y0 ………………① x0x2 = 2y2 + 2y0 ………………②
可知 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) 是方程： x0x = 2y + 2y0 的两组解
两边同时除以 a2b2 ：
yy0 b2
+
xx0 a2
=
y02 b2
+
x02 a2
因为点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，故
y02 b2
+
x02 a2
=1
所以： xx0 + yy0 = 1. a2 b2
三、应用
（2021 年全国高考乙卷数学（理））已知抛物线 C : x2 = 2 py ( p 0) 的焦点为 F ，且 F 与圆
简单规律： x2 → xx0 ， 2 px → px + px → px + px0 （特别注意： ( x0 , y0 ) 为切点）。
二、证明（以椭圆为例）
证明：椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 在 ( x0 ,
y0 ) 的切线方程为
xx0 a2
+
yy0 b2
=1.
证明： 方法、求导法（需要二元求导）
显然 y0 [−5, −3]
P 点在圆上得出
−( y0 + 6)2 + 21 −(−5 + 6)2 + 21 = 20
即： S
专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
（2）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ；
（3）过抛物线 上一点 处的切线方程为 ；过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： ．
同理可得焦点在 轴上的情形．
【结论4】（1）过圆 上一点 切线方程为 ；
（2）当 在椭圆 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为 ．
【结论5】（1）过双曲线 上一点 处的切线方程为 ；
（2）当 在双曲线 的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： ．
证明：（1） 的两边对x求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，又 所求的切线方程为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．若 ，求直线 的方程．
例6．
6．已知椭圆 与直线 相切于点 ，且点 在第一象限，若直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ．若过原点O的直线 与 垂直交与点 ，证明： 定值．
【强化训练】
7．若椭圆 的焦点在x轴上，过点 作圆 的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．
【结论8】（1）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ；
（2）斜率为k的双曲线 的切线方程为 ．
证明：（1）设切线方程为 ，联立 方程得：
，
若 即 ， ，
令 化简可得： ， ，故切线方程为 ．
同理可证情形（2）．
【评注】 ， ，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．
圆锥曲线的切线与切点弦方程
圆锥曲线的切线与切点弦方程说明：〔1〕以上方程可以通过局局部割曲线，利用导数求得.〔2〕切点弦方程可以通过两切点具有一样构造方程式且切线有公共交点推导而得.(M 且与圆224x y +=相切的直线方程为 ()2,2P 向圆221x y +=引两切线,PA PB ，其中切点为,A B ，那么AOB S ∆=24y x =在()00,P x y 处的切线为l ，那么点(2,0)A 到直线l 的距离的最小值为 2214x y +=在()00,P x y 处的切线为l ，直线l 与两坐标轴交点分别为,A B ，那么AOB S ∆最小值为 ；AB 最小值为 .二、抛物线的切线与切点弦方程24x y =在1(1,),(2,1)4A B -两点处的切线分别为12,l l ，且1l 与2l 相交于点P 〔1〕求点P 的坐标.〔2〕求直线AB 的方程.22(0)x py p =>，过M 引抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：,,A M B 三点的横坐标成等差数列.（2）假设(2,2)M p -且AB =.24x y =，过点P 的直线l 交抛物线于,A B 两点，分别以,A B 为切点的两切线12,l l . 〔1〕假设(2,2)P ，求1l 与2l 交点M 的轨迹方程.〔2〕假设点P 为抛物线的焦点F ，证明：〔i 〕MF AB ⊥； 〔ii 〕MA MB ⊥.C ：22x py =的焦点(0,)F c (0)c >到直线l ：20x y --=的距离为322，设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线的两条切线12,l l ，求切点分别为,A B .〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕当00(,)P x y 为定点时，求直线AB 的方程；〔3〕当P 在直线上运动时，求FA FB ⋅的最小值. 1C ：22221x y a b+=的两个焦点1(2,0)F -，2(2,0)F ，点(2,3)A 在椭圆上，过点A 的直线l 与抛物线2C ：24x y =交于,B C 两点，抛物线2C 在,B C 两点处的切线分别为12,l l 且1l 与2l 相交于点P .〔1〕求椭圆1C 的方程；〔2〕是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ，假设存在，请指出个数？假设不存在说明理由.。
圆锥曲线的直线切线定理解析
圆锥曲线的直线切线定理解析圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它由一个固定点（焦点）和到该点距离与到一条直线（准线）距离之比等于常数的点所组成。
直线切线是在某一点上与曲线相切的直线。
本文将对圆锥曲线的直线切线定理进行解析。
一、圆锥曲线的类型在解析几何中，常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
它们的定义方式如下：1. 椭圆：椭圆是到两个焦点的距离和为定值的点的集合。
其标准方程为 $(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线：双曲线是到两个焦点的距离差为定值的点的集合。
其标准方程为 $(\frac{x}{a})^2 - (\frac{y}{b})^2 = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为双曲线的长半轴和短半轴。
3. 抛物线：抛物线是到焦点的距离与到准线的距离相等的点的集合。
其标准方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 为抛物线的焦点到准线的距离。
二、直线切线定理的定义直线切线定理是指通过圆锥曲线上的一点，能且只能有一条直线与其相切。
也就是说，曲线上的每一点都有一条切线与其相切，并且切点是相切线上的唯一交点。
三、直线切线的求解方法1. 求解椭圆的直线切线：设椭圆的方程为 $(\frac{x}{a})^2 +(\frac{y}{b})^2 = 1$，曲线上一点为 $P(x_0, y_0)$。
由于切线与曲线相切，切线方程的斜率等于曲线在该点的导数。
因此，可以通过求解曲线方程和导数方程的联立方程组，来确定切线斜率 $k$。
之后，可以通过点斜式或一般式等方法，得出切线的方程。
2. 求解双曲线的直线切线：设双曲线的方程为 $(\frac{x}{a})^2 - (\frac{y}{b})^2 = 1$，曲线上一点为 $P(x_0, y_0)$。
与椭圆类似，可以通过求解曲线方程和导数方程的联立方程组，来确定切线斜率 $k$。
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆
上一点的切线方程为；当在圆外
222r y x =+),(00y x M 200r y y x x =+),(00y x M 时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。
那么，
M 200r y y x x =+在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为
)0(122
22>>=+b a b
y a x ),(00y x M ；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两12020=+b y y a x x ),(00y x M 122
22=+b
y a x M 条，过两切点的弦所在直线方程为：1
2020=+b
y
y a x x 证明：（1）的两边对求导，得，得，22221x y a b +=x 22220x yy a b
'
+=020
2
x x b x y a y ='
=-由点斜式得切线方程为，即 。
20
0020
()b x y y x x a y -=--22000022221x x y y x y a b a b +=+=（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分
)0(122
22>>=+b a b
y a x ),(00y x M 别为、。
由（1）可知过、两点的切线方程分别为：),(11y x A ),(22y x B A B 、。
又因是两条切线的交点，所以有12121=+b y y a x x 12222=+b y
y a x x ),(00y x M 、。
观察以上两个等式，发现、1201201=+b y y a x x 120
2202=+b
y y a x x ),(11y x A 满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为
),(22y x B 12020=+b
y
y a x x A B 。
12020=+b
y
y a x x 评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆
),(00y x M )0(122
22>>=+b a b
y a x 外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。
12020=+b
y
y a x x 联想二：（1）过双曲线上一点切线方程
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ),(00y x M 为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线12020=-b y y a x x ),(00y x M 122
22=-b
y a x M 有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。
（证明同上）
12020=-b
y
y a x x 联想三：（1）过圆锥曲线（A ，C 不全为零）上的点
2
2
0Ax Cy Dx Ey F ++++=
的切线方程为；（2）当),(00y x M 00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=在圆锥曲线（A ，C 不全为零）的外部时，过
),(00y x M 220Ax Cy Dx Ey F ++++=引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
M 00
000
22
x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=证明：（1）两边对求导，得x 220Ax Cyy D Ey ''+++=得，由点斜式得切线方程为0
0022x x Ax D y Cy E =+'
=-
+00002()
2Ax D
y y x x Cy E
+-=--+化简得………………….①
22
00000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=因为………………………………………………… ②
22
00000Ax Cy Dx Ey F ++++=由①－②×2可求得切线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=（2）同联想一（2）可证。
结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线
),(00y x M 方程为：把原方程中的用代换，用代换。
若原方程中含有或的一次项，
2x 0x x 2
y 0y y x y 把用
代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。
当点x 02x x +y 0
2
y y +在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
),(00y x M M 00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>=p px y ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两条
)(00x x p y y +=)0(22>=p px y ),(00y x M 切线，过两切点的弦所在直线方程为：)
(00x x p y y +=推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>-=p px y ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00x x p y y +-=)0(22>-=p px y ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00x x p y y +-=推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>=p py x ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00y y p x x +-=)0(22>-=p py x ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00y y p x x +-=推论4：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>-=p py x ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00y y p x x +-=)0(22>-=p py x ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00y y p x x +-=
在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。