圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆
上一点的切线方程为；当在圆外
222r y x =+),(00y x M 200r y y x x =+),(00y x M 时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，
M 200r y y x x =+在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为
)0(122
22>>=+b a b
y a x ),(00y x M ；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两12020=+b y y a x x ),(00y x M 122
22=+b
y a x M 条，过两切点的弦所在直线方程为：1
2020=+b
y
y a x x 证明：（1）的两边对求导，得，得，22221x y a b +=x 22220x yy a b
'
+=020
2
x x b x y a y ='
=-由点斜式得切线方程为，即 。
20
0020
()b x y y x x a y -=--22000022221x x y y x y a b a b +=+=（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分
)0(122
22>>=+b a b
y a x ),(00y x M 别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：),(11y x A ),(22y x B A B 、。又因是两条切线的交点，所以有12121=+b y y a x x 12222=+b y
y a x x ),(00y x M 、。观察以上两个等式，发现、1201201=+b y y a x x 120
2202=+b
y y a x x ),(11y x A 满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为
),(22y x B 12020=+b
y
y a x x A B 。12020=+b
y
y a x x 评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆
),(00y x M )0(122
22>>=+b a b
y a x 外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。
12020=+b
y
y a x x 联想二：（1）过双曲线上一点切线方程
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ),(00y x M 为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线12020=-b y y a x x ),(00y x M 122
22=-b
y a x M 有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上）
12020=-b
y
y a x x 联想三：（1）过圆锥曲线（A ，C 不全为零）上的点
2
2
0Ax Cy Dx Ey F ++++=
的切线方程为；（2）当),(00y x M 00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=在圆锥曲线（A ，C 不全为零）的外部时，过
),(00y x M 220Ax Cy Dx Ey F ++++=引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
M 00
000
22
x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=证明：（1）两边对求导，得x 220Ax Cyy D Ey ''+++=得，由点斜式得切线方程为0
0022x x Ax D y Cy E =+'
=-
+00002()
2Ax D
y y x x Cy E
+-=--+化简得………………….①
22
00000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=因为………………………………………………… ②
22
00000Ax Cy Dx Ey F ++++=由①－②×2可求得切线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线
),(00y x M 方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，
2x 0x x 2
y 0y y x y 把用
代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点x 02x x +y 0
2
y y +在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
),(00y x M M 00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>=p px y ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两条
)(00x x p y y +=)0(22>=p px y ),(00y x M 切线，过两切点的弦所在直线方程为：)
(00x x p y y +=推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>-=p px y ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00x x p y y +-=)0(22>-=p px y ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00x x p y y +-=推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>=p py x ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00y y p x x +-=)0(22>-=p py x ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00y y p x x +-=推论4：（1）过抛物线上一点切线方程为
)0(22
>-=p py x ),(00y x M ；（2）过抛物线的外部一点引两
)(00y y p x x +-=)0(22>-=p py x ),(00y x M 条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
)(00y y p x x +-=