2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期开学考试数学(理)试题 PDF版
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
理科数学 长郡版 !# !
长郡中学 学年度高二第一学期入学考试
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2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B 为如图非阴影部分的集合，若2{|2}A x y x x ==-，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞ C ．(1,2] D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ） A ．3个 B ．4个 C.5个 D ．6个6.在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ） A ．12 B ．32 C.12- D ．32-7.定义运算*a b ，*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ）A 3B ．2223 D 4310.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．2 D ．2211.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值等于（ ） A ．1 B ．52C.3 D ．0 12.设211()22()x xf x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C.1(,)(1,)3-∞+∞ D ．1(,1)313.已知函数2()sin 20191xf x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-+-=（ ）A.2B.2019C.2018D.014.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为10360A =︒，则a =( )A.7B.8C.5D.615.在ABC ∆中，已知9AB AC =，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP xy CA CB=+，则11x y +的最小值为（ ）0S = 1i = DOS S i =+ 1i i =+LOOP UNTIL i a > PRINT S ENDA.76 B.712C.73123+D.7363+二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件17.对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为 ．18.已知平面向量a ，b 满足1a =，2b =，3a b -=，则a 在b 方向上的投影是 ．19.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ． 20.已知集合{,,}{2,3,4}a b c =，且下列三个关系：3a ≠，3b ≠，4c ≠中有且只有一个正确，则函数22,()(),xx bf x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是 ． 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为251515x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.22.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求角A 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长.23.已知函数()xf x e tx =+（e 为自然对数的底数）.（1）当t e =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围.24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,301002x f x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义. 25.已知函数2()1axf x a x =++，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当0a >时，对任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()g x f x <成立.试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC二、填空题16.○1 17.41 18.1219.9+[3,)+∞ 三、解答题21.(1)∵曲线C 的极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）直线l的参数方程为11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程24y x =，可得2141⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2150t --=，∵12150t t ⋅=-<，∴点P 在AB 之间，∴12||||||PA PB t t +=+=22.（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=， ∴3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理得24161cos 42AC A AC +-==，解得1AC =1AC = ∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴12AD AB CD BC ==，∴1133AD AC +==23.（1）当t e =-时，()x f x e ex =-，'()xf x e e =-由'()0x f x e e =->，解得1x >；由'()0xf x e e =-<解得，1x <.∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞. （2）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即0xe tx +>恒成立，即xe t e>-在(0,2]x ∈上恒成立，令()xe g x x =-，所以2(1)'()xx e g x x-=. 当01x <<时，'()0g x >；当12x <<时，'()0g x <. ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减.所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)g e =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值. ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞.所以对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立的实数t 的取值范围是(,)e -+∞.24.（1）由题意知，当30100x <<时，1800()29040f x x x=+->， 即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴(45,100)x ∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当030x <≤时，()30%40(1%)4010xg x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，2180013()(290)%40(1%)585010x g x x x x x x =+-⋅+-=-+；∴240(030)10()1358(30100)5010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.25.（1）函数()f x 的定义域为R ，2222(1)(1)(1)'()(1)(1)a x a x x f x x x --+==++.当0a >时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当0a <时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-. （2）由（1）可知，当当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在(1,]e 上单调递减，又(0)f a =，2()1aef e a a e =+>+， 所以min ()f x a =，同样地，当0a >时，若a e <，()g x 在(0,)a 上单调递增，()g x 在(,]a e 上单调递减，所以min ()()ln g x g a a a a ==-，因为(ln )(2ln )(2ln )0a a a a a a a e a --=->-=>，同理，当a e >或a e =时，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有max min ()()()g x g a a e a f x ==-<=. 综上所述，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()f x f x <成立.。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(精品解析)
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.
2 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������ + ������������的形式，则数列{������������}为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题
2
与直线������ = ������ ‒ 1及直线������ = 1所围成的封闭图形的面
∫ (������ ‒ ������ + 1)
1
1 1 1
2
2
= (2������������������ ‒ 2������2 + ������)|2 1 = 2������������2 ‒ 2 + 2 + 2 ‒ 1 = 2������������2 ‒ 2 故选：D．
+ 16 = 1
������2
故选：B．
������2 由题意可得：椭圆25
+ 16 = 1
������2
2 2 2 2 的焦点分别是两圆(������ + 3) + ������ = 1和(������ ‒ 3) + ������ = 4的圆心，再结合椭圆的定义
与圆的有关性质可得答案． 本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用． 给出下列命题：
故①正确．
⃗, ⃗ ,⃗ ⃗, ⃗ ,⃗ ②若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则������������ ������������ ������������这 3 个向量共面，故 A、B、M、N 共面，
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题(附答案解析)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ）A ．若222x y +<，则1x ≤或1y ≤B ．若222x y +<，则1x ≤且1y ≤C ．若222x y +<，则1x <或1y <D ．若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2．在复平面内，复数z =(|a|−1)+(a +1)i （a ∈R ，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ）A ．a ≥−1B ．a >−1C ．a ≤−1D ．a <−13．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．23 B ．32 C ．23- D ．32- 4．设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．13B ．3C ．6D ．95．已知x y 、满足2213x y +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ） A ．[]112， B ．[]06， C ．[]012， D ．[]113， 6．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r 的取值范围是（ ）A ．[)0,3B ．(0,C ．)⎡⎣D ．(]0,4 7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）A ．5?i <B ．6?i <C ．7?i <D ．8?i < 8．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A ．35B ．925 C ．1625 D ．25 9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A ．4B ．203C ．263D ．810．已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A ．(16,21) B ．(16,24) C ．(17,21) D ．(18,24)11．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是 12．设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A ．92ln 2[1,]4+B ．92ln 2(1,)4+C ．92ln 2[1,]10+D ．92ln 2(1,]10+ 13．设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14．已知向量,a b r r 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15．曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．17．通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x2 3 4 5 6 利润y2 3 5 6 9(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$;(3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()n ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy a x x x nx b y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式；(2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19．已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v ，且m n ⊥u v v ．(1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PF FC的值． 21．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．22．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值参考答案1．D【解析】【分析】将原命题的条件和结论都否定可得出其否命题，进而可得出结论.【详解】由题意可知，命题“若222x y +>，则1x >或1y >”的否命题是“若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤”.故选：D.【点睛】本题考查原命题的否命题的改写，但需注意“p q ∨”的否定为“()()p q ⌝∧⌝”，属于基础题. 2．D【解析】试题分析：依题意可得{|a|−1>0a +1<0 ,即{|a|>1a +1<0,解得a <−1，故选D. 考点：复数的概念.3．A【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101010,70a S ==Q ，1191010910702a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得23d =. 故选：A .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.4．C【解析】 试题分析：由题意可得：2·,,6,3k k Z k ππωω=∈∴=又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值是6，故选C.考点：正弦函数的性质.5．D【解析】由题意，令,sin x y αα==，所以2sin )4x y αααθ+=+=+<， 所以2442x y x y +-=--，因为22sin )3x y αααβ+=+=+<，所以3232x y x y --=-- 所以243242373()u x y x y x y x y x y =+-+--=----+=-+07sin )76sin(60)ααα=-+=-+所以113u ≤≤，故选D.6．B【解析】【分析】采用数形结合，通过延长1F M 结合角平分线以及10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r ，然后根据2PF 的范围，可得结果. 【详解】如图，延长1F M 交2PF 的延长线于点G ，∵10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，∴1FM MP ⊥u u u u r u u u r . 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =u u u r u u u r ，且M 为1F G 的中点.∵O 为12F F 的中点，∴212OM F G =u u u u r u u u u r . ∵2212F G PG PF PF PF =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r ，∵244PF -<<+u u u u r 24PF ≠u u u u r ，∴(OM ∈u u u u r . 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.7．B【解析】阅读流程图，程序运行如下：第一次循环：1,2,12S S i S S i i i =⨯==+==+=；第二次循环：4,6,13S S i S S i i i =⨯==+==+=；第三次循环：18,21,14S S i S S i i i =⨯==+==+=；第四次循环：84,88,15S S i S S i i i =⨯==+==+=；第五次循环：440,445,16S S i S S i i i =⨯==+==+=；第六次循环：2670S S i =⨯=；由题意可知，此时程序应跳出循环，则判断框中的条件可以为6?i <本题选择B 选项.点睛：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．8．B【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.9．B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥， 则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 考点：三视图，几何体的体积10．B【解析】试题分析：如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．考点：函数与方程及函数图象的应用. 11．B 【解析】 【分析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r．12．D 【解析】【分析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝21x -，∴当x12≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[12，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（12）＝2﹣ln12＞0，∴f（x）在[12，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[12，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴()() ()()22f a k af b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴方程f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（12，9142+ln2），则k92210ln+=，若直线y ＝k （x +2）与y ＝f （x ）的图象相切，设切点为（x 0，y 0），则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪--=⎩，解得01x =，k ＝1． ∴1＜k 92210ln +≤， 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 13．14【解析】 【分析】根据分步计数原理求出以(),a b 为坐标的点的总个数，再求出落在第四象限的点的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率. 【详解】由题意{}1,0,1,3a ∈-,{}2,4b ∈-,则以(),a b 为坐标的点共有428⨯=个， 其中落在第四象限的点为()()1,2,3,2--，有2个， 所以落在第四象限的点的概率为2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题. 14．5[,1]13【解析】试题分析：由13,1,512a b a b ==-≤r r r r ，可得2(5)1692510144a b a b -=+-⋅≤r rr r ，整理得5a b ⋅≥r r ，根据则b r 在a r 上的投影长度为a b a⋅rr r 513≥，而其投影肯定会不大于1b =r ，所以其范围为5[,1]13． 考点：向量在另一个向量的方向上的投影的范围问题． 考点： 15．32【解析】 试题分析：()()03223200033sin sin sin sin cos |cos |.2S xdx xdx xdx xdx x x ππππππ---=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰考点：微积分基本定理的应用.【易错点晴】本题主要考查了利用微积分求平面图形的面积问题，属于基础题.解答本题的关键是结合正弦曲线准确表示出所求的面积，由于sin y x =在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的下方，积分为负数，而在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的上方，积分为正数，如果直接求,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的积分，会出现正负相消的情况，导致出错，所以应该分成两段来求解. 16．()2211n m n ++-- 【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点，第二周从10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，设周数为t ，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8(1)t ⨯-，各周的点数和为()98181t S t t =+-=+，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是21b t =-，由于12349172533S S S S ====，，，，22(10)1(21)3f f ==，，，，2(32)5f =，，()2(1)21f n n n ⋯+=+，，．1n m n m >∴≥-Q ，，∴当n m >时，()2()211f m n n m n =++--，．故答案为()2211n m n ++--． 考点：归纳推理．【思路点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式；本题在解答时，由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可． 17．（1）见解析；（2）$1.7 1.8y x =-；（3）15.2万元 【解析】试题分析：(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）2345645x ++++==，2356955y ++++==122123334556695451.749162536516ni ii nii x y nxyb xnx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯-∑∑∴ 1.8a y bx =-=-，∴ 1.7.8ˆ1yx =- （3）当10x =（万元），ˆ15.2y=（万元） 考点：1.散点图；2.回归直线方程.18．(1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析【解析】试题分析：（1）()2101111a c c ==-+，()22221a c c =-+，()232331a c c =-+可归纳猜测()211n n n a n c c-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k cc ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可..试题解析：(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()*n N ∈得()22221321a ca c c c =+⋅=-+，()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时， 由()1121k k k a ca ck ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦()121k c k +++ ()212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立．由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c -=-+ ()*n N∈19．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2．【解析】 【分析】（1）由向量的数量积为0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求．（2）由（1）及题意可得3A π=，然后由余弦定理和4b c +=可求得4bc =，最后根据三角形的面积公式可得所求． 【详解】 （1）∵，∴，，由，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．【点睛】将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可．对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用()2222a b a b ab +=+-，将a b +和ab 作为整体求解，可提高解题的效率．20．（1（2）3. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依题意，可以以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)F y z ，由和共线得到点F 坐标，求出其长度即可.试题解析：（1）以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0),(0,0,4)C P ，故∵，∴GE 与PC（2）解：设(0,,)F y z ，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -⋅=-=，∴32y =， 又，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z =，故3(0,,1)2F ，，∴35235PFFC ==考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用. 21．(Ⅰ)24x y =(Ⅱ)00220x x y y --=(Ⅲ)92【解析】试题分析：（1）设拋物线C 的方程为24x cy =，利用点到直线的距离,求出1c =,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,PA PB 的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB 的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+，联立直线与抛物线方程,消去x ,得到一个关于y 的一元二次方程,由韦达定理求得1212,y y y y +的值,还有002x y =+,将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为24x cy =，2=0c >， 解得1c =，所以拋物线C 的方程为24x y =.（2）拋物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=， 设()()1122,,,A x y B x y (其中221212,44x x y y ==)则切线,PA PB 的斜率分别为1211,22x x ， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+， 联立方程002220{4x x y y x y--==，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=.由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,y y x y y y y +=-=，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值为92. 考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.22．（1）()1,+∞；（2）2 【解析】 试题分析：（1）由()10f =可求得2a =，求导后令()0f x '<解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，则问题等价于()0g x <在()0,+∞上恒成立．当0a ≤时，求导可得()g x 在()0,+∞上单调递增，又()31202g a =-+>，故不满足题意．当0a >时，可得()g x 的最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1ln 2h a a a =-单调递减，且()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2a ≥时，()0h a <，从而可得整数a 的最小值为2．试题解析：（1）因为()1102a f =-=， 所以2a =，故()2ln ,0f x x x x x =-+>， 所以()2121(1)(21)21x x x x f x x x x x-++-+=-+==-'(0)x >， 由()0f x '<，解得1x >，所以()f x 的单调减区间为()1,+∞．（2）令()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，0x >， 由题意可得()0g x <在()0,+∞上恒成立．又()()()21111ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='． ①当0a ≤时，则()0g x '>．所以()g x 在()0,+∞上单调递增，又因为()()2131ln11112022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．②当0a >时，()()()21111a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得1x a=．所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 故当1x a=时，函数()g x 取得极大值，也为最大值，且最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()1ln ,02h a a a a=->， 则()h a 在()0,+∞上单调递减，因为()1102h =>，()12ln204h =-<． 所以当2a ≥时，()0h a <，所以整数a 的最小值为2．。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数z＝cos+i sin在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝（）A．（0，2）B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（3分）阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A．5≤a≤6B．5＜a＜6C．5≤a＜6D．5＜a≤64．（3分）使不等式|x+1|≤4成立的一个必要不充分条件是（）A．2≤x≤3B．﹣6≤x≤3C．﹣5≤x≤3D．﹣6≤x≤2 5．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则从A到B的映射f满足f（3）＝3，则这样的映射共有（）个．A．3B．4C．5D．66．（3分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（3分）定义运算a*b，，例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]8．（3分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（3分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B ＝，则+＝（）A．B．C．D．10．（3分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．11．（3分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f （1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．012．（3分）设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）13．（3分）己知函数f（x）＝+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2B．2019C．2018D．014．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝20，三角形面积为，A＝60°，则a＝（）A．7B．8C．5D．615．（3分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17．（3分）对于a，b∈N规定a*b＝，集合M＝{（a，b）a*b ＝36，a，b∈N+}M中的元素的个数为．18．（3分）已知平面向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝，则在方向上的投影是．19．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣sin x，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值是．20．（3分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．（8分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（8分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos A＝b cos C+c cos B．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．23．（8分）已知函数f（x）＝e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．24．（8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．25．（8分）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由题意可知，z＝cos+i sin＝+i，对应的点在第二象限．故选：B．2．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x（x＞0）的值域，解得B＝{y|y＞1}；依据定义：A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．【解答】解：由框图的流程得：第1次循环S＝0+1＝1，i＝2；第2次循环S＝1+2＝3，i＝3；第3次循环S＝3+3＝6，i＝4；第4次循环S＝6+4＝10，i＝5；第5次循环S＝10+5＝15，i＝6；此时满足条件6＞a，退出循环，输出S的值．综上可得：5≤a＜6．故选：C．4．【解答】解：不等式|x+1|≤4，即﹣4≤x+1≤4，即﹣5≤x≤3，故“﹣6≤x≤3”是“﹣5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：若f（3）＝3，则f（1）＝3或f（1）＝4；f（2）＝3或f（2）＝4；故这样的映射的个数是2×2＝4个，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点，可得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝﹣，故选：C．7．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y＝1*2x＝1当1＞2x时，即x＜0时，函数y＝1*2x＝2x∴f（x）＝由图知，函数y＝1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．8．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．9．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，利用正弦定理化简得：sin2B＝sin A sin C，∵B＝，∴原式＝+＝＝＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．11．【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．12．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）＝﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．13．【解答】解：函数f（x）＝+sin x＝sin x++1，设g（x）＝sin x+，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sin x+）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2，又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2，故选：A．14．【解答】解：由题意可得，S△ABC＝bc sin A＝bc sin60°∴bc sin60°＝10∴bc＝40∵a+b+c＝20∴20﹣a＝b+c．由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos60°＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣120解得a＝7．故选：A．15．【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sin B＝cos A•sin C，∴sin（A+C）＝sin C cos A，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A，∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝0 C＝90°∵，S△ABC＝6∴bc cos A＝9，∴，根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12＝故所求的最小值为故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①17．【解答】解：a⊕b＝36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝36，满足此条件的有1×36＝3×12＝4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b＝36，满足此条件的有1+35＝2+34＝3+33＝4+32＝…＝18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．18．【解答】解：∵||＝1，||＝2，|﹣|＝，∴||2+||2﹣2•＝3，解得•＝1，∴在方向上的投影是＝，故答案为：19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣sin x，有f′（x）＝2﹣cos x＞0，则函数f（x）为增函数，又由f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sin x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则有f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），又由函数为增函数，则a＝1﹣2b，即a+2b＝1，＝（）（a+2b）＝9++≥9+2＝9+4，当且仅当b＝a时等号成立，即的最小值是9+4，故答案为：9+4．20．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2＝4x．可得（1+t）2＝4（1+t），整理得，∵t1•t2＝﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．22．【解答】解：（1）∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理的cos A＝＝，解得AC＝1+或AC＝1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴＝，∴AD＝AC＝．23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝e x﹣ex，f'（x）＝e x﹣e．由f'（x）＝e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．24．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；∴g（x）＝；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．25．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）＝a，f（e）＝所以f（x）min＝a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max＝g（a）＝alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）＝a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）＝a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＝g（e）＝alna﹣a＜a＝f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期入学考试数学(理)试题含答案
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期入学考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A. 若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B. 若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C. 若222x y +<，则1x <或1y <D. 若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤2.在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A. 1a ≥- B. 1a >-C. 1a ≤-D. 1a <-3.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ）A.23B.32C. 23-D. 32-4.设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A.13B. 3C. 6D. 95.已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A. []112， B. []06，C. []012， D. []113， 6.已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A. [)0,3B. (0,C. )⎡⎣D. (]0,4 7.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）是A. 5?i <B. 6?i <C. 7?i <D. 8?i <8.已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C. 1625D. 259.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ( )A. 4B.203C.263D. 810.已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ） A. (16,21)B. (16,24)C. (17,21)D. (18,24)11.三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述均不的12.设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A. 92ln 2[1,]4+ B. 92ln 2(1,)4+ C. 92ln 2[1,]10+ D. 92ln 2(1,]10+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上.13.设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________.14.已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ．15.曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．16.如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n nii i i x x y y x y nxyax x x nx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑ 18.在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．19.已知(2cos ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂中为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 21.已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．(1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 22.已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值数学（理科）参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量90分钟.满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.D3.A4.C5.D6.B7.B8.B9.B10.B11.B12.D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题纸上..13. 14,1]14 [51315 3216. (2n+1)2+m−n−1三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）x̅=2+3+4+5+65=4，y̅=2+3+5+6+95=5b=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1=2×3+3×3+4×5+5×6+6×9−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.7∴a=y̅−bx̅=−1.8，∴ŷ=1.7x−1.8（3）当x=10（万元），ŷ=15.2（万元）18.(1) 由a1=1，及a n+1=ca n+c n+1(2n+1)(n∈N∗)得a2=ca1+c2⋅3=(22−1)c2+c，a3=ca2+c3(2×2+1)=c[(22−1)c2+c]+c3(2×2+1)=(32−1)c3+c2于是猜测:a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)(2)下面用数学归纳法予以证明:10当n=1时，由a1=1=(12−1)c+c1−1显然结论成立．20假设n=k时结论成立，即a k=(k2−1)c k+c k−1那么，当n=k+1时，由a k+1=ca k+c k+1(2k+1)=c[(k2−1)c k+c k−1]+c k+1(2k+1)=(k2+2k)c k+1+c k=[(k+1)2−1]c k+1+c k显然结论成立．由10、20知，对任何n∈N∗都有a n=(n2−1)c n+c n−1(n∈N∗)19.（1）∵，∴，，由，得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，∴函数的递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．20.（1）以G点为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,4)，故∵，∴GE与PC所成角的余弦值为√1010．（2）解：设F(0,y,z)，则，∵，∴，即(32,y −32,z)⋅(0,2,0)=2y −3=0，∴y =32， 又，即(0,32,z −4)=λ(0,2,−4)，∴z =1，故F(0,32,1)，，∴PFFC =3√52√52=321.解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为x 2=4cy ，由√2=3√22结合c >0，解得c =1，所以拋物线C 的方程为x 2=4y .（2）拋物线C 的方程为x 2=4y ，即y =14x 2，求导得y ′=12x ， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224)则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2，所以切线PA 的方程为y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 122+y 1，即x 1x −2y −2y 1=0，同理可得切线PB方程为x 2x −2y −2y 2=0，因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0)，所以x 1x 0−2y 0−2y 1=0，x 2x 0−2y 0−2y 2=0， 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x −2y 0−2y =0的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0.（3）由拋物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1，联立方程{x 0x −2y −2y 0=0x 2=4y，消去x 整理得y 2+(2y 0−x 02)y +y 02=0. 由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02−2y 0,y 1y 2=y 02， 所以|AF|⋅|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02−2y 0+1又点P(x 0,y 0)在直线l 上，所以x 0=y 0+2，所以y 02+x 02−2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92， 所以当y 0=−12时，|AF|⋅|BF|取得最小值,且取得最小值为92. 22.（1）因为f(1)=1−a2=0，的所以a=2，故f(x)=lnx−x2+x,x>0，所以f′(x)=1x −2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x(x>0)，由f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调减区间为(1,+∞)．（2）令g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1，x>0，由题意可得g(x)<0在(0,+∞)上恒成立．又g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x．①当a≤0时，则g′(x)>0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，又因为g(1)=ln1−12a×12+(1−a)+1=−32a+2>0，所以关于x的不等式f(x)≤ax−1不能恒成立．②当a>0时，g′(x)=−ax2+(1−a)x+1x =−a(x−1a)(x+1)x，令g′(x)=0，得x=1a．所以当x∈(0,1a)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x∈(1a,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．故当x=1a 时，函数g(x)取得极大值，也为最大值，且最大值为g(1a)=ln1a−12a×(1a)2+(1−a)×1a+1=12a−lna．令ℎ(a)=12a−lna,a>0，则ℎ(a)在(0,+∞)上单调递减，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0．所以当a≥2时，ℎ(a)<0，所以整数a的最小值为2．。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1. 已知i 为虚数单位，复数121i i -+的共扼复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P 1，P 2，P 3，则( )A. P 1=P 2<P 3B. P 2=P 3<P 1C. P 1=P 3<P 2D. P 1=P 2=P 3 3. 曲线y =2x 与直线y =x −1及直线x =1所围成的封闭图形的面积为( )A. 34B. 52C. 4−2ln2D. 2ln2−12 4. 若k >1，则关于x 、y 的方程(1−k)x 2+y 2=k 2−1所表示的曲线是( )A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线5. 对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则x =2，y =−3，z =2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 6. 已知P 为椭圆x 225+y 216=1上的一点，M ，N 分别为圆(x +3)2+y 2=1和圆(x −3)2+y 2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为( )A. 5B. 7C. 13D. 157. 给出下列命题： ①已知a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )+c ⋅⃗⃗⃗⃗ (b ⃗ −a ⃗ )=b ⃗ ⋅c ⃗ ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 共面；③已知a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ,b ⃗ 与任何向量不构成空间的一个基底；④已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，则基向量a ⃗ ,b ⃗ 可以与向量m⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ 构成空间另一个基底．正确命题个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知命题p ：∀x ∈N ∗，(12)x ≥(13)x ，命题q ：∃x ∈N ∗，2x +21−x =2√2，则下列命题中为真命题的是( ) A. p ∧q B. (￢p)∧q C. p ∧(￢q) D. (￢p)∧(￢q)9. 命题“数列{a n }前n 项和是S n =An 2+Bn 的形式，则数列{a n }为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 010. 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域(用公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有()A. 96B. 114C. 168D. 240 11. 已知函数3lg(),0()64,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩若关于x 的函数2()()1y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A. (2,+∞) B. [2,+∞) C. (2,174) D. (2,174]二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）12. 如图，圆O ：x 2+y 2=π2内的正弦曲线y =sinx 与x 轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______．13. 有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变，则共有______种不同的排列方法．14. 已知F 1=i +2j +3k ⃗ ，F 2=−2i +3j −k ⃗ ，F 3=3i −4j +5k ⃗ ，其中i ，j ，k⃗ 为单位正交基底，若F 1，F 2，F 3共同作用在一个物体上，使物体从点M 1(1,−2,1)移到点M 2(3,1，2)，则合力所作的功为______．15. 已知双曲线x 23−y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为(−2,3)，则|PQ|+|PF 1|的最小值为______．16. 若直线y =kx +b 是曲线y =lnx +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b =______．,2]，使得对任意17.已知函数f(x)=x2+2x+a，g(x)=lnx−2x，如果存在x1∈[12,2]，都有f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是______．的x2∈[12三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）18.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40,50)，[50,60)…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(Ⅲ)为调查某项指标，从成绩在60～80分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段组的概率．19.已知p：∃x∈(0,+∞)，x2−2elnx≤m；q：函数y=x2−2mx+1有两个零点．(1)若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．20.如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．(1)求证：A1B//面ADC1；(2)求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值．21. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且点(1,√32)在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求直线l 的方程．22. 设a 为实数，函数f(x)=e x −2x +2a ，x ∈R ．(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2−1且x >0时，e x >x 2−2ax +1．23. 设函数f(x)=e x −ax −2．(1)求f (x)的单调区间；(2)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x −k)f ′(x)+x +1>0，求k 的最大值．。
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．若222x y +>，则1x >或1y >的否命题是（ ） A ．若222x y +<，则1x ≤或1y ≤ B ．若222x y +<，则1x ≤且1y ≤ C ．若222x y +<，则1x <或1y < D ．若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤【答案】D【解析】将原命题的条件和结论都否定可得出其否命题，进而可得出结论. 【详解】由题意可知，命题“若222x y +>，则1x >或1y >”的否命题是“若222x y +≤，则1x ≤且1y ≤”.故选：D. 【点睛】本题考查原命题的否命题的改写，但需注意“p q ∨”的否定为“()()p q ⌝∧⌝”，属于基础题.2．在复平面内，复数(1)(1)z a a i =-++（a R ∈，i 为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（ ） A ．1a ≥- B ．1a >-C ．1a ≤-D ．1a <-【答案】D【解析】试题分析：依题意可得101{,{,1010a a a a ->>+<+<即解得1a <-，故选D.【考点】复数的概念.3．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .101010,70a S ==Q ，1191010910702a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得23d =. 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 4．设函数()sin (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】试题分析：由题意可得：2·,,6,3k k Z k ππωω=∈∴=又0ω>，所以当1k =时，ω的最小值是6，故选C. 【考点】正弦函数的性质.5．已知x y 、满足2213xy +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为（ ）A ．[]112， B ．[]06，C ．[]012， D ．[]113， 【答案】D【解析】由题意，令,sin x y αα==，所以2sin )4x y αααθ+=+=+<， 所以2442x y x y +-=--，因为22sin )3x y αααβ+=+=+<，所以3232x y x y --=--所以243242373()u x y x y x y x y x y =+-+--=----+=-+07sin )76sin(60)ααα=-+=-+ 所以113u ≤≤，故选D.6．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．()0,22C ．)22,3⎡⎣D ．(]0,4 【答案】B【解析】采用数形结合，通过延长1F M 结合角平分线以及10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，利用中位线定理以及椭圆的定义，得到2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r，然后根据2PF 的范围，可得结果. 【详解】 如图，延长1F M 交2PF 的延长线于点G ，∵10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，∴1FM MP ⊥u u u u r u u u r . 又MP 为12F PF ∠的平分线，∴1PF PG =u u u r u u u r ，且M 为1F G 的中点.∵O 为12F F 的中点，∴212OM F G =u u u u r u u u u r.∵2212F G PG PF PF PF =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， ∴2212242OM a PF PF =-=-u u u u r u u u u r u u u u r ，∵2422422PF -<<+u u u u r ，且24PF ≠u u u u r，∴(0,22OM ∈u u u u r.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2670，则判断框中的条件可以为（ ）A ．5?i <B ．6?i <C ．7?i <D ．8?i <【答案】B【解析】阅读流程图，程序运行如下：第一次循环：1,2,12S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第二次循环：4,6,13S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第三次循环：18,21,14S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第四次循环：84,88,15S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第五次循环：440,445,16S S i S S i i i =⨯==+==+=； 第六次循环：2670S S i =⨯=；由题意可知，此时程序应跳出循环，则判断框中的条件可以为6?i < 本题选择B 选项.点睛：一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．8．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( )A ．35 B ．925 C ．1625D ．25【答案】B【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．203C ．263D ．8【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥， 则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 【考点】三视图，几何体的体积10．已知函数224log ,02(){1512,22x x f x x x x <<=-+≥，若存在实数a b c d 、、、，满足()()()()f a f b f c f d ===，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．(16,21)B ．(16,24)C ．(17,21)D ．(18,24)【答案】B【解析】试题分析：如下图，由1,10ab c d =+=，得(10)(16,24)abcd cd c c ==-∈．【考点】函数与方程及函数图象的应用.11．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r．12．设函数2()ln 2f x x x x =-+，若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++，则k 的取值范围是（ ）A．92ln2[1,]4+B．92ln2(1,)4+C．92ln2[1,]10+D．92ln2(1,]10+【答案】D【解析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝21x -，∴当x12≥时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[12，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（12）＝2﹣ln12＞0，∴f（x）在[12，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[12，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴()() ()()22f a k af b k b⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴方程f（x）＝k（x+2）在[12，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（12，9142+ln2），则k92210ln+=，若直线y＝k（x+2）与y＝f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪--=⎩，解得01x =，k ＝1． ∴1＜k 92210ln +≤， 故选D ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.二、填空题13．设{}1,0,1,3a ∈-，{}2,4b ∈-，则以(),a b 为坐标的点落在第四象限的概率为___________. 【答案】14【解析】根据分步计数原理求出以(),a b 为坐标的点的总个数，再求出落在第四象限的点的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率. 【详解】由题意{}1,0,1,3a ∈-,{}2,4b ∈-,则以(),a b 为坐标的点共有428⨯=个， 其中落在第四象限的点为()()1,2,3,2--，有2个， 所以落在第四象限的点的概率为2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题.14．已知向量,a b rr 满足：13a =r ,1b =r ,512a b -≤r r ，则b r 在a r 上的投影的取值范围是 ． 【答案】5[,1]13【解析】试题分析：由13,1,512a b a b ==-≤r r r r，可得2(5)1692510144a b a b -=+-⋅≤r r r r ，整理得5a b ⋅≥rr ，根据则b r 在a r 上的投影长度为a b a⋅rr r513≥，而其投影肯定会不大于1b =r ，所以其范围为5[,1]13． 【考点】向量在另一个向量的方向上的投影的范围问题． 【考点】15．曲线sin y x =与直线,32x x ππ=-=及x 轴所围成的图形的面积是________．【答案】32【解析】试题分析：()()03223200033sin sin sin sin cos |cos |.2S xdx xdx xdx xdx x x ππππππ---=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰【考点】微积分基本定理的应用.【易错点晴】本题主要考查了利用微积分求平面图形的面积问题，属于基础题.解答本题的关键是结合正弦曲线准确表示出所求的面积，由于sin y x =在区间,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的下方，积分为负数，而在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象位于x 的上方，积分为正数，如果直接求,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的积分，会出现正负相消的情况，导致出错，所以应该分成两段来求解.16．如图所示，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点()1,0处标数字1，点(11)-，处标数字2，点(01)-，处标数字3，点(11)，--处标数字4，点(10)-，处标数字5，点()11-，处标数字6，点(01)，处标数字7，…以此类推：记格点坐标为()m n ，的点（m n ，均为正整数）处所标的数字为()f m n =，，若n m >，则()f m n =， ．【答案】()2211n m n ++--【解析】试题分析：从横轴上的点开始点开始计数，从1开始计数第一周共9个格点，除了四个顶点外每一行第一列各有一个格点，外加一个延伸点，第二周从10开始计，除了四个顶点的四个格点外，每一行每一列有三个格点，外加一个延伸点共17个，拐弯向下到达横轴前的格点补开始点的上面以补足起始点所在列的个数，设周数为t ，由此其规律是后一周是前一周的格点数加上8(1)t ⨯-，各周的点数和为()98181t S t t =+-=+，每一行（或列）除了端点外的点数与周数的关系是21b t =-，由于12349172533S S S S ====，，，，22(10)1(21)3f f ==，，，，2(32)5f =，，()2(1)21f n n n ⋯+=+，，．1n m n m >∴≥-Q ，，∴当n m >时，()2()211f m n n m n =++--，．故答案为()2211n m n ++--．【考点】归纳推理．【思路点睛】本题考查归纳推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，求解本题的关键是从特殊数据下手，找出规律，总结出所要的表达式；本题在解答时，由图形，格点的连线呈周期性过横轴，研究每一周的格点数及每一行每一列格点数的变化，得出规律即可．三、解答题17．通过市场调查,得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据,如表所示: 资金投入x 2 3 4 5 6 利润y 23569(1)画出数据对应的散点图;(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程y bx a =+$$$; (3)现投入资金10万元,求获得利润的估计值为多少万元?参考公式：1122211ˆ()ˆ)(()nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nxyax x xnx b y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑【答案】（1）见解析；（2）$1.7 1.8y x =-；（3）15.2万元【解析】试题分析：(1)依次画出图中所对应的五个点，（2）根据上表提供数据，先求平均数和，然后根据所给的第二个公式，计算，和，代入公式求出以后，再根据回归直线过点，代入直线方程求，得到回归直线方程；（3）当时，代入回归直线方程，得到利润的预报值.试题解析：（1）（2）2345645x ++++==，2356955y ++++==122123334556695451.749162536516ni ii nii x y nxyb xnx ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯-∑∑∴ 1.8a y bx =-=-，∴ 1.7.8ˆ1yx =- （3）当10x =（万元），ˆ15.2y=（万元） 【考点】1.散点图；2.回归直线方程.18．在数列{}n a 中，11a =，()1121n n n a ca c n ++=++()n *∈N ，其中实数0c ≠．(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．【答案】(1) 21(1)n n n a n c c -=-+()n *∈N (2)见解析【解析】试题分析：（1）()2101111a c c ==-+，()22221a c c =-+，()232331a c c =-+可归纳猜测()211n n n a n c c-=-+；（2）根据数学归纳法证明原理，01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立．02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+只需证明当1n k =+时，()21111k k k a k cc ++⎡⎤=+-+⎣⎦即可..试题解析：(1) 由11a =，及()1121n n n a ca c n ++=++ ()*n N ∈得()22221321a ca c c c =+⋅=-+，()332221a ca c =+⨯+= ()()22321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦()23231c c =-+ 于是猜测: ()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈(2)下面用数学归纳法予以证明:01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+那么，当1n k =+时， 由()1121k k k a ca ck ++=++ ()211k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦()121k c k +++ ()212k k k k c c +=++ ()2111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦显然结论成立．由01、02知，对任何*n N ∈都有()211n n n a n c c-=-+ ()*n N∈19．已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-v v，且m n ⊥u v v． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调递增区间；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C 的对边，若()32Af =，且2a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3 ． 【解析】（1）由向量的数量积为0可得函数的解析式，然后根据正弦函数的单调区间可得所求．（2）由（1）及题意可得3A π=，然后由余弦定理和4b c +=可求得4bc =，最后根据三角形的面积公式可得所求． 【详解】 （1）∵，∴，，由，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）得，∴，，，∴．在中，由余弦定理得，，∴，∴．【点睛】将三角函数的内容和解三角形的知识结合在一起考查是常见的题型，此类问题难度一般不大，属于中档题，解题时根据条件及要求逐步求解即可．对于解三角形和三角形面积结合的问题，一般要注意公式的变形和整体思想的运用，如利用()2222a b a b ab +=+-，将a b +和ab 作为整体求解，可提高解题的效率．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且14,,,23PG AG GD BG GC GB GC ==⊥==，E 是BC 的中点．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值． 【答案】（1）1010；（2）3. 【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，可以以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设(0,,)F y z ，由和共线得到点F 坐标，求出其长度即可. 试题解析：（1）以G 点为原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(0,2,0),(0,0,4)C P ，故()()1,1,0,1,1,0,(0,2,4),E GE PC ==-u u u r u u u r∵，∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010． （2）解：设(0,,)F y z ，则，∵，∴，即33(,,)(0,2,0)23022y z y -⋅=-=，∴32y =， 又，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴1z=，故3 (0,,1)2F，，∴352352PFFC==【考点】空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.21．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c>到直线的距离为322．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点．(1) 求抛物线C的方程；(2) 当点()00,P x y为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3) 当点P在直线l上移动时，求AF BF⋅的最小值．【答案】(Ⅰ)24x y=(Ⅱ)00220x x y y--=(Ⅲ)92【解析】试题分析：（1）设拋物线C的方程为24x cy=，利用点到直线的距离,求出1c=,得到抛物线方程；（2）对抛物线方程求导,求出切线,PA PB的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共同点,得到直线AB的方程；（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y=+=+，联立直线与抛物线方程,消去x,得到一个关于y的一元二次方程,由韦达定理求得1212,y y y y+的值,还有002x y=+,将AF BF⋅表示成y的二次函数的形式,再求出最值.试题解析: 解：（1）依题意，设拋物线C 的方程为24x cy =2=结合0c >，解得1c =，所以拋物线C 的方程为24x y =.（2）拋物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=， 设()()1122,,,A x y B x y (其中221212,44x x y y ==)则切线,PA PB 的斜率分别为1211,22x x ， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=， 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解， 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.（3）由拋物线定义可知121,1AF y BF y =+=+， 联立方程002220{4x x y y x y--==，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=.由一元二次方程根与系数的关系可得2212001202,y y x y y y y +=-=，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以2222000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭， 所以当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值,且取得最小值为92. 【考点】1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程,判别式等于0的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线,PA PB 的方程,得出直线AB 的方程;第三问先用抛物线定义把,AF BF 的值表示出来,联立直线AB 与抛物线方程,得到1212,y y y y +的值, 将AF BF ⋅表示成0y 的二次函数的形式,再求出最值.22．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值 【答案】（1）()1,+∞；（2）2 【解析】试题分析：（1）由()10f =可求得2a =，求导后令()0f x '<解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，则问题等价于()0g x <在()0,+∞上恒成立．当0a ≤时，求导可得()g x 在()0,+∞上单调递增，又()31202g a =-+>，故不满足题意．当0a >时，可得()g x 的最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1ln 2h a a a =-单调递减，且()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2a ≥时，()0h a <，从而可得整数a 的最小值为2． 试题解析： （1）因为()1102af =-=， 所以2a =，故()2ln ,0f x x x x x =-+>，所以()2121(1)(21)21x x x x f x x x x x-++-+=-+==-'(0)x >， 由()0f x '<，解得1x >，所以()f x 的单调减区间为()1,+∞．（2）令()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，0x >， 由题意可得()0g x <在()0,+∞上恒成立．又()()()21111ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='．①当0a ≤时，则()0g x '>． 所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 又因为()()2131ln11112022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．②当0a >时，()()()21111a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 故当1x a=时，函数()g x 取得极大值，也为最大值，且最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln ,02h a a a a=->， 则()h a 在()0,+∞上单调递减， 因为()1102h =>，()12ln204h =-<． 所以当2a ≥时，()0h a <， 所以整数a 的最小值为2．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。
2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos ＜（+，＞=0，即为||=cos ＜+，＞，当cos ＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C ．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x﹣2（e x﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)22. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。
湖南省长郡中学高二数学下学期期末考试试题 理
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设A 、B 为非空集合，定义集合*A B为如图非阴影部分的集合，若{|A x y ==，{|3,0}x B y y x ==>，则*A B =（ ）A ．()0,2B ．[][)0,12,+∞ C ．(1,2] D ．[]()0,12,+∞3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围为（ ）A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a ≤<D ． 56a <≤ 4.使不等式14x +≤成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．23x ≤≤B ．63x -≤≤ C.53x -≤≤ D ．62x -≤≤ 5.已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ）A ．3个B ．4个 C.5个 D ．6个 6.在直角坐标系中，若角α的终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，在sin()πα-=（ ）A ．12 B12- D．7.定义运算*a b ，*a a b b ⎧=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如1*21=，则函数1*2xy =的值域为（ ）A ．()0,1B ．(),1-∞ C.[)1,+∞ D ．(]0,18.若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2)B ．[]12， C.[1+)∞，D ．[2+)∞， 9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，且3B π=，则11tan tan A C+=（ ） AB．2C.3 D．310.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）A ．1B ．．211.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值等于（ ） A ．1 B ．52C.3 D ．0 12.设211()22()x xf x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞ B ．(1,3) C.1(,)(1,)3-∞+∞ D ．1(,1)313.已知函数2()sin 20191xf x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)'(2019)'(2019)f f f f +-+-=（ ）A.2B.2019C.2018D.014.ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为60A =︒，则a =( )A.7B.8C.5D.615.在ABC ∆中，已知9AB AC =，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP xy CA CB=+，则11x y +的最小值为（ ）A.76 B.712C.7123+76+二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处). ①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件17.对于a ，b N ∈，规定,*,a b a b a b +⎧=⎨⨯⎩a b a b 与的奇偶性相同与的奇偶性不同，集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈，则M 中的元素的个数为 ．18.已知平面向量a，b 满足1a =，2b =，a b -=，则a 在b 方向上的投影是 ．19.已知函数()2sin f x x x =-，若正实数a ，b 满足()(21)0f a f b +-=，则14a b+的最小值是 ．20.已知集合{,,}{2,3,4}a b c =，且下列三个关系：3a ≠，3b ≠，4c ≠中有且只有一个正确，则函数22,()(),xx bf x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是 ．三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为151x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设点(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值.22.如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求角A 的大小；（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长.23.已知函数()xf x e tx =+（e 为自然对数的底数）.（1）当t e =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数t 的取值范围.24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中%x (0100x <<)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,301002x f x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩(单位:分钟), 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性,并说明其实际意义.25.已知函数2()1axf x a x =++，()ln g x a x x =-（0a ≠）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当0a >时，对任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()g x f x <成立.试卷答案一、选择题1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15：CBAAC 二、填空题16.○1 17.41 18.1219.9+[3,)+∞ 三、解答题21.(1)∵曲线C 的极坐标方程2sin 4cos ρθθ=，即22sin 4cos ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）直线l的参数方程为115x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程24y x =，可得2141⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2150t --=，∵12150t t ⋅=-<，∴点P 在AB 之间，∴12||||||PA PB t t +=+=22.（1）∵2cos cos cos a A b C c B =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=，∴3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理得24161cos 42AC A AC +-==，解得1AC =1AC = ∵BD 是ABC ∠的角平分线， ∴12AD AB CD BC ==，∴13AD AC ==23.（1）当t e =-时，()x f x e ex =-，'()xf x e e =-由'()0x f x e e =->，解得1x >；由'()0xf x e e =-<解得，1x <.∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞. （2）依题意：对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即0xe tx +>恒成立，即xe t e>-在(0,2]x ∈上恒成立，令()xe g x x =-，所以2(1)'()xx e g x x -=.当01x <<时，'()0g x >；当12x <<时，'()0g x <. ∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减.所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)g e =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值. ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞.所以对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立的实数t 的取值范围是(,)e -+∞. 24.（1）由题意知，当30100x <<时，1800()29040f x x x=+->，即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，∴(45,100)x ∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当030x <≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时，2180013()(290)%40(1%)585010x g x x x x x x =+-⋅+-=-+；∴240(030)10()1358(30100)5010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.25.（1）函数()f x 的定义域为R ，2222(1)(1)(1)'()(1)(1)a x a x x f x x x --+==++. 当0a >时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当0a <时，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：综上所述，当0a >时，()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-. （2）由（1）可知，当当0a >时，()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在(1,]e 上单调递减， 又(0)f a =，2()1aef e a a e =+>+， 所以min ()f x a =，同样地，当0a >时，若a e <，()g x 在(0,)a 上单调递增，()g x 在(,]a e 上单调递减，所以min ()()ln g x g a a a a ==-，因为(ln )(2ln )(2ln )0a a a a a a a e a --=->-=>， 同理，当a e >或a e =时，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有max min ()()()g x g a a e a f x ==-<=.综上所述，对于任意1x ，2(0,]x e ∈，总有12()()f x f x <成立.。
人教版各省市-湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(解析版)
2，
∴
������
=
1
2，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得
出．
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
9. 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������2 + ������������的形式命题，逆否命
>
0，
∴ ������在第二象限，
故选：B． 将复数的分子分母同乘以1 ‒ 2������，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方
⃗ ⊥ ⃗ ⃗,⃗ ③已知������ ������，则������ ������与任何向量不构成空间的一个基底；
{⃗,⃗,⃗}
⃗,⃗
⃗ =⃗+⃗
④已知 ������ ������ ������ 是空间的一个基底，则基向量������ ������可以与向量������ ������ ������构成空间另一个基底．
7. 给出下列命题： ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ ⋅ (⃗ + ⃗) + ⃗ (⃗ ‒ ⃗) = ⃗ ⋅ ⃗
①已知������ ������，则������ ������ ������ ������ ⋅ ������ ������ ������ ������；
⃗, ⃗ ,⃗ ②������、B、M、N 为空间四点，若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则 A、B、M、N 共面；
(解析版)湖南省长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第
湖南省长郡中学2017—2018学年高二12月月考数学试题（理科）1. 复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】=-2-i,则=-2+i对应的点为在第二象限故选B2. 角的终边在第一象限，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故选D3. 在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】C故答案选C。
4. 已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】则=，=由与互相垂直得解得故选D5. 2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】4名女生站成一排有种排法，2个男生既不相邻也不排在两端，采用插空法，放在4名女生的3个空中（不含两端）有种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有种，选A.6. 已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设向量和的夹角是，则由空间向量的数量积公式和題意得,所以以和为邻边的平行四边形的面积为，故选B．考点：1、空间向量的数量积公式；2、三角形面积公式．7. 已知点是抛物线的焦点，是抛物线上两点，，则中点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=-1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段MN的中点横坐标为2，故选B8. 如图所示，在正方体中，，直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接BD交AC于O，连接OB1，过O作OM⊥BC于M，连接B1M，B1A，B1C．∵B1A=B1C，O是AC的中点，∴OB1⊥AC，∵B1E平行OB，∴四边形ODEB1是平行四边形，∴OB1∥DE，∴DE⊥AC，∴直线AC与直线DE所成的角为α=90°，∵OM⊥BC，OM⊥BB1，∴OM⊥平面BCC1B1，∴∠OB1M为直线DE与平面BCC1B1所成的角β，∴cos（α-β）=sinβ=，∵正方体的棱长AB=2，∴OM=1，OB=BD=∴OB1=∴sinβ=点睛：本题考查了空间角的计算,通过证明线线垂直找到异面直线所成的角为，通过证明线面垂直找到线与面所成的角是关键.9. 由不等式组，确定的平面区域为，由不等式组确定的平面区域为，在内随机的取一点，则点落在区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：区域为曲边图形，区域为矩形，根据几何概型的定义，，故应选.考点：1、几何概型；2、平面区域；视频10. 设曲线为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以直线的斜率分别为，则由题设可得，即，又因为对任意，都有，故存在使得，即存在使得，故，即，应选答案D 。