求椭圆离心率范围的常见题型与解析

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求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围,建立不等关系

例1已知椭圆22 2

2

1(0)

x y

a b

a b

+=>>右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围.

例2已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点分别为

12

(,0),(,0)

F c F c

-,若椭圆上存

在一点P使

1221

sin sin

a c

PF F PF F

=,则该椭圆的离心率的取值范围为()

21,1

-.

二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足

的点P 总在椭圆内部,则椭圆离心

率的取值范围是( )

A.(0,1) B.1(0,]2

C.(0,2

D.2

三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系

例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 短轴的一个端点,另两个顶点也在

椭圆上,若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.

四、利用函数的值域,建立不等关系

例5椭圆122

22

=+

b

y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点,且0=⋅OB OA (O

为原点),若椭圆长轴长的取值范围为

[]6,5,求椭圆离心率的范围.

五、利用均值不等式,建立不等关系.

例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°.求椭圆离心率的范围;

解 设椭圆方程为x 2

a 2+y

2

b 2=1 (a>b>0),|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m +n =2a.

在△PF 1F 2中,由余弦定理可知, 4c 2

=m 2

+n 2

-2mncos 60°=(m +n)2

-3mn =4a 2

-3mn≥4a 2

-3·⎝⎛

⎫m +n 22

=4a 2-3a 2=a 2

(当且仅当m =n 时取等号).∴c 2

a 2≥14,即e≥1

2

.

又0

⎫1

2,1.

例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点,椭圆上一点P 使

︒=∠9021PF F ,求椭圆离心率e 的取值范围.

解析1:令

n PF m pF ==21,,则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥

2

2

2

4c n m

=+∴ ()2

2

222

22

4a n

m n m c

=+≥

+=∴ 即21

222

≥=a

c e

又12

2

10<≤∴

<

解析2:不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2

1

b b S PF

F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=

∆22

1

21 b ⇒≤c 2

b ⇒≤2

c 2

2

c a -⇒≤2

c 22

2

a

c e =⇒≥21

2

2

≤e <1 七、利用实数性质,建立不等关系

解析3:设

()y x P ,,由21PF PF ⊥得

1-=-⋅+c

x y c x y ,即222x c y -=,代入12

222=+b

y a x 得()22222

c b c a x -= ,2220b c x ≥∴≥ 即222

c a c

-≥,2

2

≥=

∴a c e 又1

解析4:21

PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上,

2

2

2

c y x P =+∴为圆 与 122

22=+b

y a x 的公共点.由图可知

222

a c b

a c

b <≤⇒<≤ ∴2

222a c c a <≤-12

2

<≤∴

e 说明:椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.

九、利用21PF F ∠最大位置,建立不等关系

解析4:椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大

无妨设满足条件的点P 不存在 ,则∠21PF F <0

90

2

245sin sin 001=<∠=<

∴OPF a c 又10<

2

<≤e .

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