求椭圆离心率范围的常见题型与解析

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一道椭圆离心率范围的八条求解途径

≤Ｐ＜１．
ｔ一２ｔ（。．：０的两实根．ａ＋２ａ．ｃ
・．
．
解法８由ｂｔ０２ａｎ９
，
＝ｆＩｌＩ × ×
０
Ａ＝（２）一２ａ一Ｃ）ｃ一４一ｄ４× （＝８ａ ≥０
Ｃ２
一，
＝＞ｅ２＝＝
≥～
１
＜ａ２
，
化得ｃ
—
—
。得
ｃ ≥ ｂ。：口一ｃ，
ｃ
・
．
ｄ２
．
２ｃ
ａ．
一
ｃ
口 ≤ ２ｃ＝Ｐ＝一ｑ２＝＞Ｃ
．
ａ
２
・．．
三 ≥
≥，警
又・０＜ｅ．・．・＜１．．
２
≤Ｐ．＜１
又在椭圆中，０＜Ｐ，． ≤ｅ．．＜１・．＜１途径２利用余弦定理
・
，ｌ
（２ｃｓ０＝Ｃ一，口一ｂ）ｏｂ
．
Ｂ．
ｃＳ：！ｏ２
．
：— ＿ｂ２ｃ２
—
．
／二
’
．
ａ‘一ｂ‘
．
ｃ ‘
又。 ≤ＣＳ０＜ｌＣ ≥ｂ．０Ｏｊ，即Ｃａ～ｃ。．
．．
解法１（图）在椭圆如
，
：９。．点Ｐ在以点０为圆０，・．
因Ｐ点在椭圆上，但不在ｘ轴上．＜口０≤ 。。
。 —２２ａ２２ｃ＿ａｂ
・．．
心，以ｌｆｃ＝为半径的圆上，１ｌｌｌ即ｂ，Ｏｏ。ｃＢ

求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系。

2.利用线段长度的大小建立不等关系。

F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，|PF 1|≥c －a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。

4.利用题目不等关系建立不等关系。

5. 利用判别式建立不等关系。

6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。

7.利用基本不等式，建立不等关系。

二、函数法：1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2.通过确定函数的定义域；3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（）A ．12B ．13 C．2 D．32π4.5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 6．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()0,1C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。

求解椭圆离心率的常见方法

ʏ河南省郑州市第二高级中学韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇经典题突破方法高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届希望杯高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑徐利杰)52解题篇经典题突破方法高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型及解析解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式。

一、利用曲线的范围，建立不等关系已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，右顶点为A，点P在椭圆上，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

小改写：已知F1、F2是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两个焦点，满足所有点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系已知$\triangle ABC$的顶点B为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆上，若$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

小改写：已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，短轴的一个端点为B，另两个顶点也在椭圆上，$\triangle ABC$的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0)，求椭圆离心率的范围。

四、利用函数的值域，建立不等关系椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$与直线$x+y-1=0$相交于A、B两点，且OA·OB=（O为原点），若椭圆长轴长的取值范围为$[5,6]$，求椭圆离心率的范围。

椭圆离心率经典题型

椭圆离心率经典习题一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。

在椭圆中，a c e =，22222221ab a b a ac a c e -=-===1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于22.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为22 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为21 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为12。

5.若椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 22。

6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+ny m x 的的离心率为237.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是1⎫⎪⎪⎣⎭8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 22。

9.P 是椭圆22a x +22by =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 13-10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若75,151221=∠=∠F PF F PF ，则椭圆的离心率为36 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为22 12.设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是21。

高中数学高考数学离心率题型总结

F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学高考数学离心率题型总结求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。

圆离心率。

分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。

的结论。

变式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。

，求椭圆离心率取值范围。

分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。

变式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。

内，求椭圆离心率取值范围。

分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。

的结论。

变式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。

椭圆离心率总结汇总

关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。

解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。

求椭圆离心率常用的三种方法

椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。

椭圆离心率范围的求法总结

椭圆离心率范围的求法总结
椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围在[0,1)之间。

下面是关于椭圆离心率范围的求法总结：
1. 椭圆离心率定义：椭圆的离心率e是焦点距离F与两个焦点连线的长度2a之比：e = F/2a。

其中F是焦点到椭圆中心点的距离，a是椭圆的半长轴长度。

2. 确定椭圆的半长轴a和焦点到椭圆中心点的距离F。

3. 计算离心率e = F/2a。

4. 判断离心率范围：离心率e的取值范围在[0,1)之间，即0 <=
e < 1。

总结起来，求解椭圆离心率的步骤包括确定椭圆的半长轴和焦点到椭圆中心点的距离，然后通过计算得到离心率，最后判断离心率是否满足取值范围。

专题讲座：椭圆离心率的常规求法(文)

1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于
a,c的齐次式，解出e. 2.思想方法：
方程的思想，转化的思想
六.课后练习
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.
2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2 ，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.
专题讲座
椭圆离心率的常规求法
刘帅帅
一.复习巩固
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，求椭圆的离心率；
16 8
y
P
a
F1(-c,0)o c F2(c,0)
x
1.直接算出a、c带公式求e 2. 几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
若椭圆x2 + y2 =1的离心率为1/2，求m的值.
四.高考链接
（ (a>2b0>102)新的课左标、全右国焦卷点），设P为F1直和线F2是x=椭3圆a ax上22 +一by点22 =，1
2
△ F2 P F1是底角为30°的等腰三角形，求该椭圆
的离心率。
y P
30°
2c
F1 (-c,0)o2c
F2
(c,0)
c
x
2c=3a/2
x=3a/2
五.小结
3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的离心率。
变式训练2：
椭圆
x a
2 2
+
y2 b2

椭圆离心率问题

一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c∴有③。

题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的方程式，推导离心率。

【圆锥曲线】02椭圆离心率与几何性质(含经典题型+答案)

椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-，例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-；即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的倍。

求椭圆离心率的题型

椭圆离心率的题型椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求解椭圆的离心率的三种方法：1.定义法：求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率； 2.齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； 3.特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.一、定义法，求出a ，c ，代入公式c e a=，根据离心率的定义求解离心率e 1．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解（1）通过等量关系列式得出关于,a c 的齐次方程1．若一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则该椭圆的离心率e =（）A B C ．35 D 2．椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1()0F c -，到过顶点(0)A a -，，(0)B b ，的直线的，则该椭圆的离心率e =（）A B ．12 C ．2 D 3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若椭圆上一点P 满足2PF x ⊥轴，且1PF 与圆2224c x y +=相切，则该椭圆的离心率为（）A ．3B ．12C D4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（）A ．1617BC ．45D 5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若0MN NF ⋅=，则椭圆的离心率为（）A ．2 B ．12 C ．12 D ．12（2）通过特殊三角形的边关系列式得出关于,a c 的二元齐次方程 1．设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12F F P 、，是C 上的点2121230PF F F PF F ⊥∠=︒，，则C 的离心率为（）A B ．13 C ．12 D ．32．若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（）A 1BC 1D ．23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（）A ．12 B ．2 C ．14 D4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF △为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是e =（）A B 1 C 1 D -5．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A B C D 6．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（）A B C ．2 D ．127．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左.右焦点为1 F ，2 F ，过2 F 垂直于 x 轴的直线交C 于 A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为（）A ．12B ．2C ．13D 8．在Rt ABC 中，AB AC =，如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（）A B 1 C 1 D -9．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4b OQ =，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．12D ．2310．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（）A B C ．2 D 11．设1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A B C ．13 D ．1612．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（）A ．12BC ．13D 13．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A 为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP ，则该椭圆的离心率是（）A ．3B ．3C ．2D ．2 14．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．13C ．2D ．315．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O 是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（）A ．12 B C D（3）求出某个在椭圆上的点的坐标，再把坐标代入标准方程，得出关于,a c 的齐次方程1．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（）A B ．34 C ．12 D ．142．椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN 使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．2B ．12C ．2D ．123．已知12,F F 是椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，且满足112||2||,||||AF BF AB BF ==，则该椭圆的离心率是（）A ．12B ．3C D4．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（）A 1B ．2CD ．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF FQ =，则C 的离心率为（）A B ．2 C ．5 D ．76．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（）A ．22143x y += B ．22186x y + C ．22142x y += D ．22184x y += 7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（）A B C D（4）点差法 1．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为（）A ．12 B ．13 C ．14 D ．2（5）涉及到最值1．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（）A B ．3 C ．3 D ．59 2．已知椭圆C 过点(5,0),(0,)A B b -，左､右焦点分别为1F ､2F ，中心在原点，点M 的坐标为(1,2)，P 为椭圆上一动点，若1PF PM +的最大值为10，则椭圆C 的离心率为（）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45。

椭圆离心率常见求法整理归纳

1.设行4 = 1G∕>∕7>O)的左.右焦点，若椭圆上存在点A ,使Cr IyZ斤AF2 =90」且|4可=3PlE则椭圆的离心率为____________________ .2.设椭圆C：) + * = l (a>b>0)的左、右焦点分别为斤,巧，P是C上的点,P巧丄F1F2, ZP斥竹=30。

，则椭圆C的离心率为 _____________________ .3.设斤、耳分别是椭圆C± + ∙^ = l(">b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF∣的中点在y轴上，若ZPF I F2 = 30 ,则椭圆的离心率为___________________ .7 74.已知椭圆—+ —= 1 (a>b>0)的两个焦点为F r F,,以斥只为边作正三角形，若椭Cr Zr圆恰好平分正三角形的另外两条边，且闪可=4,则"等于 ______________________ .2 25.椭圆丄τ + =τ = l(α>b>0)的左、右顶点分别是A, B,左、右焦点分别是U F=•若Cr b~I AF I 1,1 F1F21,1斤Bl成等比数列，则此椭圆的离心率为____________ .6.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF=2FD,则C的离心率为_________________ .7.设椭圆C:* +沪l(">b>0)的左右焦点为F lf F2,作竹作X轴的垂线与C交于A, B两点，F0与y轴交于点£>,若AD丄F1B,则椭圆C的离心率等于_____________________ .8.过点M(Ij)作斜率为一丄的直线与椭圆C：二+二=1(。

>〃>0)相交于43,若M2 Cr Zr是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 _______ ・9.椭圆c： 4+4=Cr Iy= ∖(a>b>0)左右焦F1,F2,若椭圆C上恰有4个不同的点P,使得ΔPF I F2为等腰三角形，则C的离心率的取值范用是______________510. 设椭圆C ：4 + ^T = l(«>^>0)的两个焦点分别为F C F 2,过片且斜率为2的直线交椭圆C 于P 、0两点，若厶PF x F 2为直角三角形，则椭圆C 的离心率为 _____________ .11. 直线y = Ox 与椭圆二+ = = l(α>b>O)相交于A 、3两点，过点A 作X 轴的垂线,2 6Γ Ir垂足恰好是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率是 ______________ .12. 设椭圆(7:卡+ 沪1(。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。

而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。

一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。

我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。

解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。

得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。

解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。

/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。

二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。

已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。

解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。

而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。

2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。

已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。

解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。

椭圆离心率值和范围类型

圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型一．选择题〔共40 小题〕1．假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．1、F2 是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心2． F率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕3．椭圆 C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．4．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．5．椭圆C：=1〔 a＞b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于 A ， B 两点，连接 AF ， BF，假设 | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ ABF=，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．6．设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C 上的点 PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．〔﹣ c，0〕，F〔 c，0〕为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且，7． F12那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 1 页〔共 36 页〕8． O 为坐标原点，F 是椭圆 C：+=1 〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E．假设直线 BM 经过 OE 的中点，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．9．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．10．椭圆 C1：2C2：2+y =1〔 m＞ 1〕与双曲线﹣ y =1〔 n＞ 0〕的焦点重合， e1，e2分别为 C1， C2的离心率，那么〔〕1 2＞1 B ． m＞n 且 e1 2＜ 1C． m＜ n 且 e1 2＞ 1 D ．m＜n 且 e1 2＜ 1A ． m＞ n 且 e e e e e 11．椭圆+=1 〔a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣ 2 D．﹣12． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 213．椭圆的两顶点为 A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕，且左焦点为F，△ FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．14．椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为 G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆C 的离心率 e=〔〕A ．B．C．D．第 2 页〔共 36 页〕15．椭圆〔 a ＞ b ＞ 0〕的半焦距为c 〔c ＞ 0〕，左焦点为 F ，右顶点为A ，抛物线与椭圆交于 B 、 C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．16．实数 4， m ， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心率为〔〕+y =1 A ．B ．C ．或D ．或 717．椭圆〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线〔m ＞0， n ＞ 0〕有相同的焦点〔﹣ c ， 0〕和〔 c ， 0〕，假设 c 是 a 、 m 的等比中项， n 2 是 2m 2 与 c 2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．18．设 F 1、F 2 是椭圆 E ： + =1〔 a ＞b ＞ 0〕的左、右焦点， P 为直线 x=上一点，△F 2PF 1 是底角为 30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．19．点 F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A 、 B 两点，假设△ ABF 2 是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．〔 0，﹣ 1〕 B ．〔﹣ 1， 1〕 C ．〔 0， ﹣ 1〕 D ．〔 ﹣ l ， 1〕20．椭圆 C ：的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ， BF ，假设 | AB | =10 ， | AF | =6 ，，那么 C 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．21．椭圆 + =1 〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2 与椭圆的另一个交点为 C ，假设△ ABF 2 的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔〕第 3 页〔共 36 页〕A ．B ．C ．D ．222．抛物线 y =4x 的准线过椭圆=1〔 a ＞ b ＞0〕的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点， O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．23．在区间 [ 1， 5] 和[ 2， 4] 分别取一个数，记为 a ， b ，那么方程表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为〔〕A ．B ．C ．D ．24．从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP 〔 O 是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．25．椭圆 C 的两个焦点分别是 F 1，F 2，假设 C 上的点 P 满足，那么椭圆C的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．或26．在 Rt △ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、 B 两点，它的一个焦点为 C ，另一个焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔〕 A ．B ．C ．D ．27．直线 l ：y=kx +2〔 k 为常数〕过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．2222 2〔 0＜ r ＜ 2〕，动圆 M 与圆 O 1、圆 28．圆 O 1：〔x ﹣ 2〕 +y =16和圆 O 2：x +y =r 相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e 、e 〔 e ＞ e 〕，那么1 21 2的最小值是〔〕O 2 都e 1+2e 2第 4 页〔共 36 页〕A ．B ．C． D ．29．椭圆+=1〔a＞ b＞ 0〕上一点 A 关于原点的对称点为 B ，F 为其右焦点，假设AF ⊥BF ，设∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，那么该椭圆离心率的取值范围为〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]30． F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ． 3B．C． 2 D ．31．椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e 的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．32．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、 F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△ PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕A ．〔 1， +∞〕B．〔， +∞〕C．〔， +∞〕D．〔，+∞〕33．椭圆+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．34．在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0， 3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．35．椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [， 1〕第 5 页〔共 36 页〕36．椭圆的左焦点 F 1， O 为坐标原点，点 P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔〕 A ．B ．C ．D ．1、 F 2 是椭圆 C 1：+y 2 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 2 在第37．如图 F=1 与双曲线 C二、四象限的公共点，假设四边形AF 1BF 2 为矩形，那么 C 2 的离心率是〔〕A ．B ．C ．D ．38．设 A 1，A 2 分别为椭圆=1〔 a ＞ b ＞ 0〕的左、右顶点，假设在椭圆上存在点 P ，使得＞﹣ ，那么该椭圆的离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，〕B ．〔0，〕C ．D ．39． A 、B 是椭圆长轴的两个端点， M ，N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM ，BN 的斜率分别为 k 1， k 2，且 k 1k 2≠ 0．假设 | k 1|+| k 2| 的最小值为 1，那么椭圆的离心率〔〕 A ．B ．C ．D ．40．设 F 1， F 2 分别为椭圆 C 1： + =1〔 a ＞ b ＞ 0〕与双曲线 C 2： ﹣ =1〔 a 1＞b 1＞0〕的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠ F 1MF 2 =90°，假设椭圆的离心率 e ∈[ ，] ，那么双曲线 C 2 的离心率 e 1 的取值范围为〔〕A ． [ ，] B ． [，〕C ． [，] D ． [，+∞〕第 6 页〔共 36 页〕第 7 页〔共 36 页〕圆锥曲线 5 椭圆离心率值和范围类型参考答案与试题解析一．选择题〔共40 小题〕1．〔 2021?广东〕假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为 2c，由题意可知： a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为 2a，短轴为2b，焦距为2c，那么 2a+2c=2 ×2b，2222222即 a+c=2b? 〔a+c〕=4b =4〔 a﹣ c 〕，所以 3a ﹣ 5c=2ac，同除 a ，整理得5e 2+2e﹣ 3=0 ，∴或 e=﹣ 1〔舍去〕，应选 B ．2．〔 2021?江西〕 F1、F2是椭圆的两个焦点，满足?=0 的点 M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0， 1〕B ．〔0， ]C．〔 0，〕D． [， 1〕【分析】由?=0 知 M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．又 M 点2222．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．总在椭圆内部，∴ c＜b， c＜ b =a﹣c【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a， b， c，∵?=0，∴M 点的轨迹是以原点又M 点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即O 为圆心，半焦距 c 为半径的圆．2 2 22c＜ b，c ＜ b =a ﹣ c ．2，∴ 0＜ e＜．∴e =＜应选： C．3．〔 2021?潍坊模拟〕椭圆C：+ =1〔 a＞ b＞ 0〕的左右焦点为F1， F2，假设椭圆C上恰好有 6 个不同的点，使得△ F1F2P 为等腰三角形，那么椭圆 C 的离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．第 8 页〔共 36 页〕【分析】分等腰三角形△F1F2P 以 F1 F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．【解答】解：①当点 P 与短轴的顶点重合时，△F1F2P 构成以 F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△ F1F2P；②当△ F1F2P 构成以 F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P，在△ F1 2 1中， F1 2+PF1＞PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，F P F由此得知 3c＞ a．所以离心率 e＞．当 e= 时，△ F1F2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故 e≠同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在 e且 e≠时也存在 2 个满足条件的等腰△ F1F2P 这样，总共有 6 个不同的点 P 使得△ F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈〔，〕∪〔， 1〕4．〔 2021?淮南一模〕设椭圆C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点， PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设 | PF2| =x ，∵P F2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c=x，∴C 的离心率为： e==．应选 A ．5．〔 2021?南阳校级三模〕椭圆C：=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点为F， C 与过原点的直线相交于A ， B 两点，连接 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| BF| =8，cos∠ABF=，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由条件，利用余弦定理求出| AF| ，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF′， AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如下图，在△ AFB 中， | AB | =10 ，| BF| =8， cos∠ABF= ，由余弦定理得222﹣ 2| AB || BF| cos∠ ABF| AF| =| AB |+| BF|=100+64﹣ 2× 10× 8×=36，∴| AF| =6，∠ BFA=90 °，设 F′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．∴| BF′|=6， | FF′|=10 ．∴2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴e= = ．应选 B ．6．〔 2021?新课标Ⅱ〕设椭圆 C：=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是C 上的点 PF2⊥ F1F2，∠ PF1F2=30 °，那么 C 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设| PF2| =x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得 | PF1 | 与 | F1F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解： | PF2 | =x ，∵ PF2⊥ F1 F2，∠ PF1 F2=30°，∴| PF1| =2x， | F1 F2| =x，又| PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴2a=3x ， 2c= x，∴C 的离心率为： e==．应选 D ．7．〔 2021?长沙模拟〕F1〔﹣ c， 0〕， F2〔c， 0〕为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，那么此椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．B．C． D ．【分析】设 P〔 m，n 〕，由得到 n 2=2c2﹣m2① ．把 P〔 m，n 〕代入椭圆得到2222222222b m +a n =a b②，把①代入②得到 m的解析式，由 m ≥0及 m≤ a 求得的范围．【解答】解：设 P〔 m，n 〕，=〔﹣ c﹣ m，﹣n〕?〔c﹣ m，﹣ n〕=m 2﹣ c2+n2，222222① ．∴m +n=2c， n=2c﹣ m把 P〔 m， n 〕代入椭圆222222得 b m +a n =a b② ，22222把① 代入②得 m =≥ 0，∴ a b ≤ 2a c ，2≤ 2c 2222b， a﹣c ≤ 2c，∴ ≥．2222﹣ 2c 2又 m ≤ a ，∴≤ a ，∴≤ 0，故 a≥ 0，∴≤．综上，≤≤，应选： C．8．〔 2021 春 ?德宏州校级期末〕O 为坐标原点， F 是椭圆 C：+=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点， A ，B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且PF⊥ x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点E．假设直线BM 经过 OE 的中点，那么C的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题意可得F， A ， B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k 〔 x+a〕，分别令x= ﹣ c，x=0，可得 M ，E 的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F〔﹣ c， 0〕，A 〔﹣ a， 0〕，B 〔 a，0〕，令 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=± b=±，可得 P〔﹣ c，±〕，设直线 AE 的方程为y=k〔 x+a〕，令 x= ﹣ c，可得 M 〔﹣ c， k〔 a﹣ c〕〕，令 x=0，可得 E〔 0， ka〕，设 OE 的中点为 H ，可得 H〔 0，〕，由 B ，H， M 三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得 e= =．应选： A ．9．〔 2021?江西模拟〕斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，那么该椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘222a b ，求得关于的方程求得e．【解答】解：两个交点横坐标是﹣c， c所以两个交点分别为〔﹣c，﹣c〕〔 c，c〕代入椭圆=1两边乘 2 22a b2 222 2那么 c 〔 2b +a 〕=2a b2 2 2∵b =a ﹣ c 22 2 2 2c 〔3a ﹣ 2c 〕 =2a^4﹣ 2a c2 22a^4﹣ 5a c +2c^4=0（ 2a 2﹣ c 2〕〔 a 2﹣2c 2〕=0 =2，或∵ 0＜ e ＜ 1所以 e= =应选 A10．〔 2021?浙江〕椭圆 C 1： 2〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2： 2〔 n ＞0〕的焦+y =1 ﹣ y =1点重合， e 1， e 2 分别为 C 1， C 2 的离心率，那么〔〕 A ． m ＞ n 且 e 1e 2＞ 1 B ． m ＞n 且 e 1e 2＜ 1C ． m ＜ n 且 e 1e 2＞ 1 【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，2 2 2+1，即得到 c =m ﹣ 1=n 能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．D ．m ＜n 且 e 1e 2＜ 1m 2﹣ n 2=2，进行判断，【解答】解：∵椭圆 C 1 ：2 2+y=1〔 m ＞ 1〕与双曲线 C 2：﹣ y =1〔 n ＞ 0〕的焦点重合，2 22∴满足 c =m ﹣ 1=n +1，22﹣n22即 m =2＞ 0，∴ m ＞ n ，那么 m ＞ n ，排除 C ， D2 222 22那么 c =m ﹣ 1＜ m ， c =n +1＞ n ，那么 c ＜ m ． c ＞ n ， e =， e = ，12那么 e 1?e 2=?= ，22 2= = =1 +那么〔 e 1?e 2〕=〔〕 ?〔〕 = =1+=1 +＞ 1，第 13 页〔共 36 页〕11．〔2021?郑州一模〕椭圆+=1 〔 a＞b＞ 0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么离心率为〔〕A ．B． 2﹣C．﹣2D．﹣【分析】设| F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF1| =m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得 a， c 的方程，求得，开方得答案．【解答】解：如图，设 | F1F2| =2c， | AF 1| =m ，假设△ ABF 1构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，那么| AB | =| AF 1| =m， | BF 1| =m，由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为 4a，即有 4a=2m+m，即 m=2〔 2﹣〕a，那么| AF 2| =2a﹣ m= 〔 2﹣2〕a，在直角三角形AF 1F2中，2| F1F2| =| AF 1|2即 4c =4〔 2﹣2∴c =〔 9﹣ 62+| AF 2|2，2 2+4〔22，〕 a﹣ 1〕 a2〕 a ，那么 e 2==9﹣ 6=，∴e=．应选： D．12．〔 2021?湖北〕 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕A ．B ．C． 3D． 2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos，①4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即，③联立②③ 得，=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔〕≥〔1×+〕2，即〔〕=即， d 当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2，〔 a1＞ a2〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，∴由余弦定理可得222﹣ 2r1r2cos22﹣ r1r2，4c =〔 r1〕 +〔 r2〕=〔 r1〕 +〔 r2〕由，得，∴=，令 m===，当时， m，∴，即的最大值为，法 3：设 PF1| =m ， | PF2| =n，那么，则a1+a2=m ，那么=，由正弦定理得=，即=sin〔 120°﹣θ〕≤=应选： A13．〔 2021?江西二模〕椭圆的两顶点为A 〔 a，0〕， B〔 0，b〕，且左焦点为 F，△ FAB 是以角B 为直角的直角三角形，那么椭圆的离心率 e 为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】先求出 F 的坐标求出直线AB 和 BF 的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得 a 和 c 的关系式，进而求得e．【解答】解：依题意可知点F〔﹣ c， 0〕直线 AB 斜率为=，直线 BF 的斜率为=∵∠ FBA=90 °，∴〔〕 ?=﹣=﹣ 1整理得 c 2+ac﹣a2=0，即〔〕2+﹣ 1=0，即 e2+e﹣ 1=0解得 e=或﹣∵0＜ e＜ 1∴e=，应选 C．14．〔 2021?绥化一模〕椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心 I，且有〔其中λ为实数〕，椭圆 C 的离心率e=〔〕A ．B．C．D．【分析】在焦点△ F1PF2中，设 P〔 x0，y0〕，由三角形重心坐标公式，可得重心 G 的纵坐标，因为，故内心 I 的纵坐标与 G 相同，最后利用三角形F1PF2的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、 b、 c 的等式，即可解得离心率【解答】解：设 P〔x0， y0〕，∵ G 为△ F1PF2的重心，∴G 点坐标为G〔，〕，∵，∴ IG ∥x 轴，∴I 的纵坐标为，在焦点△ F1PF2中， | PF1|+| PF2| =2a，| F1F2| =2c∴=?| F1F2| ?| y0 |又∵ I 为△ F1PF2的内心，∴ I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△ F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||∴?| F1 F2| ?| y0 | =〔| PF1|+| F1F2|+| PF2|〕||即× 2c?| y0| =〔2a+2c〕|| ，∴2c=a，∴椭圆 C 的离心率e= =应选 A15．〔 2021?洛阳四模〕椭圆〔a＞b＞0〕的半焦距为c〔c＞ 0〕，左焦点为F，右顶点为 A ，抛物线与椭圆交于 B 、C 两点，假设四边形ABFC 是菱形，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆方程求出 F 和 A 的坐标，由对称性设出 B 、C 的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出 B 的纵坐标，将点 B 的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率 e 的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆〔a＞b＞0，c为半焦距〕的左焦点为F，右顶点为 A ，那么 A 〔 a， 0〕， F〔﹣ c， 0〕，2∵抛物线 y =〔a+c〕x于椭圆交于B，C两点，∴B 、 C 两点关于 x 轴对称，可设 B 〔 m， n〕， C〔 m，﹣ n〕∵四边形 ABFC 是菱形，∴ BC ⊥ AF ， 2m=a﹣ c，那么m=〔 a﹣c〕，将 B 〔 m， n〕代入抛物线方程得，2〔 a+c〕〔a﹣ c〕 =22n =〔a+c〕m=〔 a ﹣ c 〕，22〔 a﹣c〕，b〕，再代入椭圆方程得，+∴n = b ，那么不妨设 B〔=1，化简得=，由e=，即有4e 2﹣8e+3=0，解得e=或〔舍去〕．应选 D ．16．〔 2021?郑州三模〕实数4， m， 9 构成一个等比数列，那么圆锥曲线2的离心+y =1率为〔〕A ．B．C．或D．或 7【分析】由实数 4， m， 9 构成一个等比数列，得 m= ±=± 6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4， m， 9 构成一个等比数列，∴m= ±=± 6，当 m=6 时，圆锥曲线为，a=， c=，其离心率e=；当 m=﹣ 6 时，圆锥曲线为﹣，a=1， c=，其离心率e==．应选 C．17．〔 2021?焦作一模〕椭圆〔 a＞ b＞ 0〕与双曲线〔 m＞0， n＞0〕有相同的焦点〔﹣c， 0〕和〔 c，0〕，假设 c 是 a、m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，那么椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】根据是 a、 m 的等比中项可得2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得2 c a ﹣22222是2m 22222a 和 cb =m+n=c ，根据 n与 c的等差中项可得 2n =2m+c ，联立方程即可求得的关系，进而求得离心率e．【解答】解：由题意：∴，∴22，∴ a =4c，∴．应选 D ．18．〔 2021?新课标〕设 F1、 F2是椭圆 E：+=1 〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，那么 E 的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】利用△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得 | PF2| =| F2F1| ，根据 P 为直线 x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴| PF2| =| F2F1|∵P 为直线 x=上一点∴∴应选 C．19．〔 2021 春?绵阳校级月考〕点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过 F1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 A 、B 两点，假设△ ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．〔 0，﹣1〕B．〔﹣1，1〕C．〔0，﹣1〕D．〔﹣l，1〕【分析】由题设知F1〔﹣ c， 0〕，F2〔c， 0〕， A 〔﹣ c，〕，B〔﹣c，﹣〕，由△ ABF2是锐角三角形，知 tan∠AF 2F1＜ 1，所以，由此能求出椭圆的离心率 e 的取值范围．【解答】解：∵点 F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，过 F 1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，∴F 1〔﹣ c ，0〕， F 2 〔c ， 0〕，A 〔﹣ c ，〕， B 〔﹣ c ，﹣ 〕，∵△ ABF 2 是锐角三角形，∴∠ AF 2F 1＜ 45°，∴ tan ∠AF 2F 1＜ 1，∴，整理，得 b 2＜2ac ，∴ a 2﹣ c 2＜ 2ac ，两边同时除以 a 2，并整理，得 e 2 +2e ﹣ 1＞ 0，解得 e ＞，或 e ＜﹣，〔舍〕，∴0＜ e ＜ 1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围是〔〕．应选 B ．20．〔 2021?辽宁〕椭圆 C ：的左焦点 F ，C 与过原点的直线相交于 A ，B 两点，连结 AF ，BF ，假设 | AB | =10 ，| AF | =6 ，，那么 C 的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．【分析】在△ AFB 中，由余弦定理可得 22+| BF| 2| AF | =| AB | ﹣ 2| AB || BF | cos ∠ABF ，即可得到 | BF| ，设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形．即可得到 a ，c ，进而取得离心率．【解答】解：如下图，在△ AFB 中，由余弦定理可得 | AF |2=| AB |2+| BF| 2﹣ 2| AB || BF| cos ∠ABF ，∴，化为〔 | BF| ﹣ 8〕2=0，解得 | BF| =8．设 F ′为椭圆的右焦点，连接 BF ′，AF ′．根据对称性可得四边形 AFBF ′是矩形．∴ | BF ′|=6， | FF ′|=10 ．∴ 2a=8+6， 2c=10，解得 a=7， c=5．∴．应选 B ．21．〔 2021?浦城县模拟〕椭圆+=1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别为F1， F2，过F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，直线 AF 2与椭圆的另一个交点为C，假设△ ABF 2的面积是△ BCF 2的面积的 2 倍，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c， 0〕， F2〔 c， 0〕，设 x= ﹣ c，代入椭圆方程，求得 A 的坐标，设出 C〔 x，y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1〔﹣ c，0〕， F2〔 c， 0〕，由 x= ﹣ c，代入椭圆方程可得y=±，可设 A 〔﹣ c，〕， C〔x， y〕，由△ ABF 2的面积是△ BCF2的面积的 2 倍，可得=2，即有〔 2c，﹣〕 =2〔x﹣ c， y〕，即 2c=2x ﹣ 2c，﹣=2y，可得 x=2c ， y= ﹣，代入椭圆方程可得，+=1 ，由 e=222，， b =a﹣ c22即有 4e + ﹣ e =1，解得 e=．应选： A ．22．〔 2021?南充一模〕抛物线2=1〔 a＞ b＞ 0〕的左焦点，y =4x 的准线过椭圆且准线与椭圆交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C．D．【分析】由题设条件，利用椭圆和抛物线的性质推导出c=1，，由此能求出椭圆的离心率．2【解答】解：∵抛物线y =4x 的准线方程为 x= ﹣ 1，抛物线 y 2=4x 的准线过椭圆的左焦点且与椭圆交于 A 、B 两点，∴椭圆的左焦点 F〔﹣ 1， 0〕，∴ c=1，∵O 为坐标原点，△ AOB 的面积为，∴，∴，整理，得2a 2﹣ 3a﹣ 2=0 ，解得 a=2，或〔舍〕，∴．应选： B．23．〔 2021?河南模拟〕在区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别取一个数，记为a，b，那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为〔〕A ．B．C．D．【分析】表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆时，〔a，b〕点对应的平面图形的面积大小和区间 [ 1，5] 和 [ 2，4] 分别各取一个数〔 a，b〕点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，∴a＞ b＞ 0， a＜ 2b它对应的平面区域如图中阴影局部所示：那么方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，应选 B ．24．〔 2021?四川〕从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 AB ∥ OP〔O 是坐标原点〕，那么该椭圆的离心率是〔〕A ．B．C．D．【分析】依题意，可求得点P 的坐标 P〔﹣ c，〕，由 AB ∥OP? k AB =k OP? b=c，从而可得答案．【解答】解：依题意，设P〔﹣ c， y0〕〔 y0＞ 0〕，那么+=1，∴y0=，∴P〔﹣ c，〕，又A 〔 a， 0〕， B〔 0， b〕， AB ∥ OP，∴k AB =k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为2== ，e，那么 e = =∴椭圆的离心率e=．应选 C．25．〔 2021?新余二模〕椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，假设 C 上的点 P 满足，那么椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C．D．或【分析】利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C 的离心率 e 的计算公式即可得出【解答】解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ | PF1 | ==3c，由椭圆的定义可得 | PF1|+|PF2| =2a，∴ | PF2| =2a﹣ 3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+〔 2a﹣3c〕≥ 3c，3c+2c≥ 2a﹣ 3c，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．26．〔2021?宁夏校级二模〕在Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，假设一个椭圆通过 A 、B 两点，它的一个焦点为 C，另一个焦点 F 在 AB 上，那么这个椭圆的离心率为〔〕A ．B ．C．D．【分析】设椭圆的另一焦点为C′，依题意可求得 a，进一步可求得 AC ′，在直角三角形 ACC ′中，可求得 CC′，即 2c，从而可求得这个椭圆的离心率．【解答】解：∵在 Rt△ ABC 中， AB=AC=1 ，∴ABC 是个等腰直角三角形，∴BC=；设另一焦点为C′由椭圆定义， BC ′+BC=2a ， AC ′+AC=2a ，设BC ′=m ，那么 AC ′=1﹣ m，则+m=2a， 1+〔 1﹣ m〕 =2a两式相加得： a=；∴AC ′=2a﹣AC=1 +﹣1=2直角三角形ACC ′中，由勾股定理：〔 2c〕 =1 + =∴c=．∴e= == = ﹣ ．应选 A ．27．〔 2021?商丘三模〕直线 l ： y=kx +2〔k 为常数〕过椭圆 =1〔 a ＞ b ＞ 0〕的上顶点 B 和左焦点 F ，且被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 L ，假设 L ≥，那么椭圆离心率 e 的取值范围是〔〕A ．B ．C ．D ．【分析】由垂径定理，结合算出直线222，l 到圆 x +y =4 的圆心的距离 d 满足 d ≤结合点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，算出 k2．由直线 l 经过椭圆的上顶点 B2，利用离心率的公式建立e 关于 k 的关系式，和左焦点 F ，可得 c=﹣ ，从而得到 a =4 +即可求出椭圆离心率e 的取值范围．22l ： y=kx +2 的距离为 d=【解答】解：圆 x +y =4 的圆心到直线2 2L ，∵直线 l ： y=kx +2 被圆 x +y =4 截得的弦长为∴由垂径定理，得2，即，解之得 d 2≤∴≤，解之得 k2∵直线 l 经过椭圆的上顶点 B 和左焦点 F ，∴b=2 且 c==﹣，即 a 2 =4+因此，椭圆的离心率2=e 满足 e ==∵k2，∴ 0＜ ≤ ，可得 e ∈〔 0， ]应选： B28．〔 2021?江西校二模〕O1：〔 x 2〕22222+y =16 和 O2： x +y=r 〔0＜ r＜ 2〕，M 与 O1、 O2都相切，心M 的迹两个，两个的离心率分e1、 e2〔 e1＞ e2〕， e1+2e2的最小是〔〕A ．B ．C． D ．【分析】分求出 e1、e2〔 e1＞ e2〕，利用根本不等式求出e1+2e2的最小．【解答】解：① 当 M 与 O1、O2都相内切， | MO 2|+| MO 1 | =4 r=2a，∴e1 =．②当 M 与 O1相内切而与 O2相外切， | MO 1|+| MO 2| =4+r=2a′，∴ e2=∴e1+2e2=+=，令 12 r=t〔 10＜ t＜ 12〕， e1+2e2=2×≥ 2×==故： A ．29．〔 2021?南充三模〕+=1〔 a＞b＞ 0〕上一点 A 关于原点的称点B， F其右焦点，假设 AF ⊥ BF ，∠ ABF=a ，且 a∈ [，] ，离心率的取范〔〕A ． [，1] B．[，] C． [，1〕D．[，]【分析】左焦点F′，根据定：| AF|+| AF ′|=2a，根据 B 和 A 关于原点称可知| BF| =| AF ′|，推知 | AF |+| BF| =2a，又根据O 是 Rt△ABF 的斜中点可知| AB | =2c，在 Rt △ABF 中用α和 c 分表示出 | AF| 和 | BF| 代入 | AF |+| BF | =2a 中即可表示出即离心率e，而根据α的范确定 e 的范．【解答】解：∵ B 和 A 关于原点称∴B 也在上左焦点F′根据定：| AF|+| AF ′|=2a又∵ | BF| =| AF ′|∴ | AF |+| BF| =2a⋯①O 是 Rt△ABF 的斜中点，∴| AB | =2c又| AF| =2csinα⋯②| BF| =2ccosα⋯③②③代入① 2csinα+2ccosα=2a∴=即 e==∵a∈ [，] ，∴≤ α+π/4≤∴≤ sin〔α+〕≤ 1∴≤ e≤应选 B30．〔 2021?济南模拟〕F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠ F1 2，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔〕PF =A ． 3B．C． 2 D ．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，〔 a＞ a1〕，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设| PF1| =r1， | PF2| =r2， | F1F2| =2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1， e2∵∠ F1PF2=，222﹣ 2r1r2cos，①∴由余弦定理可得 4c =〔 r1〕 +〔 r2〕在椭圆中，①化简为即 4c 22=4a﹣ 3r1r2，即=﹣ 1，②在双曲线中，① 化简为即4c 22=4a1 +r1r2，即=1﹣，③联立②③ 得，+=4 ，由柯西不等式得〔1+〕〔+〕≥〔1×+×〕2，即〔+〕2≤× 4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．应选 B ．31．〔2021?湖北校级模拟〕椭圆〔a＞b＞0〕上一点A关于原点的对称点为点 B ， F 为其右焦点，假设AF ⊥ BF ，设∠ ABF= α，且，那么该椭圆离心率e的取值范围为〔〕A ．B ．C． D ．【分析】首先利用条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF ，再根据椭圆的定义：| AF |+| AN | =2a，由离心率公式e==由的范围，进一步求出结论．【解答】解：椭圆〔a＞b＞0〕上一点 A 关于原点的对称点为点B， F 为其右焦点，设左焦点为：N那么：连接 AF ， AN ， AF ， BF所以：四边形AFNB 为长方形．根据椭圆的定义：| AF|+| AN | =2a∠A BF= α，那么：∠ ANF=α．所以： 2a=2ccosα+2csinα利用 e==所以：那么：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A32．〔 2021?张掖校级模拟〕中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为设| PF1| =10 ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2，那么 e1?e2+1 的取值范围为〔〕第 29 页〔共 36 页〕A ．〔 1， +∞〕B．〔，+∞〕C．〔，+∞〕D．〔，+∞〕【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m ， | PF2| =n，〔m＞n〕，由条件可得m=10 ，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c， a2=5 ﹣ c，〔c＜ 5〕，运用三角形的三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c， | PF1| =m， | PF2| =n ，〔 m＞ n〕，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．假设| PF1| =10，即有 m=10 ， n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣ n=2a2，即有 a1=5+c，a2=5﹣ c，〔 c＜ 5〕，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c=4c＞ 10，那么c＞，即有＜ c＜ 5．由离心率公式可得e1?e2===，由于 1＜＜4，那么有＞．那么 e1?e2+1．∴e1?e2+1 的取值范围为〔， +∞〕．应选： B．33．〔 2021?朝阳二模〕椭圆+ =1〔 a＞ b＞0〕的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为M ，假设 MF 1垂直于 x 轴，那么椭圆的离心率为〔〕A ．B． 2﹣C． 2〔 2﹣〕 D．【分析】如图， Rt△ MF2 F1中， tan60°== ，建立关于 a、 c 的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，在Rt△ MF 1F2中，∠ MF2 F1=60 °， F1F2=2c∴MF 2=4c， MF1=2cMF 1+MF 2=4c+2c=2a? e= =2﹣，应选 B ．34．〔 2021 春 ?吉安校级月考〕在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，那么=〔〕A ．B．C．D．【分析】由椭圆性质得BC +AB=2a=10 ，由此利用正弦定理及三角函数知识能求出的值．【解答】解：椭圆=1 中， a=5， b=4 ，c=3，∵△ ABC 的顶点 A 〔 0，3〕和 C〔 0，﹣ 3〕，顶点 B 在椭圆=1 上，∴BC +AB=2a=10 ，由正弦定理得==== =．应选： A ．35．〔2021?四川〕椭圆的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A ．在椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A ．〔 0，] B．〔0， ] C． [，1〕 D． [ ， 1〕【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等，根据 | PF| 的范围求得 | FA| 的范围，进而求得的范围即离心率 e 的范围．【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与A 点的距离相等而| FA| =| PF| ∈[ a﹣ c， a+c]第 31 页〔共 36 页〕于是∈ [ a﹣c， a+c]即ac﹣ c 2≤ b2≤ ac+c2∴又 e∈〔 0，1〕故 e∈．36．〔 2021?安徽模拟〕椭圆的左焦点F1， O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，假设那么椭圆的离心率为〔〕A ．B．C． D ．【分析】由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上由此，推出三角形是等腰三角形，通过椭圆的第二定义求e【解答】解：∵椭圆的左焦点F1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点 Q 在椭圆的右准线上，，∴PQ 平行于 x 轴，且 P 点的横坐标为，Q点的横坐标为，又知 Q 点在∠ PF1O 角平分线上，如图△PF1Q 是等腰三角形，所以由椭圆的第二定义可知，解得 e=．应选 C．。