求椭圆离心率范围的常见题型与解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围,建立不等关系
例1已知椭圆22 2
2
1(0)
x y
a b
a b
+=>>右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围.
例2已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
(,0),(,0)
F c F c
-,若椭圆上存
在一点P使
1221
sin sin
a c
PF F PF F
=,则该椭圆的离心率的取值范围为()
21,1
-.
二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足
的点P 总在椭圆内部,则椭圆离心
率的取值范围是( )
A.(0,1) B.1(0,]2
C.(0,2
D.2
三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系
例4已知ABC ∆的顶点B 为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的一个端点,另两个顶点也在
椭圆上,若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围.
四、利用函数的值域,建立不等关系
例5椭圆122
22
=+
b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点,且0=⋅OB OA (O
为原点),若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5,求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式,建立不等关系.
例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°.求椭圆离心率的范围;
解 设椭圆方程为x 2
a 2+y
2
b 2=1 (a>b>0),|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m +n =2a.
在△PF 1F 2中,由余弦定理可知, 4c 2
=m 2
+n 2
-2mncos 60°=(m +n)2
-3mn =4a 2
-3mn≥4a 2
-3·⎝⎛
⎭
⎫m +n 22
=4a 2-3a 2=a 2
(当且仅当m =n 时取等号).∴c 2
a 2≥14,即e≥1
2
.
又0 ⎫1 2,1. 例7 已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点,椭圆上一点P 使 ︒=∠9021PF F ,求椭圆离心率e 的取值范围. 解析1:令 n PF m pF ==21,,则a n m 2=+ 由21PF PF ⊥ 2 2 2 4c n m =+∴ ()2 2 222 22 4a n m n m c =+≥ +=∴ 即21 222 ≥=a c e 又12 2 10<≤∴ < 解析2:不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2 1 b b S PF F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯= ∆22 1 21 b ⇒≤c 2 b ⇒≤2 c 2 2 c a -⇒≤2 c 22 2 a c e =⇒≥21 故 2 2 ≤e <1 七、利用实数性质,建立不等关系 解析3:设 ()y x P ,,由21PF PF ⊥得 1-=-⋅+c x y c x y ,即222x c y -=,代入12 222=+b y a x 得()22222 c b c a x -= ,2220b c x ≥∴≥ 即222 c a c -≥,2 2 ≥= ∴a c e 又1 解析4:21 PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上, 2 2 2 c y x P =+∴为圆 与 122 22=+b y a x 的公共点.由图可知 222 a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2 222a c c a <≤-12 2 <≤∴ e 说明:椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长. 九、利用21PF F ∠最大位置,建立不等关系 解析4:椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大 无妨设满足条件的点P 不存在 ,则∠21PF F <0 90 2 245sin sin 001=<∠=< ∴OPF a c 又10< 2 <≤e .