2018年高考数学一轮复习专题08指数与指数函数教学案文

专题08 指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时na n＝a . 当n 为偶数时na n＝{ aa －a a.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)． ⑤负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r 、s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )．3．指数函数的图象与性质高频考点一 指数幂的运算例1、化简：(1)a3b23ab214b 1213-b 13(a>0，b>0)；(2)()2113227()0.002102).8--－－＋－＋【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【方法规律】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【变式探究】 (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝_______________________________. (2)(14)12·4ab －1－－12＝________.【答案】 (1)0 (2)85高频考点二 指数函数的图象及应用例2、(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 【解析】 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足．(2)曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．【答案】 (1)A (2)[－1，1]【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式探究】 (1)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )(2)方程2x＝2－x 的解的个数是________．【答案】 (1)A (2)1高频考点三 指数函数的图象和性质 例3、(1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】 (1)B (2)a>c>bD 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.(2)∵y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 为减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535<⎝ ⎛⎭⎪⎫2525即b<c ， 又a c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525⎝ ⎛⎭⎪⎫2525＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3225>⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1， ∴a>c，故a>c>b.【变式探究】设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】 C【解析】 当a<0时，不等式f(a)<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质例4、设函数f(x)＝kax －a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f(x)＝ax －a －x. (1)因为f(1)>0，所以a －1a >0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝axlna ＋a －xlna ＝(ax ＋a －x)lna>0，所以f(x)在R 上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)， 所以x2＋2x>4－x ，即x2＋3x －4>0， 所以x>1或x<－4.即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为( )A.13B．1C．3 D.13或3【答案】(1)(－∞，4] (2)D当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a ]上单调递增，则ymax ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用例5、(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12221－＋＋x x 的单调减区间为________________________________．【解析】 (1)因为x∈[－3,2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8， 故y ＝t2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，ymin ＝34；当t ＝8时，ymax ＝57.故所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)(－∞，1] 【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化． 【方法与技巧】1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝ax (a>0，a≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．1.【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xfx =-，所以221lo g lo g 330.521(lo g 3)lo g 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 52log 5214,2(0)210b fc fm f ==-====-=所以c a b <<，故选C.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a ff a =的a 取值范围是（ ） （A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C（2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D【答案】B（2014·江西卷）已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 【答案】A【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D【解析】因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D. （2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x【答案】B（2014·陕西卷）已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】10【解析】由4a＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10.（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)－∞，1)，f(x)>0；，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则，2)，使f(x)＝0.【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③【解析】(1)因a ＝b ，所以函数f(x)＝2a x－c x，又因a ，b ，c 不能构成一个三角形，且c>a>0，c>b>0，故a ＋b ＝2a<c ，令f(x)＝2a x－c x＝0，即f(x)＝c x⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x －1＝0，故可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12，又0<a c <12，结合指数函数性质可知0<x≤1，即取值集合为{x|0<x≤1}．对于③，因f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知，，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy，故选择D 。