2019年10月湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第三次月考理数答案

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湖南省衡阳市2020届高三毕班第三次联考(三模)答案

12.D
【解析】要使
f
(x)
有最小值，只须当
x
>
1 2
时，
fmin(x)
≤
0
即可
.
当
x
>
1 2
时，
f
'(x)
=
2x
-
a
-
x1 ，因为
2x
-
1 x
∈
(-1,
+
∞)
若 a ≤ - 1 时， f'(x) > 0， f(x) 在 (21 , + ∞) 上 ↗，此时 f(x) 无最小值；
若 a > - 1 时， f'(x) = 2x2-xax -1 ，记 2x2 - ax - 1 = 0 两根分别为 x1， x2，则 x1 < 0 < x2， 2x22 - ax2 - 1 = 0
=
10
(6k - 2) =
10×(4+58) 2
= 310.
k=1
三、解答题
17. 【解析】（1）因为半圆弧 AB 所在平面与平面 ABCD 垂直，平面 MAB ∩ 平面 ABCD = AB，
由 DA ⊥ AB，所以 DA ⊥ 平面 MAB，又 MB ⊂ 平面 MAB，则有 DA ⊥ MB
又 AB 为半圆弧所对的直径，所以 MB ⊥ MA，而 MA ∩ DA = A，所以 MB ⊥ 平面 MAD. 5 分
OHC
=
OH HC
=
2
2
3
=
31 ，
2
故二面角 D - MA - C 的正弦值为 31 . 12 分
=
3 2
=
c，所以

2019年湖南省衡阳市第八中学高三上学期模拟检测数学(理)试题(详细解析)

于 E, F 两点，若 OE OA ，
OF OB ，（
, 0 ），则的最小值为（
）
A. 2 3 7
B. 3 3 7
C. 3 2 3 7
D. 4 2 3 7
【答案】D
【解析】
由
A,M,D
三点共线可知，存在实数
t，使得
A. [3, 4]
B. (3, )
C. (, 4]
D. (3, 4]
【答案】D 【解析】【分析】化简集合 Q,根据集合的并集运算即可.
【详解】由题意得， P [0, 4] ， Q (3, 3) ， ∴ P Q (3, 4] ，故选 D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.
【详解】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率 p 30 3 ， 100 10
设军旗的面积为 S ，由题意可得：

S 112
3 10
，∴ S
3 10
112

363 10
mm2
.
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题.
6.在 OAB 中， OA 4OC ， OB 2OD ， AD, BC 的交点为 M ，过 M 作动线 l 分别交线段 AC, BD
粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）
A. 726 mm2 5
B. 363 mm2 10
C. 363 mm2 5
3
D. 363 mm2 20
【答案】B
【解析】【分析】
根据实验结果的古典概型概率，可知军旗面积与圆形金币面积的比值，即几何概型的概率，从而求解.

湖南省衡阳市八中2019届高三上学期第三次(10月)月考数学(理)试题Word版含答案

湖南省衡阳市八中2019届上学期第三次（10月）月考高三数学（理）试题时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z 满足2iz =,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为（ A ） A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 2．“=6πα”是tan α=“”（ B ）条件。

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 D. 既不充分也不必要 3.下列函数中,在区间(1,+¥)上为增函数的是( B ) A ．21x y =-+ B ．1xy x=- C ．12log (1)y x =- D ．2(1)y x =--4．已知正项数列{}n a 中，222121161,2,2(2),n n n a a a a a n a +-===+?则等于 ( D )A ．16B ．8 C．．45.若向量,3a b p 的夹角为，且2,a =1,b =则a a b 与+2的夹角为（ A ）A.6pB. 3p C. 23p D. 56p6．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为（ A ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且7. 在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.设函数21()log ,21x f x x =+-定义121()()(),n n S f f f n n n-=+++其中n N ?，2n ³,则n S 等于（ C ）A.(1)2n n - B.21log (1)2n n --- C. 12n - D.21log (1)2n n -+- 9.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ^.若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（ B ）A ．6B ．7C ．8D ．910.已知函数()sin()(,,f x A x A w j w j =+均为正的常数）的最小正周期为p ，当23x p=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）A.(2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-11.已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p,q,且p q ¹，不等式(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ C ）A. (12,30]B.(,18]-?C. [18,)+?D.(12,18]-12．已知2()ln (01).x f x a x x a a a =+->?且若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2±二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.已知sin 2cos 0x x +=，则2sin 1x +=_____95___________. 14．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小树也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？题意是：”有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S =______11212nn --+________尺.15．已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈,若方程()f x m =有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为___12-__________ . 16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ÎR,都有()()()f x y xf y yf x =+g 成立。

湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第三次月考试题文

衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学请注意：时量120分钟满分：150分一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4.设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACA ． 30B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或-9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1- 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图, ()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m =≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F FF P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)13、已知(1,2),(2,)a b m =-=，若a b ⊥ ，则b =14、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B ，则A = 15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：_______. ①对m Z ∀∈，有(2)0m f =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞； ③存在n Z ∈，使得(21)9n f +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18.(本小题12分）已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3．（1）求()f x 的单调增区间和a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域．19.(本小题12分）如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接,AC FD ，形成如右图所示的多面体，且折叠后的A 与C （1）证明：平面AM BCDE ⊥面; （2）求三棱锥E ABC -的体积;20.(本小题12分）设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =，短轴2b =以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程．21.(本小题12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；（2）在(1)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭22.(本小题10分）已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学命题人：吕建设审题人：彭源请注意：时量150分钟满分：150分二．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4. 设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACB ． 30 B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =,则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或- 9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为A ．12B ．12-C ．1D ．1-10.设等差数列的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图,()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m=≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F F F P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．．2 D ．3 选择题答案：CDABB BACAB CC填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)15、已知(1,2),(2,)a b m =-= ，若a b ⊥ ，则b =16、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B =，则A =15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x=-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：①__②____.①对m Z ∀∈，有(2)0mf =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞；③存在n Z ∈，使得(21)9nf +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a ＝a 1a 4，即(1＋d)2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d≠0，∴d＝1，可得a n ＝n. (2)由(1)得b n ＝n ＋2n，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋ (2))＝＋2n ＋1－2.18.已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3．（1）求()f x 的单调增区间和a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域．试题解析：（Ⅰ）由已知()a x x a x x x x f +++=+++=12cos 2sin 32cos 1cos sin 32a x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=162sin 2π，令Z k k x k ∈+++≤+-,226222πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤+-,63ππππ，∴函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ,由函数()x f 的最大值为3，得33=+a ，0=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， ()132sin 21642sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴πππx x x g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴πππ32,332x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,2332sin πx ， []3,31132sin 2-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx ，即()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为[]3,31-.19.如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且折叠后的.（1）证明：平面AM BCDE ⊥面（2）求三棱锥的体积试题解析：（１）证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC 、BE ，交点为m ，易知，且，在多面体中，由，知，故2分又平面，故平面， ..5分（2）连接AE 、CE,则AG 为三棱锥的高，GC 为的高．在正六边形ABCDEF 中，，故， ..9分所以． 12分20.设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =短轴2b =抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程．【详解】(1) 由得，又有，代入，解得所以椭圆方程为由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在的参数轴，且，抛物线的方程为：(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于设直线方程为：，联立方程得：，可知点的横坐标，即因为，可设直线方程为：连立方程得：，从而得若线段的中点在轴上，可知，即有，且，解得从而得，直线的方程：21.已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；（2）在（1）的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++⎪⎝⎭试题解析：因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦，所以()()221xf x ax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦'， 1分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时, ()xf x xe '=,当0x <时, ()0f x '<,当0x >时, ()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =． 2分当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即210{ 1102x x e x x ->⎛⎫-++> ⎪⎝⎭或210{ 1102x x e x x -<⎛⎫-++< ⎪⎝⎭， 6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()()()1x h x g x e x ==-+',()1x h x e '=-，当0x >时, ()10x h x e ='->；当0x <时, ()10x h x e ='-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=，即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭，所以原不等式的解集为{|01}x x x 或． 10分22.已知函数()211f x x x =-++.（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥ 于是得()1,3{ 33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{ 223,x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于()()22223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+.。

湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第三次月考试题(含答案)文

给定．求目标函数错误！未找到引用源。

的最大值为A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

湖南省衡阳市第八中学高三数学上学期第三次(10月)月考试题理(扫描版)

湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学上学期第三次（10月）月考试题理（扫描版）一、选择题B二、填空题 13.95 14. 11212nn --+ 15. 12- 16. 3n n g17.解：（1）把A （0，1），B （3，8）的坐标代入()x f x k a -=g 得031{8k a k a -== 解得：11,2k a ==。

（2）()g x 是奇函数。

理由如下：由（1）知：()2xf x =，所以()121().()121x x f x g x f x --==++函数()g x 的定义域为R ，又()12121()().()12121x x x x f x g x g x f x -------===-=--+++所以函数()g x 是奇函数。

18. ∵(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，∴||(cos AC ，||10BC = 由||||AC BC =得sin cos αα=．…………………………………4分又3(,)22ππα∈，∴54απ=．…………………………………6分（2）由1AC BC =-，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()04πα+=>． ……………………………9分又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=…12分19.解答：解答：（1）证明：111,n n n n n n b a a b a a +--=+=-11233n n n n n nb a a a a a b a a a a +-+++===++所以{}n b 是等比数列（2）由（1）得11115,53n n n b b b q --===⨯所以1153n n n a a -++=⨯则211103(2)n n n a a n -+--=⨯≥所以{}n a 奇数项差是首项为10的等比数列，偶数项差是首相为30的等比数列；21253344n n a -=⨯-，222153344n n a --=⨯+因此n a =11533(1)44n n --??20. 解：(1)在Rt ∆POA 中，，在Rt ∆POB 中，OB ＝h ，在Rt ∆AOB 中，d 22+h 2-2⋅⋅hcos30︒，其中：d ＝40，得：h=40，故建筑物的高度为40.(2) ∵tan α=4hdh d +，tan β=4d ∴tan(β-α)=244(4)161(4)h d d h h d h -+++=216(4)16d d h h ++=1616(4)h d h d++≤当且仅当d(h+4)=16h d 即d=5时“=”成立故当d=5时，tan(β-α)最大， ∵0<α<β<2π，∴0<β-α<2π，当d=5时，β-α最大21.{}1n b Q （）为等差数列，设公差为15,1,15,d b S ==551015,1S d d =+==1(1)1n b n n \=+-?。

湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)数学(理)试题含答案

2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i 是虚数单位，复数12i z i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（） A.12B. 2C.32D. 13.若双曲线223x ty t -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）B.24.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间 ()3,5的概率为( ）（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.04565.若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（） A.49B. 49-C.59D. 59-6.著名的“3 n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3 n+1猜想，则输出的n 为（）A. 5B. 6C. 7D. 87.已知正项等比数列{}n a 满足12348,2a a a a -=-=，若1231n a a a a =，则n 为（）A. 5B. 6C. 9D. 108.设两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，则41x a x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为（） A. 12B. 3C.52D.729.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( ) A. B. C. D.10.a 的值为（）C.11.已知函数()(1)1xf x e a x=---（e为自然对数的底数），若0(0,)x∃∈+∞，使得()()00lgf x f x>成立，则a的取值范围为（）A. ()1,2 B. ()1,+∞ C. [1,)+∞ D. ()2,+∞12.已知点()0,2R，曲线42:()(0)C y px p=>，直线0,2m m>≠）与曲线C交于M，N两点，若RMN∆周长的最小值为2，则p的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量(2,1),(,1)a bλ=-=，若||||a b a b+=-，则λ=______．14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则·的值为_________．15.若,x y满足约束条件14401x y xxy⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，则23z x y=+的最大值为______．16.已知数列{}n a满足对*,m n N∀∈，都有m n m na a a++=成立，72aπ=，函数()f x=2sin24cos2xx+，记()n ny f a=，则数列{}n y的前13项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数()2cos sin3f x x x tπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的最大值为1．（1）求t的值；（2）已知锐角ABC∆的内角,,A B C所对的边分别为a b c、、，若a=三角形ABC∆，且()2f A=，求b c+的值．18.如图，四棱锥M ABCD -中,2,90AB DC CDA DAB ︒=∠=∠=°，MCD ∆与MAD ∆都是等边三角形，且点M 在底面ABCD 的投影为O ．（1）证明：O 为AC 的中点；（2）求二面角D MC B --的余弦值．19.某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-20.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点1,2T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点T 作圆222x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 与x 轴交于点E ，过点E 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点，点E 关于y 轴的对称点为Q ，求QMN ∆面积的最大值.21.已知函数22()()xf x e ax x a =++存在极大值与极小值，且在1x =-处取得极小值. （1）求实数a 的值；（2）若函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据： 2.236e ≈≈）22.已知直线2:62x tl y t =+⎧⎨=-⎩t (为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为22245cos 360ρρθ+-=．（1）求曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与l 夹角为60直线，交l 于点N ，求MN 的最小值．23.已知不等式2231x x -->的解集为 A ．（1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥--2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i 是虚数单位，复数12i z i ⋅=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】等式两边同乘i -，得到z ，然后得到z 在复平面对应的点，得到答案. 【详解】解：复数12i z i ⋅=-，()12i i z i i ∴-⋅⋅=--，2z i =--，则复数z 在复平面内对应的点()2,1--位于第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于简单题．2.若集合()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（）A.12B. 2C.32D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可．【详解】由3222x >=，解得32x >；由()1122log 0log 1x a -<=解得1x a >+，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，所以312a +=，解得12a =．故选A ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．3.若双曲线223x ty t -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）【答案】B 【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，得到2a 和2b ，根据22226,c c a b ==+，得到关于t 的方程，从而得到离心率.【详解】解：双曲线223x ty t -=的标准方程为： 22133x y t -=，所以223,3a t b ==焦距为6，26,3c c ∴==222c a b =+2339c t ∴=+=，解得2t =，所以双曲线的离心率为：2c e a ===．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查，属于简单题．4.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间 ()3,5的概率为( ）（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.0456【答案】C 【解析】【分析】由已知可得1,2μσ==，再由()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+求解．【详解】解：由已知，得1,2μσ==，所以()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+0.95450.68270.13592-==．故选：C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．5.若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（） A.49B. 49-C.59D. 59-【答案】D 【解析】【分析】令75αθ︒+=，则把条件和目标都转化为关于θ的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行化简，得到答案.【详解】解：令75αθ︒+=，则75αθ︒=- 由()sin 753α︒+=，可得sin 3θ=()()cos 302cos 30275θα︒︒︒---⎡⎤=⎣⎦()()2cos 1802cos 212sin θθθ︒=-=-=--251239⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选：D ．【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题．6.著名的“3 n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3 n+1猜想，则输出的n 为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图的要求，进行模拟运算，对a 的值依次进行讨论，得到答案. 【详解】解：10a =是偶数，5,1a n ==，1a >，5a =是奇数，16,2,1a n a ==>， 16a =是偶数，8,3,1a n a ==> 8a =是偶数，4,4,1a n a ==>， 4a =是偶数，2,5,1a n a ==>， 2a =是偶数，1,6,1a n a ==≤成立，输出6n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，考查对判断语句和循环条件的辨析，利用模拟运算法是解决本题的关键．属于简单题．7.已知正项等比数列{}n a 满足12348,2a a a a -=-=，若1231n a a a a =，则n 为（）A. 5B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】利用已知条件求出等比数列的首项和公比，通过等比数列的性质将123n 1a a a a =进行转化，利用首项和公比表示，得到关于n 的表达式，解出答案．【详解】解：正项等比数列{}n a 满足128,a a -=342a a -=，可知其公比0q >，且1q ≠可得341214a a a a -=-，23111114a q a q a a q -=- 214q ∴=，解得12q =，代入128a a -=，可得116a =，123n 1a a a a =，可得()11nn a a =，而10n a a >所以1n 1a a =，即2n 111q a -=1211612n -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，解得9n =．故选：C ．【点睛】本题考查利用等比数列的基本量进行计算以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．8.设两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，则41x a x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为（） A. 12 B. 3C.52D.72【答案】D 【解析】【分析】根据两直线垂直，求得a 的值，对所求式子进行整理，利用二项展开式得到所求的项，得到答案. 【详解】解：两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，1()12a ∴⋅-=-，求得2a =．则41x a x ⎛+= ⎝4841(216x x x x ⎛+= ⎝，要求其展开式中2x项，则是分子(8x -中展开式中的6x项故它的展开式中2x 的系数为28216C ⋅=72，故选：D ．【点睛】本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于简单题．9.函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( ) A. B. C. D.【答案】C 【解析】对于A ，当0a =时，()f x x =，且0x ≠，故可能；对于B ，当0x >且0a >时，()af x x x=+≥，当0x <且0a >时，()afx x x=-+在(),0-∞为减函数，故可能；对于D ,当0x <且0a <时，()a f x x x =-+≥=当0x >且0a <时，()a f x x x =+在()0,+∞上为增函数，故可能，且C 不可能. 故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10.a 的值为（）B.3C. D.2【答案】A 【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，的等腰直角三角形，高为a ，所以体积为：2111232a ⨯⨯+⨯2a ⨯⨯=解得a =故选：A ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题．11.已知函数()(1)1xf x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为（） A. ()1,2 B. ()1,+∞C. [1,)+∞D. ()2,+∞【答案】D 【解析】【分析】可知00lg x x <，从而根据条件便可判断()f x 为减函数或存在极值点，对()f x 求导得()1xf x e a ='-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能是()f x 存在极值点，从而转化为方程1x a e -=有解，这样由指数函数xy e =的单调性和值域即可得出a 的取值范围．【详解】解：()lg g x x x =-求导得()11ln10g x x '=-，令()0g x '=，得1ln10x = 当10,ln10x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1,ln10x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()10,1ln10x =∈时，()g x 取最大值， 111lg 0ln10ln10ln10g ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以可得()0,x ∈+∞时，()0g x <恒成立.∴可得00lg x x <；∴要满足()00,x ∃∈+∞，使()()00lg f x f x >，则函数()f x 为减函数或函数()f x 存在极值点；()()1x f x e a '=--；(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即()f x 不是减函数； ∴只能()f x 存在极值点，()0f x '∴=有解，即1x a e -=有解；而xy e =单调递增，且()0,x ∈+∞时，其值域为()1,+∞所以11a ->(2,)a ∴∈+∞；即a 的取值范围为(2,)+∞．故选：D ．【点睛】本题考查函数()lg g x x x =-的图像与性质，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及指数函数的图像与性质，属于中档题．12.已知点()0,2R ，曲线42:()(0)C y px p =>，直线0,2m m >≠）与曲线C 交于M ，N 两点，若RMN ∆周长的最小值为2，则p 的值为（） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【答案】B 【解析】【分析】曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =-构成，设MN 与y 轴交点为D ，抛物线2y px =-的焦点为F ，则由对称性可知RMN 的周长为()224p MR MD RM MF ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭224p RF ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当,,M R F 三点共线时取最小值，由此能求出p 的值．【详解】解：由题意得曲线C 是由两抛物线2y px =和2y px =构成，设MN 与y 轴交点为D ，抛物线2y px =-的焦点为,04p F ⎛⎫-⎪⎝⎭，则由对称性可知RMN 的周长为()224p MR MD RM MF ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭224p RF ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭当,,M R F 三点共线时取最小值，22p ∴=，解得6p =．故选：B ．【点睛】本题考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．二.填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=，若||||a b a b +=-，则λ=______．【答案】12【解析】【分析】可求出()()2,0,2,2a b a b λλ+=+-=--，根据a b a b +=-即可得出2λ+=解出λ得到答案．【详解】解：()()2,1,,1a b λ=-=()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--；a b a b +=-；2λ∴+=()()22224λλ∴+=-+；解得12λ=．故答案为：12．【点睛】本题考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度，属于简单题．14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则·的值为_________．【答案】6 【解析】乙的中位数为90，设∙的值为x，则8089889196905x+++++=，可得x的值．【详解】解：乙的中位数为90，设∙的值为x，所以8089889196 905x+++++=，解得6x=，故填：6．【点睛】通过茎叶图考查学生对中位数和平均数的理解，简单的计算问题，属于简单题．15.若,x y满足约束条件14401x y xxy⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，则23z x y=+的最大值为______．【答案】7【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】解：,x y满足约束条件14401x y xxy⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩，的可行域如图：23z x y=+化为2133y x z =-+，为斜率为23-的一簇平行线，其在y轴上的截距为13z点直线经过可行域的1,22A⎛⎫⎪⎝⎭时，取得最大值为7．故答案为：7．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键之一，考查数形结合以及计算能力，属16.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．【答案】26 【解析】【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．【详解】解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++，由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为：26．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最大值为1．（1）求t 的值；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a =三角形ABC ∆，且()f A =，求b c +的值．【答案】（1）t =2）b c +=【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对()f x 进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到t 的值.（2）由()f A =A 的大小，利用面积公式得到bc 的值，再由余弦定理，配凑出b c +，得到答案.【详解】解：（1）()2cos sin 3f x x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x t =+11cos 2sin 222x x t +=+=sin 23x t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-()f x 的最大值为1，故0t =，可得t =（2）()2f A =，可得：sin 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，20,22333A A ππππ<<-<-<233A ππ∴-=，可得，3A π=由三角形面积公式得，1sin 2S bc A =4bc =，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，可得：()283b c bc +=-，而0b c +>∴b c +=【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.如图，四棱锥M ABCD -中,2,90AB DC CDA DAB ︒=∠=∠=°，MCD ∆与MAD ∆都是等边三角形，且点M 在底面ABCD 的投影为O ．（1）证明：O 为AC 的中点；（2）求二面角D MC B --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连结,,OA OC OD ，证明MOA MAD MOD ∆≅∆≅∆，从而得到OA OC OD ==，即O 为ACD ∆的外心，由90ADC ︒∠=，得O 为AC 的中点；（2）O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面DMC 的法向量m ，平面MCB 的法向量n ，利用向量法能求出二面角D MC B --的余弦值【详解】证明：（1）连结,,OA OC OD ，MO ⊥平面,,ABCD MO OA ∴⊥,MO OB MO OC ⊥⊥90MOA MOC MOD ︒∴∠=∠=∠=， MCD ∆与MAD ∆都是等边三角形， MD MC MA ∴==，又MO 为公共边， MOA MAD MOD ∴∆≅∆≅∆，OA OC OD ∴==，即O 为ACD ∆的外心，90ADC ︒∠=，O ∴为AC 的中点．解：（2）以O 为坐标原点，,,OC OD OM 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD =，则4,AB OM ==()(,,DM)),CB -， ()()0,2,2,2,DM DC =-=，设平面DMC 的法向量(),,m xy z =，则2020m DM m DC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，得()1,1,1m =，()()2,0,2,0,MC CB =-=-，设平面MCB 的法向量(),,nx y z =，则2020n MC x n CB ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,0,1n =，6cos ,3m nm n m n ⋅<>==⋅. 由图知二面角D MC B --的平面角为钝角，∴二面角D MC B --的余弦值为【点睛】本题考查线段中点的证明，考查二面角的平面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆn i i i n i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑()()()121,ni i i n i i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 【答案】（1）337y 1313x =+$ 当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机【解析】【分析】（1）求出，()()515,4,26i i i x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可．【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126i ii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13i ii i i x x y y b x x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx =-=-⨯=$ 所以3371313y x =+$当10x =时，67ˆ513y =>，故此方案可行．（2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =，安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==； 440,10000,5X Y p ==…． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯= 安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =剟3;5P = 160,15000,5X Y P >==. 13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=. 86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20.已知2222:1(0)x y C a b a b+=>>以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点T ⎛- ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点T 作圆222x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 与x 轴交于点E ，过点E 作直线l 交椭圆C 于,M N 两点，点E 关于y 轴的对称点为Q ，求QMN ∆面积的最大值.【答案】（1）22184x y +=（2）【解析】【分析】（1）依题意可得b c =，代入点1,2T ⎛- ⎝⎭，可得2211414a b +=，又222a b c =+解得2a b ==，即可求出椭圆方程，（2）先求出直线AB的方程为240x +=，再根据韦达定理，弦长公式，可得三角形的面积，根据基本不等式即可求出．【详解】解：（1）依题意可得b c =,代入点1,2T ⎛- ⎝⎭，可得2211414a b+=，又222a b c =+，解得2a b ==，故椭圆C 方程为22184x y +=．（2）141,T ⎛- ⎝⎭OT ∴== TA 与圆222x y +=相切TA ∴==，以T 为圆心，TA 为半径的圆T 的方程为225(1)22x y ⎛++-= ⎝⎭，将圆T 与圆O 的方程相减可得240x +=，即直线AB 的方程为240x -+=，故()()2,0,2,0E Q -，设2:,m l y x =-()()1122,,,M x y N x y ，故QMN ∆面积为1||2S EQ =()12122-y y y y +==,的联立222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222440m y my +--=， 12122244,22m y y y y m m -∴+==++, S ∴==,,1t t =…，S t t ∴==+=…当1t t =即t=1时，S取最大值故QMN ∆面积的最大值为【点睛】本题考查了椭圆方程的解法，两圆公共弦，三角形的面积，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.已知函数22()()x f x e ax x a =++存在极大值与极小值，且在1x =-处取得极小值.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.（参考数据： 2.236e ≈≈）【答案】（1）1（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）22()(21)1x f x e ax a x a '⎡⎤=++++⎣⎦，(1)0f '-=，解得0a =或1a =，当0a =时，()()()1,x f x e x f x '=+只有极小值，不符合题意．当1a =时，()()(1)2x f x e x x '=++，符合题意，由此能求出实数a 的值．（2）()2()12,x g x e x x x m =+-+-()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()()0,g x g x '>在()0,∞+上单调递增，当0x <时，令()()()122x ex h x x ++-=，则()()255x h x e x x '=++，利用导数性质能求出实数m 取值范围．【详解】解：（1）函数()22()x f x e ax x a =++存在极大值与极小值，且在1x =-处取得极小值， ()22()211x f x e ax a x a '++⎡⎤∴=++⎣⎦,依题意知(1)0f '-=，解得0a =或1a =，当0a =时，()()1x f x e x '=+，1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时，()f x 只有极小值，不符合题意．当1a =时，()(1)(2)xf x e x x '=++, 2x <-或1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；21x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，符合在1x =-处取得极小值的题意，综上，实数a 的值为1．（2）()2()12x g x e x x x m =+--+，()(1)(2)2x g x e x x '=++-，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在()0,∞+上单调递增，当0x <时，令()(1)(2)2x h x e x x =++-，则()2()55x h x e x x '=++，()0,()h x x x h x '><>单调递增，()()h x x h x '<<<单调递减，5(0)0,202h h ⎛=-=< ⎝⎭, 0x <时，()0g x '>，故()g x 在(),0-∞上单调递减，的()g x 在R 上有两个零点，(0)10,1g m m ∴=-<∴>，此时当0x <时，02m g ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()g x ∴在,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，当0x >时，2m ()120x g x x x >++--=，令0x =()00g x ∴>， ()g x 在()00,x 有一个零点，综上，实数m 的取值范围是()1,+∞．【点睛】本题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．属于难题.22.已知直线2:62x t l y t=+⎧⎨=-⎩t (为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22245cos 360ρρθ+-=．（1）求曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与l 夹角为60直线，交l 于点N ，求MN 的最小值．【答案】（1）曲线的C 参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）直线l 的普通方程为2100x y +-= （2【解析】【分析】（1）根据题意，代入222,cos x y x ρρθ=+=，可得229436x y +=，即22149x y +=，其参数方程为:C 2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），直线l 的普通方程为2100x y +-= （2）设M ，求出M 到直线l 的距离，利用三角函数的性质求出最小值．的【详解】解：（1）代入222,cos x y x ρρθ=+=，可得229436x y +=，即24x +29y =1，其参数方程为 2cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），直线l 的普通方程为2100x y +-=.（2）设(2cos ,3sin )M ϕϕ，则M 到l 的距离d ==当()sin 1r ϕ+=时，d 故MN =. 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标化直角坐标方程，简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.已知不等式2231x x -->的解集为A ．（1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥-- 【答案】（1）(1,)A =+∞（2）见解析【解析】【分析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）不等式左边乘()()11m n -+-⎡⎤⎣⎦，利用柯西不等式证明．【详解】（1）解：当32x >时，不等式为：2231x x -+>，不等式恒成立，故32x >; 当302x ≤≤时，不等式为：2321x x -+>，解得312x <≤；当0x <时，不等式为：2321x x --+>，不等式无解，综上，不等式的解集为()1,+∞，故()1,A =+∞．（2）证明：,,10,10m n A m n ∈∴->->，4,(1)(1)2m n m n +=∴-+-=，22211n m m n ⎛⎫∴+ ⎪--⎝⎭()()221111n m m n m n ⎛⎫=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭2…2()16m n =+=， 22811n m m n ∴+≥--．。

湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 2．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（）111] A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(3． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（）A B ．12 C ．12- D ．4．已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=5．下列说法正确的是（）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.6．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣87．若集合,则= ( )ABCD8．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（）个A.个B.个C.个D.个9．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第三次月考理科数学答案

试卷第 1 页，总 8 页
9. (原创)某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的

4
B.2
C.
1 2
10. (原创)设 0, 0, 将函数 f x sin x 的图像向左平移个单位长度得到图像 C1 ，将函
数 g x cos x 的图像向右平移个单位长度得到图像 C2 ，若 C1 与 C2 重合，则 6
C
）
6． (原创)已知向量⃑⃑⃑⃑⃑ �� = (2,1)，点��(−1,0)， ��(3,2)，则向量⃑⃑⃑⃑⃑ �� 在⃑⃑⃑⃑⃑ ��方向上的投影为（ A．
5
A
）
B． −2√5
C． 5
D． 2√5
7．(原创)若直线�� 过点��(0, ��)，斜率为 1，圆�� 2 + �� 2 = 9上恰有 3 个点到�� 的距离为 1，则��的值为（ D ） A．±3 B． ±3√2 C． ±2 D． ±2√2 ）
1
D．充分不必要条件
4.(原创)设 a 2 2 , b
A.a b c B.b a c
3 1 1 x2 dx , c 2ln 2, 则（ 4 0
C.c a b D.c b a
B
）
5． (原创)已知数列{�� }的前��项和为�� ，满足�� = 2�� − 1，则{�� }的通项公式�� = （ A．2�� + 1 B．2�� − 1 C． 2��−1 D．2�� − 1

精品解析：高三上学期第三次月考数学(理)试题(原卷版)

19.【题文】
等边△ABC的边长为3，点D，E分别为AB，AC上的点，且知足
DE折起到△A1DE的地点，使二面角
A1﹣DE﹣B成直二面角，连结
2ab
0．
c
AEBD
2（如图①），将△ADE沿
ECDA
A1B，A1C（如图②）.
（1）求证：A1D⊥平面BCED；
（2）在线段BC上能否存在点P（不包含端点），使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出
必考题：共60分
cos B
17.在ABC中，a,b, c分别是内角A, B,C的对边，且知足
cosC
（1）求角C的值；
（2）若b 2，AB边上的中线CD
3，求V ABC的面积．
18.已知函数f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4
（1
.
）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程：
（2
）若g（x）＝f（x）+k，求g（x）的零点个数
0，则称点（x0，f（x0））是曲线f（x）的“优美点”?
x
2
，＜
0
2x
x
已知f（x）
，
若曲线f（x）存在“优美点”，则实数k的取值范围为_____.
kx
0
3 x
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都一定作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答）
于直线y＝1的对称点为P2，假如直线QP1，QP2与y轴分别交于（0，a）和（0，b），问（a﹣1）?（b﹣1）
能否为定值？假如，求出该定值；若不是，请说明原因.
21.已知函数（1）求函数
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湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第三次月考试题文(含解析)

阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合M，再根据交集定义求，最后确定元素个数.【详解】因为,所以，有3个元素，选C.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再确定对应的点所在象限.【详解】因为,对应的点为，位于第四象限，选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据焦点坐标求a，再根据双曲线方程求渐近线方程.【详解】因为焦点为，所以+16=52，即，所以渐近线方程为即，选A.【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线，可设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.4.设（）A. 2B. 1C. -2D. -1【答案】B【解析】试题分析：，.考点：分段函数值.5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.6.在三棱锥中，⊥底面，，,则与面所成角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明⊥底面，即得为与面所成角，再根据等腰直角三角形得结果. 【详解】因为⊥底面，所以⊥，又，所以⊥底面，因此为与面所成角，因为，所以三角形ACB为腰直角三角形，即，从而与面所成角为，选B.【点睛】线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角. 7.已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：作出不等式组的可行域由图可知，C（2，2），化目标函数z=2x+y-5为y=-2x+z+5．由图可知，当直线y=-2x+z+5过点C时，直线在y轴上的截距最大，z最大，等于2×2+2-5=1．故选：A．考点：线性规划．8.已知直线和圆相交于两点，若,则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理求得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离公式求k.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为,从而，选C.【点睛】涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.9.如图，正方形中，为DC的中点，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，又,所以,又,那么.故本题选A．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.10.设等差数列的前项和为，已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】国为为等差数列，，，所以,所以k=7.选B. 11.如图,分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是（）【答案】C【解析】试题分析：根据函数的图象的对称性可知为定值，故选C.考点：函数的图象与性质．12.如图，已知双曲线（，）的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，△的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，设与的内切圆相切于，则，所以，所以，所以，所以，即，由可得，所以该双曲线的离心率，故应选．考点：1、双曲线的简单几何性质．【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质、三角形内切圆的性质和切线长定理，考查了学生的作图能力及识图能力，属中档题．其一般解题思路为：首先作出草图，便于分析问题，然后运用切线长定理可得出，进而得出的值，由双曲线的定义可得出的值，再由可求出的值，进而可求出双曲线的离心率．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)13.已知，若，则__________【答案】【解析】【分析】先根据向量垂直得m，再根据向量模的定义求结果.【详解】因为，所以,因此【点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：14.在锐角中，角所对的边长分别为，若，则_______【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据正弦值求角.【详解】因为，所以,因为A为锐角，所以【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.15.已知棱长为的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为_______.【答案】【解析】【分析】先作平面图形，再根据等腰三角形性质求解.【详解】如图，OF=OE,所以.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．16.定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有；②函数的值域为；③存在，使得；【答案】①②【解析】【分析】根据定义求值、求的值域、解方程【详解】因为,所以①对;因为当时，，当时，，当时，，当时，，因此当时，，从而函数的值域为；所以②对;因为，所以由上可得,即，无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②【点睛】合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据条件“成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和.【详解】(1)设数列{a n}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得a n＝n.(2)由(1)得b n＝n＋2n，∴T n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）18.已知函数的最大值为3．（1）求的单调增区间和的值；（2）把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域．【答案】（1）单调递增区间为，；（2）【解析】【分析】(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求增区间以及最大值，最后根据最大值为3求的值；(2)根据图象变换得解析式，再根据正弦函数性质求值域.【详解】（1）由已知，令得：，函数的单调递增区间为,由函数的最大值为3，得，；（2）由（Ⅰ）知，，，，，，即在上的值域为.【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19.如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且折叠后的.（1）证明：（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)根据翻折前后不变关系得根据计算利用勾股定理得再根据线面垂直判定定理得结论，(2)先根据等体积法得，再根据（1）得AM为三棱锥的高，最后利用锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为M，易知，且，在多面体中，由，知，故又又平面，故平面，（2）连接AE、CE,则AM为三棱锥的高，MC为的高．在正六边形ABCDEF中，，故，所以．【点睛】立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.20.设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,为抛物线上第一象限内的点，为椭圆是一点，且有，当线段的中点在轴上时，求直线的方程．【答案】（1） , ;(2)【解析】【分析】（1）根据条件列方程组解得a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线、OB方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B横坐标，再根据A,B横坐标和为0解斜率得A,B坐标，最后根据两点式求直线AB 方程.【详解】(1) 由得，又有，代入，解得所以椭圆方程为由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在轴，且，抛物线的方程为：(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于设直线方程为：，联立方程得：，可知点的横坐标，即因为，可设直线方程为：连立方程得：，从而得若线段的中点在轴上，可知，即有，且，解得从而得，直线的方程：【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.21.已知函数（其中）．（1）若为的极值点,求的值；（2）在（1）的条件下,解不等式．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：先由极值定义求出，再利用导数研究函数单调性，进而解出不等式试题解析：因为，所以， 1分因为为的极值点,所以由,解得检验,当时,,当时,,当时,.所以为的极值点,故． 2分当时,不等式,整理得,即或， 6分令，,，当时,；当时,，所以在单调递减，在单调递增，所以，即,所以在上单调递增,而；故；，所以原不等式的解集为． 10分考点：函数极值，利用导数解不等式22.已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最小值，即得值域为，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【详解】（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，. ∴.∴.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第三次月考试题(10月)理科数学(含答案)

１２５６０．２已知复数＝２５４６４４已知数列｛ａ｝的前ｎ项和Ｓ＝２－１，则数列｛ｌｏｇａ｝的前１１项和等于（）秘密 ★ 启用前衡阳市八中２０２０届高三月考试题（三）数学（理科）注意事项：１答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

２考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

３考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

４本试题卷共４页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

５时量１２０分钟，满分１５０分。

一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１已知集合Ａ＝ {１，３，ｍ}，Ｂ＝ {１，ｍ}，若集合Ａ∩Ｂ有４个子集，则实数ｍ＝（）Ａ０、１或３１Ｂ１或３Ｃ１或３Ｄ０或３ｚ３＋４ｉ，则下列说法正确的是（）Ａ复数ｚ的实部为３Ｂ复数ｚ的共轭复数为：３＋４ｉＣ复数ｚ的虚部为：－４ｉＤ复数ｚ的模为５２５２５３若向量→ａ＝（１，２），→ｂ＝（１，－１），则２ →ａ＋ →ｂ与→ａ－ →ｂ的夹角等于（）４Ａ－ π Ｂ πＣ πＤ３π下列命题中，真命题是（ａ）Ａａ＋ｂ＝０的充要条件是ｂ＝－１Ｂａ＞１，ｂ＞１是ａｂ＞１的充分条件Ｃ ∃ｘ０ ∈Ｒ，ｅｘ０≤０Ｄ ∀ｘ∈Ｒ，２ｘ＞ｘ２５（１＋ｔａｎ１７°）（１＋ｔａｎ２８°）的值是（）６Ａ２ｎＢ１ｎｎＣ０２ｎＤ－１７Ａ３５ｘ２ｙ２Ｂ４５Ｃ５５Ｄ１０２３已知椭圆４＋ｂ２＝１（０＜ｂ＜２）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ１的直线交椭圆于Ａ，Ｂ两点，若ＢＦ２＋ＡＦ２的最大值为５，则ｂ的值为（）Ａ１Ｂ２Ｃ３Ｄ１－（ｘ－１）２１－（ｘ＋１）２２；１，＝（），４４３２ ③①ｆ（ｆ（ｘ））＝１； ②函数ｆ（ｘ）是偶函数； ④ 其中真命题的个数是（） ⎭ ａ２＋ａ２－２能被邀到现场观礼是无比的荣耀假设如图，在坡度地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆：１５７０，⎨ ２２ｂ２ｂ２ ⎪⎧ １８已知函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ－２ｃｏｓ２ｘ＋１，将ｆ（ｘ）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的１，纵坐标保持不变再把所得图像向上平移个单位长度得到函数ｙｇｘ的图像若ｇ（ｘ１） ·ｇ（ｘ２）＝９，则ｘ１－ｘ２的值可能为（）９Ａ３π Ｂ５π Ｃ π Ｄ π １０，，ｘ为有理数德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数ｆ（ｘ）＝ {称为狄利克雷函数，则关于函数ｆ（ｘ）有以下四个命题：任意一个非零有理数Ｔ，ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）对任意ｘ∈Ｒ恒成立；ｘ为无理数，存在三个点Ａ（ｘ１，ｆ（ｘ１）），Ｂ（ｘ２，ｆ（ｘ２）），Ｃ（ｘ３，ｆ（ｘ３）），使得△ＡＢＣ为等边三角形１０Ａ已４知函数ｆ（ｘ）是定义Ｂ在２Ｒ上的奇函数，且Ｃ满３足ｆ（ｘ）＋ｆ（２－Ｄｘ）１＝０若当ｘ∈［０，１）时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１，则ｆ（ｌｏｇ１６）的值为（）Ａ－１２５Ｃ－５Ｄ－６２３π －π １１已知角 α∈（ π，２），β∈（０，２），且满足ｔａｎαｃｏｓβ ＝１＋ｓｉｎβ，则 β ＝（）（用 α 表示）Ａ２α －１ π Ｂ５ π －２α Ｃ２α －５ π Ｄ２α －３π２２ｅｘ１ ⎫ ２２１２函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝ｆ ′（ｘ）＋ｘ，ｘ∈ [２，＋ ∞÷，ｆ（１）＝－ｅ，若存在ａ∈［－２，１］，使得ｆ（２－ｍ１） ≤ａ３－３ａ－２－ｅ成立，则ｍ的取值（）Ａ [２，＋ ∞ ⎫÷ Ｂ [２，１ ] Ｃ [１，＋ ∞ ) Ｄ [１，２ ]３ ⎭ ３２３二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在答题卡中的横线上）１３已知等比数列｛ａｎ｝的各项都为正数，且ａ３，１ａ５，ａ４成等差数列，ａ４＋ａ６的值是１４已知椭圆ｘ２ｙ２２＝１（ａ＞ｂ＞０）与双曲线ｘ２ｙ２则ａ３＋ａ５＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为２０１９年１０月１日，我国举行盛大的建国周年阅兵为１５°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于顶端的仰角分别为６０°和３０°，且第一排和最后一排的距离为１０６米，则旗杆的高度为１６已知函数ｆ（ｘ）＝ ⎪ ＋２米１的图像与函数 ⎪⎪⎩－＋２ｇ（ｘ）＝ｋｘ３＋１的图像有三个交点Ａ、Ｂ、Ｃ，且Ａ→Ｂ＋Ｃ→Ｂ＝０→，记三个交点的横坐标之和为ａ，ｂ，则∫ ｂ [ｆ（ｘ）－１]ｄｘ＝纵坐标之和为ａ２三、解答题（本大题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：６０分．１７（本小题满分１２分）已知向量ｍ→＝（３ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ＋ π ）），→ｎ＝（ｃｏｓｘ，ｓｉｎ（ｘ＋５π）），记函数３６ｆ（ｘ）＝ｍ→·→ｎ１（１）求不等式ｆ（ｘ）＞４的解集；（２）在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ｆ（Ａ）＝３且ｓｉｎＡ、ｓｉｎＢ、ｓｉｎＣ成等差数列，ｂ＝１，求△ＡＢＣ的面积Ｓ的值２４１８（本小题满分１２分）如图所示，已知正方形ＡＢＣＤ所在平面垂直于矩形ＡＣＥＦ所在的平面，ＡＢ与ＡＣ的交点为Ｏ，Ｍ、Ｐ分别为ＡＢ、ＥＦ的中点，ＡＢ＝２，ＡＦ＝１（１）求证：平面ＰＣＤ⊥平面ＰＣＭ（２）求三棱锥Ｏ—ＰＣＭ的高１９（本小题满分１２分）时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。

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－ α）��
因为
α∈（
π，３２π）
，β∈（０
，
π ２
）
，所以
α
－
β∈（
π，３２π）
ห้องสมุดไป่ตู้
，
π ２
－ α∈（
－ π，－
π ２
）��
由诱导公式可得
ｓｉｎ（ α － β）
＝ｓｉｎ［２π ＋（
π ２
－ α）］，易知２π ＋（
π ２
－
α）
∈（
π，
３２
π），
因为
ｙ＝ｓｉｎｘ
在（
π ２
ｇ（ｘ）ｍａｘ
＝３，
要使得ｇ（ｘ１） ·ｇ（ｘ２）＝９，则要求ｘ１－ｘ２
＝
ｎＴ
＝
ｎ·２ｗπ
＝
ｎ·
π ２
，故选
Ｄ��
９�� 【答案】Ａ
【解析】如ｘ为有理数，则ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（１）＝１，如ｘ为无理数，ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（０）＝１，故①正确；
如ｘ为有理数，则－ｘ为有理数，则ｆ（－ｘ）＝１＝ｆ（ｘ），如ｘ无有理数，则－ｘ为无理数，则
ｆ（－ｘ）＝０＝ｆ（ｘ），故②正确；如ｘ为有理数，则Ｔ＋ｘ为有理数，则ｆ（Ｔ＋ｘ）＝１＝ｆ（ｘ），如ｘ
无有理数，则Ｔ＋ｘ为无理数，则ｆ（Ｔ＋ｘ）
＝１＝ｆ（ｘ），故③正确，令ｘ１
＝
－
３３
，ｘ２
＝
３３
，ｘ３
＝０，
则ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＝０，ｆ（ｘ３）＝１，此时三角形ＡＢＣ为等边三角形，所以④正确；故选Ａ�� 考点：１�� 函数的奇偶性；２�� 函数的周期性；３�� 分段函数的表示与求值 ��
１
当ＡＢ垂直ｘ轴时｜ＡＢ｜最小，｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜值最大，
此时｜ＡＢ｜
＝
２ｂ２ａ
＝
ｂ２，∴ ５＝８－ｂ２，解得ｂ＝
３，故选Ｃ��
８�� 【答案】Ｄ
【解析】结合三角函数平移原理，得到ｇ（ｘ）的解析式，计算结果，即可 ��
，故选Ｃ��
４�� 【答案】Ｂ
【解析】Ａ中，∀ｘ∈Ｒ，ｅｘ＞０��
Ｂ中，∃ｘ＝２，ｘ＝４，２ｘ＝ｘ２，∃ｘ，２ｘ＜ｘ２��
{ Ｃ中，
ａ＋ｂｂ≠０
＝
０的充要条件是
ａｂ
＝
－１��
Ｄ中，ａ＞１，ｂ＞１可以得到ａｂ＞１，当ａｂ＞１时，不一定可以得到ａ＞１，ｂ＞１��
５�� 【答案】Ａ
【解析】原式＝１＋ｔａｎ１７° ＋ｔａｎ２８° ＋ｔａｎ１７°·ｔａｎ２８°
＝１＋ｔａｎ４５°（１－ｔａｎ１７°·ｔａｎ２８°）＋ｔａｎ１７°·ｔａｎ２８° ＝１＋１＝２�� 故选Ａ��
６�� 【答案】Ｃ
１０�� 【答案】Ａ
１１�� 【答案】Ｃ
【解析】法一：由已知得ｃｓｉｏｎｓαα ＝１ｃ＋ｏｓｓｉβｎβ，
所以ｓｉｎαｃｏｓβ ＝ｃｏｓα（１＋ｓｉｎβ），即ｓｉｎ（ α － β）＝ｃｏｓα��
结合诱导公式得
ｓｉｎ（ α － β）
＝
ｓｉｎ（
π ２
【解析】数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝２ｎ－１，可得ａ１＝Ｓ１＝２－１＝１；
当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝２ｎ－１－（２ｎ－１－１）＝２ｎ－１，对ｎ＝１也成立 �� 所以ａｎ＝２ｎ－１
启慧·衡阳市八中２０２０届高三月考试题（三）
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号１
２
３
４
５
６
７
８
９１０１１１２
答案ＤＢＣＢＡＣＣＤＡＡＣＢ
１�� 【答案】Ｄ
【详解】化简，得到
ｆ（ｘ）
＝
２ｓｉｎ（２ｘ
－
π ６
），根据三角函数平移性质可知，当将
ｆ（ｘ）的图像上的
所有点的横坐标缩短到原来的
１２
，纵坐标保持不变，得到函数解析式为
ｆ（ｘ）
＝２ｓｉｎ（４ｘ
－
π ６
）
，当把所得图像向上平移
１
个单位长度，得到
ｇ（ｘ）
＝２ｓｉｎ（４ｘ
－
π ６
）
＋１，故
【解析】注意集合中的元素的互异性 ��
２�� 【答案】Ｂ
３�� 【答案】Ｃ
【解析】ｚ
＝３
１＋４ｉ
＝
３
－４ｉ２５
＝
３２５
－
２４５ｉ
，所以
ｚ
的实部为
３２５
，虚部为
－
４２５
，
ｚ
的共轭复数为
３２５
＋
２４５ｉ，模为
（
３２５
）
２
＋
（
４２５
）
２
＝
１５
，
３２
π）上单调递减，所以
α
－β
＝２π
＋
（
π ２
－ α），即
β ＝２α
－
５２
π��
法二：由
ｔａｎα
＝
１
ｃ＋ｏｓｓｉβｎβ得
ｔａｎα
＝
ｓｉｎｃｏｓ
β ２
β ２
＋ｃｏｓ－ｓｉｎ
β ２
β ２
＝
ｔａｎ１－
（ｎ∈Ｎ∗ ）
ｌｏｇ２ａｎ＝ｌｏｇ２２ｎ－１＝ｎ－１，
则数列｛ｌｏｇ２ａｎ｝的前１１
项和等于０
＋１
＋２
＋…
＋９
＋１０
＝
１２
× （１＋１０） × １０＝５５��
故选Ｃ��
７�� 【答案】Ｃ
【解析】由题意可知椭圆是焦点在ｘ轴上的椭圆，利用椭圆定义得到｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＝８－｜ＡＢ｜，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当ＡＢ垂直于ｘ轴时｜ＡＢ｜最小，把｜ＡＢ｜的最小值ｂ２代入｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＝８－｜ＡＢ｜，由｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜的最大值等于５可求ｂ的值．【详解】由０＜ｂ＜２可知，焦点在ｘ轴上，∴ ａ＝２， ∵ 过Ｆ１的直线ｌ交椭圆于Ａ，Ｂ两点，∴ ｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＋｜ＢＦ１｜＋｜ＡＦ１｜＝２ａ＋２ａ＝４ａ＝８ ∴ ｜ＢＦ２｜＋｜ＡＦ２｜＝８－｜ＡＢ｜．