量子物理4-3

ˆ ˆ 如 a + n ≠ 0 就是 H 的另一个本征矢 本征值为 En + ℏϖ
重复推理过程可知
En , En + ℏϖ , En + 2ℏϖ ⋯
都是能量本征值
综合
1 En = n + ℏϖ 2
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四、a, a+ , N 算符的物理意义 ˆ ˆ ˆ
ˆ 1. N本征值方程：
ˆ H n = En n ˆ = N + 1 ℏω H ˆ 2 1 En = (n + )ℏω 2
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ˆ ˆ 2. a, a+ 作用于本征态 n
运用 a, a+ =1, ˆ ˆ
ˆ N n =n n
[
]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [N, a] = −a, [N, a ] = a
+
ˆ ⇒ a n = n n −1
下降算符(湮灭算符)
ˆ a+ n = n +1 n +1
上升算符(产生算符)
}
+
的本征基矢， 其中 |n>, |n-1>, |n+1> 等都是 H 的本征基矢， En, En-1, En+1。是相应本征值。 是相应本征值。
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类似: 类似 即:
[
ˆ , a + = (a + a + 1 )ℏϖ , a + = a + ℏϖ ˆ ˆ H ˆ ˆ ˆ 2
]
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ha + − a + H = a + ℏϖ , Ha = a + ( H + ℏϖ )
ˆˆ 作用于 n 态 Ha + n = a + ( H + ℏϖ ) n = (En + ℏϖ )a + n ˆ ˆ ˆ
递推公式
1 d ξ − ψ n −1 , ψ n (x ) = dξ 2n
ξ = αx =
µϖ
ℏ
x
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ˆ 例: 求降算符 a 的本征态，将其表示成各能量本征态 n 的线性叠加。
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小结
湮灭算符 产生算符 粒子数算符
ˆ a n = n n −1 ˆ+ n = n +1 n +1 a
ˆ = a+a N ˆ ˆ
ˆ N n =n n
ˆ = 1 + a+aℏω 线性谐振子哈密顿算符： H ˆ ˆ 2
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作业: P163 4-14
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ˆ , a = (a + a + 1 )ℏϖ , a = −aℏϖ ˆ ˆ H ˆ ˆ ˆ 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Ha − aH = − aℏϖ , Ha = a ( H − ℏϖ )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ Ha n = a( H − ℏϖ ) n = (En − ℏϖ )a n
α
1 2 ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆ [a − a] + µω α 1 2 [a + a ] α 1 2 [a + a ] 2 2
+
ˆ ˆ ˆ 2 = ℏω[a + a + 1 ] = ℏω[ N + 1 ] 2
ˆ ˆ ˆ 其 中 N = a+a 称 粒 数 符 为 子 算
4
三、线性谐振子能谱 即:
4.5 一维谐振子(升降算符方法) 一维谐振子(升降算符方法)
一、坐标表象下的线性谐振子 总能量算符(哈密顿算符):
ˆ = − ℏ2 H 2µ
d2 dx 2
+ 1 µω 2 x 2 2
波函数及能级分布
ψ = N e −α 2 x 2 / 2 H (αx) n n n En = (n + 1 )ℏω 2
本节我们从新的角度讨论这一问题。 本节我们从新的角度讨论这一问题。
α=
µω
ℏ
n = 0,1,2 ⋯
1
ˆ ˆ ˆ 二、 a, a+ , N 算符的定义
ˆ a=
ˆ a =
+
µω
2ℏ
ˆ ˆ [ x + µω p ] =
i
α
2
ˆ α ˆ [ x − i ℏ1 2 p ]
ˆ α ˆ [ x + iℏ1 2 p ]
ˆ a | 0 >= 0
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五、线性谐振子波函数
α ˆ ˆ 1 ˆ a= [ x − iℏα 2 p] (1) 2 a + = α [ x + 1 2 p] (2) ˆ ˆ iℏα ˆ 2
ˆ a | 0 >= 0
α
2
ˆ α ˆ [ x − iℏ1 2 p]ψ 0 ( x ) = 0
1 iℏα 2 1 iℏα 2
α2
= =
α2
1 2 iℏα 2 1 2 iℏα 2
ˆ ˆ ˆ ˆ {[ x, p] − [ p, x]} {2iℏ}
α2
=1
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ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 用算符 a, a+表示 x, p以及H
α ˆ ˆ α ˆ a= [ x − iℏ1 2 p ] (1) 2 a + = α [ x + 1 2 p] (2) ˆ ˆ iℏα ˆ 2
d ψ 0 (x ) + α 2 xψ 0 (x ) = 0 dx
积分
ψ 0 (x ) = N 0e
−α 2 x 2 / 2
, N 0为归一化常数
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ψ n (x )???
ˆ+ n = n +1 n +1 a
ˆ+ 0 = 0 +1 0 +1 a
ˆ +ψ0 (x) =ψ1( x) a
1 1 d ψ 1 (x ) = αx − ψ 0 ( x ) α dx 2
µω
2ℏ
ˆ ˆ [ x − µω p] =
i
α
2
二者满足如下对易关系
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ a , a + ] ≡ aa + − a + a = 1
2
证
+
ˆ ˆ [a , a + ] = 1
α α 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [a, a ] = ( x − iℏα 2 p), ( x + iℏα 2 p) 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ = p, x + p x − 2 α2 ˆ ˆ ˆ α ˆ ˆ ˆ ˆ α ˆ = 2 {[ x, x] + [ x, iℏ1 2 p] − [ iℏ1 2 p, x] − [ iℏ1 2 p, iℏ1 2 p]} α α
n 是 N 算符的本 征值，描写粒子 的数目， 的数目 ， 故 N 称 粒子数算符。 为粒子数算符。
ˆ N n =n n ˆ ˆ a+a n = n n
为单位变化， 因为 振子能量只能以 ℏ ω 为单位变化 ， 所以 ℏ ω 能量 单位可以看成是一个粒子， 称为“ 声子” 。 状态 |n > 单位可以看成是一个粒子 ， 称为 “ 声子 ” 个粒子（声子） 个声子态。 表示体系在此态中有 n 个粒子（声子）称为 n 个声子态。
[ ]
作用于 n 态
ˆ ˆ 如 a n ≠ 0 就是 H 的另一个本征矢 本征值为 En − ℏϖ 重复推理过程可知 En , En − ℏϖ , En − 2ℏϖ ⋯ 都是能量本征值Leabharlann 因为E>0ˆ a0 =0
ˆ 0 = ℏϖa + a 0 + 1 ℏϖ 0 = 1 ℏϖ 0 ⇒ E = 1 ℏϖ ˆ ˆ H 0 2 2 2
x = 1α [(2) + (1)] = α 1 2 [a + + a ] 2 p = iℏ α2 [(2) − (1)] = iℏ α2 [a + − a] ˆ
代入谐振子 Hamilton 量
p2 1 ˆ = ˆ + µω 2 x 2 H 2µ 2 1 ˆ ˆ = iℏ α2 [a + − a ]iℏ 2µ