浙江省杭州市七校联考高二数学上学期期中试卷(含解析)

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2023-2024学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x −√3y −1=0的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为（） A ．4B ．5C ．6D ．93．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若DM →=13DD 1→，则MB →=（） A ．13AA 1→+AD →−AB →B ．−13AA 1→−AD →+AB →C ．−23AA 1→+AD →−AB →D ．23AA 1→−AD →+AB →4．已知向量a →2=3，b →=（2，0），|a →+b →|=1，则a →与b →的夹角等于（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为x ，方差为s 2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为x ，方差为2，则下列判断正确的是（） A ．s 2＝2 B ．s 2＞2C ．s 2＜2D ．s 2与2的大小关系无法判断6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，直线l ：x ﹣my +2m ＝0与圆C 相交于A 、B 两点，若圆C 上存在点P ，使得△ABP 为正三角形，则实数m 的值为（） A ．m =−43 B ．m =43 C ．m =−43或m ＝0D ．m =43或m ＝07．棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点N 在以A 为球心半径为1的球面上，点M 在平面ABCD 内且C 1M 与平面ABCD 所成角为60°，则M ，N 两点间的最近距离是（） A ．2√2−2√33B ．2√2−2√33−1C ．2√3−1D ．2√3−2√28．第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别），若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有一位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（） A ．14B ．25C ．17D ．37二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题含解析

2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高二年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线10x +=的倾斜角为A.6π B.3π C.23π D.56π【答案】A 【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线10x +=，则33y x =+，设直线的倾斜角为α，所以tan 3α=，所以6πα=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（）A.1A B 和1ACB.1A B 和1C DC.1C D 和1B CD.1A B 和11B C 【答案】C 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积逐项判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D .对于A 选项，()10,1,1A B =- ，()11,1,1AC =- ，则11110A B AC ⋅=-=，故11A B AC ⊥；对于B 选项，()10,1,1DC =，11110A B DC ⋅=-= ，故11A B C D ⊥，B 对；对于C 选项，()11,0,1CB = ，111CB DC ⋅=，故1C D 和1B C 不垂直，C 错；对于D 选项，()111,0,0C B = ，1110A B C B ⋅=，故111A B B C ⊥，D 对,故选：C.3.如图三棱柱111ABC A B C -中，G 是棱1AA 的中点，若BA a = ，BC b =，1BA c = ，则CG =（）A.a b c-+- B.1122a b c -+ C.12a b c-++D.1122a b c-++ 【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出CG 关于a 、b 、c的关系式.【详解】由已知可得11AA BA BA c a =-=-，因为G 为棱1AA 的中点，则()111112222CG CA AG BA BC AA a b c a a b c =+=-+=-+-=-+.故选：B.4.在空间直角坐标系O xyz -中，已知()()()1,2,0,0,1,2,1,0,2A B C ，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.2B.3C.5 D.22【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量求出平面ABC 的一个法向量，代入点到平面距离公式即可得出结果.【详解】依题意可得()()1,1,2,1,1,0AB BC =--=- ，()1,2,0OA =，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，则20n AB x y z n BC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x =，则可得1,1y z ==，即()1,1,1n = ，所以点O 到平面ABC 的距离是33OA n d n⋅==.故选：B5.已知直线l ：()321020kx k y k ++--=，则下列选项错误的是（）A.当直线l 与直线20x y ++=平行时，1k =B.当直线l 与直线20x y ++=垂直时，12k =-C.当实数k 变化时，直线l 恒过点()2,1D.原点到直线l 【答案】C 【解析】【分析】A 项：根据与直线20x y ++=平行可求出k 值，即可求解；B 项：根据与直线20x y ++=垂直可求出k 值，即可求解；C 项：将直线l 整理得：()310220x y k y +-+-=，从而求出定点，即可求解；D 项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解.【详解】对于A 项：当直线l 与直线20x y ++=平行，得斜率为：312kk -=-+，解得：1k =，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线20x y ++=垂直，得斜率：312k k -=+，解得：12k =-，故B 项正确；对于C 项：直线l 化简为：()310220x y k y +-+-=，由3100220x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得：31x y =⎧⎨=⎩，即l 恒过定点()3,1，故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：=D 项正确.故选：C.6.已知抛物线2:4C x y =，过点()2,0M -的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若5PF =，则QF =（）A.97B.119C.139D.52【答案】C 【解析】【分析】设点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，根据抛物线的定义即可根据5PF =求得14y =，求解直线方程，将直线l 方程与抛物线的方程联立，求出1x ，2x ，由抛物线的定义可求得||QF 的值．【详解】易知点(0,1)F ，设点1(P x ,1)y ，2(Q x ,2)y ，其中110,0,y x >>由于5PF =，所以11154PF y y =+=⇒=，将14y =代入2:4C x y =得211116,0,4x x x =>∴= ，故直线l 的斜率为4263PM k ==，故其方程为()223y x =+，联立()22234y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得238160x x --=，解得214,43x x =-=，所以22442339y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭由抛物线的定义可得21319QF y =+=．故选：C7.已知圆()22:32C x y -+=，对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则实数m 的取值范围是（）A.,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.,44∞∞⎛⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33,44⎛- ⎝⎭D.33,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】作出图形，考虑PA 、PB 都与圆C 相切，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，分析可知，当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，计算出圆心C 到直线l 的距离d ，分析可得2>d ，即可求得实数m 的取值范围.【详解】如下图所示：圆心为()3,0C ，半径为2r =C 到直线l 的距离为261m d m =+考虑PA 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，PA PB =，又因为CA CB =，PC PC =，则PAC PBC ≌，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，因为AC PA ⊥，则2sin AC PCdθ=≤，故当PC l ⊥时，θ最大，此时，APB ∠最大，因为对于直线():30l mx y m m -+=∈R 上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得π2APB ∠=，则π22θ<，可得π4θ<，则2π2sin 42d <=，可得2621m d m =>+，解得24m <-或24m >.故选：B.8.已知12F F 分别是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点P Q ､，满足122F P F Q = ，且12π3F QF =∠，则该双曲线的离心率是（）A.73B.72C.53 D.73【答案】D 【解析】【分析】延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF ，结合双曲线的定义与余弦定理可得,a c 关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】如图，延长1PF 交交双曲线于M 点，连接212,,PF QF MF 因为122F P F Q =，所以2//PM QF ，根据双曲线的对称性可得,M Q 关于原点对称所以12MF F Q =，则四边形12F MF Q 为平行四边形，所以212π3PMF F QF ∠=∠=设12MF F Q m ==，则12PF m =，由双曲线定义可得：21212,2PF PF a MF MF a -=-=，所以2222,2PF a m MF a m =+=+，在2PMF V 中，由余弦定理得222222π2cos3PF PM MF PM MF =+-⋅⋅，则()()()()222122322322a m m a m m a m +=++-⨯⨯+⨯，整理得103a m =所以121016,33a aMF MF ==，在12F MF △中，由余弦定理得222121212π2cos 3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，则()2221016101612233332a a a a c ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22499c a =，所以73c a =则该双曲线的离心率是73c a =.故选：D .二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9.已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（）A.cos 3f παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图像关于直线π3x =对称C.将()2f x 图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D.若()3π5π,536f αα=<<，则4sin 10α=【答案】BCD 【解析】【分析】根据诱导公式可判断A ；根据正弦函数性质可判断B ；根据函数左右平移原则“左加右减”即可判断C ；根据两角差的正弦可判断D .【详解】因为ππππsin sin cos 3362f αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；函数()f x 的对称轴为πππ62x k +=+，Z k ∈，得ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()f x 的图像关于直线π3x =对称，故B 正确；由题意知()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所将()2f x 图像上所有点向右平移π6个单位，得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；因为()π3sin 65f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且π5π36α<<，所以πππ26α<+<，所以π4cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为ππππππsin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得4sin 10α=，故D 正确.故选：BCD .10.已知三棱锥O ABC -，则下列选项正确的是（）A.若()()0,1,2,1,1,1OA OB == ，则OA 在OB 上的投影向量为OBB.若G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心，则()13OG OA OB OC=++C.若233555OG OA OB =-++，则,,,A B C G 四点共面D.设(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析】利用投影向量的定义根据空间向量数量积的坐标运算计算可得A 正确，画出几何体由空间向量加减运算法则可求得B 正确，显然233555OG OA OB =-++不满足共面定理，可知C 错误；不共面的非零空间向量才可以构成空间的一个基底，可知D 错误.【详解】对于A ，易知OA 在OB上的投影向量为OA OB OB OB OBOB⋅⋅==,所以可知A 正确；对于B ，取BC 的中点为E ，连接,OE AE ，如下图所示：由G 是三棱锥O ABC -的底面ABC 的重心可得2AG GE =，易知()()22113323OG OA AG OA AE OA AC AB OA AC AB +=+=+⨯+==++()()1211133333O O C OB OB OC OB O A C=++++=+++=++ 所以()13OG OA OB OC =++，即可知B 正确；对于C ，若233555OG OA OC =-++ ，显然233415555-++=≠，则,,,A B C G 四点不共面，所以C 错误；对于D ，由(),,,R,,0a OA b OB c a b λμλμλμ===+∈≠ 可知，,,a b c共面，所以{},,a b c不能构成空间的一个基底，即D 错误.故选：AB11.已知椭圆221:143x y C +=，点O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆1C 的左右焦点，则下列选项正确的是（）A.椭圆1C 上存在点P ，使得12π2F PF ∠=B.P 为椭圆1C 上一点，点()4,4M ，则1PM PF -的最小值为1C.直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切D.已知圆222:(1)1C x y -+=，点P N ､分别是椭圆1C ､圆2C 上的动点，则PO PN的最小值为3【答案】BC 【解析】【分析】易知圆221x y +=与椭圆221:143x y C +=无交点，可得A 错误，由椭圆定义将1PM PF -转化为()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，即可知B 正确，联立直线l 与椭圆方程可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然方程只有一解，即可知C 正确，由21PN PF ≤+以及距离公式，构造函数并利用单调性可求出PO PN的最小值为12，即D 错误.【详解】对于A ，若存在点P ，使得12π2F PF ∠=，则点P 在以12F F 为直径的圆221x y +=上，而点P 在椭圆上，易知椭圆221:143x y C +=与圆221x y +=无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得1224PF PF a +==，则可得124PF PF =-，所以()1222444PM PF PM PF PM PF MF =---≥=-+-，当且仅当2,,P M F 三点共线时满足题意，又()21,0F ，()4,4M 可得25MF =，即1241PM PF MF -≥=-，所以B 正确；对于C ，将22143x y +=变形可得2234120x y +-=，结合直线l 可得22222123609cos cos cos x y θθθ+-=，联立直线()():3cos 6l x y θθ⋅=-⋅消去x可得223sin 0y y θθ-⋅+=，显然该方程仅有一解y θ=，所以当R θ∈时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线()()():3cos 60R l x y θθθ⋅+⋅-=∈与椭圆1C 一定相切，即C 正确；对于D ，易知圆222:(1)1C x y -+=的圆心为()21,0F ，所以可得21PN PF ≤+，不妨设()00,P x y ，则由2200143x y +=可得2200334x y =-，则PO PN≥=00===易知[]02,2x ∈-，令()[]22212,1262,3x f x x x x ∈=-+-+，则()()()()2212621236x x f x xx --+'=-+在[]2,2x ∈-上满足()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在[]22-,上单调递增，即()()124f x f ≥-=，因此可得12PO PN≥≥=，即PO PN 的最小值为12，即D 错误.故选：BC12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1CC 的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）A.存在点N 满足2ANM π∠=B.满足15A N =N 的轨迹长度是4πC.满足MN 平面11A BC 的点N 的轨迹长度是1D.满足11B N A M ⊥的点N 2【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，则有(200)A ，，，(0,2,1)M ,(0)N x y ，，，1(202)A ，，，(220)B ，，，1(022)C ，，，1(222)B ，，对于A 选项，若2ANM π∠=，则=0NA NM ⋅ ，且=(20)NA x y -- ，，，=(21)NM x y -- ，，，故N 轨迹方程为22(1)(1)=2x y -+-，当=0x 时，=0y ，点(00)，既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确对于B选项，1A N =，N ∴的轨迹方程为22(2)=1x y -+，0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴在底面内轨迹的长度是22(2)=1x y -+周长的14故长度为411π=4π⨯⨯，B 正确对于C 选项，1=(022)A B - ，，，11=(220)A C - ，，，设面11A BC 的法向量=()n x y z，，故有220220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，解得=1=1=1x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，故=(111)n ，，MN ∥平面11A BC ，=0MN n ∴⋅，N ∴的轨迹方程为3=0x y +-0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，C 错误对于D 选项，1=(222)B N x y --- ，，，1=(221)A M --，，11B N A M ⊥ ，11=0B N A M ∴⋅，N ∴的轨迹方程为1=0x y -++0202x y ≤≤≤≤ ，，N ∴，D 正确故选：ABD非选择题部分三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是__________.【答案】()2,1,6【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称求解即可.【详解】空间中点()2,1,6M -，则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是()2,1,6.故答案为：()2,1,6.14.已知双曲线的两条渐近线方程为0x ±=，并且经过点)A ，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】22142x y -=【解析】【分析】根据题意设双曲线方程为221mx ny -=，利用渐近线和过点)A 解方程组即可求得其标准方程.【详解】依题意可设双曲线方程为221mx ny -=，,0m n >；由渐近线方程为0x =可得2n m =，将点)A代入可得61m n -=，解得11,42m n ==，所以双曲线标准方程为22142x y -=.故答案为：22142x y -=15.已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，一条光线从点()3,1P 沿平行于x 轴的方向射出，与拋物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N .若3OM ON -⋅=，则M N ､两点到y 轴的距离之比为__________.【答案】116##0.0625【解析】【分析】设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和3OM ON -⋅=得出p 的值和M 、N 的坐标，然后可得M N ､两点到y 轴的距离之比．【详解】依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点(,0)2pF ，设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，直线MN 的方程为2px ty =+，由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得：2220y pty p --=，所以212y y p =-，2221212224y y p x x p p =⋅=，则21212334OM ON x x y y p ⋅=+=-=- ，又0p >，所以2p =，故抛物线方程为24y x=而11y =，故24y =-，所以2212121,4444y y x x ====所以M N ､两点到y 轴的距离之比为12116x x =．故答案为：116．16.已知四棱锥,P ABCD PA -⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，1,2,5PA AB AD ===，点,E F 分别在,AB BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ADF -外接球的体积为__________.【答案】273π2【解析】【分析】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，根据图形可知当,,,P E F D ''四点共线时，空间四边形PEFD 的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得ADF △外接圆的半径r ，在三棱锥P ADF -中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可得其体积.【详解】把平面PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，延长DC 到D ¢，使得1CD '=，则DF D F '=（如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE EF FD P E EF FD ''++=++最小，即,,,P E F D ''四点共线，易知6,4P D DD ''==，P D DD CF CD ''='，可得3CF =，所以2,22,13BF AB DF ===，45DAF ∠= ，由正弦定理可得ADF △外接圆的半径113262sin 452r =⨯=，设ADF △外接圆圆心为O '，则三棱锥P ADF -外接球的球心O 一定在过O '且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点,P A 的距离相等，所以222733242PA OA r ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，即三棱锥P ADF -外接球的半径为332R =，所以外接球的体积为34273ππ32V R ==.故答案为：273π2【点睛】关键点点睛：本题关键在于将PAB 展开到与底面ABCD 共面的P AB '的位置，确定出空间四边形PEFD 的周长最小时F 点的具体位置，求得三棱锥P ADF -的各边长进而求出外接球半径即可求出体积.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,7a b c c b =且2cos 2a c A b +=.（1）求C 的值；（2）若ABC 的面积为33BC 边上的高.【答案】（1）π3C =（23【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得1cos 2C =，可求出π3C =；（2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出3a b =，再由面积计算可得6a =，即可求得BC 边上的高为3【小问1详解】利用正弦定理由2cos 2a c A b +=可得sin 2sin cos 2sin A C A B +=，又在ABC 中，易知πA B C ++=，可得πA C B +=-，所以()()sin sin πsin A C B B +=-=；即()sin 2sin cos 2sin 2sin cos 2cos sin A C A A C A C A C +=+=+，可得sin 2sin cos A A C =，显然sin 0A ≠，所以12cos C =，所以1cos 2C =，又()0,πC ∈，可得π3C =；【小问2详解】由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，代入c =整理可得2260a ab b --=，解得3a b =或2a b =-（舍）；所以ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，解得2b =，所以6a =；设BC 边上的高为h ，则1122S h BC ah =⋅==，可得h =，即BC 18.已知圆()()222:40C x y r r -+=>，两点()30A -,、()5,0B -.（1）若6r =，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在点P ，使得2210PA PB +=，求圆C 半径r 的取值范围.【答案】（1）22y x =+或22y x =--（2）[]6,10【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离为d =，对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线l 的方程；（2）设点(),P x y ，利用平面内两点间的距离公式结合2210PA PB +=可得知点P 在圆()2244x y ++=，可知圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于r 的不等式，即可解得r 的取值范围.【小问1详解】解：当6r =时，圆C 的标准方程为()22436x y -+=，圆心为()4,0C ，因为直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，则圆心C 到直线l的距离为d ===若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为5x =-，此时，圆心C 到直线l 的距离为9，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()5y k x =+，即50kx y k -+=，则d ==，解得2k =±，所以，直线l的方程为22y x =+或22y x =--.【小问2详解】解：设点(),P x y ，则()()2222223510PB x y PA x y +=+++++=，整理可得()2244x y ++=，因为点P 在圆C 上，则圆C 与圆()2244x y ++=有公共点，且圆()2244x y ++=的圆心为()4,0E -，半径为2，则22r CE r -≤≤+，且8CE =，故282r r -≤≤+，因为0r >，解得610r ≤≤，故r 的取值范围是[]6,10.19.已知正三棱台111ABC A B C -中，11AA =，1122BC B C ==，D 、E 分别为1AA 、11B C 的中点.（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE ⊥平面11BCC B 【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，分析可知正三棱锥-P ABC 是棱长为2的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台111ABC A B C -的表面积；（2）设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，以点CO 、AB 、OP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出DE CP ⊥，DE CB ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.【小问1详解】解：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，如图所示：因为11//B C BC ，且1122BC B C ==，则1A 、1B 分别为PA 、PB 的中点，则122PA AA ==，2PC PB PA ===，故PBC 是边长为2的等边三角形，由此可知，PAB 、PAC △都是边长为2的等边三角形，易知ABC 是边长为2的等边三角形，111A B C △是边长为1的等边三角形，故正三棱台111ABC A B C -的表面积为111222393221444442PAB ABC A B C S S S ⨯++=⨯⨯+⨯+⨯=△△△.【小问2详解】解：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，πsin232CM AC ==⨯=，则233CO CM ==，因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP CO ⊥，所以，3PO ==，以点O 为坐标原点，CO 、AB 、OP的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则,0,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、0,0,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、,1,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、3,446D ⎛- ⎝⎭、1,,1243E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则36,1,36DE ⎛=- ⎝⎭ ，2326,0,33CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，)CB = ，所以，22033DE CP ⋅=-+= ，110DE CB ⋅=-+= ，所以，DE CP ⊥，DE CB ⊥，因为CP CB C ⋂=，CP 、CB ⊂平面11BCC B ，故DE ⊥平面11BCC B .20.已知函数()2,01,02xm x x x f x m x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，Rm ∈（1）当4m =时，求函数()f x 的值域；（2）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）(][),32,-∞-⋃+∞（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入4m =分别利用基本不等式和函数单调性求出两段函数值域即可得出结论；（2）对参数m 的取值进行分类讨论，利用基本不等式以及指数函数单调性分别对两函数的最值的符号作出判断，结合图象特征即可得函数()f x 的零点个数.【小问1详解】当4m =时可得()42,041,02xx x x f x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩；显然当0x >时，4222x x +-≥-=，当且仅当2x =时，等号成立，当0x ≤时，易知函数412x -在(],0-∞上单调递增，所以可得04411322x -≤-=-，即0x ≤时，(]41,32x -∈-∞-；综上可知，函数()f x 的值域为(][),32,-∞-⋃+∞；【小问2详解】①当0m ≤时，函数2m y x x=+-在()0,∞+上单调递增，且当x 趋近于0时，0y <，当x 趋近于+∞时，0y >，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递减，且当(],0x ∈-∞时，0y >恒成立，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；②当01m <<时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20<，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上存在两个零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m ->，即函数12x m y =-在(],0-∞上有一个零点；所以当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；③当1m =时，易知12y x x =+-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，此时最小值为0，即函数12y x x =+-在()0,∞+上存在一个零点；而函数112x y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为0，即函数112x y =-在(],0-∞上有一个零点；即当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；④当1m >时，易知2m y x x =+-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，此时最小值为20>，即函数2m y x x =+-在()0,∞+上无零点；而函数12x m y =-在(],0-∞上单调递增，且当x 趋近于-∞时，0y <，其最大值为10m -<，即函数12x m y =-在(],0-∞上无零点；所以当1m >时，函数()f x 没有零点；综上可知，当0m ≤时，函数()f x 仅有1个零点；当01m <<时，函数()f x 仅有3个零点；当1m =时,函数()f x 仅有2个零点；当1m >时，函数()f x 没有零点；21.已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，2FB FC BC ===，4AB =，G 是棱CF 上一点.（1）证明：AE 平面BCF ；（2）当BG 平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）46767【解析】【分析】（1）先证平面ADE //平面BCF ，再证明AE 平面BCF 即可；（2）设出G 的坐标，求出平面AEF 的法向量，由BG 平面AEF 的向量关系求出G 点坐标，再用向量法求线面角即可.【小问1详解】因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ；AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，又四边形BDEF 为平行四边形，所以//DE BF ，又DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，因为AD DE E ⋂=，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE //平面BCF ，因为AE ⊂平面ADE ，所以AE 平面BCF ；【小问2详解】如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，因为FBC 是等边三角形，所以FN BC ⊥，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC 平面ABCD BC =，所以FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，所以MN NB ⊥，以N 为坐标原点，,,NM NB NF 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，()()()()(4,1,0,0,1,0,0,1,0,4,1,0,0,0,A B C D F --，则(CF = ，设(01)CG tCF t =≤≤，则()0,G t -，可知()(()0,,4,1,,4,2,0BG t AF BD =-=--=- ，由底面是平行四边形，得(0,AE AF FE AF BD =+=+=- ，设平面AEF 的法向量为()111,,x n y z = ，则111114030x y y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，得1111,2y x ==，则平面AEF的法向量为12n ⎛= ⎝ ，由题意//BG 平面AEF ，则()102102BG n t ⋅=⨯+-⨯+= ，解得12t =，所以12CG CF = ，即G 是CF 中点，因为(0,AE =-，所以(4,E -，所以(10,,4,,22DE DG ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面DEG 的法向量为()222,,m x y z =，则22222014022y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，取21z =，得2234y x ==，所以平面DEG的法向量为34m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ，则sin cos ,67BG m BG m BG m θ⋅===⋅ .所以BG 与平面DEG所成角的正弦值为67.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点12D ⎫⎪⎭，点,A B 分别是椭圆C 的左､右顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0E 的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（P 在,E Q 之间），直线,AP BQ 交于点M ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）()0,1【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆过的点联立解方程组即可求得椭圆方程;（2）设出直线方程4x my =+并与椭圆联立并利用韦达定理得出关系式，解出直线PA 与QB 的交点12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭，利用弦长公式以及点到直线距离公式可求得面积12,S S 的表达式，即可得2122124S m S m -=+，再由212m >即可求得()120,1S S ∈.【小问1详解】由题意可知离心率为32c e a ==，将点12D ⎫⎪⎭代入椭圆方程可得223114a b +=，又222a b c =+，解得2224,1,3a b c ===；所以椭圆方程为2214x y +=【小问2详解】易知()()2,0,2,0A B -，设直线l 的方程为4x my =+，()()1122,,,P x y Q x y ，且12x x <，联立直线和椭圆方程22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()2248120m y my +++=，()()22841240m m ∆=-⨯+>，可得212m >，且121222812,44m y y y y m m +=-=++可得直线PA 的方程为()()11112226y y y x x x my =+=+++，直线QB 的方程为()2222y y x my =-+，解得12121221212262,33my y y y y y M y y y y ⎛⎫++ ⎪--⎝⎭PQ =；M 点到直线PQ 的距离为d =所以PQM的面积为()121221112122243y y S PQ d m y y -=⋅=⋅+-ABM 的面积为121221212231432S y y y y B y A y y y =⋅-=-；所以2122221221222331216444112444y y S m m m m y y m m m S ⨯⋅-⨯-+++====-+++，又212m >可得()21610,14m -∈+，即可得12S S 的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线面积范围问题时，往往根据题目已知条件写出面积的表达式，进而求得两面积比值的表达式，再由参数范围利用函数单调性或者基本不等式即可限定出要求的结果.。

2016-2017年浙江省杭州市七校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（3分）已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．（3分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．（3分）若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（3分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．（3分）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线7．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．（3分）下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤9．（3分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．（3分）在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（3分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．13．（3分）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3 D．a314．（3分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值16．（3分）设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2﹣4，﹣2+4]B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C．[﹣2+4，+∞）D．（﹣∞，﹣]17．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项18．（3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．（8分）一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．（8分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．（8分）若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．（14分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．2．（3分）已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．21【解答】解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an=，假设为数列的第n项，则，解得，n=11故选：B．3．（3分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选：C．4．（3分）若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，∴方程mx+2=0的解是2，则2m+2=0，解得m=﹣1，故选：A．5．（3分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．31【解答】解：在等差数列{a n}中，由首项a1=1，公差d=2，得a5=a1+4d=1+4×2=9．故选：B．6．（3分）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；故选：D．7．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a=﹣1，b=﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．8．（3分）下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤【解答】解：对于A：（a+1）（+1）=1+1+a+≥2+2=4，故A不正确，对于B，当0＜x＜1时，lnx+＜0，故B不正确，∵a+b=1，则a2+b2≥=，当且仅当a=b=，故C正确，D不正确，故选：C．9．（3分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α【解答】解：由α为平面，a、b为两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；在C中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；在D中，若a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故D错误．故选：B．10．（3分）在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=3a3，∴q=3，∴+++…+=q+q2+q3+…+q n===．故选：D．11．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角．连接FB1，在三角形FB1G中，AA1=AB=2，AD=1，B1F==B1G==，FG==，B1F2=B1G2+FG2．∴∠FGB1=90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°．故选：A．12．（3分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．13．（3分）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3 D．a3【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a，则它必然有两个面为等边三角形，如下图由图结合棱锥的体积公式，当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，故该四面体的体积最大，此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=，棱锥的高h=，则该四面体的体积最大值为V=×a2×=．故选：C．14．（3分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为a m a n=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选：A．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF为定值．D正确；的距离为，故V A﹣BEF故选：B．16．（3分）设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2﹣4，﹣2+4]B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C．[﹣2+4，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得y=x+，（x≥2）在x=2时，取最小值，故m≤﹣4=﹣，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]，故选：D．17．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选：C．18．（3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．（8分）一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．（8分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n=﹣2n+7，使S n最大的序号n的值3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．（8分）若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为16；则xy的最小值为12．【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y 取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A 1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．【解答】证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．（14分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．【解答】解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；（2）2S n=2a n2+a n﹣1，①2S n﹣1=2a n﹣12+a n﹣1﹣1，（n≥2），②①﹣②即得（a n﹣a n﹣1﹣）（a n+a n﹣1）=0，因为a n+a n﹣1≠0，所以a n﹣a n﹣1﹣=0，∴（3）2S n=2a n2+a n﹣1=2×，∴S n=，∴=n•2nT n=1×21+2×22+…+n•2n③又2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n2n+1 ④④﹣③T n=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2∴T n=（n﹣1）2n+1+2赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

第一学期期中杭州地区七校联考高二数学试卷

2007 学年第一学期期中杭州地区七校联考试卷高二年级数学学科命题人：萧山中学陶兴君校对：王芳一、选择题（每题3分，共30分）1、对于定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在实数0x ，使00()f x x =，那么0x 叫做函数()f x 的一个好点，已知函数2()21f x x ax =++不存在好点，那么a 的取值范围是（）A 、(1,1)-B 、31(,)22-C 、13(,)22-D 、(,1)(1,)-∞-+∞ 2、已知1()1(1)f x x x =--的最大值是（）A 、45B 、54C 、34D 、433、在等比数列{}n a 中，若1534a a +=，5130a a -=，则3a =（）A 、8B 、8-C 、8±D 、164、如果()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2008)(1)(3)(5)(2007)f f f f f f f f ++++=（）A 、1003B 、1004C 、2006D 、20085、某商场有四类食品，其中粮食类、植物类、动物类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物类与果蔬类食品的种数之和是（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 6、下列各数中最小的数是（）A 、(2)111111B 、(6)210C 、(4)1000D 、(9)817、关于函数1()f x x x=-（x R ∈且0x ≠），有下列三个结论：①()f x 的值域为R ；②()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；③()()0f x f x -+=。

其中正确的结论有（）A 、①②③B 、①③C 、①②D 、②③8、同时抛掷三枚骰子，事件A ：恰好是4,5,6，事件B ：恰好是数字5,6,6，设()P A 、()P B 分别为两事件的概率，则（） A 、()()P A P B =B 、()()P A P B >C 、()()P A P B <D 、无法确定 9、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下：1S 、2S 、3S 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A 、213S S S <<B 、312S S S <<C 、321S S S <<D 、132S S S <<10、对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 取值范围为（）A 、(1,3)B 、(,1)(3,)-∞+∞C 、(1,2)D 、(3,)+∞二、填空题（每题4分，共24分）11、对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对任意x R ∈，都有(1)(1)f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数；④函数(1)f x +与函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称。

浙江省杭州市高二上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．直线）2y x =-+A ．2B ．C ．D ． 1212-2-【答案】D【分析】根据斜截式方程，可得答案.【详解】由方程，2y x =-2-故选：D.2．圆心为，半径的圆的标准方程为（）()1,2-3r =A ．B ． ()()22129x y -++=()()22129x y ++-=C ．D ． ()()22123x y -++=()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为，半径()1,2-3r =圆的标准方程为；()()22129x y ++-=故选：B ． 3．已知向量，则（）()()2,1,3,1,1,2a b =-=- 2a b +=A ．B ．C ．D ()4,1,1-()5,1,4-【答案】B【分析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】 2(2,1,3)(2,2,4)(4,1,1)a b +=-+-=- 故选：B.4．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（） P 22125x y +=PA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，， 22125x y +=y 25,a a ==所以到椭圆两个焦点的距离之和为P 2a =故选：C5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，.则直线与直线111ABC A B C -122CA CC CB ===1BC 夹角的余弦值为（）1ABA B C D ． 35【答案】A【分析】由空间向量求解，【详解】由题图知，A 点的坐标为，B 点的坐标为，点的坐标为，点的()2,0,0()0,0,11B ()0,2,11C 坐标为.()0,2,0所以，.()10,2,1BC =- ()1=2,2,1AB -所以 cos θ==故选：A6．直线被圆所截得的弦长为（）:3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=A ．B ．4C ．D ．【答案】C【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.【详解】由题意知，圆心，圆C 的半径为3， ()1,2C故C 到，:3410l x y +-=2故所求弦长为．=故选：C7．已知椭圆，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则22143x y +=的最小值为（）PA PF +A ．3BCD121【答案】A【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性PF P 质可得.【详解】设椭圆的右焦点为，，， 2F (1,0)21AF =22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-又，，2||||PA PF -≤2||AF 222||||||||AF PA PF AF --≤≤当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交2P A F ，，||||PA PF +P 2F A 点），故选：A.8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为，，，()1,3A ()2,4B ()3,2C 则△ABC 的欧拉线方程为（）A ．B ． 50x y +-=50x y ++=C ．D ． 10x y -+=270x y +-=【答案】A【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC 的重心为，()2,3G 可得直线AB 的斜率为，则AB 边上高所在的直线斜率为，则方程为， 34112-=-1-5y x =-+直线AC 的斜率为，则AC 边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 321132-=--2y x =联立方程可得△ABC 的垂心为， 52y y xx =-+=⎧⎨⎩510,33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线GH 斜率为，则可得直线GH 方程为， 10331523-=--()32y x -=--故△ABC 的欧拉线方程为.50x y +-=故选：A.二、多选题9．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（）1111ABCD A B C D -A ．与B ．与 DO BO AC DB C ．与D ．与AD 11B C u u u u r 1A B u u u r 1D C 【答案】CD 【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A ：，但与方向相反，故A 不符题意；DO BO = DO BO B ：，但与方向不同，故B 不符题意；AC DB = AC DB C ：，且与方向相同，故C 符题意；11AD B C = AD 11B C u u u u r D ：，且与方向相同，故D 符题意. 11A B D C = 1A B u u u r 1D C 故选：CD.10．已知直线，，则（）1:(1)20l a x ay +++=2:(1)10l ax a y +--=A ．恒过点B ．若，则 1l (2,2)-12l l //212a =C ．若，则D ．当时，不经过第三象限12l l ⊥21a =01a ≤≤2l 【答案】BD【分析】对于A ，由直接求解即可；对于BC ，根据，时系数系数()2a x y x +=--12l l //12l l ⊥,,A B C 间的关系解决即可；对于D ，分类讨论即可.【详解】对于选项A ：直线的方程可化为：， 1l ()2a x y x +=--令得：， 020x y x +=⎧⎨--=⎩22x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过点，1l (2,2)-故选项A 错误，对于选项B ：若时，显然不平行，0a =12:2,:1l x l y =-=若时，显然不平行，1a =12:220,:1l x y l x ++==所以若，则， 12l l //11a a a a +-=--且， 211a a-≠-解得， 212a =故选项B 正确，对于选项C ：若，则，12l l ⊥(1)(1)0a a a a ++-=解得，0a =故选项C 错误，对于选项D ：若直线不经过第三象限，2l 当时，直线，符合题意，1a =2:1l x =当时，则，解得， 1a ≠01101a a a ⎧-≤⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩01a <…综上，，故选项D 正确，01a ≤≤故选：BD.11．设圆的圆心为，为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分22:2220x y x y +---=C ()5,1P P C 别为，则（）,A B A ．B ．四点共圆C ．D ．直线的方程为：PA PB ==,,,P A C B 60APB ∠=o AB 2x =【答案】ABCD【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD ；依题意可得到CPB ∠,A B ()3,1D ,,,P A C B 四点的距离相等，即可判断B ；【详解】解：因为，即，则圆心，半径22:2220C x y x y +---=()()22114x y -+-=()1,1C 2r =，故A 正确；在中，4==Rt BCP △，，所以，即，所以，4PC =2BC =1sin 2CPB ∠=30CPB ∠=︒260APB CPB ∠=∠=︒，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C 、D 正确；60BCP ACP ∠=∠=︒,A B 2AB 2x =如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B PC C ()3,1D 2DC DB DP AD ====,,,P A C B 正确；故选：ABCD12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（） 22193x y +=F (0y m m =<<,A B A ．为定值AF BF +B ．的周长的取值范围是ABF △[]6,12C ．当时，为直角三角形 m =ABF △D ．当时，1m =ABF △【答案】ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C ；求出坐,A B ·0AF BF = ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】设椭圆的左焦点为，则F '||||AF BF '=所以为定值，A 正确；||||||||6AF BF AF AF '+=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 错误；||AB (0,6)ABF △(6,12)将， y =(A B又因为，∴ F 20AF BF ⋅=+= 所以为直角三角形，C 正确；ABF △将与椭圆方程联立，解得，，所以D 正确. 1y =(A B 112ABF S =⨯=A 故选：ACD三、填空题13．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______． 2212516x y +=【答案】## 350.6【分析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.a c【详解】在椭圆中，，，则，2212516x y +=5a =4b =3c ==因此，该椭圆的离心率为. 35c e a ==故答案为：. 3514．在平面直角坐标系中，过圆：上任一点作圆：xOy 1C 22()(4)1x k y k -++-=P 2C 的一条切线，切点为，则当取最小值时，______．22(1)1x y ++=Q PQ k =【答案】 32【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为,,半径都是1.(),4k k -+()1,0-如图，因为PQ 为切线，所以，2PQ C Q ⊥由勾股定理，得，要使最小，则需最小，PQ =PQ 2PC 显然当点P 为与的交点时，最小，12C C 1C 2PC 此时，，所以当最小时，就最小，2121PC C C =-12C C 2PC1C C ==当时，最小，得到最小，32k =12C C PQ 故答案是：. 32【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的()1,0B -()0,0O 3x y +=最短总路程是______.【答案】5【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解.【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线与点O 3x y +=()00,A x y AB C由题知，点满足：()00,A x y ，解得：，，即点 0000322010x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩03x =03y =()3,3A 因为OC BC AC BC AB +=+=所以“将军饮马”的最短总路程为5AB ==故答案为：.516．如图，在四棱台中，，，，则ABCD A B C D -''''6AA '=90BAD ∠=︒60BAA DAA ''∠=∠=︒的最小值为___________．()(),R AC xAB y AD x y '-+∈【答案】【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面ABCD A B C D -''''垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在AD ⊥A MN 'Rt A AN 'A Rt AMN A A N 'MN 中求得，即为所求.Rt A MN 'A A M '【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点(),R AP xAB y AD x y =+∈ (),R AP xAB y AD x y =+∈ 为平面内任一点，P ABCD 故， ()AC xAB y AD AC AP PC '''-+=-= 显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值， PC '⊥ABCD PC ' ABCD A B C D -''''由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台C 'A 'A M '⊥ABCD A M 'ABCD A B C D -''''的高，其长度即为所求.再作于，连结，如图，MN AD ⊥N ,A N AM '因为平面，平面，所以，A M '⊥ABCD AD ⊂ABCD A M AD '⊥又，面，所以面，MN AD ⊥,A M MN M A M MN ''⋂=⊂、A MN 'AD ⊥A MN '因为面，所以，A N '⊂A MN 'AD A N '⊥所以在中，，，可得，Rt A AN 'A 60DAA '∠=︒6AA '=sin 606A N AA ''=︒==， 1cos 60632AN AA '=︒=⨯=又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足60BAA DAA ''∠=∠=︒AM BAD ∠M AB 为，同理可得，从而得到证得），Q 3AQ =Rt Rt AMN AMQ ≅A A 所以在中，，故， Rt AMN A 1452MAN BAD ∠=∠=︒3MN AN ==所以在中，Rt A MN 'A A M '===所以四棱台的高为，故的最小值为ABCD A B C D -''''()AC xAB y AD '-+故答案为：.【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以A '求解即可.四、解答题17．已知两直线l 1：x +8y +7=0和l 2：2x +y –1=0．（1）求l 1与l 2交点坐标；（2）求过l 1与l 2交点且与直线x +y +1=0平行的直线方程．【答案】（1）（1，–1）；（2）x +y =0．【分析】（1）两直线方程联立，可求出交点坐标；（2）所求直线的斜率与x +y +1=0的斜率相同，可设直线方程为 x +y +c =0，将（1）中求出的交点代入即可．【详解】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=-⎩所以l 1与l 2交点坐标是（1，–1）．（2）设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0，因为直线l 过l 1与l 2交点（1，–1），所以c =0，所以直线l 的方程为x +y =0．【点睛】本题考查了两直线的交点问题，及平行线间的关系，属于基础题．18．已知向量，.()2,1,2a =- ()1,4,1b =r(1)求的值；2a b - (2)求向量与夹角的余弦值.2a b + a b -【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，， ()2,1,2a =- ()1,4,1b =r∴，， ()24,2,4a =-r()23,6,3a b -=-r r ∴；2a =r （2）设与的夹角为，则， 2a b + a b -θ()()2cos 2a b a b a b a bθ+-=+⋅-r r r rrr r r ，，，()24,7,4a b +=r r29a b+=r r ()1,5,1a b -=-r r a b -= ∴cosθ===∴向量与夹角的余弦值为2a b + a b - 19．如图，在正四棱柱中，已知，，E ，F 分别为，1111ABCD A B C D -2AB AD ==15AA =1DD 1BB 上的点，且．11DE B F ==(1)求证：平面ACF ： BE ⊥(2)求点B 到平面ACF 的距离．【答案】(1)证明见详解. (2). 43【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明D DA x DC y 1DD z 与平面的一个法向量重合来证明平面.BEACF BE ⊥ACF （2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.B ACF 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图D DA x DC y 1DDz 所示：则,()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F 设面的一个法向量为，， ACF ()=,,n x y z ()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=可得，即，不妨令则, 00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩1z =()=2,2,1n BE --= 平面.BE ∴⊥ACF（2），则点到平面的距离为.()=0,2,0ABB ACF 43AB n n⋅= 20．已知椭圆：过点，长轴长为C 22221(0)x y a b a b+=>>(2,(1)求椭圆的标准方程；C (2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. (1,1)P l C A B P AB l 【答案】(1)22184x y +=(2)230x y +-=【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，得C 2a =a =又椭圆过点，C (2,所以，得.24218b +=24b =所以椭圆的标准方程为:.C 22184x y +=（2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： l (1,1)P l 1x =此时线段中点为，不合题意.AB ()1,0所以直线的斜率必存在，设其为，，，l k ()11,A x y ()22,B x y 因为为的中点，则，所以，P AB 12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩121222x x y y +=⎧⎨+=⎩将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， A B C 22184x y +=22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：，整理得：， 22221212084x x y y --+=12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=所以，， 12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-所以. 12124182y y k x x --===--所以直线的方程为，即.AB 11(1)2y x -=--230x y +-=因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. P l 21．已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于的M ，N 两点（点M ，N 异于A 点），若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)； 22(3)25x y -+=(2)证明见解析；定点. (6,12)--【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；222(3)x y r -+=r （2）直线n 斜率不存在时，不存在；直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，y kx t =+1(M x 1)kx t +，，求出直线的方程为即得解.2(N x 2)kx t +26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：设圆的标准为，把代入得， 222(3)x y r -+=(0,4)A =5r 故圆的标准方程为．22(3)25x y -+=（2）证明：当直线n 斜率不存在时，设，，(,)M a b (),N a b -直线，的斜率之积为2，，AM AN (0,4)A ，即， ∴442,0b b a a a---⋅=≠22162,0b a a =-≠点在圆上，(,)M a b ，()22325a b ∴-+=联立，，舍去， ()2222162325b a a b ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩04a b ==±⎧⎨⎩当直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，，， y kx t =+1(M x 1)kx t +2(N x 2)kx t +① ()()()()22121212124422440AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=联立方程， ()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩，，()122261kt x x k --∴+=+2122161t x x k -=+代入①，得，()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=化简得或， 26tk =+4t =若，则直线过，与题设矛盾，舍.4t =n ()0,4直线n 的方程为：，所以且∴26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(+1)20,+1=066x x t x y +-=∴20x y -=所以. 6,12x y =-=-所以过定点．(6,12)--22．如图，C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面平面为正三角形，AB PAC ⊥,ABC PAC A E ，F 分别是上的动点.,PC PB(1)求证：；BC AE ⊥(2)若E ，F 分别是的中点且异面直线与与平面,PC PB AF BC AEF 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线与平面所成角的取值范围.ABC PQ AEF 【答案】(1)证明见解析 (2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.BC ⊥PAC BC AE ⊥（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建//BC AEF //BC l 立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解. (2,,0)Q t AEF 【详解】（1）证明：因为C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以， AB BC AC ⊥又平面平面，且平面平面平面， PAC ⊥ABC PAC ,ABC AC BC =⊂ABC 所以平面平面. BC ⊥,PAC AE ⊂PAC 所以BC AE ⊥（2）由E ，F 分别是的中点，连结，所以，由（1）知， ,PC PB ,AE EF BC EF ∥BC AE ⊥所以，所以在中，就是异面直线与所成的角. EF AE ⊥Rt AFE A AFE ∠AF BC 因为异面直线与AFBC 所以tan ∠=AFE AE EF =又平面平面，EF ⊂,⊄AEF BC AEF 所以平面，又平面，平面平面， //BC AEF BC ⊂ABC ⋂EFA =ABCl 所以BC l ∥所以在平面中，过点A 作的平行线即为直线l .ABC BC以C 为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面的直线为z 轴，建,CA CB ABC立空间直角坐标系，设.2AC =因为为正三角形所以 PAC △AE =2EF =由已知E ，F 分别是的中点，所以,PC PB24BC EF ==则，所以，(2,0,0),(0,4,0),A BP 11,22⎛⎛⎝⎝E F 所以，3,(0,2,0)2⎛=-= ⎝E AF E 因为，所以可设，平面的一个法向量为，BC l ∥(2,,0)Q t AEF (,,)m x yz =则，取，得， 30220x AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩z=m =又，则. (1,,= PQ t 1|cos ,0,2⎛⎤〈〉 ⎝⎦ PQ m设直线与平面所成角为，则. PQ AEF θ1sin 0,2⎛⎤=⎝⎦θ所以直线与平面所成角的取值范围为.PQ AEF 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题【含答案】

A ．23-B ．3-6．已知()f x 是定义域为(,∞-(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．07．如图，在三棱锥O ABC -中，的三等分点，过点M 的平面分别交棱A ．133B ．8．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体等球与最大球和正四面体三个面均相切，知正四面体ABCD 棱长为CC中点A．Q为1PA长度的最小值为B．线段1C．存在一点PAN平面PBC；(1)求证：//(1)求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第(2)若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？(3)若女子组40位选手的平均分为117，标准差为19．已知函数2π5π()3sin(2)sin(236f x x =--+(1)若方程()f x m =在ππ[,]44x ∈-上有且只有一个实数根，求实数()(1)求证：1A C⊥平面BDE；B C的中点，求点(2)若点F为棱11B C上的动点（不包括端点）(3)若点F为线段11范围.22．在区间D上，如果函数(f x故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径9．ACD【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解【详解】不妨设样本甲的数据为10x x <≤11．ACA B C三个时间包含的样本点，【分析】首先分别列举,,选项，即可判断选项.【详解】事件A的所有基本事件为甲事件B的所有基本事件为甲1乙【详解】在底面ABCD 的投影为H ，连接,BH CH 2sin PH PHPC PBβα===，即2=PB 建系可得：()3,0,0B ，()3,3,0C ，(,,P x y z故D正确.故选：BCDx y--=13．250【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解因为M ，N 分别是PC ，PD 又因为//AB DC 且12AB DC =，所以//NM AB ，NM AB =，所以四边形所以//AN BM ，又因为AN ⊄则()0,0,0A ，()0,0,1P ，(0,1,0B 设平面PBC 的法向量为(,m x =因为()0,1,1BP =-，(22,0,0BC = 所以0220BP m y z BC m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令y =66在ABD △中，3AD =，2AB =，由正弦定理得32⨯00DB m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即301322x y z ⎧=⎪⎨-+⎪⎩不妨取1z =，则3y =，则m = 所以平面BDE 的一个法向量为m ()10,3,3A C =-- ，1AC ∴=-。

浙江省杭州地区七校高二数学上学期期中联考试题

浙江省杭州地区七校2011-2012学年高二上学期期中联考试题（数学）考试须知：1.本卷满分120分，考试时间100分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级，学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

一．选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。

（每小题4分，共40分）1.在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ▲ ） A ．两两相交的三条直线 B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 C ．三个点 D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点2.直线0x a +=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ ▲ ） A.030 B. 060 C. 0120 D. 01503．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是（ ▲ ）A.32 D. 124．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ▲ ）A. B. C. D.5．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ▲ ）A. 34πB.π32C.π23D. 6π6. 已知直线m 、n 与平面,αβ,给出下列三个命题：①若//m α，//n α,则//m n ;②若//m α,n α⊥,则n m ⊥;③若m α⊥,//m β,则αβ⊥.其中真命题的个数是（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 若n m ,满足012=-+n m , 则直线03=++n y mx 过定点 ( ▲ ) A. 61,21( B. )61,21(- C. )21,61(-118.如右图所示，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ▲ ）A ．B ．C ．6D ．9. 已知圆P 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线y ＝mx 与圆P 交于A 、B 两点，直线y ＝nx 与圆P 交于C 、D 两点，则OD OC OB OA ⋅+⋅(O 为坐标原点)等于 ( ▲ )A .4B .8C .9D .1810. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11C CDD 上的动点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 ( ▲ ) A.{}2 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧552 C. {}222|≤≤t t D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2552|t t二．填空题。

浙江省杭州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析

杭州2022学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：审题人：一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选切中.只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22950,2,1,2,4M x x x N =--<=-∣，则M N ⋂=（）A.{}2,1,2- B.{}1,2 C.{}1,4 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式得集合M ，再求交集即可.【详解】因为{}{}2129505,2,1,2,42M xx x x x N ⎧⎫=--<=-<<=-⎨⎬⎩⎭∣，所以{}1,2,4M N ⋂=，故选：D.2.已知复数z 满足()()1i 312i z z --=+，则z =（）A.13i 48-- B.13i 48-+C.13i44-+ D.13i44--【答案】B 【解析】【分析】先设复数i z a b =+，则i z a b =-，然后代入式子计算后，利用复数相等即可求解.【详解】复数i z a b =+，则i z a b =-，因为复数z 满足()()1i 312i z z --=+，所以(1i)(24i)12i a b -+=+，也即24(42)i 12i a b b a ++-=+，则有241422a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得：1438a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以13i 48z =-+，故选：B .3.已知直线10l y +=与直线2:10l kx y -+=，若直线1l 与直线2l 的夹角是60°，则k 的值为（）A.0B.0C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出1l 的倾斜角为120°，再求出直线2l 的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k .【详解】直线10l y +=的斜率为1k =，所以倾斜角为120°.要使直线1l 与直线2l 的夹角是60°，只需直线2l 的倾斜角为0°或60°，所以k 的值为0或故选：A4.设sin32k = ，则1tan16tan16+=（）A.2kB.1kC.2kD.k【答案】A 【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.5.已知函数()()31log 2,323,3x ax x f x x -⎧->=⎨-≤⎩，在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+ B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞ D.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】要使分段函数在定义域上单调递增，需要在每一段上为单调递增函数，且左端点值小于等于右端点的值，列出不等式，即可求出实数a 的取值范围.【详解】解：由题意得20ax ->，在3x >时，23a >又函数()f x 在定义域上单调递增，所以()313log 32231323a a --≥-=⇒-≥，解得53a ≥，所以，实数a 的取值范围为5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D.6.将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭重合，则a b -=（）A.2-B.1-C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数.【详解】假设折痕所在直线的斜率不存在，由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的方程为72x =-，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得折痕所在直线的方程为32x =-，故舍去；由点()3,4-与点()4,a -可得折痕所在直线的斜率不为0，由点()3,4-与点()4,a -关于折痕对称，两点的中点坐标为74,22a -+⎛⎫⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()4434aa -=----，则折痕所在直线的斜率为14a -，所以折痕所在直线的方程为：417242a y x a +⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭，即()744242x a y a a +=++--，由点()1,2-与点2,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于折痕对称，两点的中点坐标为232,22b ⎛⎫+ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭，两点确定直线的斜率为()222122b b -=----，则折痕所在直线的斜率为122b -，所以折痕所在直线的方程为：21322222by x b +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭-，即234444x by b b +=++--，则有()2144347444242b a b a b a ⎧=⎪--⎪⎨++⎪+=+--⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩.所以1a b -=故选：D7.在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，AB AC ⊥，动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，则异面直线1AB 和BM 所成角的余弦值的最大值为（）A.624B.4C.2 D.624【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点M 坐标，将异面直线1AB 和BM 所成角θ的余弦值以1cos cos ,AB BM θ=的形式表示，依据M 坐标的取值范围，求出cos θ的最大值.【详解】∵AB AC ⊥，且三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则由已知有()0,0,0A，()B，(1B ，∵动点M 在侧面11ACC A 上运动，且2AM =，∴设()000,,M y z ，[]00,2y ∈，[]00,2z ∈，且2AM ==，即22004y z +=，(1AB =，()00,BM y z =-，(10012AB BM z ⋅=-+=-+，1AB =，BM =，设异面直线1AB 和BM 所成角为θ，∴1111cos cos ,AB BMAB BM AB AB θ⋅===，∵[]00,2z ∈∴当00z =时，cos θ4=，故选：B.8.已知ABC 中，()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈，()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤ ，则PQ的最小值为（）A.3B.5C.D.2913【答案】C 【解析】【分析】首先找到min ||AB BC λ+时的λ值，根据三角形的边长条件算出BC 长度从而判断ABC 的形状，再建立平面直角坐标系将PQ用坐标表示出来，根据坐标再计算出PQ 即可.【详解】如图，设点O 为BC 上的一点，令BO BC λ= ，即AB BC AB BO AO λ==++，当AO BC⊥时AO取最小值3，此时根据勾股定理可得BO OC ==，由此可知ABC 为等边三角形，当点O 为BC的中点时建立如图直角坐标系：()0,3A，()B，)C，()3AB =-，)3AC =-()226AB μμ=-- ，())())11,31AC μμμ-=---())21,33AP AB AC μμμ=+-=--，故),3P μ--因为2BQ QA =，所以,23Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则,323PQ μ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PQ = 因为1233μ≤≤，所以当13μ=时PQ取最小值，min PQ= 故选:C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A .点斜式1y y -=()1k x x -可以表示任何直线B.直线42y x =-在y 轴上的截距为-2C.直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y -+=D.点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为【答案】BD 【解析】【分析】根据直线点斜式方程，斜截式方程的适用范围，结合直线关于直线的对称直线的求法，以及直线恒过定点的处理方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：当直线斜率不存在时，不能用该方程表示，故A 错误；对B ：42y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；对C ：点(),x y 关于y x =的对称点为(),y x ，故直线230x y -+=关于0x y -=对称的直线方程是230x y --=，故C 错误；对D ：()130ax a y a +-++=，即()130a x y y ++-+=，其恒过定点()4,3A -，又PA ==故点()2,1P 到直线()130ax a y a +-++=的最大距离为，D 正确.故选：BD.10.已知第一象限内的点(),P a b 在直线2210x y +-=上，则（）A.221sin sin 26a b ⎛⎫≤-⎪⎝⎭B.138a b+≥+C.22a b -≥D.ln ln 4ln 2a b +≥-【答案】BC 【解析】【分析】首先根据题意得到221a b +=，且0a >，0b >，再利用基本不等式和函数的单调性依次判断选项即可.【详解】依题意，有221a b +=，且0a >，0b >.对选项A ，因为22222211111223324666a b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22126a b ≥-，且22ππ1ππ,,2,22622a b ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭所以221sin sin 26a b ⎛⎫-⎪≥⎝⎭，故A 错误；对选项B ，因此1126(22)8833b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当314a -=，334b -=时，等号成立.故选项B 正确；对选项C ，2a b-=111()22222222a a a ---=>=，故选项C 正确.对选项D ，因为221()124416a b ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤==，当且仅当a b =时取等，所以1ln ln ln()4ln 216lna b ab +=≤=-，故选项D 错误，故选：BC11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角均为π6，则（）A.11AB D =B.AB 与平面11AB C D 所成的角为π6C.1B D 与平面11AA D D 所成的角为4πD.1AC CB =【答案】AC 【解析】【分析】不妨令1AA a =，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解．【详解】解：如图所示，连接11B D ，1AB ，不妨令1AA a =，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，1DD ⊥面1111D C B A ，所以11DB D ∠和1DB A ∠分别为1B D 与平面1111D C B A 和平面11AA B B 所成的角，即111π6DB D DB A ∠=∠=，所以在11Rt DB D 中，11DD AA a ==，111,2B D B D a ==，在1Rt ADB 中，12DB a =，1,AD a AB ==，所以在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB a =，12CB a =，3AC a =，11A D a=所以112AB A D =，1AC CB ≠，故A 正确，D 不正确；如下图，过B 作BE ⊥1AB 于E在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥面11AA B B ，BE ⊂面11AA B B 所以AD BE ⊥，又BE ⊥1AB ，11,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面11AB C D 则BE ⊥平面11AB C D所以1B AB ∠为AB 与平面11AB C D 所成的角，在1Rt ABB 中，1113sin 33BB a B AB AB a∠===，故选项B 错误，如下图，连接1A D在长方体1111ABCD A B C D -中，11B A ⊥面11AA D D ，则1B D 与平面11AA D D 所成的角为11B DA ∠且为锐角在11Rt A B D 中，1111122sin 22A B a B DA B D a ∠===，所以11π4B DA ∠=，故选项C 正确.故选：AC.12.对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A.[1,0]x ∀∈-，[]2x =-B.函数[]y x x =-的值域为[0,1)C.x ∀∈R ，[]1x x <+D.方程22021[]20220x x --=有两个实数根【答案】BCD 【解析】【分析】计算[]00=，A 错误，考虑x 为整数和x 不为整数，计算得到B 正确，根据[]1y x x =-<得到C 正确，解不等式得到[]1,0,1x =-，分别计算得到D 正确，得到答案.【详解】对于A ：根据定义，[]00=，A 错误；对于B ：当x 为整数时，[]=x x ，[]0x x -=；当x 不是整数时，[]()0,1x x -∈，故函数[]y x x =-的值域为[0,1)，B 正确；对于C ：根据B 知[]1y x x =-<，故x ∀∈R ，[]1x x <+，C 正确；对于D ：22021[]20220x x --=，故()()2202120221202120220x x x x --=+-≤，解得202212021x -≤≤，故[]1,0,1x =-，当[]1x =-时，2202120210x -=，解得1x =±，当=1x -时满足；当[]0x =时，2202120220x -=，解得x =，不成立；当[]1x =时，2202120230x -=，解得x =，当x =综上所述：方程有2个解，D 正确；故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,2a b == ，且()4a b a -⋅= ，则向量a 与b的夹角为__________.【答案】π4【解析】【分析】先求出a b ⋅ ，再利用公式可求向量a 与b 的夹角.【详解】因为a =，故a == ，而()4a b a -⋅= ，故24a b a -⋅= 即4b a ⋅= ，故cos ,2b a == ，而[],0,πb a ∈ ，故π,4b a = ，故答案为：π414.一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.【答案】13【解析】【分析】使用古典概型概率公式或全概率公式进行求解.【详解】方法一：由已知，该试验是古典概型，样本空间Ω中样本点的个数()212A 132n Ω==，设事件A =“第二次取到红球”，则事件A 分为“第一次取到绿球，第二次取到红球”和“两次取到的均为红球”两类，∴()112844C C A 321244n A =+=+=，∴()()()4411323n A P A n Ω===.方法二：设事件i R 表示“第i 次摸到红球”，事件i G 表示“第i 次摸到绿球”，1,2i =，则()()()()212121212P R P R R G R P R R P G R =⋃=+()()()()121121||P R P R R P G P R G =⋅+⋅43841121112113=⨯+⨯=.故答案为：13.15.已知函数()5sin ,012g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若123g g ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()g x 在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值但无最大值，则ω的值为__________.【答案】265【解析】【分析】由()g x 在(123ππ，上有最小值无最大值可知：08ω<≤，进而得51212ωππ+、5312ωππ+得范围，所以当((123g g ππ=时，结合()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，可得51212ωππ+与5312ωππ+关于32π对称，列式可求得结果.【详解】∵()()123g g ππ=，∴55sin()sin(1212312ωππωππ+=+①又∵()g x 在()123ππ，上有最小值无最大值，②∴312T ππ-≤即：24ππω≥又因为0ω>所以5π0812t x ωω<≤=+，.∴551312121212πωπππ<+≤，55371231212πωπππ<+≤③∴结合图象，由②③得：5132121212πωπππ≤+≤，35523122πωπππ<+≤④∴由①④得：553121231222ωππωπππ+++=解得：265ω=故答案为：265.16.球O 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，M 为球O 上一点，N 是1AB C V 的内切圆上的一点，则线段MN 长度的取值范围为__________.【答案】331⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】首先分析出1AB C V 的内切圆上的点到O 的距离，利用球的性质即可得解.【详解】设正方体的外接球的球心为O ，其半径3R =设1AB C V 的内切圆圆心为O '，由正方体的性质可得'⊥O O 平面1AB C ，所以ON 的长度为定值，且与O 到AC 的距离相等，即1ON =，由此可得线段MN 长度的取值范围是331⎡⎤-⎣⎦.故答案为：331⎤⎦四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线l 的方程为：(3)(12)(15)0m x m y m +--++=.（1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程.【答案】（1）证明见解析（2）240x y ++=【解析】【分析】（1）列出方程()25310x y m x y +++-+=，分别令250x y ++=，310x y -+=可求出定点；（2）令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】证明：原方程整理得：()25310x y m x y +++-+=．由250310x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --.【小问2详解】设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<．令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭ ．当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小．则1l 的方程为240x y ++=．18.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S ，且()()sin sin sin 6a b c a A B C S+-++=（1）求角A 的大小；（2）若3,a BA AC A ∠=⋅=- 的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.【答案】（1）π3A =（2）5AT =【解析】【分析】（1）根据正弦定理及三角形面积公式即可求解，化简得到222b c a bc +-=，结合余弦定理即可得解；（2）由向量的数量积运算法则和余弦定理求出32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩，利用三角恒等变换和正弦定理进行求解，得到正确答案.【小问1详解】()()1sin sin sin 66sin 3sin 2a b c a A B C S ab C ab C +-++==⨯=，由正弦定理得：()()3a b c a b c a abc +-++=，即()()3b c a b c a bc+-++=即22223b c a bc bc +-+=，即222b c a bc+-=所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由（1）知：π3A =，所以cos 3BA AC bc A ⋅=-=- ，即31cos 2A bc ==，解得：6bc =，由余弦定理得：227cos 2b c A bc +-=，所以22372b c bc bc+-=，解得：2213b c +=，解得：32b c =⎧⎨=⎩或23b c =⎧⎨=⎩当3,2b c ==得：222cos 214a c b B ac +-==，则sin 14B ==，所以πππ1sin sin sin cos cos sin 66614214214ATB B B B ⎛⎫∠=+=+=⨯⨯= ⎪⎝⎭，在三角形ABT 中，由正弦定理得：sin sin AT AB B ATB =∠，，321571414=635AT =；当2,3b c ==时，同理可得：635AT =；综上：5AT =19.如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若6AB BC ==，当三棱锥B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）先证明AEFD 是平行四边形，再结合圆柱的性质得到BE ⊥平面DEF ；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时EF 的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【小问1详解】证明：如图，连接AE ，由题意知AB 为O 的直径，所以AE BE ⊥．因为,AD EF 是圆柱的母线，所以AD EF 且AD EF =，所以四边形AEFD 是平行四边形．所以//AE DF ，所以BE DF ⊥．因为EF 是圆柱的母线，所以EF ⊥平面ABE ，又因为BE ⊂平面ABE ，所以EF BE ⊥．又因为DF EF F = ，DF EF ⊂、平面DEF ，所以BE ⊥平面DEF ．【小问2详解】由（1）知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高，由（1）知,EF AE AE DF ⊥∥，所以EF DF ⊥，即底面三角形DEF 是直角三角形．设,DF AE x BE y ===，则在Rt ABE 中有：226x y +=，所以221113326622B DEF DEF x y V S BE x y xy -+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤⋅ ⎝ ，当且仅当x y ==时等号成立，即点E ，F 分别是 AB ， CD 的中点时，三棱锥B DEF -的体积最大，（另解：等积转化法：13B DEF D BEF D BCF B CDF CDF V V V V S BC ----====⋅ 易得当F 与CD 距离最远时取到最大值，此时E 、F 分别为 AB 、 CD中点）下面求二面角B DF E --的正弦值：法一：由（1）得BE ⊥平面DEF ，因为DF ⊂平面DEF ，所以BE DF ⊥．又因为,EF DF EF BE E ⊥= ，所以DF ⊥平面BEF ．因为BF ⊂平面BEF ，所以BF DF ⊥，所以BFE ∠是二面角B DF E --的平面角，由（1）知BEF △为直角三角形，则3BF ==．故sin 3BE BFE BF ∠==，所以二面角B DF E --的正弦值为3．法二：由（1）知,,EA EB EF 两两相互垂直，如图，以点E 为原点，,,EA EB EF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),B D E F ．由（1）知BE ⊥平面DEF ，故平面DEF 的法向量可取为0)EB =．设平面BDF 的法向量为(,,)n x y z =，由((0,DF BF == ，得00n DF n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1z =，得n = ．设二面角B DF E --的平面角为θ，|||cos |cos ,|3||||n EB n EB n EB θ⋅====⋅ ∣，所以二面角B DF E --的正弦值为320.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为400瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数117382275以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.【答案】（1）2845；456（2）Y 值见解析，45【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份每天平均需求量；（2）分别求当温度大于等于25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于20℃时的利润，从而估计Y 大于零的概率．【小问1详解】由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为1+17+38＝56，∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P 56904528==；前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为()()227560038400117300410004569090++⨯+⨯++⨯=≈（瓶）；【小问2详解】当温度大于等于25℃时，需求量为600，Y ＝550×2＝1100元，当温度在[20，25）℃时，需求量为400，Y ＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200元，当温度低于20℃时，需求量为300，Y ＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400元，当温度大于等于20时，Y ＞0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：()9011772-+=，∴估计Y 大于零的概率P 724905==．21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112,AB AC BC AA AC =====1A B =，点M 为11B C 的中点，点N 是11C A 上一点，且113C N NA =.（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）求平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值.【答案】（1）31（2）287【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连接1,BO A O ，以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接1,BO A O，如图所示：因为112,AB AC BC AA AC =====所以OB AC ⊥，1A O AC ⊥，所以OB ==11A O ==.以O 为原点，,OB OC 分别为,x y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0A -，)B ，()0,1,0C ，设()1,0,A x z ，则11A O == ，1A B ==2x =-，12z=，即11,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.112A B ⎫=-⎪⎭，()BC = ，设平面1A BC 的法向量为()111,,m x y z = ，则111111020m A B z m BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令1x =，解得113,9y z ==，即)m = .()0,2,0AC = ，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则31AC m d m⋅=== 【小问2详解】()BC = ，1131,1,22CC AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面1BCC 的法向量为()222,,x n y z = ，则22122201022n BC y n CC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2x =，解得223,3y z ==-，即)3n =- .设()1333,,C x y z，则113331,,22A C x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0AC = ，因为11AC AC =，解得11,2,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()1444,,B x y z，则114441,,22A B x y z ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，)AB = ，因为11A B AB = ，解得131,1,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为点M 为11B C 的中点，所以310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，510,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.()1111111131,1,0,2,0,,4224222AN AA A N AA A C ⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AMN 的法向量为()555,,p x y z = ，则5555531022251022p AN x y z p AM y z ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令51y =，解得55,53x z =-=-，即,1,53p ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.8574cos ,287n p n p n p ⋅==⋅ ，因为平面1BCC 与平面AMN 所成平面角为锐角，所以平面1BCC 与平面AMN 所成平面角的余弦值8574287.22.设函数()()2222,,01x a f x x x a g x a x -=-=>-（1）当2a =时，求()f x 在区间[]3,6上的值域；（2）若[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,24（2）631623159a ≤≤【解析】【分析】（1）分类讨论后可得()2228,3428,46x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩，分别求出各段的范围后可得函数的值域.（2）就3a ≥、132a <<、102a <≤分类讨论()f x 的单调性后结合两个函数的值域的关系可求参数的取值范围.【小问1详解】()2228,342428,46x x x f x x x x x x ⎧-+≤≤=-=⎨-<≤⎩，当34x ≤≤时，()()2228f x x =--+，故()06f x ≤≤，当46x <≤时，()()2228f x x =--，故()024f x <≤，故()f x 在区间[]3,6上的值域为[]0,24.【小问2详解】由题设可得()f x 在[]3,6上不单调.()()221122121111x a x a a g x x x x x -+---===++---，若6a ≥，则()224f x x ax =-+，因为对称轴6x a =≥，则()f x 在[]3,6上为增函数，舍；若362a a <<<，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,a 为增函数，在[],6a 为减函数，此时120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()923292623625a f a f a f a -⎧≥⎪⎪-⎪≥⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到292121829224722362253a a a a a a a -⎧≥-⎪⎪-⎪≥-⎪⎨⎪-≤⎪⎪⎪>⎩，无解.若3a =，则()224f x x ax =-+，此时()f x 在[]3,6为减函数，舍；若332a <<，则26a <，故()2224,3224,26x ax x a f x x ax a x ⎧-+<<=⎨-≤≤⎩，此时()f x 在[]3,2a 为减函数，在[]2,6a 上为增函数，而120a -<，故121a y x -=-在[]3,6上为增函数，故()1211a g x x x -=++-在[]3,6上为增函数，故()g x 的值域为()()3,6g g ⎡⎤⎣⎦即为92362,25a a --⎡⎤⎢⎣⎦.因为[][]()3,6,3,61,2i m x i ∀∈∃∈=，且12x x ≠，使得()()()1,2i f x g m i ==，故()()()92223626536235a f a a f a f -⎧≥⎪⎪-⎪≤⎨⎪-⎪≤⎪⎩，整理得到：92023627224536212185a a a a a -⎧≥⎪⎪-⎪≤-⎨⎪-⎪≤-⎪⎩，解得631623159a ≤≤.若302<≤a ，则23a ≤，故()224f x x ax =-，而对称轴3x a =<，故()f x 在[]3,6上为增函数，舍；综上，631623159a ≤≤.【点睛】思路点睛：对于存在性和任意性综合问题，我们需要根据前者得到两个函数的值域关系，而且还要得到某一函数的性质，从而关于参数的不等式组.。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

杭州2023学年第一学期高二年级期中数学试卷（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.“2m =”是“直线1l：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线垂直求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直，则()()310m m m m -+-=，解得0m =或2m =，所以由“2m =”推得出“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”，即充分性成立；由“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”推不出“2m =”，即必要性不成立，所以“2m =”是“直线1l ：()310m x my -++=与直线2l ：()120mx m y +--=互相垂直”的充分不必要条件.故选：A2.已知事件,A B 相互独立，()0.5P A =，()0.4P B =，则()P A B +=（）A.0.88 B.0.9C.0.7D.0.72【答案】C 【解析】【分析】根据事件,A B 相互独立得到()()()0.2P AB P A P B ==，结合()()()()P A B P A P B P AB +=+-求出答案.【详解】因为事件,A B 相互独立，故()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=，又()0.5P A =，()0.4P B =，所以()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P AB +=+-=+-=.故选：C 3.过点)，且与椭圆2212516y x +=有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A.221189x y += B.221189y x += C.221123x y += D.221123y x +=【答案】D 【解析】【分析】设所求椭圆方程为22221y xa b +=()0a b >>，依题意可得22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2a 、2b ，即可求出椭圆方程.【详解】椭圆2212516y x +=的焦点为()0,3或()0,3-，设所求椭圆方程为22221y x a b+=()0a b >>，则22229421a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得22123a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为221123y x +=.故选：D4.已知()()()()0,0,2,1,0,1,1,1,0,0,0,0A B C O -，则点O 到平面ABC 的距离是（）A.11B.11C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量计算点面距离即可.【详解】由题意可知()()()1,0,3,1,1,2,0,0,2AB AC AO =-=-=-，设面ABC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则030200n AB x z x y z n AC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ ，取13,1z x y =⇒==-，即()3,1,1n =-，所以点O 到平面ABC 的距离是11AO n d n ⋅=== .故选：B5.点(),P x y 在圆222x y +=上运动，则3x y -+的取值范围（）A.[]0,1 B.[]0,4 C.[]1,5 D.[]1,4【答案】C 【解析】(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，求出圆心()0,0O 到直线30x y -+=的距离1d ，从而求出d 的取值范围，即可求出3x y -+的取值范围.【详解】圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =因为点(),P x y 在圆222xy +=上运动，又3x y-+=(),P x y 到直线30x y -+=的距离d ，所以3x y -+=，又圆心()0,0O 到直线30x y-+=的距离1322d ==，所以11d rd d r -≤≤+，即22d ≤≤，所以[]31,5x y -+=∈.故选：C6.如图，在边长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 上移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P 的轨迹结合函数求最值即可.【详解】依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()110,0,3,1,3,0,3,3,3D E B ，设()[](),,0,0,3P x y x y ∈，所以()()113,3,3,1,3,3B P x y D E =---=-，即1133033B P D E x y x y ⋅=+-=⇒=-，所以[]03330,1y y ≤-≤⇒∈，而1B P =，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1max B P =.故选：B7.已知A ，B 是圆()()()22:330C x m y m -+-=>上两点，且AB =.若存在R a ∈，使得直线1:410l ax y a -++=与2:50l x ay a +-=的交点P 恰为AB 的中点，则实数m 的取值范围为（）A.(0,1⎤-⎦B.(0,2⎤⎦C.(0,1⎤+⎦D.(3⎤+⎦【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长可得AB 中点M 的轨迹为()()2231x m y -+-=，又根据直线1l ，2l 的方程可知12l l ⊥，交点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，若P 恰为AB 的中点，即圆M 与圆P 有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数m 的取值范围.【详解】圆()()()22:330C x m y m -+-=>，半径为r =，设AB 中点为M ，且直线AB 与圆的相交弦长为AB =即1MC =，所以点M 的轨迹方程为()()()22310x m y m -+-=>，又直线1:410l ax y a -++=过定点()4,1Q -，直线2:50l x ay a +-=过定点()0,5S ，且12l l ⊥，则点P 是两垂线的交点，所以P 在以QS 为直径的圆上，则圆心()2,3-，半径12QS =，所以点P 的轨迹方程为()()22238x y ++-=，由于直线1l 的斜率存在，所以点P 的轨迹要除去点()4,5-，若点P 恰为AB 中点可知圆P 与圆M 有公共点，即11-≤，0m >，即121m -≤+≤+，解得31m -≤≤-，即01m <≤，故选：A.8.已知动点,P Q 分别在正四面体ABCD 的内切球与外接球的球面上，且PQ x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为（）A.1+6B.263C.12+D.83【答案】B 【解析】【分析】计算出正四面体ABCD 的内切球与外接球的半径，求出()2,x y z AT AT ++⋅范围，即可得出2x y z ++的最大值.【详解】由题意，连接,AD EF ，设交点为M ，则点M 是AD 中点设正方体边长为2，由几何知识得，点A 到面BCM 距离即为AM ，设内切球半径为1r ，外接球半径为2r ，三棱锥外接球半径222222232r ++==，而由正三棱锥内切球半径公式，13323r ==，取任意一点P ，使得()22x y z AT xAB y AC z AD xAB y AC z AM ++⋅=++=++，则点T 在面BCM 上，∴()123432333x y z AT PQ r r ++⋅=≤+=+=，点A 到面BCM 距离为=d AM ，则22AT d AM ≥=== ∴()43263232x y z AT x y z AT++⋅++=≤,故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如图所示,据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),下列说法正确的是（）A.众数为60或70B.45%分位数为70C.平均数为73D.中位数为75【答案】BC 【解析】【分析】利用众数的概念直接可判断A ，再根据平均数，中位数及百分位数公式可判断BCD.【详解】A 选项：由频率分布直方图可知众数为6070652+=，A 选项错误；B 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.45⨯+⨯=，所以45%分位数为70，B 选项正确；C 选项：由频率分布直方图可知平均数为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，C 选项正确；D 选项：由频率分布直方图可得0.005100.04100.450.5⨯+⨯=<，0.005100.04100.03100.750.5⨯+⨯+⨯=>，所以中位数[)70,80a ∈，所以()0.005100.0410700.030.5a ⨯+⨯+-⨯=，解得71.67a ≈，D 选项错误；故选：BC.10.已知点()0,1P 和直线:210l x y ++=,下列说法不正确的是（）A.经过点P 的直线都可以用方程1y kx =+表示B.直线l 在y 轴上的截距等于1C.点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.直线l 关于点P 对称的直线方程为230x y ++=【答案】ABD 【解析】【分析】当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，可判断A 选项，令0x =可判断B 选项，设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，根据对称的概念列方程，可判断C 选项，设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，根据对称及点()00,x y 在直线l 上，可得直线方程，即可判断D 选项.【详解】A 选项：当过点P 的直线斜率不存在时，方程为0x =，A 选项错误；B 选项：令0x =，得10y +=，即1y =-，所以截距为1-，B 选项错误；C 选项：设点P 关于直线l 的对称点为()11,x y ，所以()111101*********x y y x ++⎧⨯++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得118515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 关于直线l 的对称点坐标为81,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；设l 上一点()00,x y ，其对称点为(),x y ，则000212x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y =-⎧⎨=-⎩，又点()00,x y 在直线l 上，则()()2210x y ⨯-+-+=，即230x y +-=，D 选项错误；故选：ABD.11.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为棱111,A D AA 的中点,G 为面对角线1B C 上一个动点,则（）A.三棱锥1A EFG -的体积为定值B.点E 到直线1B CC.线段1B C 上存在点G ,使得FG BD⊥D.线段1B C 上不存在点G ,使平面//EFG 平面1BDC 【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法可判定A ，建立合适的空间直角坐标系利用空间向量计算点线距离，线线与面面位置关系可判定B 、C 、D .【详解】由正方体的结构特征可知1//B C 平面AEF ，故点G 到平面AEF 距离2h AB ==不变，所以11113G A EF A EFG A EF V V S h --==⨯⨯ ，又1122222A EF S =⨯⨯ 是定值，故A正确；如图所示，建立空间直角坐标系，则()()()()111,0,2,0,2,0,2,2,2,0,2,2E C B C ，()()2,0,1,2,2,0F B 所以()()11,2,2,2,0,2EC B C =--=--，故点E 到直线1B C的距离2d ==，故B 错误；设()1101B G B C λλ=<< ，则()()()110,2,12,0,22,2,12FG FB B C λλλλλ=+=+--=--，()2,2,0DB = ，所以4401DB FG λλ⋅=-+=⇒=，即G C 、重合，故C 正确；易知()10,2,2DC = ，设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z =，则102202200n DB x y y z n DC ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，取11y x z =-⇒==，即()1,1,1n =- 而()1,0,1EF =- ，则10,2212004n EF n FG λλλ⋅=⋅=--+-=⇒=-<，故不存在G 使得n FG ⊥，故D 正确.故选：ACD12.已知12(,0),(,0)F c F c -分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点P 为椭圆上一点,则21||||PF PF -的最大值是2cB.若点T 的坐标为1(,0)2a ,P 是椭圆上一动点,则线段PT 长度的最小值为12aC.过F 2作垂直于x 轴的直线,交椭圆于A ,B 两点,则22c AF a a=-D.若椭圆上恰有6个不同的点P ,使得12PF F △为等腰三角形,则椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】A ，结合三角形不等式即可；B ，设出(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，表达出22342222221244c a a PT m a b a c c ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，分3202a a c <<与322a a c≥两种情况，得到不同情况下的线段PT 长度的最小值，B 错误；；C ，x c =代入即可求；D ，选项，先得到上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，再数形结合得到1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，列出不等式组22a c ca c -<⎧⎨≠⎩，求出答案；【详解】对A ，1122||||||PF PF F F -≤，当P 在左顶点时等号成立，则最大值是2c ，A 正确；对B ，设(),P m n ，[],m a a ∈-，则22221m na b+=，22222222222222111244b m c PT m a n m am a b m am a b a a ⎛⎫=-+=-++-=-++ ⎪⎝⎭，2234222221244c a a m a b a c c⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，若b c <，此时222a c <，3202a a c <<，此时当322a m c =时，2PT 取得最小值，最小值为4222144a a b c+-，线段PT ；若b c ≥，此时222a c ≥，322a a c≥，此时当m a =时，2PT 取得最小值，最小值为214a ，线段PT 长度的最小值为12a ，综上：B 错误；对C ，当x c =时，22221c ya b+=，解得2b y a =±，即22222||b a c c AF a a a a-===-，C 正确；对D ，如图，椭圆左右顶点为,A B ，上下顶点为,C D ，显然上下顶点能够使得12PF F △为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点P ，使得12PF F △为等腰三角形，以1F 为圆心，12F F 为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,P P 两点，则要满足11F A FQ <，且111FC F P ≠，即22a c c a c-<⎧⎨≠⎩，解得：13c a >，且12c a ≠，故椭圆E 的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在两坐标轴上的截距相等，且与圆22(3)(4)2x y -+-=相切的直线有________条.【答案】4【解析】【分析】分横纵截距为零和横纵截距不为零两种情况讨论即可.【详解】圆()()22342x y -+-=的圆心坐标为()3,4，当横纵截距为零时，直线方程为()0y kx k =≠，=，整理得2724140k k -+=，因为22447141840∆=-⨯⨯=>，所以方程2724140k k -+=有两个解，故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切；当横纵截距不为零时，设直线方程为()0x y a a +=≠，=5a =或9，所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切，综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切.故答案为：4.14.已知矩形ABCD，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若BD =则二面角B AC D --的余弦值为________．【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可.【详解】如图所示，过B D 、分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足分别为E F 、，由矩形ABCD 中，1,AB BC ==，可知12,=60,,122AC BAC BE DF AE CF EF =∠⇒===== ，设二面角B AC D --的平面角为α，则,EB FD α=，2222222BD BE EF FD BD BE EF FD BE EF EF FD BE FD=++⇒=+++⋅+⋅+⋅ ()33312=++1+2cos πcos 4443αα⨯⨯-⇒=.故答案为：1315.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为,B O 为坐标原点，椭圆上的点()(),,,M M N N M x y N x y 分别在第一､二象限内，若OAN 与OBM 的面积相等，且2224M N x x b +=，则C的离心率为__________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得N M ay bx =，将点N 的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到,a b 关系，再根据离心率公式即可得到结果.【详解】因为OAN 与OBM 的面积相等，且()(),,,M M N N M x y N x y ，则1122N M ay bx =，即N M ay bx =，所以2222N M a y b x =，将(),N N N x y 坐标代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>，可得22221N N x y a b+=，化简可得222222N N b x a y a b +=，即222222N M b x b x a b +=，所以()22222NM bxx a b +=，且2224MN x x b +=，所以22224b b a b ⋅=，即224a b =，则离心率为2e ===，故答案为:216.某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为:l y kx b =+，222:C x y r +=，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得{},,1,2,3,4k b r ∈，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组(,,)k b r 的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________.【答案】78##0.875【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系结合古典概型分类讨论计算即可.【详解】易知数组(,,)k b r 有3464=种结果，若要直线与圆相交，需圆心()0,0C 到直线l 的距离2221b d r k r =<⇒<+，显然b r ≤时，22211b k r≤<+恒成立，若b r >，①当2,1b r ==，此时1k =不符题意；②当3,1b r ==，此时1,2k =不符题意，当3,2b r ==，此时1k =不符题意；③当4,1b r ==，此时1,2,3k =不符题意，当4,2b r ==，此时1k =不符题意，当4,3b r ==，k 取何值均成立；综上，共有8种情况不符题意，故答对的概率为871648P =-=.故答案为：78四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知, , a b c 是空间中的三个单位向量,且a b ⊥ ,,,60a c b c == .若2OM a b c =+-，OA a b c =++ ,2OB a b c =++ .（1）求MB;（2）求MB 和OA夹角的余弦值.【答案】（1；（2）15【解析】【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可.【小问1详解】由已知可得2MB OB OM a b c =-=-++，所以MB =；【小问2详解】由OA a b c OA =++⇒=，所以MB 和OA夹角的余弦值为222cos ,15MB OA MB OA MB OA⋅==⋅ .18.为调查高一、高二学生心理健康情况,某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分).经初步统计,参加测试的高一学生成绩i x ()1,2,3,,60i =⋅⋅⋅的平均分8x =,方差22x s =,高二学生成绩i y (i =1,2,…,40)的统计表如下:成绩y 456789频数12915103（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分y 和方差2y s ；（2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分z 和方差2z s .【答案】18.7，1.2；19.7.6，1.92.【解析】【分析】（1）利用统计表计算平均数与方差即可；（2）根据分层抽样的平均数与方差公式计算即可.【小问1详解】由表可知41526971581093712915103y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，()()()()()()222222214725796715771087397 1.240y s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-==；【小问2详解】由已知及（1）可知6040877.6100100z =⨯+⨯=，()()222226040 1.92100100z x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦.19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A ：至少收到一个正确信号；②事件B ：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】19.2027；20.事件A 与事件B 不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算()P A ，()P B ，()P AB ，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：2222122211222033333333333327⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】事件A 与事件B 不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为111133218⨯⨯=，故至少收到一个正确信号的概率为()11711818P A =-=；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()11111112121161332332332332183P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()111121211533233233218P AB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为()()()P A P B P AB ≠，所以事件A 与事件B 不互相独立.20.已知圆22:46120C x y x y +---=.（1）求过点()75,且与圆C 相切的直线方程;（2）求经过直线70x y +-=与圆C 的交点,且面积最小的圆的方程.【答案】（1）21202470x y +-=或7x =（2）23π【解析】【分析】（1）由已知可得点()75,在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切；（2）由已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，可得圆的半径1r =，可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为23π.【小问1详解】由22:46120C x y x y +---=得()()22:2325C x y -+-=，圆心()2,3C ，半径=5r ，又()75,到圆心的距离为5=>，所以点()75,在圆外，所以过点()75,的切线共有两条，当切线斜率存在时，设切线方程为()57y k x -=-，即750kx y k --+=，所以圆心C到直线的距离5d =，解得2120k =-，所以直线方程为()215720y x -=--，即21202470x y +-=，当直线斜率不存在时，直线方程为7x =，与圆C 相切，综上所述，切线方程为21202470x y +-=或7x =.【小问2详解】已知可设圆的方程为()22461270x y x y x y λ+---++-=，即()()22461270x y x y λλλ++-+---=，则圆的半径1r =可知当2λ=-时，1r ，此时面积最小为21π23πS r ==.21.如图，三棱台111ABC A B C -中，AB AC ==，112B C BC ==1AA =，点A 在平面111AB C 上的射影在111B A C ∠的平分线上.（1）求证：111AA B C ⊥；（2）若A 到平面111A B C 的距离为4，求直线AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35【解析】【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；（2）利用棱台的特征补全棱锥，结合等体积法求点面距离，计算即可.【小问1详解】如图所示，补全棱台，延长三条侧棱交于O 点，得到棱锥111O A B C -，由题意可知、、A B C 分别是三条侧棱111OA OB OC 、、的中点，取11B C 的中点D ，连接1A D ，设A 在底面111A B C 的投影为M ，连接AM ，根据题意可知AM ⊥底面111A B C ，且M 在1A D 上，因为11B C ⊂面111A B C ，所以11AM B C ⊥又1111AB AC A B A C =⇒=，所以111A D B C ⊥,而11,A D AM M A D AM ⋂=⊂、平面1AA D ,所以11B C ⊥面1AA D ,因为1AA ⊂面1AA D ，所以111B C AA ⊥；【小问2详解】过O 作ON ⊥底面111A B C ，结合（1）可知N 在1A D 上，且4,8AM ON ==，在111A B C △上，()2211111112225,2225322A B A C B C A D ⎛⎫===⇒=-= ⎪ ⎪⎝⎭，结合题意可知：22111122,2422A M A A AM A N A M DM DN =-===⇒==，则22221166,217OD DN ON OB B D OD =+==+=在11OA B中，22211111111112cos 2A O B O A B OA AA A OB A O B O +-==⇒∠==⋅所以1111sin OA B AOB S ∠=⇒= 设1C 到平面11AA B B 的距离为h ，11A C 与平面11AA B B 的夹角为θ，所以111111111111133O A B C A B C C OA B OA B V ON S V h S --=⋅==⋅ ，解之得：h =，所以11sin 35h A C θ==，因为11//A C AC ，所以直线AC 与平面11AA B B所成角的正弦值为35.22.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AD 的平行线交AC 于点E.（1）写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，过A 且与l 平行的直线与曲线1C 交于,P Q 两点，求AD PQ ⋅的取值范围.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）)⎡⎣【解析】【分析】（1）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB ED =，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线与圆，以及直线与椭圆方程，可得跟与系数的关系，结合向量的坐标运算，即可根据数量积的坐标运算得AD PQ ⋅= .【小问1详解】圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，故半径4r =因为||||4AD AC r ===，//EB AC ，故EBC ADC ACD ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=，因此||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2||||AB EA EB =<+，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：221(0)43x y y +=≠．【小问2详解】设直线CD 的方程为1x ty =+，则直线PQ 的方程为1x ty =-,联立直线CD 与圆的方程2212150x ty x y x =+⎧⎨++-=⎩，消元得()2214120t y ty ++-=，则()2221648164480t t t ∆=++=+>则()2242121t t x t t -±-±==++，联立直线PQ 与圆的方程221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690t y ty +--=，由于点A 在椭圆内，故该方程一定有两个不相等的实数根，不妨设()()3344,,,P x y Q x y ，则34342269,3434t y y y y t t -+==++，()()()()2222234343422221216944343434t t y y y y y y t t t +-⎛⎫-=+-=-= ⎪++⎝⎭+，()()43434311x x ty ty t y y -=---=-()()43434343,,PQ x x y y ty ty y y =--=-- ，()1,D D AD x y =+ ()()()()()()()()24343434343122D D D D D D AD PQ x ty ty y y y ty ty ty y y y t y y t y y ⋅=+-+-=+-+-=++- ，()22222432121D D t t y y t t t t -±++=+=±+所以2432D D AD PQ t y y t y y ⋅=++-== 令234,4t s s +=≥，则AD PQ ⋅== 令11,04x xs =<≤，则AD PQ ⋅= 由于函数27114y x x =-+的对称轴为1114x =，故27114y x x =-+在10,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，故当14x =时，27114y x x =-+取最小值2716，故2277114,416y x x ⎡⎫=-+∈⎪⎢⎣⎭，所以)AD PQ ⎡⋅=⎣ 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023学年第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.直线10x y ++=的倾斜角是（）A.34π B.23π C.4π D.-4π【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率1k =-，利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】直线10x y ++=化为=1y x --所以斜率1k =-，∴设直线的倾斜角为α,则tan 1α=-，结合[)0,απ∈，可得34πα=，故选A.【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识,属于基础题.2.已知平面向量()()1,3,1,2a b ==- ，则a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2- B.()1,2- C.()2,4- D.()3,6-【答案】B 【解析】【分析】由向量数量积求出a 在b方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅⋅=，再结合投影向量的定义求解.【详解】a 在b 方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⨯-+⨯⋅⋅==又b方向上的单位向量为,55||b b ⎛=- ⎝⎭，故a在b 方向上的投影向量是()||cos ,1,2||b a a b b ⋅⋅=-.故选：B.3.设m ､n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若,//m n αα⊥，则m n ⊥②若,αγβγ⊥⊥，则//αβ③若//,//m n αα，则//m n ④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥A.①和② B.①和④C.③和④D.②和③【答案】B 【解析】【分析】①运用线面平行、垂直的性质定理即可判断①；②运用面面垂直的判定和性质定理，即可判断②；③运用线面平行的性质定理，即可判断m ，n 的位置关系；④运用面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，即可判断④．【详解】①由于n ∥α，由线面平行的性质定理得，n 平行于过n 的平面与α的交线l ，又m ⊥α，故m ⊥l ，即m ⊥n ，故①正确；②若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，故②错；③若m ∥α，n ∥α，由线面平行的性质定理，即得m ，n 平行、相交或异面，故③错；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则面面平行的传递性得α∥γ，由线面垂直的性质定理得，m ⊥γ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质定理，考查面面平行、垂直的判定和性质定理的运用，是一道基础题．4.不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球不全为红色B.2个小球恰有一个红色C.2个小球至少有一个红色D.2个小球不全为绿色【答案】B 【解析】【分析】对于A 两个事件是对立的事件，故A 错误；对于B ，两个事件是互斥而不对立的，故B 正确；对于C ，两个事件不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两个事件可以同时发生，不互斥，故D 也错误.【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A ，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故A 错误；对于B ，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；对于C ，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；对于D ，2个小球不全为绿球与事件“2个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，故D 错误．故选：B ．5.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a = ，AD b = ，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A.1132a b c++ B.1162a b c-++C .1132a b c -+ D.1162a b c--+ 【答案】D 【解析】【分析】由图形可得MN MC CD DN =++，根据比例关系可得13MC AD = ，12DN DP = ，再根据向量减法DP AP AD =-，代入整理并代换为基底向量．【详解】()111111323262MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD AB AD AP=++=-+=-+-=--+即1162MN a b c=--+ 故选：D ．6.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2019届高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生平均分为658分，方差为208．则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为（）A.661.5，169.5B.661，187C.661，175D.660，180【答案】B 【解析】【分析】先求出总体均值，再利用分层抽样的方差公式即可得解．【详解】由题意甲的平均值为1665x =，方差为21131s =，乙的平均值是2658x =，方差为22208s =，则总体平均值为30665406586617070x ⨯⨯=+=，方差为()()22230401316656612086586611877070s ⎡⎤⎤⎡=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣⎦．故选：B ．7.圆224210x y x y +--+=与圆222210x y x y ++-+=的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】分别求两圆的圆心和半径，进而确定两圆的位置关系，分析判断.【详解】224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=，则圆心()12,1C ，半径12r =，222210x y x y ++-+=，即()()22111x y ++-=，则圆心()21,1C -，半径21r =，∵123C C ==，即1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切，故两圆的公切线有3条.故选：C.8.在三棱锥A BCD -，平面ACD ⊥平面BCD ，BCD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，ACD 为等边三角形，4CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.32π3B.56π3C.64π3 D.128π3【答案】C 【解析】【分析】先确定底面三角形外接圆圆心E ，过圆心E 且垂直底面的直线为AE ，在直线AE 上找球心O ，由于ACD 为等边三角形，所以球心为ACD 外接圆圆心，由正弦定理求外接圆半径即为外接球半径.【详解】取CD 中点E ，连结AE 根据题意，因为BCD △为等腰直角三角形，所以BCD △的外心为斜边CD 的中点E ，EB EC ED ==；又因为4CD =，所以BCD △的外接圆半径为2；因为平面ACD ⊥平面BCD ，平面ACD 平面BCD CD =,ACD 为等边三角形，所以AE CD ⊥，所以⊥AE 平面BCD ，所以外接球球心O 在直线AE 上，且OA OC OD ==,O 为ACD 的外心，因为ACD 为等边三角形，所以π3CAD ∠=,4CD =,所以由正弦定理有14π23sin 3OA =⋅=,所以三棱锥的外接球的表面积为22644π4ππ33S R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C二.多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的有（）A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则数据121x +，221x +，…，21n x +的标准差为16【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据古典概型概率计算方法即可计算；B ：根据平均数的计算方法求出m 的值，在根据方差计算公式即可求解；C ：根据50%分位数的求法求解即可；D ：根据方差的性质即可求解.【详解】对于A ：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是100.2540=，故A 正确；对于B ：已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则45(1267)4m =⨯-+++=，这组数据的方差为22222126(14)(24)(44)(64)(74)55⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 错误；对于C ：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第4个数17和第5个数19的平均数，为18，故C 正确；对于D ：若样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差为4，则方差为16，故数据121x +，221x +，…，21n x +的方差为216264⨯=，标准差为8.故D 错误.故选：AC10.如图，一个正方体密封容器中装有一半的水量，若将正方体随意旋转放置，则容器中水的上表面形状可能是（）A.三角形B.矩形C.非矩形的平行四边形D.六边形【答案】BCD 【解析】【分析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，结合正方体截面图形的特征判断即可．【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为矩形，如图（1），故B 正确；过正方体一面上一边的任意一点（非顶点）和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为非矩形的平行四边形，如图（2），故C 正确；在正方体一面上相邻两边各取一点（非顶点），过这两点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为六边形，如图（3），故D 正确；至于截面三角形，过正方体的中心不可能作出截面为三角形的图形，故选：BCD11.已知(4,2),(0,4)A B ，圆22:(4)(1)4C x y -+-=，P 为圆C 上动点，下列正确的是（）A.PB PA -的最大值为B.PA PB ⋅的最小值为7-C.x y +的最小值为5- D.PBA ∠最大时，||PB =【答案】ABC 【解析】【分析】利用数形结合法，转化为三点共线时，取得最大值，可判定A 正确；取AB 的中点为D ，转化为25PA PB PD ⋅=- ，结合点与圆的位置关系，可判定B 正确；利用直线0x y b +-=与圆C 相切时，求得b 的最小值，可判定C 正确；根据圆的切线的性质，结合圆切线长公式，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，因为(4,2),(0,4)A B ，可得AB =如图所示，可得PB PA AB -≤=当且仅当,,A B P 三点共线时，等号成立，所以PB PA -的最大值为A 正确.对于B 中，设AB 的中点为D ，则(2,3)D ，所以22()()()()PA PB PD DA PD DB PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=-⋅+=-225(2)57PD CD =-≥--=- ，所以B 正确；对于C 中，令b x y =+，当直线0x y b +-=与圆C 相切时，b 取值最值，由圆心到直线的距离2d ==，解得5b =±，所以x y +的最小值为5-，所以C 正确；对于D 中，当PB 与圆C 相切时，PBA ∠取得最大值，因为(0,4)B ，圆C 的圆心为(4,1)C ，可得5BC =，此时PB ==，所以D 错误.故选：ABC.12.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（）A.该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等B.与DF 所成的角是π3的棱有18条C.DF 与平面BCD 所成的角π4D.直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,]22【答案】CD【解析】【分析】将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A ；由两直线所成角的定义可判断B ；由线面角的定义可判断C ；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D ．【详解】设该半正多面体棱长为它的所有顶点都在同一个正方体的表面上；将该半正多面体补成正方体，正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为1O A ==,原正方体的外接球的半径1O K =，故A 错误；与DF 成π3的棱有,,,HF AG AF GH 和与面AFHG 相对的面上的,,,;CI JN CJ IN 还有,,,DH BC CD BH 和与面BCDH 相对的面上的,,,,AM NS MN AS 共16条，故B 错误；由FR ⊥平面BCDH ，可得FDR ∠为DF 与平面BCD 所成角，由于DRF 为等腰直角三角形，所以π4FDR ∠=，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,1,0,2,2,1,1,0,2,0,1,2,1,2,2A F B C D ,所以()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1AF CD FD ===-;又()1,1,0,BC =-设()[],,0,0,1BE BC λλλλ==-∈ ，则()()1,,0,,2,0E DE λλλλ-=--.cos ,AF DE AF DE AF DE⋅==--令111,,22t λ⎡⎤=∈--⎢⎥-⎣⎦则cos ,AF DE = 21221,1,2t t ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦所以1cos ,,22AF DE ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故直线DE 与直线AF所成角的余弦值的取值范围为12[,22.故D 正确.故选：CD.三、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分）13.已知直线1:21l x ay +=与直线2:210l x y +-=，若12//l l ，则1l 与2l 之间距离是__________【答案】510【解析】【分析】两条平行直线1l 与2l 之间的距离，等于直线1l 上的点到直线2l 的距离.【详解】直线1:21l x ay +=过点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，由12//l l ，1l 与2l 之间距离等于点1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭到直线的2:210l x y +-=距离，故距离2211152210512d -===+.故答案为：510.14.在空间直角坐标系中，已知三点A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），则点C 到直线AB 的距离为____________.【答案】11011【解析】【分析】根据空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】由A （3，2，0），B （2，1，3），C （3，1，0），可得：(1,1,3)AB =-- ，(0,1,0)AC =- ，所以可得：cos ,AC AB AC AB AC AB⋅〈〉==⋅ ，因此sin ,11AC AB 〈〉=== ，于是点C 到直线AB的距离为sin ,11111AC AC AB ⋅〈〉=⨯= ，故答案为：1101115.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹为圆，已知,P Q 分别是圆22:(4)4C x y -+=与直线:40l x y -+=上的点，O 是坐标原点，则2||||PQ PO +的最小值为_______【答案】【解析】【分析】由阿波罗尼斯圆的定义，设(),0A a ， 1 2PA PO =，对比圆C 方程求得()3,0A ，则有()22PQ PO PQ PA +=+，最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=距离的两倍.【详解】设()0,0O ，(),0A a ，设(),P x y，若 1 2PA PO ==，整理得2224439a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由圆C 方程得2443449a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3a =，则()3,0A ．圆22:(4)4C x y -+=上任意一点P ，都有2PO PA =，所以()22PQ PO PQ PA +=+，PQ PA +的最小值为点()3,0A 到直线:40l x y -+=的距离AB ，22342211AB +==+，所以()22272PQ PO PQ PA AB +=+≥=，即2||||PQ PO +的最小值为72故答案为：7216.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .若1F 关于直线2y x =的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=__________.【答案】1213【解析】【分析】由点的对称性求出点P 坐标，和线段1PF 、2PF ，从而发现12F PF ∠为直角，再由椭圆标准定义找到a c 、关系，并求出2QF 、1QF 的长度，最后在直角三角形2QPF △中，求出12cos F QF ∠的值.【详解】设1(,0)F c -关于直线2y x =的对称点11(,)P x y ，由111121222y x c y x c ⎧⋅=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，得34(,55c c P -，可知1455PF c =，2255PF c =，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得5a c =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222()()()555m c m ++=-，解得4525m =，从而226525QF =，24525QP =，所以22112cos 13F QPQF F Q ∠==.故答案为：1213四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2b a B c +=，（1）求A ∠；（2）若a =，ABC 的面积为2，求ABC 的周长.【答案】17.π318.3+【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（2）根据面积公式可得2bc =，利用余弦定理可得3b c +=，即可得结果.【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得sin 2sin cos 2sin B A B C +=，又因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，即sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin B A B A B A B +=+，则sin 2cos sin B A B =，且()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=.【小问2详解】因为ABC 的面积为11sin 2222=⨯=bc A bc ，可得2bc =，由余弦定理可得2222cos c b bc A a +-=，即223b c bc +-=，整理得()2339+=+=b c bc ，可得3b c +=，所以ABC 的周长为3a b c ++=+.18.已知直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．（1）若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 不经过第三象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）30x y +=或20x y ++=（2）2a ≥【解析】【分析】（1）当直线过原点时，直线在x 轴和y 轴上的截距为零，将原点坐标代入求解，当直线不经过原点时，截距存在且均不为零.由221a a a -=-+求解.（2）根据直线l 经过定点(1,3)-，方程化为(1) 2y a x a =-++-，由(1)3-+≤-a 求解.【详解】（1）当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，，方程即为3 0x y +=当直线不经过原点时，截距存在且均不为零，221a a a -∴=-+，即11a +=0a ∴=，方程即为20x y ++=综上，直线l 的方程为30x y +=或20x y ++=（2）因为直线l 的方程为12())0(a R a x y a +++-∈=．可化为：()120x a x y -+++=令1020x x y -=⎧⎨++=⎩，解得13x y =⎧⎨=-⎩所以直线l 经过定点(1,3)P -，方程化为(1) 2y a x a =-++-如图所示：若直线l 不经过第三象限则(1)3-+≤-a 2a ∴≥所以a 的取值范围是：2a ≥【点睛】本题主要考查直线的方程和直线在坐标轴上的截距和在坐标系中的位置，还考查了数形结合的思想法，属于中档题.19.在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线．考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据．每一个学科的评价都有一个标准进行判断．以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一、二、三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档．在一次全市的模拟考考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为[)0,70．（1）求成绩位于[)30,60时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；（2）在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1．在此次模拟考试中．甲、乙、丙三位考生的数学成绩分别为65，94，122．请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分过特控线的人数2X =的概率．【答案】（1）0.16，第一档的分数段为[]100,150，第二档的分数段为[)70,100（2）0.41【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，求出成绩在[)30,60所对应的频率为0.16，结合题干条件求出一档、二档的分数段；（2）首先判断出甲、乙、丙的成绩属于哪一档，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】根据频率分布直方图的信息，成绩在[)[)[)[)0,30,30,60,60,90,90,120，[]120150,对应的频率分别为0.12,30,0.42,0.24,0.06a .根据总的频率和为1，即0.12300.420.240.061a ++++=，解得300.16a =，即成绩在[)30,60所对应的频率为0.16.因为0.220.060.16=+，且0.1620.243=，可知成绩在[)90,120内的前23也属于第一档，即可知第一档的分数段为[]100,150，0.580.060.240.28=++且0.2820.423=，故成绩在[)60,90内的前23也属于第二档，所以二档的分数段为[)70,100.【小问2详解】根据第（1）问的结论可知，甲的数学成绩属于第三档，乙的数学成绩属于第二档，丙的数学成绩属于第一档，则()20.80.50.90.20.50.10.80.50.10.41P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.20.如图，四面体ABCD 中，2AB AC ==，2DB DC ==，设E 为BC 的中点．（1）求证：平面AED ⊥平面BCD ；（2）若∠BAC =60°，AD=3，求二面角B-AD-C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）17-【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）作出二面角的平面角，结合余弦定理进行求解.【小问1详解】证明：因为AB AC =，DB DC =，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又因为AE DE ⊂，平面AED ，DE AE E ＝，所以BC ⊥平面AED ；因为BC ⊂平面BCD ，所以平面AED ⊥平面BCD ；.【小问2详解】作BF ⊥AD ，连接CF ，由题知，ABD ACD ≅ ，所以CF ⊥AD ，所以∠BCF 为二面角B-AD-C 的平面角.因为AB AC =，∠BAC =60°，所以ABC 为正三角形，2BC AC ==.由于AB =BD ，且BF ⊥AD ，所以F 为AD 中点，故72BF ==.同理72CF =，所以2221cos 27BF CF BC BFC BF CF +-∠==-⋅，即二面角B-AD-C 的余弦值为17-.21.小明同学某天发现，在阳光下的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心O 且与太阳平行光线垂直的平面为α，地面所在平面为β，篮球与地面的切点为H ，球心为O ，球心O 在地面的影子为点O '；已知太阳光线与地面的夹角为θ；（1）求平面α与平面β所成角ϕ（用θ表示）；（2）如图，AB 为球O 的一条直径，,A B ''为,A B 在地面的影子，点H 在线段A B ''上，小明经过研究资料发现，当π2θ≠时，篮球的影子为一椭圆，且点H 为椭圆的焦点，线段A B ''为椭圆的长轴，求此时该椭圆的离心率（用θ表示）.【答案】（1）π2θ-；（2）cos θ.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量求面面角，列式求解即得.（2）利用圆的切线性质，求出椭圆长半轴长与半焦距的表示式即可求出离心率.【小问1详解】观察图形知，AA ' 为平面α的法向量，设平面β的法向量为n，光线与地面夹角为θ，依题意，π02θ<≤，1πcos |cos ,|sin cos()2n AA ϕθθ=〈〉==- ，而0πϕ≤≤，所以π2ϕθ=-.【小问2详解】设篮球半径为R ，显然平面ABB A ''⊥平面β，连接,OH OB '，OH ⊥平面β，过B '作//B C AB '交AA '于C ，则,B C AA B C AB ''='⊥，于是椭圆长轴22sin sin B C R a A B θθ'''===，在四边形ABB A ''中，122B OH BOH θ∠=∠='，令椭圆半焦距为c ，而π02θ<<，则2sin2sin(1cos)22tan(1cos)2sincos2sin cos222R R Ra c B H R aθθθθθθθθθ⋅-'-======-，解得coscaθ=，所以该椭圆的离心率为cosθ.22.已知点()0,2A，10,2B⎛⎫⎪⎝⎭，点P为曲线Γ上任意一点且满足2PA PB=.（1）求曲线Γ的方程；（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别交直线:3l y=于点F、G.求证：以FG为直线的圆C与y轴交于定点S，并求出点S的坐标.【答案】（1）221x y+=（2）证明过程详见解析，S点坐标为(0,3±【解析】【分析】（1）由题意，先设(),P x y，根据2PA PB=，列出 ,x y的关系式，化简整理，即可求出结果；（2）先由圆的方程求出()0,1M，()0,1N-，设点()00,R x y，表示出直线RM与NR的方程，分别求出F、G坐标，再由题意得出•0SF SG=，进而可求出结果.【详解】解：（1）设(),P x y，由2PA PB=，=，整理得221x y+=.所以曲线Γ的方程为221x y+=.（2）由题意得，()0,1M，()0,1N-.设点()()000,0R x y x≠，由点R在曲线Γ上，所以22001x y+=.直线RM 的方程为0011y y x x --=，所以直线RM 与直线3y =的交点为002,31x F y ⎛⎫⎪-⎝⎭.直线NR 的方程为0011y y x x ++=，所以直线NR 与直线3y =的交点为004,31x G y ⎛⎫⎪+⎝⎭.设点()0,S m ，则000024,3,,311x x SF m SG m y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭.由题意得•0SF SG = ，即()2000024•3011x x m y y +-=-+，整理得()220208301x m y +-=-.因为22001x y +=，所以()2830m -+-=，解得3m =±.所以点S的坐标为(0,3S ±.【点睛】本题主要考查点的轨迹方程，以及圆的方程的应用，常需要通过已知点所满足的关系式，求解其它的量，属于中档试题.。

浙江省杭州市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期中考试数学试题卷（答案在最后）2023年11月考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号，并填涂卡号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效．4．考试结束，只上交答题卷．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3）B.（2，3）C.（﹣3，2）D.（3，2）【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：直线2x ﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x ﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D ．2.双曲线22149x y -=的渐近线方程是（）A.32y x =± B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =±【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线22149x y -=的渐近线方程是：32y x=±故选：A3.如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，且OA a = ，OB b =，OC c =，则向量OQ 可表示为（）A.111366a b c ++ B.111633a b c ++C.111336a b c ++ D.111663a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案.【详解】由题意M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，连接ON ,得1111()2323OQ OM MQ OA MN ON OM =+=+=+-1111()2326OA OB OC OA =+⨯+-111311()3666OA OB OC a b c =++=++,故选：A4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值是（）A.33B.23C.36D.13【答案】C【分析】构建基向量AB ，AD ，1AA表示11,AC BC ，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.【详解】如下图，构建基向量AB ，AD ，1AA.则11AC A A AB AD =++ ，111BC AD AD AA ==+所以1A C ====4==1BC ====1111()()AC BC A A AB AD AD AA ⋅=++⋅+ 11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=所以111111cos ,6A C BC A C BC A C BC ⋅<>==⋅.故选：C.5.已知线段AB 的端点B 的坐标是(2,1)，端点A 在抛物线2y x =上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹为（）A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆【答案】B【分析】设(),M x y ，借助M 为线段AB 的中点及A 在抛物线2y x =上，计算可得M 轨迹方程，即可得解.【详解】设(),M x y ，由M 为线段AB 的中点，故()22,21A x y --，又端点A 在抛物线2y x =上，故有()22122y x -=-，化简得25242y x x =-+，故线段AB 的中点M 的轨迹为抛物线.故选：B .6.已知直线1l ：20kx y -+=与直线2l ：20x ky +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为（）A.1+ B.2+ C. D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，且两直线垂直，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，点P 到直线40x y --=的距离的最大值即为圆心到直线的距离与半径的和.【详解】由已知直线1l ，2l 分别过定点()0,2A ，()2,0B ，当0k =时，1l ：2y =，2l ：2x =，交点为()2,2，当0k ≠时，直线1l 的斜率为k ，直线2l 的斜率为1k-，斜率的乘积为1-，所以12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心坐标为()1,1，半径r =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=，不包括点()0,0，点()2,2满足该方程，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，所以点P 到直线40x y --=的距离的最大值为d r +=.故选：C .7.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）A.9B.34C.35D.9【答案】D 【解析】【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222AF F B =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,A x y ，()22,B x y ，过点2F 做倾斜角为6π的直线3k =，直线方程为：()3y x c =-，联立方程()222213x y a b y x c⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得()2222430a b y cy b ++-=根据韦达定理：212223cy y a b+=-+，412223b y y a b =-+因为222AF F B =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-所以()2222212124211222233122223c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭+=-=-=---+即22212132c a b =+，所以222324a b c +=，联立222222324a b c a b c⎧+=⎨=+⎩，可得22427a c =2423279e e =⇒=故选：D.8.如图，在菱形ABCD中，3AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（）A.平面ABD ⊥平面BCDB.线段PQ 2C.当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 的距离为1414D.当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为64【答案】C 【解析】【分析】取BD 的中点O ，易知,OA BD OC BD ⊥⊥，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断A ；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，∵在菱形ABCD 中，33AB =，60BAD ∠=︒，∴2OA OC ==，又22AC =，∴222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥，又易知,OA BD OC BD ⊥⊥，因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O = ，所以OA ⊥平面BDC ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故A 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()()2323,0,2,0,0,0,2,,0,033B C A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q ，33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,13PQ ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，33DP ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以点D 到直线PQ 的距离为12132173PQ DPd PQ⋅=== ，故C 错误；设(),0,0P a ，设()0,2,2CQ CA λλ==-，可得()0,22,2Q λλ-，()()222221222822PQ a a λλλ⎛⎫=+-++-+ ⎪⎝⎭当10,2a λ==时，min 2PQ =，故B 正确；当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ = ，3,0,23AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设PQ 与AD 所成的角为θ，则26cos 1623PQ ADPQ ADθ⋅==⋅⨯，所以PQ 与AD 所成角的余弦值为64，故D 正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是2，D ，E 分别是1111,A C A B 的中点，则（）A.1//A B 平面1CDBB.平面1CDB 与平面111A B C 夹角的余弦值为5C.直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为105D.点1A 到平面1CDB 的距离为5【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；找出等于平面1CDB 与平面111A B C 夹角的角计算余弦值即可可判断B ；作出直线1CB 与平面11AA B B 所成角，解直角三角形求得其正切值，判断C ；利用等体积法求得点1A 到平面1CDB 的距离，判断D.【详解】对A ：连接11,BC B C ，交于点F ，连接DF ，则F 为1BC 的中点，故DF 为11C A B △的中位线，则1//DF A B ，1⊄A B 平面1CDB ，DF ⊂平面1CDB ，故1//A B 平面1CDB ，故A 正确；对B ：由1CC ⊥平面111A B C ，故点C 在平面111A B C 的投影为1C ，又111A B C 为等边三角形，故111A C B D ⊥，故平面1CDB 与平面111A B C 夹角的大小等于1CDC ∠，由12CC =，11C D =，则15cos 5CDC ∠==，故B 正确；对C ：设G 为AB 的中点，连接1,CG B G ，ABC 为正三角形，故CG AB ⊥，因为1BB ⊥平面,ABC CG ⊂平面ABC ，所以1BB CG ⊥，而11,,AB BB B AB BB =⊂ 平面11AA B B ，所以CG ⊥平面11AA B B ，则1CB G ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，而122CG B G=⨯===，故11tan5CGCB GB G∠==，故C错误；对D：111212A DCS=⨯⨯=，故1113133B A DCV-=⨯=，又11DC B C DB====，则22211DC B D B C+=，故1B D DC⊥，所以111522CDBS==，设点1A到平面1CDB的距离为h，则1111A CDB B CDAV V--=，即51153,32325h h⨯=∴=，故D正确.故选：ABD10.以下四个命题表述正确的是（）A.直线()()()13120Rm x m y m+-++=∈恒过定点()1,3B.圆224x y+=上有4个点到直线:0l x y-+=的距离都等于1C.圆22120C:x y x++=与圆222480C:x y x y m+--+=恰有一条公切线，则4m=D.已知圆22:1C x y+=，点P为直线20x y+-=上一动点，过点P向圆C引两条切线,PA PB A B､､为切点，则直线AB经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【解析】【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得m 判断C ；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D ．【详解】由()()()13120R m x m y m +-++=∈，得()230x y m x y -++-=，联立2030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，∴直线()()()13120R m x m y m +-++=∈恒过定点(1,3)，故A 正确；圆心(0,0)到直线:0l x y -+=的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线:0l x y -+=的距离等于1，故B 错误；两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线22120C :x y x ++=化为标准式22(1)1x y ++=，圆心()11,0C -，半径为1，曲线222480C :x y x y m +--+=化为标准式22(2)(4)200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，半径为，51==，解得16m =-，故C 错误；设点P 的坐标为(,)m n ，则20m n +-=，以OP 为直径的圆的方程为220x y mx ny +--=，两圆的方程作差得直线AB 的方程为：1mx ny +=，消去n 得，()210m x y y -+-=，令0x y -=，210y -=，解得12x =，12y =，故直线AB 经过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确．故选：AD.11.已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则（）A.直线,PA PB 均与圆O 相切B.若5,4a b ==-，则直线AB 的方程为54160x y --=C.当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D.当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动【答案】ABC【解析】【分析】根据圆的几何性质判断A 选项的正确性，结合圆与圆相交弦所在直线方程判断B 选项的正确性，通过求动点的轨迹方程来判断CD 选项的正确性.【详解】A 选项，由于OP 是圆M 的直径，所以,OA PA OB PB ⊥⊥，所以直线,PA PB 均与圆O 相切，A 选项正确.B 选项，5,4a b ==-，5,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，圆M 的半径为r ，则222541444r OM ==+=，所以圆M 的方程为()22541224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，由()()2241524x y -++=、2216x y +=两式相减并化简得54160x y --=，所以B 选项正确.C 选项，4,PA PB OP ====，OM =M 在圆(2228x y +==上运动，C 选项正确.D 选项，|P|=|P|=3,|B|=32+42=5，所以P 在圆222525x y +==上运动，D 选项错误.故选：ABC12.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右支与直线x =0,y =4,y =-2围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底外直径为3，双曲线C 的左右顶点为D ,E ，则（）A.双曲线C 的方程为22139x y -=B.双曲线2213y x -=与双曲线C 有相同的渐近线C.双曲线C 上存在无数个点，使它与D ,E 两点的连线的斜率之积为3D.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】由题意可得5339,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入双曲线方程可求出,a b ，从而可求出双曲线方程，然后逐个分析判断.【详解】由题意可得,4,,233M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22222253316141a b a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭-=⎪⎪⎨⎪⎪⎝⎭⎪-=⎪⎩，即222225161313413a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得223,9a b ==，所以双曲线方程为22139x y -=，所以A 正确；双曲线22139x y -=的渐近线方程为y =，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以B 正确；由题意得(D E ，设()(000,P x y x ≠为双曲线上任意一点，则2200139x y -=，220039y x =-，所以220022003(3)333PD PE y x k k x x -⋅====--，所以双曲线C 上存在无数个点，使它与,D E 两点的连线的斜率之积为3，所以C 正确;由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点，所以D 错误；故选：ABC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，若12l l //，则m 的值是___________.【答案】8-【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.【详解】因为1:(3)553l m x y m ++=-，2:2(6)8l x m y ++=，12l l //，所以当60+=m ，即6m =-时，1:3523l x y -+=，2:28l x =，显然不满足题意；当60+≠m ，即6≠-m 时，3553268m m m +-=≠+，由3526m m +=+解得1m =-或8m =-，当1m =-时，35531268m m m +-===+，舍去；当8m =-时，355532628m m m +-==-≠+，满足题意；综上：8m =-.故答案为：8-.14.如图，锐二面角l αβ--的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知4AB =，6AC BD ==，CD =l αβ--的平面角的余弦值是___________.【答案】23【解析】【分析】根据题意得AC CD B A BD =-++ ，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】设锐二面角l αβ--的平面角为θ，AC CD B A BD =-++ ，则2222222=36+16+3672cos =40AC AB BD AC AB AC BD A C B D D B θ=++-⋅-⋅+⋅- ，则2cos 3θ=.故答案为：2315.如图，A ，B 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的两点，F 是双曲线的右焦点.AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，延长BF 交双曲线于点C .若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得,a c 的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为1F ，连接11,CF AF ，依题意：AFB △是以F 为顶点的等腰直角三角形，A ，C 两点关于原点对称，结合双曲线的对称性可知：四边形1AFCF 是矩形，所以12AC F F c ==，设BF m =，则11,2AF CF m AF CF m a ====-，1,2,22AB BF a m BC m a ==+=-，由2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩，整理得3m a =，222222109104,,42c c a a a c a a +====.故答案为：10216.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:2220C x y -+-=与x 轴交于A ､B （点A 在点B 的左侧），圆C 的弦EF 过点()4,3G ，分别过E ､F 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP 的最小值为___________.【答案】5【解析】【分析】设00(,)P x y ，根据切线的垂直关系，可得,E F 在以CP 为为直径的圆上，求出EF 的方程，将()4,3G 代入，求出P 点轨迹方程，转化为点到直线的距离，即可求出结论.【详解】()()222220x y -+-=，圆心(2,2)C ，令0,2y x ==-或6x =，点A 在点B 的左侧，(2,0)A ∴-，设00(,)P x y ，,PE PF 为圆C 的切线，,PE CE PF CF ⊥⊥，EF ∴在以PC 为直径的圆上，其方程为00(2)()(2)()0x x x y y y --+--=，即220000(2)(2)220x y x x y y x y +-+-+++=，直线EF 为圆C :2244120x y x y +---=与以PC 为直径的圆的相交弦，直线EF 方程为0000(2)(2)12220x x y y x y -+----=，弦EF 过点()004,3,2260G x y ∴+-=，点P 的轨迹为直线，其方程为2260x y +-=，线段AP 最小值为点A 到直线2260x y +-=2|426|6512=+故答案为:四、解答题（本答题共6小题，满分70分）17.已知点()()1,4,3,1A B ，直线：:2l y ax =+，（1）若AB 是直线l 的一个方向向量，求a 的值；（2）若直线l 与线段AB 有交点，求a 的范围．【答案】（1）32a =-（2）1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据直线的方向向量的定义可求（2）判断出直线l 过定点()0,2P ，分别求出,PA PB k k ，即可求出l 的斜率a 的取值范围【小问1详解】因为AB 是直线l 的一个方向向量，所以413132AB a k -===--【小问2详解】:2l y ax =+过定点()0,2P ，如图因为421212,10303PA PB k k --====---，要使直线l 与线段AB 有交点，则a 的范围为1,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC的中点．（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）求二面角B DE C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，利用中位线证明OE PA ，进而即可证明//PA 平面BDE ；解法二：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，求平面BDE 的一个法向量，由向量法能够证明//PA 平面BDE ；（2）由（1）知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量，由向量法能够求出二面角B DE C --的余弦值．【小问1详解】解法一：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，底面ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，OE PA ∴∥，OE ⊂ 平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴//PA 平面BDE解法二：侧棱PD ⊥底面ABCD ,DA ⊂底面ABCD ,DC ⊂底面ABCD ，,PD DA PD DC ∴⊥⊥,所以DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则()200A ，，，()002P ，，，()011E ，，，()220B ，，．()()()202011220PA DE DB ∴=-== ，，，，，，，，，设()1n x y z = ，，是平面BDE 的一个法向量，则由1100n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩，()1111n ∴=- ，，．1220PA n ⋅=-= ，1PA n ∴⊥ ，又PA ⊄平面BDE ，//PA ∴平面BDE ．【小问2详解】由()1知()1111n =- ，，是平面BDE 的一个法向量，又()2200n DA == ，，是平面DEC 的一个法向量．设二面角B DE C --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，121212cos cos 3，n n n n n n θ⋅∴===⋅u r u u r u r u u r u r u u r ．19.已知()()()0,0,0,2,5,0,1,3,5A B C ．（1）求AC 在AB 上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（3）若点(0,3,0)P ，求点P 到平面ABC 的距离．【答案】（1）3485,,02929⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()1,2,5--（3）5611【解析】【分析】（1）利用投影向量公式可求投影向量；（2）根据AD BC =可求D 的坐标；（3）根据点面距公式可求点P 到平面ABC 的距离．【小问1详解】()1,3,5AC = ，()2,5,0AB = ，故AC 在AB 上的投影向量为AC AB AB ABAB ⋅ ，而()21534852,5,0,,0292929AC AB AB AB AB⋅+⎛⎫== ⎪⎝⎭ .【小问2详解】设(),,D x y z ，则AD BC =，故()(),,1,2,5x y z =--，故D 的坐标为()1,2,5--.【小问3详解】()0,3,0AP = ，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z = ，则00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即250350x y x y z +=⎧⎨++=⎩，取5x =-，则2y =，15z =-，故15,2,5m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故点P 到平面ABC的距离为11AP m m ⋅== .20.如图，已知圆22:4O x y +=和点(2,2)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线,PQ Q 为切点，且||||PQ PA =．（1）求22a b +的最小值；（2）以P 为圆心作圆，若圆P 与圆O 有公共点，求半径最小的圆P 的方程．【答案】（1）92（2）323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意得到222OQ PA OP +=，代入列方程得到3a b +=，再利用完全平方公式即可得解；（2）根据题意得到半径最小时，两圆外切且OP 垂直3x y +=，根据垂直和外切求出点P 和半径，从而求得圆的方程.【小问1详解】因为圆22:4O x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r =，因为PQ 为圆O 的切线，所以OQ QP ⊥，在Rt OPQ △中，222OQ QP OP +=，又PQ PA =，所以222OQ PA OP +=，即()()2222422a b a b +-+-=+，整理得3a b +=，因为()20a b -≥，即2220a b ab +-≥，故222a b ab +≥，所以()()222222222292a b ab a b a b a b a b +≥++=++=+=+，则2292a b +≥，所以22a b +的最小值为92.【小问2详解】由（1）知，当以P 为圆心的圆在OP 垂直3x y +=，且与圆O 外切时半径最小，此时OP 方程为y x =，联立3y x x y =⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222=-，所以圆的方程为323317222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21.已知过点(1,0)P 的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，||8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点(0,2)Q -，连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且QAB 与QEF △的面积之比为1:2，求直线AB 的方程．【答案】（1）方程为24x y =．（2）方程为1)y x =-．【解析】【分析】（1）直线AB 的方程为(1)2p y x =--，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出p 的值，即可得解；（2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线联立可得124x x k =，直线AQ 的方程1122y y x x +=-与抛物线联立，设()33,E x y ，则318x x =，设()44,F x y ，同理可得428x x =，利用三角形面积公式可得12341||||sin 222122||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y S y y QE QF AQB ⋅∠++==++⋅∠△△2221216442x x k ===，求解即可.【小问1详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线C 的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以当直线l 过C 的焦点时，直线AB 的方程为(1)2p y x =--，由()2122p y x x py⎧=--⎪⎨⎪=⎩得2220x p x p +-=．则221212,x x p x x p +=-=-，()2214||82p p AB x +=-==，整理得()32416(2)280p p p p p +-=-++=，所以2p =，故抛物线C 的方程为24x y =．【小问2详解】易知直线AB 的斜率在且不为零，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x x y=-⎧⎨=⎩得2440x kx k -+=，则216160k k ∆=->，即1k >或0k <，124x x k =．易知直线AQ 的方程为1122y y x x +=-，由112224y y x x x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩得()1214280y x x x +-+=，设()33,E x y ，则133188,x x x x ==，设()44,F x y ，同理可得428x x =，则12341||||sin 22||||21||||22||||sin 2QABQEF QA QB AQB S y y QA QB S QE QF y y QE QF AQB ⋅∠++⋅===⋅⋅++⋅∠△△()()2222121222342212111228844161111112216164488x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212161646442x x k k ====，得22,k k ==，故直线AB 的方程为1)y x =-．22.如图，已知：,A B 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，()00,P x y 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，从原点O 向圆()()22200:(0)P x x y y r r -+-=>作两条切线分别交椭圆C 于点M ，N ，记直线,,,OM ON AP BP 的斜率分别为1234,,,k k k k ，（1）若圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆P 的半径．（2）若1234k k k k ⋅=⋅，求半径r 的值．【答案】（1）2b a（2【解析】【分析】（1）由题意可得0x c =，则有220221y c a b+=，计算即可得0y ，即可得半径；（2）由题意计算34k k ⋅可得2342b k k a⋅=-，即可得2122b k k a ⋅=-，结合点到直线距离公式计算可得r ==，整理可得1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又2122b k k a⋅=-，代入计算即可得r .【小问1详解】由圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，故0x c =，则有220221y c a b+=，则20b y a ==，即其半径为2b a；【小问2详解】2000342200000y y y k k x a x a x a--=⋅=+--，由()00,P x y 是椭圆C 上的点，故有2200221x y a b+=，即有()222222000221x b y b a x a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()222220340222222001y b b k k a x x a a x a a==-⨯=---，则有212342b k k k k a==-，设1:OM l y k x =，2:ON l y k x =，r ==，整理可得22222210100012k x k x y y r k r -+=+、22222220200022k x k x y y r k r -+=+，即有()2222201001020x r k x y k y r --+-=，()2222202002020x r k x y k y r --+-=，由直线OM 、ON 斜率存在，故0r x ≠，故1k 、2k 分别为关于k 的方程()22222000020x r k x y k y r --+-=的两根，故有22012220y r k k x r -=-，又212342b k k k k a==-，故22202220y r b x r a -=--，即()()222222000a y r b x r -+-=，又()2222002b y a x a=-，故有()()222222220020b a a x r b x r a ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦，化简可得22222a b r a b =+，。

浙江省杭州市七校2013—高二上学期期中联考数学卷

2013学年第一学期期中杭州地区七校联考高二年级数学学科试题（文理合卷）命题审校人：淳安中学富阳中学考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知过点(2,),(,6)P m Q m -的直线的倾斜角为45°，则m 的值为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ▲ ）A.4B. 2C. 4 D 3．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ） A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ 4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BA 与1CB 所成的角为（ ▲ ）A.030B. 045 C ．060 D. 0905. 已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+外的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是（ ▲ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 都有可能6．设(1,2),(3,1)A B -，若直线y kx =与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（ ▲ ）A. 1(,2)(,)3-∞-+∞B. 1(,)(2,)3-∞-+∞C. 1(2,)3- D. 1(,2)3-7．已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，异于点A 的两动点B 、C 分别在1l 、2l 上，且BC=3，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的图形面积为（ ▲ ）A ．6π B.9π C.92π D. 94π 8．已知圆C ：22(3)(4)4x y -+-=，Q 是x 轴上的一点，QM QN 、分别切圆C 于M N、两点，且23MN =，则直线MN 的斜率为（ ▲ ）A ．0B ．33C ．1D ．39. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线（ ▲ ）A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条10．已知直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A, B, O 是坐标原点， ||||AB OB OA ≥+,则实数m 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]2,2-B ．(]2,22)22,2[--⋃ C ．(22,2⎤--⎦D ．[2,22)二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11. A(1,-2,1），B(2,2,2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|, 则点P 的坐标为 ▲ .第9题2l ODxBPyA1l 12．两条平行直线3430x y -+=与470ax y --=的距离为 ▲.13．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是 ▲ .14 若圆锥的侧面积为4π，底面积为2π，则该圆锥的母线长为 ▲ .15．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 ▲16．已知点A （2,0），B ()1,3-是圆224x y +=上的定点，经过点B 的直线与该圆交于另一点C ，当ABC ∆面积最大时，直线BC 的方程为 ▲ .17.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，CC 1＝3，P 是BC 1上一动点，则A 1P ＋PC 的最小值是 ▲ 。

浙江省杭州市七校联考高二数学上学期期中试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．55．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a97．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= ．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= ．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= ．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由条件求得﹣a＜﹣b＜0，从而得到（﹣a）2＞（﹣b）2，从而得到结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．【考点】正弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】使用正弦定理即可列出方程解出．【解答】解：由正弦定理=得，解得b=7．故选C．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．5【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3n﹣18≤0，解得n．即可得出．【解答】解：由a n=3n﹣18≤0，解得n≤6．∴其前n项和S n取最小值时n的值为5，或6．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合法；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，可知：公比为3．∴S n==3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的定义及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a9【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，可得=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q ＜a3．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，则=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，∴a9＜＜a3，则a9＜=＜a3．∴a9＜Q＜P＜a3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△ABC的形状为等腰直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2=0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a=2时，原不等式即为﹣4＜0，恒成立，即a=2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，必须解得，﹣2＜a＜2．综上所述，a的取值范围是﹣2＜a≤2，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况而导致错误，属于中档题．9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=…++1=+1=lnn+1．故选D．【点评】熟练掌握累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质是解题的关键．10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，即可求出2a+b+c的最小值．【解答】解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2．2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，所以，2a+b+c的最小值为2+2．故选：B．【点评】本题考查不等式的基本性质和应用：求最值，解题时注意变形，运用因式分解和整体思想，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知cosB==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= 33 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用a4+a5+a6=S6﹣S3．即可得出．【解答】解：当n≥2时，a4+a5+a6=S6﹣S3=72﹣42=33．故答案为：33．【点评】本题考查了数列前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于9 ．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3+2×3=9．故答案为：9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= 400 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列{a n+b n}为等差数列，且公差为10，则a36+b36可求．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴数列{a n+b n}为等差数列，又a1=15，b1=35，∴a1+b1=50，而a2+b2=60，故数列{a n+b n}的公差为10，∴a36+b36=50+35×10=400．故答案为：400．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，属基础题．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为21 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用乘1法，可得由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【解答】解：由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•1﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4=13++﹣4≥9+2=21．当且仅当x=，y=15取得最小值21．故答案为：21．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是{x|x≥1，或x≤﹣1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2﹣x≤0 ①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：f（x）≥5，即|2x﹣1|≥2﹣x，∴2﹣x≤0 ①，或②，解①求得x≥2，解②求得1≤x＜2 或x≤﹣1．综上可得，不等式的解集为{x|x≥1，或x≤﹣1}，故答案为：{x|x≥1，或x≤﹣1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= 189 ．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．于是a n+2﹣a n=﹣2．因此数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．即可得出．【解答】解：∵a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．∴a n+2﹣a n=﹣2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．∴a2k﹣1=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n，a2k=﹣3﹣2（k﹣1）=﹣1﹣2k，∴b10=a10a11=（﹣1﹣20）×（3﹣12）=189．故答案为：189．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由a k+12=a1S k+3 ，求得正整数k的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，∴{a n}的通项公式a n =2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n==n（n+1），∵a1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a1S k+3，∴4（k+1）2 =2（k+3）（k+4），解得k=5或k=﹣2（舍去），故k=5．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；分析法；解三角形．【分析】（1）将变形为=，结合正弦定理可得出tanB=，从而解出B；（2）由S△ABC==可得ac=3，结合a+c=5，即可解出a，c，然后利用余弦定理求出b．【解答】解：（1）∵，∴=，又∵=，∴cosB=sinB，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵S△ABC===，∴ac=3∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=19，∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16，∴b=4．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是必须掌握的题型．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），从而可得b1=， =，从而证明；从而求得a n=•+1；（2）化简=log3=log33﹣2n=﹣2n，从而可得=（﹣），从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）∵3a n+1=a n+2，∴3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），又∵b1=a1﹣1=﹣1=，∴ ==，故数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列；∴b n=a n﹣1=•，∴a n=•+1；（2）=log3=log33﹣2n=﹣2n，∴==•=（﹣），∴T n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）] =（1+﹣﹣）=﹣（+）＜，故m≥3，故m=3．【点评】本题考查了等比数列的证明及裂项求和法的应用．。

浙江省杭州市高二上学期数学期中考试试卷

浙江省杭州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·北京月考) 下列结论正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，，则2. （2分）(2017·浙江模拟) 已知公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn ，若有确定正整数n0 ，对任意正整数m，• ＜0恒成立，则下列说法错误的是（）A . a1•d＜0B . |Sn|有最小值C . • ＞0D . ＞03. （2分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1若 =a1 +a1009 ，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S2017等于（）A . 1008B . 2017C .D . 04. （2分）(2018·江西模拟) 设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（）C . 11D . 405. （2分）公比为2的等比数列的各项都是正数，且，A . 1B . 2C . 4D . 86. （2分） (2017高一下·双鸭山期末) 在中，已知其面积为，则 =（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·郑州期中) 已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A . 2252﹣2B . 2253﹣2C . 21008﹣2D . 22016﹣28. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 等比数列的前项和为，则（）C . 1D . 39. （2分）下列命题中，真命题是（）A .B . 是的充分条件C .D . 的充要条件是10. （2分）已知△ABC满足，则角C的大小为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二上·江苏月考) 命题“ ”的否定是________.12. （1分）数列0，1，0，﹣1，0，1，0，﹣1，…的一个通项公式是________．13. （1分）(2018·河北模拟) 若向量 ,是椭圆上的动点，则的最小值为________．14. （1分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是________．15. （1分）(2017·浙江) 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC 的面积是________，com∠BDC=________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （10分） (2016高一下·辽源期中) 解答（1）解不等式＜0．（2）若关于不等式x2﹣4ax+4a2+a≤0的解集为∅，则实数a的取值范围．17. （5分） (2016高二上·江阴期中) 设命题p：∀x∈R，都有ax2＞﹣ax﹣1（a≠0）恒成立；命题q：圆x2+y2=a2与圆（x+3）2+（y﹣4）2=4外离．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18. （10分）(2018·呼和浩特模拟) 已知等差数列和递增的等比数列满足：且，（1）分别求数列和的通项公式；（2）设表示数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2016高一下·岳阳期中) 已知f（x）= sin2x+2+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．20. （10分）(2018高三上·静安期末) 设数列满足：① ；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

2023-2024学年浙江省台金七校高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（）A ．A 1B 和AC 1B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 13．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√25．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√106．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（）A ．97B ．119C ．139D ．527．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（） A ．√73B ．√72C ．53D ．73二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+41010．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√3312．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为． 16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高．18．（12分）已知圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝r 2（r ＞0），两点A （﹣3，0）、B （﹣5，0）．（1）若r ＝6，直线l 过点B 且被圆C 所截的弦长为6，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝10，求圆C 半径r 的取值范围．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点．（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx−2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ．（1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域；（2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，FB ＝FC ＝BC ＝2，AB ＝4，G 是棱CF 上一点．（1）证明：AE ∥平面BCF ；（2）当BG ∥平面AEF 时，求BG 与平面DEG 所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年浙江省台金七校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：直线x −√3y +1＝0互为斜截式，得y =√33x +√33∴直线x −√3y +1＝0d 的斜率为√33，设倾斜角为θ，则tan θ=√33，∴θ=π6 故选：A ．2．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，不能互相垂直的两条直线是（）A ．A 1B 和AC 1 B ．A 1B 和C 1DC ．C 1D 和B 1CD ．A 1B 和B 1C 1解：建系如图：设该正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0，、D （0，0，0），A 1（1，0，1）、 B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），对于A 选项，A 1B →=(0，1，−1)，AC 1→=(−1，1，1)，则A 1B →⋅AC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥AC 1；对于B 选项，DC 1→=(0，1，1)，A 1B →⋅DC 1→=1−1=0，故A 1B ⊥C 1D ，B 对；对于C 选项，CB 1→=(1，0，1)，CB 1→⋅DC 1→=1，故C 1D 和B 1C 不垂直，C 错；对于D 选项，C 1B 1→=(1，0，0)，A 1B →⋅C 1B 1→=0，故A 1B ⊥B 1C 1，D 对．故选：C ．3．三棱柱ABC ﹣DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA →=a →，BC →=b →，BD →=c →，则CG →=（）A ．−a →+b →−c →B ．12a →−b →+12c →C ．−12a →+b →+c →D ．−12a →+12b →+c →解：CG →=CA →+AG →=CA →+12AD →=（BA →−BC →）+12（BD →−BA →）＝（a →−b →）+12(c →−a →)=12a →−b →+12c →．故选：B ．4．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知A （1，2，0），B （0，1，2），C （1，0，2），则点O 到平面ABC 的距离是（） A ．√2B ．√3C ．√5D ．2√2解：依题意可得AB →=(−1，−1，2)，BC →=(1，−1，0)，OA →=(1，2，0)，设平面ABC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=−x −y +2z =0n →⋅BC →=x −y =0，取n →=(1，1，1)，所以点O 到平面ABC 的距离是d =|OA →⋅n →||n →|=1+23=√3．故选：B ．5．已知直线l ：3kx +（k +2）y ﹣10k ﹣2＝0，则下列选项错误的是（） A ．当直线l 与直线x +y +2＝0平行时，k ＝1B ．当直线l 与直线x +y +2＝0垂直时，k =−12 C ．当实数k 变化时，直线l 恒过点（2，1）D ．原点到直线l 的距离最大值为√10解：对于A 项：当直线l 与直线x +y +2＝0平行，得斜率为：−3kk+2=−1，解得：k ＝1，故A 项正确；对于B 项：当直线l 与直线x +y +2＝0垂直，得斜率：−3k k+2=1，解得：k =−12，故B 项正确；对于C 项：直线l 化简为：（3x +y ﹣10）k +2y ﹣2＝0，由{3x +y −10=02y −2=0，解得：{x =3y =1，即l 恒过定点（3，1），故C 项错误；对于D 项：当原点与直线l 的定点的连线垂直于直线l 时距离最大，由两点间距离得：√(3−0)2+(1−0)2=√10，故D 项正确．故选：C ．6．已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M （﹣2，0）的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），点F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则|QF |＝（） A ．97B ．119C ．139D ．52解：由题意知，点F （0，1），设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），其中x 1＞0，y 1＞0，由于|PF |＝5，所以|PF |＝y 1+1＝5，即y 1＝4，将y 1＝4代入C ：x 2＝4y 得x 12=16，∵x 1＞0，∴x 1＝4，即P （4，4），故直线l 的斜率为k PM =46=23，其方程为y =23(x +2)，联立{y =23(x +2)x 2=4y ，可得3x 2﹣8x ﹣16＝0，解得x 2=−43，x 1=4，所以y 2=23×(−43+2)=49，由抛物线的定义，得|QF|=y 2+1=139．故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣3）2+y 2＝2，对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则实数m 的取值范围是（） A ．(−√24，√24) B ．(−∞，−√24)∪(√24，+∞)C ．(−√34，√34) D ．(−∞，−√34)∪(√34，+∞)解：如图所示，圆心为C （3，0），半径为r =√2，圆心C 到直线l 的距离为d =6|m|√m 2+1，考虑P A 、PB 都与圆C 相切，此时，由切线长定理可知，|P A |＝|PB |，又因为|CA |＝|CB |，|PC |＝|PC |，则△P AC ≌△PBC ，设∠APC ＝θ，则∠APB ＝2θ，因为AC ⊥P A ，则sinθ=|AC||PC|≤√2d，所以当PC ⊥l 时，θ最大，此时，∠APB 最大，因为对于直线l ：mx ﹣y +3m ＝0（m ∈R ）上的任意一点P ，圆C 上都不存在两点A 、B 使得∠APB =π2，则2θ＜π2，可得θ＜π4，则√2d ＜sin π4=√22，可得d =6|m|√m 2+12，解得m ＜−√24或m ＞√24，所以m 的取值范围是（﹣∞，−√24）∪（√24，+∞）．故选：B ．8．已知F 1F 2分别是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线左、右两支上各有一点P 、Q ，满足F 1P →=2F 2Q →，且∠F 1QF 2=π3，则该双曲线的离心率是（） A ．√73B ．√72C ．53D ．73解：如图，延长PF 1交交双曲线于M 点，连接PF 2，QF 1，MF 2，因为F 1P →=2F 2Q →，所以PM ∥QF 2，根据双曲线的对称性可得M ，Q 关于原点对称，所以MF 1→=F 2Q →，则四边形F 1MF 2Q 为平行四边形，所以∠PMF 2=∠F 1QF 2=π3，设|MF 1|＝|F 2Q |＝m ，则|PF 1|＝2m ，由双曲线定义可得：|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝2a +2m ，|MF 2|＝2a +m ，|PM |＝2m +m ＝3m ，在△PMF 2中，由余弦定理得|PF 2|2=|PM|2+|MF 2|2−2|PM|⋅|MF 2|⋅cos π3，则(2a +2m)2=(3m)2+(2a +m)2−2×3m ×(2a +m)×12，化为4a 2+4m 2+8am ＝9m 2+4a 2+4am +m 2﹣6am ﹣3m 2，整理得m =10a3，所以|MF 1|=10a3，|MF 2|=16a3，在△F 1MF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2|MF 1|⋅|MF 2|⋅cos π3，则(2c)2=(10a3)2+(16a3)2−2×10a3×16a3×12，整理得c 2=499a 2，所以c =73a ．则该双曲线的离心率是ca=73．故选：D ．二、多项选择题9．已知函数f(x)=sin(x +π6)，则下列选项正确的是（） A ．f(α+π3)=−cosαB ．函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称C ．将f （2x ）图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y =sin(2x −π6)图象D ．若f(α)=35，π3＜α＜5π6，则sinα=3√3+410解：因为f(α+π3)=sin(α+π3+π6)=sin(α+π2)=cosα，故A 错误；由题意，令x +π6=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π3+kπ，k ∈Z ，所以函数f （x ）的图像关于直线x =π3对称，故B 正确；由题意知f(2x)=sin(2x +π6)，将f （2x ）图像上所有点向右平移π6个单位，得y =sin[2(x −π6)+π6]=sin(2x −π6)，故C 正确；因为f(α)=sin(α+π6)=35，且π3＜α＜5π6，所以π2＜α+π6＜π，所以cos(α+π6)=−45，因为sinα=[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)cos π6−cos(α+π6)sin π6，得sinα=3√3+410，故D 正确．故选：BCD ．10．已知三棱锥O ﹣ABC ，则下列选项正确的是（）A ．若OA →=(0，1，2)，OB →=(1，1，1)，则OA →在OB →上的投影向量为OB →B ．若G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，则OG →=13(OA →+OB →+OC →)C ．若OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，则A ，B ，C ，G 四点共面D ．设a →=OA →，b →=OB →，c →=λa →+μb →(λ，μ∈R ，λ，μ≠0)，则{a →，b →，c →}构成空间的一个基底解：选项A ，OA →在OB →上的投影向量为OA →⋅OB →|OB →|2⋅OB →=0+1+23•OB →=OB →，即选项A 正确；选项B ，因为G 是三棱锥O ﹣ABC 的底面△ABC 的重心，所以AG →=23×12（AB →+AC →）=13（AB →+AC →），所以OG →−OA →=13（OB →−OA →+OC →−OA →），整理得，OG →=13(OA →+OB →+OC →)，即选项B 正确；选项C ，因为OG →=−25OA →+35OB →+35OC →，且−25+35+35≠1，所以A ，B ，C ，G 四点不共面，即选项C 错误；选项D ，由c →=λa →+μb →可知，a →，b →，c →共面，所以{a →，b →，c →}不能构成空间的一个基底，即选项D 错误．故选：AB ．11．已知椭圆C 1：x 24+y 23=1，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是椭圆C 1的左右焦点，则下列选项正确的是（）A ．椭圆C 1上存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2B ．P 为椭圆C 1上一点，点M （4，4），则|PM |﹣|PF 1|的最小值为1C ．直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切D ．已知圆C 2：(x −1)2+y 2=1，点P 、N 分别是椭圆C 1、圆C 2上的动点，则|PO||PN|的最小值为√33解：对于A ，若存在点P ，使得∠F 1PF 2=π2，则点P 在以|F 1F 2|为直径的圆x 2+y 2＝1上，而点P 在椭圆上，易知椭圆C 1：x 24+y 23=1与圆x 2+y 2＝1无交点，如下图所示：所以不存在点P 满足题意，即A 错误；对于B ，由椭圆定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，则可得|PF 1|＝4﹣|PF 2|，所以|PM |﹣|PF 1|＝|PM |﹣（4﹣|PF 2|）＝|PM |+|PF 2|﹣4≥|MF 2|﹣4，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时满足题意，又F 2（1，0），M （4，4）可得|MF 2|＝5，即|PM |﹣|PF 1|≥|MF 2|﹣4＝1，所以B 正确；对于C ，将x 24+y 23=1变形可得3x 2+4y 2﹣12＝0，结合直线l 可得9cos 2θx 2+12cos 2θy 2﹣36cos 2θ＝0，联立直线l ：(3cosθ)⋅x =6−(2√3sinθ)⋅y ，消去x 可得y 2−2√3sinθ⋅y +3sin 2θ=0，显然该方程仅有一解y =√3sinθ，所以当θ∈R 时，直线和椭圆仅有一个交点，此时直线l ：(3cosθ)⋅x +(2√3sinθ)⋅y −6=0(θ∈R)与椭圆C 1一定相切，即C 正确；对于D ，易知圆C 2：(x −1)2+y 2=1的圆心为F 2（1，0），所以可得|PN |≤|PF 2|+1，不妨设P （x 0，y 0），则由x 024+y 023=1可得y 02=3−3x 024，则|PO||PN|≥√x 02+y 02√(x 0−1)2+y 02+1=√x 2+3−3x 024√(x 0−1)2+3−3x 024+1=√x 024+3√x 024−2x 0+4+1=√x 02+12√x 02−8x 0+16+2=√x 02+12√(x 0−4)2+2=√x 02+124−x 0+2=√x 02+126−x 0=√x 02+12x 02−12x 0+36，易知x 0∈[﹣2，2]，令f(x)=x 2+12x 2−12x+36，x ∈[−2，2]，则f ′(x)=−12(x−6)(x+2)(x 2−12x+36)2在x ∈[﹣2，2]上满足f ′（x ）＞0恒成立，所以f （x ）在[﹣2，2]上单调递增，即f(x)≥f(−2)=14，因此可得|PO||PN|≥√x 02+12x 02−12x0+36≥√14=12，即|PO||PN|的最小值为12，即D 错误．故选：BC ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 是CC 1的中点，点N 是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）A ．存在点N 满足∠ANM =π2B ．满足|A 1N|=√5的点N 的轨迹长度是π4C ．满足MN ∥平面A 1BC 1的点N 的轨迹长度是1D ．满足B 1N ⊥A 1M 的点N 的轨迹长度是√2 解：根据题意，如图建立空间直角坐标系，则A （2，0，0），M （0，2，1），N （x ，y ，0），A 1（2，0，2）， B （2，2，0），C 1（0，2，2），B 1（2，2，2），设N 的坐标为（x ，y ，0）；依次分析选项：对于A ，假设∠ANM =π2，则NA →⋅NM →=0，且NA →=(2−x ，−y ，0)，NM →=(−x ，2−y ，1)，故N 轨迹方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，当x ＝0时，y ＝0，点（0，0）既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N 存在，A 正确；对于B ，若|A 1N|=√5，A 1（2，0，2）， N 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，则N 在底面内轨迹的长度是（x ﹣2）2+y 2＝1周长的14，即轨迹的长度为14×1×π=π4，B 正确，对于C ，A 1B →=(0，2，−2)，A 1C 1→=(−2，2，0)，设面A 1BC 1的法向量n →=(x ，y ，z)，故有{2y −2z =0−2x +2y =0，解得{x =1y =1z =1，故n →=(1，1，1)∵MN ∥平面A 1BC 1，∴MN →⋅n →=0，∴N 的轨迹方程为x +y ﹣3＝0， ∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，C 错误；对于D 选项，B 1N →=(x −2，y −2，−2)，A 1M →=(−2，2，−1)， ∵B 1N ⊥A 1M ，∴B 1N →⋅A 1M →=0，∴N 的轨迹方程为﹣x +y +1＝0，∵0≤x ≤2，0≤y ≤2，∴N 在底面内轨迹的长度为√12+12=√2，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是（2，1，6）．解：空间中点M （﹣2，1，6），则点M 关于平面yOz 对称的点N 的坐标是（2，1，6）．故答案为：（2，1，6）．14．已知双曲线的两条渐近线方程为x ±√2y =0，并且经过点A(√6，1)，则该双曲线的标准方程是x 24−y 22=1 ．解：由题意可设双曲线方程为mx 2﹣ny 2＝1，m ，n ＞0；由渐近线方程为x ±√2y =0可得n ＝2m ，将点A(√6，1)代入可得6m ﹣n ＝1，解得m =14，n =12，所以双曲线标准方程为x 24−y 22=1．故答案为：x 24−y 22=1．15．已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），一条光线从点P （3，1）沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若OM →⋅ON →=−3，则M 、N 两点到y 轴的距离之比为 116．解：依题意，由抛物线性质知直线MN 过焦点F(p 2，0)，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线MN 的方程为x =ty +p2，由{x =ty +p2y 2=2px，得：y 2﹣2pty ﹣p 2＝0，所以y 1y 2=−p 2，x 1x 2=y 12y 224p 2=p 24，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−34p 2=−3，又p ＞0，所以p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，而y 1＝1，故y 2＝﹣4，所以x 1=y 124=14，x 2=y 224=4，所以M 、N 两点到y 轴的距离之比为|x 1||x 2|=116．故答案为：116．16．已知四棱锥P ﹣ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，P A ＝1，AB ＝2，AD ＝5，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的体积为27√32π ．解：把平面P AB 展开到与底面ABCD 共面的P ′AB 的位置，延长DC 到D ′，使得CD ′＝1，则DF＝D ′F （如下图所示），因为PD 的长度为定值，故只需PE +EF +FD ＝P ′E +EF +FD ′最小，即P ′，E ，F ，D ′四点共线，易知P ′D ＝6，DD ′＝4，P′D CF=DD′CD′，可得CF ＝3，所以BF =2，AB =2√2，DF =√13，∠DAF ＝45°，由正弦定理可得△ADF 外接圆的半径r =12×√13sin45°=√262，设△ADF 外接圆圆心为O ′，则三棱锥P ﹣ADF 外接球的球心O 一定在过O ′且与平面ADF 垂直的直线上，如下图所示：因为O 到点P ，A 的距离相等，所以OA =√r 2+(PA2)2=√274=3√32，即三棱锥P ﹣ADF 外接球的半径为R =3√32，所以外接球的体积为V =43πR 3=27√32π．故答案为：27√32π．四、解答题17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c =√7b 且a +2c cos A ＝2b ．（1）求C 的值；（2）若△ABC 的面积为3√3，求BC 边上的高．解：（1）由a +2c cos A ＝2b 及正弦定理，可得sin A +2sin C cos A ＝2sin B ，又在△ABC 中，易知A +B +C ＝π，可得A +C ＝π﹣B ，所以sin （A +C ）＝sin （π﹣B ）＝sin B ，即sin A+2sin C cos A＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，可得sin A＝2sin A cos C，显然sin A≠0，所以1＝2cos C，所以cosC=12，又C∈（0，π），可得C=π3；（2）由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=12，代入c=√7b整理可得a2﹣ab﹣6b2＝0，解得a＝3b或a＝﹣2b（舍），所以△ABC的面积为S=12absinC=3√3，解得b＝2，所以a＝6，设BC边上的高为h，则S=12ℎ⋅|BC|=12aℎ=3√3，可得ℎ=√3，即BC边上的高为√3．18．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+y2＝r2（r＞0），两点A（﹣3，0）、B（﹣5，0）．（1）若r＝6，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得|P A|2+|PB|2＝10，求圆C半径r的取值范围．解：（1）当r＝6时，圆C的标准方程为（x﹣4）2+y2＝36，圆心为C（4，0），因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为d=√r2−32=√62−32= 3√3，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝﹣5，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+5），即kx﹣y+5k＝0，则d=9|k|√k+1=3√3，解得k=±√22，所以，直线l的方程为y=√22x+5√22或y=−√22x−5√22；（2）解：设点P（x，y），则|P A|2+|PB|2＝（x+3）2+y2+（x+5）2+y2＝10，整理可得（x+4）2+y2＝4，因为点P在圆C上，则圆C与圆（x+4）2+y2＝4有公共点，且圆（x+4）2+y2＝4的圆心为E（﹣4，0），半径为2，则|r﹣2|≤|CE|≤r+2，且|CE|＝8，故|r﹣2|≤8≤r+2，因为r＞0，解得6≤r≤10，故r的取值范围是[6，10]．19．（12分）已知正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝1，BC ＝2B 1C 1＝2，D 、E 分别为AA 1、B 1C 1的中点．（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE ⊥平面BCC 1B 1．解：（1）将正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1补成正三棱锥P ﹣ABC ，因为B 1C 1∥BC ，且BC ＝2B 1C 1＝2，则A 1、B 1分别为P A 、PB 的中点，则P A ＝2AA 1＝2，PC ＝PB ＝P A ＝2，故△PBC 是边长为2的等边三角形，由此可知，△P AB 、△P AC 都是边长为2的等边三角形，易知△ABC 是边长为2的等边三角形，△A 1B 1C 1是边长为1的等边三角形，故正三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为3×34S △PAB +S △ABC +S △A 1B 1C 1=94×√34×22+√34×22+√34×12=7√32．（2）证明：设点P 在底面ABC 的射影为点O ，则O 为正△ABC 的中心，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，CM =ACsin π3=2×√32=√3，则CO =23CM =2√33，因为PO ⊥平面ABC ，CO ⊂平面ABC ，则OP ⊥CO ，所以，PO =√PC 2−OC 2=√22−(2√33)2=2√63，以点O 为坐标原点，CO →、AB →、OP →的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(−2√33，0，0)、B(√33，1，0)、P(0，0，2√63)、A(√33，−1，0)、 D(√34，−34，√66)、E(−√312，14，√63)，则DE →=(−√33，1，√66)，CP →=(2√33，0，2√63)，CB →=(√3，1，0)，所以DE →⋅CP →=−23+23=0，DE →⋅CB →=−1+1=0，所以，DE ⊥CP ，DE ⊥CB ，因为CP ∩CB ＝C ，CP 、CB ⊂平面BCC 1B 1，故DE ⊥平面BCC 1B 1．20．（12分）已知函数f(x)={x +mx −2，x ＞01−m2x ，x ≤0，m ∈R ．（1）当m ＝4时，求函数f （x ）的值域；（2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）当m ＝4时可得f(x)={x +4x−2，x ＞01−42x ，x ≤0；显然当x ＞0时，x +4x −2≥2√x ⋅4x−2=2，当且仅当x ＝2时，等号成立，当x ≤0时，易知函数1−42x 在（﹣∞，0]上单调递增，所以可得1−42x ≤1−420=−3，即x ≤0时，1−42x ∈(−∞，−3]；综上可知，函数f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；（2）①当m ≤0时，函数y =x +mx −2在（0，+∞）上单调递增，且当x 趋近于0时，y ＜0，当x 趋近于+∞时，y ＞0，即函数y =x +mx−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上单调递减，且当x ∈（﹣∞，0]时，y ＞0恒成立，即函数y =1−m 2x 在（﹣∞，0]上无零点；所以当m ≤0时，函数f （x ）仅有1个零点；②当0＜m ＜1时，易知y =x +mx −2在(0，√m)上单调递减，在(√m ，+∞)上单调递增，此时最小值为2√m −2＜0，即函数y =x +mx −2在（0，+∞）上存在两个零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＞0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上有一个零点；所以当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；③当m＝1时，易知y=x+1x−2在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，此时最小值为0，即函数y=x+1x−2在（0，+∞）上存在一个零点；而函数y=1−12x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为0，即函数y=1−12x在（﹣∞，0]上有一个零点；即当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；④当m＞1时，易知y=x+mx−2在(0，√m)上单调递减，在(√m，+∞)上单调递增，此时最小值为2√m−2＞0，即函数y=x+mx−2在（0，+∞）上无零点；而函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上单调递增，且当x趋近于﹣∞时，y＜0，其最大值为1﹣m＜0，即函数y=1−m2x在（﹣∞，0]上无零点；所以当m＞1时，函数f（x）没有零点；综上可知，当m≤0时，函数f（x）仅有1个零点；当0＜m＜1时，函数f（x）仅有3个零点；当m＝1时，函数f（x）仅有2个零点；当m＞1时，函数f（x）没有零点．21．（12分）已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点．（1）证明：AE∥平面BCF；（2）当BG∥平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值．解：（1）证明：多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，FB＝FC＝BC＝2，AB＝4，G是棱CF上一点，∵底面ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∵AD ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AD ∥平面BCF ，∵四边形BDEF 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∵DE ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF ，因为AD ∩DE ＝E ，且AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ∥平面BCF ，∵AE ⊂平面ADE ，∴AE ∥平面BCF ；（2）如图，连接AF ，EG ，取BC 的中点N ，AD 的中点M ，∵△FBC 是等边三角形，∴FN ⊥BC ，又平面FBC ⊥平面ABCD ，FN ⊂平面FBC ，平面FBC ∩平面ABCD ＝BC ，∴FN ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，∴MN ⊥NB ，以N 为坐标原点，NM ，NB ，NF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，A(4，1，0)，B(0，1，0)，C(0，−1，0)，D(4，−1，0)，F(0，0，√3)，则CF →=(0，1，√3)，设CG →=tCF →(0≤t ≤1)，则G(0，t −1，√3t)，可知BG →=(0，t −2，√3t)，AF →=(−4，−1，√3)，BD →=(4，−2，0)，由底面是平行四边形，得AE →=AF →+FE →=AF →+BD →=(0，−3，√3)，设平面AEF 的法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{−4x 1−y 1+√3z 1=0−3y 1+√3z 1=0，取z 1=√3，得n →=(12，1，√3)，由题意BG ∥平面AEF ，则BG →⋅n →=0×12+(t −2)×1+√3t ×√3=0，解得t =12，∴CG →=12CF →，即G 是CF 中点， ∵AE →=(0，−3，√3)，∴E(4，−2，√3)，∴DE →=(0，−1，√3)，DG →=(−4，12，√32)，设平面DEG 的法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{−y 2+√3z 2=0−4x 2+12y 2+√32z 2=0，取z 2＝1，得m →=(√34，√3，1)，BG →=(0，−32，√32)，设直线BG 与平面DEG 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜BG →，m →＞|=|BG →⋅m →||BG →|⋅|m →|=|0−3√32+√32|√6716=4√6767 .∴BG 与平面DEG 所成角的正弦值为4√6767． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过点D(√3，12)，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点E （4，0）的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（P 在E ，Q 之间），直线AP ，BQ 交于点M ，记△ABM ，△PQM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由题意可知离心率为e =c a =√32，将点D(√3，12)代入椭圆方程可得3a 2+14b 2=1，又a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）易知A （﹣2，0），B （2，0），设直线l 的方程为x ＝my +4，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且x 1＜x 2，联立直线和椭圆方程{x 24+y 2=1x =my +4，整理可得（m 2+4）y 2+8my +12＝0，所以Δ＝（8m ）2﹣4×12（m 2+4）＞0，可得m 2＞12，且y 1+y 2=−8m m 2+4，y 1y 2=12m 2+4，可得直线P A 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)=y 1my 1+6(x +2)，直线QB 的方程为y =y2my 2+2(x −2)，解得M(2my 1y 2+2y 1+6y 23y 2−y 1，2y 1y 23y 2−y 1)， PQ =√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=√1+m 2√(−8m m 2+4)2−4×12m 2+4=4√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4， M 点到直线PQ 的距离为d =|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2 所以△PQM 的面积为S 1=12|PQ|⋅d =2×√(1+m 2)(m 2−12)m 2+4|6(y 1−y 2)3y 2−y 1|√1+m 2=12√m 2−12m 2+4⋅|(y 1−y 2)3y 2−y 1|， △ABM 的面积为S 2=12|AB|⋅|2y 1y 23y 2−y 1|=4|y 1y 23y 2−y 1|，所以S 1S 2=3×√m 2−12m 2+4⋅|y 1−y 2||y 1y 2|=3×√m 2−12m 2+4⋅4√m 2−12m 2+412m 2+4=m 2−12m 2+4=1−16m 2+4，又m 2＞12可得1−16m 2+4∈(0，1)，即可得S 1S 2的取值范围是（0，1）．。

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2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．55．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a97．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= ．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= ．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= ．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由条件求得﹣a＜﹣b＜0，从而得到（﹣a）2＞（﹣b）2，从而得到结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．【考点】正弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】使用正弦定理即可列出方程解出．【解答】解：由正弦定理=得，解得b=7．故选C．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．5【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3n﹣18≤0，解得n．即可得出．【解答】解：由a n=3n﹣18≤0，解得n≤6．∴其前n项和S n取最小值时n的值为5，或6．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合法；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，可知：公比为3．∴S n==3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的定义及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a9【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，可得=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q＜a3．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，则=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，∴a9＜＜a3，则a9＜=＜a3．∴a9＜Q＜P＜a3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△AB C的形状为等腰直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2=0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a=2时，原不等式即为﹣4＜0，恒成立，即a=2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，必须解得，﹣2＜a＜2．综上所述，a的取值范围是﹣2＜a≤2，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况而导致错误，属于中档题．9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=…++1=+1=lnn+1．故选D．【点评】熟练掌握累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质是解题的关键．10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，即可求出2a+b+c的最小值．【解答】解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2．2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，所以，2a+b+c的最小值为2+2．故选：B．【点评】本题考查不等式的基本性质和应用：求最值，解题时注意变形，运用因式分解和整体思想，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知cosB==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= 33 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用a4+a5+a6=S6﹣S3．即可得出．【解答】解：当n≥2时，a4+a5+a6=S6﹣S3=72﹣42=33．故答案为：33．【点评】本题考查了数列前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于9 ．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3+2×3=9．故答案为：9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= 400 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列{a n+b n}为等差数列，且公差为10，则a36+b36可求．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴数列{a n+b n}为等差数列，又a1=15，b1=35，∴a1+b1=50，而a2+b2=60，故数列{a n+b n}的公差为10，∴a36+b36=50+35×10=400．故答案为：400．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，属基础题．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为21 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用乘1法，可得由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【解答】解：由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•1﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4=13++﹣4≥9+2=21．当且仅当x=，y=15取得最小值21．故答案为：21．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是{x|x≥1，或x≤﹣1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2﹣x≤0 ①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：f（x）≥5，即|2x﹣1|≥2﹣x，∴2﹣x≤0 ①，或②，解①求得x≥2，解②求得1≤x＜2 或x≤﹣1．综上可得，不等式的解集为{x|x≥1，或x≤﹣1}，故答案为：{x|x≥1，或x≤﹣1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= 189 ．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．于是a n+2﹣a n=﹣2．因此数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．即可得出．【解答】解：∵a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．∴a n+2﹣a n=﹣2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．∴a2k﹣1=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n，a2k=﹣3﹣2（k﹣1）=﹣1﹣2k，∴b10=a10a11=（﹣1﹣20）×（3﹣12）=189．故答案为：189．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由a k+12=a1S k+3 ，求得正整数k的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，∴{a n}的通项公式a n =2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n==n（n+1），∵a1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a1S k+3，∴4（k+1）2 =2（k+3）（k+4），解得k=5或k=﹣2（舍去），故k=5．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；分析法；解三角形．【分析】（1）将变形为=，结合正弦定理可得出tanB=，从而解出B；（2）由S△ABC==可得ac=3，结合a+c=5，即可解出a，c，然后利用余弦定理求出b．【解答】解：（1）∵，∴=，又∵=，∴cosB=sinB，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵S△ABC===，∴ac=3∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=19，∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16，∴b=4．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是必须掌握的题型．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），从而可得b1=， =，从而证明；从而求得a n=•+1；（2）化简=log3=log33﹣2n=﹣2n，从而可得=（﹣），从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）∵3a n+1=a n+2，∴3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），又∵b1=a1﹣1=﹣1=，∴ ==，故数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列；∴b n=a n﹣1=•，∴a n=•+1；（2）=log3=log33﹣2n=﹣2n，∴==•=（﹣），∴T n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]=（1+﹣﹣）=﹣（+）＜，故m≥3，故m=3．【点评】本题考查了等比数列的证明及裂项求和法的应用．。