第六章 抽样推断

重复纯随机抽样条件下， 重复纯随机抽样条件下，抽样平均误差计算
µx =
δ
2
n
=
δ
n
式中
µ x — 抽样平均数的平均误差； δ — 全及总体标准差；
n — 样本总体单位数。
没有全及总体标准差资料时，用抽样总体标准差 s 代替 没有全及总体标准差资料时，
2
µx =
s s = n n
重复抽样情况下抽样成数的平均误差计算 设：总体具有某种标志的单位数为 总体单位数 N1
2012-4-12
统计学---古老又现代的学科 认识社会的有力武器！ 统计学---古老又现代的学科 认识社会的有力武器！ ---
13
wk.baidu.com
抽样平均误差的计算方法
重复抽样情况下抽样平均数的平均误差计算
µx =
( x − X )2 ∑ K
式中
µ x — 抽样平均数的平均误差；
x — 抽样总体平均数； X — 全及总体平均数； K — 样本平均指标个数或抽样成数 的个数(样本可能数目)。
重复抽样和不重复抽样
重复抽样——从全及总体 个单位中抽取 个样本，每 从全及总体N个单位中抽取 个样本， 重复抽样 从全及总体 个单位中抽取n个样本 次从总体中随机抽出一个单位后， 次从总体中随机抽出一个单位后，再放 回总体中重新参加下一次抽取 不重复抽样——从全及总体 个单位中抽取 个样本， 从全及总体N个单位中抽取 个样本， 不重复抽样 从全及总体 个单位中抽取n个样本 当某一个单位被随机抽出后， 当某一个单位被随机抽出后，不再放 回总体
例：某村5 000亩粮食耕地，用不重复抽样方法抽取50亩， 求得其平均亩产为400公斤。若确定抽样误差为10公斤，请 估计5 000亩粮食耕地亩产和总产水平。 解：(1)估计亩产
x − ∆x ≤ X ≤ x + ∆x 400 − 10 ≤ 亩产 ≤ 400 + 10 （公斤） 390 ≤ 亩产 ≤ 410 （公斤）
区间推断的可靠程度(置信度) 区间推断的可靠程度(置信度) 令
∆x
µx
= t则∆ x = t ⋅ µ x = t则∆ p = t ⋅ µ p
∆p
µp
则
式中：t 式中：t — 概率度（极限误差为平均误差的倍数）
x − t ⋅µx ≤ X ≤ x + t ⋅µx
依据中心极限定律， 依据中心极限定律，当 n≥30，抽样平均指标近似服从 正态分布， 正态分布，全及指标所落范围就可以用曲线所围成的面积大 小来计算。 小来计算。
全及总体和抽样总体
全及总体——指研究对象的全部单位，即具有同一性 质的若干单位的集合体，简称总体，抽样调查中又叫全 及总体。 无限总体——包含的单位数 N 是无限的或相对无限 包含的单位数 有限总体——包含的单位数 N 是有限 包含的单位数 抽样总体——抽样总体也叫子样，在总体中按随机原 则抽取的那一部分单位所构成的集合体，简称样本。 大样本—— n ≥30 小样本 ——n≤30 1＜n＜N
有： 抽样平均数的平均误差
µx =
式中
δ2
n (1 − ) n N
没有全及总体标准差资 料时， 料时 ， 用抽样总体标准 差 s 代替
δ — 全及总体标准差；
N — 总体单位数； n — 抽样总体单位数。
µx =
s2 n (1 − ) n N
抽样成数平均误差
µp =
式中
p (1 − p ) n (1 − ) n N
总体不具有某种标志的单位数为 N0 N = N1 + N0 则：总体具有某种标志的全及成数 P = N1 / N 总体不具有某种标志的比重 Q = N0 / N
有： P + Q = N1 / N + N0 / N = 1
Q=1-P
∴ 总体成数的平均数 XP
∑ Xf = ∑f
1 × N1 + 0 × N 0 N1 = = =P N N
影响抽样误差的因素
全及总体标志变动程度
——与抽样误差的大小成正比关系 与抽样误差的大小成正比关系
样本单位数
——与抽样误差的大小成反比关系 与抽样误差的大小成反比关系
抽样组织形式
——抽样组织形式不同，抽样误差的大小不同 抽样组织形式不同， 抽样组织形式不同
●管理类专业的必学课程
经济统计学原理——数字化管理的基础
全及指标和抽样指标
全及指标——根据全及总体各个单位的标志值计算 的反映其某种特征的综合指标 _ 全及平均数(总体平均数)(X)——全及总体某一变 全及总体某一变 量值的算术平均数 全及成数(总体成数)(P)——全及总体具有某种标 全及总体具有某种标 志的单位数在总体中所占的比重 总体方差(δ2)和总体标准差(δ)——测定全及总体标 测定全及总体标 志变异程度的指标
p — 抽样成数； N — 总体单位数； n — 样本总体单位数。
抽样平均误差的计算
抽样形式 抽样平均 误差 重复抽样 不重复抽样
µx =
s2 n (1 − ) n N
µx =
s n
抽样成数 µp = 平均误差 应用条件
p (1 − p ) n
µp =
p (1 − p ) n (1 − ) n N
第一节 抽样调查的意义及其理论依据 一、抽样调查的意义
抽样调查的定义
——是按 ——是按随机原则从总体中抽取一部分单位为 样本，对其进行调查，根据样本指标推断总体指标 的一种非全面调查方法。
抽样调查的特点
按随机原则抽取样本单位 是一种非全面调查 节约人力、物力和财力 可靠性高，误差可以事先计算并加以控制 应用概率论的理论与方法，用样本的指标数 值推断总体的指标数值
- △x= ∣x - X∣ △p= ∣p - P∣ 等价变换：
x − ∆x ≤ X ≤ x + ∆x p−∆p ≤ P ≤ p+∆p
(1) (2)
说明： 全及平均指标以抽样平均指标为中心， 说明：(1)式表示全及平均指标 全及平均指标 落在抽样平均指标x ± △x 范围内； (2)式表示全及成数 全及成数以抽样成数为中心，落在抽样 全及成数 成数 p ±△p 范围内。
µp =
p (1 − p) = n
0.6 × 0.4 = 4.9% 100
• 不重复抽样的抽样成数平均误差为： 不重复抽样的抽样成数平均误差为：
µp =
p (1 − p) n (1 − ) = n N
0.6 × 0.4 100 (1 − ) = 4.88% 100 10000
第三节 抽样估计
根据样本指标对对应的总体指标加以估计和判断的一种 方法。 方法。 点估计 ——以样本指标直接替代总体指标的 估计值 ，不考 虑误差与可靠程度。 区间估计 区间估计的含义 ——根据样本指标和抽样误差推断总体指标的可能 范围，并说明估计总体指标的准确程度和可靠性。 抽样极限误差△-、△p x ——抽样指标与全及指标之间抽样误差的可能范围。
二、抽样调查的作用
可对不可能或不必要全面调查的 现象作全面研究 节约人力、 物力和财力， 节约人力 、 物力和财力 ， 取得事半功 倍的效果 对全面调查的数据资料作质量检 验和修正 可对工业产品生产质量进行控制 可对总体的假设进行检验， 可对总体的假设进行检验，判断真伪
三、抽样推断中常用的几个基本概念
n < 5% N
n ≥ 5% N
例6.1 某地对2800户农户年收入进行调查，抽取5%农户作样 本，调查显示：2000年每人年平均收入为5965元，其年收入 的标准差为104.80元，试计算重复抽样和不重复抽样的抽样 平均误差。 已知： 已知：N=2800(户)，n=2800×5%=140(户)，s=104.80(元) • 重复抽样的抽样平均数的抽样平均误差为： 重复抽样的抽样平均数的抽样平均误差为：
2
成数的标准差平方为
δ P2 =
∑(X − X P ) f ∑f
(1 − P) 2 N 1 + (0 − P) 2 N 0 = N1 + N 0
(1 − P) 2 N 1 + P 2 N 0 (1 − P) 2 N 1 P 2 N 0 = = + N N N = (1 − P ) 2 P + P 2 Q = (1 − P) 2 P + (1 − P ) P 2 = (1 − 2 P + P 2 ) P + P 2 − P 3 = P − P 2 = P(1 − P)
第二节 抽样误差 一、抽样误差的概念
抽样误差 —— 统计调查时 ， 调查来的资料与 ——统计调查时 统计调查时，
实际情况的差异称为统计误差。 实际情况的差异称为统计误差。
[原因]
一是在统计调查和统计资料整理过程中由于 登记误差和计算不准而产生的误差（可避免） 登记误差和计算不准而产生的误差（可避免） 二是在抽样调查中， 按随机原则同取样本时， 二是在抽样调查中 ， 按随机原则同取样本时 ， 由于样本内部构成与总体内部构成不可能完全 一致， 不可避免） 一致，肯定存在误差 （不可避免）
第六章 抽样推断
第一节 抽样调查的意义及其理论依据
一、抽样调查的意义 二、抽样调查的作用 三、抽样推断中常用的几个基本概念 四、抽样调查的理论依据
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 二、抽样平均误差的计算
第三节 全及总体指标的推断
一、直接推断法 二、修正系数法
第四节 抽样方案的设计
一、抽样方案设计的基本原则 二、样本单位数的确定 三、抽样调查的组织形式及其抽样误差
68.27%
X-3µ X-2µ X-µ
X
X+µ X+2µ X+3µ
95.45% 99.73% 其中：概率度 t 与概率 F(t) 对应
概率度 t 与概率 F(t) 的对应关系表(常用) 概率度(t) 概率F(t) 概率度(t) 概率F(t)
0.67 1.00 1.50 1.96 2.00
(2)估计总产
390 × 5000 ≤ 总产 ≤ 410 × 5000 （公斤） 1950000 ≤ 总产 ≤ 2050000（公斤）
例：从某品种农作物播种地块随机抽取秧苗1 000棵，其中 死苗80棵。若确定抽样极限误差为3%，试估计该农作物秧 苗的成活率区间。 解：该农作物秧苗的成活率区间
p−∆p ≤ P ≤ p+∆p 1000 − 80 1000 − 80 − 3 % ≤ 成活率 ≤ + 3% 1000 1000 89 % ≤ 成活率 ≤ 95 %
总体成数的标准差
δ P = P(1 − P)
∴ 抽样成数的平均误差
µp =
P(1 − P) n
p (1 − p ) n
没有全及总体标准差资料时， 没有全及总体标准差资料时，用抽样总体标准差 s 代替
µp =
s
n p — 抽样成数
=
不重复抽样情况下， 不重复抽样情况下，抽样平均数的平均误差和抽样成数的 平均误差计算 设：全及总体单位数 抽样总体单位数 N n
µx =
s n
=
104.8 140
= 8.86(元)
• 不重复抽样的抽样平均数的抽样平均误差为： 不重复抽样的抽样平均数的抽样平均误差为：
µx =
s2 n 104.8 2 140 (1 − ) = (1 − ) = 8.63(元) n N 140 2800
例6.2 某厂生产某产品，按正常生产检验产品中一级品率占 60%。现从10 000件产品中抽取100件产品进行检验，试按重 复和不重复抽样计算一级产品率的抽样成数的平均误差。 已知：p=0.6，N=10 000 件，n=100 件 •重复抽样的抽样成数平均误差： 重复抽样的抽样成数平均误差： 重复抽样的抽样成数平均误差
四、抽样调查的理论依据
大数定律(大数法则) 大数定律(大数法则) 对某现象观察，由于 受偶然因素影响， 受偶然因素影响，每次结 果不同， 果不同，但经大量观察并 综合平均后， 综合平均后，将消除偶然 的差异， 的差异，而接近总体平均 值，使现象总体某标志规 律及其共同特征在数量、 律及其共同特征在数量、 质量上显示出来。 质量上显示出来。 中心极限定律 只要样本容量n 在充分大的条件下 一般要求n>30) ( 一般要求 n>30) ， 不论全及总体的变 量分布是否属于正 态分布， 态分布 ， 其抽样平 均数也是趋向于正 态分布的。 态分布的。
抽样指标——根据抽样总体各个单位标志值计算的综合 指标，与全及指标相对应 _ 抽样平均数(x)——抽样总体中某一变量值 观测值 的 抽样总体中某一变量值(观测值 抽样总体中某一变量值 观测值)的 算术平均数 抽样成数(p)——具有某种标志的单位数在抽样总体 具有某种标志的单位数在抽样总体 中所占的比重 样本方差(s2)和样本标准差(s)——说明抽样总体标志 说明抽样总体标志 变异程度的指标