2016江西枫林涉外经贸职业学院数学单招测试题(附答案解析)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设有直线m 、n 和平面、,下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥,n ∥,则m ∥n B. 若m ,n ,m ∥,n ∥,则∥ C ．若，m ,则m D ．若，m ，m ,则m ∥3．若实数满足则的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．94．已知上是单调增函数，则a 的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知双曲线（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为 (k ＞0),离心率,则双曲线方程为（ ）A ． －=1B ．C ．D ．6．定义行列式运算=. 将函数的图象向左平移（）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ( )αβαα⊂α⊂αββαβα⊥β⊂α⊥βα⊥β⊥β⊄ααx y ，1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤23x y z +=),1[)(3+∞-=在ax x x f 22221x y a b-=kx y =e 22x a 224y a 222215x y a a-=222214x y b b-=222215x y b b -=1234a a a a 1423a a a a -sin ()cos xf x x=n 0n >nA ．B ．C ．D ．7．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2, AD , AA 1=1, 则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）A.．B. C ．D ．8.若定义在R 上的函数满足：对任意，有(), 则下列说法一定正确的是（ ） A ．为奇函数 B ． 为偶函数 C ． 为奇函数D ． 为偶函数9．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。

在原来的正方体中，与所成角的余弦值为( )A B C D 10．若直线和⊙:没有交点,则过点（的直线与椭圆的交点个数为（ ） A ．至多一个B ．.2个C ．1个D ．0个11．如图，在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ， 且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．6π3π65π32π32π2π22π24π)(x g 1x 2x g 21x x +1)()(21++=x g x g )(x g )(x g 1)(+x g 1)(+x g ,,B C D A CD AB 5105104=+ny mx O 422=+y x ),n m 14922=+y x 12224212324312．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( ) Ａ ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则与的大小关系及m 与n 的大小关系分别为14．已知向量，， 且，则= _____15．已知函数(x )=,等差数列{a x }的公差为2，若 (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=,则 log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f(a 10)]= .16．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下： 第棵树种植在点处，其中，，当时，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的 坐标应为 ．2:8C y x =F x K AC AK =AFK ∆481632l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈I ，，，，，l a b AB αβ，θϕAB αβ，m n a b >θφ(0,1,1)a =-r (4,1,0)b =r||a b λ+=r r0λ>λf x 2f 4k ()k k k P x y ，11x =11y =2k ≥111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a a (2.6)2T =(0.2)0T = AB ab lα β三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）17（本小题12分）已知中内角的对边分别为，且， （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离．19.（本小题12分）在数列中，，。

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和。

（Ⅲ）求数列的前项和。

20. (本小题12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为V （t ）=ABC ∆,,A B C ,,a b c c 6=cPC AB ⊥B AP C --C APB {}n a 11a =2112(1)n n a a n+=+{}n a 112n n n b a a +=-{}n b n n S {}n a n n T ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤<+-+-1210,50)413)(10(4,100,50)4014(412t t t t e t t t BC（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i －1＜t ＜i 表示第i 月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）. 21．（本小题12分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题10分）选修4－1：几何证明选讲从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。

从A 点作弦AE 平行于CD ，结BE 交CD 于F 。

求证：BE 平分CD 。

23．（本小题10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：，曲线C 2：。

（Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。

写出，的参数方程。

与公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数。

（Ⅰ）作出函数的图像；（Ⅱ）解不等式。

答案一、选择题:1-5 :A D B D C 6-10: C C C D B 11-12: B B二、填空题: 13, 14. 3 15. 16. （1，2），（3，402）ABCD A C ，2234x y +=BD BD (01)，AC 60ABC ∠=o ABCD cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数()x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数1'C 2'C 1'C 2'C 1'C 2'C |4||8|)(---=x x x f )(x f y =2|4||8|>---x x m n θϕ<>，6-P三、解答题三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（12分）18．（12分） 解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．，平面．平面，．（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．AB D PD CD ，AP BP =Q PD AB ∴⊥AC BC =Q CD AB ∴⊥PD CD D =Q I AB ∴⊥PCD PC ⊂Q PCD PC AB ∴⊥AC BC =Q AP BP =APC BPC ∴△≌△PC AC ⊥PC BC ∴⊥90ACB ∠=o AC BC ⊥AC PC C =I BC ∴⊥PAC ABC取中点．连结．，．是在平面内的射影， ．是二面角的平面角．在中，，，．二面角的余弦值为 （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面， ．在中，．． 点到平面解法二：（Ⅰ），，． 又，．AP E BE CE ，AB BP =Q BE AP ∴⊥EC Q BE PAC CE AP ∴⊥BEC ∴∠B AP C --BCE △90BCE ∠=o 2BC =BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==∴B AP C --33AB ⊥PCD ∴APB ⊥PCD C CH PD ⊥H Q APB I PCD PD =CH ∴⊥APB CH ∴C APB PC AB ⊥PC AC ⊥AB AC A =I PC ∴⊥ABC CD ⊂Q ABC PC CD ∴⊥Rt PCD △12CD AB ==PD PB ==2PC ∴==3PC CD CH PD ∴==g ∴C APB AC BC =Q AP BP =APC BPC ∴△≌△PC AC ⊥PC BC ∴⊥ABC，平面． 平面，．（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．设． ，，． 取中点，连结．，， ，．是二面角的平面角．，，， ．二面角的余弦值为． （Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为．19.（12分）解：（Ⅰ）由条件得，又时，， AC BC C =Q I PC ∴⊥ABC AB ⊂Q ABC PC AB ∴⊥C C xyz -(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，(00)P t ，，PB AB ==Q 2t ∴=(002)P ，，AP E BE CE ，AC PC =Q AB BP =CE AP ∴⊥BE AP ⊥BEC ∴∠B AP C --(011)E Q ，，(011)EC =--u u u r ，，(211)EB =--u u u r，，cos 3EC EB BEC EC EB∴∠===u u u r u u u r g u u u r u u u r g ∴B AP C --33AC BC PC ==Q C ∴APB APB △H CH C APB C xyz -2BH HE =u u u r u u u r Q ∴H 222333⎛⎫⎪⎝⎭，，3CH ∴=u u u r ∴CAPB 31221(1)2n n a a n n +=⋅+1n =21na n =故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．（Ⅱ）由得， ， 两式相减得 ：， 所以 ． （Ⅲ）由得所以． 20.（12分）解：（Ⅰ）①当0＜t 10时，V (t )=(－t 2+14t －40)化简得t 2－14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t 10，故0＜t ＜4.②当10＜t 12时，V （t ）＝4（t －10）（3t －41）+50＜50, 化简得（t －10）（3t －41）＜0, 解得10＜t ＜，又10＜t 12,故 10＜t 12. 综合得0<t <4,或10<t 12,2{}n a n 122112n n a n -=212n n n a -=22(1)21222n n n n n n n b ++=-=23521222n nn S +=+++L 231135212122222n n n n n S +-+⇒=++++L 23113111212()222222n n n n S ++=++++-L 2552n nn S +=-231121()()2n n n S a a a a a a +=+++-+++L L 1112n n n n T a a T S +-+-=11222n n n T S a a +=+-2146122n n n -++=-≤,505041<+t e ≤≤341≤≤≤故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)由(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=令V ′(t )=0,解得t=8(t=－2舍去).当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表：2+50－108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.（12分）解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为． 因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为．由得． 因为在椭圆上，所以，解得． 设两点坐标分别为， 则，，，．所以． ),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t e t t e tt BD 1y x =+ABCD AC BD ⊥AC y x n =-+2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，2246340x nx n -+-=A C ，212640n ∆=-+>n <<A C ，1122()()x y x y ，，，1232nx x +=212344n x x -=11y x n =-+22y x n =-+122ny y +=11所以的中点坐标为． 由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． （Ⅱ）因为四边形为菱形，且， 所以． 所以菱形的面积． 由（Ⅰ）可得，所以． 所以当时，菱形的面积取得最大值22.（10分）解：从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。