线性集中参数回路的过渡过程

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(file 100slopev.pl4; x-var t) v:N1
101slopev
•1.3电阻对振荡的阻尼作用
1)串联阻尼时：
duc uc E dt 2 dt LCp 2 RCp 1 0 LC
d 2uc
RC
p1, 2
R2 L C
100zhi
1.2.2 交流电源时
交流电源：
e(t ) Em sin(t )
02 02 2 uC (t ) Em 2 2 sin(t ) Em 2 2 sin ( cos ) 2 sin(0t ) 0 0 0
式中，
t S , uc
t
E 0 t (t sin 0 ); S
sin
S
S
t S , uc E[1
T S T
cos
2 S (t )] T 2
120 [V] 100
80
S=T时，uCmax=E;
60
40
20
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(file 100slopev.pl4; x-var t) v:N1
右图为Rb和电感并联：
LC(R Rb ) p2 (CRRb L) p Rb 0
R R R R 1 R 1 R R ( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2 (1 ) 2 R0 2 Rb Rb LC 2 R0 2 Rb R Rb LC R Rb
1 R0 2 时，p1,2均为实根，电容上将不会 1 R R0 时，电容上的最大过电压仍为： 2
(uC ) m E (1 e


)

R R 1 1 0 ; [1 ( 0 ) 2 ] LC 2R LC 2R
700 600
180
140
500
100
400 300 200 100
/ 2:
1 (uC (t ))max 2 Em 2 1 ( ) 0
0
100sin,phi0\90
/2
交流电源时电容和电感上的电压和频率的关系 (a)电容上的电压； (b) 电感上的电压
1.2.3 斜角波电源时 e(t)=at，且uC(0-)=0, iC(0-)=0,则
在电感上并联电阻而引起电容上电压振荡的机制是： Rb与L的并联加速了电源对电容的充电过程，它会使C 上产生过电压。
Rb (uC ) m E (1 e R Rb


)
在R＝2R0时（即满足串联阻尼），在Rb＞R0/4的几 乎所有范围内，回路都有振荡并且电容出现高于电 源电压的电压。但由于振荡的衰减极快，所呈现的 过电压值是极为微小的，最大不超过1.005E，在工 程上完全可以忽略不计。
R
1 R0 2
100respl,0.158
•串联电阻使电感L的磁场能和电容C的电场能在相互转 换过程中不断消耗，越大越好； •并联电阻直接消耗L（C）的能量使之不能传送到C （L）中去，越小越好； 在不满足临界阻尼的条件下， 在串联阻尼时只要满足 R 1.4R0 ； 在并联阻尼时只要满足 R R0 1.4 就有 e 0.05 ，即(uc )max只为1.05E。
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c:XX0017-N1Βιβλιοθήκη 60206
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(file 100respl.pl4; x-var t) v:N1
(file 100respl.pl4; x-var t) v:N1
1 R R0 2
d 2uC LC uC at 2 dt
令vC(t)=uC(t)-at,则
d 2 vC LC 2 vC 0 dt
uC (t ) a(t 1
0
sin 0t )
100slope,
1.2.4 任意波电源时 已知LC振荡回路在直流电压下的解（或阶跃函数 下的响应）时，任意电压作用下的解就可以利用 丢阿莫尔（Duhamel)积分求出。即把任意电压波 形分解成作用时间间隔dτ的无数阶跃函数，分别 求出阶跃函数的解后叠加而得，其数学表达式为
R 4R0 0
100RspC
即在已被并联电阻R0/2完全阻尼的LC回路(R=0)中， 加串联电阻后也可能引起振荡，而只有当R>4R0时， 振荡才会消除。
100RspL
电阻不是在任何情况下都可起到阻尼振荡作用，不正 确地使用电阻有时反而可导致振荡。
在已实现串联阻尼的条件下，由于在电容上并联电阻 或在电感上并联电阻而促使电容上电压重新振荡的机 制是不同的： 前者是由于并联电阻Rb和R的分压使电容上的稳态 电压降低所造成的。振荡只是围绕稳态值RbE/(R+Rb) 进行。 Rb 电容上出现的最大电压值 (uC ) m E (1 e ) R Rb 在R＝2R0时（即满足串联阻尼），在Rb＞R0/4的所 有范围内，回路都有振荡，但由于其稳态值低且衰 减又强，所以根本不会出现任何过电压。
p1, 2
无论Rb和电容并联还是和电感并联，其不振荡的条件 均为： 2 2 2 4 2 2
Rb R 2R0 Rb R ( R0 4R0 Rb ) 0
如取R为串联阻尼的临界值2R0，即R＝2R0，则上 式改写为： R0 4Rb 0 由该式看出，在已被串联电阻2R0完全阻尼的LC串联 回路(Rb=∞)中， 加并联电阻Rb后，有时反而会引起 振荡，只有当Rb＜R0/4时，振荡才能消除。 如式中取Rb＝R0/2，则该式可改写为
(uC ) m E (1 e


)
2)并联阻尼时：
L 100V C R n1
100V C R L
LCRp2 Lp R 0 p1, 2 R R 1 1 1 0 ( 0 )2 LC LC 2 R LC 2 R
令R0 L / C，当 R
出现过电压；当
0
R R 2 1 ( ) 2L 2L LC
L C
取R
R2 L
C
R2 L
C
R2 L
100res,R6.32
C
R=0时，为LC振荡，永久振荡； R≠０，一定时间后电容上电压趋于稳定值，电阻为耗 能元件，在L、C电磁能量交换过程中不断消耗能量。 时，P1,2均为实数根，此时振荡被完全被阻 尼，在电容上不会出现高出于电源电压的过电压；
e(t )
uC e(0) y (t ) e ( ) y (t )d
' 0
t

而e(t)为任意波型，y(t)为单位 阶跃函数的解。
例1.1波长为S的矩形波电源 可直接分解成两个幅值相同、极性 相反、作用时间相差S的直流电压。
t S , uC E (1 cos0t ) t S , uC E (1 cos0t ) E[1 cos0 (t S )] 2 E sin
0 1 /
LC ; arctg
电容上电压最大值，
cos 0
sin
02 2 2 (uC (t ))max Em 2 [ 1 sin ( cos ) ] 2 0 0
它和合闸相位有关：
0:
1 (uC (t ))max Em 1 0
3)既存在串联电阻R又存在并联电阻Rb时：
R 100V L n1 C
R 100V
Rb
L
n1 C
Rb
左图为Rb和电容并联：
LCRb p2 (CRRb L) p R Rb 0
p1, 2 R R 1 R 1 R R ( 0 ) ( 0 ) 2 (1 ) R0 LC 2 R0 2 Rb LC 2 R0 2 Rb
这种既有并联阻尼电阻，又有串联阻尼电阻的回路衰减 极快，所以通常把这种回路称为“超衰减回路”。其衰 减系数为

R 1 R ( 0 ) 2 LC Rb R0
在这种回路中，只要其中一个电阻能满足临界阻尼的条 件．虽然仍有产生振荡的可能，但已不必担心过电压的 产生。
1.2.1 直流电源时
uC E (1 cos 0 t ) i E sin 0 t / L/C
2
式中， 0 1/
LC
1.电场能和磁场能 的相互转换
电容C初始电压uC(0)： uC E ( E uC (0)) cos0t 2. 过电压=2倍稳态 值-初始值
uC (0) 0, uCM 2 E
第1章 线性集中参数回路的过渡过程
• 1.1 概述 从电路的观点看，电力系统除电源外，其余线 路和设备均可用R、L和C三个典型线性元件的 不同组合表示。 过渡过程是需要研究的。二阶及以上电路（微 分方程）。
• 1.2 LC串联电路的过渡过程
根据KVL，可得
d uC LC 2 uc e(t ) dt
C
R2 L C
R2 L
时，uC将为衰减振荡：
e t uC E[1 cos(t )] cos
式中，

1 R 1 R 2 2 ; [1 ( ) 0 2 ; tg 1 LC 2 R4 LC 2 R4
电容上的电压最大值将出现在t 时：
0 S
S sin 0 (t ) 2 2
(uc ) m 2 E sin
0 S
2
S〉=T/6，uC才出现过电压； S〉=T/2，uC过电压将达2E；