高考总复习数学课件：第六章 第5讲 不等式的应用

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进

行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元

法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。

(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，

0.2y≤90， 则1·y≤600，
z＝120y

⇒yy≤≤640500， ⇒y≤450.

∴当 y＝450 时，zmax ＝120×450＝54 000(元). 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利
润 54 000 元.

解：(1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元，

则02.x1≤x≤60900，， z＝80x

⇒xx≤≤390000， ⇒x≤300.

∴当 x＝300 时， zmax ＝80×300＝24 000(元). 即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利 润 24 000 元.
(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，

0.1x＋0.2y≤90， 则x2≥x＋0，y≤600，
y≥0

x＋2y≤900， ⇒2x≥x＋0y，≤600，
y≥0.

z＝80x＋120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域， 即可行域，如图 D37.

2.一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左、右 各留有 4 cm 的空白，上、下各留有 3 cm 的空白，则当排版的 长为_______cm，宽为_______cm 时，用纸最省.

解析：设矩形的长为 x cm，则宽为43x2 cm，则总面积为

y＝(x＋8)·43x2＋6＝432＋48＋6x＋432x×8＝480＋6x＋72×x 8
第5讲 不等式的应用

考纲要求

考点分布

考情风向标

2011年新课标第21题考查函数、导数、

不等式的综合应用；

从近几年的高考试题来看，

2012年新课标第21题考查函数、导数、 高考越来越增大了对密切

1.会用基本不 不等式的综合应用；

联系生产和生活实际的应

等式解决简单 2013年新课标Ⅰ第12题以分段函数为背 用性问题的考查力度.主要

线性规划问题，不等式的综合应用；

(2)基本不等式的应用：

并能加以解决 2016年新课标Ⅰ第16题考查线性规划的 求函数或数列的最值，侧

应用问题

重“正”“定”“等”的

2017年天津第16题考查线性规划的应用 满足条件

问题

1.如果a，b∈R，那么a2＋b2≥___2_a_b__(当且仅当a＝b时 取“＝”号).

4.常用不等式

(1)a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝

c 时取“＝”号). (2)若 a＞b＞0，m＞0，则ba＋ ＋mm＞ba(糖水的浓度问题).

x－y≥0， 1.(2017 年新课标Ⅲ)若 x，y 满足约束条件x＋y－2≤0，
y≥0，
则 z＝3x－4y 的最小值为________.
2.如果 a，b 是正数，那么a＋2 b≥___a_b__(当且仅当 a＝b 时
取“＝”号).

3.不等式的推广：1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤

a2＋b2 2.

以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)、几何平

均数(记作 G)、算术平均数(记作 A)、平方平均数(记作 Q)，即

H≤G≤A≤Q，各不等式中等号成立的条件都是 a＝b.
故应选用 12 cm×18 cm 的纸张.

【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审 题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式 解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最 大.

【互动探究】

1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在

温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前 侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是( D )
答案：C

4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市， 已知两地路线长 400 千米，为了安全，两辆货车间距至少不得 小于 2v02 千米，则把这批物资运到 B 市，最快需要___8____小 时(不计货车长度).

考点 1 实际生活中的基本不等式问题 例 1：出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150 cm2， 上、下边要留 1.5 cm 空白，左、右两侧要留 1 cm 空白，出版 商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？
图 D37 作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 2x＋3y＝0.

把直线 l 向右上方平移到 l1 的位置，直线 l1 经过可行域上 的点 M，此时 z＝80x＋120y 取得最大值.
由2x＋x＋2yy＝＝690000，， 解得点 M 的坐标为(100,400). 故当 x＝100，y＝400 时， zmax ＝80×100＋120×400＝56 000(元). 因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为 56 000 元. 【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一 步；画出可行域是第二步；找出最优解是第三步.

 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。

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≥480＋6×2

x·72×x 8＝768.当且仅当 x＝72×x 8，即 x＝24 时

取等号，此时宽为42342＝18(cm).

答案：24 18

考点 2 实际生活中的线性规划问题 例2：某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m3，准备加 工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料0.1 m3， 五合板2 m3，生产一个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m3， 出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元. 如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱， 那么可获利润多少？如何安排生产可使所得利润最大？

 一、听要点。



一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物

理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。

 二、听思路。



思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行

A.218 m2

B.388 m2

C.468 m2 D.648 m2

解析：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则

ab＝800.蔬菜的种植面积：S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝

808－2(a＋2b).则 S≤808－4 2ab＝648(m2).当 a＝2b，即 a＝ 40 m，b＝20 m 时，Smax＝648 m2.

【互动探究】 3.(2016 年新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙 材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg，用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元， 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙 材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为__________元.

解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。

 三、听问题。

 对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。

 四、听方法。



在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”

解析：不等式组表示的可行域如图 D35 所示的阴影部分， 目标函数 y＝34x－14z，其中 z 表示斜率为 k＝34的直线系与可行域 有交点时直线的截距的－14倍，截距最大

的时候目标函数取得最小值，数形结合可 得目标函数在点 A(1,1)处取得最小值 z＝ 3x－4y＝－1.
答案：－1

图 D35

②

x≥0，

y≥0.

作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图 D38)，即可 行域.
图 D38 将 z＝2100x＋900y 变形，得 y＝－73x＋90z0，平行直线 y＝ －73x，当直线 y＝－73x＋90z0经过点 M 时，z 取得最大值.

解方程组51x0＋x＋3y3＝y＝60900，0， 得 M 的坐标(60,100).
所以当 x＝60，y＝100 时， zmax ＝2100×60＋900×100＝ 216 000(元).
故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元. 答案：216 000

编后语

 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：

解：设印字部分的矩形宽为 x cm，则高为15x0 cm. 故纸张宽为(x＋2) cm，高为15x0＋3 cm. 其面积 S＝(x＋2)15x0＋3＝3x＋30x0＋156 ≥2 3x·30x0＋156＝216(cm2). 当且仅当 3x＝30x0，即 x＝10 cm 时，Smin＝216 cm2.

答案：C

图 D36

3.(2014年福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖

长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10

元/m2，则该容器的最低总造价是( )

A.80元

B.120元

C.160元

D.240元

解析：设长方体底面边长分别为 x，y，则 y＝4x. 所以容器总造价为 z＝2(x＋y)×10＋20xy＝20x＋4x＋80. 由基本不等式，得 z≥20×2 4＋80＝160.当且仅当底面是边长 为 2 m 的正方形时，总造价最低.故选 C.

的最大(小)值 景，考查函数与不等式的综合应用Biblioteka Baidu并 有两种形式：

问题.

求参数的取值范围；

(1)线性规划问题：求给定

2.会从实际情 2014年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、 可行域的面积；求给定可

境中抽象出一 不等式的综合应用；

行域的最优解；求目标函

些简单的二元 2015年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、 数中参数的范围.

x－y＋3≤0， 2.(2017 年山东)已知 x，y 满足约束条件 3x＋y＋5≤0，
x＋3≥0，
则 z＝x＋2y 的最大值是( )

A.0

B.2

C.5

D.6

解析：画出可行域及直线 x＋2y＝0 如图 D36，平移 x＋2y ＝0 发现，当其经过直线 3x＋y＋5＝0 与 x＝－3 的交点 A 时， z＝x＋2y 最大为 zmax＝－3＋2×4＝5.

解析：设生产产品 A、产品 B 分别为 x，y 件，利润之和为

1.5x＋0.5y≤150，

x＋0.3y≤90，

z 元，那么5x＋3y≤600，

①

x≥0，

y≥0.

目标函数 z＝2100x＋900y. 二元一次不等式组①等价于

3x＋y≤300，

10x＋3y≤900，

5x＋3y≤600，