高考总复习数学课件:第六章 第5讲 不等式的应用

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的研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进

行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元

法;因式分解法等,掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。

(2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元,

0.2y≤90, 则1·y≤600,
z=120y

⇒yy≤≤640500, ⇒y≤450.

∴当 y=450 时,zmax =120×450=54 000(元). 即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,可获利
润 54 000 元.

解:(1)设只生产书桌 x 张,可获利润 z 元,

则02.x1≤x≤60900,, z=80x

⇒xx≤≤390000, ⇒x≤300.

∴当 x=300 时, zmax =80×300=24 000(元). 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,可获利 润 24 000 元.
(3)设生产书桌 x 张,生产书橱 y 个,可获总利润 z 元,

0.1x+0.2y≤90, 则x2≥x+0,y≤600,
y≥0

x+2y≤900, ⇒2x≥x+0y,≤600,
y≥0.

z=80x+120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图 D37.

2.一份印刷品,其排版面积为 432 cm2(矩形),要求左、右 各留有 4 cm 的空白,上、下各留有 3 cm 的空白,则当排版的 长为_______cm,宽为_______cm 时,用纸最省.

解析:设矩形的长为 x cm,则宽为43x2 cm,则总面积为

y=(x+8)·43x2+6=432+48+6x+432x×8=480+6x+72×x 8
第5讲 不等式的应用

考纲要求

考点分布

考情风向标

2011年新课标第21题考查函数、导数、

不等式的综合应用;

从近几年的高考试题来看,

2012年新课标第21题考查函数、导数、 高考越来越增大了对密切

1.会用基本不 不等式的综合应用;

联系生产和生活实际的应

等式解决简单 2013年新课标Ⅰ第12题以分段函数为背 用性问题的考查力度.主要

线性规划问题,不等式的综合应用;

(2)基本不等式的应用:

并能加以解决 2016年新课标Ⅰ第16题考查线性规划的 求函数或数列的最值,侧

应用问题

重“正”“定”“等”的

2017年天津第16题考查线性规划的应用 满足条件

问题

1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥___2_a_b__(当且仅当a=b时 取“=”号).

4.常用不等式

(1)a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=

c 时取“=”号). (2)若 a>b>0,m>0,则ba+ +mm>ba(糖水的浓度问题).

x-y≥0, 1.(2017 年新课标Ⅲ)若 x,y 满足约束条件x+y-2≤0,
y≥0,
则 z=3x-4y 的最小值为________.
2.如果 a,b 是正数,那么a+2 b≥___a_b__(当且仅当 a=b 时
取“=”号).

3.不等式的推广:1a+2 1b≤ ab≤a+2 b≤

a2+b2 2.

以上不等式从左至右分别为:调和平均数(记作 H)、几何平

均数(记作 G)、算术平均数(记作 A)、平方平均数(记作 Q),即

H≤G≤A≤Q,各不等式中等号成立的条件都是 a=b.
故应选用 12 cm×18 cm 的纸张.

【规律方法】利用不等式解决实际问题时,首先要认真审 题,分析题意,建立合理的不等式模型,最后通过基本不等式 解题.注意最常用的两种题型:积一定,和最小;和一定,积最 大.

【互动探究】

1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在

温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前 侧内墙保留 3 m 宽的空地,则最大的种植面积是( D )
答案:C

4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市, 已知两地路线长 400 千米,为了安全,两辆货车间距至少不得 小于 2v02 千米,则把这批物资运到 B 市,最快需要___8____小 时(不计货车长度).

考点 1 实际生活中的基本不等式问题 例 1:出版社出版某一读物,一页上所印文字占去150 cm2, 上、下边要留 1.5 cm 空白,左、右两侧要留 1 cm 空白,出版 商为降低成本,应选用怎样尺寸的纸张?
图 D37 作直线 l:80x+120y=0,即直线 2x+3y=0.

把直线 l 向右上方平移到 l1 的位置,直线 l1 经过可行域上 的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值.
由2x+x+2yy==690000,, 解得点 M 的坐标为(100,400). 故当 x=100,y=400 时, zmax =80×100+120×400=56 000(元). 因此安排生产 400 个书橱,100 张书桌,可获利润最大为 56 000 元. 【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一 步;画出可行域是第二步;找出最优解是第三步.

 优等生经验谈:听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学习起来才能够举 一反三,事半功倍。

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≥480+6×2

x·72×x 8=768.当且仅当 x=72×x 8,即 x=24 时

取等号,此时宽为42342=18(cm).

答案:24 18

考点 2 实际生活中的线性规划问题 例2:某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m3,准备加 工成书桌和书橱出售,已知生产一张书桌需要方木料0.1 m3, 五合板2 m3,生产一个书橱需要方木料0.2 m3,五合板1 m3, 出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元. 如果只安排生产书桌,可获利润多少?如果只安排生产书橱, 那么可获利润多少?如何安排生产可使所得利润最大?

 一、听要点。



一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学习物

理课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。

 二、听思路。



思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行

A.218 m2

B.388 m2

C.468 m2 D.648 m2

解析:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则

ab=800.蔬菜的种植面积:S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=

808-2(a+2b).则 S≤808-4 2ab=648(m2).当 a=2b,即 a= 40 m,b=20 m 时,Smax=648 m2.

【互动探究】 3.(2016 年新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙 材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg, 乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙 材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为__________元.

解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。

 三、听问题。

 对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。

 四、听方法。



在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字,一般都是遵循着“形”、“音”、“义”

解析:不等式组表示的可行域如图 D35 所示的阴影部分, 目标函数 y=34x-14z,其中 z 表示斜率为 k=34的直线系与可行域 有交点时直线的截距的-14倍,截距最大

的时候目标函数取得最小值,数形结合可 得目标函数在点 A(1,1)处取得最小值 z= 3x-4y=-1.
答案:-1

图 D35



x≥0,

y≥0.

作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图 D38),即可 行域.
图 D38 将 z=2100x+900y 变形,得 y=-73x+90z0,平行直线 y= -73x,当直线 y=-73x+90z0经过点 M 时,z 取得最大值.

解方程组51x0+x+3y3=y=60900,0, 得 M 的坐标(60,100).
所以当 x=60,y=100 时, zmax =2100×60+900×100= 216 000(元).
故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元. 答案:216 000

编后语

 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:

解:设印字部分的矩形宽为 x cm,则高为15x0 cm. 故纸张宽为(x+2) cm,高为15x0+3 cm. 其面积 S=(x+2)15x0+3=3x+30x0+156 ≥2 3x·30x0+156=216(cm2). 当且仅当 3x=30x0,即 x=10 cm 时,Smin=216 cm2.

答案:C

图 D36

3.(2014年福建)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖

长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2,侧面造价是10

元/m2,则该容器的最低总造价是( )

A.80元

B.120元

C.160元

D.240元

解析:设长方体底面边长分别为 x,y,则 y=4x. 所以容器总造价为 z=2(x+y)×10+20xy=20x+4x+80. 由基本不等式,得 z≥20×2 4+80=160.当且仅当底面是边长 为 2 m 的正方形时,总造价最低.故选 C.

的最大(小)值 景,考查函数与不等式的综合应用Biblioteka Baidu并 有两种形式:

问题.

求参数的取值范围;

(1)线性规划问题:求给定

2.会从实际情 2014年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、 可行域的面积;求给定可

境中抽象出一 不等式的综合应用;

行域的最优解;求目标函

些简单的二元 2015年新课标Ⅰ第21题考查函数、导数、 数中参数的范围.

x-y+3≤0, 2.(2017 年山东)已知 x,y 满足约束条件 3x+y+5≤0,
x+3≥0,
则 z=x+2y 的最大值是( )

A.0

B.2

C.5

D.6

解析:画出可行域及直线 x+2y=0 如图 D36,平移 x+2y =0 发现,当其经过直线 3x+y+5=0 与 x=-3 的交点 A 时, z=x+2y 最大为 zmax=-3+2×4=5.

解析:设生产产品 A、产品 B 分别为 x,y 件,利润之和为

1.5x+0.5y≤150,

x+0.3y≤90,

z 元,那么5x+3y≤600,



x≥0,

y≥0.

目标函数 z=2100x+900y. 二元一次不等式组①等价于

3x+y≤300,

10x+3y≤900,

5x+3y≤600,
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