幂函数知识点总结及练习题

幂函数知识点总结及练习题

（1）幂函数的定义： 一般地,函数y x α

=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象．幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数．当q

p

α=

（其中,p q 互质,p 和q Z ∈）,若p 为奇数q 为奇数时,则q p

y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p

y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p

y x =是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α

=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若

1x >,其图象在直线y x =下方．

幂函数练习题

一、选择题：

1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ）

A ．y

x =43 B ．y x =32

C ．y x =-2

D ．y x =-

14

2．函数2

-=x y 在区间]2,2

1[上的最大值是

（ ）

A ．

4

1

B ．1-

C ．4

D ．4- 3．下列所给出的函数中,是幂函数的是

（ ）

A ．3

x y -=

B ．3

-=x

y C ．3

2x y = D ．13

-=x y 4．函数3

4x y =的图象是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α

x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0,0）和（1,1）点

C ．若幂函数αx y =是奇函数,则α

x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3

x y =和3

1x y =图象满足

（ ）

A ．关于原点对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足

（ ）

A ．是奇函数又是减函数

B ．是偶函数又是增函数

C ．是奇函数又是增函数

D ．是偶函数又是减函数

8．如图1—9所示,幂函数α

x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）

A ．102431<<<<<αααα

B ．104321<<<<<αααα

C ．134210αααα<<<<<

1α

α

4α

2α

D ．142310αααα<<<<<

二、填空题：. 1．函数y x =-

32

的定义域是 .

2．1

4()3,27)()f x f x -幂函数的图象过点（，则的解析式是

.

3．9

42

--=a a

x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 .

4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .

三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小 （1）06072088089611

611

5353

..(.)(.).与；（）与--

2．求证：幂函数3

x y =在R 上为奇函数且为增函数.

3．下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.

.

6543212

1

323

23123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（

（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）

巩固训练 一、选择题

1．已知集合{

}{}2,2,1==N M ,则N M I 等于（ ） A ．{

}2,1 B ．{}1 C ．{}2 D ．2 2．下列函数中,值域是()+∞,0的函数是（ ） A ．3

x y = B ．4

x y = C ．2

-=x y D ．3

1

-

=x

y

3．函数1

1

-=

x y 的定义域是（ ） A ．()+∞,1 B ．[)+∞,1 C ．()1,∞- D ． ()()+∞∞-,11,Y 4．二次函数12

+-=x y 的单调递减区间是（ ）

A ．(]0,∞-

B ．[)+∞,1

C ．(]1,-∞-

D ．[)+∞,0 5．函数3)(x x f -=的图象（ ）

A ．关于直线x y =对称

B ．关于x 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于y 轴对称 6．幂函数)(Q n x y n

∈=的图象一定经过点（ ）

A ．()0,0

B ．()1,1

C ．()1,1--

D ．()1,0 7．已知{}

512,>-==x x A R I ,则A =（ ）

A ．{}3≤x x

B ．{}2-≥x x

C ．{}32≤≤-x

D ．{}

32≤≤-x x 8．若一元二次不等式0122

<--px x 的解集是{}

q x x <<-2,则p 的值是（ ） A ．不能确定 B ．4 C ．－4 D ．８ 10．函数)1(1≥--=x x y 的反函数是（ ） A ．)(12

R x x y ∈+= B ．)0(12

>+=x x y C ．)0(12

≤+=x x y D ．)0(12

≤+-=x x y

11．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在[)+∞,0上单调递减,则（ ） A ．)10()()3(f f f <-<-π B ．)3()()10(-<-