幂函数知识点总结及练习题
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幂函数知识点总结及练习题
(1)幂函数的定义: 一般地,函数y x α
=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).
③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q
p
α=
(其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p
y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p
y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p
y x =是非奇非偶函数.
⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α
=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若
1x >,其图象在直线y x =下方.
幂函数练习题
一、选择题:
1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( )
A .y
x =43 B .y x =32
C .y x =-2
D .y x =-
14
2.函数2
-=x y 在区间]2,2
1[上的最大值是
( )
A .
4
1
B .1-
C .4
D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是
( )
A .3
x y -=
B .3
-=x
y C .3
2x y = D .13
-=x y 4.函数3
4x y =的图象是
( )
A .
B .
C .
D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数α
x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点
C .若幂函数αx y =是奇函数,则α
x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3
x y =和3
1x y =图象满足
( )
A .关于原点对称
B .关于x 轴对称
C .关于y 轴对称
D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足
( )
A .是奇函数又是减函数
B .是偶函数又是增函数
C .是奇函数又是增函数
D .是偶函数又是减函数
8.如图1—9所示,幂函数α
x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( )
A .102431<<<<<αααα
B .104321<<<<<αααα
C .134210αααα<<<<<
1α
α
4α
2α
D .142310αααα<<<<<
二、填空题:. 1.函数y x =-
32
的定义域是 .
2.1
4()3,27)()f x f x -幂函数的图象过点(,则的解析式是
.
3.9
42
--=a a
x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 .
4.函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .
三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 1.比较下列各组中两个值大小 (1)06072088089611
611
5353
..(.)(.).与;()与--
2.求证:幂函数3
x y =在R 上为奇函数且为增函数.
3.下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
.
6543212
1
323
23123---======x y x y x y x y x y x y );();()(;);();()(
(A ) (B ) (C ) (D ) (E ) (F )
巩固训练 一、选择题
1.已知集合{
}{}2,2,1==N M ,则N M I 等于( ) A .{
}2,1 B .{}1 C .{}2 D .2 2.下列函数中,值域是()+∞,0的函数是( ) A .3
x y = B .4
x y = C .2
-=x y D .3
1
-
=x
y
3.函数1
1
-=
x y 的定义域是( ) A .()+∞,1 B .[)+∞,1 C .()1,∞- D . ()()+∞∞-,11,Y 4.二次函数12
+-=x y 的单调递减区间是( )
A .(]0,∞-
B .[)+∞,1
C .(]1,-∞-
D .[)+∞,0 5.函数3)(x x f -=的图象( )
A .关于直线x y =对称
B .关于x 轴对称
C .关于原点对称
D .关于y 轴对称 6.幂函数)(Q n x y n
∈=的图象一定经过点( )
A .()0,0
B .()1,1
C .()1,1--
D .()1,0 7.已知{}
512,>-==x x A R I ,则A =( )
A .{}3≤x x
B .{}2-≥x x
C .{}32≤≤-x
D .{}
32≤≤-x x 8.若一元二次不等式0122
<--px x 的解集是{}
q x x <<-2,则p 的值是( ) A .不能确定 B .4 C .-4 D .8 10.函数)1(1≥--=x x y 的反函数是( ) A .)(12
R x x y ∈+= B .)0(12
>+=x x y C .)0(12
≤+=x x y D .)0(12
≤+-=x x y
11.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在[)+∞,0上单调递减,则( ) A .)10()()3(f f f <-<-π B .)3()()10(-<-