北京市朝阳区2011年高三一模数学文科
北京市西城区2011届高三模拟数学(文)试题及答案
北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的 焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框 图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学文)
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2012.1第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N 等于（ ）A ．φB ．}321|{<<x x C ．}30|{<<x xD ．{|23}x x <<2.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（ ）A ．9-B ．1-C ．1D ．93. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x 的图象大致是 （ ）4. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n + C ．2324n n+D ．2n n +5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．1-C ． 2-D ．06. 函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7.已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c << B.c a b << C.b a c << D.b c a << 8. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得AB ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量x ，y 满足约束条件1,,236,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为 .10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .时速（km/h ）01002 003 00440 50 60 70 8012. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =2c =，求AB AC 的值．16. （本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.17. （本题满分13分） 如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转MSD BCP Q·转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）请列出一个家庭得分(,)a b 的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？18. （本题满分13分）设函数2()ln 2,R 2ax f x a x x a =+-∈. （Ⅰ）当1a =时,试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值; （Ⅱ）当0a ≥时,试求函数()f x 的单调区间. 19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，求2a ，3a ，4a ，并猜想数列}{n a 的通项公式（不需要证明）； （Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b ，},,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠，2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）答案 2012.1二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，根据正弦定理得：2sin sin 0A B A -=.………………………………………………………3分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . ………………………………………………5分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =2c =，根据余弦定理，得 2744cos3a a π=+-， ……………………………………8分整理，得2230a a --=．由于0a >，得3a =． ……………………………10分于是222cos214b c a A bc +-===， ………………………………11分所以 cos cos 21AB AC AB AC A cb A ====． ……………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，则CD AD ⊥. …………………1分 又平面SAD ⊥平面ABCD ， 且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . ………………………………………………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．…………………4分在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR =12BC ．所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. …………………………………………………7分 所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）存在点N 为SC 中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． ………………11分连接PC DM 、交于点O ，连接PM 、SP ， 因为//PD CM ，并且PD CM =，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO CO =. 又因为N 为SC 中点，所以//NO SP ．………………………………………………………………………12分 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD =AD ，并且SP AD ⊥， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ， ……………………………………………………13分 又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．……………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)． …………………………………………………………7分（Ⅱ）记事件A ：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种， ……………………………………………11分 所以5()9P A =． 所以一个家庭获奖的概率为59． …………………………………………………13分（18）（本小题满分13分）解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………………1分当1a =时,2()ln 22x f x x x =+-，因为21(1)()20x f x x x x -'=+-=≥， …3分 M SDBCAPQ·R (N ) O所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，则当=e x 时,函数()f x 取得最大值2e (e )12e 2f =+-. …………………………………………………………………5分（Ⅱ）22()ax x af x x-+'=. ………………………………………………………6分当0a =时,因为()20f x '=-<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；…7分 当0a >时，⑴当2440a ∆=-≤时，即1a ≥时，()0f x '≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞ 上单调递增； …………………………………………………………9分⑵当2440a ∆=->时，即01a <<时，由()0f x '>解得，0x <<，或x >. …………………………………………10分由()0f x '<x <<； ………………………………11分所以当01a <<时，函数()f x 在区间上单调递增；在11(a a +上单调递减，1()a+∞单调递增. ………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为12c a =，所以2a c =，b =. …………………………………1分 设椭圆方程为2222143x y c c+=，又点3(1,)2P 在椭圆上,所以2213144c c +=，解得21c =， …………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为(4)y k x =-， ……………………………………………………………5分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得 2222(34)3264120k x k x k +-+-=， ………………………………………………6分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->， 解得1122k -<<. ……………………………………………………………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k+=+，⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①， 2122641234k x x k -=+.… ②. 因为AMF △与MFN △的面积相等，所以AM MN =，所以1224x x =+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ③ ……………………………………10分由①③消去2x 得21241634k x k +=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ④将2124x x =-代入②得21126412(24)34k x x k --=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⑤ 将④代入⑤2222224164166412(24)343434k k k k k k ++-⨯-=+++，整理化简得2365k =，解得6k =±，经检验成立. …………………………12分 所以直线l的方程为4)y x =-. …………………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . ……1分 因为0122<-=+b a ,则212223-=+=b a a ,320b b ==. ………………2分 333421222a b a a +===-. ……………………………………………………3分 猜想当2n ≥时，22221111222n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.则21,1,1, 2.2n n n a n -⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩ …………………………………………………………4分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， ……………………5分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. ……………………6分当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………………8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列， ……9分 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>.所以数列{}n c 是单调递增数列. ………………………………………………11分 因此要证)(1m n c n ≤<，只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m+->-. …12分因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . ………………………………………………………14分。
2011年高考北京市数学试卷-文科（含详细答案）
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =½£，那么U P =ð(A)(,1-¥-) (B)(1,+¥) (C)（-1，1) (D)()()11-¥,-,+¥【解析】：2111x x £Þ-££，U P =ð()()11-¥,-,+¥ ，故选D （2）复数212ii-=+(A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i i i i ---------+====++----，选A 。
（3）如果1122log log 0x y <<，那么，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【解析】：1122log log x y x y <Þ>，12log 01y y <Þ>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则是假命题，则（A ）p q Ù是真命题是真命题 (B)p q Ú是假命题是假命题 (C)p Ø是真命题是真命题 (D)q Ø是真命题是真命题 【解析】：或（Ú）一真必真，且（Ù）一假必假，非（Ø）真假相反，故选D（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622´´´+=+故选B 。
北京市朝阳区2010至2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学文科综合试题
北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U R =，A =(){}20x x x -<，{}10B x x =->，则A B I = （A ）(2, 1)-（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]-（D ）(1, 2)2．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 304．若0m n <<，则下列结论正确的是（A ）22m n> （B ） 11()()22m n <（C ）22log log m n > （D ）1122log log m n >5．要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位6．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（A ）若//l α，m αβ=I ，则//l m ； （B ）若//l α，//m α，则//l m ； （C ）若l α⊥，//l β，则αβ⊥； （D ）若//l α，m l ⊥，则m α⊥．7．设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A1 （B）12 （C） （D）28．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（A ）有无数条 （B ）有2条（C ）有1条 （D ）不存在第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．已知3cos 5x =，(),2x ππ∈，则tan x = 10．经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ．11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为2的正三角形，俯视图半径为1的圆，则这个 几何体的体积为 .12. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最大值为 .13．平面向量a 与b 的夹角为60，(2, 0)=a ，||1=b ，则|2|+a b = .ABCD A 1B 1C 1D 1EF正视图 侧视图俯视图14．按下列程序框图运算：若5x =，则运算进行 次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．16．（本小题满分13分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 17．（本小题满分13分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.ABCA 1B 1C 1M N18．（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅- ≤≤，求直线l的斜率的取值范围.19．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（Ⅰ）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？ 20．（本小题满分14分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++ ≥k 的值.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科）参考答案一．选择题：15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为11()2cos 222f x x x =--1sin(2)62x π=--， ………… 4分所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． ……………………9分所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………11分当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分因为1AA AB A =I ， ……………………………………………………… 3分 所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，A 1B 1C 1M因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =，所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 11443223B A AB V V --==⨯⨯⨯=. ………………………… 13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， ……………………………1分所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++. …………………………………………………3分 由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. ………………………5分 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-. …………… 6分故所求的解析式是32()332f x x x x =--+. ………………………………7分 （Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， …………………………………………………8分令23630x x --=，即2210x x --=，解得 11x =21x =. ……………………………………………10分当1x <1x >()0f x '>， …………………………………11分当11x <<()0f x '<， …………………………………………12分故32()332f x x x x =--+在(, 1-∞内是增函数，在(1 1内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. …………………………………………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =- ，(3, 0)MN =- ，(1, )PN x y =--. …………………2分由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x . ………………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤. …………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=. ……………………………………1分因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =. …………………………………3分所以2()(1)f x x =+. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+=222(2)()124k k x ---+-． ………………… 6分 所以当222k -≥或222k --≤时， 即6k ≥或2k -≤时，()g x 是单调函数． …………………………………… 9分 （Ⅲ）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2()1f x ax =+.所以221 0,() 1 0.ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ ………………………………………………10分 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. …………………………………………………………………12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.所以()()0F m F n +>． …………………………………………… 14分 20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)因为12211314b b a ==-，所以21213a a b ==. 所以211(, )33P . ……… 1分 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. …… 3分由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. 所以1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. ………………… 5分（Ⅲ）由(Ⅱ)得1112(1)n n a a =+-. 所以112(1)21nn n a =+-=-. 所以121n a n =-. …………………………………………………………… 7分 所以231221n n n b a n -=-=-. ……………………………………………… 8分依题意12(1)(1)(1n k a a a +++ ≤恒成立.设12()(1)(1)(1n F n a a a =+++ ，所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值. ………………………………… 10分因为(1)()F n F n +==1(1n a ++=1>， 所以()F n （x *∈N ）为增函数. ……………………………………… 12分所以min ()(1)F n F ===.所以k所以max k = ……………………………………… 14分。
2011朝阳区一模试卷(文)及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（文史类） 2011.4 第一部分（选择题 共40分） 注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合{}20Mx x =->，{}(3)(1)0N x x x =--<，则M N =(A){}23x x << （B ）{}1x x < （C ）{}3x x > （D ）{}12x x <<2. 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随机选出16人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是（A ）8人，8人 （B ）15人，1人（C ）9人，7人 （D ）12人，4人 3．函数2cos 1y x =+在下列哪个区间上为增函数（A ）π[0,]2 （B ）π[, π]2（C ）[]0, π （D ）[]π, 2π 4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是（A ）692（B ） 69 （C ）93 （D ）1895．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（A ） //a b ，//b α，则//a α（B ） a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ（C ） aα⊥，//b α，则a b ⊥（D ） 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b6. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形， 俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（A ）23（B ）33（C ）223（D ）2337．已知函数()y f x =是奇函数， 当0x >时，()f x =lg x ，则1(())100f f 的值等于（A ）1lg 2（B ）1lg 2-（C ）lg 2 （D ）lg 2-8．已知x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，若(0, 1)a ∈，则{}a 与1{}2a +的大小关系是（A ）不确定（与a 的值有关） （B ）{}a <1{}2a +（C ）{}a =1{}2a + （D ）{}a >1{}2a +第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知i 为虚数单位，则3i1i+-= . 正视图俯视图侧视图1310．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y x +-= 所截得的弦长为 .11. 已知两点(3, 2)A --，(3,6)B ，点C 满足AC CB = ，则点C 的坐标是 ，AB AC ⋅= .12．抛物线24y x =上一点M与该抛物线的焦点F 的距离||4MF =，则点M 的横坐标x = .13．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =，则输出y 的值为 ．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于2的正整数)，对于任意,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.否开始输入x是 1?y ≤输出y结束x y =|2|y x =-15.（本小题满分13分） 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2c a =，4C π=. （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）求cos(2)3A π-的值.16．（本小题满分13分） 已知集合A ={-2，0，2}，B ={-1，1}.（Ⅰ）若M ={(,)x y |x ∈A ,y ∈B }，用列举法表示集合M；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合M 内，随机取出一个元素(,)x y ，求以(,)x y 为坐标的点位于区域D ：20,20,1x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥内的概率.17．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC ∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD ，90PAD ∠=︒. 若12AB BC AD ==.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ，求证：BE 平面PCD .AB PCDE18．（本小题满分13分） 已知函数2()ln f x a x x=+，a ∈R . （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线垂直于直线2y x =+，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间(0, e]上的最小值.19．（本小题满分14分） 已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左右顶点，(1, 0)F 为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为P （不同于A ，B ），与椭圆在点B 处的切线交于点D ．当直线l 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分14分） 有n (3, )n n *∈N ≥个首项为1，项数为n 的等差数列，设其第m (, )m n m *∈N ≤个等差数列的第k 项为mk a (1,2,3,,)k n = ，且公差为m d . 若11d =，23d =， 123,,,,n n n nn a a a a 也成等差数列．（Ⅰ）求m d （3m n ≤≤）关于m 的表达式；（Ⅱ）将数列{}m d 分组如下：1()d ，234(,,)d d d ，5(d ，6d ，7d ，8d ，9d ）…，（每组数的个数组成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当nN>时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题答案（文史类） 2011.4 一、选择题 题号 （1） (2) （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 ACBCCBDA二、填空题 题号 （9）（10） （11）（12）（13） （14） 答案 12i +2(0, 2)5030.84三、解答题（共80分） 15.（满分13分） 解：（Ⅰ）因为2ca =，4C π=， 由正弦定理sin sin a c A C =得：2sin 4A =. (5)分（Ⅱ）因为2sin 4A =，2c a =可知a c <，4A π<.则214cos1sin 4A A =-=. 7sin 22sin cos 4A A A ==,23cos 22cos 14A A =-=.则cos(2)3A π-=ππcos 2cos sin 2sin 33A A +=3218+.………………13分 16. （满分13分）解：（Ⅰ）M ={(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)}. ……………6分（Ⅱ）记“以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内”为事件A .E FA BP CD集合M 中共有6个元素，即基本事件总数为6，区域D 含有集合M 中的元素4个， 所以42()63P A ==. 故以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内的概率为23. ……………………………13分17. （满分13分） 解：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PAAD ⊥.又因为侧面PAD⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD .而CD⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD .在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以22AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………6分（Ⅱ）设侧棱PD 的中点为F ， 连结BE ，EF ，FC ，则EFAD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以BC AD . 又12BC AD =， 所以BC EF . 且BC EF=.所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………………………………13分ABP CDE18. （满分13分） 解: （Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1.函数()y f x =的导数为22()a f x x x'=-+，则22(1)111af '=-+=-，所以1a =. ………………………………5分（Ⅱ）22()ax f x x-'=，x ∈(0,)+∞.①当0a =时，在区间(0, e]上22()0f x x'=-<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef =. ②当20a<，即0a <时，在区间(0, e]上()0f x '<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+. ③当20e a<<，即2e a >时，在区间2(0,)a 上()0f x '<，此时()f x 在区间2(0,)a 上单调递减；在区间2(,e]a 上()0f x '>，此时()f x 在区间2(,e]a 上单调递增；则()f x 在区间(0, e]上的最小值为22()ln f a a a a =+.④ 当2e a ≥，即20ea <≤时，在区间(0, e]上()0f x ′≤，此时()f x 在区间(0, e]上为单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+. 综上所述，当2ea ≤时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2e a +；当2e a >时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2ln a a a +. …………………………………………13分19. （满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，因为(2, 0)A -、(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，(1, 0)F 为其右焦点， 所以2a=， 1c =．又因为222ab c =+，所以223b a c =-=．故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……5分（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切. 证明如下： 由题意可设直线l 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠，则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),1,43y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+．因为点F 坐标为(1, 0)，当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±， 直线PFx ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF相切．当12k≠±时，则直线PF 的斜率0204114PFy kk x k ==--.所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k=--． 点E 到直线PF的距离OF EPD BAy x222228421414161(14)k kk k k d k k ----=+-322228142||14|14|k k k k k k +-==+-．又因为||4||BD k = 所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 综上得，当直线l 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF相切． (14)分20. （满分14分） 解（Ⅰ）由题意知，1(1)mnm a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…，(1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--． 123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- ， 故21321n n d d d d d d --=-==- .即{}n d 是公差是21312d d -=-=的等差数列．所以，21md m =-（3m n ≤≤，*,m n ∈N ）． ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，…． 按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数．注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ，所以前2m 个奇数的和为224()mm =，即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而*2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ．所以234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ .23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ 2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--， 所以1(23)26n n S n +=-+． ……………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N . 故不等式1(6)50n n S d -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >. 因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ．…………………………………14分。
2011年北京高考数学答案(文科)
2011年北京高考数学答案（文科)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)kkn kn P k C p p k n -=-=第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16(B)13(C)12（D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i答案：A 解析：12i i i i i-+=--=-3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥[来源:](C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=[来源:](A)0 (B)BE (C)AD(D)CF答案D解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习(一)
北京市朝阳区2011年第二学期高三综合练习（一）数学（理科）（朝阳一模）（时间：120分钟总分： 150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小 题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合},,2{{},,|{2R x x y y N R x x y y M ∈+==∈==则=N M ( )),0.[+∞A ),.(∝+-∞B ∅.C )1,1()4,2.(- D2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从这两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 ( )8,8.A 6,10.B 7,9.C 4,12.D3．极坐标方程θρcos 4=化为直角坐标方程是 ( )4)2.(22=+-y x A 4.22=+y x B 4)2(.22=-+y x C 4)1()1.(22=-+-y x D4．已知}{n a 是由正数组成的等比数列，n s 表示 }{n a 的前n 项和．若,144,3421==a a a 则10s 的值是( )511.A 1023.B 1533.C 3069.D5．函数)2(cos 2π+=x y 的单调递增区间是 ( )Z k k k A ∈+),2,.(πππ z k k k B ∈++),,2.(ππππZ k k k C ∈+),2,2.(πππ z k k k D ∈++),22,2.(ππππ6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 ( )126.A 33.B 46.C 332.D7．如图，双曲线的中心在坐标原点0，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D.若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是 ( )77.A 775.B 147.C 1475.D 8．定义区间（a ，b ），k ，b ），（a ，b]，k ，b]的长度均为,a b d -=多个区间并集的长度为各区间长度之和．例如， )2,1()5,3[的长度.3)35()12(=-+-=d 用][x 表示不超过x 的最大整数，记 ],[||x x x -=其中.R x ∈设=)(x f ,1)(|,|][-=⋅x x g x x 若321,,d d d 分别表示不等式),()(x g x f > 方程),()(x g x f =不等式)()(x g x f <解集区间的长度，则当20110≤≤x 时，有 ( )2008,2,1.321===d d d A 2009,1,1.321===d d d B2003,5,3.321===d d d C 2006,3,2.321===d d d D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．复数,1,321i z i z -=+=则21z z等于 10.在二项式6)2(+x 的展开式中，第四项的系数是11.如下图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且.4=若 ,AE y AF x AD +=则实数=x =y ,12.执行下图所示的程序框图，若输入,2.5-=x 则输出y 的值为13.如下图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点 E.已知=∠===D B C EC AE CD BC ,2,32=∠C A B 则,30 ，AC 的长是14.对于各数互不相等的整数数组n i i i i n （),,,,(321 ⋅是不小于3的正整数），对于任意},,,3,2,1{,n q P ∈ 当P q <时，有,q P i i >则称q P i i ,是该数组的一个“逆序”，一个数据中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组(2，4，3，1)中的逆序数等于____；若数组,,(21i i ),,3n i i 中的逆序数为n ，则数组),,,(11i i i n n -中的逆序数为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写在文字说明，演算步骤或证明过程：15.（本小题共13分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知⋅-=432cos C (I)求sinC ；(Ⅱ)当C=2a ，且73=b 时，求a ．16.（本小题共13分）如图，在四棱雉P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且=∠=∠PAD ABC BC AD ,// ,90 侧面PAD ⊥底面ABCD.若BC AB PA ==.21AD = (I)求证：CD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)侧棱PA ⊥是否存在点E ，使得BE∥平面PCD? 若存在，指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．(Ⅲ)求二面角A-PD-C 的余弦值．17．（本小题共13分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进 4个球且最后．2个球都投 进者获奖，否则不获奖，已知教师甲投进每个球的概率都是⋅32 (I)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ， 求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙 在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题共13分）已知函数>-+=a x a xZ x f (2ln )().0 (I)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； (Ⅱ)若对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记).()()(R b b x x f x g ∈-+=当1=a 时，函数)(x g 在区间].,[1e e -上有两个零点，求实数b的取值范围．19．（本小题共14分）已知A （-2，0），B(2，O)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为.32（I ）求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直 线PF 的位置关系，并加以证明．20.（本小题共14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为),3,,,3,2,1,(≥=n n k m a nk 公差为,m d 并且*,,,,32ln r n n a a a a 成等差数列．(I)证明212211,,3(1P P n m d p d p d m ≤≤+==是m 的多项式），并求21P P +的值； (Ⅱ)当3,121==d d 时，将数列}{m d 分组如下：),(1d ),,,,,(),,,(98765432d d d d d d d d …（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为m m c c ()(4),0>求数列}*2{m c d 的前挖项和n s . (Ⅲ)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(Ⅱ)中的,n s 求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值.。
2012朝阳区高三一模数学文科
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //nC ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0,, 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则M O N ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C PD ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线A N ，B N的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m m n S a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题： 15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. ……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,MN NF .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以M N //A B ,M N 12=A B . ……………2分 又因为E F //A B ,E F 12=A B ，所以M N //E F 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C PD ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D BD ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C P D ∆中，tan =C D C PD D P∠.因为C D 为定值，且C PD ∠为锐角，则要使C PD ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C PD ∠最大. …………11分 易得tan C D C PD =D B∠=23.所以C PD ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分NCA F EB MD（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--()0g x >，()0f x '>，()f x 在(1,1aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11aa-+--. …………………………14分19、（本小题满分14分）解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±.设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T -和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分。
2011年北京高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}21P x x =∣…，那么U P =ð （ ）. A. (,1-∞-) B. (1,+∞) C.(-1，1) D. ()()11-∞,-,+∞ 【测量目标】集合的含义、基本运算. 【考查方式】解不等式，求解补集. 【参考答案】D【试题解析】2111x x ⇒-剟?，U P =ð()()11-∞,-,+∞ ，故选D. 2. 复数i 212i-=+ （ ）. A. i B. i - C.43i 55-- D.43i 55-+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】复数的除法运算，直接计算出结果. 【参考答案】A【试题解析】22i 2(i 2)(12i)i 2i 24i i 2(1)24i i 12i (12i)(12i)14i 14(1)---------+====++----，选A. 3. 如果1122log log 0x y <<，那么 （ ）.A.1y x <<B.1x y <<C.1x y <<D.1y x << 【测量目标】对数函数的性质、函数值比较. 【考查方式】由对数函数增减性，求解定义域. 【参考答案】D【试题解析】1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒>，即1y x <<故选D.4. 若p 是真命题，q 是假命题，则 （ ）. A.p q ∧是真命题 B.p q ∨是假命题 C.p ⌝是真命题 D.q ⌝是真命题 【测量目标】命题的概念. 【考查方式】命题的真假判断. 【参考答案】D【试题解析】：或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D. 5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 （ ）.A.32B.16+C.48D.16+【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】由三视图想象出四棱锥结构，进而计算其表面积. 【参考答案】B【试题解析】由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为21444162⨯⨯+=+ B. 6. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为 （ ）.A.2B.3C.4D.5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【参考答案】C【试题解析】执行三次循环，12S A ==…成立，(步骤1)112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A ==…成立，（步骤2） 213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A ==…成立，（步骤3）314p =+=，1111112566412S p =+=+=，25212S A ==…不成立，（步骤4） 输出4p =，故选C.（步骤5）7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储 间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 用之和最小，每批应生产产品 （ ）. A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 【测量目标】一元二次函数的实际应用. 【考查方式】一元二次函数的实际应用，解方程. 【参考答案】B【试题解析】仓储费用2188x x x ⨯⨯=，每件产品的生产费用与仓储费用之和：280080088x x y x x+==+20=…， 当且仅当8008x x=即80x =时，上式取等号. ∴每批应生产产品80件，故选B.8.已知点()()0,2,2,0A B .若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为 （ ）. A.4 B.3 C.2 D.1【测量目标】二次函数德尔图像和性质.【考查方式】由二次函数的性质和点到直线的距离公式求解. 【参考答案】A【试题解析】 设()()()2,,0,2,2,0C x x A BAB ∴的直线方程为122x y+=即20x y +-=AB =由2ABC S =△得11222AB h ⨯=⨯==即h =(步骤1)=即222x x +-=± 解得，1x =-,或0x =，或x =故选A.（步骤2）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在ABC △中，若π15,,sin 43b B A =∠==，则a = . 【测量目标】解三角形、正弦定理. 【考查方式】由正弦定理，直接求出答案. 【参考答案】325 【试题解析】由正弦定理得sin sin a bA B=， 又 π15,,sin 43b B A =∠==.∴5,1πsin 34a a ==10. 已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .【测量目标】双曲线的标准方程和简单的几何性质. 【考查方式】双曲线的渐近线与题中渐近线比较法得出结果. 【参考答案】2【试题解析】由2221y x b-=得渐近线的方程为2220,y x y bx b-==±即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得b =2.11.已知向量((0,1),k ==-=a b c .若2-a b 与c 共线，则k = . 【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】共线向量中，由对应坐标成比例求解. 【参考答案】1【试题解析】2-=a b 由2-a b 与c31k k =⇒= 12. 在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= . 【测量目标】等比数列的基本性质和前n 项和. 【考查方式】由通项公式求解公比和求和公式. 【参考答案】2；2121--n 【试题解析】由{}n a 是等比数列得341a a q =， 又141,4,2a a == 所以31422q q =⇒=， 112(1)1nn a q a a a q -++⋯+=-11(12)122122nn --==--.13. 已知函数若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .()32,2,()1,<2.x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩… 【测量目标】分段函数.【考查方式】画出分段函数，找到单调区间，比较法. 【参考答案】（0，1） 【试题解析】2()(2)f x x x=…单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.14. 设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R ).记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则(0)N = ； ()N t 的所有可能取值为 . 【测量目标】平行四边形的性质定理. 【考查方式】由点坐标得出范围，一一求解. 【参考答案】6 ；6，7，8. 【试题解析】在0t =, 302t <<, 32t =时分别对应点为6,8,7. 在平面直角坐标系中画出平行四边形ABCD ，其中A 位于原点，B 位于x 正半轴；（步骤1） 设(1,2)y k k ==与AD 边的交点为k A ，与BC 边的交点为k B ， 四边形内部ABCD （不包括边界）的整点都在线段k k A B 上，（步骤2）||||4k k A B AB ==∴线段k k A B 上的整点有3个或4个，∴32()428N t ⨯⨯=剟，不难求得点1(,1)3t A ，22(,2)3tA (步骤3)①当t 为3n 型整数时，都是整点，()6N t =，（步骤4）②当t 为31n +型整数时，1A ，2A 都不是整点，()8N t =，（步骤5）③当t 为32n +型整数时，1A ，2A 都不是整点，()8N t =（以上表述中n 为整数）（步骤6） 上面3种情形涵盖了t 的所有整数取值，所以()N t 的值域为{6，7，8 }.（步骤7）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题共13分）已知函数π()4cos sin() 1.6f x x x =+- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数最值问题.【考查方式】同名三角函数化简，进而求解周期、最值.【试题解析】（Ⅰ） π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+= π2sin(2)6x =+.(步骤1)∴)(x f 的最小正周期为π.（步骤2）（Ⅱ） ππππ2π,2.64663x x -∴-+剟剟（步骤3） 当ππ2,62x +=即π6x =时，)(x f 取得最大值2；（步骤4）当ππ266x +=-，即π6x =-，()f x 取得最小值1-．（步骤5）16.(本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X 表示.（Ⅰ）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-+⋯+-其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数） 【测量目标】茎叶图.【考查方式】由样本容量求解平均数、方差和概率.【试题解析】（Ⅰ）当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为8891035;44x +++==（步骤1）方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s （步骤2） （Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，B 3），（A 3，B 4），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为.41164)(==C P （步骤3）17.（本小题共14分）如图，在四面体PABC 中，,,PC AB PA BC ⊥⊥点,,,D E F G 分别是棱,,,AP AC BC PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 【测量目标】空间立体中线面平行的判定，立体几何中的探索性问题. 【考查方式】线面平行定理的应用，反证法求解.【试题解析】证明：（Ⅰ） D E 、分别为AP AC 、的中点，∴DE //PC ，DE ⊄平面BCP ，（步骤1） ∴DE //平面BCP .（步骤2）（Ⅱ） D E F G 、、、分别为AP AC BC PB 、、、的中点，∴DE //PC //FG ，DG //AB //EF ，（步骤3） ∴四边形DEFG 为平行四边形，（步骤4） 又 PC AB ⊥，所以DE DG ⊥， 所以四边形DEFG 为矩形.（步骤5）（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下：连接,DF EG设Q 为EG 的中点，由（Ⅱ）知，,DF EG Q = 且12QD QE QF QG EG ====（步骤6） 分别取PC 、AB 的中点M N 、，连接ME EN NG MG MN 、、、、.与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点,Q 且12QM QN EG ==，所以Q 为满足条件的点.（步骤7）18.（本小题共13分）已知函数()()e x f x x k =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.【测量目标】利用导数求函数的单调区间和最值.【考查方式】函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【试题解析】（Ⅰ）()(1)e .x f x x k '=-+令()0='x f ，得1-=k x ．（步骤1）)(x f 与)(x f '的情况如下：（步骤2）∴)(x f 的单调递减区间是（1,-∞-k ）；单调递增区间是),1(+∞-k .（步骤3） （Ⅱ）当10k -…，即1k …时，函数)(x f 在[0，1]上单调递增，∴()f x 在区间[0，1]上的最小值为(0);f k =-（步骤4）当21,110<<<-<k k 即时，由（Ⅰ）知()f x 在[0,1]k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增， ∴()f x 在区间[0，1]上的最小值为1(1)e k f k --=-；（步骤5） 当1,2即k t k -=…时，函数()f x 在[0，1]上单调递减，∴ ()f x 在区间[0，1]上的最小值为(1)(1)e.f k =-（步骤6）19.（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为3，右焦点为().斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -.（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积.【测量目标】椭圆的标准方程及简单的几何性质.【考查方式】利用离心率、焦点坐标计算出椭圆方程进而设出直线，与椭圆方程联立，求解. 【试题解析】（Ⅰ）由已知得c c a ==（步骤1）解得a =又222 4.b a c =-=（步骤2）∴椭圆G 的方程为221.124x y +=（步骤3） （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得.01236422=-++m mx x （步骤4）设A B 、的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ，则,432210mx x x -=+=400m m x y =+=.（步骤5）AB 是等腰PAB △的底边，所以PE AB ⊥，∴PE 的斜率.143342-=+--=m mk 解得2m =.此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x ∴.2,121=-=y y （步骤6）∴AB =此时，点()3,2P -到直线AB ：02=+-y x 的距离,2232|223|=+--=d 所以PAB △的面积19||.22S AB d =⋅=（步骤7）20.（本小题共13分）若数列12,:,(2)n A a a a n ⋯…满足1k k a a +|-|=1 (1,2,,1)k n =⋯-，则称n A 为E 数列.记12()n n S A a a a =++⋯+.（Ⅰ）写出一个E 数列5A 满足130a a ==；（Ⅱ）若112,2000a n ==，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =； （Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()0n S A =成立的n 的最小值.【测量目标】数列通项公式的整理变形；充分必要条件的概念.【考查方式】使用列举法、观察法求得答案（Ⅰ）；充分和必要分开进行论证解决答案（Ⅱ）；由首相为4可求得后面的每一项，使用列举法列出，再根据题设要求，求解.【试题解析】（Ⅰ）0,1,0,10，是一组满足条件的E 数列5A .(答案不唯一0,1,0,1,0-；0,10,1,20101201012±±--±--，；，，，，；，，，，；0±，1,0，-1,0都是满足条件的E 数列5A ).(步骤1)（Ⅱ）必要性：因为E 数列5A 是递增数列，所以()111,21999.k k a a k +-==⋅⋅⋅所以此数列为首项为12，公差为1的等差数列. 所以()2000122000112011a =+-⨯=.（步骤2）充分性：因为200010001,a a -…所以200011999,a a -…即200011999a a +….（步骤3） 又因为1200012,2011a a ==，所以200011999a a =+.故()11>01,21999n n a a k +-==⋅⋅⋅, 即n A 时递增数列.综上，结论得证.（步骤4）（Ⅲ）对首项为4的E 数列n A ，由于213213,12a a a a -=-⋅⋅⋅厖?5713a a --⋅⋅⋅厖 ()12>02,38k a a a k ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅，（步骤5） 所以对任意首项为4的E 数列n A ，若()0n S A =，则必有9n ….（步骤6）又14a =的E 数列1A :43,2,1,01234----，，，，，满足1()0S A =. 所以n 的最小值是9.（步骤7）。
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学理)
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2012.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n + C ．2324n n+D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．1- C ． 2- D ．05.已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD的边长为ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC-ADBNMOC的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+ m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅ 成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析， 其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约 有 辆.10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a 的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. （1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；时速（km/h ）01002 003 004 40 50 60 70 80（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C2sin 0b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =AB AC的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列及数学期望．17. （本题满分13分） 如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB =，SA SD a ==． （Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分）数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n = ）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷答案（理工类） 2012.1一、选择题：二、填空题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是222cos2b c a A bc +-===， ………………………… 11分所以cos cos 21AB AC AB AC A cb A ==== ． …………… 13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5) 共3类情况． 所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分 所以X所以533EX np ==⨯=． 所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，AD =，所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．在Rt CDS ∆中，tan CDCSD SD ∠===所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥． 又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分 如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则)S，,0,0)A ，,0)B，(,0)C ，(,0,0)D ． ………………………………………………………………3分（Ⅰ）易知(0,,0),,0,)CD SA ==因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有0SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00=⎪-=⎩，所以=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分 所以1cos ,2<>==n m ， 所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++， 则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增.…… 6分（2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以x =.因此，当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为. …… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意.……… 11分当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x的单调递增区间为)+∞，函数()f x的单调递减区间为，则()f x的最小值为f ，而(0)1f =，不合题意. 所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分 因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =.所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切，由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ 所以223681(1)347k k +=+，解得4k =±.经检验成立. …………………… 13分 所以直线m的方程为(4)4y x =±-. …………………………………… 14分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==.所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分由此猜想，当2≥k 时,011<+--k k b a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分 下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立.②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l ll a b a a ++==<.综上所述，猜想成立.所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故211,12.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. 当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立.又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列, 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s = ,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………… 10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m +=21.因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m+->-.…… 12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->.所以11m mc m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。
北京市各区2011届高三一模考试试题汇总
北京市各区2011届高三一模考试试题汇总试题精粹05-18 0802：北京市各区2011届高三一模考试试题汇总北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--语文（扫描版）北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学文北京市海淀区2011年高三年级第二学期期中练习数学理北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--英语（扫描版）北京市海淀区2011届高三一模考试（理综）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习--文综（扫描版）北京市海淀区2011届高三第二学期期中练习（全科6套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（文科全套）扫描版北京市海淀区2011高三第二学期期中练习（理科全套）扫描版北京市西城区2011届高三一模试题（语文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学文）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（数学理）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（英语）Word版北京市西城区2011届高三一模试题（文综）Word版北京市西城区2011届高三下学期4月模拟考试（理综）扫描版北京市西城区2011届高三4月一模试题（文科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（理科全套）北京市西城区2011届高三4月一模试题（全科）北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：语文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学文北京市东城区2011学年度综合练习（一）数学理北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：英语北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：文综北京市东城区2011年高三第二学期综合练习（一）：理综北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（文科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（理科全套）北京市东城区2011届高三下学期综合练习（一）（全科）北京市丰台区2011高三下学期统一练习（一）语文（无答案）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：数学文北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（数学理）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（英语）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：理综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）：文综北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文科全套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（理科4套）北京市丰台区2011年高三下学期统一练习（一）（文理科6套）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（语文）北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（数学文）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：数学理北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（英语）北京市石景山区2011届高三统一测试试题（word版）：文综北京市石景山区2011届高三统一测试扫描版（理综）北京市石景山区2011届高三3月统一测试（文科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（理科4套）word版北京市石景山区2011届高三3月统一测试（全科6套）word版北京市朝阳区2011届高三第一次综合练习（语文）北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学文北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：数学理北京市朝阳区高三4月第一次综合练习试卷（英语）扫描版北京市朝阳区高三第一次综合练习试卷（word版）：文综北京市朝阳区届高三第一次综合练习试卷（word版）：理综北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（文科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（理科全套）北京市朝阳区2011高三4月第一次综合练习（全科）。
北京市朝阳区届高三教学数学一模习题文科含分析
2016年北京市旭日区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1．已知全集U=R，会合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则（?UB）∩A=（）A．{x x2B．{x1x3}C．{x2＜x3}D．{x2x3 |≤}|≤≤|≤|≤≤}2．设i是虚数单位，则复数等于（）A1iB1iC1iD1i．+．﹣．﹣+．﹣﹣3．已知非零平面向量，，“|+|=|﹣|”是“⊥”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件4．履行如下图的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19C．8D．35．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．6．已知某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．某工厂一年中各月份的收入、支出状况的统计如下图，以下说法中错误的选项是（）（注：余=收入支出）A ．收入最高与收入最低的比是 3：1B ．余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的化率与4 至5月份的收入的化率同样D ．前6个月的均匀收入40万元8．若x 2+（y1）2=r 2与曲（x1）y=1没有公共点，半径r 的取范是（）A ．0＜r ＜B ．0＜r ＜C ．0＜r ＜D ．0＜r ＜二、填空：本大共6小，每小 5分，共30分.把答案填在答卡上.9．已知函数f （f （1））=．10．已知双曲抛物y 2=8x 的焦点，此双曲的近方程．{a n }（n ∈N *）的首a 1=1，且a 1，a 2，a 4成等比数列，数列{a n }11．已知增的等差数列的通公式a n =；a 4+a 8+a 12+⋯+a 4n+4=．12．已知不等式表示的平面地区 D ．若直y=a （x+1）与地区D 有公共点，数a 的取范是．22的直l 交C 于A ，B 两点，交y 于13．已知C ：（x3） +（y5）=5，心C点P ．若A 恰PB 的中点，直 l 的方程 ． 14．甲乙两人做游，游的是：两人流从 1（1必）开始数，每人一次最少要一个数，最多能够 7个数（如，一个人先数“1，2”，下一个人能够有“3”，“3，4”，⋯，“3，4，5，6，7，8，9”等七种数方法），先到“100”．假如从甲开始，甲要想必，第一次的数是 ．三、解答：本大共 6小，共80分.解答写出文字明，演算步或明程.15．已知函数（ω＞0）的最小正周期π．（Ⅰ）求ω的；（Ⅱ）求f （x ）在区上的最大和最小．16．已知数列{a n }的前n 和 ，n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }的通公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 和T n ．17．某班倡假期每位学生起码一本名著，认识学生的状况， 班全部学生行了．果如表：名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数3 1 21 3女生人数1 3 3 1 2（Ⅰ）依据上述数据，求个班女生名著的均匀本数；（Ⅱ）若从 5本名著的学生中任 2人沟通心得，求到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）判断班男生名著本数的方差 与女生名著本数的方差的大小（只要写出）．（注：方差 ，此中x 1x 2，⋯x n 的均匀数）18．如，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M ，N 分BC 和CC 1的中点，P 棱BB 1上的点．（Ⅰ）求：平面（Ⅱ）若P 段（Ⅲ）判断直明原因．BBAPM ⊥平面BB 1C 1C ；1的中点，求：A 1N ∥平面APM ；BC 1与平面APM 能否能垂直．若能垂直，求 P B 的；若不可以垂直，19．已知 C ： 的焦点分 F 1，F 2．（Ⅰ）求以段 F 1，F 2直径的的方程；（Ⅱ）点 P （4，0）任作一条直 l 与C 交于不一样的两点 M ，N ．在x 上能否存在 点Q ，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点 Q 的坐；若不存在，明原因．20．已知函数（k ∈R ）．（Ⅰ）若 k=1，求曲 y=f （x ）在点（0，f （0））的切方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单一区间；（Ⅲ）设k≤0，若函数f（x）在区间上存在极值点，求k的取值范围．2016年北京市旭日区高考数学一模试卷（文科） 参照答案与试题分析 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1U=R，会合 A= x x3 B=x x2U B∩A=（ ）．已知全集{ |≤}，{|＜}，则（?）A ．{ x x 2B ．{ x1x3 } C x 2 x3 }D ．{ x 2 x 3| ≤ } |≤ ≤ ．{| ＜ ≤ | ≤≤ }【考点】交、并、补集的混淆运算．【剖析】直接利用会合的基本运算求解即可．【解答】解：全集U=R ，会合A={x|x ≤3}，B={x|x ＜2}，则（?U B ）∩A={x|x ≤3}∩{x|x2}={x|2≤x ≤3}，应选：D ．2．设i 是虚数单位，则复数 等于（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数的除法运算进行化简计算．【解答】解： ===1+i ．应选：A ．3，，“|+| =| ﹣|”是“⊥”的（）．已知非零平面向量A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】非零平面向量，，利用数目积运算性质可得：“| +|=|﹣|”?=? =0 ?“⊥ ”，即可判断出结论． 【解答】解：非零平面向量，，“| + |=|﹣|”?==0?“⊥”，∴非零平面向量 ， ，“| +|=| ﹣ |”是“⊥ ”的充要条件．应选：C ．4．履行如下图的程序框图，输出的 S 值为（ ）A．42B．19C．8D．3【考点】程序框图．【剖析】剖析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的次序，挨次写出每次循环获得的S，i的值，当i=4时不知足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．【解答】解：模拟履行程序，可得i=1，S=1知足条件i＜4，S=3，i=2知足条件i＜4，S=8，i=3知足条件i＜4，S=19，i=4不知足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．应选：B．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【剖析】依据条件和正弦定理得出tanB，得出B．【解答】解：在△ABC中，∵，∴，又∵，∴sinB=﹣cosB，tanB=﹣．B=．应选：C．6．已知某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．【考点】由三视图求面积、体积．D．【剖析】依据三视图获得该四棱锥的直观图，联合四棱锥的侧面积公式进行求解即可．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：此中矩形ABCD的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1，则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=2×1+×+2×2+=3，+应选：B．7．某工厂一年中各月份的收入、支出状况的统计如下图，以下说法中错误的选项是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率同样D．前6个月的均匀收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【剖析】依据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率同样，故C正确，由图可知，前6个月的均匀收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，应选：D．2y122与曲线（x1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）8．若圆x+（﹣）=r﹣A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜【考点】圆与圆锥曲线的综合．【剖析】求得圆的圆心和半径，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），代入曲线的方程，求出函数的导数和切线的斜率，由两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得切点，从而获得此时圆的半径，联合图象即可获得所求范围．【解答】解：圆的圆心为（0，1），半径为r，设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得?（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②43由①②可得n﹣n﹣n﹣1=0，即有n 2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或． 可得此时圆的半径r= = ．联合图象即可获得圆与曲线没有公共点的时候，r 的范围是（0， ）．应选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卡上 .9．已知函数则f （f （﹣1））=2．【考点】分段函数的应用．【剖析】依据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f （﹣1）=（﹣1 2）=1，则f （1）=log 2（1+3）=log 24=2，f （f （﹣1））=f （1）=2，故答案为：210．已知双曲线 过抛物线y 2=8x 的焦点，则此双曲线的渐近线方程为．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【剖析】求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线的方程，求出m ，而后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线 y 2=8x 的焦点（2，0），代入双曲线方程，可得 ，解得m=4，双曲线方程为：．渐近线方程为： ．故答案为：．11．已知增的等差数列{a n }（n ∈N *）的首a 1=1，且a 1，a 2，a 4成等比数列，数列 {a n }的通公式a n =n ；a 4+a 8+a 12+⋯+a 4n+4=2n 2+6n+4．【考点】数列的乞降．【剖析】通增的等差数列 a dd0 aaa成等比数列可知公 {n }的公差 （＞），利用 1，2，4差d=1，而可知数列{a n }是首、公差均1的等差数列，算即得．【解答】解：增的等差数列{a n }的公差d （d ＞0），由a 1=1可知，a 2=1+d ，a 4=1+3d ， 又∵a 1，a 2，a 4成等比数列， =a 1a 4，即（1+d ）2=1+3d ，整理得：d2=d ，解得：d=1或d=0（舍），∴数列{a n }是首、公差均1的等差数列，∴a n =n ，∴数列{a 4n+4}是首 4、公差 4的等差数列，∴a 4+a 8+a 12+⋯+a 4n+4=4（n+1）+ ?4=2n 2+6n+4，故答案：n ，2n 2+6n+4．12．已知不等式 表示的平面地区 D ．若直y=a （x+1）与地区D 有公共点，数 a 的取范是 ．【考点】性划的用．【剖析】画出足束条件不等式的平面地区，而后剖析平面地区里各个角点，而后将其代入 y=a （x+1）中，求出y=a （x+1）的a 的端点即可．【解答】解：足束条件不等式 的平面地区如示：因y=a （x+1）定点（1，0）．所以当y=a （x+1）点B ，由，解得A （3，3），获得3=a （3+1），解得a=，又因直y=a （x+1）与平面地区 D 有公共点．所以 0≤a ≤ ．故答案：．2 213．已知C ：（x3）+（y5）=5，心C 的直l 交C 于A ，B 两点，交y 于P A 恰 PB 的中点，直l 的方程 2x y 1=0 或 2x y11=0．点．若+【考点】 直与订交的性．【剖析】由意可直 L 的方程 y 5=k （x3），P （0，5 3k ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），立直与的方程，而后由方程的根与系数关系可得，x 1+x 2，x 1x 2，由APB 的中点可得x 2=2x 1，立可求 x 1，x 2，而可求 k ，即可求解直方程．【解答】解：由意可得， C （3，5），直L 的斜率存在可直 L 的方程 y5=k （x3）令x=0可得y=53k ，即P （0，53k ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）立直与的方程，消去y 可得（ 1k 2 ） x 2 6 1k 2 x9k 2 4=0+ （+ ）+ + 由方程的根与系数关系可得，x 1+x 2=6 ，x 1x 2=①∵APB 的中点 x 2=2x 1②把②代入①可得x 2=4，x 1=2，x 1x 2= =8k =±2 ∴直l 的方程 y 5=±2（x 3），即2x y 1=0或2x+y 11=0． 故答案：2x y 1=0或2x+y 11=0． 14．甲乙两人做游，游的是：两人流从1（1必）开始数，每人一次 最少要一个数，最多能够7个数（如，一个人先数“1，2”，下一个人能够有“3”，“3，4”，⋯，“3，4，5，6，7，8，9”等七种数方法），先到“100”．假如从甲开始，甲要想必，第一次的数是 1，2，3，4 ．【考点】行的合情推理．【剖析】由条件每人一次最少要一个数， 最多能够7 个数，可知除掉先开始的个数，使得此后两人之和8 的倍数即可．【解答】解：∵起码拿1个，至多拿7个，∴两人每和完整可控制的只有8个，∴把零头取掉后，剩下的就是8的倍数了，这样不论敌手怎么拿，都能够保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走8个，即先取4个，此后每次假如乙报a，甲报8﹣a即可，保证每一轮两人报的和为8即可，最后只好甲抢到100．故先开始甲应取4个．故答案为：1，2，3，4．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【剖析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=，由周期公式解方程可得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，由和三角函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）====．∵f（x）的最小正周期为，解方程可得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．∵，∴．∴．当，即时，f（x）获得最大值是；当，即时，f（x）获得最小值是．∴f（x）在区间的最大值为，最小值为16．已知数列{a n }的前n和 n N * ．，∈（Ⅰ）求数列{a n }的通公式；（Ⅱ）若，求数列 {b n }的前n 和T n ．【考点】数列的乞降；数列推式．【剖析】（Ⅰ）由数列的乞降公式，通当n ≥2，a n =s ns n ﹣1，n=1 ，数列的通公式能否足所求果，即可求解数列{a n }的通公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出 b n ，当 n 偶数，当n 奇数，分求出数列的和即可． 【解答】（本小分13分）解：（Ⅰ）由，当n ≥2，．当n=1，a 1=S 1=1，而4×13=1，所以数列{a n }的通公式 a n =4n3，n ∈N *．⋯（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，当n 偶数，，当n 奇数，n+1偶数，T n =T n+1b n+1=2（n+1）（4n+1）=2n+1．上，⋯17．某班倡假期每位学生起码一本名著，认识学生的状况， 班全部学生行了．果如表：名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数3 1 2 1 3 女生人数1 3 3 1 2（Ⅰ）依据上述数据，求个班女生名著的均匀本数；（Ⅱ）若从 5本名著的学生中任 2人沟通心得，求到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）判断班男生名著本数的方差与女生名著本数的方差的大小（只要写出）．（注：方差，此中x 1x 2，⋯x n 的均匀数）【考点】列法算基本领件数及事件生的概率．【剖析】（Ⅰ）依据数表中的数据，求出女生名著的均匀本数即可；（Ⅱ）利用列法算基本领件数，即可求出的概率；III ）利用公式分求出男生、女生名著本数的均匀数与方差即可．【解答】解：（Ⅰ）女生名著的均匀本数本；⋯（Ⅱ）事件A={从5本名著的学生中任取2人，此中男生和女生各1人}，男生5本名著的3人分a1，a2，a3，女生5本名著的2人分从5本名著的5名学生中任取2人，共有10个果，分是：b1，b2；{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，{b1，b2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；此中男生和女生各1人共有6个果，分是：{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；；⋯（III）男生名著本数的均匀数是=×（1×321324153=3，+×+×+×+×）方差是=×[3×（2）2+（1）2+2×02+12+3×22]；女生名著本数的均匀数是=3，方差=×[（2231230212222；）+×（）+×++×]所以．⋯18．如，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分BC和CC1的中点，P棱BB1上的点．（Ⅰ）求：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P段BB1的中点，求：A1N∥平面APM；（Ⅲ）判断直BC1与平面APM能否能垂直．若能垂直，求PB的；若不可以垂直，明原因．【考点】平面与平面垂直的判断；直与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ）由已知推出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能明平面APM⊥平面BB1C1C．（Ⅱ）取C1B1中点D，A1D，DN，DM，B1C，四形A1AMD平行四形，从而A1D∥AM，而A1D∥平面APM；一步推出DN∥B1C，MP∥B1C，DN∥MP，从而DN∥平面APM，而平面A1DN∥平面APM，由此能明A1N∥平面APM．（Ⅲ）假BC1与平面APM垂直，BC1⊥PM．PB=x，．推出，从而获得直BC1与平面APM不可以垂直．【解答】（本小分14分）明：（Ⅰ）由已知，MBC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．又因BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．因AM?底面ABC，所以BB1⊥AM，又BB1∩BC=B，所以AM⊥平面BBC C．11又因AM?平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．⋯（Ⅱ）取CB中点D，AD，DN，DM，BC1111．因为D，M分C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．四形A1AMD平行四形，所以A1D∥AM．又A1D?平面APM，AM?平面APM，所以A1D∥平面APM．因为D，N分C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．又P，M分B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．DN∥MP．又DN?平面APM，MP?平面APM，所以DN∥平面APM．因为A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．因为A1N?平面A1DN，所以A1N∥平面APM．⋯10分解：（Ⅲ）假BC1与平面APM垂直，由PM?平面APM，BC1⊥PM．PB=x，．当BC1⊥PM，∠BPM=∠B1C1B，所以∽Rt△∠BCB，所以．11由已知，所以，得．因为，所以直BC1与平面APM不可以垂直．⋯19．已知C：的焦点分F1，F2．（Ⅰ）求以段F1，F2直径的的方程；（Ⅱ）点P （4，0）任作一条直 l 与C 交于不一样的两点 M ，N ．在x 上能否存在 点 Q ，使得∠ PQM +∠ PQN=180° Q 的坐；若不存在，明原因．？若存在，求出点 【考点】直与曲的合；的准方程．2 F 1F 2直径的的方程．【剖析】（I ）c=2．而后求解以段（II ）若存在点Q （m ，0），直QM 和QN 的斜率存在，分 k 1，k 2．等价于k 1+k 2=0．直l 的方程y=k （x4）．与方程立，利用△＞0．求出．M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用达定理，通，求出m=1．明存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．【解答】（本小分13分）解：（I ）因a 2=4，b 2=2，所以c 2=2．所以以段F 1F 2直径的的方程x 2+y 2=2．⋯II ）若存在点Q （m ，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，直QM 和QN 的斜率存在，分k 1，k 2．等价于k 1+k 2=0．依意，直l 的斜率存在，故直 l 的方程y=k （x4）．由，得（2k 2+1）x 2 16k 2x +32k 24=0．因直 l 与C 有两个交点，所以△＞ 0． 即（16k 2）2 4（2k 2+1）（32k 2 4）＞0，解得．M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），，，y 1=k （x 1 4），y 2=k（x 2 4）．令，（x 1 m ）y 2+（x 2 m ）y 1=0，（x 1m ）k （x 2 4）+（x 2m ）k （x 14）=0，当k ≠0，2x 1x 2（m+4）（x 1+x 2）+8m=0，所以，化得，，所以m=1．当k=0，也建立．所以存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．⋯20．已知函数（k∈R）．（Ⅰ）若k=1，求曲y=f（x）在点（0，f（0））的切方程；（Ⅱ）求函数f（x）的区；（Ⅲ）k≤0，若函数f（x）在区上存在极点，求k的取范．【考点】利用数研究函数的性；利用数研究函数的极．【剖析】（Ⅰ）k=1，求出函数f（x）的定域，函数的数，求出曲y=f（x）在点（0，f（0））切的斜率，而后求解切的方程．（Ⅱ）求出函数f（x）的定域{x|x≠k}，函数，（1）当k＞0，求出．令f'（x）＜0，令f'（x）＞0，求出函数的区即可．（2）当k=0，当k=2，当2＜k＜0，分求出函数的区．（3）当k＜2，此．令f'（x）＜0，令f'（x）＞0，求解函数的区即可．（Ⅲ）（1）当2≤k≤0，明函数不存在极点；（2）当k＜2，利用函数f（x）在区上存在极点，推出，获得4＜k＜3．即可明果．【解答】解：（Ⅰ）若k=1，函数f（x）的定域{x|x≠1}，．曲y=f（x）在点（0，f（0））切的斜率f'（0）=3．而f（0）=1，曲y=f（x）在点（0，f（0））切的方程y=3x+1．⋯（Ⅱ）函数f（x）的定域{x|x≠k}，．（1）当k＞0，由x≠k，且此，可得．令f'（x）＜0，解得或，函数f（x）减函数；令f'（x）＞0，解得，但x≠k，所以当，，函数f（x）也增函数．所以函数f（x）的减区，，增区，．（2）当k=0，函数f（x）的减区（∞，0），（0，+∞）．当k=2，函数f x）的减区（∞22∞（，），（，+）．当2＜k＜0，由2k+k 2＜0，所以函数f（x）的减区（∞，k），（k，+∞）．即当2≤k≤0，函数f（x）的减区（∞，k），（k，+∞）．（3）当k＜2，此．令f'（x）＜0，解得或，但x≠k，所以当x＜k，，，函数f（x）减函数；令f'（x）＞0，解得，函数f（x）增函数．所以函数f（x）的减区（∞，k），，，函数f（x）的增区．⋯（Ⅲ）（1）当2≤k≤0，由（Ⅱ）可知，函数f（x）在（，2）上减函数，所以不存在极点；（2）当k＜2，由（Ⅱ）可知，f（x）在上增函数，在上减函数．若函数f（x）在区上存在极点，，解得4＜k＜3或1＜k＜2，所以4＜k＜3．上所述，当4＜k＜3，函数f（x）在区上存在极点．⋯2016年8月1日。
2011朝阳区数学一模试题(电子版答案)
北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷评分标准及参考答案2011.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．2-≠x 10．))((3y x y x a -+ 11．50°12．a 3231, a n n 212-, ah n n 12212+- （注：前两空每空1分，第三空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=3213332++⨯- ………………………………………………… 4分 =33+. ………………………………………………………………… 5分 14．解：原式= 4334422-++-++a a a a ………………………………………… 3分 = 322++a a . …………………………………………………………… 4分 ∵0122=-+a a ，∴122=+a a ．∴原式=1+3=4 ． ………………………………………………………………… 5分15．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠1 =∠F ． …………………………… 1分 ∵点E 是AB 的中点，∴BE=AE. ……………………………… 2分 在△BCE 和△AFE 中，1=∠F ，∠3=∠2， BE=AE ，∴△BCE ≌△AFE. ……………………………………………………… 3分 （2）相等， ……………………………………………………………………………… 4分 平行. ……………………………………………………………………………… 5分 16. 解：（1）把A （2，3）代入xmy =，∴m=6.∴xy 6=. ……………………………………………………………… 1分 把A （2，3）代入y=kx+2， ∴322=+k . ∴21=k . ∴.221+=x y ………………………………………………………… 2分 （2）令0221=+x ,解得x=-4，即B （-4，0）. ∵AC ⊥x 轴，∴C （2，0）.∴ BC=6. ………………………………………………………………… 3分设P(x,y)， ∵S △PBC=y BC ⋅⋅21=18， ∴y 1=6或y 2=-6. 分别代入xy 6=中， 得x 1=1或x 2=-1.∴P 1（1，6）或P 2（-1，-6）. …………………………………………… 5分17．解：设原来报名参加的学生有x 人， ……………………………………………… 1分 依题意，得42480320=-xx . ……………………………………………… 2分 解这个方程，得 x=20． ……………………………………………… 3分 经检验，x=20是原方程的解且符合题意. …………………………………… 4分答：原来报名参加的学生有20人．…………………………………………… 5分18. 解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分 在矩形ABCD 中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分 设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+. .…………………………………………… 4分 解得23=x . ……………………………………………………………………… 5分 即FC=23. 四、解答题（本题共20分，第19、20题每小题5分，第21题6分，第22题4分） 19. 解：（1）∵方程 (m-1) x 2 - 2x + 1=0有两个不相等的实数根，∴()()01422>---=∆m . ……………………………………………… 1分解得m<2. …………………………………………………………………… 2分 ∴m 的取值范围是m ＜2且m≠1. …………………………………………… 3分 （2）由（1）且m 为非负整数,∴m=0. ………………………………………………………………………… 4分∴抛物线为y= -x 2 - 2x + 1= -(x+1)2+2.∴顶点(-1,2). ………………………………………………………………… 5分20．解：（1）50, ………………………… 1分 如图； ……………………… 2分（2）52%；…………………………3分 （3）100124912309506108.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.5 （万元）. ……………… 5分故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元.21.（1）证明：∵OC ⊥AB ，CD ∥BA ，∴∠DCF=∠AHF=90°.∴CD 为⊙O 的切线. ……………… 2分（2）解：∵OC ⊥AB ，AB ＝8，∴AH=BH=2AB =4.在Rt △BCH 中，∵BH=4，BC=5，∴CH=3. ……………………………… 3分 ∵AE ∥BC ，∴∠B=∠HAF. ∴△HAF ≌△HBC.∴FH=CH=3，CF=6. ………………………………………………………… 4分 连接BO ，设BO=x ，则OC=x ，OH=x-3. 在Rt △BHO 中，由()22234x x =-+，解得625=x . …………………… 5分 ∴611=-=OC CF OF . .…………………………………………………… 6分 22. 解：（1） （2）（注：每图2分）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23.解：（1）∵AD ∥BC ，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD. ∴tan ∠ACB =tan ∠CAD=34. ∴34=BC AB . ∵AB=8， ∴BC=6.则AC=10. ……………………………………………………1分 过点C 作CH ⊥AD 于点H ，∴CH=AB=8,则AH=6. ∵CA=CD,∴AD=2AH=12. .………………………………………………………………………2分 （2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB ，∠ACB=∠CAD ， ∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D ， ∴∠1=∠2.∴△AEF ∽△DCE. ……………………………………………………………………3分 ∴AE CD AF DE =，即x-1210y -10x =. ∴1056101y 2+-=x x . .……………………………………………………………4分 （3）若△EFC 为等腰三角形.①当EC=EF 时，此时△AEF ≌△DCE ，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2. .…………………………………………………………………5分 ②当FC=FE 时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE ， ∴CE=AE=12-x.在Rt △CHE 中，由()()2228612+-=-x x ，解得311=x . …………………… 6分 ③当CE=CF 时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE ，此时点F 与点A 重合，故点E 与点D 也重合，不合题意，舍去. …………………7分 综上，当△EFC 为等腰三角形时，x=2或311=x . 24. (1)证明：∵()()()131422+⨯-⨯--=∆m m …………………………………………1分()042≥+=m …………………………………………………………… 2分∴无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点.(2)m ＜-1且m≠-4. ……………………………………………………………………… 3分(3)解：令()013)2(2=++-+-=m x m x y ，解得x 1=m+1，x 2=-3. …………………………………………………………………………4分可求得顶点()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-44,222m m P . ①当A(m+1,0)、B(-3,0)时， ∵ABC PAO S S ∆∆=，∴()()()()13421441212+⨯--=+⨯+m m m m .……………………………………………5分 解得16-=m .∴45182---=x x y .…………………………………………………………………………6分 ②当A(-3,0)、B(m+1,0)时，同理得()()()[]13421443212+-⨯+=+⨯⨯m m m .…………………………………………7分 解得58-=m . ∴595182---=x x y .…………………………………………………………………………8分 25. (1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分 (2)结论成立.证明:连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ， 可证得△MDE ≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC. 作AN ⊥EC 于点N.由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF ∥ED ，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF ≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD ，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分∵点M是DF的中点，则△BMD是等腰直角三角形.∴BD=2BM. ……………………………………………………………………………… 7分（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）。
2011年高考北京数学试题(文科)
芜湖市人民政府印发关于进一步促进房地产投资开发保持房地产市场持续健康发展的若干意见的通知芜政〔2010〕12号各县、区人民政府，经济技术开发区、长江大桥开发区管委会，市政府各部门、各直属单位，驻芜各单位：《关于进一步促进房地产投资开发保持房地产市场持续健康发展的若干意见》已经市政府第29次常务会议审议通过，现印发给你们，请遵照执行。
【365独家：2010房产新政发布洪建平副市长亲自解读】二O一O年二月八日关于进一步促进房地产投资开发保持房地产市场持续健康发展的若干意见为进一步促进房地产投资开发与住房消费，改善市场供求关系，稳定市场需求，保持房地产市场持续健康发展，现提出如下意见：一、完善新增经营性用地供应制度（一）合理调节土地供应规模。
根据房地产市场供求、价格状况，按照控制增量、激活存量、集约节约的要求，科学确定土地供应年度计划和出让规模，保持土地供应相对均衡和稳定。
【相关阅读：365独家:洪副市长说新政之三完善土地供应加大保障】（二）优化土地供应结构。
密切结合房地产市场变化，适时推出适合当前市场需求的项目用地；增加普通商品住宅用地，同时配建一定比例的廉租住房；推出一批商业、市场、旅游、休闲服务业、办公、酒店等非住宅项目用地。
按照城市总体规划要求，合理确定房地产开发地块规划功能和用地强度。
（三）推行土地“净地”出让。
经营性用地实行“净地”出让，特殊情况经市政府批准，方可实行“毛地”出让。
对收储地块要提前进行拆迁安置，提高“净地”出让率。
将城东新区、旧城改造区（含棚户区）作为重点区域，优先编制经营性用地出让方案。
二、继续实施鼓励住房消费政策（四）低收入家庭购房优惠政策。
在2010 年1月1日至 2010年 12 月 31 日期间内，购房家庭的成员中至少有一人具有本市市区居民户口且满一年的，户内人口为 1 人且购买 30 m2以下、户内人口为 2 人且购买 45 m2以下、户内人口为3人且购买60 m2以下、户内人口为4人及以上且购买75 m2以下首套自住商品住房（含二手房，不含拆迁安置房）、签订购房合同并办理产权登记，市财政一次性给予所购房屋面积 100 元/ m2和所纳契税额 100%的补助。
北京市朝阳区综合练习高三数学文科试卷一(朝阳区一模试卷)人教版 试题
2006年北京市朝阳区综合练习高三数学文科试卷一(朝阳区一模试卷)第I 卷（选择题共40分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n )P 1(P C )k (P --= 球的表面积公式2R 4S π= 其中R 是表示球的半径 球的体积公式3R 34V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ） A. R B A R C =B. R B A R C =C. R B A R R C C =D. R B A =（2）已知m 是平面α外的一条直线，直线α⊂n ，那么m//n 是α//m 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）函数y x =+21（-≤<10x ）的反函数是A. y x x =+<≤1022log ()B. y x x =-+≤<1122log ()C. y x x =-<≤1022log ()D. y x x =--≤<1122log ()（4）已知向量a ＝（2，3），b ＝（1，2），且)()(b a b a -⊥+λ，则λ等于（ ） A.35B. 35-C. －3D. 3（5）已知函数x x f ωsin )(=在]40[π，上单调递增且在这个区间上的最大值为23，则实数ω的一个值可以是（ ）A.32B.38 C.34 D.310 （6）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）A. 48210A C 种B. 5919A C 种C. 5818A C 种D. 5918A C 种（7）过双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线FM ，垂足为M ，并且交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 3D. 2（8）如下图，正方形ABCD 的顶点A （0，22），B （22，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线)20(≤≤=t t x l ：将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数)(t f S =的图象大致是（ ）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2011北京市朝阳区第一次模拟考试(文综)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习文科综合能力测试题 2011.4（考试时间150分钟满分300分）考生须知1．本试卷共14页，分为两卷。
第Ⅰ卷选择题，共35个小题（140分）；第Ⅱ卷非选择题，共5个小题（160分）。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷必须用2B铅笔作答；第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，将考试试卷及答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
第Ⅰ卷（选择题，共140分）一、本卷共35小题，每小题4分，共计140分。
在每小题列的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
过去的一年，地球似乎得了重症感冒，喷嚏不止，火山接二连三地喷发。
图1为2010年3月～2011年3月世界主要火山喷发地位置示意图，回答1、2题。
1. 图中火山喷发地多位于A．太平洋东岸 B．亚洲东部和东南部C．欧洲西部 D．地中海沿岸2. 图中A．甲地火山喷发致使欧洲多国机场被迫关闭B．乙地火山喷发对其西北部地区的危害大于东北部地区C．丙地位于亚欧板块和印度洋板块交界处D．丁地东侧海沟的形成与板块张裂有关3．图2为我国某城市不同时段进出某功能区地铁平均客流量统计图。
该功能区最有可能为A．工业区B．中央商务区C．休闲娱乐区D．住宅区读图3，回答4～6题。
4．图中A、B、C分别代表A．资源市场环境 B．环境市场资源C．环境资源市场 D．资源环境市场5．此工业地域A．以廉价劳动力导向型工业为主 B．产品更新换代快C．可能发展成为工业城市 D．工业发展趋向分散6．在此循环经济体系中A．各产业之间以主产品为原料发生联系 B．所需能源完全由余热发电提供C．污染物实现了零排放 D．生产环节的废弃物被回收再利用2010年联合国气候大会于当地时间11月29日10时，在墨西哥海滨城市坎昆举行。
读图4，回答7～9题。
7．坎昆气候大会开幕时，北京时间为A．11月28日20时B．11月29日8时C．11月29日23时D．11月30日0时8．坎昆与巴亚尔塔都位于沿海平原地区，但坎昆降水量更多，其原因是A．沿岸有暖流经过、受东北信风影响B．地处迎风坡、受东南信风影响C．位于大陆东岸、受海陆热力性质差异影响D．多台风活动、终年盛行上升气流9．本次会议把发达国家在碳排放中应承担的责任和义务作为重点议题，这体现了可持续发展的①持续性原则②发展性原则③公平性原则④共同性原则⑤整体性原则A．①② B．②③ C．③④D．④⑤丹霞地貌是指由陆相红色砂砾岩构成的具有陡峭坡面的各种地貌形态，因在广东丹霞山发育典型而得名；雅丹地貌多指一些干涸的湖底，由于干缩形成的裂隙在定向风或加上暴流的作用下，把平坦的地面切割成许多不规则的槽和脊等各种地貌形态。
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18. （满分 13 分） 解: （Ⅰ）直线 y x 2 的斜率为 1.函数 y f ( x ) 的导数为 f ( x ) 则 f (1)
2 a ， x2 x
x=
.
开始 ．
13．执行右图所示的程序框图，若输入 x 5.2 ， 则输出 y 的值为 输入 x
y | x 2 |
x y
否
y ≤ 1?
是 输出 y 结束
14．对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , , in ) ( n 是不小于 2 的正整数) ，对于任意
p, q {1, 2,3,L , n} ，当 p q 时有 i p i q ，则称 i p ， iq 是该数组的一个“逆序”，一
4
{2cm d m } 的前 n 项和 S n ；
（Ⅲ）设 N 是不超过 2 0 的正整数，当 n N 时，对于（Ⅱ）中的 S n ，求使得不等式
1 ( S n 6) d n 成立的所有 N 的 值． 50
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a // b ， b // ，则 a //
a， b ， a // ， b // ，则 //
（C） a ， b ，则 a ∥ b 6. 已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形， 俯视图为等腰直 角三角形，则此三棱锥的体积等于
a1n , a2 n , a3 n ,L , ann 也成等差数列．
（Ⅰ）求 d m （ 3 ≤ m ≤ n ）关于 m 的表达式； （Ⅱ）将数列 {d m } 分组如下： ( d1 ) ， ( d 2 , d3 , d 4 ) ， ( d5 ， d6 ， d7 ， d8 ， d9 ）…， （每组数的个数组成等差数列），设前 m 组中所有数之和为 (cm ) (cm 0) ，求数列
x 2 x 3
（B） x x 1
（C） x x 3
（D） x 1 x 2
2. 某校高三一班有 学生 54 人，二班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从这两个班随 机选出 16 人参加军训表演，则一班和二班分别选出的人数是 （A）8 人，8 人 （B）15 人，1 人 （C）9 人，7 人 （D）12 人，4 人 3．函数 y cos2 x 1 在下列哪个区间上为增函数 （A） [0,
20．（本小题满分 14 分） 有 n ( n ≥ 3, n N ) 个首项为 1，项数为 n 的等差数列，设其第 m ( m ≤ n, m N ) 个 等差数列的第 k 项为 amk (k 1, 2,3,L , n) ，且公差为 d m . 若 d1 1 ， d 2 3 ，
P E A F D C
1 AD . 2 由已知 ABC BAD 90 ， 1 所以 BC P AD . 又 BC AD ， 2
B
所以 BC P EF . 且 BC EF . 所以四边形 BEFC 为平行四边形，所以 BE P CF . 因为 BE 平面 PCD ， CF 平面 PCD ， 所以 BE P 平面 PCD . ………………………………………………………13 分
. 4
3
16．（本小题满分 13 分） 已知集合 A ={-2，0，2}， B ={-1，1}. （Ⅰ）若 M={ ( x, y ) | x A , y B }，用列举法表示集合 M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的集合 M 内，随机取出一个元素 ( x, y ) ，求以 ( x, y ) 为坐标的点位于区域
sin 2 A 2sin A cos A
3
则 cos(2 A ) = cos 2 A cos 16. （满分 13 分）
解：（Ⅰ）M ={(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)}. （Ⅱ）记“以(x，y)为坐标的点位于区域 D 内”为事件 A.
1 AD . 2
E A D
B
C
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18．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x )
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个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆
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2 a ln x ， a R . x
（Ⅰ）若曲线 y f ( x ) 在点 P (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y x 2 ，求 a 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值.
19．（本小题满分 14 分） 已知 A(2, 0) ， B(2, 0) 为椭圆 C 的左右顶点， F (1, 0) 为其右焦点． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程及离心率； （Ⅱ）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 P （不同于 A ， B ），与椭圆在点 B 处的 切线交于点 D ．当直线 l 绕点 A 转动时，试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置 关系，并加以证明．
π ] 2
（B） [ , π]
π 2
（C） 0, π
（D） π, 2π
4. 已知 {an } 是由正数组成的等比数列，S n 表示 {an } 的前 n 项的和， 若 a1 3 ，a2 a4 144 ， 则 S5 的值是 （A）
69 2
（B） 69
（C）93
（D）189
5．已知 a，b 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 （A） （B）
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学测试题答案（文史类）
2011.4 一、选择题 题号 答案 （1） (2) （3） （4） （5） （6） （7） （8）
2
.
2
10．过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x y 4 x 0 所截得的弦长为 11. 已知两点 A(3, 2) ， B(3, 6) ，点 C 满足 AC CB ，则点 C 的坐标是
. ，
uuu r
uuu r
uuu r uuu r AB AC =
2
.
12 ．抛物线 y 4 x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 | MF | 4 ，则点 M 的横坐标
3
（A）
2 3 2 2 3
（B）
3 3
正视图
1
侧视图
（C）
（D）
2 3 3
俯视图
7．已知函数 y f ( x ) 是奇函数， 当 x 0 时， f ( x ) = lg x ，则 f ( f ( （A）
1 )) 的值等于 100
1 lg 2
（B）
1 lg 2
1 {a } 的大小关系是 2
（A） 不确定 （与 a 的值有关） （B）{a} < {a }（C）{a} = {a } （D）{a} > {a } 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9．已知 i 为虚数单位，则
1 2
1 2
1 2
3i = 1 i
x y 2 ≥ 0, D： x y 2 ≤ 0, 内的概率. y ≥ 1
17．（本小题满分 13 分） 如图， 在四棱锥 P ABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， 且 AD // BC ，ABC 90 ， 侧面 PAD 底面 ABCD ， PAD 90 . 若 AB BC （Ⅰ）求证： CD 平面 PAC ； （Ⅱ）设侧棱 PA 的中点是 E ，求证： BE P 平面 PCD . P
……………6 分
集合 M 中共有 6 个元素，即基本事件总数为 6，区域 D 含有集合 M 中的元素 4 个， 所以 P ( A)
4 2 2 .故以(x，y)为坐标的点位于区域 D 内的概率为 . ………13 分 6 3 3
P
17. （满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 PAD 90 ，所以 PA AD . 又因为侧面 PAD 底面 ABCD ， 且侧面 PAD I 底面 ABCD AD ， 所以 PA 底面 ABCD . B C
E A D
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而 CD 底面 ABCD ，所以 PA CD .
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（C） lg 2
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（D） lg 2
8．已知 x R ，用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数，记 {x} x [ x ] ，若 a (0, 1) ，则 {a} 与
1 AD ， 2
在底面 ABCD 中，因为 ABC BAD 90 ， AB BC
所以 AC CD
2 AD ， 所以 AC CD . 2
所以 CD 平面 PAC . ……………………………6 分
又因为 PA I AC A ，
（Ⅱ）设侧棱 PD 的中点为 F ， 连结 BE ， EF ， FC ， 则 EF P AD ，且 EF