电磁场与电磁波第五章场论与路论的关系

J dl
l
A dl l t
dl
l
US UR UL UC 0
N
U j 0
j 1
电流定律就是电荷守恒定律的体现，而电压 定律是能量守恒定律的体现；
基尔霍夫定律是麦克斯韦方程组在直流或低 频下的特例；
上述对基尔霍夫电压定律的推导睡针对简单 串联电路进行的，回路中有互耦的情况不再 累述。

IR
J
I
+U -
E
l
S
l E dl

l J
dl

I l
dl S


Il S
由此可见，从场论出 发，可以导出路论中的 欧姆定律表达式。
U IR 欧姆定律的积分形式
在电路理论中，只要电阻不随电压、电流变 化，欧姆定律就一定成立；类似地，只要媒 质的电导率不随电场强度变化，则导电媒质 也一定服从欧姆定律；
径向尺寸 r r2 r1，内部填充介质的介电常数为，
求电容。
解：忽略边缘效应，由边界条件判
z
断，则极板间电场 E 与 r 有关，与
无关，E E(r)aˆ
设两极板间电压为 U

U l E dl 0 E(r)rd E(r)r
则： E(r) U
r
O
h
x

r1
1. 基尔霍夫电流定律
根据电流连续性定律
S
Jc
dS


t
dV
V
S为围绕一节点的任意封闭曲面。

t
dV
V
D dS S t
S Jd dS Id
N
Icj Id
j 1
N
Ij 0
j 1
其中：I j 可为传导电流或位移电流， I j 则代表节点处

V1
L1
L2
V2
M
1. 自感
（1）单匝线圈的自感
如图所示。
I B
假设线圈内外不存在铁磁性物质，
则 I 和 之间存在线性关系，比
值是一个常数
L
I
S B dS
式中 L称为自感系数，简称为自感，它取决于线圈的几
何形状和尺寸以及磁介质的磁导率。
磁通为 B dS S
场论与路论的关系
引言 一、电阻 二、电容 三、电感 四、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程
引言
1.路论
基本物理量：U、I；
重要参数：R、L、C；
基本理论：基尔霍夫定律和其它电场定律；
适用范围：直流和低频电磁问题和某些射频问题；
特 点：直观、具体、容易理解。
2.场论
场论和路论关系：统一、
基本物理量：E、H、D、B； 不可分割的。场论强调普遍
重要参数：μ、ε、σ；
性，在电路尺寸远小于工作
基本理论：麦克斯韦方程组； 波长时路论是可以由麦克斯
适用范围：一切宏观电磁现象；韦方程组导出的近似理论。
特 点：比路论更普遍，抽象。
一、电阻
1.欧姆定律
J E
—称为表示导电媒质中任意一点的电流密度和电场强度 成正比。
此式也可写成：
U
E 1J
r2
y
三、电感
I
电感包括自感 L 和互感 M 。
在正弦交流电路中，若只含一个纯电感 V L
时，如图所示。电感上的电压和电流的关系
为ຫໍສະໝຸດ Baidu
U jLI
当电路包括两个以上电感线圈，如
图所示。电感上的电压和电流的关系 I1
I2
为：
U1 U2

jL1I1 jMI1
jMI2 j L2 I 2
(E A) 0 t
所以： E A
t
E A
t
E Ea E0
电源电场 电路中的电场
则：
Ea

J



A t
J
E0
等号右边三项分别为电阻、电容和电感元件中的电场。
积分形式： l Ea dl
M 21
21
I1
式中： 21 S2 B1 dS
如果两个载流回路分别由
N1、N2 匝线圈组成， 则互感变为
M 21

N221
I1
M12

N112
I2
不难证明，线圈回路间的
同理，C2 线圈对 C1 线圈的互感为 互感是互易的，即
M 12
12
I2
M12 M 21
四、基尔霍夫定律和麦克斯韦方程的统一
U l E dl
通过任意横截面S的电流为：
l
I
S Jc dS
E dS
S
根据定义可得到两端面 间导电媒质的电阻R为：
★
RU


E dl
l
I S E dS
二、电容
1.孤立导体的电容
式中：Q为导体所带的电荷量， 为导体的电位。
2. 双导体系统的电容C Q
欧姆定律并不是电磁学的普遍定律，它只是 对某些材料电特性的描述。满足欧姆定律的 材料称为线性材料或欧姆材料。
2.焦耳定律
设在某一种媒质中，电荷在电场力的作
用下以平均速度v运动。若电子电荷e在电
场力的作用下移动距离Δl，则电场力做功;
W eE l
相应的功率为：p dW eE v dt
为电子漂移速度
体积元dV 中全部自由电子的损耗功率为:
dP p E (Nev)dV E JdV
J =E
dP E J dV
dP E2
dV
焦耳定律 的微分形式
在体积为V 的一段导体中，总的损耗功率为：
P V E JdV
对于一段均匀直导体的情况，令 dV dldS ， dl 和电流线一致， dS 和电流线垂直，则：
根据矢量磁位的定义 B A
由斯托克斯定理，得到 A dS A dl
S
l
L l A dl
I
I
（2）多匝线圈的自感
I
若有N匝相同的线圈，则得磁链
N
相应回路的电感： L N
I
2. 互感
dl1
I1
R
C1
1221
I2
C2 dl2
C1 线圈对 C2 线圈的互感为
U
式中 Q 为带正电导体的电荷量，U 为两导体间的电压。
Q S E dS U l E dl
C S E dS l E dl
由上式可见：欲计算两导体间的电容 ，C 必须求出
其间的电场 。E
例：如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位
于xOz平面，另一极板和 xOz面成 角，电容器高为h ，
P V E JdV l EdlS JdS UI
—焦耳定律的积分形式
自由电子在导电媒质中运动，电场所做的功在电子和 导体结晶点阵不断碰撞的过程中转化为热能，称为焦 耳热。
3、电阻的计算
（1）均匀直导线的电阻 （2）不规则导体的电阻
R l
S
设和电流线垂直的两个端面为等位
面，两端面之间的电压降为：
这些电流的代数和，这样就证明了基尔霍夫电流定律。
表明电荷是守恒的，电荷不会在节点处积累或消失，换 句话说，电流在节点处是连续的。
2. 基尔霍夫电压定律
法拉第电磁感应定律
l E dl


t

S
B

dS

l
(
E

A t
)

dl
0
B A
l E dl
t
l
A dl