等差数列通项公式及前n项和公式
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和等差数列是数学中的一种重要概念，是指数列中相邻两项之间的差保持不变。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求解其前n项和。
一、等差数列的定义与表示等差数列的定义：如果一个数列满足从第二项开始，每一项与前一项的差相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以用以下形式来表示：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（每一项与前一项的差）。
二、等差数列的性质1. 公差为d的等差数列可以用通项公式来表示：第n项的值为an =a + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得到：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)。
3. 等差数列的对称性：等差数列以首项和末项的平均值为中心对称。
4. 等差数列的性质应用：等差数列可以应用于各种实际问题，如金融领域的利息计算、物理领域的速度计算等等。
三、求解等差数列的前n项和当我们需要求解等差数列的前n项和时，可以利用等差数列的性质中的公式进行计算。
以下是具体步骤：1. 确定等差数列的首项a和公差d。
2. 根据公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，将n、a和d代入公式中，计算出Sn的值。
举例来说，如果我们要求解首项为3，公差为4的等差数列的前10项和，可以按照以下步骤进行计算：1. 首项a = 3，公差d = 4。
2. 将n = 10，a = 3，d = 4代入公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)中：Sn = (10/2)(2(3) + (10-1)(4))= 5(6 + 9(4))= 5(6 + 36)= 5(42)= 210。
因此，首项为3，公差为4的等差数列的前10项和为210。
四、等差数列的应用举例1. 利息计算：假设某人每年从银行中取出定期存款的利息，如果每年的利率相同，那么每年取出的利息构成一个等差数列。
可以利用等差数列的公式计算出多年来累计的利息。
等差和等比数列公式大总结
等差和等比数列公式大总结
等差数列是指每一项与前一项之差相等的数列，而等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
在数学中，我们经常遇到各种各样的数列问题，因此了解等差和等比数列的公式是非常重要的。
等差数列的公式：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d
其中，a1为首项，d为公差，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=[n(2a1+(n-1)d)]/2
其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为前n项和。
等比数列的公式：
1.通项公式：an=a1*r^(n-1)
其中，a1为首项，r为公比，an为第n项。
2.前n项和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)
其中，a1为首项，r为公比，n为项数，Sn为前n项和。
以上是等差和等比数列的公式大总结。
通过掌握这些公式，我们可以更加轻松地解决各种数列问题。
同时，也可以通过这些公式发现数列的规律，进一步深入了解数学知识。
- 1 -。
等差数列的前N项和公式
证明：由等差数列前n项和公式，得 n(a2 n 1 a3n ) n(a1 an ) n(an 1 a2 n ) . S1 , S2 , S3 2 2 2
n(a1 an a2 n 1 a3n ) S1 S3 n(an 1 a2 n ) 2S 2 . 2
d a1 5d 0, 2 即 a1 6d 0.
也即 a6 0且a7 0, S6最大。
24 d 3 a 12 2 d , 解法2： 由 1 7 an 12 (n 3)d 0, 得 a 12 (n 2)d 0. 即 5.5 n 7. n1
n ( a a ) 1 2 n 1 S奇 2 2an an ＝ . n S偶 2 a a n 1 n 1 (a2 a2 n ) 2
由等差数列的性质： a2 a2n2 a1 a2n1 2an .
若项数为2n-1
S偶 a2 a4 a2n2 n 1 n 1 (a2 a2 n 2 ) 2an (n 1)an 2 2 n S奇 a1 a3 a2n1 (a1 a2 n 1 )
n N , n 6, 即S6最大。
*Байду номын сангаас
关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
若项数为2n，则
S偶 -S奇 a2 a4 a2n a1 a3 a2n1
(a2 a1 ) (a4 a3 ) (a2n a2n1 )
d d d nd
可让奴才抬着春凳将她抬回来，都别肯碰她壹根手指头の。而且昨天王爷刚把水清抱回来，今天就又来怡然居看她の主子，那让月影怎么可能别心生期盼。月影多么地希望昨天就是他 们两各人冰释前嫌、相亲相爱の良好开端。可是才刚刚有咯壹各良好の开端，怎么今天仆役就又将爷给气走咯呢？那么良好の开端，仆役为啥啊别会服各软，讨爷の欢心呢？担心被王 爷寻咯短处，恼恨水清别晓得积极争取，月影在焦急别安之中，就迎来咯晚膳时间。第壹卷 第538章 书案用过晚膳，水清就吩咐月影去将悠思小格格抱过来，月影刚刚出门，就见院 门外吵吵嚷嚷の声音，还别待她多走几步，就见三四各小太监，抬着壹张桌子绕过咯影壁墙，正朝正房走来。还没什么进院门の时候，小柱子早就听到咯院外の动静，赶快迎咯出来， 当即就认出那几各小太监是苏培盛の手下，于是慌忙说道：“几位公公，那是？”“方公公，那是苏总管吩咐我们给抬过来の，您查验壹下，没问题の话，我们就回去交差咯。”“没 问题，没问题，多谢几位公公。”送走咯那各小太监，小柱子仔细看咯看那桌子，分明就是壹各书案！于是他赶快吩咐自己院里の几各太监，将那各书案抬到咯水清の房外，他上前壹 步，站在门口，小声禀报道：“启禀主子，苏总管给咱们院子抬来壹各书案，请问您需要放置在哪儿？”水清正在等着悠思小格格，谁晓得竟然等来咯壹各书案！别用问她也晓得，壹 定是王爷吩咐苏培盛送过来の。既然是爷送来の，别管是否喜欢，是否需要，她别无选择，必须恭恭敬敬地迎进正屋才是。于是开口吩咐道：“放进屋里来吧，月影，您和竹墨两人帮 方公公壹把。”月影本来是去找吴嬷嬷带悠思格格来见水清，却迎面撞上众人在抬那各书案，于是她就傻愣愣地站在院子当中，眼看着那壹群人从眼前走过，半天没什么反应过来。此 时听到水清在屋里吩咐她，才算是回过神儿来，赶快帮着将书案抬进咯屋子。那么壹各大物件进咯屋子，摆在哪里成咯问题，水清思前想后，最后决定就摆在屋子当中。“仆役！摆在 屋子当中？”“怎么？别行吗？”“可是，摆在中间怎么走路啊！再说咯，也没什么那么壹各摆法儿啊！”“啥啊叫没什么那么壹各摆法儿，今天就看看您家仆役那各摆法！”虽然月 影对水清の决定提出咯质疑，但那是水清深思熟虑の结果。见月影被她说得别敢开腔咯，水清又有点儿别落忍，自顾自地说咯起来：“您说别摆在那里还能摆在哪儿？那书案明面上是 由苏总管调配过来の，实际上，还别是爷の吩咐？下午の时候，爷别是问咯壹句梳妆台就走咯吗？那么快苏总管就抬过来壹张书案，别是爷の吩咐还能是谁？既然是爷の吩咐，咱们还 能摆在哪里？摆在靠边の位置，要是被爷晓得，又得寻咱们の错处，认为咱们没把爷の恩典当回事儿！那回，咱们就给它摆在屋子当中，咱们给它供起来！看爷还能说啥啊！”听着水 清壹番头头是道の解释，月影别得别佩服仆役の远见卓识，于是再也别唱反调，乖乖地赶快干起活儿来。只是她壹边抹桌子掸土，又将笔墨纸砚之类の东西码放上来，片刻别得闲地忙 活着，壹边在嘴上还止别住地嘀咕着：“仆役，奴婢瞧那书案，怎么别像新の？”第壹卷 第539章 亲选那书案当然别是新の！下午の时候王爷虽然是生着壹肚子の闷气离开の怡然居， 可是当他回到书院之后，又有些懊恼起来。他别禁暗问自己：爷刚才那是干啥啊去咯？别是想看看她吗？怎么连句正经话都没什么说呢，就直接回来咯？还有她那各用梳妆台临时充当 の书案，看着真是让人心疼呢。那丫头怎么那么傻，连各书案都别说添置壹各？当时谁也别晓得那各新娶进来の侧福晋会读书写字，以为和大家壹样全都是大字别识壹各の诸人呢，所 以排字琦在为他们两人成亲张罗布置新房の时候，想当然地没什么将书桌问题考虑进去。当初淑清进府の时候，因为认识那么壹两各字，高兴得王爷亲自给她置办咯壹张极为奢华の紫 檀书案，虽然后来也别见她怎么用，但是作为他唯壹壹各识文断字の诸人，王爷自然是宠爱无比。但是今天看到学富五车、能读会写の水清居然用梳妆台充作书案，给咯他极大の震撼。 自从将她娶进府来，他总是口口声声地说他给咯那各侧福晋多么奢华の生活，多么崇高の地位，只在排字琦壹人之下，所有诸人之上。可是实际上，她连壹各正经像样の书桌都没什么， 竟然是用梳妆台拼凑の，那番寒酸の样子，别但令他始料未及，更是令他内疚别已。当年给淑清置办の那各豪华书案，既是他高高兴兴、心甘情愿，也是她刻意暗示、左挑右选の结果。 现在再看到怡然居那里，那各最有理由需要书桌の人，却是拿各梳妆台凑合咯五年时间！那各结果让他心中很别是滋味。回到书院后，他早就忘记咯刚刚是因为啥啊而怒气冲冲地拂袖 而去，反而是壹门心思地想要尽快解决她の书桌问题。心情急切の他，连吩咐奴才立即出府采办の时间都等别及，壹回咯书院，就满院子地找咯起来。朗吟阁里有好几各地方都摆有书 案，大书房、小书房、藏书阁、休憩室„„各各地方他都亲自转咯壹各遍。大书房の书案尺寸太大，她那么瘦瘦小小の壹各人用着实在别方便；小书房の书案用咯相当长の壹段时间， 是最旧の壹各；藏书阁の书案颜色有些深，和怡然居の其它家具别配套。看来看去，也就只剩下摆在休憩室の那各书案还顺眼壹些：尺寸适中，颜色
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
数列知识点：等差数列的通项求和公式
数列知识点：等差数列的通项求和公式高中数列知识点：等差数列的通项求和公式学好数学的关键是公式的掌握，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等，为了学好数学，下面是小编为大家整理的数列知识点：等差数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。
2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。
首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。
3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。
象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。
4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。
一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。
数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式与前n项和数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每一个数字称为序列的项，而求解数列特定位置上的数字或数列前n项和的公式被称为数列的通项公式与前n项和。
通过这些公式，我们可以更快地计算出数列中的特定项或前n项的总和。
一、数列的通项公式数列的通项公式是指能够通过数列的位置n来表示数列中特定项的公式。
不同的数列有不同的通项公式，下面我们来讨论几种常见的数列及其通项公式。
1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间差值相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d这个公式说明了在等差数列中，每一项与首项的差值等于该项的位置与首项之间的差乘以公差。
例如，对于等差数列 3，6，9，12，15...，其中首项a为3，公差d 为3，那么这个等差数列的通项公式可以表示为：an = 3 + (n - 1)3这个公式可以用来求解等差数列中任意位置n上的数字。
2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间比值相等的数列。
假设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n - 1)这个公式说明在等比数列中，每一项与首项的比值等于公比的n-1次方。
例如，对于等比数列 2，4，8，16，32...，其中首项a为2，公比r 为2，那么这个等比数列的通项公式可以表示为：an = 2 * 2^(n - 1)这个公式可以用来求解等比数列中任意位置n上的数字。
二、数列的前n项和数列的前n项和是指数列从第一项到第n项的总和。
通过数列的前n项和公式，我们可以快速计算数列的前n项和，无需逐项累加。
1.等差数列的前n项和等差数列的前n项和公式可以通过等差数列通项公式推导而得。
假设等差数列的前n项和为Sn，首项为a，差值为d，则等差数列的前n 项和公式可以表示为：Sn = (n/2) * (2a + (n - 1)d)这个公式说明了等差数列的前n项和等于首项与末项之和乘以项数n再除以2。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结
例题精析
【例题1】在数列{ }中， ， ，求通项公式 .
【例题2】已知数列 满足， 前 项和 ，求 的通项公式.
【例题3】数列 满足 ，求 .
【例题4】已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 .
（Ⅰ）求 与 ；（Ⅱ）令bn= （n N*），求数列 的前n项和 .
知识讲解
一、求数列的通项公式的方法
1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；
2：公式法
等差数列通项公式：
等比数列通项公式
3：递推关系
累加法：
累乘法：
构造法：（1） ：
令 ，则 为等比数列
（2）
令 ,则 为等差数列
（3）
令 ,则转化为第一类
（4）
令 ,则转化为第一类
（5）
令 ,则用累乘法
4：退位相减法
A．98 B．99C．96D．97
5、各项为正数的等比数列 的公比 ，且 成等差数列，则 的值是（）
A． B． C． D． 或
6、数列 ( )
A． B． C． D．
7、数列 满足 ，则
A． B． C． D．
8、数列 中，若 ， ，则
A． B． C． D．
9、数列an＝ ，其前n项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线(1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为______．
10、设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{ } (n∈N*)的前n项和是________
11、设数列 的前 项和为 已知
（1）设 ，证明数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
12、设等差数列 的前 项和为 ，且 ,
（1）求数列 的通项公式
等差数列及通项公式
等差数列及通项公式等差数列是指数列中的每个数与其前后两个数之差相等的数列。
所谓通项公式，就是通过这个公式可以直接算出数列的第n项。
一个等差数列可以表示为a1，a2，a3，...，an，其中a1表示第一个数，an表示第n个数，d表示公差（任意两项之间的差），n表示数列中的第n项。
首先，我们先来看看等差数列的性质。
性质1：任意三项可以组成一个等差数列，其中第n项可以通过前两项和公差来计算得到。
即：an = a1 + (n-1) * d性质2：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (a1 + an) * n / 2性质3：如果一个数列是等差数列，那么将其倒序得到的新数列也是等差数列，并且其公差与原数列相同。
下面我们来推导等差数列的通项公式。
首先，我们已知等差数列中的任意两项的差为d，那么我们可以将第n项表示为：an = a1 + (n-1) * d我们可以从第1项开始计算，并根据性质1，不断计算第n项的公式，直到得到通项公式。
当n=1时，an = a1 + (1-1) * d = a1 + 0 = a1当n=2时，an = a1 + (2-1) * d = a1 + d当n=3时，an = a1 + (3-1) * d = a1 + 2d......当n=k时，an = a1 + (k-1) * d当n=k+1时，an = a1 + k * d由此可见，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1) * d。
最后，我们来验证等差数列的前n项和公式。
假设等差数列前n项和为Sn，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
我们可以将等差数列从头到尾和从尾到头分别相加，并对相加结果求和，如下所示：S = a1 + a2 + a3 + ... + anS = an + an-1 + an-2 + ... + a1将两式相加，每一项相加的结果都是2S，共有n项，则有：2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ... + (an + a1)由等差数列的性质3可知，每一项都等于a1+(n-1)*d，即：2S=(a1+(n-1)*d)+(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+...+(a1+0)+(a1+d)合并同类项得：2S=n*a1+(n-1)*d+(n-2)*d+...+d+0+d2S=n*a1+(n-1+n-2+...+1)*d2S=n*a1+(n*(n-1)/2)*d将等差数列的通项公式代入，得到：2S = n * (a1 + an)Sn = (a1 + an) * n / 2综上所述，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
如何求等差数列前n项和公式
如何求等差数列前n项和公式等差数列是数学中常见的数列形式，它的每一项与前一项之差都相等。
求等差数列前n项和是数学中的一个重要问题，下面将介绍如何通过公式来求解等差数列的前n项和。
我们来回顾一下等差数列的定义。
一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
现在我们来推导等差数列前n项和的公式。
设等差数列的前n项和为Sn，我们将等差数列从首项到第n项的和分别与从第n项到首项的和相加，可以得到：2Sn = (a + an) + (a+d + an-d) + (a+2d + an-2d) + ... + (an + a)根据等差数列的通项公式，将等式中的an替换为a + (n-1)d，可以得到：2Sn = n(a + an)= n(a + a + (n-1)d)= n(2a + (n-1)d)将等式两边都除以2，可以得到等差数列前n项和的公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)这就是等差数列前n项和的公式。
通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
下面我们通过一个例子来说明如何使用等差数列前n项和的公式。
假设有一个等差数列的首项a为1，公差d为2，我们来计算前n 项和。
我们需要确定首项a和公差d的值，a为1，d为2。
然后，我们根据公式Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)来计算前n项和。
假设我们要计算前10项的和。
代入公式，可以得到：S10 = 10/2 * (2*1 + (10-1)*2)= 5 * (2 + 9*2)= 5 * (2 + 18)= 5 * 20= 100因此，等差数列的前10项和为100。
通过以上的例子，我们可以看到，使用等差数列前n项和的公式可以快速计算等差数列的前n项和，而不需要逐个相加。
这样的计算方法在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
等差数列的通项公式和前n项和
用 a1, d 表示，当做一个二元方程组，解出答案即可。过程略， a5 10 。
内乡高中数学组 李浩
5. 结 合 等 差 数 列 前
n
项和公式
Sn
n
a1 2
an
=na1
nn 1
d 2
及等差数列性质（如果
m n p q 2r ，那么 am an ap aq 2ar ， m, n, p, q, r N 。），可得以下几点
即： an a1 n 1 d
由上面通项公式可知 an a1 n 1 d，am a1 m 1 d ，
两式相减可得： an am n m d
例：在等差数列 51,47,43，…中，第一个负数项是第几项？
因为公差为-4，首项为 51，所以数列的通项公式为 an 55 4n
，令 55 4n 0
得 Sn 0 的 n 的最大值为 19.
②等差数列中依次 k 项的和仍构成等差数列，即 Sk , S2k Sk , S3k S2k , 构成等差数列，公差
为 k2d 。
例：已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， S3 12, S6 48 ，求 S12 =？
S3
S6 S3
S9 S6
Sn
na1
nn 1
2
d
。
例，函数 f x 对任意 x R ，都有 f x f 1 x 1 ，
2
求
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2020
f
2 2020
f
2018 2020
f
2019 2020
的值。
令S
f
1 2020
f
2 2020
f
2018 2020
等差数列的前n项求和公式
2
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n 颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1 将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
6
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设数列的前n项和为54，即Sn=54
根据等差数列的前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0 解得 n1=9, n2=－3(舍去) 因此，等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
a1>0, d<0 有 无
10
n a1<0, d>0,极小值
若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:
极大值
a1<0,d>0 无
极小值 版权所有，反印必究
有
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(完整版)等差数列的前n项和与项数之间的关系总结
(完整版)等差数列的前n项和与项数之间的关系总结1. 什么是等差数列?等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列，这个相等的差值称为公差，用d表示。
等差数列的通项公式表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ表示数列中的第n项，a₁表示数列的第一项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式可以通过求和的方法推导而来。
设等差数列的前n项和为Sₙ，根据等差数列定义的通项公式，可以得到：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ，由于每一项与前一项之差相等，即aₙ - aₙ₋₁ = d，我们可以将公式中的每一项分解：Sₙ = (a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n-1)d),根据算术求和公式，可以将上式化简为：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
这就是等差数列的前n项和公式。
3. 相关性质和应用等差数列的前n项和与项数之间存在以下关系：- 当项数n增加时，前n项和Sₙ也会增加，且增加的速度逐渐减缓。
- 当项数n相同，公差d增加时，前n项和Sₙ也会增加。
- 当项数n相同，公差d相同，首项a₁增加时，前n项和Sₙ也会增加。
等差数列的前n项和公式在数学和工程等领域具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，可以用来计算投资收益；在物理学中，可以用来计算位移、速度等连续变化的量。
4. 总结等差数列的前n项和与项数之间存在简单的线性关系，可以通过等差数列的前n项和公式进行计算。
了解等差数列的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的概念。
证明等差数列前n项和的方法
证明等差数列前n项和的方法
我们要证明等差数列的前n项和的公式。
首先，我们需要理解等差数列的定义和性质。
等差数列是一个序列，其中任何两个连续的项之间的差都是常数。
假设等差数列的首项是 a_1，公差是 d，项数是 n。
等差数列的通项公式是：a_n = a_1 + (n-1) × d
等差数列的前n项和公式是：S_n = n/2 × (2a_1 + (n-1) × d)
我们将使用数学归纳法来证明这个公式。
证明步骤如下：
1. 基础步骤：当 n = 1 时，S_1 = a_1，与公式一致。
2. 归纳假设：假设当 n = k 时，公式成立，即S_k = k/2 × (2a_1 + (k-1) × d)。
3. 归纳步骤：我们需要证明当 n = k + 1 时，公式也成立。
S_{k+1} = S_k + a_{k+1}
= k/2 × (2a_1 + (k-1) × d) + a_1 + k × d
= (k+1)/2 × (2a_1 + k × d)
所以，当 n = k + 1 时，公式也成立。
由1和3，我们可以得出结论：等差数列的前n项和公式对任何正整数n都成立。
等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和1.等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数).(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋a n）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.(4)若S n为等差数列{a n}的前n项和，则数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若S n为等差数列{a n}的前n.1.已知数列{a n}的通项公式是a n＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在最大值；若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值.3.等差数列{a n}的单调性：当d＞0时，{a n}是递增数列；当d＜0时，{a n}是递减数列；当d＝0时，{a n}是常数列.4.数列{a n}是等差数列⇔S n＝An2＋Bn(A，B为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(2)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数.()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.2.(2022·福州质检)在等差数列{a n}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝()A.10B.20C.25D.30答案C解析等差数列{a n}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25.3.(2022·青岛一模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝92则数列{a n}的通项公式a n＝()A.nB.n＋12C.2n－1D.3n－12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1＋3×22d＝3＋3d＝92，解得d＝12，∴a n＝1＋(n－1)×12＝n＋12.4.(2021·杭州二模)已知{a n}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为()A.36B.24C.16D.12答案D解析由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝8（a1＋a8）2＝8（a3＋a6）2＝12.5.(多选)设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是()A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值答案ABD解析S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0，则a9＜0，又a6＋a8＝a5＋a9＝2a7＝0，∴S5＞S9，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是S n中的最大值.从而ABD均正确.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.考点一等差数列的基本运算1.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{a n}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－3 2 a1.又a1＝2得∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.1 4B.12C.1D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为__________.答案3n2－2n解析法一(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n＝1＋6(n－1)＝6n－5.故前n项和为S n＝n（a1＋a n）2＝n（1＋6n－5）2＝3n2－2n.法二(引入参变量法)令b n＝2n－1，c m＝3m－2，b n＝c m，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).a t＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即a n＝6n－5.以下同法一.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1(2021·全国甲卷)已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{S n}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2＝3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以S n＝na1＋n（n－1）2d＝n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以S n＝n a1，所以S n＋1－S n＝(n＋1)a1－n a1＝a1(常数)，所以数列{S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{S n}是等差数列.设数列{a n}的公差为d，则S n＝na1＋n（n－1）2d＝12n2d＋a1－d2.因为数列{S n}是等差数列，所以数列{S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1(2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n＝b nb n－1，代入2S n＋1b n＝2可得，2b n－1b n＋1b n＝2，整理可得2b n－1＋1＝2b n，即b n－b n－1＝12(n≥2).又2S1＋1b1＝3b1＝2，所以b1＝32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n＝32＋12(n－1)＝n＋22，则2S n＋2n＋2＝2，所以S n＝n＋2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3 2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋2n＋1－n＋1n＝－1n（n＋1）.故a n 32，n＝1，－1n（n＋1），n≥2.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质例2(1)设S n为等差数列{a n}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于() A.72 B.36 C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝36.(2)在等差数列{a n}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A.10B.20C.40D.2＋log25答案B解析由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2等差数列前n项和的性质例3(1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于() A.35 B.42 C.49 D.63答案B解析在等差数列{a n}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块答案C解析设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3402(块).角度3等差数列前n 项和的最值例4等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 21＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称.由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n n ≥0，n ＋1≤0，1＋（n －1－213a 0，1＋－213a 0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，S n最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.2.和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)a n.(3)依次k项和成等差数列，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…成等差数列.3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2(1)(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是() A.a7 B.a8 C.S13 D.S15答案AC解析由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝13（a1＋a13）2＝13a7是定值，故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2020，S20202020－S20142014＝6，则S2023等于()A.2023B.－2023C.4046D.－4046答案C解析d′，则S20202020－S20142014＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为S11＝－2020，∴S20232023＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.(3)设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0(n∈N*)，其前n项和为S n，若数列{S n}也为等差数列，则S n＋10a2n的最大值是________.答案121解析设数列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，∴22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，把a1＝1代入求得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n（n－1）2×2＝n2，∴S n＋10a2n＝（n＋10）2（2n－1）2＝＝12（2n－1）＋2122n－12≤121.∴S n＋10a2n的最大值是121.。
等差数列前n项求和公式方法
等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。
其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。
一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。
设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。
1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。
可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。
2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。
二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。
则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。
三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。
1.分析数列设首项为a₁，公差为d。
2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。
3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。
4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。
数列的前n项和与通项公式
数列的前n项和与通项公式数列是数学中的重要概念之一，它是由一系列按照某种规律排列的数所组成的序列。
而数列的前n项和以及通项公式则是数列研究中的关键概念，对于数学的发展和应用都具有重要意义。
一、数列的前n项和数列的前n项和是指数列中前n项数的和。
对于某些特定的数列，我们可以通过一定的方法来求解其前n项和。
例如，对于等差数列，其前n项和可以通过求和公式来计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则前n项和Sn可以表示为Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)。
同样地，对于等比数列，其前n项和也可以通过求和公式来计算。
假设等比数列的首项为a，公比为r，则前n项和Sn可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指数列中的每一项的一般表示形式。
通过通项公式，我们可以根据数列的位置来计算其对应的数值。
通项公式的推导需要根据数列本身的特点和规律进行分析和推理。
以等差数列为例，其通项公式可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其首项a为1，公差d为2，那么第n项可以表示为an = 1 + (n-1)2。
同样地，对于等比数列，其通项公式可以表示为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以根据数列的位置来计算出对应的数值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，其首项a为2，公比r为2，那么第n项可以表示为an = 2 * 2^(n-1)。
三、数列的应用数列的前n项和和通项公式在数学的各个领域都有广泛的应用。
在数学分析中，数列的前n项和可以用于求解极限问题。
通过计算数列的前n项和，我们可以逼近数列的极限值，从而求解一些复杂的极限问题。
在数学建模中，数列的前n项和可以用于描述和分析一些实际问题。
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4、设等差数列｛an｝满足3a8＝ 5a13,且a1＞0， Sn为其前n项和，则Sn的最大值是 A.S10 B.S11 C.S20 D.S21
5、在区间[1，2000]内既不是2 的倍数，又不是3的倍数的所有 的自然数之和______ 6、等差数列{an},a2+a99=100, 求S100=？ 7、已知等差数列的前10项的和为 310，前20项的和为1220，由此求 前n项和的公式。
(8)a1=5/6,d=-1/6,Sn=-5求n,an (9)d=2,n=15,an=-10,求a1,Sn
一、基础练习（1）： 1、已知ΔABC的三个内角A、 B、C成等差数列，则sinB的 值____
2、已知等差数列{an}中， a3=9,a9=3,则an=?
变：已知等差数列{an}的公差d=3/4,则a3-a11=？
2、若a≠0，则a,b之间分别插入 三个与四个数仍为等差数列， 且公差分别为d1,d2,则d2/d1=？
3、首项为-24的等差数列，从第 10项起开始为正数，则公差d的 范围____ 4、递增数列{an}中，若 a2+a4=16,a1.a5=28,则an=？ 5、数列｛an｝中，a1=2，an＋1 －an=3n（n∈N*）,则数列的通项 为an=？
3、一个等差数列的第5项等于 10，前3项的和等于3，则首项 ____,公差_____ 4、在-9与3之间插入n个实数， 使这n+2个实数组成和为-21的 等差数列，则n的值_____
二、基础练习（2）： 1、命题甲：“a、b、c成等差数 a c 列”；命题乙：“ 2 ” b b 甲是乙的什么条件?
三、基础练习（3） 1、一凸n边形，各内角的度数 成等差数列，公差是10°，最 小内角100°，则边数n＿＿ 2、已知等差数列的通项公式 an=2n-49,则Sn取最小值时n为 _____
3、在等差数列｛an｝中，a1=9， a9=-6，则 A.S6＝S8 B.S6＝S7 C.S7＝S8 D.S5＝S7
8、设等差数列{an}的公差d<0,其 前n(n>1)Sn<nan D.nan<Sn<na1
等差数列（1）
等差数列{an}
(1)a1=2,d=3,n=10,求an
(2)a1=3,an=21,d=2求n (3)a1=12,a6=27,求d (4)d=-1/3,a7=8,求a9 (5)a5=-1,a8=2,求a1,d,an
等差数列{an} (6)a1=20,an=54,Sn=999,求d,n (7)d=1/,n=37,Sn=629求a1,an