2011海淀高三二模数学(文科)试题及答案
海淀区高三二模文数试卷和答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分 所以1101,19a a == ……………………4分 所以2d =所以 21n a n =- ……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以 27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n -->9． 1i -+10．乙 11. 16-或 16 12．22 13．1π2π;(,)233- 14．1;02k <≤所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =， 根据正弦定理有sin45sin30CD AD = ……………………4分 所以2CD = ……………………6分 （II ）所以4BD = ……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=，62sin75sin(4530)4+=+=……………………9分 所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+ ……………………12分 所以333322ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分 同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD = 而 62sin105sin(4560)4+=+= ……………………8分 所以31AC =+ ……………………10分 又4BD =，6BC = ……………………11分 所以1333sin3022ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分 17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分 同理//OF AD又,OE OF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥所以OF CD ⊥ …………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC所以PO ⊥CD …………………8分 又OF PO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x== …………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x = …………………4分 （II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0 221'()a x a F x x x x-=-= …………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表： x(0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0 +()F x 极大值…………………8分 当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥ 所以e a ≥ …………………10分 当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ， ()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a ≥ 所以e e a ≤< ………………12分 综上，e a ≤ ………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以 123||31x k =+，则2222333||13131k AO k k k +=+=++ ………………8分设AB 的垂直平分线为1y x k=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 则2299||(1)k PO k +=- ………………10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3||PO AO = 代入得到22229933|3(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行 法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列 法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列 （写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则 22221212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1a a ==.…………………6分② 如果操作第一行 22221212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a解得1a = …………………9分综上1a =…………………10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得 数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只 是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于11||m nij i j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习及答案
海淀区2011年高三年级第一学期文科数学期末练习第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1．sin 240的值为A ．12-B ． 12C ．32-D ．322. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且236a a +=，则4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 93. 设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”成立的 A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40，50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有A.75辆B.120辆C.180辆D.270辆 5.点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为 A.2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为A ．12B ．6C ． 4D ．27. 已知函数1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈，01cos 3x =（0[0,π]x ∈），那么下面结论正确的是A ．()f x 在0[0,]x 上是减函数 B. ()f x 在0[,π]x 上是减函数 C. [0,π]x ∃∈, 0()()f x f x > D. [0,π]x ∀∈, 0()()f x f x ≥车速O40506070800.0100.0350.030a频率组距正视图左视图俯视图222112218. 已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-=二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线210x y +-=平行,则直线l 的方程为__________.10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入4， 则输出的S 为 .11．椭圆2212516x y +=的右焦点F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为F ，则其标准方程为 .12．在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为_______.13已知向量(1,),(1,)t t ==-a b .若-2a b 与b 垂直, 则||___=a .14．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-为. 若点()1,3A -，则(,)d A O = ； 已知()1,0B ，点M 为直线20x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）开始0;0S n ==n i<21n S S =++是否1n n =+S输出结束i 输入设函数13()sin cos 22f x x x =+，R x ∈. （I ）求函数)(x f 的周期和值域；（II ）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3(),2f A = 且32a b =， 求角C 的值.16. （本小题满分13分）某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）围棋社戏剧社书法社学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人. (I) 求这三个社团共有多少人？(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.17. （本小题满分13分）如图，棱柱ABCD —1111A B C D 的底面ABCD 为菱形 ，AC BD O ，侧棱1AA ⊥BD,点F高中 45 30 a初中151020为1DC 的中点．（I ） 证明：//OF 平面11BCC B ； （II ）证明：平面1DBC ⊥平面11ACC A .18. （本小题满分13分）已知函数322()1,a f x x x=++其中0a >.（I ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1y =平行，求a 的值； （II ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=,点P 为直线:4l x =上的动点.(I)若从P 到圆O 的切线长为23，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（II ）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ,求证:直线MN 经过定点(1,0).20. （本小题满分14分）已知集合{}1,2,3,,2A n = *()n N ∈.对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素12,s s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P.（Ⅰ）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}*31,C x A x k k N =∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由.(II)若集合S 具有性质P ，试判断集合 {}(21)T n x x S =+-∈)是否一定具有性质P ？并说明理由.答案及评分参考第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CAACBDBD第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 ,3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分 32s i n 32b b B ∴=, ∴1sin =B , ....................................11分 π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，x(1,)a a(,2)a()f x ' － 0 ＋ ()f x极小由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分....................................10分所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242(23)t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t t y t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+ 显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠， 所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+， 使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈，因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ， 从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。
2011届北京市海淀区高三二模文综试卷
海淀区高三年级第二学期期末练习文科综合能力测试 2011.5选择题 (共140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
2011年3月29日5时20分（西五区时间），美国“信使号”水星探测器向地球发回第一组高清晰的水星图像，为人类进一步了解和研究水星提供了珍贵资料。
结合下表回答第1题。
1．下列叙述正确的是①水星自转的角速度和线速度均比地球大②水星表面始终昼夜等长③水星的体积和质量小，无法吸引住大气④照片发回时，北京时间为3月29日18时20分A．①② B．②③C．③④D．①④图1为“某年4月17日02时—20日02时我国西北某地气象要素变化示意图”，读图回答2、3题。
2.根据图1中各气象要素的变化得知，该天气系统与其可能带来的天气现象的正确组合是A ．反气旋、冻雨天气 B.气旋、大雾天气C. 冷锋、暴雨天气D.冷锋、大风沙暴天气3.此次天气过程对当地产生的影响可能是A.农牧业设施受到了损坏B.附近山区易出现泥石流C.大气环境质量明显改善D.缓解绿洲农业供水紧张2011年3月11日日本近海发生9.0级强烈地震，并引发海啸，随后福岛核电站发生爆炸，核污染物质被排入海洋。
读图2，回答第4、5题。
4.根据世界洋流分布规律，排入海洋的污染物可能A ．沿北大西洋暖流污染美国西部B ．沿洋流影响到加拿大西部C ．沿我国东部沿岸暖流向南扩散D ．沿大洋西侧洋流影响俄罗斯东部5. 地震发生后，Esri 公司发布了专题地图，公众可通过互联网或智能手机查阅与本次地震及核电站泄露的相关内容。
Esri 公司提供的此项服务主要基于A ．RS 技术B ．GPS 技术C ．GIS 技术D ．数字地球 图3为“某地垂直自然带谱示意图”，回答第6、7题。
6．垂直自然带谱反映了A ．该山地可能位于云贵高原B ．经度地带性规律C ．甲坡的水热状况优于乙坡D ．水分差异导致植被类型不同7．乙坡山麓地带的气候类型是A ．温带海洋性气候B ．亚热带季风气候C ．地中海气候D ．温带季风气候图4为“1978～2000年中国县级年均水灾频次图”，回答第8、9题。
北京海淀区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2 所以 BC AE， BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GM AE， GM = 1 AE
2 所以 GM BC，GM =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC （Ⅱ） 因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
又因为 BF EC ， EC 平面 D1EC ， BF 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC
又因为 GF BF F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 3： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
2011年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题 (文科)(解析版)
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
55
(D) 4 3 i 55
【解析】： i 2 1 2i
(i 2)(1 2i) (1 2i)(1 2i)
i 2i2 2 4i 1 4i2
i 2(1) 2 1 4(1)
4i
i
，选
A。
（3）如果 log 1 x log 1 y 0 ，那么 (
2
2
（A） y x 1 (B) x y 1
（6）执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为 2，则输出的 P 值为( )
(A)2
(B)3 (C)4 (D)5
【答案】C
第 1页 （共 7页）
【解析】执行三次循环，S 1 A 2 成立， p 11 2 ，S 1 1 1 1 3 ，S 3 A 2
P 22
2
成立， p 2 1 3 ， S 3 1 3 1 11 ， S 11 A 2 成立， p 3 1 4
y
2x ，则 b
.
【答案】2
第 2页 （共 7页）
【解析】：由
x2
y2 b2
1得渐近线的方程为 x2
y2 b2
0y
bx
即
y
bx ，由一条渐近线的方程
为 y 2x 得b 2
（11）已知向量 a ( 3,1),b (0 1), c (k, 3) 。若 a 2b 与 c ，共线，则 k =
2011年北京高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，集合，那么（）.A. ()B. ()C.(-1，1)D.【测量目标】集合的含义、基本运算.【考查方式】解不等式，求解补集.【参考答案】D【试题解析】，，故选D.2. 复数（）.A. B.C. D.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】复数的除法运算，直接计算出结果.【参考答案】A【试题解析】，选A.3. 如果，那么（）.A. B.C. D.【测量目标】对数函数的性质、函数值比较.【考查方式】由对数函数增减性，求解定义域.【参考答案】D【试题解析】，，即故选D.4. 若是真命题，是假命题，则（）.A.是真命题B.是假命题C.是真命题D.是真命题【测量目标】命题的概念.【考查方式】命题的真假判断.【参考答案】D【试题解析】：或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D.5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）.A.32B.16+C.48D.【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】由三视图想象出四棱锥结构，进而计算其表面积.【参考答案】B【试题解析】由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选B.如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）.A.2B.3C.4D.5【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.【参考答案】C【试题解析】执行三次循环，成立，(步骤1)，，成立，（步骤2），，成立，（步骤3），，不成立，（步骤4）输出，故选C.（步骤5）7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产件，则平均仓储间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储用之和最小，每批应生产产品（）.A.60件B.80件C.100件D.120件【测量目标】一元二次函数的实际应用.【考查方式】一元二次函数的实际应用，解方程.【参考答案】B【试题解析】仓储费用，每件产品的生产费用与仓储费用之和：，当且仅当即时，上式取等号.每批应生产产品80件，故选B.8.已知点.若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为（）.A.4B.3C.2D.1【测量目标】二次函数德尔图像和性质.【考查方式】由二次函数的性质和点到直线的距离公式求解.【参考答案】A【试题解析】设的直线方程为即,由得即，(步骤1)由点到直线的距离公式得，即解得，,或，或故选A.（步骤2）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在中，若，则 .【测量目标】解三角形、正弦定理.【考查方式】由正弦定理，直接求出答案.【参考答案】【试题解析】由正弦定理得，又..10. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .【测量目标】双曲线的标准方程和简单的几何性质.【考查方式】双曲线的渐近线与题中渐近线比较法得出结果.【参考答案】2【试题解析】由得渐近线的方程为即，由一条渐近线的方程为得2.11. 已知向量.若与共线，则= .【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】共线向量中，由对应坐标成比例求解.【参考答案】1【试题解析】由与共线得12. 在等比数列中，若则公比；.【测量目标】等比数列的基本性质和前n项和.【考查方式】由通项公式求解公比和求和公式.【参考答案】2；【试题解析】由是等比数列得，又所以，.13. 已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【测量目标】分段函数.【考查方式】画出分段函数，找到单调区间，比较法.【参考答案】（0，1）【试题解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.14. 设).记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则；的所有可能取值为 .【测量目标】平行四边形的性质定理.【考查方式】由点坐标得出范围，一一求解.【参考答案】6 ；6，7，8.【试题解析】在, , 时分别对应点为6,8,7.在平面直角坐标系中画出平行四边形，其中位于原点，位于正半轴；（步骤1）设与边的交点为，与边的交点为，四边形内部（不包括边界）的整点都在线段上，（步骤2）线段上的整点有3个或4个，，不难求得点，(步骤3)①当为型整数时，都是整点，，（步骤4）②当为型整数时，，都不是整点，，（步骤5）③当为型整数时，，都不是整点，（以上表述中为整数）（步骤6）上面3种情形涵盖了的所有整数取值，所以的值域为{6，7，8 }.（步骤7）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数最值问题.【考查方式】同名三角函数化简，进而求解周期、最值.【试题解析】（Ⅰ）.(步骤1)的最小正周期为.（步骤2）（Ⅱ）（步骤3）当即时，取得最大值2；（步骤4）当，即，取得最小值．（步骤5）16.(本小题共13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示.（Ⅰ）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差其中为，，的平均数）【测量目标】茎叶图.【考查方式】由样本容量求解平均数、方差和概率.【试题解析】（Ⅰ）当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为（步骤1）方差为（步骤2）（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为（步骤3）17.（本小题共14分）如图，在四面体中，点分别是棱的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：四边形为矩形；（Ⅲ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由.【测量目标】空间立体中线面平行的判定，立体几何中的探索性问题.【考查方式】线面平行定理的应用，反证法求解.【试题解析】证明：（Ⅰ）分别为的中点，//，平面，（步骤1）//平面.（步骤2）（Ⅱ）分别为的中点，// //， // //，（步骤3）四边形为平行四边形，（步骤4）又，所以，所以四边形为矩形.（步骤5）（Ⅲ）存在点满足条件，理由如下：连接设为的中点，由（Ⅱ）知，且（步骤6）分别取、的中点，连接.与（Ⅱ）同理，可证四边形为矩形，其对角线点为的中点且，所以为满足条件的点.（步骤7）18.（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在区间上的最小值.【测量目标】利用导数求函数的单调区间和最值.【考查方式】函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值.【试题解析】（Ⅰ）令，得．（步骤1）与的情况如下：（）（—0+↗↗骤2）的单调递减区间是（）；单调递增区间是.（步骤3）（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，在区间[0，1]上的最小值为（步骤4）当时，由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，在区间[0，1]上的最小值为；（步骤5）当时，函数在[0，1]上单调递减，在区间[0，1]上的最小值为（步骤6）19.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的面积.【测量目标】椭圆的标准方程及简单的几何性质.【考查方式】利用离心率、焦点坐标计算出椭圆方程进而设出直线，与椭圆方程联立，求解.【试题解析】（Ⅰ）由已知得（步骤1）解得又（步骤2）椭圆G的方程为（步骤3）（Ⅱ）设直线的方程为由得（步骤4）设的坐标分别为中点为，则.（步骤5）是等腰的底边，所以，的斜率解得.此时方程①为解得（步骤6）.此时，点到直线：的距离所以的面积（步骤7）20.（本小题共13分）若数列满足，则称为数列.记.（Ⅰ）写出一个数列满足；（Ⅱ）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；（Ⅲ）在的数列中，求使得成立的的最小值. 【测量目标】数列通项公式的整理变形；充分必要条件的概念.【考查方式】使用列举法、观察法求得答案（Ⅰ）；充分和必要分开进行论证解决答案（Ⅱ）；由首相为4可求得后面的每一项，使用列举法列出，再根据题设要求，求解.【试题解析】（Ⅰ）是一组满足条件的数列.(答案不唯一；都是满足条件的数列).(步骤1)（Ⅱ）必要性：因为数列是递增数列，所以所以此数列为首项为12，公差为1的等差数列. 所以.（步骤2）充分性：因为所以即.（步骤3）又因为，所以.故,即时递增数列.综上，结论得证.（步骤4）（Ⅲ）对首项为4的数列，由于，（步骤5）所以对任意首项为4的数列，若，则必有.（步骤6）又的数列:满足.所以的最小值是9.（步骤7）。
海淀高三数学文科二模试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ） （A）(-（B）（C ）(2,1),2- （D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ） （A ）11(,)22-（B ）(,)22a a -（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ）（A ）b a c << （B ）b c a <<（C ）c b a << （D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OMOM⋅uu r uuu r uuu r 的最小值是（ ）（A（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数学_2011年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面上，复数z=2−i对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2.已知全集U=R，集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={x∈R|x≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为（）A {1}B {0, 1}C {1, 2}D {0, 1, 2}3. 函数f(x)=log2x−1x的零点所在区间是( )A (0,12) B (12，1) C (1, 2) D (2, 3)4. 若函数y=sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）A y=sin(12x+π6) B y=sin(12x+π3) C y=sin(2x+2π3) D y=sin(2x+π3)5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛的得分情况的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆x2+y2−4x+2=0与直线l相切于点A(3, 1)，则直线l的方程为()A 2x−y−5=0B x−2y−1=0C x−y−2=0D x+y−4=07. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A 0条B 1条C 2条D 3条8. 若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2．给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a1a2>b1b2；③a12−a22=b12−b22；④a1−a2<b1−b2．其中，所有正确结论的序号是（）A ②③④B ①③④C ①②④D ①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 双曲线C:x22−y22=1的渐近线方程为________；若双曲线C的右焦点和抛物线y2=2px的焦点相同，则抛物线的准线方程为________．10. 点P(x, y)在不等式组{y≤2xy≥−xx≤2表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为________．11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．12. 已知△ABC的面积S=√3，∠A=π3，则AB→⋅AC→=________．13. 已知数列{a n}满足a1=1，且a n=n(a n+1−a n)(n∈N∗)，则a2=________；a n=________．14. 已知函数f′(x)、g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：①若f(1)=1，则f(−1)=________；②设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ(−1)，ℎ(0)，ℎ(1)的大小关系为________．（用“<”连接）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x．（1）求f(π4)的值；（2）若x ∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应的x 值． 16. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且D ，E ，F 分别为BC ，BB 1，AA 1的中点．（1） 求证：平面B 1FC // 平面EAD ；（2）求证：BC 1⊥平面EAD ．17. 某学校餐厅新推出A 、B 、C 、D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下．为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（1）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率．18. 已知函数f(x)=13x 3−ax 2+bx ．(a, b ∈R)(I)若f ′(0)=f ′(2)=1，求函数f(x)的解析式；(II)若b =a +2，且f(x)在区间(0, 1)上单调递增，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)两个焦点之间的距离为2，且其离心率为√22． （1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满 足BA →⋅BF →=2，求△ABF 外接圆的方程．20. 对于数列A:a 1，a 2，…，a n ，若满足a i ∈{0, 1}(i =1, 2, 3,…,n)，则称数列A 为“0−1数列”．定义变换T ，T 将“0−1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A:1，0，1，则T(A)：0，1，1，0，0，1．设A 0是“0−1数列”，令A k =T(A k−1)，k =1，2，3，…（1） 若数列A 2:1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A 1，A 0；（2） 若数列A 0共有10项，则数列A 2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3）若A 0为0，1，记数列A k 中连续两项都是0的数对个数为l k ，k =1，2，3，…求l k 关于k 的表达式．2011年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. A3. C4. B5. D6. D7. B8. B9. y =±x ,x =−2√210. 611. π+112. 213. 2,n14. 1,ℎ(0)<ℎ(1)<ℎ(−1)15. 解：（1）∵ f(x)=sinxcosx +sin 2x ，∴ f(π4)=sin π4cos π4+sin 2π4，…=(√22)2+(√22)2 …=1．…（2）f(x)=sinxcosx +sin 2x =12sin2x +1−cos2x 2，… =12(sin2x −cos2x)+12=√22sin(2x −π4)+12，… 由x ∈[0,π2]得2x −π4∈[−π4,3π4]，… 所以，当2x −π4=π2，即x =38π时，f(x)取到最大值为√2+12．…16. 证明：（1）由已知可得AF // B1E，AF=B1E，∴ 四边形AFB1E是平行四边形，∴ AE // FB1，…∵ AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴ AE // 平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴ DE // B1C，…∵ ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ ED // 平面B1FC；…∵ AE∩DE=E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴ 平面B1FC // 平面EAD．…（2）∵ 三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴ C1C⊥面ABC，又∵ AD⊂面ABC，∴ C1C⊥AD．…又∵ 直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴ △ABC是正三角形，∴ BC⊥AD，…而C1C∩BC=C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴ AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵ 四边形BCC1B1是菱形，∴ BC1⊥B1C，…而DE // B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE=D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…17. 若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1．（2）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的人数分别为1，1，0，2个．…记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d．…设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”…从填写不满意的学生中选出2人，共有(a, b)，(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)6个基本事件，…而事件N有(a, c)，(a, d)，(b, c)，(b, d)，(c, d)5个基本事件，…．…则P(N)=56．答：这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是5618. 解：(I)因为f′(x)=x2−2ax+b，由f ′(0)=f ′(2)=1即{b =14−4a +b =1得{a =1b =1， 所以f(x)的解析式为f(x)=13x 3−x 2+x ． (II)若b =a +2，则f ′(x)=x 2−2ax +a +2，△=4a 2−4(a +2)，(1)当△≤0，即−1≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立，那么f(x)在R 上单调递增， 所以，当−1≤a ≤2时，f(x)在区间(0, 1)上单调递增；(2)当△>0，即a >2或a <−1时，因为f ′(x)=x 2−2ax +a +2的对称轴方程为x =a要使函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增，需{a <−1f′(0)≥0或{a >2f′(1)≥0解得−2≤a <−1或2<a ≤3．综上：当a ∈[−2, 3]时，函数f(x)在区间(0, 1)上单调递增．19. 解：（1）由题意可得：2c =2,e =c a =√22，… ∴ c =1,a =√2，∴ b =√a 2−c 2=1，…所以椭圆C 的标准方程是 x 22+y 2=1．…（2）由已知可得B(0, 1)，F(1, 0)，…设A(x 0, y 0)，则BA →=(x 0,y 0−1)，BF →=(1,−1)，∵ BA →⋅BF →=2，∴ x 0−(y 0−1)=2，即x 0=1+y 0，…代入x 022+y 02=1， 得：{x 0=0y 0=−1或{x 0=43y 0=13， 即A(0, −1)或A(43，13)．…当A 为(0, −1)时，|OA|=|OB|=|OF|=1，△ABF 的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x 2+y 2=1； …当A 为(43，13)时，k BF =−1，k AF =1， 所以△ABF 是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆．由线段BA 的中点(23，23)以及|BA|=2√53可得△ABF 的外接圆的方程为(x −23)2+(y −23)2=59．…综上所述，△ABF 的外接圆的方程为x 2+y 2=1或(x −23)2+(y −23)2=59．20. 解：（1）由变换T 的定义可得A 1:0，1，1，0，0，1...A 0:1，0，1…（2） 数列A 0中连续两项相等的数对至少有10对 …证明：对于任意一个“0−1数列”A 0，A 0中每一个1在A 2中对应连续四项1，0，0，1，在A 0中每一个0在A 2中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0−1数列”A 0中的每一个项在A 2中都会对应一个连续相等的数对， 所以A 2中至少有10对连续相等的数对．…（3） 设A k 中有b k 个01数对，A k+1中的00数对只能由A k 中的01数对得到，所以l k+1=b k ，A k+1中的01数对有两个产生途径：①由A k 中的1得到； ②由A k 中00得到， 由变换T 的定义及A 0:0，1可得A k 中0和1的个数总相等，且共有2k+1个， 所以b k+1=l k +2k ，所以l k+2=l k +2k ，由A 0:0，1可得A 1:1，0，0，1，A 2:0，1，1，0，1，0，0，1所以l 1=1，l 2=1，当k ≥3时，若k 为偶数，l k =l k−2+2k−2，l k−2=l k−4+2k−4，…l 4=l 2+22． 上述各式相加可得l k =1+22+24+⋯+2k−2=1(1−4k 2)1−4=13(2k −1)， 经检验，k =2时，也满足l k =13(2k −1)．若k 为奇数，l k =l k−2+2k−2l k−2=l k−4+2k−4...l 3=l 1+2．上述各式相加可得l k =1+2+23+⋯+2k−2=1+2(1−4k−12)1−4=13(2k +1)， 经检验，k =1时，也满足l k =13(2k +1)．所以l k ={13(2k +1)，k 为奇数13(2k −1)，k 为偶数．…。
2011年北京高考数学(文科)试题与答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）2．复数212i i -=+A ．iB ．-iC ．4355i --D ．4355i -+ 3．如果,0log log2121<<y x 那么A ．y< x<1B ．x< y<1C ．1< x<yD ．1<y<x4．若p 是真命题，q 是假命题，则A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．﹁p 是真命题D ．﹁q 是真命题5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+162C ．48D ．16+3226．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．57．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件8．已知点A （0,2），B （2,0）．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在ABC ∆中.若b=5，4B π∠=，sinA=13，则a=___________________. 10．已知双曲线2221y x b-=（b ＞0）的一条渐近线的方程为2y x =，则b = . 11．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k ，3）.若a-2b 与c 共线，则k=________________.12．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=4，则公比q=______________；a 1+a 2+…+a n = _________________. 13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______14．设A （0,0）,B （4,0）,C （t+4,3），D （t,3）（t ∈R ）.记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N （0）= N （t ）的所有可能取值为三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.（注：方差],)()()[(1222212x x x x x x ns n -+-+-= 其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）17．（本小题共14分）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.已知函数()()x f x x k e =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为63，右焦点为（22,0），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积.若数列12:,,,(2)n n A a a a n ⋅⋅⋅≥满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==⋅⋅⋅-，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）写出一个E 数列A 5满足130a a ==；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011； （Ⅲ）在14a =的E 数列n A 中，求使得()n S A =0成立得n 的最小值.参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）D （4）D（5）B （6）C （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）325 （10）2（11）1 （12）2 2121--n（13）（0，1） （14）6 6，7，8，三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．（16）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988=+++=x 方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s （Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为.41164)(==C P（17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE//PC 。
2011年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析
2011年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分,满分40分）1．（5分）（2011•北京）已知全集U=R，集合P={x｜x2≤1｝，那么∁U P=(）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1）∪（1,+∞）【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】先求出集合P中的不等式的解集,然后由全集U=R，根据补集的定义可知,在全集R 中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合P中的不等式x2≤1,解得﹣1≤x≤1，所以集合P=［﹣1，1］,由全集U=R，得到C U P=(﹣∞，1)∪（1,+∞）．故选D【点评】此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算,是一道基础题．2．(5分）(2011•北京)复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数;再按多项式的乘法法则展开即可．3．（5分）（2011•北京）如果那么（)A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的不等式是一个对数不等式，我们要先将不等式的三项均化为同底根据对数函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：不等式可化为：又∵函数的底数0＜＜1故函数为减函数∴x＞y＞1故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据对数函数的性质将对数不等式转化为一个整式不等式是解答本题的关键．4．（5分）（2011•北京）若p是真命题，q是假命题,则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，由复合命题真假表,依次分析选项即可作出判断．【解答】解：∵p是真命题,q是假命题，∴p∧q是假命题,选项A错误;p∨q是真命题,选项B错误；￢p是假命题，选项C错误;￢q是真命题，选项D正确．故选D．【点评】本题考查复合命题的真假情况．5．（5分）（2011•北京）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16 C．48 D．16+32【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】根据所给的三视图得到四棱锥的高和底面的长和宽，首先根据高做出斜高，做出对应的侧面的面积,再加上底面的面积，得到四棱锥的表面积．【解答】解:由题意知本题是一个高为2，底面是一个长度为4的正方形的四棱锥，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2,过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形,得到斜高是2，∴四个侧面积是,底面面积是4×4=16，∴四棱锥的表面积是16+16，故选：B．【点评】本题考查有三视图求表面积和体积，考查由三视图得到几何图形，考查简单几何体的体积和表面积的做法，本题是一个基础题．6．（5分）（2011•北京)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2,则输入的P值为(）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】根据输入A的值,然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体,求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2,则P=2,S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2,退出循环体，此时P=4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．7．（5分)（2011•北京）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f(x）取得最小值、可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为B【点评】本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件,才能准确给出答案．8．（5分）（2011•北京）已知点A（0，2），B（2，0)．若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可以设出点C的坐标（a，a2)，求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程,转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．【解答】解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为,即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得:=｜a+a2﹣2｜=2得:a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点(如上面图中四个点C1，C2，C3,C4）使得△ABC的面积为2(即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4)．故应选：A【点评】本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二、填空题（共6小题,每小题5分，满分30分）9．（5分)（2011•北京）在△ABC中．若b=5，,sinA=，则a=．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．【解答】解:在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以,a===．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．10．(5分）（2011•北京)已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解:该双曲线的渐近线方程为,即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0,可以得出b=2．故答案为：2．【点评】本题考查根据双曲线方程求解其渐近线方程的方法，考查学生对双曲线标准方程和渐近线方程的认识和互相转化，考查学生的比较思想，属于基本题型．11．(5分）(2011•北京）已知向量=（，1）,=(0，﹣1）,=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标;利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程,求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件:坐标交叉相乘相等．12．（5分）（2011•北京）在等比数列{a n}中，a1=,a4=﹣4,则公比q=﹣2；a1+a2+…+a n=．【考点】等比数列的性质；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质可知，第4项比第1项得到公比q的立方等于﹣8，开立方即可得到q的值,然后根据首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式写出此等比数列的前n 项和S n的通项公式，化简后即可得到a1+a2+…+a n的值．【解答】解:q3==﹣8∴q=﹣2；由a1=，q=﹣2，得到：等比数列的前n项和S n=a1+a2+…+a n==．故答案为：﹣2；【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道基础题．13．(5分)（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f（x)=k有两个不同的实根是数k的取值范围,根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x)与函数y=k交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0,1)时方程f（x）=k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．（5分）(2011•北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3)，D(t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部(不含边界）的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=6，N（t）的所有可能取值为6、7、8．【考点】二元一次不等式(组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出平行四边形，结合图象得到平行四边形中的整数点的个数．【解答】解：当t=0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1);（2，2);(3,1）；（3，2）共6个点,所以N（0）=6作出平行四边形ABCD将边OD,BC变动起来，结合图象得到N（t）的所有可能取值为6,7，8故答案为：6；6，7，8【点评】本题考查画可行域、考查数形结合的数学思想方法．三、解答题（共6小题,满分80分)15．(13分)（2011•北京）已知函数．（Ⅰ)求f（x）的最小正周期：(Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，=4cosx（)﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin(2x+），所以函数的最小正周期为π；(Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时,f（x）取最大值2，当2x+=﹣时,即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（13分）（2011•北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊,无法确认，在图中以X表示．（1)如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差，其中的平均数）(2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】茎叶图;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所给的这组数据，利用求平均数的公式，把所有的数据都相加，再除以4，得到平均数，代入求方差的公式，做出方差．（2）本题是一个等可能事件的概率．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，可以列举出共有4种结果,根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1)当X=8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9,10,∴平均数是，方差是+=．(2)由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，包括:（9，10）,（11，8)，（11，8），（9，10）共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P=．【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来列举出符合条件的事件数和满足条件的事件数，本题是一个文科的考试题目．17．(14分）（2011•北京）如图,在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D,E，F，G分别是棱AP,AC，BC,PB的中点．（Ⅰ）求证:DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证:四边形DEFG为矩形；(Ⅲ)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理,得到线面平行．(Ⅱ)根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分,又可以证出另一个矩形,得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP,AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ)存在点Q满足条件，理由如下：连接DF,EG,设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME,EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,∴Q为满足条件的点．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．18．（13分）（2011•北京）已知函数f（x）=(x﹣k）e x．（Ⅰ)求f（x)的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间［0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（I)求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间;(Ⅱ）根据(I)，对k﹣1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x)在区间[0，1］上的最小值．【解答】解：（Ⅰ)f′（x）=（x﹣k+1）e x，令f′（x）=0，得x=k﹣1，f′(x）f（x）随x的变化情况如下：x （﹣∞，k﹣1）k﹣1 (k﹣1,+∞）f′（x）﹣0 +f(x）↓﹣e k﹣1↑∴f（x)的单调递减区间是（﹣∞,k﹣1)，f(x)的单调递增区间（k﹣1，+∞）；（Ⅱ）当k﹣1≤0,即k≤1时,函数f(x）在区间［0，1］上单调递增，∴f（x）在区间[0，1］上的最小值为f（0）=﹣k；当0＜k﹣1＜1,即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间［0，k﹣1]上单调递减，f(x）在区间（k﹣1，1］上单调递增,∴f（x）在区间［0，1］上的最小值为f（k﹣1）=﹣e k﹣1；当k﹣1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间［0，1］上单调递减，∴f（x）在区间[0，1］上的最小值为f(1）=(1﹣k）e;综上所述f（x）min=．【点评】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f’(x)=0根是否在区间[0，1］内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．19．(14分）（2011•北京）已知椭圆G:=1(a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(﹣3,2）．(Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ)根据椭圆离心率为，右焦点为(，0），可知c=，可求出a的值,再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；(Ⅱ)设出直线l的方程和点A，B的坐标,联立方程,消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A,B的坐标，从而求出｜AB｜和点到直线的距离，求出三角形的高,进一步可求出△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得,c=，,解得a=，又b2=a2﹣c2=4,所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2）（x1＜x2),AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3,此时，点P(﹣3,2)．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB｜d=．【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．20．（13分）（2011•北京）若数列A n：a1，a2,…，a n(n≥2)满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，…，n﹣1）,则称A n为E数列,记S(A n）=a1+a2+…+a n．(Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011;（Ⅲ）在a1=4的E数列A n中，求使得S(A n)=0成立得n的最小值．【考点】数列的应用．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）根据题意，a2=±1，a4=±1，再根据|a k+1﹣a k｜=1给出a5的值,可以得出符合题的E数列A5；（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是A n公差为1的等差数列，再证充分性，由递增数列的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加,可得a k+1﹣a k=1＞0，A n是递增数列；（Ⅲ)由｜a k+1﹣a k|=1,可得a k+1≥a k﹣1，再结合已知条件a1=4，可得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ)0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一,0，﹣1，0，﹣1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，﹣1，﹣2或0，±1，0，﹣1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）必要性:因为E数列A n是递增数列所以a k+1﹣a k=1（k=1,2， (1999)所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+(2000﹣1）×1=2011充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1=12，a2000=2011所以a2000≤a1+1999故a k+1﹣a k=1＞0（k=1，2，…，1999)，即A n是递增数列．综上所述，结论成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1﹣1=3a3≥a2﹣1≥2…a8≥a7﹣1≥﹣3…所以a1+a2+…+a k＞0（k=2，3,…,8），所以对任意的首项为4的E数列A n，若S（A n）=0，则必有n≥9,又a1=4的E数列A9:4，3，2,1，0,﹣1，﹣2，﹣3，﹣4满足S（A9)=0,所以n的最小值是9．【点评】本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，将题中含有绝对值的等式转化为不等式是解决此题的关键．。
北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科）2011.4选择题 （共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题 ,每题 5 分 ,共 40 分.在每题列出的四个选项中 ,选出切合题目要求的一项 .1、已知会合 Ax R 0 x 3 ， B xR x 2 4 ，则 A BA. x x2 或 2 x 3B.x 2 x 3C. x 2 x 32. 设 a 30.5, blog 3 2, ccos2，则3A. c b aB. c a bC. a b cD. bx 13．函数 f ( x) 图象的对称中心为xA ． (0,0)B.(0,1)C. (1,0)D.(1,1)4. 履行以下图的程序框图，若输入x 的值为 2，则输出的 x 值为A. 25B ． 24 C. 23 D ． 225.从会合 A { 1,1,2}中随机选用一个数记为k ，从会合 B { 2,1,2} 中随机选用一个数记为b ，则直线 ykx b 不经过第三象限的概率为2 1 C.4 5A ．B.9D.9396. 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y a x, y sin ax 的 部 分 图 象 ， 其 中a 0且a 1 ，则以下所给图象中可能正确的选项是yy11O12xO 1D. Rc a开始 输入 xn 1n ≤3否 输出 x 结束2n n 1x 2x 1是xAByy11O12xO12xC D7. 已知函数f ( x)x2ax1,x1,则“ 2 a 0 ”是“ f (x)在 R 上单一递加”的ax2x1,x1,A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8.若直线 l 被圆 C : x2y2 2 所截的弦长不小于2，则 l 与以下曲线必定有公共点的是A2y 21B．．x 2y21 C. y x2D．x2y21． ( x 1)2非选择题（共 110 分）二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每题 5 分,共 30 分 .把答案填在题中横线上.29. 计算__________________.1i10.为认识本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每个月平时花费额”的检查.他们将检查所获得的数据分别绘制成频次分布直方图（以下图），记甲、乙、丙所检查数据的标准差分别为s1， s2，s3, 则它们的大小关系为. （用“”连结）频次频次频次组距组距组距0.00080.00080.00080.00060.00060.00060.00040.00040.00040.00020.00020.0002O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O1000 1500 2000 2500 3000 3500 元O10001500 2000 2500 3000 3500 元甲乙丙11.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1 D1内一动点，则三棱锥P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.D1C1A1PB1[根源 :]DC左视A B主视12. 已知函数f ( x) xe x ，则 f ' (x) =________;函数 f ( x) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______13. 已知向量 a ( x,2), b (1,y) ，此中 x, y 0 .若 agb 4 ，则 y x 的取值范围为.14．如图， 线段 AB =8，点 C 在线段 AB 上，且 AC =2， P 为线段 CB 上一动点， 点 A 绕点 C 旋转后与点B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x ， △ CPD 的面积为 f (x) .则 f (x) 的定义域为 ________； f ( x) 的最大值为________.D ACP B三、解答题 : 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .15. （本小题共 13 分）在 ABC 中，内角 A 、B 、 C 所对的边分别为1 ， tan C1a 、b 、c ，已知 tan B, 且23c 1 .[ 根源 :Z#xx #](Ⅰ ) 求 tan(B C ) ；(Ⅱ) 求 a 的值 .16. （本小题共 13 分）数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 12 且 S n S n 1 2n （ n 2 ， n N * ） . [根源 :]( I )求 S n ；( II ) 能否存在等比数列{ b n } 知足 b 1 a 1, b 2a 3，b 3 a 9 ？若存在， 则求出数列 { b n } 的通项公式；若不存在，则说明原因.17. （本小题共 13 分）如图：梯形 ABCD 和正△PAB 所在平面相互垂直，此中 AB//DC,ADCD1AB ，且 O 为 AB 中点.P2( I ) 求证： BC // 平面 POD ；OAB(II) 求证：AC PD .18. （本小题共14 分）已知函数 f (x)1a ln x ( a 0, a R) x（Ⅰ）若 a 1，求函数 f ( x) 的极值和单一区间；(II) 若在区间[1,e] 上起码存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，务实数 a 的取值范围.19.（本小题共 14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 经过点 M (1,3), 其离心率为1 . a2b2 1 ( a22（Ⅰ）求椭圆C的方程；( Ⅱ) 设直线l与椭圆C订交于 A、B 两点，以线段OA, OB为邻边作平行四边形OAPB，其中极点 P 在椭圆C上，O为坐标原点 . 求O到直线距离的l 最小值.20.（本小题共 13 分）已知每项均是正整数的数列a1, a2 ,a3 ,L ,a100，此中等于i 的项有k i个(i1,2,3L ) ，设 b j k1 k 2k j( j1,2,3L ) ，g(m) b1b2L b m 100m ( m1,2,3L ).（Ⅰ）设数列 k140, k230, k3 20,k4 10, k5...k1000 ，求 g(1), g(2), g(3), g(4) ；(II)若 a1 ,a2 , a3 ,L , a100中最大的项为50，比较 g(m), g(m1) 的大小；（Ⅲ）若 a1 a2La100200 ，求函数 g( m) 的最小值.[根源:][根源 : ][根源 : ]海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参照2011． 4（共 40 分） [ 根源 :]一、 （本大 共8 小 , 每小 5 分 , 共 40 分） [ 根源 :Z § xx § ]号 12 3 45 6 7 8答案CABC ADBB非（共 110 分）二、填空 （本大 共 6小 , 每小 5分 . 共 30分 . 有两空的 目，第一空3 分，第二空 2分）9.1 i10. s 1 > s 2 > s 3 11. 1 12.xy x13. [ 4,2]14.(1 x e ，，2 2)(2, 4) 三、解答 ( 本大 共 6 小 , 共 80 分)15. （共 13 分）解：（ I ）因 tan B1 ， tanC 1 , tan(B C ) tan B tan C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分231 tan B tan C1 1代入获得， tan(B C) 2 3 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分1 1 12 3（ II ）因 A180o B C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因此 tan A tan[180 o(B C )]tan( B C )1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 又 0oA180o ，因此 A 135o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因 tan C1 ，且 0oC180o，因此 sin C10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分0 ，310ac 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来由，得 asin Asin C源 :学§科§网 ]16. （共 13 分）解：（ I ）因 S n Sn 12n ，因此有S n S n 1 2n n 2 ， nN *建立 ⋯⋯⋯2 分即 a n 2n n 2建立，又 a 1 S 12 1 , 因此 a n2n nN *建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 因此 a n 1 a n 2 n N * 建立 ，因此 { a n } 是等差数列，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 因此有 S na 1annn 2 n ， nN *⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2（ II ）存在 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分[ 来源 :Z|xx|]由（ I ）， a n 2n ， n N * 建立因此有 a 36, a 9 18 ，又 a 12 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此由b 1 a 1, b 2 a 3， b 3 a 9 b 2b 3 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，b 1b 2因此存在以 b 1 2 首 ，公比 3 的等比数列 {b n } ，其通 公式 b n23n 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分P17. （共 13 分）明 : (I) 因 O AB 中点，因此 BO1AB,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分21又 AB / /CD, CDAB ，AO2B因此有 CD BO,CD / /BO,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分D C因此 ODCB 平行四 形 ,因此 BC / /OD ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 DO 平面 POD, BC 平面 POD,因此 BC//平面 POD . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(II) 接 OC .P因 CD BO AO, CD / / AO, 因此 ADCO平行四 形，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又 ADCD ,因此 ADCO 菱形，OABDC因此AC DO ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因正三角形PAB , O AB 中点，因此 PO AB ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又因平面 ABCD平面 PAB ,平面 ABCD I 平面 PAB AB ，因此 PO平面 ABCD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分而 AC平面 ABCD ，因此 PO AC ，[根源:]又POI DO O ，因此 AC平面 POD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分又 PD平面 POD ，因此 AC PD .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 [来源 : ]18. （共 14 分）解：（ I）因 f '( x)1a ax 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分x2x x2当 a 1 ， f '( x)x1，x2令 f'( x)0 ，得x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分又 f( x) 的定域(0,) ，f( x) ， f (x) 随x的化状况以下表：x(0,1)1(1,)f '( x)0f ( x)]极小Z所以 x 1 ， f ( x)的极小 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分f ( x) 的增区(1,) ，减区(0,1) ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II）解法一：因 f '( x)1a ax10 ，x2x x2，且 a令 f '( x)0 ，获得 x 1，a若在区 (0, e] 上存在一点 x0，使得 f ( x0 )0 建立，其充要条件是 f (x) 在区 (0, e] 上的最小小于0 即可 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ 1）当 x10 ， f '( x)0 x(0,) 建立，0 ，即 aa因此， f ( x) 在区 (0, e] 上 减，故 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f (e)1 a ln e 1 a ，e由111) e a 0，得 a，即 a (, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分e1e e（ 2）当 x 0 ，即 a0 ，a① 若 e1， f '( x)0 x(0, e] 建立，因此f ( x) 在区 (0, e] 上 减，a11因此， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 f ( e)a ln ea 0 ，e e然， f ( x) 在区 (0, e] 上的最小 小于0 不建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分② 若 0 1 e ，即 a1， 有aex(0,11( 1)a, e)a af '( x)f ( x)]极小Z因此 f ( x) 在区 (0, e] 上的最小f ( 1) aa ln 1，aa由 f ( 1)a a ln1a(1 ln a) 0 ，aa得 1ln a，解得ae，即 a(e,) .13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分上，由 (1)（ 2）可知： a(, 1) U (e, ) 切合 意 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分e(0, e] 上存在一点 x 0 ，使得 f ( x 0 )0 1 a ln x 0 0 ，解法二：若在区建立，即x 0因 x 00 , 因此，只需 1 ax 0 ln x 0 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分令 g ( x) 1ax ln x ，只需 g(x) 1 ax ln x 在区 (0, e] 上的最小 小于0 即可因 g '(x)a ln x aa(ln x 1) ，令 g '( x)a(ln x1) 0，得 x 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分e（ 1）当 a 0 ：x1 1 (1, e] [ 来(0, )eee源 :]g '( x) [ 来源:学+科+ 网 ]g(x)Z极大][来源 :Z*xx*]因 x(0, 1) ， g( x)1 ax ln x 0 ，而 g(e) 1 ae ln e 1 ae ，e11只需 1 ae 0 ，得 a(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分，即 a, )（2 ）当 aee：1x [:(0, ) [根源 :11e根源 学,e]#科#网]学+科+网e(eZ+X+X+K]g '( x)g(x)]极小Z因此，当x (0, e] ， g( x) 极小 即最小g( 1 ) 1 a 1 ln 11a ，e e ee由1a 0 ， 得ae ，即 a(e,).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分e131上，由 (1)（ 2）可知，有 a( ,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分 [根源 : 学*) U (e,e科 * 网 Z*X*X*K]19. （共 14 分）解：（Ⅰ）由已知， e 2a 2b 2 1 ，因此 3a 2 4b 2，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分a 2431 9 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又点 M (1, ) 在 C 上，因此a 24b 2②2由①②解之，得 a 24, b 23 .故 C 的方程x 2y 2 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分43( Ⅱ ) 当直 l 有斜率 ，y kx m ，y kxm,由y 2x 2 1.43消 去 y 得 ， (34k 2 ) x 2 8kmx 4m 2 12 0 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 [ 来源 :]64k 2m 24(3 4k 2 )(4m 2 12) 48(3 4k 2m 2 ) 0 ，③ ⋯⋯⋯⋯7分A 、B 、 P 点的坐 分 (x 1, y 1 )、(x 2 , y 2 )、( x 0 , y 0 ) ， ：x 0 x 1x 28km 2 , yy 1 y 2k( x 1x 2 ) 2m6m 2 ⋯⋯⋯⋯8分3 4k3 4k ，因为点 P 在 C 上，因此x 02y 02 1 .⋯⋯⋯9 分43进而16k 2m 212m 21 ，化 得 4m 234k 2 ， 足③式 .(3 4k 2 )2(3 4k 2 )2⋯⋯⋯10 分又点 O 到直 l 的距离 ：| m | 3 k 21 1 34d1 k 212 )121 k 24(1 k 4[根源 :学| 科 | 网]⋯⋯⋯11分当且 当 k 0 等号建立⋯⋯⋯⋯12 分当直 l无斜率 ，由 称性知，点P 必定在 x 上，进而 P 点 (2,0),(2,0) ，直 l x1 ，因此点 O 到直 l 的距离1 ⋯⋯13 分因此点 O 到直 l 的距离最小3 ⋯⋯14 分220. （共 13 分）解:(I)因 数列 k 140, k 2 30, k 3 20, k 4 10 ，因此 b 1 40, b 2 70,b 3 90, b 4 100 ，因此 g (1)60, g(2)90, g(3)100, g(4)100 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(II)一方面， g(m 1) g( m) b m 1 100 ，北京市海淀区2011届高三模拟数学(文)试题及答案依据 b j的含知 b m 1100，故 g(m1)g( m) 0 ，即g( m)g (m1) ，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分当且当 b m 1100 取等号.因 a1, a2 ,a3,L, a100中最大的50，因此当m50必有b m100 ，因此 g (1) g(2)L g(49)g(50)g(51)L L即当 1m49 ，有g( m) g( m1) ；当 m49 ，有g (m)g(m1) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ III）Ma1 , a2 ,L ,a100中的最大 .由（ II ）能够知道，g( m) 的最小 g (M ) .下边算 g (M ) 的.g(M )b1 b2b3L b M100M( b1100)(b2 100) (b3100)L(b M 1 100)( k2k3 L k M ) ( k3k4 L k M ) ( k4 k5L k M ) L( k M )[ k22k3L( M 1)k M ]( k12k23k3 L Mk M ) ( k1k2L k M )( a1a2a3L a100)b M(a1a2a3L a100)100 ，∵ a1a2a3L a100200，∴ g (M )100 ，∴ g (m)最小100.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分明：其余正确解法按相步分.。
北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞2.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子， 若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C. 276 D.3005.下列函数中，为偶函数且有最小值的是 A.2()f x x x =+ B.()|ln |f x x = C.()sin f x x x = D.()e e x x f x -=+6.在四边形ABCD 中，“R λ∃∈，,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边 形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 A.2 B.12+ C.13+ D.23+666左视图5俯视图主视图8.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A.若45m =，则53a = B.若32a =，则m 可以取3个不同的值 C.若2m =，则数列{}n a 是周期为3的数列 D.m Q ∃∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 复数2i___.1i=- 10.甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图， 则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11.已知数列{}n a 是等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则5a 的值为____. 12.直线1y x =+被圆22230x x y -+-=所截得的弦长为____.13.已知函数π()sin(2)(01)6f x x ωω=-<<的图象经过点π(,0)6，则ω=_____，()f x 在区间[0,π]上的单调递增区间为_____.14.设变量x ，y 满足约束条件10,40,1(1),y x y y k x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤-⎩其中,0R k k ∈>.（I ）当1k =时，2yx 的最大值为______； （II ）若2yx 的最大值为1，则实数k 的取值范围是_____.甲乙 9 09 8 5 1 6 76 3 22 3 3 5 7 8 6 31三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (I) 若1101,100a S ==，求{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若26n S n n =-，解关于n 的不等式2n n S a n +>.16.（本小题满分13分）已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，且2BD DC =，75,30ADB ACD ∠=∠=，2AD =.（I ） 求CD 的长； （II ）求ABC ∆的面积.17.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，BA BC =. 把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 如图2所示. 点,E F 分别为棱,PC CD 的中点. （I ） 求证：平面//OEF 平面APD ； （Ⅱ）求证：CD ⊥平面POF ；(Ⅲ) 在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P O C F 四点距离相等？请说明理由.图2F EOADPCCDBA图118.（本小题满分13分）已知函数()ln ,()(0)af x xg x a x==->.（I ）当1a =时， 若曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点00(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于,A B 两点，且在直线:30l x y +-=上存在点P ，使得PAB ∆为等边三角形，求k 的值.20.（本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个整数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若经过任意．．一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；表2(Ⅲ) 对由m n ⨯个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.12 3 7-2-1122221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （文科）参考答案及评分规范2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACBDCBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d因为11a =，1910101002a a S +=⨯=……………………2分 所以1101,19a a ==……………………4分 所以2d =所以 21n a n =-……………………6分（II ）因为26n S n n =-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27n a n =-，2n ≥……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-9． 1i -+ 10．乙 11.16-或1612．2213．1π2π;(,)233- 14．1;02k <≤所以 27n a n =-……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472n n n -->，即2670n n --> 所以7n >或1n <-，所以7n >，N n ∈……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =， 根据正弦定理有sin45sin30CD AD=……………………4分所以2CD =……………………6分 （II ）所以4BD =……………………7分 又在ABD ∆中，75ADB ∠=，62sin75sin(4530)4+=+=……………………9分 所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅=+……………………12分 所以333322ABC ABD S S ∆∆+==……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30AC AD=而 62sin105sin(4560)4+=+=……………………8分所以31AC =+……………………10分 又4BD =，6BC =……………………11分 所以1333sin3022ABC S AC BC ∆+=⋅⋅=……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上 所以PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥AC …………………2分因为AB BC =，所以O 是AC 中点， …………………3分所以//OE PA …………………4分同理//OF AD 又,OEOF O PA AD A ==所以平面//OEF 平面PDA …………………6分 （II ）因为//OF AD ，AD CD ⊥ 所以OF CD ⊥…………………7分 又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC 所以PO ⊥CD …………………8分 又OFPO O =所以CD ⊥平面POF …………………10分(III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………11分 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以12EF PC =…………………12分 同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =, 211'(),()f x g x x x==…………………2分 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x处的切线平行， 所以20011x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x =…………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f xg x ≥+ 记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-=…………………6分 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x (0,)aa(,)a +∞ '()F x -0 +()F x极大值…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e2a ≥ 所以e a ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得e a ≥ 所以e e a ≤<………………12分 综上，e a ≤………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点,所以3,1a b ==,椭圆C 的方程为2213x y +=………………4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y =………………6分 当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x +=所以 123||31x k =+，则2222333||13131k AO k k k +=+=++………………8分 设AB 的垂直平分线为1y x k =-，它与直线:30l x y +-=的交点记为00(,)P x y 所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 则2299||(1)k PO k +=-………………10分 因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3||PO AO =代入得到22229933|3(1)31k k k k ++=-+，解得0k =（舍），1k =-……………13分 此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB 的方程为y x =-或0y =………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可） …………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1。
海淀高三数学文科二模试题及答案
海淀高三数学文科二模试题及答案The document was finally revised on 2021海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数2i (1i)-对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） （A ）10,2x x x ∀>+< （B ）10,2x x x ∀≤+< （C ）10,2x x x∃≤+< （D ）10,2x x x∃>+< （3）圆22:4230C x y x y ++-+=的圆心坐标及半径分别是（ ） （A ）(2,1),2- （B ）(2,1),2 （C ）(2,1),2-（D ）(2,1),2-（4）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）（A ）0S > （B ）0S < （C ）0a >（D ）0a =（5）已知点(,)(0)A a a a ≠，(1,0)B ，O 为坐标原点.若点C 在直线OA 上，且BC 与OA 垂直，则点C 的坐标是（ ）（A ）11(,)22-（B ）(,)22a a-（C ）(,)22a a（D ）11(,)22（6）在ABC ∆中，若3,3a c A π==∠=，则b =（ ） （A ）4（B ）6（C）（D（7）设320.30.2,log 0.3,log 2a b c ===，则（ ） （A ）b a c <<（B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<（8）已知不等式组4,2,2x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，点(0,0),(1,0)O A .若点M 是D 上的动点，则OA OM OM⋅的最小值是（ ）（A）（B（C（D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2011.5选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面上，复数2i z =-对应的点在A ．第一象限B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集,U =R 集合{1,2,3,4,5}A =,{|2}B x x =∈≥R ，则右图中阴影部分所表示的集合为 A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2} 3．函数21()log f x x x=-的零点所在区间为A ．1(0,)2B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)4．若函数sin()3y x π=+的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为 A ．1sin()26y x π=+B. 1sin()23y x π=+C. 2sin(2)3y x π=+D. sin(2)3y x π=+5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6. 圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为A. 250x y --=B. 210x y --=C. 20x y --=D. 40x y +-=7. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段11D B 上的动点，点N 为线段AC 上的动点，则与线段1D B 相交且互相平分的线段M N 有A ．0条 B.1条 C. 2条 D.3条 1D 1A 1C 1B DM8. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x（011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x（022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22212221b b a a -=- ③1122a b a b > ④1212a a b b -<-其中，所有正确结论的序号是A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．双曲线C ：22122xy-=的渐近线方程为 ；若双曲线C 的右焦点和抛物线22y px =的焦点相同，则抛物线的准线方程为 .10．点(,)P x y 在不等式组22y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则z x y =+的最大值为_______.11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 为____________. 12. 已知ABC ∆的面积3=S ，3A π∠=，则=⋅AC AB _________.13.已知数列}{n a 满足，11=a 且)(1n n n a a n a -=+（*n ∈N ）， 则2_____a =；n a =________.14.已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的 导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示: ①若(1)1f =，则(1)f -= ；② 设函数()()(),h x f x g x =-则(1),(0),(1)h h h -的 大小关系为 .（用“<”连接）)x 正视图俯视图左视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）已知函数x x x x f 2sin cos sin )(+=. （Ⅰ）求()4f π的值；（II ）若[0,]2x π∈，求)(x f 的最大值及相应的x 值.16. （本小题共13分）已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ；（II ）求证：⊥1BC 平面EAD .D1C FEBAC1A 1B某学校餐厅新推出A B C D 、、、四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率； （Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.18. （本小题共14分） 已知函数321().3f x x ax bx =-+ (,)a b ∈R（I ）若'(0)'(2)1f f ==，求函数()f x 的解析式；（II ）若2b a =+，且()f x 在区间(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围.种类A BC D已知椭圆C :22221 (0)x y a b ab+=>>两个焦点之间的距离为2，且其离心率为2.(Ⅰ) 求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 若F 为椭圆C 的右焦点，经过椭圆的上顶点B 的直线与椭圆另一个交点为A ，且满足=2BA BF ⋅，求ABF ∆外接圆的方程.对于数列12n A a a a ：，，，，若满足{}0,1(1,2,3,,)i a i n ∈=⋅⋅⋅，则称数列A 为“0-1数列”.定义变换T ，T 将“0-1数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如A :1,0,1，则():0,1,1,0,0,1.T A 设0A 是“0-1数列”，令1(),k k A T A -= 12k = ，，3,.(Ⅰ) 若数列2A ：1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1. 求数列10,A A ；(Ⅱ) 若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为0，1，记数列k A 中连续两项都是0的数对个数为k l ，1,2,3,k =⋅⋅⋅.求k l 关于k 的表达式.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．5选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. y x =±，2x =- 10. 6 11. 1π+12. 2 13. 2，n 14. 1 ，(0)(1)(1)h h h <<- 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） x x x x f 2sin cos sin )(+=，∴4sin4cos4sin)4(2ππππ+=f …………………1分2222=+（（） …………………4分1= . …………………6分（Ⅱ）x x x x f 2sin cos sin )(+= 22cos 12sin 21xx -+=…………………8分 21)2cos 2(sin 21+-=x x21)42sin(22+-=πx ， …………………9分由]2,0[π∈x 得]43,4[42πππ-∈-x ， …………………11分所以，当242ππ=-x ，即π83=x 时，)(x f 取到最大值为212+. ……………13分16. （共13分）证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，1C FE1A 1BAE ⊄ 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点， ∴C B DE 1//， ……………3分ED ⊄ 平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1，//ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AE DE E AE =⊂ 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥C C 1面ABC ，又 ⊂AD 面ABC ， ∴⊥C C 1AD . ……………7分 又 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分 而1C C BC C = ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD = AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分17. （共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人， ……………1分 其中选A 款套餐的学生为40人， ……………2分 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. ……………4分设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”， ……………5分 则.10404)(==M P . ……………6分答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.(II) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………7分记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” ……………9分 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，……10分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ……………11分 则 65)(=N P . ……………13分答：这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是65.18. （共14分）解：（Ⅰ）因为2'()2f x x ax b =-+ ， …………………2分 由'(0)'(2)1f f ==即1441b a b =⎧⎨-+=⎩得11a b =⎧⎨=⎩， …………………4分所以()f x 的解析式为321()3f x x x x=-+. …………………5分(Ⅱ)若2b a =+，则2'()22f x x ax a =-++，244(2)a a ∆=-+ ， …………………6分 （1）当0∆≤，即12a -≤≤时，'()0f x ≥恒成立，那么()f x 在R 上单调递增，所以，当12a -≤≤时，()f x 在区间(0,1)上单调递增； …………………8分 （2）解法1：当0∆>，即2a >或1a <-时， 令2'()220f x x ax a =-++=解得1x a =-，2x a =+…………………9分 列表分析函数()f x 的单调性如下：…………………10分要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，只需210'(0)0a a a f ><-⎧⎪<⎨⎪≥⎩或或211'(1)0a a a f ><-⎧⎪>⎨⎪≥⎩或，解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分解法2：当0∆>，即2a >或1a <-时，2要使函数()f x 在区间(0,1)上单调递增， 需1'(0)0a f <-⎧⎨≥⎩或2'(1)0a f >⎧⎨≥⎩解得21a -≤<-或23a <≤. …………………13分 综上：当[2,3]a ∈-时，函数()f x 在区间(0,1)上单调递增. …………………14分19. （共14分） 解：(Ⅰ)22,22===a c e c ， ……………1分2,1==∴a c ，122=-=∴c a b ， …………4分椭圆C 的标准方程是1222=+y x. ………………5分(Ⅱ)由已知可得)0,1(),1,0(F B ， …………………6分 设),(00y x A ，则)1,1(),1,(00-=-=BF y x BA ， 2=⋅BF BA ，2)1(00=--∴y x ，即001y x += ， …………………8分代入12220=+y x ，得：⎩⎨⎧-==1000y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==313400y x ，即)1,0(-A 或)31,34(A . ………………10分当A 为)1,0(-时，1===OF OB OA ,ABF ∆的外接圆是以O 为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为122=+y x ； ………………12分当A 为)31,34(时，1,1=-=AF BF k k ，所以ABF ∆是直角三角形，其外接圆是以线段BA 为直径的圆.由线段BA 的中点)32,32(以及352=BA 可得ABF ∆的外接圆的方程为5)2()2(22=-+-y x . ………………14分综上所述，ABF ∆的外接圆的方程为122=+y x 或95)32()32(22=-+-y x .20. （共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分0:1,0,1A ………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 ………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+, 4242k k k l l ---=+,2422l l =+.上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3kk l =-.若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+312l l =+.上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3kk l =+.所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数 .………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。