离散数学试题(A)1

中南民族大学2008 -2009 学年第 二 学期 期末考试试卷 课程名称：离散数学 试卷类型：A 卷 共2页 考试形式：闭卷 考试 适用范围：计算机 学院（系） 2007 年级 数学及信息 专业 本科 试解下列各题（10分*10=100分） 1， 利用集合成员表证明： A (B C )(A B )(A C )-=-- . 2， 设ρ为A 上的等价关系，试证明：（1）ρρ= (2)n N +∀∈有n ρρ=即ρ为A 上的幂等关系. 3， 设函数f :A B,→定义函数使得g(b ){a |a A,f (a )b }=∈=，试证明：若f 为满射，则g 为A g :B 2→上的内射。

举例说明若f 不是满射，则g 不一定为内射. 4， 设4Z {0,1,2,3,},=构造4Z 上的模4加法运算表，判断4Z 上的模4加法运算是不是半群，独异点，群，阿贝耳群。

同时写出零元及单位元. 5， 画出所有5元素的格，并判断哪些是分配格？那些是有补格？那些是有补分配格？并说明理由. 6， 试证明在格中对于任意的元素c b a ,,有: (a b )(c d )(a c )(b d )∧∨∧≤∨∧∨ 7， 画出（1）三个结点不同构的有向图.（2）三个结点不同构的有向树.（3）四个结点不同构的有向树（4）五个结点不同构的树.
…………………………密……………………封……………………线…………………………… 学院 专业 级 学号 姓名
注意事项：
1.考生将姓名、学号等信息写在试卷相应位置；
2.必须使用蓝(黑)色钢笔或签字笔在规定位置答题；
3.注意字迹清楚，保持卷面整洁。

8，设G是连通的(n,m)图,且m n1
=-，试证G明是一棵树.
9，将下列命题符号化（1）如果你是体育爱好者不是文艺爱好者那么你不是文体爱好者.（2）小明是数学系的学生，他住在16栋302室或303室.（3）除非他以书面形式或口头形式通知我，否则我不会参加明天的会议（4）我看见的既不是老张也不是小李. 10，证明下列各式：
（1）Q(P Q)P
→→⇔∧→
⌝∧→⇒⌝（2）P(Q R)(P Q)R
离散数学参考答案（A 卷共3页）
1， 解
A B C B C A —（B C ） A —B A —C （A —B ） （A
—C ）
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0—————
——8分
由成员表可以看出 A —（B C ）与（A —B ） （A —C ）的标记列完全相同，
故等式成立。

——————
10分
2， 证明
（1），），（），（ρρ∈⇒∈∀a b b a ~由ρ对称故ρρ
ρ⊆⇒∈~），（b a ，），（对称，），（⇒∈⇒∈∀ρρρa b b a ρρρ
~~⊆⇒∈），（b a 故有ρ
ρ
~= ————————5分 （2）下证ρρ=2，⇒⎪⎭
⎪⎬⎫∈∈∈∃⇒∈∀可传递由），（），（），（ρρρρb c c a t As c b a ..2ρ∈），（b a
ρρ⊆⇒2 ———————————
8分
22ρρρρρ⊆⇒∈⇒∈⇒∈∀），（），（），（b a a a b a
综合有ρρ=2，再归纳有ρρ=n
———————————10
注意事项：
1. 考生将姓名、学号等信息写在试卷相应位置；
2. 必须使用蓝(黑)色钢笔或签字笔在规定位置答题；
3. 注意字迹清楚，保持卷面整洁。

分
3，证明
B b b ∈≠∀21由于f 为B A →上的满射，故A a a ∈≠∃21使得
2211b a f b a f ==）（，）（再由于g 为A B 2→上的映射，故
）
（）（21b g b g ≠即g 为A B 2→上的内射。

——————5分
例：设}{}21{c b a B A ，，，，==且}21{），），（，（a a f =故f 不是满射。

但
φ==）（）（c g b g ，故g 不是内射。

———————
10分
4解：
运算表如下：4⊕ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1
2
3 0
2 2
3 0 1
3 3 0 1 2 ——————————
5分
（1） 由运算表可以看出该代数系统为半群，独异点，群及阿贝耳群。

（2） ，
，，，，1322310001111=====----e 不存在零元。

————————————10分
5，证明
（1） （2） （3） （4） （5）
—————
—6分
其中（1），（2），（3）是分配格；（4），（5）是有补格 ——————
10分
6，证明
）（）（）（）（有，，，c a b a c a a a b a d c b a ∨≤∧⇒⎭
⎬⎫∨≤≤∧∀ ____________4分 类似有），（）（d b d c ∨≤∧），（）（c a d c ∨≤∧），
（）（d b b a ∨≤∧____8分 综合有）
（）（）（）（d b c a d c b a ∨∧∨≤∧∨∧. _______________10分
7，解：
8，证明
（1） 由于树是连通的无环图，故G 中不含有环。

————————4
分
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（2） 由于G 连通且），（m n G
=1-=n m ，，下证明G 中不含有环， 反设G 中含有环，
则去掉环上的一条边后G 形成一棵）
，（1-m n 树，故11-=-n m 即n m = 与1-=
n m 矛盾，故命题成立。

————————10
分
9，证明
（1） P ：你是体育爱好者 ，Q ：你是文艺爱好者， ）
（）（Q P Q P ∧⌝→⌝∧ ——3分
（2） P ：小明是数学系学生，Q ：小明住在16栋302#， R ：小明住在16栋302#
）
（R Q P ∀∧ ———————5分
（3） P ：他以口头形式通知我，Q ：他以书面形式通知我，R ：我参加明天的会议
R Q P ↔∨)( —————8分
(4) P ：我看见了小张 ，Q ：我看见了老李，
）
（Q P ∨⌝ _______________10分
10证明
(1)
1
⇔∨⌝⌝∨∨⌝⇔⌝∨∨⌝∧⌝⌝⇔⌝→→∧⌝）
（）（））（（））（（Q P Q P P
Q P Q P
Q P Q 故成立。

—————
—5分
(2) ）（）（R Q P R Q P ∨⌝∨⌝⇔→→ R Q P R Q P R Q P →∧⇔∨∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔）（）（）（
__________10分。